1. Kinematik

Springer-Lehrbuch
S.Brandt · H.D. Dahmen
Mechanik
Eine Einführung in Experiment und Theorie
Vierte Auflage
mit 270 Abbildungen, 10 Tabellen, 52 Experimenten
und 145 Aufgaben mit Hinweisen und Lösungen
123
Professor Dr. Siegmund Brandt
e-mail: [email protected]
Professor Dr. Hans Dieter Dahmen
e-mail: [email protected]
Fachbereich Physik
Universität Siegen
57068 Siegen
Deutschland
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 3-540-21666-9 4. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN 3-540-59319-5 3. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des
Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung
oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei
nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist
auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik
Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
springer.de
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005
Printed in Germany
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch
ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und
Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Satz: Tilo Stroh, Universität Siegen unter Vewendung eines Springer LATEX-Makropakets
Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig
Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem Papier
56/3144/YL - 5 4 3 2 1 0
Vorwort zur vierten Auflage
Der vorliegende Band ist eine Einführung in die Mechanik, die die grundlegenden experimentellen Befunde und die theoretischen Methoden zur Beschreibung und zum Verständnis der physikalischen Vorgänge und ihrer Gesetzmäßigkeiten gleichgewichtig behandelt. Entsprechend dieser Zielsetzung
ist der Band gemeinsam von einem experimentellen und einem theoretischen
Physiker geschrieben worden. Der Inhalt dieses Bandes wird in einem Semester behandelt. Der Stoffumfang entspricht vier Vorlesungsstunden in der
Woche und zusätzlich drei Ergänzungsstunden in kleinen Gruppen. Der Band
wendet sich an Studenten der Physik, Mathematik und Chemie im Grundstudium.
Experimente von grundsätzlicher oder beispielhafter Bedeutung werden
besonders ausführlich und quantitativ beschrieben. Mit Hilfe von stroboskopischen Aufnahmen sind Bewegungsabläufe oft photographisch so dargestellt,
daß der Leser quantitative Messungen an den Abbildungen nachvollziehen
kann. Ergänzt wurde das Beispielmaterial in vielen Fällen durch Computerzeichnungen physikalischer Vorgänge, die ebenfalls streng quantitativ sind.
Die theoretische Begriffsbildung geht nicht wesentlich über die der klassischen Anfängerausbildung hinaus, wird jedoch oft strenger gefaßt und vertieft. Eine knappe Darstellung wird durch konsequente Benutzung von Vektorschreibweise und gelegentlich der Tensorschreibweise erreicht. Die nötigen mathematischen Hilfsmittel werden in einem ausführlichen Anhang bereitgestellt und an vielen Beispielen veranschaulicht. Vorausgesetzt werden
nur elementare Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung.
Für die vierte Auflage wurde die Mechanik sorgfältig durchgesehen und
überarbeitet. Ein unabhängiger Band Elektrodynamik (ebenfalls in vierter
Auflage) erscheint gleichzeitig.
Wir danken Herrn T. Stroh herzlich für seine Hilfe beim Computersatz
dieser Auflage.
Siegen, Mai 2004
S. Brandt
H. D. Dahmen
Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit
und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Gleichförmig geradlinige Bewegung . . .
1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung . .
1.2.3 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . .
1.2.4 Superposition von Bewegungen . . . . .
1.3 Einheiten von Länge und Zeit. Dimensionen.
Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4
4
4
6
8
. . . .
. . . .
9
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Dynamik eines einzelnen Massenpunktes . . . . . . . . . .
2.1 Schwere Masse. Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kraft als Vektorgröße . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Beispiele von Kräften, Gewicht, Reibungskraft,
Federkraft. Reduzierung der Reibung
durch Luftkissen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Erstes Newtonsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Zweites Newtonsches Gesetz. Träge Masse . . . . . . .
2.5 Drittes Newtonsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Anwendungen: Federpendel. Mathematisches Pendel.
Fall und Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Federpendel
(eindimensionaler harmonischer Oszillator) . .
