Mathematik in der Musik

Kapitel 2
Mathematik in der Musik
Oh, jetzt kommen aber zwei Themen, die völlig unvereinbar sind. Was soll denn
bloß diese trockene Mathematik mit der wunderbaren Musik am Hut haben? Neben dieser etwas abwertend klingenden Meinung höre ich aber auch manchmal das
ganze Gegenteil. Manche erinnern sich an ein Ärzte-Orchester und erklären dann,
dass Mediziner häufig musikalisch sind. Und genau das wird dann auch manchmal
Mathematikern nachgesagt. Nun, ich kann das nicht so ganz ablehnen.
So haben wir seinerzeit in unserem Institut für Angewandte Mathematik und dem
Institut für Mathematik zweimal eine volle Oper aufgeführt mit vier Solisten, die
zum Teil unsere Ehepartner waren, einem Chor und einem 10-köpfigen Orchester.
Bis auf zwei Ehepartner also eine rein mathematische Besetzung.
Hier in diesem Kapitel wollen wir wie schon bei der Kunst der anderen Frage
nachgehen, wo denn in der Musik die Mathematik eine Rolle spielt.
2.1
Wohltemperierte Klaviere
Wer kennt nicht die berühmte Sammlung von 24 Präludien und Fugen in allen zwölf
Dur- und Moll-Tonarten von Johann Sebastian Bach. Warum nur hat Bach diese
Sammlung wohltemperiert genannt? Das kann doch mit Temperatur im herkömmlichen Sinn nichts zu tun haben.
Zunächst also ein Wort zu Erklärung des Begriffes „wohltemperiert“. Hier steckt
das lateinische Verb temperare dahinter. Das bedeutet, wenn ich meinen alten Stowasser aus der Schulzeit zu Rate ziehe: warm machen, lau machen. Im metaphorischen Sinn bedeutet es dann aber auch: etwas in das gehörige Maß bringen, etwas
richtig mischen. Und das ist hier die richtige Bedeutung für die Temperatur eines
Tasteninstrumentes. Warum das richtig ist, wollen wir jetzt erklären.
N. Herrmann, Mathematik und Gott und die Welt, DOI 10.1007/978-3-642-37855-3_2,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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2
Mathematik in der Musik
Die reine oder pythagoräische Stimmung
Vielleicht haben Sie mal Gitarre gespielt oder Geige oder ein anderes Saiteninstrument. Dann wissen Sie, wenn Sie eine Saite genau in der Mitte herunterdrücken,
erklingt die Oktave des ursprünglichen Tons. Wenn Sie dann weiter mit der Saite
spielen und an weiteren Stellen herunterdrücken, was bei der Gitarre durch die Bünde erleichtert wird, so finden Sie vielleicht durch Probieren, dass wieder ein zum
Grundton passender Ton erklingt, wenn Sie bei einem Drittel herunterdrücken, also
zwei Drittel der Saite klingen lassen. Das ist genau die Quinte. So geht das weiter.
Für die Quarte haben wir das Verhältnis der Saite als drei Viertel, die große Terz
erklingt bei vier Fünftel, die kleine Terz bei fünf Sechstel der Saite. Jetzt kommt ein
Sprung. Das nächst kleinere Intervall, die Sekunde hört man, wenn man ein Neuntel
der Saite herunterdrückt, also wenn acht Neuntel klingen. Das ist doch irgendwie
verblüffend, dass angenehme Töne erklingen, wenn wir die Saite in solchen einfachen Verhältnissen teilen. Wir stellen das als Ergebnis zusammen:
Intervall
Seitenverhältnis
Oktav
Quinte
Quarte
Große Terz
Kleine Terz
Sekunde
1W2
2W3
3W4
4W5
5W6
8W9
Es scheint, als ob die Sekunde aus der Reihe herausfällt, aber wir können uns ihr
Verhältnis leicht zusammenrechnen. Die Sekunde ist der Unterschied von der Quarte zur Quinte. Um sie zu erreichen, müssen wir also von der Quarte ausgehen und
ein weiteres noch unbekanntes Verhältnis, nennen wir es x, abgreifen. Wir rechnen
also
3
4
x D
2
3
H)
xD
4
3
2
3
D 89 ;
und schon steht das Verhältnis der Sekunde da, wenn wir die einfache Bruchrechnung beachten.
Erstaunlich ist dabei, dass bereits Pythagoras vor ca. 2500 Jahren feststellte, dass
die Intervalle schön klingen, wenn die Längen der Saite in solch einfachen Verhältnissen kleiner natürlicher Zahlen stehen. Das ist ein Naturphänomen. Eine reine
Quinte ergibt sich nicht bei einer Teilung von 3.107534 : 3.981307, nein, die Saite
muss genau im Verhältnis 3 : 4 geteilt werden. Das ist doch reichlich erstaunlich.
