Inhaltsverzeichnis.
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Inhaltsverzeichnis. A. Lehrstoff der Öbersekunda. Seite Abschnitt I: Ergänzung und Erweiterung der Goniometrie und Trigonometrie .' : 1—22 § 1. Der Kosinus und Sinus 2 § 2.' Der Tangens und Kotangens ". 10 § 3. Die goniometrischen Additionstheoreme 13 § 4.- Folgerungen ans den Additionstheoremen 16 § • 5. Anwendungen auf die Dreiecksberechnung 17 § 6. Die Berechnung eines Vierecks in einigen praktischen Anwendungen 19 Abschnitt II: Dio Geometrie des Teilverhältnisses 22—59 • § 1. Das Teilverhältnis . . ' . . . . . • 22 § 2. Die Sätze des Menelaus und .Ceva 24 § 3. Der Satz des Pascal für den Kreis 27 § 4. Die harmonische Teilung . . > 30 § 5. Das vollständige Vierseit . . . 31 § 6. Der harmonische- Strahlenwurf 33 § 7. Die Polareigenschaften des Kreises> .. . 37 § 8. Der Satz des Brianchon für den Kreis 40 § 9. Ähnliche und ähnlich gelegene Polygone 41 § 10. Die Kreise als ähnliche und ähnlich' gelegene Figuren . . . . 43 § 11. Die Ähnlichkeitsverwandtschaft . ' 47 § 12. Die Inversion oder Verwandtschaft reziproker Radien 48 § 13. Die.Potenzeigenschaften der Kreise : 52 Abschnitt III: Erweiterung und Ergänzung der Stereometrie . . . 60—91 § 1. Die Lagenbeziehungen der Grundgebilde des Raumes zueinander 60 § 2. Die von zwei Geraden gebildeten Winkel 65 § 3. Gerade Linien, die auf einer Ebene senkrecht stehen . . . . 66 § 4. Die Winkel zweier Ebenen 70 § 5. Die Neigung einer Geraden gegen eine Ebene 72 § 6. Der kürzeste Abstand zweier windschiefen Geraden 74 § 7. Der Eulersche Satz über Polyeder 76 § 8. Die regulären Polyeder 80 §• 9. Der Körperstumpf . . . 82 § 10. Der Pyramidenstumpf und der Kegelstumpf . . . . . . . . . 85 § 11. Der Kugelabschnitt . • . 88 Abschnitt IV: Projektionslehre und darstellende Geometrie. I. Teil 92—121 § 1. Die senkrechte Parallelprojektion auf eine Ebene 92 § 2. Die schräge Parallelprojektion 96 § 3. Die senkrechte Projektion, eines Kreises 100 http://d-nb.info/361299796 VIII ' Inhaltsverzeichnis. Seite Darstellende Geometrie im engeren Sinne: Das Grund- und Aufrißverfahren. § § § § § § 4. Darstellung des Punktes 104 5. Darstellung der geraden Linie • . 107 6. Darstellung der Ebene . . ' 111 7. Eine Gerade und eine Ebene 112 8. • Zwei Ebenen 114 9. Die Affinität zwischen den ersten und zweiten Projektionen der Punkte einer Ebene 118 Abschnitt V: E r w e i t e r u n g ' d e r A r i t h m e t i k u n d A l g e b r a . . . . 121—144 § 1. Gleichungen ersten Grades mit einer oder zwei Unbekannten-. .. 121 § 2. Gleichungen ersten Grades mit drei Unbekannten . . . . . . : 124 § 3. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten und imaginäre Zahlen . 128 § 4. Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten 133 § 5. Die arithmetische Reihe . 137 § 6. Die geometrische Reihe ' . . . . ' . 138 § 7. Zinseszins- und Rentenrechnung 142 B. Lehrstoff der Prima. Abschnitt VI: Projektionslehre nnd darstellende Geometrie.'II. Teil 145—175 § 1. Darstellung von Pyramide und Prisma 145 § 2. Ebene Schnitte von Pyramiden und Prismen . . . < • • • • • 148 § 3. Die Zentralprojektion und die unendlich ferne Gerade einer Ebene ±52 § 4. Die Perspektive Lage zweier Ebenen 154 § 5. Die Homologie in den vereinigten Ebenen der Perspektivität . . 155 § 6. Schattenkonstruktionen und perspektivische Bilder . . . . . . 160 § 7. Die Darstellung des Kreiszylinders, des Kreiskegels und der Kugel 166 § 8. Ebene Schnitte eines Kreiskegels . . -. 