Staatsexamen Didaktik Mathematik F rühjahr 2015

(Stand: 5. März 2015)
Julian Palme
Frühjahr 2015
(Lehramt, nicht-vertieft)
Staatsexamen Didaktik Mathematik
Staatsexamen Didaktik der Mathematik.
München, 2014/2015.
Examenskurs Didaktik der Mathematik (LARS).
Jgst.
5
bis
10.
München,
2007.
–
Zugriff
am
Ma-
01.03.2015
de/vhb/vhbdemo/Examenskurs/
2014/2015. – Zugriff am 28.02.2015 unter http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.
[WW15] Weigand, H. ; Weth, T.: Examensvorbereitung Didaktik der Mathematik. Würzburg,
r6/fachprofil-ebene-2/mathematik/705/
unter https://www.isb.bayern.de/schulartspezifisches/lehrplan/realschule-
thematik
[Sta07] Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung (ISB):
[RR08] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 10. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 2008.
[RR06] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 9. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 2006.
[RR04] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 7. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 2004.
[RR02] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 6. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 2002.
[RR01] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 5. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 2001.
[RR96] Reich, G. ; Rothmeier, G.: Thema Mathe 8. Bamberg : C. C. Buchner Verlag, 1996.
2014/2015.
[Rot15] Rothmeier, G.:
Regensburg,
Zugriff am 28.02.2015 unter https://www.ma.edu.tum.de/staatsexamina/
staatsexamendidaktikmathematik/
–
[Rei15] Reiss, K.:
[Kra14c] Krauss, S.: Didaktik der Zahlbereiche. Regensburg, 2014.
[Kra14b] Krauss, S.: Didaktik der Geometrie. Regensburg, 2013/2014.
[Kra14a] Krauss, S.: Didaktik der Algebra. Regensburg, 2013/2014.
Literatur
Literatur
Dies ist ein selbst erstelltes Skript auf der Basis alter Staatsexamensaufgaben und
der Quellen im Quellenverzeichnis. Dieses Dokument ist KEIN offizielles Skript und
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Definitionen
Kongruenzabbildung . . . . . . .
Punktspiegelung . . . . . . . . .
Term . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktion . . . . . . . . . . . . . .
injektive Funktion . . . . . . . .
surjektive Funktion . . . . . . . .
bijektive Funktion . . . . . . . .
proportionale Funktionen . . . .
lineare Funktion . . . . . . . . .
Betragsfunktion . . . . . . . . . .
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . .
Teilermenge . . . . . . . . . . . .
Primzahl . . . . . . . . . . . . .
teilerfremde Zahlen . . . . . . . .
Gerade . . . . . . . . . . . . . . .
parallele Geraden . . . . . . . . .
senkrechte/orthogonale Geraden
Ortslinie und Ortsbereich . . . .
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IV
4.1
4.2
4.3
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
4.4.6
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
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Anmerkungen zur Examensprüfung nach [Rot15]
Inhaltliche Klarstellungen bezüglich verwendbarer Medien . . . . . . . . . . . . . .
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III
3.1
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Hinweise zur Examensprüfung nach [Rei15]
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Examenskurs nach [WW15]
Grundsätzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardformulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben zu mathematischen Begriffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben zu mathematischen Sätzen, Zusammenhängen und Verfahren
Aufgaben zur Methodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben zu Unterrichtszielen und deren Begründung . . . . . . . . . .
Aufgaben zu Unterrichtssequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben zu Unterrichtseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definieren von Begriffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definieren von geometrischen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematische Sätze und Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagen und mathematische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strukturieren von Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz und Kehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweisideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeines zu Unterrichtseinheiten und Unterrichtssequenzen . . . . .
Begriffserläuterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Struktur einer Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Struktur einer Unterrichtsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorbereitungsphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Durchführungsphasen einer UE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Durchführungsphasen einer US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
19
19
19
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
21
19
19
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7
7
7
7
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8
9
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18
Seite 56
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
LEHRPLANÜBERSICHT REALSCHULE
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(4) Abbildungen im Koordinatensystem
(3) Trigonometrie
(2) Exponential- und Logarithmusfunktionen
(1) Potenzen und Potenzfunktionen
XIII
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Definitionen nach [RR01]
Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufrunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abrunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften der Ebene . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Geraden . . . . . . . . . .
Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halbgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Existenz einer Senkrechte . . . . . . . . . . .
parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallelenaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teilbarkeit einer Summe . . . . . . . . . . . .
Teilbarkeit eines Produkts . . . . . . . . . . .
Teilbarkeit durch Stufenzahlen . . . . . . . .
Teilbarkeit durch Zweier- und Fünferpotenzen
Teilbarkeit durch 2 und 5 . . . . . . . . . . .
Teilbarkeit durch 4 und 25 . . . . . . . . . . .
Teilbarkeit durch 8 und 125 . . . . . . . . . .
Teilbarkeit durch 3 . . . . . . . . . . . . . . .