2.6.2 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Fall und Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Wurf mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
13
13
15
15
.
.
.
.
17
21
21
27
.
27
.
.
.
.
.
.
28
33
36
38
41
42
VIII
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
Inhaltsverzeichnis
Kraftfelder. Feldstärke. Gravitationsgesetz . . . . . .
Potential. Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . .
Konservatives Kraftfeld als Gradient des Potentialfeldes
Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieerhaltungssatz für konservative Kraftfelder . .
Einheiten der Energie. Leistung und Wirkung . . . . .
Drehimpuls und Drehmoment . . . . . . . . . . . . .
Bewegung im Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung im zentralen Gravitationsfeld . . . . . . .
Beschreibung der Planetenbewegung im Impulsraum .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Dynamik mehrerer Massenpunkte . . . . . . . .
3.1 Impuls eines Systems zweier Massenpunkte.
Schwerpunkt. Impulserhaltungssatz . . . . . .
3.2 Verallgemeinerung auf mehrere Massenpunkte.
Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . .
3.4 Drehimpuls. Drehimpulserhaltungssatz . . . .
3.5 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
3.5.2 Planetenbewegung . . . . . . . . . .
3.5.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . .
3.6 Mehrkörperproblem . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Numerische Lösung . . . . . . . . .
3.6.2 Beispiele zum Dreikörperproblem . .
3.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
44
51
53
54
55
57
58
59
59
66
69
. . . . . .
73
. . . . . .
73
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
79
84
86
86
88
89
92
92
94
96
4 Starrer Körper. Feste Achsen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit
und Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Impuls. Zentripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment. Bewegungsgleichung
4.4 Bewegung im Schwerefeld. Physikalisches Pendel . . .
4.5 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Rotationsenergie. Energieerhaltung . . . . . . . . . . .
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
99
.
.
.
.
.
.
.
99
101
102
106
109
111
112
5 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . .
5.1 Translationen . . . . . . . . . .
5.2 Rotation des Koordinatensystems
5.3 Galilei-Transformationen . . . .
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
117
117
121
123
127
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inhaltsverzeichnis
6 Nichtinertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zeitabhängige Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Gleichförmig rotierendes Bezugssystem. Zentrifugalkraft.
Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
.
.
.
131
131
133
.
.
135
143
7 Starrer Körper. Bewegliche Achsen . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Die Freiheitsgrade des starren Körpers . . . . . . . . . .
7.2 Eulersches Theorem. Zeitableitung beliebiger Vektoren . .
7.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment des starren Körpers
bei Rotation um einen festen Punkt . . . . . . . . . . . .
7.4 Trägheitstensoren verschiedener Körper.
Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Drehimpuls und Trägheitsmoment um feste Achsen . . . .
7.6 Trägheitsellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Bewegungsgleichungen des starren Körpers.
Drehimpulserhaltungssatz. Eulersche Gleichungen . . . .
7.9 Kinetische Energie des starren Körpers.
Translationsenergie. Rotationsenergie. Energieerhaltungssatz
7.10 Kräftefreier Kugelkreisel . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Kräftefreie Rotation um eine Hauptträgheitsachse . . . . .
7.12 Kräftefreie Rotation um eine beliebige Achse.
Poinsotsche Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.14 Kreisel unter der Einwirkung von Kräften.
Larmor-Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Ungedämpfte Schwingung. Komplexe Schreibweise . . .
8.3 Phasenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Erregter Oszillator. Schwingungsgleichung . . . .
8.5.2 Lösung der Schwingungsgleichung . . . . . . . .
8.5.3 Stationäre Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
8.5.4 Energie- und Leistungsbilanz. Resonanz . . . . .
8.5.5 Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.6 Grenzfall verschwindender Dämpfung. Schwebung
8.5.7 Resonanzkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . .
148
148
151
152
157
161
162
164
165
168
171
172
178
180
184
186
189
189
190
192
194
201
201
204
206
209
215
217
219
X
Inhaltsverzeichnis
8.6
8.7
Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
232
9 Nichtlineare Dynamik. Deterministisches Chaos . . . . . . .
9.1 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Lineare Bewegungsgleichung. Stabilität. Fixpunkte . . . .