170 Abschnitt VII: Die Geometrie der Kegelschnitte in projektiv-synthetischer Darstellung 175—214 § 1. Die Beziehungen der drei Arten von Kegelschnitten zur unendlich fernen Geraden ihrer Ebene 175 § 2. Die Kegelschnitte als Zentralprojektionen eines Kreises . . . 178 § 3. Piojektive Eigenschafton, Ordnung und Klasse der Kegelschnitte 180 § 4. Der Satz des Pascal . 181 § 5. Die Bestimmung eines Kegelschnitts durch fünf seiner Punkte . 183 § 6. Eine Kreisaufgabe • . . 185 § 7. Die Umkehrung des Pascalsatzes 186 § 8. Die Asymptoten einer Hyperbel und Konstruktionsaufgaben, in denen unendlich ferne Punkte der Kegelschnitte gegeben sind 186 § 9. Der Satz des Brianchon 188 § 10. Zwei Anwendungen auf die Hyperbel • . 189 § 11. Die Konstruktion beliebig vieler Tangenten eines Kegelschnitts, wenn fünf gegeben sind 191 § 12. Die Polarentheorie der Kegelschnitte .- . . 193 § 13. Die Durchmesser und der Mittelpunkt eines Kegelschnitts . . 197 § 14. Konjugierte Durchmesser 199 § 15. Die Symmetrieachsen der Kegelschnitte . . . . . . . . . 201 § 16.' Ebene Schnitte eines Rotationskegels 206 Inhaltsverzeichnis. IX Seite Abschnitt VIII: Die körperlichen Ecken und die Geometrie auf der Kugel, sphärische Trigonometrie und Anwendungen auf die • mathematische Himmelskunde 214—260 § 1. Die dreiseitige Ecke und das sphärische Dreieck. . ." . . . 214 § 2. Ein Fundamentalsatz 217 § 3. Die kürzeste Linie einer Kugelfläche zwischen zwei ihrer Punkte 218 § 4. Die Summe der Kantenwinkel einer dreiseitigen Ecke . . . . 219 § 5. Die Polarecke einer dreiseitigen Ecke 220 § 6. Die Summe der Flächenwinkel einer dreiseitigen Ecke . . . . 221 § 7. Kongruenz und symmetrische Gleichheit 222. § 8. Ein Kongruenzsatz und die gleichschenklige dreiseitige Ecke . 223, § 9. Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks 224 § 10. Die übfigen Kongruenzsätze 226 § 11. Ein sphärisches Koordinatensystem 228 • § 12. Die stereographische Projektion 229 § 13. Die .Kreisschnitte eines .Kreiskegels 232 § 14. Fortsetzung der stereographischen Projektion 233 § 15. Konstruktionsaufgaben zur dreiseitigen Ecke. 235 § 16^ Der sphärische Sinussatz 237 § 17. Der sphärische Kosinussatz 238 § 18. Die Formeln des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks . . . . 240 § 19. Die Fundamentalaufgaben des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks 241 § 20. Die Fundamentalaufgaben des schiefwinkligen sphärischen Dreiecks 244 § 21. Die Halbwinkel- und Halbseitenformeln des sphärischen Dreiecks 246 Die Anwendungen in der mathematischen Himmelskunde. § 22. Das Horizontal- und Äquatorialsystem 249 § 23. Die Beziehungen zwischen den Koordinaten des Horizontalsystems und des Äquatorialsystems; das Polardreieck 252 § 24. Die scheinbare Bewegung der Sonne 254 § 25. Der Sterntag und der wahre Sonnentag 256 § 26. Das siderische und tropische Jahr 258 § 27. Der mittlere Sonnentag und die Sekunde der physikalischen Maßsysteme 258 § 28. Übungen . •. 260 Abschnitt IX: Analytische Geometrie . .. . : 261—362 A. Allgemeinere Beziehungen und Formeln der Koordinatengeometrie. § § § § § § § § 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Das rechtwinklige Koordinatensystem Streckenbeziehungen auf einer Geraden . . . . . . . . . . Winkelbeziehungen zwischen den Geraden eines Strahlenbüschels Die Projektion einer Strecke auf eine Gerade . Grundformelri Die Beziehungen zwischen zwei verschiedenen Koordinatensystemen Polarkoordinaten . . . . Der Inhalt eines Dreiecks ' 261 262 263 264 265 268 271 272 B. Die Gleiehungsformen der Geraden. § 9. Die analytische Bedingung dafür, daß ein Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt .• . . 273 § 10. Die Bedeutung der allgemeinen Form einer Gleichung ersten Grades in x und y . • • . . . . 275 X Inhaltsverzeichnis: Seite § 11. Die Abschnittsgleichung einer Geraden 276 § 12. Die Gleichung einer Geraden, von der' ein oder zwei Punkte gegeben sind 278 § 13. .Die Parameterdarstellung einer Geraden 280 § 14. Die Hessesche Normalform der Gleichung einer Geraden . . . 280 C. Zwei Geraden und das Strahlenbüschel. § 15. Der Schnittpunkt zweier durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden . .' 283 § 16. Die Winkel zweier durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden 285 § 17. Gerade Linien, die durch den Schnittpunkt von zwei durch ihre Gleichungen gegebenen.Geraden gehen 286 § 18. Beispiele zu den Sätzen des § 17 289 D. Der Kreis in analytischer Behandlung. § 19. § 20. § 21. §'22. § 23. § 24. § 25. Die Gleichung eines Kreises " Die Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis und die Potenzachse zweier Kreise • Ein Kreis und eine Gerade Übungen * Die Gleichung einer Kreistangente - . . " . . . . Folgerungen aus der Tangentengleichung \ . 'Die Gleichung der Polaren eines gegebenen Punktes . . . . 292 293 295 296 298 299 301 E. Die Kegelschnitte in analytischer Behandlung. 31. 32. 33. 34. I. Die E l l i p s e . Die Gleichung der auf ihre Symmetrieachsen bezogenen Ellipse Allgemeinere Bemerkungen zur Methode der geometrischen Örter Die Tangentengleichung der Ellipse Folgerungen aus der Tangcntengleichung Die Gleichung der Normale und der grundlegende Satz über die Brennpunkte Weitere Brennpunktseigenschaften der Ellipse Die Leitlinien.der Ellipse . . . . . . , . . , Durehmessereigenschaften der Ellipse Die Apollonischen Eigenschaften konjugierter Durchmesser . . 313 314 316 318 321 | 35. § 36. § 37. § 38. § 39. § 40. § 41. § '42. § 43. II. Die Hyperbel. Die- Gleichung der auf ihre Symmetrieachsen bezogenen Kurve Erörterung der Hyperbelgleichung Die Tangentengleichung der Hyperbel und ihre Asymptoten . . Äußere und innere Punkte bei einer Hyperbel Die Brennpunktseigenschaften der Hyperbel Die Leitlinien einer Hyperbel Die Parabel als Übergangsform zwischen Ellipse und Hyperbel Durchmessereigenschaften der Hyperbel Die auf die Asymptoten bezogene Gleichung der Hyperbel . . 323 325 327 333 334 336 339 340 343 § § § § § 26. 27. 28. 29. 30. § § § § 302 306 310 311 III. Die P a r a b e l . § 44. Die Gleichung der auf ihre Achse und Scheiteltangente bezogenen . Parabel . . . . 345 § 45. Die Tangentengleichung der Parabel . . . . . . . . . . i . 347 Inhaltsverzeichnis. XI Seite § 46. Weitere Eigenschaften der Parabel und Übungen ;•' . , . . 350 47. Durchmessereigenschaften der Partibel 353 355 § 48. Der Inhalt eines Parabelsegments § 49. Die geometrische Bedeutung der allgemeinen Gleichung vom zweiten Grade in x und 'y . . ' : . 357 Abschnitt X: Ergänzungen' aus der Lehre von den komplexen Zahlen und den algebraischen Gleichungen', Permutationen und Kombinationen und der binomische Satz, die Irrationalzahl und die Zahlengerade 363—406 ' § 1. Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen . . . . 363 2. Die geometrische Darstellung, der Rechenregeln der komplexen Zahlen und der Moivresche Satz 364 3. Die nten Wurzeln einer komplexen Zahl . . . . . . . . 370 4. Die «ten Wurzeln der Einheit und einer reellen Zahl überhaupt 372 • § 5. Die reine Gleichung nten Grades und die Kreisteilungsgleichung 375 377 § 6. Die allgemeine algebraische. Gleichung «ten Grades . " . . . - . . . . 382 •§ 7. Die kubische Gleichung § 8. Die Auflösung von Gleichungen durch Näherungsmethoden . . 388 390 § 9., Anwendung auf ein Beispiel' . 10. Permutationen, Kombinationen und .Variationen . . . • . - . ' . 393 § 11. Die Anzahl der Kombinationen und die- der Variationen ßter Klasse von n Elementen 395 12. Der binomische Satz 397 ;§ 13. Rückblick auf den Aufbau des Begriffs einer reellen Zahl, die irrationalen Zahlen und die Zahlengerade •. . . 399 : . . . . . '•. 407—512 Abschnitt XI: F u n k t i o n e r i l e h r e 1 A. Der Funktionsbegriff und die Einteilung der Funktionen. § 1. Begriff einer Funktion, unabhängige und abhängige Veränderliche, konstante Größen, Bezeichnung und Darstellung einer Funktion 407 § 2. Die rationalen Funktionen 413 § 3. Irrationale Funktionen • 417 B. Die Grundbegriffe der Differentialrechnung und ihre Anwendung auf die Lehre von den größten und kleinsten Werten der Funktionen und ihre Entwicklung in Reihen. § 4. Das Tangentenproblem § 5. Differentialquotient und Geschwindigkeit § 6. Bestimmung des Differentialquotienten einiger Funktionen als Beispiele § 7. Der Differentialquotient einer ganzen rationalen Funktion . . § 8. Der Differentialquotient des Produktes- und des Quotienten von zwei Funktionen und der einer gebrochenen rationalen Funktion § 9. Die Diiferentialquotienten der trigonometrischen Funktionen . . § 10. Die zu einer gegebenen Funktion inverse und ihr Differentialquotient § 11. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . § 12. Die Differentiation einer mittelbaren Funktion und die der entwickelten algebraischen Funktionen § 13. Die Differentiation der logarithmischen Funktion und die natürlichen Logarithmen 420 423 426 429 432 434 435 439 443 446 XII Inhaltsverzeichnis. Seite § § § § § § 14. 15. 16. 17. 18. 19. § 20. § § § § 21. 22. 23. 24. § 25. § 26. Die Exponentialfunktion und ihr Differentialquotient . . . . Das Vorzeichen der Ableitung einer Funktion Der Mittelwertsatz Eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes . • Die zweite Ableitung und die höheren Ableitungen einer Funktion Die geometrische Bedeutung des Vorzeichens des zweiten Differentialquotienten und die Wendepunkte einer Kurve Das Newtonsche Näherungsverfahren zur Auflösung numerischer Gleichungen Die physikalische Bedeutung des zweiten Differentialquotienten Eine Folgerung aus dem verallgemeinerten Mittelwertsatze . . Die Maclaurinsche Formel Die Anwendung der Maclaurinschen Formel auf die Exponentialfunktion und die Sinus- und Kosinusfunktion Die Anwendung der Maclaurinschen Formel auf die Funktionen lg'(l + x) und (l+x)m Die Maxima und Minima einer Funktion C. Das Integral. § 27. Das Integral einer gegebenen Funktion und die Integrationskonstante •' • • § 28. Die Fundamentalformeln § 29. Die "geometrische und physikalische Bedeutung der Integrationskonstanten § 30. Das bestimmte Integral und seine geometrische Bedeutung . . § 31. Das bestimmte Integral als Grenzwert eines Summenausdrucks . § 32. Einige Anwendungen des bestimmten Integrals 450 453 455 457 458 460 465 469 471 473 476 480 486 491 493 496 500 504 508
