Einstieg in die Wirtschaftsmathemati k

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Einstieg in die
Wirtschaftsmathemati k
Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Bernd Luderer
und Dr. rer. nat. Uwe Würker
Techn. Universität Chemnitz
3., durchgesehene Auflage
Mit zahlreichen Abbildungen, anwendungsorientierten
Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen
B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig 2000
Prof. Dr. rer. nato habil. Bernd Luderer
Geboren 1949 in Chemnitz. Von 1967 bis 1972 Studium der Mathematik, 1972 Diplom an der TH Karl-Marx-Stadt. Von 1972 bis
1975 Aspirantur, 1976 Promotion an der Lomonossow-Universität
Moskau. 1975 wiss. Assistent, 1979 Oberassistent TU Karl-MarxStadt. Studienaufenthalte 1980 Banachzentrum Warschau, 1983
Lomonossow-Universität Moskau. 1988 Habilitation, 1989 Dozent,
1992 Professor TU Chemnitz.
Dr. rer. nato Uwe Würker
Geboren 1963 in Glauchau/Sa. Von 1982 bis 1987 Studium der
Mathematik, 1987 Diplom an der TU Karl-Marx-Stadt. Von 1987 bis
1990 Forschungsstudium, 1991 Promotion, 1990 wiss. Assistent an
der TU Chemnitz.
ISBN 978-3-519-22098-5
ISBN 978-3-322-96783-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96783-1
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© B.G.TeubnerStuttgart 1995
Für Ludmila und Swetlana
Für meine Eltern
Vorwort zur 3. Auflage
Mathematik als propädeutisches Fach am Beginn eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums: Was soll gelehrt werden? Wie soll gelehrt werden? Wie umfangreich darf oder muß der Inhalt sein? Soviele Personen, soviele Meinungen
wird es dazu geben. Bei der Konzeption des vorliegenden Buches und somit bei
der Beantwortung der aufgeworfenen Fragen sind wir von unseren langjährigen
Lehrerfahrungen im Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler an der
Technischen Universität Chemnitz ausgegangen und zu folgenden, in diesem
Lehrbuch realisierten Positionen gekommen:
• MatheIllatik IllUß verständlich, aber korrekt gelehrt werden. Will
heißen: Im Vordergrund steht der "Normalfall" einer Formel, eines Algorithmus,
einer mathematischen Aussage; Sonderfälle, Entartungen, notwendige Voraussetzungen werden besprochen, aber nicht in den Vordergrund geschoben.
• Ein Wirtschaftswissenschaftler soll MatheIllatik anwenden. Will heißen: Er muß wissen, was Mathematik ist und kann. Er muß wichtige mathematische Begriffe kennen und sicher beherrschen. Er muß fundamentale Lösungsmethoden kennen und an kleinen Beispielen ausprobiert haben, um deren wichtigste Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten nutzen und ihre Grenzen
einschätzen zu können. Er muß gewisse Fertigkeiten im Umgang mit der Mathematik als "Handwerkszeug" für wirtschaftswissenschaftliche Untersuchungen
erwerben. Er soll aber nicht unbedingt die mathematische Theorie weiterentwickeln. Deshalb stehen auch die Demonstration mathematischer Aussagen an
Beispielen im Vordergrund, während Beweise sehr kurz wegkommen und nur
exemplarischen Einblick in mathematische Denkweisen gewähren. Ein Wirtschaftswissenschaftler muß sich aber dessen bewußt sein, daß man Mathematik
niemals bedenkenlos anwenden darf, daß man - wie in jeder Wissenschaft an bestimmte Gültigkeitsvoraussetzungen gebunden ist.
• Die Anwendung IllatheIllatischer Methoden in Wirtschaftswissenschaft und -praxis geht VOIll Wirtschaftswissenschaftler aus. Will heißen: Der zukünftige Absolvent muß neben profunder Kenntnis seines Faches
und grundlegenden Kenntnissen in Mathematik in der Lage sein, ökonomische
Probleme in der Sprache der Mathematik zu formulieren, er muß abschätzen
können, inwieweit die Mathematik zur Lösung oder Lösungsunterstützung des
betreffenden Problems beitragen kann, und er muß die mittels mathematischer Methoden erhaltenen Resultate ökonomisch interpretieren und umsetzen
können. In der Praxis wird er hierbei natürlich vom Mathematiker nicht im
Stich gelassen. Diesem Ziel dienen im Buch die Untersuchung der vielfältigsten
wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen und ihre Umsetzung in mathematische Formulierungen - kurzum, die Modellierung komplexer Sachverhalte.
• Ein Wirtschaftswissenschaftler sollte von der Wichtigkeit der MatheIllatik überzeugt sein. Will heißen: Er muß sehen, wo und wie ihm
Vorwort
6
mathematische Lösungsmethoden bei der Untersuchung der ihn interessierenden Fragen helfen können. Dieses Anliegen wird im Buch dadurch realisiert,
daß die behandelten mathematischen Themen an vielen Anwendungsbeispielen illustriert werden und daß großer Wert auf die Interpretation der erzielten
Ergebnisse gelegt wird.
