Einstieg in die Wirtschaftsmathematik

Teubner Studienbücher Mathematik
Bernd Luderer, Uwe Würker
Einstieg in die Wirtschaftsmathematik
Bernd Luderer, Uwe Würker
Einstieg in die
Wi rtschaftsmathemati k
5., überarbeitete und erweiterte Auflage
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nato habil. Bernd Luderer
Geboren 1949 in Chemnitz. Von 1967 bis 1972 Studium der Mathematik, 1972 Diplom an der TH KarlMarx-Stadt. Von 1972 bis 1975 Aspirantur, 1976 Promotion an der Lomonossow-Universität Moskau.
1975 wiss. Assistent, 1979 Oberassistent TU Karl-Marx-Stadt. Studienaufenthalte 1980 Banachzentrum Warschau, 1983 Lomonossow-Universität Moskau. 1988 Habilitation, 1989 Dozent, 1992
Professor TU Chemnitz.
Internet: www.tu-chemnitz.de/-belud
E-Mail: [email protected]
PD Dr. rer. nato habil. Uwe Würker
Geboren 1963 in Glauchau/Sa. Von 1982 bis 1987 Studium der Mathematik, 1987 Diplom an der
TU Karl-Marx-Stadt. Von 1987 bis 1990 Forschungsstudium, 1990 bis 1999 wiss. Assistent an der
TU Chemnitz, 1991 Promotion, 2001 Habilitation. Seit 1999 Projektleiter an der Sächsischen Landesanstalt für Landwirtschaft.
1. Auflage 1995
2. Auflage 1997
4. Auflage 2001
5., überarbeitete und erweiterte Auflage November 2003
Alle Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
www.teubner.de
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von
jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-519-42098-9
DOI 10.1007/978-3-322-91822-2
ISBN 978-3-322-91822-2 (eBook)
Vorwort zur 5. Auflage
Mathematik als propädeutisches Fach am Beginn eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums: Was soll gelehrt werden? Wie soll gelehrt werden? Wie umfangreich darf oder muß der Inhalt sein? So viele Personen, so viele Meinungen.
Bei der Konzeption des vorliegenden Buches und somit bei der Beantwortung
der aufgeworfenen Fragen sind wir von unseren langjährigen Lehrerfahrungen
im Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler an der TU Chemnitz ausgegangen und zu den im Folgenden realisierten Positionen gekommen:
• Mathematik muss verständlich, aber korrekt gelehrt werden. Will
heißen: Im Vordergrund steht der "Normalfall" einer Formel, eines Algorithmus,
einer mathematischen Aussage; Sonderfälle, Entartungen, notwendige Voraussetzungen werden besprochen, aber nicht in den Vordergrund geschoben.
• Ein Wirtschaftswissenschaftler soll Mathematik anwenden. Will heißen: Er muss wissen, was Mathematik ist und kann. Er muss wichtige mathematische Begriffe kennen und sicher beherrschen, fundamentale Lösungsmethoden
kennen und an kleinen Beispielen ausprobiert haben, um deren Eigenschaften
und Anwendungsmöglichkeiten nutzen und ihre Grenzen einschätzen zu können.
Er muss Fertigkeiten im Umgang mit der Mathematik als "Handwerkszeug"
für wirtschaftswissenschaftliche Untersuchungen erwerben. Deshalb steht auch
die Demonstration mathematischer Aussagen an Beispielen im Vordergrund,
während Beweise sehr kurz wegkommen und nur exemplarischen Einblick in
mathematische Denkweisen gewähren. Ein Wirtschaftswissenschaftler muss sich
aber dessen bewusst sein, dass man Mathematik niemals bedenkenlos anwenden
darf, dass man - wie in jeder Wissenschaft - an bestimmte Gültigkeitsvoraussetzungen gebunden ist.
• Die Anwendung mathematischer Methoden in Wirtschaftswissenschaft und -praxis geht vom Wirtschaftswissenschaftler aus. Will heißen: Der zukünftige Absolvent muss neben profunder Kenntnis seines Faches
auch Basiswissen in Mathematik besitzen und in der Lage sein, ökonomische
Probleme in der Sprache der Mathematik zu formulieren, er muss abschätzen
können, inwieweit die Mathematik zur Lösung oder Lösungsunterstützung des
betreffenden Problems beitragen kann, und er muss die mittels mathematischer Methoden erhaltenen Resultate ökonomisch interpretieren und umsetzen
können. In der Praxis wird er hierbei natürlich vom Mathematiker nicht im
Stich gelassen. Diesem Ziel dienen im Buch die Untersuchung der vielfältigsten
Fragestellungen und ihre Umsetzung in die Sprache der Mathematik - kurzum,
die Modellierung komplexer Sachverhalte.