9.3 Nichtlineare Bewegungsgleichung. Linearisierung . . . .
9.4 Grenzmengen. Attraktoren. Poincaré-Darstellung . . . . .
9.5 Stabile und seltsame Attraktoren. Deterministisches Chaos
9.6 Feigenbaum-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
233
239
249
254
258
260
263
268
10 Wellen auf ein- und zweidimensionalen Trägern
10.1 Longitudinale Wellen . . . . . . . . . . . .
10.2 Transversale Wellen . . . . . . . . . . . . .
10.3 Allgemeine Lösung der Wellengleichung . .
10.4 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . .
10.5 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . .
10.6 Energiedichte und Energiestromdichte . . .
10.7 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Laufende Welle auf eingespannter Saite . . .
10.10 Membranschwingungen . . . . . . . . . . .
10.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
270
270
273
276
277
280
281
284
291
296
299
303
11 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Elastische Körper . . . . . . . . .
11.2 Dehnung . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Dehnung und Querkontraktion . .
11.4 Spannungs- und Verzerrungstensor
für den längsverzerrten Quader . .
11.5 Lokaler Verzerrungstensor . . . . .
11.6 Lokaler Spannungstensor . . . . .
11.7 Kraftdichte . . . . . . . . . . . .
11.8 Lokales Hookesches Gesetz . . . .
11.9 Scherung . . . . . . . . . . . . .
11.10 Torsion . . . . . . . . . . . . . .
11.11 Biegung . . . . . . . . . . . . . .
11.12 Aufgaben . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
307
307
310
312
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
314
320
326
330
332
333
337
341
345
Inhaltsverzeichnis
12 Wellen in elastischen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Eulersche Bewegungsgleichung elastischer Medien . . . .
12.2 Zerlegung in Quell- und Wirbelfeld . . . . . . . . . . . .
12.3 Das Quellfeld. Longitudinalwellen
im unendlich ausgedehnten Medium . . . . . . . . . . .
12.4 Das Wirbelfeld. Transversalwellen
im unendlich ausgedehnten Medium . . . . . . . . . . .
12.5 Verzerrungs- und Spannungstensoren
von Transversal- und Longitudinalwellen . . . . . . . . .
12.6 Reflexion und Brechung
der Transversal- und Longitudinalwelle an der Oberfläche
eines Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Transversal- und Longitudinalwellen in einer Materialplatte
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Deformation eines Flüssigkeitselementes . . . . . . .
13.2 Rotations- und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor . .
13.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Konservative äußere und innere Kräfte . . . . . . . .
13.5 Ideale Flüssigkeiten. Eulersche Bewegungsgleichung .
13.6 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Gleichförmig rotierende, inkompressible,
ideale Flüssigkeit im Schwerefeld . . . . . . . . . . .
13.8 Stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit.
Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Energiesatz für die nichtstationäre Strömung
der idealen Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.10 Spannungstensor der Reibung einer zähen Flüssigkeit.
Stokessches Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
13.11 Navier–Stokes-Gleichung. Ähnlichkeitsgesetze . . . .
13.12 Strömung durch Röhren. Hagen–Poiseuille-Gesetz . .
13.13 Reibungswiderstand einer Kugel
in einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz
13.14 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
XI
349
349
351
352
355
357
359
364
367
.
.
.
.
.
.
.
372
372
374
378
379
382
383
. .
386
. .
390
. .
393
. .
. .
. .
396
400
402
. .
. .
405
406
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . . .
408
408
409
409
409
Anhang
A Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1 Begriff des Vektors . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise .
A.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
A.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren .
XII
Inhaltsverzeichnis
.
.
.
.
.