2.1 Wohltemperierte Klaviere
27
Das Pythagoräische Komma
Es war der Pythagoräer Philolaos, der sich genauer mit den Intervallen befasste und
eine erstaunliche Entdeckung machte. Er berechnete zuerst das Verhältnis für eine
kleine Sekunde, also einen Halbton, als Unterschied h zwischen zwei aufeinanderfolgenden großen Sekunden und der Quart:
8
9
8
9
hD
3
4
H)
hD
9
8
9
8
3
4
D
243
:
256
Auf dem Klavier sind nun zwei kleine Sekunden stets eine große Sekunde, wir
sagen auch, zwei Halbtöne ergeben einen Ganzton. Aber was sagt die Mathematik
dazu? Wir rechnen mal:
Zwei Halbtöne h nacheinander ergeben das Verhältnis
243
256
243
256
D 0;901016235:
Ein Ganzton aber war
8
9
D 0;88888888:
Beide Zahlen stimmen nicht überein, zwei Halbtöne sind also etwas höher als ein
Ganzton. Den genauen Unterschied findet man zuerst bei Euklid. Zu Ehren von
Philolaos aber heißt dieser Unterschied Pythagoräisches Komma. Es ist das kleine
Intervall, nennen wir es x, zwischen zwei Halbtönen und dem Ganzton:
243
256
243
256
x D
8
9
H)
xD
524:288
531:441
Euklid hat diese letzte Formel noch etwas umgestellt:
xD
524:288
531:441
D
219
312
H)
1 7
2
x D
2 12
3
Diese Gleichung kann man jetzt so interpretieren: Links mit dem Verhältnis 1 W 2
stehen Oktaven. Die Hochzahl sagt uns, dass wir sieben Oktaven durchschritten
haben. Rechts steht das Verhältnis 2 W 3, also Quinten. Davon haben wir zwölf
durchschritten. Und wieder kommen wir nicht genau dorthin, sondern auch hier
steht das pythagoräische Komma im Weg.
Wir versuchen noch einen dritten Weg. Das haben wir in unserer Jugend gespielt.
Wer kann mit sechs Ganztönen zur sauberen Oktave gelangen? Auf dem Klavier
sieht man, dass das geht. Wir hatten beim Singen Schwierigkeiten. Vielleicht lagen
die ja in der Mathematik. Wir führen bei der folgenden Rechnung, gewarnt durch
den oben aufgetretenen Unterschied, wieder ein unbekanntes Intervall, das wir auch
hier x nennen wollen, ein und erhalten:
8 6
6
12
12
x D 12 H) x D 986 12 D 3218 12 D 3219 D 524:288
9
531:441
x ist also wieder unser pythagoräisches Komma von oben.
28
2
Mathematik in der Musik
Pythagoräische Stimmung
Das hat nun erhebliche Auswirkungen, wenn man ein Klavier stimmen will. Dabei
nutzt man aus, dass sich bei etwas verstimmten Quinten und Quarten ein Schwirren oder Schweben bemerkbar macht. Menschen mit gutem Gehör können Quinten
und Quarten rein stimmen. Wenn wir also ein Klavier oder eine Orgel rein stimmen wollen, so beginnen wir mit einer Stimmgabel beim Kammerton a, stimmen
dann alle a der ganzen Klaviatur und arbeiten schließlich immer schön in Quinten aufwärts. Wenn wir zwölfmal nacheinander eine Quinte höher gehen, kommen
wir wieder zum a, dieses liegt aber sieben Oktaven höher und stimmt nicht mit der
sauber gestimmten siebten Oktave überein. Pythagoras zu Ehren nennt man eine
solche reine Stimmung pythagoräische Stimmung. Zwölf saubere Quinten sind leider nicht sieben saubere Oktaven. Man stimmt und stimmt so rein wie möglich, und
dann kommt die Mathematik und sagt „Ätsch, so geht das nicht!“. Hässlicherweise
hat man die letzte der zwölf Quinten, die wieder zum Ausgangston zurückführt,
Wolfsquinte genannt, weil die so schrecklich heult.
Man konnte mit dieser Stimmung zwar einige Tonarten gut spielen, wenn man
die schwarzen Tasten möglichst vermieden hat. Das war bei der einfachen Melodik des Mittelalters kein so richtiges Problem. Wenn man aber in andere Tonarten
übergehen wollte, gab es Misstöne.
Das ist wohl auch der Grund, warum die meisten Geigenkonzerte in A-Dur, GDur oder D-Dur stehen. Die Geige mit den Saiten G, D, A und E wird ja rein
gestimmt, vom Kammerton A ausgehend, den die Oboe vorgibt. Dann sind diese
Tonarten gut anzuhören.