• Ein Wirtschaftswissenschaftler sollte von der Wichtigkeit der Mathematik überzeugt sein. Will heißen: Er muss sehen, wo und wie ihm mathematische Lösungsmethoden bei der Untersuchung der ihn interessierenden
Fragen helfen können. Dieses Anliegen wird im Buch dadurch realisiert, dass
die behandelten mathematischen Themen an vielen Anwendungsbeispielen il..,
Vorwort
6
lustriert werden und dass großer Wert auf die Interpretation der erzielten Ergebnisse gelegt wird.
Die Darlegungen des Buches berücksichtigen natürlich, dass ein Student im ersten Semester noch kein fertig ausgebildeter Wirtschaftswissenschaftler ist. Deshalb werden sehr spezielle Termini vermieden. Zur Anregung der selbstständigen Beschäftigung mit dem behandelten Stoff werden viele Übungsaufgaben
gestellt, von denen in der Regel auch die Lösungen am Ende des Buches zu
finden sind. Schließlich ist die Vielzahl von Abbildungen dazu gedacht, das
Vorstellungsvermögen anzuregen und zu verbessern.
Das vorliegende Lehrbuch vereint gewissermaßen drei Bücher in einem: einen
Vorkurs zum Erwerb oder zur Festigung von Abiturkenntnissen, den eigentlichen Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, der die Gebiete
Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Analysis mehrerer Veränderlicher
umfasst, sowie eine relativ umfangreiche Einführung in die Finanzmathematik. Nicht unerwähnt sollte bleiben, dass das Buch so angelegt ist, dass es sich
auch vorzüglich zum Selbststudium eignet.
Gegenüber der vorhergehenden Auflage gibt es eine ganze Reihe von Änderungen und Ergänzungen: Abschnitte zur Taylorentwicklung von Funktionen,
zur Cramerschen Regel und der Darstellung der inversen Matrix sowie zu linearen Differenzialgleichungen wurden aufgenommen, die Abschnitte zu Folgen
und Reihen, zur Methode der kleinsten Quadratsumme, zu den L 'Hospitalschen
Regeln und zu Wachstumsbegriffen wurden überarbeitet und erweitert. Im Interesse einer besseren Lesbarkeit wurde das Layout neu gestaltet. Ferner erfolgte
eine Umstellung auf die neue Rechtschreibung sowie auf Euro. Schließlich haben wir das gesamte Buch wiederum einer kritischen Durchsicht unterzogen und
etliche Ungenauigkeiten beseitigt.
Ergänzend zum vorliegenden Lehrbuch sind eine umfangreiche Aufgabensammlung, ein etwas kürzer gehaltenes Buch zur Klausurvorbereitung sowie eine Formelsammlung verfügbar:
Luderer, B., Paape, C. und Würker U.: Arbeits- und Übungsbuch Wirtschaftsmathematik, Beispiele - Aufgaben - Formeln (3. Auflage), Teubner, Stuttgart 2002,
Luderer, B.: Klausurtraining Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler (2. Auflage), Teubner, Stuttgart 2003,
Luderer, B., Nollau, V., und Vetters, K.: Mathematische Formeln für
Wirtschaftswissenschaftler (4. Auflage), Teubner, Stuttgart 2002.
Unser besonderer Dank gilt dem Teubner-Verlag und Herrn J. Weiß, Leipzig,
für die konstruktive und angenehme Zusammenarbeit. Wir hoffen auf weitere
positive Aufnahme des Lehrbuches durch die Leser und sind für Hinweise und
Anregungen zu seiner Verbesserung dankbar.
Chemnitz, im April 2003
Bernd Luderer, Uwe Würker
Inhaltsverzeichnis
Zeichenerklärung
13
1 Grundlagen
1.1 Instrumente der Elementarmathematik .
1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung .
1.1.2 Rechnen mit Zahlen
1.1.3 Bruchrechnung ..........
1.1.4 Potenzrechnung . . . . . . . . . .
1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision
1.1.6 Wurzelrechnung ...........
1.1.7 Logarithmenrechnung ........
1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen.
1.1.9 Koordinatensysteme
1.1.10 Winkelbeziehungen . . . . . . . . . .
1.1.11 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . .
1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen
1.2.1 Formen der Darstellung ....
1.2.2 Operationen mit Funktionen
1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen .
1.3 Ergänzende Fragen . . . . . . . . . .
1.3.1 Intervalle ...........
1.3.2 Auflösung von Ungleichungen
1.3.3 Absolute Beträge . . . . . . .
1.4 Analytische Geometrie . . . . . . . .
1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene .
1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum . .
1.4.3 Grafische Darstellung von Ungleichungssystemen
1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen ......