V
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
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Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelsenkrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelpunktswinkel, Umfangs- bzw. Randwinkel .
symmetrisch (Abbildungsgeometrie) . . . . . . .
Kongruenzabbildung . . . . . . . . . . . . . . . .
kongruent (Abbildungsgeometrie) . . . . . . . . .
Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade . . . . . .
Spiegelbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achsenspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gleichsinnig orientiert . . . . . . . . . . . . . . .
Punktspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Translation (Parallelverschiebung) . . . . . . . .
Dilatation (zentrische Streckung) . . . . . . . . .
Ähnlichkeitsabbildung . . . . . . . . . . . . . . .
Drehstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spiegelstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stufenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seitenhalbierende des Dreiecks . . . . . . . . . .
Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gleichschenkliges Trapez . . . . . . . . . . . . . .
Drachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
symmetrischer Drachen . . . . . . . . . . . . . .
Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.38.1
4.39
4.39.1
4.40
4.41
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Definitionen nach [RR06]
Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegungsgleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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IX
9.1
9.2
.
.
.
.
Definitionen nach [RR96]
Minimum . . . . . . . . . . . . . .
Maximum . . . . . . . . . . . . . .
Extremwerte quadratischer Terme
Definitionsmenge . . . . . . . . . .
Produktmenge . . . . . . . . . . .
Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrrelation . . . . . . . . . . .
Umkehrbarkeit einer Funktion . . .
Hypotenuse . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
VIII
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
.
.
.
.
Definitionen nach [RR04]
Direkte Proportionalität . . . . . . .
Indirekte Proportionalität . . . . . .
Parallelverschiebung . . . . . . . . .
Fixelemente der Parallelverschiebung
Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehung . . . . . . . . . . . . . . . .
Punktspiegelung . . . . . . . . . . .
Drehsymmetrie . . . . . . . . . . . .
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelsenkrechte . . . . . . . . . . .
Halbebene . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelhalbierende . . . . . . . . . .
Umkreis des Dreiecks . . . . . . . . .
Inkreis des Dreiecks . . . . . . . . .
Parallelenpaar zu einer Gerade . . .
Mittelparallele . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
VII
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
.
.
.
.
Definitionen nach [RR02]
Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenz von Gleichungen (Ungleichungen)
teilgültige Gleichung (Ungleichung) . . . . . .
allgemein gültige Gleichung (Ungleichung) . .
unerfüllbare Gleichung (Ungleichung) . . . .
Äquivalenzumformung . . . . . . . . . . . . .
Direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . .
Achsenspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . .
Fixpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fixgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fixkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . .
(Achsensymmetrischer) Drachen . . . . . . .
gleichschenkliges Trapez (achsensymmetrisch)
.
.
.
.
VI
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
.
.
.
.
Teilbarkeit durch 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung des ggT aus der Primfaktorzerlegung
Bestimmung des kgV aus der Primfaktorzerlegung
5.22
5.23
5.24
5.25
Inhaltsverzeichnis
33
33
33
32
32
32
32
32
32
32
32
32
33
29
29
29
30
30
30
30
30
31
31
31
31
31
31
31
31
32
28
28
28
28
28
28
28
28
28
29
29
29
29
29
29
27
27
27
27
m
Inhalt der Jahrgangsstufe 10
• Vektoren und 2 × 2-Matrizen verwenden
Gleichungen von Bildgraphen ermitteln
Seite 54
• Koordinaten von Bild- und Urpunkten bei den bekannten Abbildungen berechnen sowie
• Skalarprodukt anwenden
• Seitenlängen und Winkelmaße im rechtwinkligen und im beliebigen Dreieck berechnen
rechners ermitteln
• Definition von cos(ϕ), sin(ϕ) und tan(ϕ); Werte und Winkelmaße mithilfe des Taschen-
umformen und einfache Exponentialgleichungen lösen
• mithilfe der Definition des Logarithmus und der Benutzung des Taschenrechners Terme
• Graphen und Eigenschaften von Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktionen
• Graphen und Eigenschaften von Potenzfunktionen mit y = x n