Die Darlegungen des Buches berücksichtigen natürlich, daß ein Student im l.
Semester noch kein fertig ausgebildeter Wirtschaftswissenschaftler ist. Deshalb
werden sehr spezielle Fachtermini vermieden. Zur Anregung der selbständigen Beschäftigung mit dem behandelten Stoff werden dafür eine große Zahl
an Übungsaufgaben gestellt, von denen in der Regel auch die Lösungen im
Anhang zu finden sind. Schließlich ist die Vielzahl im Buch enthaltener Abbildungen dazu gedacht, das Vorstellungsvermögen anzuregen und zu verbessern.
Das vorliegende Lehrbuch vereint gewissermaßen drei Bücher in einem: einen
Vorkurs zum Erwerb oder zur Festigung von Abiturkenntnissen, den eigentlichen Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, der die Gebiete
Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Analysis mehrerer Veränderlicher
umfaßt, sowie eine relativ umfangreiche Einführung in die Finanzmathematik. Nicht unerwähnt sollte bleiben, daß das Buch so angelegt ist, daß es sich
auch vorzüglich zum Selbststudium eignet.
Gegenüber den ersten beiden Auflagen gab es kaum wesentliche inhaltliche
Änderungen, jedoch haben wir das gesamte Buch nochmals einer kritischen
Durchsicht unterzogen.
Den Wünschen vieler Studenten folgend, wurde das vorliegende Lehrbuch
ergänzt durch eine umfangreiche Aufgabensammlung (mit zahlreichen Beispielen, Hinweisen und Lösungen), ein etwas kürzer gehaltenes Buch zur Klausurvorbereitung sowie eine Formelsammlung:
Luderer, B., Paape, C. und Würker U.: Arbeits- und Übungsbuch
Wirtschaftsmathematik, Beispiele - Aufgaben - Formeln, Teubner,
Stuttgart 1996,
Luderer, B.: Klausurtraining Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Teubner, Stuttgart . Leipzig 1997,
Luderer, B., Nollau, V., und Vetters, K.: Mathematische Formeln für
Wirtschaftswissenschaftler (2. Auflage), Teubner, Stuttgart . Leipzig 1999.
Wir hoffen auf weitere positive Aufnahme des Lehrbuches durch die Leser und
sind für konstruktive Hinweise und Anregungen, die zu seiner Verbesserung
beitragen, dankbar.
Bernd Luderer, Uwe Würker
Chemnitz, November 1999
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
5
Zeichenerklärung
12
1
Grundlagen
13
1.1
13
13
1.2
1.3
1.4
1.5
Instrumente der Elementarmathematik.
1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung
1.1.2
1.1.3
Rechnen mit Zahlen
Bruchrechnung...
15
18
1.1.4
Potenzrechnung . . .
20
1.1.5
1.1.6
Binomische Formeln. Partialdivision
Wurzelrechnung ..
22
26
1.1.7
Logarithmenrechnung . . . . . . . .
27
1.1.8
Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen.
29
1.1. 9
Koordinatensysteme
33
1.1.10 Winkelbeziehungen .
35
1.1.11 Komplexe Zahlen ..
36
Darstellung von Funktionen einer Variablen
38
1.2.1
Formen der Darstellung . . . .
1.2.2
Operationen mit Funktionen
.
41
1.2.3
Wichtige spezielle Funktionen.
44
40
Ergänzende Fragen . . . . . . . . . .
57
1.3.1
1.3.2
Intervalle . . . . . . . . . . .
Auflösung von Ungleichungen
57
58
1.3.3
Absolute Beträge . . . . . . .
60
Analytische Geometrie . . . . . . . .
62
1.4.1
Geradengleichungen in der Ebene.
62
1.4.2
1.4.3
Geraden und Ebenen im Raum ..
Graphische Darstellung von Ungleichungssystemen
67
69
Zahlenfolgen und Zahlenreihen . . . . . .
71
1.5.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . .
71
1.5.2
Arithmetische Folgen und Reihen.
72
1.5.3
Geometrische Folgen und Reihen .
73
Inhaltsverzeichnis
8
2
3
4
Logik und Mengenlehre
2 .1 Aussagenlogik.....
2.1.1 Aussagen . . .
2.1.2 Aussagenverbindungen .
2.1.3 Quantoren . . . . . . .
2.1.4 Einfache Schlußweisen
2.2 Mengenlehre . . . . . . . .
2.2.1 Grundbegriffe . . . .
2.2.2 Mengenrelationen ..
2.2.3 Mengenoperationen
2.2.4 Abbildungen und Funktionen
75
Finanzmathematik
3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung
3.1.1 Einfache Verzinsung .
3.1.2 Zinseszinsrechnung ..
3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung
3.1.4 Kapitalwertmethode ..
3.1.5 Gemischte Verzinsung .
3.1.6 Unterjährige Verzinsung
3.2 Rentenrechnung . . . . . . . . .
3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung
3.2.2 Vorschüssige Renten . . . . . . . .
3.2.3 Nachschüssige Renten . . . . . . .
3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung
3.2.5 Ewige Rente . . . . . . . . . . . . .
3.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung.