1.5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen.
1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen
1.5.4 Grenzwerte von Zahlenfolgen
1.5.5 Konvergenz von Reihen .....
15
15
15
17
20
22
24
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38
38
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43
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59
61
62
64
65
70
72
74
74
76
77
78
82
Inhaltsverzeichnis
8
2 Logik und Mengenlehre
2.1
2.2
Aussagenlogik ..
83
2.1.1
Aussagen
83
2.1.2
Aussagenverbindungen .
85
2.1.3
Quantoren . . . . . . . .
88
2.1.4
Einfache Schlussweisen .
2.2.1
Grundbegriffe .. .
89
91
91
2.2.2
Mengenrelationen .
93
2.2.3
Mengenoperationen
94
2.2.4
Abbildungen und Funktionen
96
Mengenlehre . . . . . . . .
3 Finanzmathematik
3.1
3.2
3.3
83
Zins- und Zinseszinsrechnung
99
99
3.1.1
Einfache Verzinsung
· 100
3.1.2
Zinseszinsrechnung .
.103
3.1.3
Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung
· 104
3.1.4
Methoden der mehrperiodigen Investitionsrechnung .
.106
3.1.5
Gemischte Verzinsung .
· 108
3.1.6
Unterjährige Verzinsung
.109
Rentenrechnung . . . . . . . . . .
· 111
3.2.1
Grundbegriffe der Rentenrechnung
· 111
3.2.2
Vorschüssige Renten .
· 112
3.2.3
Nachschüssige Renten
· 113
3.2.4
Grundaufgaben der Rentenrechnung
· 115
3.2.5
Ewige Rente
· 117
Tilgungsrechnung ..
· 119
3.3.1
Grundbegriffe. Formen der Tilgung.
.119
3.3.2
Ratentilgung . . .
· 120
3.3.3
Annuitätentilgung
· 120
3.3.4
Tilgungspläne .
· 122
3.4 Renditerechnung . . .
· 124
Inhaltsverzeichnis
4 Lineare Algebra
4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume .
4.1.1 Begriff der Matrix
4.1.2 Spezielle Matrizen . . . . .
4.1.3 Matrizenrelationen . . . . .
4.1.4 Operationen mit Matrizen .
4.1.5 Lineare Vektorräume .
4.2 Matrizenmultiplikation . . . .
4.2.1 Skalarprodukt . . . . .
4.2.2 Produkt von Matrizen
4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation
4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation
4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . .
4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems
4.3.2 Darstellungsformen von LGS . . . . .
4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS . . . . .
4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix
4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS ..
4.4 Gauß'scher Algorithmus . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen.
4.4.2 Ablaufplan des Gauß'schen Algorithmus
4.4.3 Lösungsdarstellung . . . . . . . . .
4.4.4 Numerische Aspekte . . . . . . . .
4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen.
4.5 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . .
4.5.1 Linearkombination . . . . . . . . .
4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit
4.5.3 Basis und Rang. . . . . . . . . . . .
4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme
4.6 Matrizeninversion . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Definition der inversen Matrix . . .
4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion
4.7 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Definition der Determinante . . . .
4.7.2 Eigenschaften von Determinanten.
9
129
· 129
· 129
· 130
· 132
· 134
· 136
· 138
· 138
· 139
· 141
· 142
· 148
.149
· 150
· 151
· 154
.155
· 156
· 156
· 160
· 161
· 163
· 164
· 167
· 167
· 170
. 172
. 176
· 177
· 177
· 181
· 186
· 186
· 189
10
Inhaltsverzeichnis
4.7.3
Anwendungen der Determinantenrechnung .
· 192
4.7.4
Definitheit von Matrizen.
· 194
4.7.5
Die Cramer'sche Regel ..
· 196
4.7.6
Zusammenfassende Bemerkungen.
· 197
5 Lineare Optimierung
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
199
Gegenstand der linearen Optimierung
.200
5.1.1
Betrachtung einer Modellsituation
.201
5.1.2
Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff
.202
Modellierung und grafische Lösung von LOA .
.204
5.2.1
Modellierung typischer Problemstellungen
.205
5.2.2
Grafische Lösung von LOA
.211
Theorie der linearen Optimierung.
.221
5.3.1
Überführung in die Gleichungsform .
.221
5.3.2
Basislösungen und Eckpunkte .
.226
5.3.3
Eigenschaften von LOA . . . .
.229
Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform . . 230
5.4.1
Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 230
5.4.2
Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen
. 234
5.4.3
Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen
.235
5.4.4
Ablaufplan des Simplexalgorithmus .
.237
5.4.5
Beispiele. Rechenkontrollen
.241
5.4.6
Sonderfälle . .