• Potenzterme mithilfe der Potenzgesetze umformen
Am Ende der Jahrgangsstufe 10 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
Jahrgangsstufe 10
(11) Daten und Zufall
(10) Raumgeometrie
(9) Berechnungen am Kreis
(8) Flächensatz am rechtwinkligen Dreieck
(7) Abbildung durch zentrische Streckung
(6) Flächeninhalt ebener Vielecke
(5) Systeme mit quadratischen Gleichungen
(4) Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
(3) Quadratische Funktionen [VSE]
(2) Reelle Zahlen
(1) Systeme linearer Gleichungen
Inhalt der Jahrgangsstufe 9
• Pfadregeln und ihre Anwendung
• mithilfe der Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Streckenlängen berechnen
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
LEHRPLANÜBERSICHT REALSCHULE
Seite 53
• Ähnlichkeit von Dreiecken
• Berechnungen mithilfe von Vektoren
• Streckenlängen mit dem Vierstreckensatz bestimmen
• Abbildung durch zentrische Streckung anwenden
men, Pyramiden, geraden Kreiszylindern und Kreiskegeln sowie von Kugeln
• Umfang und Flächeninhalt von Kreisen, Mantel- bzw. Oberfläche und Volumen von Pris-
• Flächeninhalte ebener Figuren insbesondere auch mithilfe zweireihiger Determinanten
• Gleichungen von Parabeln ermitteln, Parameterverfahren
• Graphen und Eigenschaften von quadratischen Funktionen, Scheitelform
• einfache Termumformungen mit Quadratwurzeln
• Definition der Quadratwurzel kennen und anwenden
• in der Menge R der reellen Zahlen rechnen
Schnittpunkte von Funktionsgraphen, Tangentialprobleme
• quadratische Gleichungen: Lösungsformel, Bedeutung der Diskriminante, Koordinaten der
• Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen lösen
Am Ende der Jahrgangsstufe 9 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
Jahrgangsstufe 9
(9) Daten und Zufall
(8) Grundlagen der Raumgeometrie
(7) Dreiecke und Vierecke
(6) Funktionen der indirekten Proportionalität
(5) Lineare Funktionen [VSE]
(4) Funktionen [VSE]
(3) Bruchterme und Bruchgleichungen
(2) Lineare Gleichungen und Ungleichungen
(1) Terme
Inhalt der Jahrgangsstufe 8
• Laplace-Wahrscheinlichkeiten ermitteln
• Schrägbilder von Körpern zeichnen
XIII
Graphische Darstellung binomischer Formeln
Lehrplanübersicht Realschule
XII
XIII
Literatur
Beweise
Definitionen nach [RR08]
Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
X
10.1
49
48
34
33
33
• Erläutern Sie . . .
• Definieren Sie . . .
Seite 7
zugelassen sind
• Begründen Sie . . . heißt, dass auch Mittel des anschaulichen und plausiblen Schließens
weises; Beweisschritte sind klar darzulegen
• Beweisen Sie . . . /Zeigen Sie . . . verlangt exakte Durchführung eines mathematischen Be-
in korrekter mathematischer Fachsprache
– Beschreibung eines mathematischen Verfahrens
• Eigenschaften besonderer Dreiecke und Vierecke
• die Kongruenz von Dreiecken nachweisen
• Dreiecke konstruieren
• Geradengleichungen aufstellen und zu gegebenen Gleichungen Geraden zeichnen
• Funktionsbegriff
• einfache Bruchgleichungen lösen
– Formulierung eines mathematischen Zusammenhangs ODER
Terme ermitteln
Seite 52
• Terme durch Termumformung selbstständig vereinfachen und Extremwerte quadratischer
Am Ende der Jahrgangsstufe 8 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
Jahrgangsstufe 8
(8) Daten und Zufall
(7) Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche
• lineare Gleichungen und Ungleichungen und deren Verknüpfungen lösen
• Erläutern Sie, dass . . .
• Erklären Sie, dass . . .
• Begründen Sie, dass . . .
(6) Lösung geometrischer Probleme mithilfe von Abbildungen
(5) Drehung
(4) Parallelverschiebung
– Formulierung eines Satzes ODER
• Begriffe verlangen
Erklärung
• Zeigen Sie, dass . . .
• Beweisen Sie . . .
• Geben Sie . . . an
• Formulieren Sie . . .
1.2.2 Aufgaben zu mathematischen Sätzen, Zusammenhängen und Verfahren
– Aufzeigen von Beziehungen zu Ober-, Unter und Nachbarbegriffen
– Abstecken des Begriffsumfangs
(3) Proportionalitäten
(2) Gleichungen und Ungleichungen
• Erklärung und Erläuterung enthalten neben der Definition des Begriffs
– Verdeutlichung des Begriffinhalts
(1) Erweiterung des Zahlenbereichs: Menge Q der rationalen Zahlen
Inhalt der Jahrgangsstufe 7
• Interpretieren von Daten
• Randwinkelsatz und Satz des Thales
• Orthogonalität von Kreistangente und Zentrale durch den Berührpunkt
• einwandfreie Definitionen bei Erklärung und Erläuterung
• verwendete Begriffe in einer Definition sind selbst zu definieren
Erklärung
• Erklären Sie . . .
• Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
1.2.1 Aufgaben zu mathematischen Begriffen
• Geben Sie eine Definition von . . .
• geometrische Ortslinien beschreiben und zeichnen
• Innenwinkelsumme im Dreieck
ermitteln
1.2 Standardformulierungen
beiten ist.