Mitteltönige Stimmung
Zur Lösung dieses Problems bei der reinen Stimmung gab es verschiedene Vorschläge. In der Renaissance wurden in der Musik Terzen sehr wichtig. Also stimmte
man seine Gambe so, dass die Terzen zumindest in zwei oder drei der hauptsächlich verwendeten Tonarten gut klangen. Diese Stimmung ist dann schon in unserem
oben erklärten Wortsinn temperiert, also angepasst. Sie heißt mitteltönige Stimmung. Da konnte man dann in C-Dur, G-Dur oder F-Dur schwelgen, aber wehe,
wenn einem Sänger einfiel, mal ein Lied in As-Dur mit den vier [ vorzutragen, so
klang das sehr schlimm und unsauber. Diese mitteltönige Stimmung war damals
sehr verbreitet.
Eine Abhilfe versuchte man dadurch, dass man die schwarzen Tasten auf dem
Klavier teilte, also zweifach belegte.Viele schwarze Tasten bestanden also aus zwei
dünneren nebeneinander liegenden Tasten. Dann musste der Spieler also, wenn er
in A-Dur spielte, als Terz das Cis greifen, spielte er aber in As-Dur, so musste er als
Quart das etwas links liegende Des spielen. Das war natürlich mühsam und regte
nicht dazu an, in verschiedenen Tonarten zu spielen.
2.1 Wohltemperierte Klaviere
29
Werckmeister III, die wohltemperierte Stimmung
Der Musikjournalist Klemens Hippe schreibt in seinem Internetbeitrag: Dumm gefragt: Was heißt eigentlich wohltemperiert?
Die wohltemperierte Stimmung ist die Kunst, ein Klavier so falsch zu stimmen, dass man auf ihm alle Tonarten spielen kann.
Genau das überlegte sich schon zu Bachs Zeiten Andreas Werckmeister. Er experimentierte und rechnete, um dieses verflixte Komma zumindest unhörbar zu machen.
Zwischen 1681 und 1691 veröffentlichte er verschiedene Stimmungen, die er dann
wohltemperiert, also gut angepasst nannte. Durchgesetzt hat sich seine berühmte wohltemperierte Stimmung III. Darin bestimmte er, dass dieses Pythagoräische
Komma in vier gleiche Teile zerlegt wird. Dann werden jeweils die Quinten C-G,
G-D, D-A und H-Fis um dieses Viertel kleiner gemacht. Die anderen Quinten werden rein gestimmt.
Das hört sich reichlich zufällig an, aber diese kleinen Unterschiede in den vier
Quinten sind kaum wahrnehmbar. So wurde die ganze Tonskala in das richtige Maß
gebracht, halt wohltemperiert. Dabei hatte Werckmeister eine andere wichtige Eigenschaft behalten, dass nämlich die Tonarten ihre eigene Charakteristik haben. Sie
klingen wegen der unterschiedlich rein gestimmten Intervalle jede ganz eigen.
Die Möglichkeit, mit dieser Stimmung alle Tonarten auf dem Klavier oder dem
Cembalo spielen und ihre charakteristischen Eigenheiten hervorheben zu können,
faszinierte daraufhin Johann Sebastian Bach, und er komponierte seine Sammlung
von 24 Preludien und Fugen in allen 12 Dur- und Molltonarten. Er wollte damit also
die Unterschiede in den Tonarten hervorheben und sie hörbar machen.
Was manchmal den Hauch von Esoterik hervorruft, wenn z. B. Richard Wagner
seinen Lohengrin nur in A-Dur singen lässt, weil diese Tonart für ihn strahlend und
heldenhaft klang, hat also seinen Hintergrund in der wohltemperierten Stimmung III
von Andreas Werckmeister.
Die gleichtemperierte Stimmung
In der Folgezeit wurde noch an weiteren Stimmungen herumexperimentiert, wir
wollen nur die Namen Johann Georg Neidhardt und Georg Andreas Sorge erwähnen. Heute im Zeitalter der Elektronik gibt es aber Geräte, die uns beim Stimmen
das Leben leicht machen. Sie zeigen durch einen Zeigerausschlag genau an, wann
der Ton richtig gestimmt ist. Das hat aber einen Nachteil. Diese Elektronik nimmt
keine Rücksicht auf wohltemperierte Stimmungen, sondern teilt die Oktave einfach
in gleichgroße Tonintervalle. Dies ergibt dann die gleichtemperierte Stimmung.
Jetzt kommt wieder die Mathematik ins Spiel.