411
412
413
414
416
.
.
.
.
.
.
.
.
.
416
419
422
422
423
424
425
427
428
431
B Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1 Basistensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Allgemeine Tensoren. Rechenregeln . . . . . . . . . . .
B.3 Darstellung durch Links- und Rechtsvektoren . . . . . . .
B.4 Produkt von Tensor und Vektor . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Produkt zweier Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise . . . . . . . . . . .
B.7 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.8 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.9 Matrixinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.10 Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren
B.11 Abbildungen durch einfache Tensoren . . . . . . . . . . .
B.12 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.13 Infinitesimale Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.14 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.15 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . .
B.16 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
433
433
436
436
438
439
440
442
444
445
446
452
457
458
461
466
C Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1 Skalarfelder und Vektorfelder . . . . . . . . . . .
C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient
C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten
C.4 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.6 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.7 Totale Zeitableitung . . . . . . . . . . . . . . . .
468
468
470
477
478
481
484
485
A.3
A.4
A.5
A.6
A.2.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.6 Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise . . . . . . .
A.3.1 Einheitsvektor. Kartesisches Koordinatensystem.
Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . .
A.4.1 Vektor als Funktion eines Parameters. Ortsvektor
A.4.2 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtkartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . .
A.5.1 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
Inhaltsverzeichnis
C.8 Einfache Rechenregeln für den Nabla-Operator
C.9 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.10 Wegunabhängiges Linienintegral.
Potentialfunktion eines Vektorfeldes . . . . .
C.11 Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . . . .
C.12 Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . .
C.13 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . .
C.14 Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . .
C.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D Taylor-Reihen
. . . . . .
. . . . . .
486
487
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
491
492
499
502
506
508
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
511
E Komplexe Zahlen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F Die wichtigsten SI-Einheiten der Mechanik
514
. . . . . . . . .
520
. . . . . . . . . . . .
522
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
545
Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben
Sachverzeichnis
XIII
1. Kinematik
Als Kinematik bezeichnet man die reine Beschreibung von Bewegungsvorgängen. Man bemüht sich dabei nicht, die Ursachen der Bewegung zu untersuchen. Es handelt sich daher in der Kinematik eigentlich um rein mathematische Aufgabenstellungen.
1.1 Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit
und Beschleunigung
Inhalt: Ort eines Massenpunktes als zeitabhängiger Vektor. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind die erste bzw. zweite Zeitableitung des Ortsvektors.
Bezeichnungen: r(t) Ortsvektor, v(t) Geschwindigkeitsvektor, a(t) Beschleunigungsvektor, t Zeit.
Wir wollen uns in diesem Abschnitt auf Bewegungen von Objekten beschränken, die durch Angabe eines einzigen Raumpunktes charakterisiert werden
können. Ein solches Objekt nennen wir Massenpunkt, obwohl wir den Begriff
der Masse noch nicht benötigen.
Der Ort eines Massenpunktes ist durch seinen Ortsvektor r bestimmt. Das
ist ein Vektor, der einen festen Punkt, den Aufpunkt, mit dem Ort des Massenpunktes verbindet. Als Aufpunkt wird oft der Ursprung eines Koordinatensystems gewählt, jedoch ist der Ortsvektor völlig unabhängig von einem
bestimmten Koordinatensystem definiert. Es ist sinnvoll, allgemeine Beziehungen unabhängig vom Koordinatensystem zu formulieren und erst im Bedarfsfall ein an das jeweilige Problem angepaßtes Koordinatensystem zu wählen. Für einen bewegten Massenpunkt ist ein Ortsvektor von der Zeit abhängig
und beschreibt die Bahnkurve des Massenpunktes
r = r(t)
.
(1.1.1)
Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit ist ebenfalls ein Vektor,
v(t) =
Er heißt Geschwindigkeitsvektor.
dr(t)
= ṙ(t)
dt
.