.244
Zwei-Phasen-Methode
.248
5.5.1
Grundidee ...
.248
5.5.2
Mögliche Fälle
.250
5.5.3
Beispiele....
.252
Dualität in der linearen Optimierung .
.254
5.6.1
Konstruktion der dualen Aufgabe.
.254
5.6.2
Dualitätsbeziehungen . . . . . . .
.257
5.6.3
Ökonomische Interpretation der Dualvariablen
.259
Inhaltsverzeichnis
6
Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
6.1
Grenzwert und Stetigkeit . . . . .
6.1.1 Grenzwert von Funktionen . . . .
6.1.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . .
6.1.3 Eigenschaften stetiger Funktionen
6.2 Die Ableitung einer Funktion .
6.2.1 Das Tangentenproblem .
6.2.2 Differenzial . . . . . .
6.2.3 Differenziationsregeln .
6.2.4 Höhere Ableitungen . .
6.2.5 Taylor-Entwicklung einer Funktion
6.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen.
6.3.1 Monotonie und Beschränktheit . . .
6.3.2 Extremwerte . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten
6.3.4 Kurvendiskussion. . . . . . . . . . .
6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion . . .
6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse
6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung
6.4.1 Intervallhalbierung . . . . . . . .
6.4.2 Sekantenverfahren. Regula Falsi .
6.4.3 Newton-Verfahren . . . . . .
7 Funktionen mehrerer Veränderlicher
7.1 Begriff und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1
7.1.2
7.2
7.3
Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenziation von Funktionen mehrerer Veränderlicher
7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . .
7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten . . . . .
7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen
7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hesse-Matrix
7.3.5 Vollständiges Differenzial
7.3.6 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
266
. 266
. 267
. 270
.271
.272
.274
.277
.279
.282
.283
. 287
. 288
.290
.295
.299
.302
.305
.311
.313
.314
.316
318
. 318
. 318
. 320
. 323
. 329
. 329
. 330
. 334
. 338
.339
.342
12
Inhaltsverzeichnis
8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher
347
8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . .
. 347
8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen .. 348
8.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
.352
8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen ..
.354
8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung
.355
8.2.2 Die Eliminationsmethode . . . . .
.356
8.2.3 Die Lagrange-Methode . . . . . . .
.363
8.2.4 Interpretation der Lagrange'schen Multiplikatoren
. 370
8.3 Methode der kleinsten Quadratsumme . . .
. 372
8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression
. 372
8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen
. 379
9 Integralrechnung
9.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen
9.1.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen . .
9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale
9.2.3 Numerische Integration
9.2.4 Uneigentliche Integrale . . . .
9.2.5 Doppelintegral . . . . . . . .
9.3 Anwendungen der Integralrechnung.
9.3.1 Untersuchung von Wachstumsprozessen
9.3.2 Kurzer Ausblick auf Differenzialgleichungen
383
. 384
. 384
. 385
. 387
. 387
.390
.392
.394
.396
.399
.400
.403
Lösungen zu den Aufgaben
405
Klausur beispiel
425
Literat urverzeichnis
431
Sachwortverzeichnis
432
Zeichener klärung
-
Menge der natürlichen Zahlen
-
Menge der ganzen Zahlen
-
Menge der rationalen Zahlen
-
Menge der reellen Zahlen
-
Menge der komplexen Zahlen
-
Menge der nicht negativen reellen Zahlen
-
Menge der n-dimensionalen Vektoren bzw.
n- Tupel reeller Zahlen
lxi
/lx/l
absoluter Betrag der reellen Zahl x
-
Norm des Vektors x
Gleichheit per Forderung
def
=
~
Gleichheit per Definition
-
Äquivalenz von Aussagen; genau dann, wenn
==*
V
-
Implikation; aus ... folgt ...