Damit wir uns ganz eng beim Stimmvorgang aufhalten, rechnen wir jetzt in Frequenzen. Wir beginnen ja mit der Stimmgabel beim Kammerton a, der heutzutage
30
2
Mathematik in der Musik
mit 440 Hz festgelegt ist. Die Oktave a1 hat dann 880 Hz. Die ganze Oktave wollen
wir jetzt in zwölf gleichgroße Tonintervalle einteilen. Dazu müssen wir also zwölf
gleiche Schritte mit der Frequenz k machen. Das heißt also
k
…
k D k 12 D 2:
„k
ƒ‚
zwölfmal
Daraus ergibt sich sofort
kD
p
12
2 D 1;05946:
Mit diesem Faktor können wir jetzt die Frequenzen ausrechnen. Wir geben sie hier
für die erste Oktave von a bis a1 an:
Ton Frequenz
a
ais
h
c1
cis1
d1
dis1
e1
f1
fis1
g1
gis1
a1
440
466,164
493,883
523,251
554,365
587,330
622,254
659,255
698,456
739,989
783,990
830,609
880
Und wie macht man das in der Praxis? Nun, vor etlichen Jahren, als die Elektronik
noch im Kinderbett lag, habe ich mal einen Klavierstimmer gefragt, wie er diese
Differenz denn stimmt. Zu meiner Verblüffung antwortete er:
Ich stimme den Ton nach Gehör so, dass keine Schwebung auftritt. Dann lasse
ich einen kleinen Tick nach.
Wie groß dieser Tick sein musste, hat er nicht verraten. Ich vermute, das war dann
mehr so ein gefühlter Tick. Heute also hat man die Stimmgeräte, die genau diese
gleichtemperierte Stimmung programmiert haben. Da muss man nur Saite für Saite
stimmen und keine Quinten und Quarten suchen.
Wie wir es beschrieben haben, werden so alle Töne einen Tick falsch gestimmt,
aber alle gleichmäßig. Das hört sich sehr demokratisch an, hat aber jetzt den Nachteil, dass kein Intervall mehr vor einem anderen herausragt. Daraufhin kann man
auch keine Unterschiede mehr in den Tonarten hören. Die Charakteristik der Tonarten ist verschwunden. Daher ist es auch nicht gerade spannend, was das Hörerlebnis
2.2 Mozarts Würfelmusik
31
angeht, auf einem elektronischen Klavier mit der gleichtemperierten Stimmung das
wohltemperierte Klavier von Bach zu spielen. Bach, der uns mit diesen Kompositionen die Charaktere der Tonarten vorführen wollte, wird gleichgemacht. Eigentlich
schade, oder?
2.2
Mozarts Würfelmusik
Es hat etliche Versuche gegeben, Musik mit Hilfe der Mathematik zu erzeugen.
Man kann z. B. mit zwei Würfeln zufällig Zahlen würfeln, deren Summe dann unmittelbar in Töne umgesetzt werden, also die 2 ist das Cis, 3 ist das D, 4 ist Dis
usw. Sie merken schon das erste Problem. Da wir mit zwei Würfeln keine 1 werfen
können, kommt der Grundton C nicht vor, oder wir fangen bei 2 mit dem C an, dann
aber fehlt die Oktave C. Außerdem würde auf diese Weise wohl keine sehr schön
klingende Melodie erzeugt. Es wäre so etwas wie die Zwölftonmusik von Arnold
Schönberg. Dort sind aber in der Reihe keine Wiederholungen erlaubt. Nun, diese
Idee scheint uns nicht sehr trächtig.
Wir wollen eine andere recht niedliche Idee vorstellen, die Wolfgang Amadeus
Mozart mit viel Erfolg damals in den Salons vorgetragen hat.
Mozarts Vornamen
Nebenbei bemerkt: Wissen Sie, wie Mozart laut Taufregister mit Vornamen heißt?
Man kann die Frage nach heutiger Quiz-Manier auch folgendermaßen stellen:
Welcher der folgenden Vornamen steht nicht im Taufregister von Mozart, dem
berühmten Komponisten, geboren 1756 in Salzburg? Diese Bemerkung muss hinzugefügt werden, um die Person eindeutig zu beschreiben. Sonst meint vielleicht
jemand, wir sprächen vom Vater Leopold Mozart:
A) Chrysostomus B) Wolfgangus
C) Amadeus
D) Theophilus
So ähnlich lautete tatsächlich mal eine Frage in einer großen Quiz-Sendung. Die
richtige Antwort ist C). Dabei sollte man hinzufügen, dass Amadeus die latinisierte
Form des Names Theophilus ist, beides bedeutet Gottes Liebling. Jedenfalls getauft
worden ist dieser große Musiker als Joannes Chrysostomus Wolfgangus Theophilus
Mozart. Amadeus hat er wohl selbst daraus gemacht.
