Kombinatorik II

WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Kapitel II - Kombinatorik
• Kombinatorische Strukturen und Algorithmen
– Ziehen von Elementen aus einer Menge
– Kombinatorische Beweisprinzipien
– Fundamentale Zählkoeffizienten
– Bälle und Urnen
2
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Kapitel II– Kombinatorik
• Kombinatorische Beweisprinzipien
Grundlegenden Abzählprinzipien zu, die zur
Lösung zahlreicher Abzählprobleme verwendet
werden.
3
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Produktregel
Die Anzahl der Elemente des kartesischen
Produkts zwischen endlichen Mengen Si ist
gleich dem Produkt der Anzahl der Elemente
der Mengen Si.
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Produktregel
Die Anzahl der Elemente des kartesischen
Produkts endlicher Mengen Si ist gleich dem
Produkt der Anzahl der Elemente der Mengen
Si.
• Als Formel:
S
i I
Si
S
5
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i I
Si
Kapitel II– Kombinatorik
• Die Produktregel
Beispiel:
Wieviele 4-stelligen Zahlen gibt es, deren i-te
Ziffer eine durch i teilbare Zahl ist?
Gegeben sind die Mengen Si {0,…,9}, i
{1,…,4}, die alle durch i teilbaren Zahlen aus
{0,…,9} enthalten.
Dann lassen sich die gesuchten Zahlen als
Elemente der Relation R = S1 S2 S3 S4
darstellen.
6
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Produktregel
Beispiel:
Wieviele 4-stelligen Zahlen gibt es, deren i-te
Ziffer eine durch i teilbare Zahl ist?
S1 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
S2 = {0,2,4,6,8}
S3 = {0,3,6,9}
S4 = {0,4,8}
Nach der Produktregel gibt es 10 5 4 3 = 600
solche Zahlen.
7
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Kapitel II– Kombinatorik
• Produktregel als Baumdiagramm
Angenommen, wir können auf drei Wegen von
Köln nach Düsseldorf und auf 5 Wegen von
Düsseldorf nach München fahren. Wieviele
Wege gibt es von Köln nach München?
Köln
Düsseldorf
München
8
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Regel des getrennten Abzählens
(Summenregel)
Die Anzahl der Elemente einer Menge S, die als
disjunkte Vereinigung von Mengen Si
geschrieben werden kann, ist gleich der Summe
der Anzahl der Elemente der Mengen Si.
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Regel des getrennten Abzählens
(Summenregel)
Die Anzahl der Elemente einer Menge S, die als
disjunkte Vereinigung von Mengen Si
geschrieben werden kann, ist gleich der Summe
der Anzahl der Elemente der Mengen Si.
• Als Formel:
S
10
S
i I
i
S
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i I
Si
Kapitel II– Kombinatorik
• Die Regel des getrennten Abzählens
(Summenregel)
Auf wie viele Arten können 6 Mädchen und 8
Jungen in eine Reihe von 5 Stühlen setzen, wenn
Mädchen und Jungen abwechselnd sitzen
müssen?
Es werden getrennt die Anzahl von Sitzreihen,
die mit einem Mädchen beginnen und die mit
einem Jungen beginnen gezählt.
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Regel des getrennten Abzählens
(Summenregel)
Mit Mädchen beginnende Reihen:
M = 6 ¢ 8 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 4 = 6720
Mit Jungen beginnenden Reihen:
J = 8 ¢ 6 ¢ 7 ¢ 5 ¢ 6 = 10080
Insgesamt M+J = 16800 Reihen.
12
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Kapitel II– Kombinatorik
Typischer Fehler: Man nimmt irrtümlich an, dass
die Mengen S1, …, Sn Disjunkt sind.
Beispiel : zwei Speiler spielen Poker. Der erste
Spieler bekommt die Hand
A| A~ A 2Ä 3|
Mit welcher W‘keit gewinnt er?
Wir müssen die Anzahl der Hände berechnen,
die gegen diese Hand verlieren.
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Kapitel II– Kombinatorik
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Gegen die Hand verliert man:
– mit einer Hand der Gestalt XXXYZ. Sei T die Anzahl
dieser Hände.
– mit einer Hand der Gestalt XXYYZ. Sei DP die Anzahl
dieser Hände.
– mit einer Hand der Gestalt XXYZW. Sei P die Anzahl
dieser Hände.
– mit einer Hand XYZUW, die kein straight, flush, oder
straight flush sind (d.h., die Karten sind nicht
konsekutiv). Sei KP (kein Paar) die Anzahl dieser
Hände.