-
für alle; für beliebige
:3
-
es existiert; es gibt
-
leere Menge
{x I E(x)}
-
Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft E(x)
e
-
Euler'sche Zahl
o
imaginäre Einheit
p
Zinssatz, Zinsfuß
t
·
Zmsra
e, '1, = ..L
100
Bvor
n
-
Aufzinsungsfaktor, q = 1 + i
-
Kapital zum Zeitpunkt t
-
Barwert der vorschüssigen Rente
-
Barwert der nachschüssigen Rente
-
Endwert der vorschüssigen Rente
-
Endwert der nachschüssigen Rente
14
Zeichen erklärung
Bk
-
Restschuld am Ende der k-ten Periode
Ak
-
Annuität in der k-ten Periode
Zk
Tk
A-l
-
Zinsen in der k-ten Periode
-
Tilgung in der k-ten Periode
-
inverse Matrix
AT
-
transponierte Matrix
rang A
-
Rang der Matrix A
-
Determinante der Matrix A
(a, b)
-
Skalarprodukt der Vektoren a und b
E
-
Einheitsmatrix
-
j-ter Einheitsvektor
-
Vektor der Basisvariablen
-
Vektor der Nichtbasisvariablen
C
-
Vektor der Zielfunktionskoeffizienten
CB
-
Vektor der Zielfunktionskoeffizienten der Basisvariablen
Aj
-
Optimalitätsindikatoren
-& ,IXj
&1
-
partielle Ableitungen erster Ordnung
\11 (X)
&21
-
Gradient der Funktion
-
partielle Ableitungen zweiter Ordnung
-
Hessematrix der Funktion
-
Lagrangefunktion
-
(Punkt-) Elastizität der Funktion
Cf,Xi
-
partielle Elastizität von
w(t, I)
-
Wachstumstempo der Funktion
det
A, lAI
Xj
&Xi &Xj
Hf(X)
L(X,A)
,lXiX'
1
I
im Punkt x
I
I
im Punkt x
I
bezüglich
I
im Punkt x
Xi
im Zeitpunkt t
Kapitell
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die für das Verständnis des vorliegenden Buches wesentlichen Grundbegriffe und Rechenregeln der Schulmathematik noch einmal
kurz dargestellt und an einigen Beispielen (mit Lösungen) illustriert. Anhand
von weiteren Übungsaufgaben kann der Leser überprüfen, ob er die behandelten
Teilgebiete der Mathematik ausreichend beherrscht.
Bei entsprechenden Vorkenntnissen kann das gesamte Kapitel auch übersprungen werden.
1.1
1.1.1
Instrumente der Elementarmathematik
Zahlbereiche. Zahlendarstellung
Ein wichtiges mathematisches Objekt ist die Zahl. Zahlen können zu verschiedenen Zahlbereichen gehören; in wachsender Allgemeinheit sind dies:
• N - Bereich der natürlichen Zahlen: 1,2,3, ... (oft wird auch die Zahl 0 mit
zu N gezählt);
• 7l - Bereich der ganzen Zahlen: ... , -2, -1,0,1,2, ... ;
• Q - Bereich der mtionalen Zahlen: alle Zahlen, die sich als Bruch ganzer
Zahlen, d. h. in der Form z = ~ mit p und q aus 7l, darstellen lassen, z. B.
5- 5 7
15
1
- T' 8' -2'
100'
Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen bricht entweder nach endlich vielen
Stellen nach dem Komma ab (z. B. = 0,25) oder sie ist - von einer gewissen
Stelle an - periodisch (d. h., eine feste endlich lange Folge von Ziffern wiederholt
= -0,090909 ... ).
sich immer wieder, wie z. B. = 0,666 ... , • :R - Bereich der reellen Zahlen: alle Zahlen, die entweder rational oder irmtional sind. Irrationale Zahlen sind solche, die sich nicht in der Form z = ~
mit p und q aus 7l darstellen lassen. Gut bekannte Beispiele sind etwa V2 =
1,41421 ... , das oft als "Kreiszahl" bezeichnete 1f' = 3,1415926 ... oder die Euler'sche Zahl1 e = 2,71828 ... , die als Grenzwert des Ausdrucks (1 + ~r. für
n -+ +00 definiert ist (zum Begriff des Grenzwertes siehe Punkt 1.5.4).
Im Gegensatz zu rationalen Zahlen lässt sich bei irrationalen Zahlen in ihrer
Dezimaldarstellung keine endliche Periode finden, d. h., die entsprechende Ziffernfolge ist unendlich lang ohne regelmäßige Wiederholungen.
i
i
A
lEuler, Leonhard (1707-1783), Schweizer Mathematiker, Physiker und Astronom
B. Luderer et al., Einstieg in die Wirtschaftsmathematik
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
Kapitell. Grundlagen
16
Die reellen Zahlen lassen sich mit Hilfe der Zahlengeraden sehr gut veranschaulichen, wobei jeder Zahl ein Punkt zugeordnet wird und umgekehrt (näheres
dazu siehe S. 60). Bei praktischen Rechnungen, insbesondere mit dem Taschenrechner oder Computer, arbeitet man aufgrund der beschränkten Speicherkapazität mit rationalen Zahlen als Näherung für zu bestimmende reelle Zahlen,
d. h., man rechnet mit Brüchen oder - in der Dezimaldarstellung - mit endlich vielen Nachkommastellen. In diesem Zusammenhang sei ergänzend auf die
Exponentialdarstellung einer Zahl verwiesen (vgl. dazu auch Punkt 1.1.4 zur
Potenzrechnung) :
12345,6 = 1,23456 . 104 = 1.23456E4
0,000123 = 1,23 . 10-4 = 1.23Fr-4
(E4 und E-4 stehen dabei für 104 bzw. 10-4 ) .