Wir fügen zu Ihrer Erbauung noch eine weitere Frage an:
Welcher der folgenden Vornamen steht wirklich in der Heiratsurkunde von Mozart:
A) Chrysostomus B) Amadeus
C) Adam
D) Theophilus
32
2
Mathematik in der Musik
Weil diese Fragen stets so aufgebaut sind, dass genau eine von vier Antwortmöglichkeiten richtig ist, stehen also drei der obigen Vornamen nicht in der Heiratsurkunde. Das sieht verwirrend aus. Tatsächlich ist in solchen Fällen meist die unwahrscheinlichste Antwort richtig. Man will ja seine Leserschaft überraschen. Mozart
hatte wohl stets so einen kleinen Schalk im Nacken. Jedenfalls hat er eine Dispens erwirkt und musste zu seiner Hochzeit keine Geburtsurkunde vorlegen. Die
lag nämlich in Salzburg bei seinem Vater mit den auf S. 31 genannten Vornamen,
während er ja in Wien geheiratet hat. Und dann hat er dem Pastor flugs erklärt, er
hieße Wolfgang Adam Mozart, und so steht es tatsächlich in der Heiratsurkunde.
Also auch hier ist Antwort C) richtig.
Sein Vater übrigens hat ihn häufig mit seinem Firmnamen Sigismund gerufen.
Beispiel einer Würfelmusik
Ein zur Zeit beliebtes Spiel zur Unterhaltung in Gaststätten heißt Karaoke. Wer auch
immer sich zutraut, den Mund aufzumachen, kann sich dort ans Mikrofon stellen
und zu Playback-Musik den Text eines bekannten Musikstücks, Schlager, Rap o.ä.
vom Teleprompter dem häufig hämisch grinsenden Publikum „vorsingen“.
Zu Mozarts Zeiten gab es eine andere Methode, die Gäste an der allgemeinen
Unterhaltung zu beteiligen. Wir zeigen das Prinzip an folgenden sehr einfachen
Melodien. Wir beginnen mit zwei jeweils zwei Takte umfassende kleinen Stücken,
die wir als Anfang verwenden können.
Hier der erste Anfang:
Der zweite Anfang laute:
Vielleicht können Sie beide „Intros“ auf einem Keybord oder Klavier kurz anspielen, dann hören Sie, dass ich in beiden Teilen die gleiche Grundharmonik verwende.
2.2 Mozarts Würfelmusik
33
Das bedeutet aber, dass ich beide Stücke miteinander austauschen kann, ohne bei
der Fortsetzung Schwierigkeiten zu bekommen.
Das Gleiche machen wir jetzt mit der Fortsetzung, die dann in unserem einfachen
Beispiel auch schon das Ende markiert. Wir bieten zwei verschiedene Beendigungen an, die wieder aus jeweils zwei Takten bestehen.
Dies sei das erste Ende:
Dies sei das zweite Ende:
Ich gebe es zu, ich bin kein Mozart. Verzeihen Sie mir also diese simplen Kompositionen. Es geht um das Prinzip.
Jetzt kommt das Karaoke-Spiel von Mozart. Nehmen Sie eine Münze in die
Hand. Diese hat zwei Seiten. Durch den Wurf dieser Münze und Beobachten der
oben liegenden Seite kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel.
Einer meiner akademischen Lehrer versuchte uns damals in der Vorlesung den
Zugang zur Wahrscheinlichkeitslehre dadurch zu veranschaulichen, dass er uns erklärte, er habe in seiner Studienzeit mit seinem Freund häufig die Münze geworfen.
Zeigte sie Zahl, so seien sie ins Kino gegangen. Lag das Bild oben, so haben sie sich
ins Bad begeben. Nur wenn die Münze auf der Kante stehen geblieben sei, haben
sie für das Studium gelernt.
Nehmen wir an, die Münze habe auf der einen Seite die Zahl des Wertes und
auf der anderen Seite das Brandenburger Tor. Dann werfen Sie jetzt die Münze.
Liegt die Zahl oben, wählen Sie die Anfangsmusik 1, liegt das Tor oben, so kommt
Anfang 2 dran. Dann werfen Sie erneut die Münze. Bei Zahl wählen Sie Ende 1,
bei Tor Ende 2. Das ist sehr einfach zu durchschauen.
Auf diese einfache Weise gelingt es uns, vier verschiedene Melodien mit jeweils
vier Takten zu kombinieren, Mozart nannte das dann komponieren. Wir sollten diese Musik Münzenmusik nennen, denn wir erhalten die vier mittels einer Münze
(Zahl (Z) oder Tor (T)) geworfenen Melodien:
ZZ
ZT
TZ
TT
34
2
Mathematik in der Musik
Mozarts Würfelwalzer
Natürlich kann Mozart das viel besser. Er hat insgesamt zweimal 88 Takte aufgeschrieben, also zusammen 176 Takte. Er tat es im Dreivierteltakt, so dass Walzer
entstanden. Diese Takte kann man nicht ganz beliebig kombinieren, sondern dazu
hat er zwei Tafeln aufgestellt, in denen alle Taktnummern verzeichnet sind. Jede
Tafel enthält elf Zeilen und acht Spalten. Jede Spalte steht für einen zu wählenden
Takt, so dass ein Musikstück von acht Takten entsteht. Die erste Tafel benutzt man
für die acht Anfangstakte, die zweite Tafel für die acht Endtakte.