3.3.2 Ratentilgung . . .
3.3.3 Annuitätentilgung
3.3.4 Tilgungspläne .
3.4 Renditerechnung . . . . .
92
92
Lineare Algebra
4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume .
4.1.1 Begriff der Matrix
4.1.2 Spezielle Matrizen . . . .
4.1.3 Matrizenrelationen . . . .
4.1.4 Operationen mit Matrizen
4.2 Matrizenmultiplikation
4.2.1 Skalarprodukt . . . . . . .
75
75
77
80
81
83
83
85
86
88
93
96
97
99
100
102
104
104
105
106
108
109
111
111
112
113
115
· 116
121
121
· 121
122
125
126
130
· 130
Inhaltsverzeichnis
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5
4.2.2 Produkt von Matrizen . . . . . . . . . . .
4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation
4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation
Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . .
4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems
4.3.2 Darstellungsformen von LGS . . . . .
4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS . . . . .
4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix
4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS ..
Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen.
4.4.2 Ablaufplan des Gaußschen Algorithmus
4.4.3 Lösungsdarstellung . . . . . . . . .
4.4.4 Numerische Aspekte . . . . . . . .
4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen.
Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . .
4.5.1 Linearkombination . . . . . . . . .
4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit
4.5.3 Basis und Rang. . . . . . . . . . . .
4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme
Matrizeninversion . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Definition der inversen Matrix
4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Definition der Determinante . . . . .
4.7.2 Eigenschaften von Determinanten. .
4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung .
4.7.4 Definitheit von Matrizen . . . . . .
4.7.5 Zusammenfassende Bemerkungen.
Lineare Optimierung
5.1 Gegenstand der Linearen Optimierung
5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation . . .
5.1.2 Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff
5.2 Modellierung und graphische Lösung von LOA
5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen
5.2.2 Graphische Lösung von LOA . . . .
5.3 Theorie der Linearen Optimierung . . . . .
5.3.1
5.3.2
Überführung in die Gleichungsform .
Basislösungen und Eckpunkte . . . .
9
131
133
134
141
141
142
144
146
148
148
149
152
153
155
156
158
159
161
164
167
169
169
172
177
177
180
183
185
187
189
190
191
192
194
195
· 201
· 211
· 211
· 216
10
Inhaltsverzeichnis
5.4
5.5
5.6
5.3.3 Eigenschaften von LOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform .. 220
5.4.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 220
5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen .
· 223
5.4.3 Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen
.225
5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus .
· 227
5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen
· 230
5.4.6 Sonderfälle . .
· 234
Zwei-Phasen-Methode
· 237
5.5.1 Grundidee . . .
· 238
5.5.2 Mögliche Fälle
239
5.5.3 Beispiele . . . .
241
Dualität in der Linearen Optimierung
243
5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe.
244
5.6.2 Dualitätsbeziehungen
· 246
5.6.3
6
Ökonomische Interpretation der Dualvariablen
Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen
6.1 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . .
6.1.2 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen
6.1.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Eigenschaften stetiger Funktionen ..
6.2 Differenzen- und Differentialquotient . . . . .
6.2.1 Der Begriff des Differentialquotienten
6.2.2 Differential . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Differentiationsregeln. Höhere Ableitungen
6.3 Charakterisierung von Funktionen mittels Ableitungen
6.3.1 Monotonie und Beschränktheit . . . .
6.3.2 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten .
6.3.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion . . . .
6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse
6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung
6.4.1 Intervallhalbierung . . . . . . .
6.4.2 Sekantenverfahren. Regula falsi
6.4.3 Newtonverfahren . . . . . . . .
· 249
255
· 255
· 256
259
· 261
· 263
· 264
266
269
270
· 274
· 274
· 277
· 281
285
· 287
· 291
· 297
· 298
· 300
· 301
Inhaltsverzeichnis
11
7
Funktionen mehrerer Veränderlicher
7.1 Begriff und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher
7.2 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher
7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . .
7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten
7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen
7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hessian
7.3.5 Vollständiges Differential
7.3.6 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
303
303
303
305
308
314
314
315
319
323
324
326
8
Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher
8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . .
8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen
8.1.2 Beispiele...............
8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen . .
8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung
8.2.2 Die Eliminationsmethode . . . . .
8.2.3 Lagrange-Methode.........
8.2.4 Interpretation der Lagrangeschen Multiplikatoren.
8.3 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . .
8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression
8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
331
331
332
336
338
339
340
346
354
355
355
362
Integralrechnung
9.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen
9.1.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen . .
9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale
9.2.3 Numerische Integration
9.2.4 Uneigentliche Integrale. . . .
9.2.5 Doppelintegral . . . . . . . .
9.3 Anwendungen der Integralrechnung.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
365
366
366
367
369
369
371
373
376
378
380
9
A Lösungen zu den Aufgaben
384
B Klausurbeispiel
403
Literaturverzeichnis
409
Sachverzeichnis
410
Zeichener klärung
lxi
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L
-,
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'V'f(x)
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8Xi
8xj'
Hj(x)
fXiXj
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Menge der nicht negativen reellen Zahlen
Menge der n-dimensionalen Vektoren bzw.
n- Tupel reeller Zahlen
absoluter Betrag der reellen Zahl x
Norm des Vektors x
Gleichheit per Forderung; Gleichheit per Definition
Äquivalenz von Aussagen; genau dann, wenn
Implikation; aus ... folgt ...
für alle; für beliebige
es existiert; es gibt
leere Menge
Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft E(x)
Zinssatz, Zinsfuß
Zinsrate; imaginäre Einheit
A ufzinsungsfaktor
Kapital zum Zeitpunkt t
Barwert der vorschüssigen (nachschüssigen) Rente
Endwert der vorschüssigen (nachschüssigen) Rente
Restschuld am Ende der k-ten Periode
Annuität in der k-ten Periode
Zinsen in der k-ten Periode
Tilgung in der k-ten Periode
inverse Matrix
transponierte Matrix
Rang der Matrix A
Determinante der Matrix A
Skalarprodukt der Vektoren a und b
Einheitsmatrix, j-ter Einheitsvektor
Vektor der Basisvariablen (Nichtbasisvariablen)
Optimalitätsindikatoren
partielle Ableitungen erster Ordnung
Gradient der Funktion f im Punkt x
partielle Ableitungen zweiter Ordnung
Hessematrix der Funktion f im Punkt x
(partielle) Elastizität von f
Kapitell
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die für das Verständnis des vorliegenden Buches wesentlichen Grundbegriffe und Rechenregeln der Schulmathematik noch einmal
kurz dargestellt und an einigen Beispielen (mit Lösungen) illustriert. Anhand
von weiteren Übungsaufgaben kann der Leser überprüfen, ob er die behandelten
Teilgebiete der Mathematik ausreichend beherrscht.
Bei entsprechenden Vorkenntnissen kann das gesamte Kapitel auch übersprungen werden.
1.1
Instrumente der Elementarmathematik
1.1.1
Zahlbereiche. Zahlendarstellung
Ein wichtiges mathematisches Objekt ist die Zahl. Zahlen können zu verschiedenen Zahlbereichen gehören; in wachsender Allgemeinheit sind dies:
• N ~ Bereich der natürlichen Zahlen: 1,2,3, ... (oft wird auch die Zahl 0
mit zu N gezählt);
• 'll ~ Bereich der ganzen Zahlen: ... , -2, -1, 0, 1,2, ... ;
• Q ~ Bereich der rationalen Zahlen: alle Zahlen, die sich als Bruch ganzer
Zahlen, d.h. in der Form z = ~ mit p und q aus 'll, darstellen lassen, z.B. 5 = ~,
7
15
1
8' -2' 100'
Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen bricht entweder nach endlich vielen
Stellen nach dem Komma ab (z.B. = 0,25) oder sie ist ~ von einer gewissen
Stelle an ~ periodisch (d.h., eine feste endlich lange Folge von Ziffern wiederholt
sich immmer wieder, wie z.B. ~ = 0,666 ... , = -0,090909 ... ).
• lR ~ Bereich der reellen Zahlen: alle Zahlen, die entweder rational oder
irrational sind. Irrationale Zahlen sind solche, die sich nicht in der Form z =
~ mit p und q aus 'll darstellen lassen. Gut bekannte Beispiele sind etwa
!
fr
Vi = 1,41421 ... , das oft als "Kreiszahl" bezeichnete 7r = 3,1415926 ... oder
die Eulersche Zahl 1 e = 2,71828 ... , die als Grenzwert des Ausdrucks (1 + ~)n
für n -> +00 definiert ist (zum Begriff des Grenzwertes siehe Punkt 6.1.1).
Im Gegensatz zu rationalen Zahlen läßt sich bei irrationalen Zahlen in ihrer
Dezimaldarstellung keine endliche Periode finden, d.h., die entsprechende Ziffernfolge ist unendlich lang ohne regelmäßige Wiederholungen.