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Kapitel II– Kombinatorik
Damit ist die Gesamtzahl T+DP+P+KP.
Richtig? Ja, aber nur wenn beim Zählen der
Möglichkeiten darauf geachtet wird, dass X,Y,Z,W,U
verschiedene Augenzahlen sein müssen. Sonst
werden einige Hände mehrmals gezählt!, und es
werden Hände gezählt, die gegen die Hand
gewinnen.
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Kapitel II– Kombinatorik
• Die Gleichheitsregel
Existiert eine Bijektion f: S T dann haben die
Mengen S und T gleich viele Elemente.
• Wird häufig verwendet, wenn eine der
beteiligten Mengen einfacher abzuzählen ist.
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• Anwendung der Gleichheitsregel
Beispiel:
Wieviele Elemente hat P({1,…,n})?
Sei W = {0,1}n die Menge aller n-stelligen
Zeichenreihen bestehend aus den Zahlen 0 u. 1.
Nach der Produktregel is |W|= 2n.
Für A µ {1,…,n} sei f(A) = w1w2…wn W mit wk
= 1 falls k A und 0 sonst.
Beispiel mit n=5: f({1,3}) = 10100
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• Anwendung der Gleichheitsregel
Beispiel:
Wieviele Elemente hat P({1,…,n})?
Da es sich bei f um eine bijektive Abbildung
handelt gilt nach der Gleichheitsregel
|P({1,…,n})| = |W| = 2n.
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• Noch eine Anwendung der Gleichheitsregel
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Euro
unter m Kinder zu verteilen?
Für n=5 und m=3 gibt es 21 Möglichkeiten:
500 410 401 320 311
320 230 221 212 203
140 131 122 113 104
050 041 032 023 014
005

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• Anwendung der Gleichheitsregel
Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Euro
unter m Kinder zu verteilen?
Sei K={k1, …, km} die Menge der Kinder.
Wir ordnen jeder Verteilung (a,b,c) die
Multimenge f((a,b,c)) über K, die so oft ein Kind
enthält, wie die Anzahl der Euro, die es
bekommt.
Beispiel: f((1,3,1)) = { k1, k2 , k2 , k2 , k3 }
20

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• Anwendung der Gleichheitsregel
Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Euro
unter m Kinder zu verteilen?
Die Funktion f ist eine Bijektion zwischen der
Menge der Verteilungen und der Menge der nMultimengen einer m-elementigen Menge.
Damit ist die Anzahl der Verteilungen
µ
¶
m+n¡1
m¡1
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• Doppeltes Abzählen
Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen
S = {s1,…,sn} und T = {t1,…,tm} sei durch eine
Matrix mit n Zeilen und m Spalten und
Einträgen mij beschrieben.
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• Doppeltes Abzählen
Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen
S = {s1,…,sn} und T = {t1,…,tm} sei durch eine
Matrix mit n Zeilen und m Spalten und
Einträgen mij beschrieben.
Es gelte:
1 wenn s Rt

mij  
 0
i
j
sonst
23
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• Doppeltes Abzählen
Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen
S = {s1,…,sn} und T = {t1,…,tm} sei durch eine
Matrix mit n Zeilen und m Spalten und
Einträgen mij beschrieben.
Es gelte:
1 wenn s Rt

mij  
 0
i
j
sonst
Eine solche Matrix wird Inzidenzmatrix
genannt.
24
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Kapitel II– Kombinatorik
• Was ist eine Matrix
Eine n x m Matrix ist ein zweidimensionales
Feld mit n Zeilen und m Spalten, deren Einträge
Zahlen sind.
 a11  a1m 


    



 an1  anm 
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• Doppeltes Abzählen
Beispiel: Relation und Inzidenzmatrix
Lemma: In jeder Matrix ist die Summe der Zeilensummen
gleich der Summe der Spaltensummen.
Beweis: Beide Summen ergeben die Summe aller Einträge.
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• Doppeltes Abzählen
Für die Summe der Zeilen- bzw. Spaltensummen (Mr bzw. Mc) einer Inzidenzmatrix gilt:
n
Mr 
 t  T
i 1
m
si Rt 
Mc 
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 s  S
i 1
sRt j 
Kapitel II– Kombinatorik
• Doppeltes Abzählen
Für die Summe der Zeilen- bzw. Spaltensummen (Mr bzw. Mc) einer Inzidenzmatrix gilt:
n
Mr 
 t  T
i 1
m
si Rt 
Mc 
 s  S
i 1
sRt j 
Aus dem Lemma folgt dann das Prinzip der
doppelten Abzählung: Mr = Mc
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• Doppeltes Abzählen
Sei S = T = {1,…,8}. Wir betrachten die Relation
i|j (i ist Teiler von j).