Betrachten wir zuerst die Tafel für die acht Anfangstakte. Jetzt kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel. Mozart lässt seine Zuhörerinnen und Zuhörer mit zwei
Würfeln werfen. Betrachtet wird die Augensumme, bei zwei Würfeln also die Zahlen von 2 bis 12. Das sind elf verschiedene Zahlen, sie stehen für die elf Zeilen der
beiden Tafeln. Für den ersten Takt schaut man dann in der ersten Spalte in die Zeile,
die gewürfelt worden ist. Für den zweiten Takt betrachtet man die zweite Spalte und
nimmt dort die gewürfelte Augensumme als Zeile usw.
Hat man so die acht Takte gewürfelt und damit die Anfangsmelodie zusammengesetzt, so geschieht das Gleiche für die acht Endtakte mit Hilfe der zweiten Tafel.
Das muss damals sehr lustig gewesen sein. Mathematisch interessant ist die Frage, wie viel verschiedene Walzer man auf diese Weise erzeugen konnte. Das ist
ziemlich einfach überlegt. In der ersten Spalte habe ich elf verschiedene Takte, die
als erster Takt verwendet werden können. Beim zweiten Würfeln wird wieder einer
von elf verschiedenen Takten aus der zweiten Spalte hinzugefügt. Zu jedem ersten Takt also elf mögliche zweite Takte. Das sind dann zusammen 11 11 D 121
verschiedene Möglichkeiten. So geht das weiter. Bis zur achten Spalte hat man also
11 11 11 11 11 11 11 11 D 118 D 214:358:881;
also mehr als zweihundert Millionen verschiedene acht-taktige Anfänge. Genau so
viele Enden haben wir. Zu jedem Anfang können wir wieder ein Ende kombinieren.
Also erhalten wir auf diese Weise
.118 / .118 / D 45:949:729:863:572:161
verschiedene Würfelwalzer. Das sind mehr als 45 Billarden. Diese Zahl ist wirklich
sehr groß. Mozart schreibt in seiner Anleitung zu diesem Walzer
. . . und so gehts ins Unendliche fort.
Nun, wir verweisen auf unser Kap. 4, S. 53, in dem wir uns intensiv mit „unendlich“
auseinandersetzen. Dort werden wir sehen, dass unendlich noch viel, viel größer ist.
2.3 Klassen in der Mathematik
2.3
35
Klassen in der Mathematik
Die Mathematiker haben sich ein System ausgedacht, wie man die neuesten Veröffentlichungen in Fachzeitschriften zu einem bestimmten Thema finden kann, ohne
die gesamte Literatur durchzublättern. Dabei sollten wir bedenken, dass es ca. 400
mathematische Fachzeitschriften weltweit gibt, die monatlich oder zweimonatlich
erscheinen. In jeder Zeitschrift sind grob über den Daumen gepeilt fünf Fachartikel
mit neuesten Erkenntnissen. Das sind also zusammen 2000 neue Artikel alle zwei
Monate. Dann sind das zusammen, wobei wir alle Zeitschriften als zweimonatlich
betrachten, 12.000 neue Artikel pro Jahr.
Solch ein Artikel gipfelt immer in einer neuen Erkenntnis, die mathematisch in
einem neuen Satz zusammengefasst wird. Das sind also
12:000 neue mathematische Sätze pro Jahr!
Dabei haben wir nicht einbezogen, dass die Autoren für die Beweise Hilfssätze heranziehen, die ebenfalls neu, aber nicht so tragend sind. Wer kann da die Übersicht
behalten?
Nun, Mathematiker sind ja nicht dumm. Sie haben tatsächlich ihre gesamte Wissenschaft in kleine Klassen eingeteilt in der sog. „Mathematics Subject Classification“. In Abb. 2.1 sehen Sie die erste grobe Übersicht mit ungefähr 60 Klassen.
Das geht ja noch. Aber Abb. 2.2 sollte Sie stutzig machen. Hier sehen Sie die
Klasse 65 „Numerical Analysis“. In dieser sind insgesamt 20 Unterklassen, nach
Buchstaben geordnet, aufgeführt. Mit dem Buchstaben N finden wir die Unterklasse
„Partial differential equations, boundary value problems“. Das sind also die partiellen Differentialgleichungen und ihre Randwertprobleme. Einige Buchstaben sind
freigelassen, um Platz für zukünftige Entwicklungen zu haben. Jede dieser Unterklassen ist dann noch einmal in bis zu 10 Unterunterklassen aufgeteilt. Ich habe
diese Unterklasse 65 ausgewählt, weil ich selbst in meiner aktiven Zeit unter anderem in der Unterunterklasse 65 N 30 veröffentlicht habe.
Was nützt diese Einteilung?