• (- Bereich der komplexen Zahlen: Zahlen der Form z = a+bi, wobei i = A
die so genannte imaginäre Einheit ist (für die i2 = -1 gilt) und a, b reelle Zahlen
sind. Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich, auch aus negativen Zahlen Wurzeln zu ziehen. Die komplexen Zahlen bilden ein wichtiges Hilfsmittel
zur vollständigen Beschreibung der Lösungsmengen von Polynomgleichungen,
Differentialgleichungen usw.
Für die Aussage "a ist eine natürliche Zahl" bzw. "a gehört zur Menge der
natürlichen Zahlen" wird meist kurz geschrieben a E N (lies: "a ist Element der
Menge der natürlichen Zahlen"). Ferner wird eine Menge zusammengehöriger
Objekte (Elemente) durch Aufzählung derselben bzw. in der Form {x I E(x)}
(lies: "Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) besitzen") dargestellt. Auf die
damit verbundenen Sachverhalte gehen wir später in Abschnitt 2.2 noch näher
ein.
Beispiel 1.1:
a) {z I z = 2k, k E N} = {2, 4,6, ... } - Menge der geraden Zahlen;
b) {x E RIO :S x :S I} - Menge reeller Zahlen zwischen 0 und 1.
Die oben verwendeten Bezeichnungen (Buchstaben) a, b, p, q, Z, ..• stellen stets
Zahlen dar, deren konkrete Werte zunächst nicht festgelegt bzw. vorerst unbekannt sind.
Um im Weiteren bestimmte Sachverhalte mathematisch kurz und präzise beschreiben zu können, benötigen wir die folgenden - der Logik entstammenden
und in Abschnitt 2.1 noch ausführlich diskutierten - Symbole:
V
:3
==}
~
Allquantor; für alle; für beliebige;
Existenzquantor; es existiert; es gibt ein;
aus ... folgt;
genau dann, wenn; dann und nur dann.
Beispiel 1.2:
a) x 2 ~ 0
Vx E R
(lies: "für alle reellen Zahlen x gilt x 2 ~ 0");
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
17
b) :I a E ~ : a = a3 (lies:"es gibt mindestens eine rationale Zahl a, die gleich
ihrer dritten Potenz ist, z. B. a = 1");
c) x E ~ ==} KE ~ (lies:" wenn x eine rationale Zahl ist, so ist Kebenfalls
eine rationale Zahl");
d) x + a = x - a <===} a = 0 (lies: "die Gleichung x + a = x - a ist genau
dann richtig, wenn a = 0 gilt").
1.1.2
Rechnen mit Zahlen
Gleichheitszeichen in mathematischen Ausdrücken können verschiedene Bedeutungen besitzen:
• Aussage a = b (drückt die Tatsache aus, dass die linke und die rechte Seite
exakt den gleichen Wert haben; äquivalent hierzu ist die Aussage b = a, d. h.,
die beiden Seiten einer Gleichung können vertauscht werden);
I
• Bestimmungs- oder Bedingungsgleichung f (x) == 0 (stellt eine zu lösende
Aufgabe dar: setze den Ausdruck f(x) gleich null und bestimme die Lösung
oder Lösungen der entstandenen Gleichung);
• Definitionsgleichung a ~f b + c (a ist per Definition gleich b + c);
• Erhöhung des Iterationszählers k := k + 1 (der Iterationszähler k wird um
eins erhöht) .
In diesem Punkt beschäftigen wir uns mit dem ersten Fall, d. h., mit so genannten äquivalenten Ausdrucken. Dabei handelt es sich um eine der häufigsten
Anwendungen der Schulmathematik: Ein gegebener Ausdruck a bzw. eine gegebene Gleichung a = b muss in geeigneter Weise so umgeformt bzw. vereinfacht
werden, dass sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert bzw. die Gleichung nicht
verletzt wird (so genanntes äquivalentes Umformen). Regeln für die Umformung
von Zahlen-Ausdrücken sind Gegenstand der folgenden Unterpunkte.
Für beliebige reelle Zahlen a, b, c gelten nachstehende Regeln:
Kommutativgesetze:
a + b = b + a,
a .b = b.a
(In einer Summe oder einem Produkt können die beiden Summanden bzw.
Faktoren vertauscht werden.)
Assoziativgesetze:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a . b) . c = a· (b· c)
(In Mehrfachsummen und -produkten ist die Reihenfolge der Summanden bzw.
Faktoren beliebig.)