(1.1.2)
2
1. Kinematik
(Die Kennzeichnung der zeitlichen Ableitung einer Größe durch einen
darübergesetzten Punkt stammt von Newton, die Schreibweise d/dt von Leibniz. Beide haben die Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwikkelt.)
Die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors definieren wir als
Beschleunigungsvektor
a(t) =
dv(t)
d2 r(t)
= r̈(t)
= v̇(t) =
dt
dt2
.
(1.1.3)
Die Ableitung einer vektoriellen Funktion x(t) nach dem Parameter t ist
im Abschn. A.4 behandelt. Wir veranschaulichen hier den Begriff des Geschwindigkeitsvektors noch einmal an Hand von Abb. 1.1. Ein Massenpunkt
bewegt sich auf einer Bahnkurve. Dabei durchläuft er zur Zeit t = t 0 den
Punkt x0 . Nach Ablauf von τ, 2τ, . . . , 4τ erreicht er die Punkte x1 , x2 , . . . , x4 .
Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t0 ist durch den Grenzwert
(a)
(b)
(c)
(d)
Abb. 1.1 a–d. Zur Definition von Geschwindigkeit und Beschleunigung
1.1 Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung
3
x(t0 + ∆t) − x(t0 )
dx
(t0 ) = lim
∆t→0
dt
∆t
v0 = v(t0 ) =
gegeben. In Abb. 1.1b sind eine Reihe von Differenzenquotienten
x4 − x0
4τ
x3 − x0
3τ
,
,
...
wiedergegeben, die in Richtung der Sekanten x4 − x0 , x3 − x0 , . . . zeigen
und schließlich auch der Differentialquotient v 0 , der Tangentenrichtung hat.
In Abb. 1.1c sind die zu den Orten x0 , . . . , x4 bzw. t0 , . . . , t4 gehörenden
Geschwindigkeitsvektoren v0 , . . . , v4 eingetragen. Trägt man die Geschwindigkeitsvektoren bezüglich eines gemeinsamen Ursprungs auf (Abb. 1.1d),
so erhält man die Bahnkurve des Massenpunktes im Geschwindigkeitsraum.
Hier kann man leicht wieder eine zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors zu jeder Zeit bilden und so die Beschleunigungsvektoren a 0 , . . . , a4
(allgemein a(t)) gewinnen, die die momentane Änderung der Geschwindigkeitsvektoren angeben und Tangentialrichtung bezüglich der Bahnkurve im
Geschwindigkeitsraum haben.
Die Kenntnis der Geschwindigkeit erlaubt eine Vorhersage über die infinitesimale Ortsänderung:
r(t + dt) = r(t) +
dr(t)
dt = r(t) + v(t) dt
dt
oder für die Ortsänderung über größere Zeiten, etwa zwischen t = t0 und
t = t,
t =t
r(t) = r(t0 ) +
t =t
v(t ) dt
.
(1.1.4)
0
Ganz entsprechend der Herleitung von (1.1.4) kann man nun aus der
Kenntnis der Beschleunigung die Geschwindigkeit vorhersagen,
v(t + dt) = v(t) +
v(t ) = v(t0 ) +
dv(t)
dt = v(t) + a(t) dt
dt
t =t
t =t0
a(t ) dt
,
.
(1.1.5)
Einsetzen in (1.1.4) liefert
r(t) = r(t0 ) +
t =t
= r(t0 ) +
t =t
0
t =t
t =t0
v(t ) dt
v(t0 ) +
= r(t0 ) + (t − t0 )v(t0 ) +
t =t
t =t0
t =t
t =t0
a(t ) dt
t =t
t =t0
dt
a(t ) dt
dt
. (1.1.6)
4
1. Kinematik
Dieses Verfahren, den Ort eines Massenpunktes zu beliebiger Zeit aus den
Anfangsbedingungen – Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t0 – und der Kenntnis der Beschleunigung während des ganzen Zeitraumes zwischen t 0 und t
vorherzusagen, ist eine typische Aufgabe der Mechanik. Die Tatsache, daß
wir uns mit der Beziehung (1.1.6) begnügen und nicht noch höhere Ableitungen einbeziehen, liegt daran, daß man oft gerade ein Gesetz kennt, das die
Beschleunigung als Funktion der Zeit angibt.