1 Euler,
Leonhard (1707-1783), Schweizer Mathematiker, Physiker und Astronom
B. Luderer et al., Einstieg in die Wirtschaftsmathematik
© B. G. Teubner Stuttgart 1995
Kapitell. Grundlagen
14
Die reellen Zahlen lassen sich mit Hilfe der Zahlengeraden sehr gut veranschaulichen, wobei jeder Zahl ein Punkt zugeordnet wird und umgekehrt (näheres
dazu siehe Seite 57). Bei praktischen Rechnungen, insbesondere mit dem Taschenrechner oder Computer, arbeitet man aufgrund der beschränkten Speicherkapazität mit rationalen Zahlen als Näherung für zu bestimmende reelle
Zahlen, d.h., man rechnet mit Brüchen oder - in der Dezimaldarstellung mit endlich vielen Nachkommastellen. In diesem Zusammenhang sei ergänzend
auf die Exponentialdarstellung einer Zahl verwiesen (vgl. dazu auch Punkt 1.1.4
zur Potenzrechnung):
12345,6 = 1.23456 . 104 = 1.23456E4
0,000123 = 1.23 . 10- 4 = 1.23&-4
(E4 und E-4 stehen dabei für 104 bzw. 10- 4 ).
• ([ - Bereich der komplexen Zahlen: Zahlen der Form z = a + bi, wobei
i = A
die sogenannte imaginäre Einheit ist (für die i 2 = -1 gilt) und
a, b reelle Zahlen sind. Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich, auch
aus negativen Zahlen Wurzeln zu ziehen. Die komplexen Zahlen bilden ein
wichtiges Hilfsmittel zur vollständigen Beschreibung der Lösungsmengen von
Polynomgleichungen, Differentialgleichungen usw.
Für die Aussage "a ist eine natürliche Zahl" bzw. "a gehört zur Menge der
natürlichen Zahlen" wird meist kurz geschrieben a E N (lies: a ist Element der
Menge der natürlichen Zahlen.) Ferner wird eine Menge zusammengehöriger
Objekte (Elemente) durch Aufzählung derselben bzw. in der Form {x I E(x)}
(lies: Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) besitzen) dargestellt. Auf die
damit verbundenen Sachverhalte gehen wir später in Abschnitt 2.2 noch näher
eIn.
Beispiel 1.1:
a) {z I z = 2k, k E N} = {2, 4, 6, ... } - Menge der geraden Zahlen;
b) {x E lR I 0 ~ x ~ I} - Menge reeller Zahlen zwischen 0 und 1.
Die oben verwendeten Bezeichnungen (Buchstaben) a, b, p, q, Z, ..• stellen stets
Zahlen dar, deren konkrete Werte zunächst nicht festgelegt bzw. vorerst unbekannt sind.
Um im weiteren bestimmte Sachverhalte mathematisch kurz und präzise beschreiben zu können, benötigen wir die folgenden - der Logik entstammenden
und in Abschnitt 2.1 noch ausführlich diskutierten - Symbole:
V
:l
~
-{=}
Allquantor; für alle; für beliebige;
Existenzquantor; es existiert; es gibt ein;
aus ... folgt;
genau dann, wenn; dann und nur dann.
Beispiel 1.2:
a) x 2 ~ 0
V xE lR
(lies: für alle reellen Zahlen x gilt x 2 ~ 0);
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
15
b) ::Ja E <Q : a = a 3
(lies: es gibt mindestens eine rationale Zahl a, die gleich
ihrer dritten Potenz ist, z.B. a = 1);
c) x E <Q ===> ~ E <Q
eine rationale Zahl);
(lies: wenn x eine rationale Zahl ist, so ist
d) x + a = x - a {=} a = 0
dann richtig, wenn a = 0 gilt).
1.1.2
(lies: die Gleichung x
+a =
~
ebenfalls
x - a ist genau
Rechnen mit Zahlen
Gleichheitszeichen in mathematischen Ausdrücken können verschiedene Bedeutungen besitzen:
• Aussage a = b (drückt die Tatsache aus, daß die linke und die rechte Seite
exakt den gleichen Wert haben; äquivalent hierzu ist die Aussage b = a, d.h.,
die beiden Seiten einer Gleichung können vertauscht werden);
,
• Bestimmungs- oder Bedingungsgleichung f (x) == 0 (stellt eine zu lösende
Aufgabe dar: setze den Ausdruck f(x) gleich Null und bestimme die Lösung
oder Lösungen der entstandenen Gleichung);
• Definitionsgleichung a ~ b + c (a ist per Definition gleich b + c);
• Erhöhung des Iterationszählers k := k
Eins erhöht) .
+1
(der Iterationszähler k wird um
In diesem Punkt beschäftigen wir uns mit dem ersten Fall, d.h., mit sogenannten äquivalenten Ausdrücken. Dabei handelt es sich um eine der häufigsten
Anwendungen der Schulmathematik: Ein gegebener Ausdruck a bzw. eine gegebene Gleichung a = b muß in geeigneter Weise so umgeformt bzw. vereinfacht
werden, daß sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert bzw. die Gleichung nicht
verletzt wird (sogenanntes äquivalentes Umformen). Regeln für die Umformung
von Zahlen-Ausdrücken sind Gegenstand der folgenden Unterpunkte.
Für beliebige reelle Zahlen a, b, c gelten nachstehende Regeln:
a + b = b + a,
Kommutativgesetze:
a .b= b.a
(In einer Summe oder einem Produkt können die beiden Summanden bzw.