Jetzt kommt der entscheidende nächste Schritt. Es gibt sogenannte mathematische Referatezeitschriften. Zwei haben sich durchgesetzt:
Zentralblatt der Mathematik
Mathematical Reviews
Jeder Autor muss seine neue Veröffentlichung in obige Klassifizierung einordnen.
Dann werden in diesen Referateblättern alle diese neuen Artikel in einer kurzen
Zusammenfassung vorgestellt, und zwar geordnet nach der Klassifizierung. Wenn
man jetzt zu einem bestimmten Gebiet einen Fachartikel sucht, schaut man nur
in diese Referatezeitschriften und sucht dort unter der passenden Rubrik, welche
neuen Artikel denn erschienen sind und was dort inhaltlich zu erwarten ist. Das ist
ziemlich einfach gemacht. Und so habe ich auch jederzeit die Übersicht über neue
Erkenntnisse anderer Autoren in meinem speziellen Fachgebiet behalten.
36
2
Mathematik in der Musik
Abb. 2.1 Einteilung der Mathematik in 60 Klassen
Ein kleiner Wermutstropfen ist natürlich dabei. Diese kurzen Zusammenfassungen werden von Fachleuten erstellt, und die brauchen natürlich ihre Zeit, um den
Artikel zu lesen und eine Zusammenfassung zu schreiben. Das führt dazu, dass
2.3 Klassen in der Mathematik
37
Abb. 2.2 Ein Blick in die Unterklasse 65 N 30
diese Referateblätter nicht ganz aktuell sein können, sondern immer etwas hinterherhinken. Trotzdem ist das eine riesengroße Hilfe zur Orientierung in den 12.000
neuen Sätzen pro Jahr.
38
2.4
2
Mathematik in der Musik
Melodien finden leicht gemacht
Warum haben wir uns diese verrückte Klassifizierung der Mathematiker angeschaut? Weil es tatsächlich in der Musik ein zumindest analoges Verfahren gibt, um
eine Melodie zu finden. Eine Melodie finden? Ja, wie soll das denn gehen?
Ist es Ihnen nicht auch schon passiert, dass Sie frühmorgens oder auch am hellen
Nachmittag plötzlich eine Melodie im Ohr haben, die sich dann zum richtigen Ohrwurm entwickelt? Ständig müssen Sie diese Melodie vor sich hin summen, aber es
will und will Ihnen nicht einfallen, was das für eine Melodie ist. Aus welchem Stück
stammt die bloß? Und hier sollte es ein System geben, diese Melodie zu finden?
Tatsächlich haben sich bereits 1948 zwei Amerikaner Harold Barlow und Sam
Morgenstern daran gemacht, eine möglichst vollständige Liste aller musikalischen
Themen der sog. E-Musik, also der klassischen Musik zusammenzustellen. Von
Vivaldi über Bach, Händel, Beethoven, Mozart bis hin zu Stravinski und anderen
Komponisten des 20. Jahrhunderts. Dazu eine Vielzahl nicht so bekannter Komponisten. 10.000 musikalische Themen haben sie in einem Buch zusammengetragen,
so wie die Mathematiker ihre 12.000 neuen Sätze jedes Jahr in Referateblättern
zusammmenstellen. Von großem Vorteil war natürlich, dass diese Liste abgeschlossen war und keine neuen Themen mehr hinzukamen. Geordnet wird diese Liste
nach den Namen der Komponisten, nach ihrem Geburtsdatum aufsteigend sortiert,
gewählt. Als Unterkategorie wird wieder das Alphabet genommen, also z. B. Quintett, Rondo, Serenade, Valse etc. Diese Unterteilung ist nicht so wichtig, denn am
Rand sind alle Melodien fortlaufend für jeden Buchstaben nummeriert. Von B 521
bis B 1058 sind Beethoven-Melodien gesammelt, von B 1059 bis B 1061 Melodien
von Vincenco Bellini usw.
Aber diese Ordnung hilft nicht beim Suchen. Da muss eine neue Ordnung erfunden werden. Aber wie ordnet man nun musikalische Themen, auf dass man sie
finden kann? Musikalische Themen sind ja etwas Abstraktes. Bis auf einige Ausnahmen wie z. B. Beethovens 6. Sinfonie, die Pastorale, werden Melodien nicht
mit irgendeinem Inhalt zusammengebracht. Auch beim Anhören der „Frühlingssinfonie“ von Robert Schumann werden Sie schwerlich selbst auf die Zuordnung zu
einer Jahreszeit kommen, wenn man es Ihnen nicht sagt.
Oder denken Sie an Beethovens „Wut über den verlorenen Groschen“. Kaum ein
Pianist, der sich an diesem fantastischen Werk die Finger wund übt, wird dabei den
verlorenen Groschen im Sinn haben.