1 2 3 4 5 6 7 8
Die Inzidenzmatrix ist: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
29
2 0
1
0
1
0
1
0
1
3 0
0
1
0
0
1
0
0
4 0
0
0
1
0
0
0
1
5 0
0
0
0
1
0
0
0
6 0
0
0
0
0
1
0
0
7 0
0
0
0
0
0
1
0
8 0
0
0
0
0
0
0
1
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• Doppeltes Abzählen
Sei t(j) = Anzahl von 1’en in Spalte j = Anzahl der
Teiler von j.
Frage: Wieviele Teiler hat eine Zahl von 1 bis 8
im Durchschnitt?
Antwort:
P8
1
avg(8) = 8 i=1 t(j)
=
1+2+2+3+2+4+2+4
8
30
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= 2; 75
Kapitel II– Kombinatorik
• Doppeltes Abzählen
Wie groß ist avg(n) für beliebiges n?
Schwer wenn wir die Spalten addieren.
In der i-ten Zeile stehen jedoch die Vielfachen
von i, nämlich 1i, 2i,…, n/i i, und damit
Mr(i) = n/i
(Anzahl der 1en in der i-ten Zeile)
31
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Kapitel II– Kombinatorik
• Doppeltes Abzählen
Wie groß ist avg(n) für beliebiges n?
Aus Mr(i) = n/i folgt unter Berücksichtigung
des Prinzips des doppelten Abzählens:
avg(n)
1
n
n
j 1
t( j)
1 n n
ni 1 i
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• Doppeltes Abzählen
Wie groß ist avg(n) für beliebiges n?
Aus Mr(i) = n/i folgt unter Berücksichtigung
des Prinzips des doppelten Abzählens:
avg(n)
1
n
n
j 1
t( j )
1 n n
ni 1 i
1
n
33
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n
1 i
n
i
1
1 i
n
i
Kapitel II– Kombinatorik
• Doppeltes Abzählen
Wie groß ist avg(n) für beliebiges n?
Aus Mr(i) = n/i folgt unter Berücksichtigung
des Prinzips des doppelten Abzählens:
avg(n)
1
n
n
j 1
t( j )
1 n n
ni 1 i
1
n
n
1 i
n
i
1
ln n
1 i
n
i
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe
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• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
Bei der Summenregel müssen die zu
vereinigenden Teilmengen disjunkt sein. Das
Prinzip der Inklusion/Exklusion erlaubt uns, die
Kardinalität der Vereinigung zu beschreiben,
wenn die zu vereinigenden Mengen nicht
disjunkt sind.
• Seien S1 und S2 zwei nicht disjunkte Mengen.
Dann gilt: S1 S2 = S1 + S2
S1 S2
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
Beispiel:
Wieviele durch 7 oder 11 teilbare natürliche
Zahlen kleiner gleich 1000 gibt es?
36
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• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
Beispiel:
Wieviele durch 7 oder 11 teilbare natürliche
Zahlen kleiner gleich 1000 gibt es?
Lösung: S1 S 2 S1 S 2 S1 S 2
37
1000
1000
1000
7
11
7 11
142 90 12 220
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
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– Bei der Erweiterung auf die Vereinigung von drei
Mengen (A,B,C) ist zu berücksichtigen, dass
|A|+|B|+|C| jedes Element in genau einer der
Mengen einmal zählt, Elemente in genau zwei der
Mengen zweimal zählt und Elemente in genau drei
der Mengen dreimal zählt.
– Folgt daraus
A B C = A + B + C
A B
A C
B C ?
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
Die grafische Darstellung der Vereinigung von
drei nicht disjunkten Mengen:
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion
Aus der grafische Darstellung der Vereinigung
von drei nicht disjunkten Mengen folgt:
A
B
C = A + B + C
A
A
B
B
A
C
40
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C
B
C +
Kapitel II – Kombinatorik
• Prinzip der Inklusion/Exklusion
Beispiel:
An den Vorlesungen Inf1, LA und DS nehmen
jeweils 1232, 879 und 114 Studierende teil.
103 nehmen an InfI und LA teil,
23 an InfI und DSI und
14 an LA und DSI.