1.2 Anwendungen
Inhalt: Die unbeschleunigte Bewegung verläuft geradlinig gleichförmig, die Bewegung mit
konstanter Beschleunigung auf einer Parabelbahn. Die gleichförmige Bewegung auf einer
Kreisbahn erfordert eine Zentripetalbeschleunigung konstanten Betrages auf den Kreismittelpunkt hin.
Bezeichnungen: r, v, a Vektoren von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung; t Zeit;
ex , ey ortsfeste Basisvektoren; er , eϕ mitbewegte Basisvektoren; ϕ Azimutwinkel, ω Winkelgeschwindigkeit.
1.2.1 Gleichförmig geradlinige Bewegung
Als einfachstes Beispiel betrachten wir den Fall einer Bewegung ohne Beschleunigung
a(t) = 0 ,
v(t) = const = v0 .
(1.2.1)
Aus (1.1.4) erhalten wir
r(t) = r(t0 ) +
t =t
t =t0
v0 dt = r(t0 ) + v0 (t − t0 )
.
(1.2.2)
Das gleiche Ergebnis lesen wir auch sofort aus (1.1.6) ab. Es ist in Abb. 1.2
graphisch dargestellt. Der Massenpunkt bewegt sich auf einer Geraden, die in
Richtung v0 durch den Punkt r(t0 ) läuft. Die Bewegung erfolgt gleichförmig,
d. h. in gleichen Zeitintervallen ∆t werden gleiche Strecken |∆r| zurückgelegt.
1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Wir machen jetzt die Annahme, daß die Beschleunigung zwar nicht verschwindet, jedoch konstant bleibt
a(t) = const = a0
Einsetzen in (1.1.6) ergibt
.
(1.2.3)
1.2 Anwendungen
5
Abb. 1.2. Gleichförmig geradlinige
Bewegung
r(t) = r(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a0
t =t
t =t0
t =t
t =t0
dt dt
.
Der letzte Term kann sehr einfach stufenweise integriert werden und liefert
zunächst
a0
Benutzen wir jetzt
t =t
t =t0
(t − t0 ) dt
τ = t − t0
.
mit dτ = dt
als neue Integrationsvariable, so erhalten wir
1 t−t0
1
τ dτ = a0 τ 2
= a0 (t − t0 )2 .
0
2
2
τ =0
Damit wird die Bahnkurve eines gleichmäßig beschleunigten Massenpunktes
durch
1
r(t) = r(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a0 (t − t0 )2
(1.2.4)
2
beschrieben. Sie ist in Abb. 1.3 dargestellt und kann als Überlagerung (Superposition) einer geradlinig gleichförmigen Bewegung in Richtung der Anfangsgeschwindigkeit v(t0 ), gegeben durch die beiden ersten Terme in (1.2.4),
a0
τ =t−t0
6
1. Kinematik
Abb. 1.3. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
und einer geradlinig beschleunigten Bewegung in Richtung von a 0 aufgefaßt
werden. Der Begriff Superposition besagt, daß der Ortsvektor der Gesamtbewegung des Massenpunktes zu jeder Zeit t die Vektorsumme der Ortsvektoren
dieser beiden Einzelbewegungen zur Zeit t ist.
1.2.3 Gleichförmige Kreisbewegung
Die gleichförmige Kreisbewegung eines Massenpunktes führt auf kinematische Gleichungen, die häufig Anwendung in vielen Teilgebieten der Physik,
z. B. in der Schwingungslehre, finden. Sie wird daher sehr ausführlich behandelt.