Es werden drei Themen zur Auswahl gestellt, wovon eines innerhalb von drei Stunden zu bear-
• Winkelmaße mithilfe von Stufen- und Wechselwinkeln sowie Neben- und Scheitelwinkeln
1.1 Grundsätzliches
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
• Punkt- und Vektorkoordinaten berechnen
EXAMENSKURS NACH [WW15]
I Examenskurs nach [WW15]
I
LEHRPLANÜBERSICHT REALSCHULE
Seite 51
• Parallelverschiebung und Drehung anwenden
• Eigenschaften von Kongruenzabbildungen
• mit dem Koordinatensystem umgehen
• Prozent- und Zinsrechnung
Größen berechnen; Sachaufgaben lösen
• direkte und indirekte Proportionalitäten erkennen, darstellen und auswerten sowie fehlende
zumformungen lösen
• Gleichungen und Ungleichungen der Form ax + b ≧ c bzw. ax + b ≦ c durch Äquivalen-
• Grundrechenarten und Potenzgesetze in der Menge IQ der rationalen Zahlen
Am Ende der Jahrgangsstufe 7 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
Jahrgangsstufe 7
(9) Daten und Zufall
(8) Achsenspiegelung
(7) Grundbegriffe der ebenen Geometrie
(6) Erweiterung des Zahlenbereichs: Menge Z der ganzen Zahlen
zum Thema . . .
• Konzipieren Sie eine Folge von Aufgaben
...
• Erläutern Sie die Bedeutung des Themas
SuS
Seite 8
– Bedeutung für Bewältigung von Aufgaben im späteren Berufs- und Alltagsleben der
– Bedeutung des Themas für positive Einstellung zur Mathematik
– Bedeutung des Themas für allgemeine kognitive Förderung der SuS
– Bedeutung des Themas für Förderung allgemeiner mathematischer Fähigkeiten
matik oder auch in anderen Fächern
– Bedeutung des Themas im mathematischen Umfeld, in anderen Gebieten der Mathe-
Argumente, z. B.
• Begründung von Zielen und Diskussion der Bedeutung des Themas auf Basis didaktischer
– etc.
– Grob- und Feinziele: Unterteilung
– Produkt- und Prozessziele: Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten
• Lehr- oder Lernziele in sinnvoller Gliederung: verschiedene Leistungsdimensionen
Erklärung
den Sie Ziele zum Thema . . .
• Formulieren und erläutern bzw. begrün-
• Formulieren Sie Lernziele zum Thema . . .
1.2.4 Aufgaben zu Unterrichtszielen und deren Begründung
• Wiedergabe in strukturierter Reihenfolge
(4) Gleichungen und Ungleichungen
(5) Direkte Proportionalität
• ggf. konkrete Beispiele anführen
(3) Dezimalbrüche; Rechnen mit Dezimalbrüchen
deren Vermeidung oder Behebung
Lernschwierigkeiten) und Maßnahmen zu
• Erörtern Sie auftretende Fehler (und
die zur Begriffsbildung . . . geeignet sind
• Beschreiben Sie (Schüler-)Aktivitäten,
• Beschreibung und evtl. Begründung des Sachverhaltes
Erklärung
nahmen zum Thema . . .
• Beschreiben Sie unterschiedliche Maß-
. . . auf
• Zeigen Sie mögliche Zugänge zum Thema
1.2.3 Aufgaben zur Methodik
– KEINE Beweise
bungen
– Verfahren mittels geeigneter Beispiele, Skizzen, Veranschaulichungen oder Beschrei-
– Verdeutlichung der Sätze, Zusammenhänge
• Erklären Sie . . . /Erläutern Sie . . . verlangt über Formulieren hinaus
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
(2) Rechnen mit positiven rationalen Zahlen
(1) Erweiterung des Zahlenbereichs: Menge Q+
0 der positive rationalen Zahlen
Inhalt der Jahrgangsstufe 6
• relative Häufigkeiten berechnen
• Winkel messen und zeichnen
• Achsenspiegelung durchführen und erkennen
Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren ableiten
• Eigenschaften und die Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung kennen und daraus die
• Tabellen und Diagramme erstellen und auswerten
• Addition und Subtraktion in der Menge Z der ganzen Zahlen
• Potenzbegriff kennen und anwenden
XIII
EXAMENSKURS NACH [WW15]
Thema . . .
men, Aktivitäten und Lernschritte zum
• Beschreiben Sie unterrichtliche Maßnah-
Thema . . . aus
• Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zum
Seite 9
Dialog
hende Beschreibung und Begründung der geplanten Verlaufsschritte; KEIN Lehrer-Schüler-
• Entwickeln Sie . . . oder Arbeiten Sie . . . aus verlangt genauere, über Skizzieren hinausge-
– Erkennbarkeit von Lehrerform, Sozialform und Medieneinsatz
– Art und Abfolge von Lehrer- und Schüleraktivität geht klar hervor
• in jedem Fall Darstellung einer Sachanalyse und Planung eines Unterrichtsverlaufs
• Unterrichtseinheit ist in der Regel eine Unterrichtsstunde – maximal eine Doppelstunde
Erklärung
zum Thema . . .
• Entwicklen Sie eine Unterrichtseinheit
zum Thema . . .
• Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit
1.2.6 Aufgaben zu Unterrichtseinheiten
hende Erläuterung der Lehr- und Lernschritte
• Entwicklen Sie . . . oder Arbeiten Sie . . . aus verlangt genauere, über Skizzieren hinausge-
• detailierte Ausführung jeder einzelnen Unterrichtseinheit wird NICHT erwartet
• Anführung von Vorkenntnissen/Lernvoraussetzungen
zielen enthalten
• Beschreibung sollte auch methodische Vorschläge zur Erreichung und Sicherung von Lern-
psychologischen Gründen ein- oder mehrmals unterbrochen wird
• es gibt Sequenzen, bei denen Aufeinanderfolge der Einheiten aus pädagogischen bzw. lern-
• meist Bezug auf mehrere aufeinanderfolgende Unterrichtseinheiten
• Darstellung einer geordneten Folge von strukturiert wiedergegebenen Lernaktivitäten
Erklärung
zum Thema . . .
zum Thema . . .
• Beschreiben Sie eine Unterrichtssequenz
Thema . . . aus
• Entwickeln Sie eine Unterrichtssequenz
zum Thema . . .
• Arbeiten Sie eine Unterrichtssequenz zum
• Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz
1.2.5 Aufgaben zu Unterrichtssequenzen
I
gesetze in den vier Grundrechenarten auf der Grundlage eines gefestigten Zahlenverständ-
• direkt proportionale Zusammenhänge erkennen und in Sachaufgaben anwenden
Grundmengen bestimmen
Seite 50
• Lösungsmengen einfacher Gleichungen durch Äquivalenzumformungen über verschiedenen
• Termwerte im Zahlenbereich der positiven rationalen Zahlen berechnen
nisses im Zahlen bereich der Menge Q+
0 der positiven rationalen Zahlen
• Rechentechniken (einschließlich Schätzen, Runden und Überschlagsrechnen) und Rechen-
Am Ende der Jahrgangsstufe 6 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
Jahrgangsstufe 6
(8) Daten und Zufall
(7) Teilbarkeit natürlicher Zahlen
(6) Raummessung
(5) Flächenmessung
(4) Geometrische Grundformen und geometrische Grundbegriffe
(3) Rechnen mit Größen aus dem Alltag
(2) Die vier Grundrechenarten
(1) Aufbau des Dezimalsystems
Inhalt der Jahrgangsstufe 5
• Erfassen, Darstellen und Auswerten von Daten
Vielfaches (kgV)
• Teilbarkeitsregeln anwenden; größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames
• sicherer und sorgfältiger Umgang mit dem Zeichenwerkzeug
• Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader
von Rechtecken
• die grundlegenden geometrischen Figuren; Bestimmung von Umfang und Flächeninhalt
• einfache Sachaufgaben lösen
• sicheres Rechnen mit gängigen Größen und Maßeinheiten
chen Zahlen bestimmen
• Lösungsmengen einfacher Gleichungen sowie Ungleichungen im Zahlenbereich der natürli-
• Termwerte im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen berechnen
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
LEHRPLANÜBERSICHT REALSCHULE
Seite 49
N0
• Rechengesetze auf der Grundlage eines gefestigten Zahlenverständnisses im Zahlbereich
• Rechentechniken in den vier Grundrechenarten
Am Ende der Jahrgangsstufe 5 sollen die Schüler über folgendes Grundwissen verfügen:
• Zeichnen mit Geodreieck und Zirkel; Zeichnen und Messen von Strecken
in die Schiebesymmetrie
gleich); Einblick in die Drehsymmetrie (Fachbegriffe: Drehpunkt, Drehrichtung); Einblick
• Symmetrien: Achsensymmetrie (Fachbegriffe: Symmetrieachse, symmetrisch, deckungs-
• Maßstab
• Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide, Kegel
Generell verwendet man zur Charakterisierung mathematischer Begriffe bereits bekannte Eigen-
• Figuren und Körper: Dreieck, Viereck, Rechteck, Quadrat, Kreis
sind (Merkhilfe: UVW-Regel).
• Widerspruchsfreiheit
müssen vollständig sein, um das zu beschreiben, was beschrieben werden soll.
Seite 10
viele Forderungen an seinen Oberbegriff gestellt werden; charakterisierende Eigenschaften
• Vollständigkeit: Um einen Begriff hinreichend genau zu beschreiben, müssen genügend
• Unabhängikeit
Generell strebt man an, dass die zur Beschreibung verwendeten Eigenschaften
man statische Definitionen.
Formulierungen, welche einen Begriff lediglich mit Hilfe von Eigenschaften beschreiben, nennt
schaften und/oder bereits definierte Begriffe.