Faktoren vertauscht werden.)
Assoziativgesetze:
(a
+ b) + c = a + (b + c),
(a· b) . c
= a·
(b· c)
(In Mehrfachsummen und -produkten ist die Reihenfolge der Summanden bzw.
Faktoren beliebig.)
Distributivgesetze:
(a
+ b)· c = a· c + b· c,
a· (b
+ c) = a· b + a . c
(Ein vor oder hinter einer Summe stehender Faktor kann in die Klammer hineinmultipliziert werden, indem er mit jedem einzelnen Summanden multipliziert
wird.)
16
Kapitell. Grundlagen
Allgemein gilt: Zur Vereinfachung eines Ausdrucks mit mehreren Operationszeichen bzw. mit Klammern sind zunächst die Klammern aufzulösen, danach sind
eventuelle Multiplikationen und Divisionen sowie zuletzt Additionen und Subtraktionen auszuführen ("Punktrechnung geht vor Strichrechnung" ). Manchmal ist jedoch anstelle des Auflösens von Klammern auch die umgekehrte Operation sinnvoll: Insbesondere beim Umstellen einer Gleichung nach einer Variablen ist oft Ausklammern entsprechend obigen Distributivgesetzen der Weg
zur gesuchten Lösung.
Rechnen mit Klammern
• Steht vor einem Klammerausdruck ein Pluszeichen, kann die Klammer einfach
weggelassen werden.
• Ein vor der Klammer stehendes Minuszeichen ist wie der Faktor -1 aufzufassen, d.h., jeder Bestandteil der entsprechenden Klammer ist entsprechend dem
Distributivgesetz mit dem umgekehrten Vorzeichen zu versehen.
Beispiel 1.3:
a) 2a + (a + b - c) = 2a + a + b - c = 3a + b - c;
b) 2a - (a + b - c) = 2a + (-a - b + c) = 2a - a - b + c = a - b + c.
• Ein in Klammern stehender Ausdruck wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes in der Klammer stehende Glied mit dieser Zahl multipliziert wird.
Entsprechend dem Kommutativgesetz kann dabei die Zahl vor oder auch nach
der Klammer stehen.
• Ein in jedem Glied eines Ausdrucks vorkommender gemeinsamer Faktor, der
nicht Null ist, kann ausgeklammert (vor oder hinter die Klammer geschrieben)
werden, wobei jedes Glied durch den Faktor zu dividieren ist.
Beispiel 1.4: a) 5· (3a - 4b) = (3a - 4b) ·5 = 5· 3a + 5· (-4b) = 15a - 20b;
b) (-3)·(a-b)=-3a+3b;
c) 5a+10b=5(~+ l~b) =5(a+2b);
d) ab + bc = b·
(~ + ~)
= b(a
+ cl.
Bemerkung: Die Umformung in d) ist nur bei b i= 0 richtig, das Endergebnis
aber auch für b = O.
• Kommen in einem Ausdruck mehrere ineinandergeschachtelte Klammern vor,
so sind diese von innen nach außen unter Anwendung der obigen Regeln aufzulösen.
Beispiel 1.5:
-7{2[a + 2b - 3(c - a)]- [(2a - b) - 6(c - 4b)]}
= -7{2[a + 2b - 3c + 3a] - [2a - b - 6c + 24b]}
= -7{2[4a + 2b - 3c] - [2a + 23b - 6c]}
= -7{8a + 4b - 6c - 2a - 23b + 6c}
= -7{6a - 19b} = -42a + 133b.
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
17
Es wurden zunächst die runden, danach die eckigen bzw. geschweiften Klammern aufgelöst.
Multiplikation zweier Klammerausdrücke
• Zwei Klammerausdrücke werden multipliziert, indem jedes Glied in der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer (unter Beachtung der
Vorzeichenregeln) multipliziert wird.
+ 4)(5b - 6) = 15ab - ISa + 20b - 24;
b)(a + b + 2) = a 2 + ab + 2a - ab - b2 - 2b = a 2 + 2a -
Beispiel 1.6:
b) (a -
a) (3a
b2 - 2b.
Bemerkung: Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Faktoren erfolgt in
entsprechender Weise.
Summenzeichen
Um größere Summen übersichtlich darzustellen, bedient man sich häufig des
Summenzeichens:
n
Lai
= al + a2 + ... + an
i=1
(lies: Summe der Glieder ai für i von 1 bis n); hierbei ist i der Summationsindex.
Es ist unschwer zu sehen, daß folgende Rechenregeln gelten:
n
n
n
•
L (ai + bi ) = L ai + L bi;
•
i=1
n
L c· ai
i=1
= C·
i=1
n
i=1
Lai.
i=1
Im Spezialfall können die Glieder ai auch von i unabhängig und somit konstant
sein. Unter Verwendung des Summenzeichens ergibt sich in diesem Fall
n
•
La
i=1
= n· a.