Distributivgesetze:
(a + b) . c = a . c + b . c,
a· (b + c) = a· b + a· c
(Ein vor oder hinter einer Summe stehender Faktor wird mit einer Klammer
multipliziert, indem er mit jedem einzelnen Summanden multipliziert wird.)
Allgemein gilt: Zur Vereinfachung eines Ausdrucks mit mehreren Operationszeichen bzw. mit Klammern sind zunächst die Klammern aufzulösen, danach sind
18
Kapitel 1. Grundlagen
eventuelle Multiplikationen und Divisionen sowie zuletzt Additionen und Subtraktionen auszuführen ("Punktrechnung geht vor Strichrechnung"). Manchmal
ist jedoch anstelle des Auflösens von Klammern auch die umgekehrte Operation
sinnvoll: Insbesondere beim Umstellen einer Gleichung nach einer Variablen ist
oft Ausklammem entsprechend obigen Distributivgesetzen der Weg zur gesuchten Lösung.
Rechnen mit Klammern
• Steht vor einem Klammerausdruck ein Pluszeichen, kann die Klammer einfach
weggelassen werden.
• Ein vor der Klammer stehendes Minuszeichen ist wie der Faktor -1 aufzufassen, d. h., jeder Bestandteil der entsprechenden Klammer ist entsprechend dem
Distributivgesetz mit dem umgekehrten Vorzeichen zu versehen.
Beispiel 1.3:
a) 2a + (a
+b(a + b -
= 2a + a + b - c = 3a + b c) = 2a + (-a - b + c) = 2a -
c)
c;
b) 2a a - b + c = a - b + c.
• Ein in Klammern stehender Ausdruck wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes in der Klammer stehende Glied mit dieser Zahl multipliziert wird.
Entsprechend dem Kommutativgesetz kann dabei die Zahl vor oder auch nach
der Klammer stehen.
• Ein in jedem Glied eines Ausdrucks vorkommender gemeinsamer Faktor, der
nicht null ist, kann ausgeklammert (vor oder hinter die Klammer geschrieben)
werden, wobei jedes Glied durch den Faktor zu dividieren ist.
Beispiel 1.4: a) 5· (3a - 4b) = (3a - 4b) ·5= 5· 3a + 5· (-4b) = I5a - 20b;
b) (-3)·(a-b)=-3a+3b;
(55a + l~b) = 5(a + 2b);
d) ab + bc = b· (bb + Pr) = b(a + c).
c) 5a+ lOb = 5
Bemerkung: Die Umformung in d) ist nur bei b =1= 0 richtig, das Endergebnis
aber auch für b = O.
• Kommen in einem Ausdruck mehrere ineinandergeschachtelte Klammern vor,
so sind diese von innen nach außen unter Anwendung obiger Regeln aufzulösen.
Beispiel 1.5: -7{2[a + 2b - 3(c - a)]- [(2a - b) - 6(c - 4b)]}
= -7 {2[a + 2b - 3c + 3a] - [2a - b - 6c + 24b]}
= -7{2[4a + 2b - 3c]- [2a + 23b - 6c]}
= -7{8a + 4b - 6c - 2a - 23b + 6c}
= -7{6a -1gb} = -42a + 133b.
Es wurden zunächst die runden, danach die eckigen bzw. geschweiften Klammern aufgelöst.
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
19
Multiplikation zweier Klammerausdrücke
• Zwei Klammerausdrücke werden multipliziert, indem jedes Glied in der ersten
Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer (unter Beachtung der Vorzeichenregeln) multipliziert wird.
+ 4)(5b - 6) = 15ab - 18a + 20b - 24;
b)(a + b + 2) = a 2 + ab + 2a - ab - b2 - 2b = a 2 + 2a -
Beispiel 1.6: a) (3a
b) (a -
b2 - 2b.
Bemerkung: Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Faktoren erfolgt in
entsprechender Weise.
Summenzeichen
Um größere Summen übersichtlich darzustellen, bedient man sich häufig des
Summenzeichens:
n
Lai = al
i=1
+ a2 + ... + an
(lies: "Summe der Glieder ai für i von 1 bis n"); hierbei ist i der Summationsindex. Es ist unschwer zu sehen, dass folgende Rechenregeln gelten:
•
•
n
n
n
i=1
i=1
i=1
I: (ai + bi ) = I: ai + I: bi;
n
n
i=1
i=1
I: c . ai = c· I: ai·
Im Spezialfall können die Glieder ai auch von i unabhängig und somit konstant
sein. Unter Verwendung des Summenzeichens ergibt sich in diesem Fall
•
n
I: a = n· a.
i=1
Auch doppelt oder mehrfach indizierte Glieder lassen sich mit Hilfe von
Summenzeichen übersichtlich darstellen (wobei man z. B. von Doppelsummen
spricht):
•
n
m
I: I: aij =
i=lj=1
+ a12 + ... + aln + a21 + a22 + ... + a2n
+ ... + amI + ... + amn·
al1
Ordnet man die Glieder um, erkennt man, dass gilt
m
n
LLaij
i=1 j=1
n
m
= LLaij.