2092 Studierende nehmen an mindestens einer
der Vorlesungen teil.
41
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Kapitel II – Kombinatorik
• Prinzip der Inklusion/Exklusion
Wieviele Studierende nehmen an allen drei
Vorlesungen teil?
Inf1 = 1232, LA = 879, DS = 114.
Inf1 LA = 103, Inf1 DS = 23,
LA DS = 14, Inf1 LA DS = 2092.
Daraus folgt:
Inf1 LA DS =
2092 – 1232 – 879 – 114 + 103 + 23 + 14 = 7
42
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion –
Die Verallgemeinerung auf n Mengen
43
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion –
Die Verallgemeinerung auf n Mengen
• Satz: Seien n endliche Mengen S1,…,Sn gegeben.
Dann gilt:
S1 ... S n
Si
Si S j
1 i n
1 i j n
Si
Sj
Sk
...
1 i j k n
( 1)
n 1
44
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S1
S2
...
Sn
Kapitel II – Kombinatorik
• Das Prinzip der Inklusion/Exklusion –
Die Kardinalität der Vereinigung von vier
Mengen S1,…,S4:
4
S
i 1
45
i
S1
S2
S3
S4
( S1
S2
S1
S3
S1
S4
S2
S3
S2
S4
S3
S4 )
( S1
S2
S3
S1
S2
S3
S4 ) ( S1
S2
S2
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S4
S3
S1
S3
S4 )
S4
Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Satz:
Ist f: X Y eine Abbildung und gilt |X| > |Y|, so
gibt es ein y Y mit |f-1(y)| 2.
“Wenn man n Elemente auf m Fächer verteilt
und n>m ist, dann gibt es mindestens ein Fach,
das 2 Elemente enthält.”
46
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Beispiel:
In jeder Menge von 13 Personen befinden sich
zwei, die im selben Monat Geburtstag haben.
Beispiel:
Wenn 42 Studenten an einer Klausur
teilnehmen, bei der es bis zu 40 Punkte gibt, so
gibt es mindestens zwei Studenten, die die
gleiche Punktzahl haben.
47
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• Das Schubfachprinzip
Satz:
In jeder Menge von P Personen gibt es
mindestens 2 Personen, die die gleiche Anzahl
Personen aus P kennen. (Annahme: die Relation
“kennen” ist symmetrisch.)
48
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Beweis des Satzes auf der letzten Seite:
Sei P = {p1,…,pn}, f: P {0,…,n-1} die Abbildung,
die jeder Person pi P die Anzahl f(pi) zuordnet, die
pi kennt.
49
– Da |P| = n = |{0,…,n-1}| kann das Prinzip nicht direkt
angewendet werden!
– Beachte jedoch, dass entweder
pi P: f(pi) = 0
pi: f(pi) {0,…,n-2} oder
pi P: f(pi) = 0
pi: f(pi) {1,…,n-1}
Daraus folgt: |f(P)|<|P| und mit dem Prinzip der Beweis.
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Satz: In jeder (n+1)-elementigen Teilmenge von
M = {1,2,...,2n} gibt es mindestens zwei Zahlen,
die zueinander teilerfremd sind.
Beweis: Unter je n+1 Zahlen der Menge M gibt
es stets zwei aufeinanderfolgende; diese Zahlen
sind sicher teilerfremd.
□
50
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• Das Schubfachprinzip
Satz: In jeder Menge M bestehend aus sechs
natürlichen Zahlen (M = {a1, …, a6}) gibt es stets
zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist.
Beweis: Wir bilden Teilmengen Ki M mit
Ki = {ai M: bei Division durch 5 bleibt Rest i}.
Nach dem Schubfachprinzip gibt es eine
Teilmenge, die zwei Zahlen enthält, die also
denselben Rest ergeben. Das bedeutet: deren
Differenz
ist
durch
5
teilbar.
□
51
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Behauptung: Sei A {1, 2, …, 2n} mit |A| = n+1.
Dann gibt es immer zwei Zahlen in A, von
denen die eine die andere teilt.
52
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das Schubfachprinzip
Beweis:
Schreibe jedes Element a A in der Form a = 2km
(k ℕ0) wobei m eine ungerade Zahl zwischen 0
und 2n sei.
Eine solche Darstellung finden wir, da jede Zahl von
der Form 2km mit m > 2n - 1 ebenfalls > 2n wäre.