Auch doppelt oder mehrfach indizierte Glieder lassen sich mit Hilfe von
Summenzeichen übersichtlich darstellen (wobei man z.B. von Doppelsummen
spricht):
•
n
m
L L
i=lj=1
+ al2 + ... + aln + a2l + a22 + ... + a2n
+ ... + amI + ... + amn ·
an
aij
Ordnet man die Glieder um, erkennt man, daß gilt
m
n
i=lj=l
n
m
j=l i=l
Kapitell. Grundlagen
18
Beispiel 1.7: a)
b)
5
L:: i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
i=l
4
2: i 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30;
i=l
10
c) 2: 1 = 1 + 1 + ...
i=l
d)
2
3
2: 2: (bij + i . j)
i=l j=l
+(b 21
1.1.3
+1=
=
(b ll
10;
+ 1) + (b 12 + 2) + (b 13 + 3)
+ 2) + (b 22 + 4) + (b 23 + 6)
= (itljt bij)
+ 18.
Bruchrechnung
Eine Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar ist, wurde oben
als rational bezeichnet. Ebenso gebräuchlich ist die Bezeichnung Bruch. In der
Bruchrechnung sind die Regeln zusammengefaßt, die bei der Ausführung von
Rechenoperationen mit Brüchen zu beachten sind. Leider wird beim Rechnen
gegen diese Regeln sehr häufig verstoßen!
Im weiteren sollen a, b, c, ... beliebige ganze Zahlen bedeuten. In einem Bruch
% ' a, b E 'll, wird a als Zähler, b als Nenner bezeichnet. Ein Bruch ist nur
definiert, wenn der Nenner ungleich Null ist. Division durch Null ist verboten!
Die Schreibweise %ist der Darstellung alb vorzuziehen, da letztere eine Fehlerquelle sein kann: Ist mit 1/3 . a der Ausdruck ~a oder
gemeint?
Merke: Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Werden also Brüche durch
Umformungen beseitigt, müssen gegebenenfalls Klammern gesetzt werden.
a+b
a-b
Beispiel 1.8: a) c + d = (a + b) : (c + d); b) -4- + c = (a - b) : 4 + c.
fä
Erweitern und Kürzen eines Bruchs
• Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich Null) multipliziert, d.h. den Bruch mit c erweitert:
a
a· c
- - , a, b E 'll, c =1= 0 .
b
b· c
• Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl (ungleich Null) dividiert:
a·c
(a·c):c
a
()
- , a, b E 'll, c =1= O.
b·c
b·c:c
b
Diese, zum Erweitern umgekehrte Operation nennt man Kürzen. Sie läuft darauf hinaus, gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner zu finden, was nicht
immer einfach ist.
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
19
Beis iel 1.9: a) ~ = 10 = 25 = 500 = 5a = 20(b + 1).
P
b -5 _
)6 -
5 _
-6 -
1230600
6a
24(b+l)'
52 _ 13·4 _ 4. d 1517 _ 37·41
41
c) 39 - 13·3 - 3'
) 1443 - 37·39 = 39'
6
5.
-6'
Multiplikation von Brüchen
• Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem ihre Zähler und ihre
Nenner miteinander multipliziert werden:
a ca· c
b·d=b·d·
2
3
2·3
-5
6
5
6
6
7
1
-35
6
b)--·7=-·-=-.
Beispiel 1.10: a)"5'"7 = 5 . 7 = 35 ;
Division von Brüchen
• Zwei Brüche werden dividiert, indem der im Zähler stehende Bruch mit dem
Kehrwert des im Nenner stehenden multipliziert wird:
a
a c
a d
a·d
1..=
b'd
b c
b·c·
a
.
.
4
BeIspIel 1.11: a)"9:
c) 1: ..!..- = 1. 10 = 10;
10
1
2
3=
4
3
4·3
"9 . 2 = 9.2 =
2
3;
d) a + 1 : a(a + 1) =
b
3b
2
5
3: 4" =
(a + 1)· 3b
b)
b·a(a+l)
2·4
8
3·5 = 15;
= ~.
a
Addition und Subtraktion von Brüchen
• Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, so werden sie addiert bzw. subtrahiert, indem (bei unverändertem Nenner) die Zähler addiert bzw. subtrahiert
werden:
a
b
a+b
a
b
a-b
-+-=--,
c
c
c
c
c
c
• Weisen zwei Brüche unterschiedliche Nenner auf, werden sie zunächst durch
Erweiterung gleichnamig gemacht, indem ein Hauptnenner gebildet wird; danach wird wie oben verfahren. Es ist günstig, aber nicht unbedingt erforderlich,
als Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache aller eingehenden Nenner
(das ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner) zu wählen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen wird ermittelt,
indem jede Zahl als das Produkt der in ihr enthaltenen Primzahlen, die auch
mehrfach auftreten können, dargestellt wird. Primzahlen sind solche natürlichen Zahlen p (p =I- 1, p =I- 0), die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Jede
Kapitell. Grundlagen
20
natürliche Zahl ist entweder selbst eine Primzahl oder läßt sich als Produkt
von Primzahlen schreiben. Die beschriebene Produktdarstellung nennt man
Zerlegung in Primfaktoren. Bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen
Vielfachen geht jede Primzahl so oft ein, wie sie in der Zerlegung der einzelnen
Zahlen maximal auftritt.