Zur Beschreibung der Bewegung wählen wir die ebenen Polarkoordinaten
aus Abschn. A.5.3 mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises (Abb. A.19
und A.20). Das Basissystem ex , ey bezeichnen wir als ortsfest, während das
Basissystem er , eϕ sich mit dem Massenpunkt mitbewegt. Die Kreisbewegung
heißt gleichförmig, wenn ϕ linear mit der Zeit wächst,
ϕ = ωt
,
ω = const .
(1.2.5)
(Der Nullpunkt der Zeitzählung wurde so gewählt, daß ϕ = 0 für t = 0.)
Wegen
dϕ
ϕ̇ =
=ω
dt
1.2 Anwendungen
7
Abb. 1.4. Gleichförmige Kreisbewegung: Kreisbahn des Ortsvektors r (oben links), Zeitabhängigkeit seiner x-Komponente (darunter) bzw. y-Komponente (rechts daneben) und entsprechende Darstellungen für den Geschwindigkeitsvektor v und den Beschleunigungsvektor
a. Für den gleichen festen Zeitpunkt sind die Vektoren als Pfeile und ihre Komponenten als
gestrichelte Linien markiert
heißt ω die Winkelgeschwindigkeit. Im mitbewegten Koordinatensystem ist
der Ortsvektor
r = r er (ϕ) ,
r = const .
(1.2.6)
Den Geschwindigkeitsvektor erhalten wir durch Ableitung nach der Zeit (unter Benutzung von (A.5.21))
dr(ϕ)
dr(ϕ) dϕ
dr(ϕ)
d
=
=ω
=ω
[rer (ϕ)]
dt
dϕ dt
dϕ
dϕ
der (ϕ)
v = ωr
= ωreϕ ,
dϕ
v =
,
(1.2.7)
8
1. Kinematik
v = ωr(− sin ωt ex + cos ωt ey ) .
Die Geschwindigkeit steht also immer senkrecht auf dem Ortsvektor und hat
den Betrag v = ωr.
Die nochmalige Ableitung von (1.2.7) liefert den Beschleunigungsvektor
dv(ϕ)
deϕ (ϕ)
deϕ (ϕ) dϕ
= ωr
= ωr
= −ω 2 rer (ϕ) (1.2.8)
dt
dt
dϕ dt
a = −ω 2 r(cos ωt ex + sin ωt ey ) .
a =
Die Beschleunigung hat den Betrag
|a| = rω 2
(1.2.9)
und ist immer zum Kreismittelpunkt hin gerichtet. Sie heißt Zentripetalbeschleunigung. Abbildung 1.4 zeigt graphisch die Zeitabhängigkeit von Orts-,
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor und ihrer Komponenten.
1.2.4 Superposition von Bewegungen
In der Gleichung (1.2.4) haben wir gesehen, daß eine Bewegung als Superposition anderer aufgefaßt werden kann. Insbesondere gilt das Superpositionsprinzip für die Komponenten xi (t), i = 1, 2, 3, der Zerlegung
r(t) = x1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3
(1.2.10)
des Ortsvektors mit orts- und zeitunabhängigen Basisvektoren e 1 , e2 , e3 . In
diesem Fall sind die Komponenten vi des Geschwindigkeitsvektors
v(t) = v1 (t)e1 + v2 (t)e2 + v3 (t)e3
die Zeitableitungen der Komponenten des Ortsvektors,
vi (t) =
dxi
dt
,
i = 1, 2, 3 .
(1.2.11)
Ganz entsprechend gilt für die Komponenten ai der Beschleunigung
a(t) = a1 (t)e1 + a2 (t)e2 + a3 (t)e3
(1.2.12)
die Beziehung
dvi
d 2 xi
.
(1.2.13)
=
dt
dt2
Wie Gleichung (1.2.7) für die Kreisbewegung zeigt, gilt dieser einfache Zusammenhang zwischen den Komponenten von Ort und Geschwindigkeit nicht
bei Zerlegungen mit ortsabhängigen (und damit zeitabhängigen) Basisvektoren, wie z. B. er und eϕ .
ai =