Welche Assoziation wollen Sie mit dem Italienischen Konzert von Johann Sebastian Bach verbinden? Nein, eine Zuordnung musikalischer Themen zu irgend
welchen Inhalten führt nicht wirklich zu einer Einteilung aller Themen.
Eine Einteilung der Melodien in Dur und Moll ist viel zu grob, um eine Suchoption zu bilden, abgesehen davon, dass bei Komponisten des 20. Jahrhunderts
manchmal gar keine Zuordnung in Dur oder Moll besteht. Die Zwölftonmusik von
Arnold Schöenberg sei als Beispiel genannt. Außerdem denke ich an meinen Freund
aus der Schulzeit, der später als Ingenieur promoviert hat, dem ich aber stets bei
mündlichen Prüfungen im Klassenverband mit kleinen Fingerzeigen Hinweise auf
2.4 Melodien finden leicht gemacht
39
Dur oder Moll geben musste, damit er in Musik nicht durchfiel. Auch die „Eselsbrücke“
Dur D fröhlich, lustig, schnell
Moll D traurig, langsam
hilft nicht weiter. Denken Sie nur an den lustigen „Türkischen Marsch“ von Mozart, der in a-moll steht, und die so zu Herzen gehende, ja klagende Melodie der
Klarinette im zweiten Satz von Mozarts Klarinettenkonzert, in D-Dur notiert. Wer
hier nicht den Unterschied zwischen kleiner und großer Terz kennt, hat verloren.
Jetzt kommt der geniale Trick. Alle diese Melodien haben Barlow und Morgenstern nach C-Dur bzw., wenn es ein Moll-Stück ist, nach c-moll transponiert
und dann die zugehörigen Notenbezeichnungen aufgeschrieben. „Alle meine Entchen“ wäre dann z. B. CDEFGG usw. Sie verstehen das sicherlich. Jetzt wählen
sie, so wie die Mathematiker eine Klassifizierung der mathematischen Artikel nach
Themenbereichen eingeführt haben, eine Klassifizierung an Hand des bestehenden Alphabetes. Die von ihnen gesammelten 10 000 transponierten musikalischen
Themen haben sie alphabetisch sortiert. Das ganze haben sie dann auf den letzten
einhundert Seiten ihres Buches zusammengefasst. Das hört sich verrückt an, musikalische Themen alphabertisch zu sortieren. Diese Liste beginnt mit A A A A A
A A A, eine Melodie von Igor Stravinsky aus dem Ballett Petrouchka. Es ist das
zweite Thema aus dem russischen Tanz. Sie beginnt sogar mit elf mal nacheinander
A, allerdings nicht in derselben Tonhöhe, sondern die ersten beiden A liegen eine
Oktave höher. Da es keine andere Melodie mit mehr als sieben A nacheinander gibt,
reicht es zum Finden, wenn acht A aufgeführt sind.
Beachten muss man noch, dass in Amerika unser H als B bezeichnet wird.
Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen solchen Ohrwurm im Kopf. Ich habe
mir mal solch eine Melodie ausgedacht. Bei einem Vortrag würde ich Ihnen jetzt
diese Melodie vorsingen in der Hoffnung, dass Sie sie vielleicht schon einmal gehört haben, dass Sie also glauben, sie zu erkennen, können sie aber nicht direkt
einem Musikstück zuordnen.
Nun, ich habe eine sehr einfache Melodie ausgewählt. Vielleicht sind Sie ja in
der Lage, sich selbst folgende Melodie vorzusummen, muss ja keiner hören:
Falls Sie Noten lesen können, haben Sie es jetzt leicht. Sonst ist es etwas schwieriger. Denn wir müssen dieses Musikstück wirklich mit Noten kennen, also mit den
Notennamen, in C-Dur (oder bei einem Moll-Stück in C-Moll). Ich schreibe Ihnen
diese Notenfolge jetzt hier auf:
C
E
Können Sie das nachvollziehen?
C
G
C
E
G
C
40
2
Mathematik in der Musik
Diese Notenfolge suchen wir in dem Buch hinten auf den hundert Seiten. Fündig
werden wir hier:
Abb. 2.3 Auszug aus dem alphabetisch sortierten hinteren Teil des Buches, wo wir unsere Melodie unten rechts in der dritten Zeile von unten finden
2.4 Melodien finden leicht gemacht
41
Rechts neben dieser Notenfolge steht B 918. Wir sehen also, dass unter B 918
unsere gesuchte Melodie zu finden ist. Wenn wir jetzt vorne im Buch unter dieser
Nummer nachschlagen, finden wir
Abb. 2.4 Die gesuchte Melodie finden wir in der Mitte mit der Nummer B 918 am Rand. Es ist
der erste Satz aus Beethovens Eroica.
Das ist also das erste Thema aus der Symphony No. 3, E Flat, also E-Dur, Op. 55,
die sogenante Eroica von Ludwig van Beethoven.
http://www.springer.com/978-3-642-37854-6