Beispiel 1.12:
denn
24
36
60
360
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 24, 36 und 60 ist 360,
2 . 2
2
2
2 . 2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
. 5
3 . 5
Mitunter ist es leichter, einfach das Produkt aller beteiligten Nenner als Hauptnenner zu nehmen (hier: 24·36·60 = 51840). Entsprechend den Regeln zur
Erweiterung eines Bruchs ergibt sich dabei der gleiche Wert. Damit gilt für die
Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche:
a
±
c _ a.d
b·d
b d-
. .
BeIspIel 1.13:
b)
3
7
2" + 3"
=
d) ~ _ ~
9
12
1.1.4
Wird
kann
weise
x . x.
a)
14
9
"6 + 6
±
c· b _ ad ± bc
d·b-~·
5
10
11
3" - 3 + 3
=
23
6;
7· 12 - 5 . 9
9 . 12
=
5 - 10 + 11
6
3
= 3" = 2;
7
c) 5 +"6 =
30
7
37
6 +"6 = 6;
3(7·4 - 5 . 3)
9.3 .4
28 - 15
36
13
36
Potenzrechnung
ein und dieselbe Zahl oder Variable mehrfach mit sich selbst multipliziert,
man zur kürzeren und übersichtlicheren Darstellung die Potenzschreibnutzen. So schreibt man etwa 23 anstelle von 2 . 2 . 2 oder x 2 anstelle von
Allgemein definiert man für a E lR
an = a . a ..... a
(gesprochen: a hoch n),
~
n-mal
wobei a als Basis, n als Exponent und an als Potenzwert bezeichnet werden.
Die Zahl n, die die Anzahl der Faktoren angibt, ist zunächst sinnvollerweise
eine natürliche Zahl. Ist der Exponent 2, so sagt man für "a hoch 2" auch "a
Quadrat" oder "a in der zweiten Potenz".
Zur Berechnung von Potenzwerten mit einem Taschenrechner benötigt man die
Funktionstaste yX. Insbesondere im Kapitel Finanzmathematik werden solche
Berechnungen ständig vorkommen.
Beispiel 1.14:
b) 33 . 54
a) 26
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64;
= 3 . 3 . 3 . 5 . 5 . 5 . 5 = 16875;
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
21
c) (3.7)2 = 21 2 = (3·7)· (3·7) = 32 .72 = 44l.
Die Schreibweise im Beispiel b) ist so zu verstehen, daß zunächst die Potenz
berechnet, danach erst die Multiplikation ausgeführt wird. Bei abweichender
Reihenfolge der Operationen müssen Klammern gesetzt werden (wie in Beispiel
c) ).
Für beliebiges a
=f. 0 definiert man
aO~ 1
(daß dies zweckmäßig ist, zeigen die nachstehenden Potenzgesetze), während 0°
nicht definiert (oder wie man sagt, ein unbestimmter Ausdruck) ist.
Es gelten die folgenden Rechenregeln (wobei a, b E lR, a, b
vorausgesetzt sei):
=f. 0, m, n
E N
• Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem ihre
Exponenten addiert (subtrahiert) werden:
am . an = a m +n , a m : an = a m - n .
Hieraus ergibt sich speziell, daß eine Potenz mit negativem Exponenten gleich
dem Kehrwert des Potenzwertes ist, der sich bei positivem Exponenten ergibt:
=~
denn 1: an = a O : an = a O- n = a- n .
an'
• Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem ihre Basen multipliziert (dividiert) werden:
a- n
• Potenzen werden potenziert, d.h. mit sich selbst multipliziert, indem ihre
Exponenten multipliziert werden:
n-mal
Stimmen weder Basis noch Exponent überein, so lassen sich derartig verknüpfte
Ausdrücke in der Regel nicht weiter vereinfachen.
Die angeführten Rechengesetze sollen nun an hand einer Reihe von Beispielen
illustriert werden.
Beispiel 1.15: a) 23 .2 4 = 27 = 128; b) 76 .7- 6 = 7° = 1;
1
1
c) 5- 3 = 53 = 125; d) (-1,5)3 = (-1,5)· (-1,5)· (-1,5) = -3,375;
e) a 5 . a- 7 . a 6 : a 3 = a 5 -
7 +6-3
= a 1 = a;
g) 23 .5 3 = (2 . 5)3 = 103 = 1000;
i)
(~b)-2 =
ab_- 22 = ab22 = (-ab) 2.,
h) (x 2
5a7
f) -
a6
. y3)4
j) (_l)n =
{
= 5a 7 . a- 6 = 5a 7 - 6 = 5a·
'
= x 8 . y12;
1, nnungerade
gerade
-1,
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