1.3.1 Statische Definitionen
risierende Bedingungen) . . . “
• formale Hilfe: „Ein (bekannter Begriff) nennt man/heißt (neuer Begriff), wenn (charakte-
• „Kann ein Unkundiger mit der gegebenen Erklärung verstehen, worum es geht?“
• extrem teures Telefongespräch als Hilfsvorstellung
thematischen Begriff zu charakterisieren
• Verwendung möglichst weniger Angaben um gleichzeitig präzise und eindeutig einen ma-
1.3 Definieren von Begriffen
• Größen (auch in Kommaschreibweise): Geldwerte; Zeit; Länge; Masse; Hohlmaße (ml, l)
Texten, Tabellen, Schaubildern und Diagrammen entnehmen
• gerundete Zahlen in Diagrammen (z. B. Säulendiagramm) darstellen; Informationen aus
• Runden auf alle Vielfache von 10, 100 oder 1000
toren), Division (ein Divisor bis 20)
• schriftliche Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation (ein- und zweistellige Fak-
• Zahlbereich: N bis 1 000 000
fahrungen aus der Gundschule auf:
Der Unterricht dieser Jahrgangsstufe baut auf folgenden mathematischen Kenntnissen und Er-
Jahrgangsstufe 5
– Möglichkeiten der Vertiefung und der Lernzielkontrolle
∗ mögliche Aufgaben, Arbeitsblätter, Medieneinsatz
Bemerkung: Im Folgenden entspricht [VSE] der Verkehrs- und Sicherheitserziehung und es wird
jeweils nur Mathematik I betrachtet.
∗ wichtige Lehrerimpulse unter Berücksichtigung möglicher Lernschwierigkeiten
– eigentliche Behandlung des Themas im Unterricht
– Motivation für zu behandelndes Thema
• Punkte für Verlaufsplanung sollen bzw. können sein
Ziele, Nebenziele
– (strukturierte) Formulierung der Unterrichtsziele: Grob- und Feinziele; allgemeine
– Darstellung notwendiger Lernvoraussetzungen und erforderlichen Vorwissens der SuS
• der Verlaufsplanung sind voranzustellen
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
XIII Lehrplanübersicht Realschule
drate der beiden Zahlen.
Das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz der Qua-
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
XIII
EXAMENSKURS NACH [WW15]
Seite 11
lung)
Konstruktion NICHT durchführbar ist (z. B. Abbildung des Zentrums einer Punktspiege-
• vierter Teil: Abbildung von speziellen Punkten, bei denen die im dritten Teil angegebene
−→ eigentliche Konstruktionsvorschrift
fügung stehenden Objekten einen einzelnen Punkt auf seinen Bildpunkt abbildet
• dritter Teil: Beschreibung für einen Urpunkt in allgemeiner Lage, wie man mit zur Ver-
führen zu können (z. B. Spiegelachse, Drehzentrum und Drehwinkel)
• zweiter Teil: Angabe, welche Objekte benötigt werden, um Abbildung eindeutig durch-
folgender Vorschrift:“
• erster Teil: einleitender Satz der Art „Eine . . . ist eine geometrische Abbildung gemäß
Standardformat besteht aus vier Teilen:
Standardformulierung zu verwenden:
Beim Verfassen deratiger Konstruktionsvorschriften ist es günstig, ein Standardformat und eine
ausschließlich nur angegeben wird, wie ein Punkt (und NICHT etwa ein Dreieck) abgebildet wird.
Generell ist beim Erstellen einer derartigen Konstruktionsvorschrift zu beachten, dass wirklich
anzugeben, welche beschreiben, wie ein Punkt auf seinen Bildpunkt abgebildet wird.
Hier ist es günstig, konkrete Konstruktionsvorschriften (für Zirkel- und Linealkonstruktionen)
Eine dritte Art von Definitionen bilden die Charakterisierungen geometrischer Abbildungen.
1.3.3 Definieren von geometrischen Abbildungen
Herstellung des Körpers wird dann eingeleitet mit „Ein . . . entsteht, indem man . . . “
Herstellungselemente und mit „Gegeben sei . . . “ oder „Gegeben ist . . . “.
Standardformulierung einer dynamischen Definition beginnt mit Angabe der benötigten
Körper herstellen kann.
• zweiter Teil: Beschreibung, wie man mit den zur Verfügung stehenden Objekten den
Punkt außerhalb einer Ebene)
• erster Teil: Angabe, welche Elemente zum Herstellen des Begriffs benötigt werden (z. B.
Standardformat besteht aus zwei Teilen:
Standardformulierung zu verwenden:
Beim eigenen formulieren dynamischer Definitionen ist es günstig, ein Standardformat und eine
gen. Derartige Beschreibungen nennt man dynamische Definitionen.
Körpern beschreiben. Es werden oft Vorstellungen wie Ziehen, Verbinden, Dehnen herangezo-
Oft weicht man deshalb auf Formulierungen aus, die Entstehungs- und Herstellungsweise von
Insbesondere bei geometrischen Körpern fällt es oft schwer, statische Definitionen anzuführen.
1.3.2 Dynamische Definitionen
I
Analog zum Beweis des Höhensatzes erhält man a2 = pc und b2 = qc.
Skizze3
2
Seite 48
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/H%C3%B6hensatz.svg (Zugriff am 03.03.2015)
http://www.mathematische-basteleien.de/binomi.htm#Graphische%20Darstellung
(Zugriff
am
03.03.2015)
4
3
mindert um das doppelte Produkt.
Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate der Zahlen, ver-
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
um das doppelte Produkt.
Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate der Zahlen, vermehrt
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Binomische Formeln kann man folgendermaßen graphisch darstellen4 :
XII Graphische Darstellung binomischer Formeln
(iii)
h2 + p2 + h2 + q 2 = p2 + 2pq + q 2 =⇒ h2 = pq
Setzt man nun obige Formeln in (∗) ein, so erhält man
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
c
b
=
=⇒ b2 = cq
q
b
∆ADC ∼ ∆ABC =⇒
h
q
=
=⇒ h2 = pq
p
h
CBD + ACD = ACB
(∗) ;
h2 + p2 = a2
;
h2 + q 2 = b 2
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Kathetensatz.svg (Zugriff am 03.03.2015)
Ferner gilt: p + q = c =⇒ (p + q)2 = c2
a2 + b2 = c2
der Satz des Pythagoras:
Für die drei rechtwinkligen Dreiecke mit den Seiten a,b,c und h,p,a und h,q,b gilt jeweils
Skizze2
den Satz.
sind, repräsentiert die Gleichung
Da die Flächen der Dreiecke proportional zur Fläche der jeweils angrenzenden Quadrate
∆ADC ∼ ∆DBC =⇒
a2 + b2 = cp + cq = c(q + p) = c2
a
c
=
=⇒ a2 = cp
p
a
∆DBC ∼ ∆ABC =⇒
=⇒ ∆DBC, ∆ADC und ∆ABC sind ähnlich
BEWEISE
Seite 47
2
(ii)
XI
Seite 12
Beim Auswendiglernen reicht die zugrundeliegende, spezifische Beweisidee voll und ganz aus.
• man bedient sich heuristischer Methoden, um Beweisidee zu generieren
• Beweis bzw. Beweisidee auswendig gelernt
Zum Beweisen von Sätzen im Staatsexamen gibt es prinzipiell zwei Strategien:
1.4.4 Beweisideen
Die Umkehraussage eines (wahren) Satzes ist NICHT von vornherein wahr.
man die Umkehraussage.
−→ Vertauscht man bei einem mathematischen Satz Voraussetzung und Behauptung, so erhält
von Voraussetzung und Behauptung
häufige Fehlerquelle beim Formulieren eines Beweises eines Satzes: (unbewusstes) Vertauschen
Voraussetzung, dann Behauptung
prinzipielle Struktur mathematischer Sätze: Voraussetzung =⇒ Behauptung ODER Wenn
1.4.3 Satz und Kehrsatz
Begründung =⇒ Folgerung 2 mit Begründung =⇒ . . . =⇒ Behauptung mit Begründung
Beachte deshalb folgendes Standardformat für Beweise: Voraussetzung(en) =⇒ Folgerung 1 mit
• Begründungen für einzelne Folgerungen nicht/unvollständig angegeben
• häufig Missverständnisse über Bedeutung des Inklusionspfeils
Probleme bei dieser Art der Darstellung:
Voraussetzung =⇒ Folgerung =⇒ . . . =⇒ . . . =⇒ Behauptung
prinzipielle Struktur eines Beweises:
hinter dem Dann die Behauptung. Dies bildet die Grundlage für den Beweis des Satzes.
In der Wenn-Dann-Formulierung eines Satzes steht hinter dem Wenn die Voraussetzung und
1.4.2 Strukturieren von Beweisen
• Jeder mathematische Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung.
• wahre Aussagen nennt man in der Mathematik Sätze
man prinzipiell unterscheiden kann, ob sie wahr sind oder falsch
• Aussagen: im Allgemeinen nur grammatische Konstruktionen von Bedeutuung, von denen
1.4.1 Aussagen und mathematische Sätze
1.4 Mathematische Sätze und Beweise
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
EXAMENSKURS NACH [WW15]
Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechten,
Dreiecken
Radien, Tangenten
Kreisen
Seite 13
hängt vom Thema und auch davon ab, ob es sich um eine Einführungsstunde oder eine
Ob alle diese Phasen in einer UE vorkommen und in welcher Ausprägung dies geschieht,
– Vertiefung
– Sicherung
– Problemlösung
– Problemstellung
– Einstieg in die Problemstellung
Durchführungsphasen
– evtl. methodische und didaktische Vorbemerkungen
– Lernziele
– Lernvoraussetzungen
– Sachanalyse
Vorbereitungsphasen
• Vorbereitungs- und Durchführungsteil
1.5.2 Struktur einer Unterrichtseinheit
forderlich
– in Examensprüfung KEINE Angabe einer zeitlichen Unterteilung der US in UE er-
– umfasst mehrere UEs: ca. 4 bis 10 UEs
• Unterrichtssequenz (US)
Zeitstunden
– Darstellung des Themas oder einer Lerneinheit im Rahmen von ein bis eineinhalb
– in Examensprüfung KEINE Angabe von Zeiteinheiten für die Teile der UE erforderlich
– dauert eine oder zwei Unterrichtsstunden
• Unterrichtseinheit (UE)
1.5.1 Begriffserläuterungen
1.5 Allgemeines zu Unterrichtseinheiten und Unterrichtssequenzen
• in Arithmetik und Algebra: Verwenden zugrundeliegender Definitionen
Diagonalen, Seitenmittenlinien
Vierecken
Parallelen zu Seiten
Hilfslinien
Aufgaben mit
• in Geometrie: Einzeichnen „guter“ Hilfslinien
heuristische Strategien:
I
dadurch
ein
Fläche
2
Wegen der Winkelsumme im Dreieck gilt: ACD = CBD
Höhenfußpunkt der Höhe h, q = [AD] und p = [BD].