Da |A| = 1 + n, es aber bloß n ungerade Zahlen in
dem Intervall von 0 bis 2n gibt, müssen zwei
Zahlen denselben ungeraden Anteil m haben,
somit eine ein Vielfaches der anderen sein.
□
53
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das verallgemeinerte Schubfachprinzip
Satz:
Ist f: X Y eine Abbildung, so gibt es ein y
mit |f-1(y)| |X|/|Y| .
Y
“Wenn man n Elemente auf m Fächer verteilt,
dann gibt es mindestens ein Fach, das
mindestens n/m Elemente enthält.”
54
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Kapitel II – Kombinatorik
• Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten
Schubfachprinzip
Angenommen keines der Fächer enthält mehr
als |X|/|Y| - 1 Elemente.
55
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• Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten
Schubfachprinzip
Angenommen keines der Fächer enthält mehr
als |X|/|Y| - 1 Elemente.
Dann ist die Anzahl aller Elemente höchstens
Y
X
Y
1
Y
X
Y
1
56
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1
X.
Kapitel II – Kombinatorik
• Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten
Schubfachprinzip
Angenommen keines der Fächer enthält mehr
als |X|/|Y| - 1 Elemente.
Dann ist die Anzahl aller Elemente höchstens
Y
X
Y
1
Y
X
Y
1
1
X.
Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das verallgemeinerte Schubfachprinzip
Beispiel:
Wenn es N = 380 Studierende in dieser
Vorlesung gibt und es gibt 52 Wochen in einem
Jahr, dann muss es mindestens eine Woche
geben, in der mindestens 380/52 = 7.31 = 8
Studierende der Vorlesung Geburtstag haben.
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das verallgemeinerte Schubfachprinzip
Satz:
In jeder Menge von 6 Personen gibt es 3, die
sich alle untereinander kennen oder 3, die sich
alle nicht kennen (wobei die Relation “kennen”
symmetrisch sei).
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das verallgemeinerte Schubfachprinzip
1. Beweis:
Sei A eine der 6 Personen. Von den
verbleibenden 5 Personen kennt A drei oder
mehr, oder A kennt drei oder mehr nicht. Dies
folgt direkt aus dem verallgemeinerten
Schubfachprinzip!
(Forts. n. Seite)
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Kapitel II – Kombinatorik
• 1. Beweis (Fortsetzung):
Im ersten Fall (zweiter Fall analog) nehmen wir
an, dass B,C und D die Person A kennen.
Wenn sich zwei Personen aus B,C,D kennen,
dann erhalten wir mit A die drei Personen, die
sich kennen.
Wenn sich keine zwei Personen aus B,C,D
kennen, dann sind B,C,D die drei Personen, die
sich nicht kennen.
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Kapitel II – Kombinatorik
• 2. Beweis (etwas formaler):
Sei P   p1,..., p6 . Betrachte die Abbildung
 1
"p1 kennt pi "
2,...,6    0,1 mit i  2,...,6   
 0 "p1 kennt pi nicht "
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Kapitel II – Kombinatorik
• 2. Beweis (etwas formaler):
Sei P   p1,..., p6 . Betrachte die Abbildung
 1
"p1 kennt pi "
2,...,6    0,1 mit i  2,...,6   
 0 "p1 kennt pi nicht "
– Aus dem verallgem. Schubfachprinzip folgt: Es gibt
mindestens 3 Leute {p2,…, p6}, die p1 kennen,
oder es gibt mindestens 3 Leute, die p1 nicht
kennen. Wir betrachten die erste Alternative, die
zweite ist analog. O.B.d.A. kennt p1 p2, p3 und p4.
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Kapitel II – Kombinatorik
• 2. Beweis (etwas formaler):
– 1. Fall: pi,pj {p2,p3,p4}: i j und pi kennt pj.
Dann erfüllen {p1,pi,pj} den ersten Teil der
Behauptung.
– 2. Fall: (Komplement des 1. Falls!)
pi,pj {p2,p3,p4}: (i j pi kennt pj nicht).
Dann erfüllen {p2,p3,p4} den zweiten Teil der
Bahauptung.
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Kapitel II – Kombinatorik
• Das verallgemeinerte Schubfachprinzip
– Hinweis:
Die sog. Ramsey-Zahlen R(m,n), mit m,n ℕ und
m,n 2, geben die minimale Anzahl von Personen
aus einer Gruppe an, so dass sich entweder m
Personen kennen oder n Personen nicht kennen.
Wir haben also gezeigt, dass R(3,3) ≤ 6.
Frage: Warum ist R(3,3) = 6?
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