Beispiel 1. 7: a)
j=1 i=1
5
I: i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
i=1
Kapitell. Grundlagen
20
b)
c)
4
2: i 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30;
i=1
10
2: 1 = 1 + 1 + ... + 1 =
i=1
2
3
d) 2: 2: (b ij
i=lj=1
10;
+ i . j) = (bll + 1) + (b 12 + 2) + (b 13 + 3)
+(1)2) + 2) + (b" + 4) + (1),3 + 6) =
1.1.3
('t.J, b'j)
+ 18.
Bruchrechnung
Eine Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar ist, wurde oben
als rational bezeichnet. Ebenso gebräuchlich ist die Bezeichnung Bruch. In der
Bruchrechnung sind die Regeln zusammengefasst, die bei der Ausführung von
Rechenoperationen mit Brüchen zu beachten sind. Leider wird beim Rechnen
gegen diese Regeln sehr häufig verstoßen.
Im Weiteren sollen a, b, c, ... beliebige ganze Zahlen bedeuten. In einem Bruch
~ , a, b E 'll, wird a als Zähler, b als Nenner bezeichnet. Ein Bruch ist nur
definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Division durch null ist verboten!
Die Schreibweise ~ ist der Darstellung alb vorzuziehen, da letztere eine Fehleroder 3~ gemeint?
quelle sein kann: Ist mit 1/3 . a der Ausdruck
Merke: Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Werden also Brüche durch Umformungen beseitigt, müssen gegebenenfalls Klammern gesetzt werden.
a+b
a-b
Beispiel 1.8: a) c + d = (a + b) : (c + d); b) -4- + c = (a - b) : 4 + c.
ia
Erweitern und Kürzen eines Bruchs
• Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich null) multipliziert, d. h. den Bruch mit c erweitert:
a
b
a·c
,
b·c
a, b E 'll, c f:. 0 .
• Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl (ungleich null) dividiert:
a·c
b.C
(a·c):c
= (b·)
c :c
a
-b ,
a, b E 'll, c f:. 0 .
Diese, zum Erweitern umgekehrte Operation nennt man Kürzen. Sie läuft darauf hinaus, gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner zu finden, was nicht
immer einfach ist.
1.1. Instrumente der Elementarmathematik
. .
5
10
BeIspIel 1.9: a) 6 = 12
b)
-5
5
5
6 = -6 = -6;
25
21
20(b + 1)
5a
500
= 30 = 600 = 6a = 24(b + 1);
52
13·4
c) 39 = 13.3 =
4
1517
37·41
41
d) 1443 = 37·39 = 39·
3;
Multiplikation von Brüchen
• Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem ihre Zähler und ihre
Nenner miteinander multipliziert werden:
a ca· c
b·"d= b·d·
· . 1 1 10 ) 2 3
B elSpIe
. : a 5·"7
2.3
6
= 5.
7 = 35 ;
5
-5 7
-35
b)--·7=-.-=6
6 1
6·
Division von Brüchen
• Zwei Brüche werden dividiert, indem der im Zähler stehende Bruch mit dem
Kehrwert des im Nenner stehenden multipliziert wird:
~_a.c_a
d_a.d
b·c·
~-b·"d-b·~-
. .
4
BeIspIel 1.11: a) '9
c) 1:
2
2- = 1. 10 = 10.
10
4 3
: 3 = '9.2" =
4·3
2
9.2 = 3;
b)
2
5
3: Li =
2·4
8
3·5 = 15;
d) a + 1 : a(a + 1) = (a + 1) ·3b = ~.
b
l'
3b
b.a(a+l)
a
Addition und Subtraktion von Brüchen
• Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, so werden sie addiert bzw. subtrahiert, indem (bei unverändertem Nenner) die Zähler addiert bzw. subtrahiert
werden:
a
c
b
c
a+b
c
-+-=--,
a
c
b
c
---=
a-b
c
• Weisen zwei Brüche unterschiedliche Nenner auf, werden sie zunächst durch
Erweiterung gleichnamig gemacht, indem ein Hauptnenner gebildet wird; danach wird wie oben verfahren. Es ist günstig, aber nicht unbedingt erforderlich,
als Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache aller eingehenden Nenner
(das ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner) zu wählen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen wird ermittelt,
indem jede Zahl als das Produkt der in ihr enthaltenen Primzahlen, die auch