am
Seite 46
(Zugriff
Sei ∆ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c. Ferner seien D der
Skizze1
(iii) Höhensatz des Euklid: h2 = p · q
(ii) Kathetensatz des Euklid: a2 = p · c und b2 = q · c
(i) Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Satzgruppe des Pythagoras
=⇒ AT = m · h
AR = m · h
(d) legt man diese Dreiecke entsprechend um, so erhält man ein Rechteck mit der Fläche
den beiden Dreiecken, die das Trapez vom Rechteck „abtrennen“.
1
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Pythagoras_large_font.svg
03.03.2015)
(i)
der
(c) Die beiden Dreiecke, die über das Rechteck hinausragen, sind jeweils kongruent mit
(b) lege Trapez und Rechteck übereinander
Beweis
Beh:
mit
(a) konstruiere ein Trapez und ein Rechteck mit Breite m und Höhe h
(2) Seien m die Mittellinie und h die Höhe des Trapezes.
(a+c)·h
2
Parallelogramm
AP = Grundlinie · Höhe = (a + c) · h =⇒ AT =
(d) erhalte
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
BEWEISE
BAC = CBA
und n =
c2
mit b,c,m,n ∈ N.
√
a·b≦
2
(∗)
2
2
(a+c)·h
2
und (2) AT = m · h.
Seite 45
Seite 14
• Beschreibung kann – muss aber nicht – in Form aufeinanderfolgender UE erfolgen
liegen
(c) lege eines der Trapeze so an das andere, dass die beiden gleichen Schenkel aneinander
Wichtig bei US:
• Sicherung
• Angabe der Lernschritte im Rahmen der US
• Einordnung in Gesamtcurriculum und Problemstellung
• deutliches Herausstellen der aufeinander aufbauenden Lernschritte
2
Durchführungsphasen: stärker auf längerfristigen Lernprozess ausgerichtet
Vorbereitungsphasen wie bei UE
1.5.3 Struktur einer Unterrichtsequenz
– im Auge behalten von Ziel bzw. Teilzielen der UE
– adäquate kognitive Forderung der SuS
– aktive Beteiligung von SuS am Unterricht
Bei der Durchführung einer UE sollte vor allem auf folgendes geachtet werden:
abschnittes abhängen, vorkommen.
Üblicherweise sollten in einer UE mehrere Sozialformen, welche vom Ziel des Unterrichts-
– Unterricht im Computerraum
– Projektunterricht
– Stationenlernen oder Lernzirkel
– Partner- oder Gruppenarbeit
– individuelles Arbeiten
– Lehrer-Schüler-Gespräch: (Frontal-)Unterricht des Lehrers mit gesamter Klasse
• Sozialformen
le einer UE verlangt, welche dann entsprechend ausführlich bearbeitet werden sollten.
Viertel der Zeit auf die Vorbereitungsphasen verwendet werden. Oft werden auch nur Tei-
schen Teils etwa eine Zeitstunde vorgesehen. Als Richtmaß sollte NICHT mehr als ein
Üblicherweise ist in der Examensprüfung für die Beschreibung dieses unterrichtsprakti-
Wiederholungs- oder Übungsstunde handelt.
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
(b) zeichne Höhe h auf Seite a ein
(a) konstruiere zwei kongruente Trapeze
(1) Seien a und c die beiden parallelen Seiten und h die Höhe des Trapezes.
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist (1) AT =
Dies gilt für alle a,b ∈ R, also ist auch (∗) als äquivalente Gleichung allgemein gültig.
⇐⇒ 0 ≦ a2 − 2 · a · b + b2 = (a − b)2
⇐⇒ 4 · a · b ≦ (a + b) = a + 2 · a · b + b
a+b
2
√
⇐⇒ 2 · a · b ≦ a + b
inhalt.
Beweis
Beh:
2
Idee: Unter den Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächen-
Beweis
Das geometrische Mittel ist kleiner als das arithmetische Mittel oder gleich:
√
a · b ≦ a+b
2
Der Fall m = n ist wegen ggT(m,n) = 1 ausgeschlossen.
Dies ist nur dann in N enthalten, wenn m und n selbst schon Quadratzahlen sind.
Dies ist genau dann der Fall, wenn m · n eine Quadratzahl ist.
√
√
√
Ferner gilt: mn = m · n
(⇒) Seien ggT(m,n) = 1 und m · n = a2 mit a,m,n ∈ N.
√
Dann gilt: m · n = a2 ⇐⇒ mn = a
√
Wegen a ∈ N muss auch mn ∈ N sein.
Dann gilt: m · n = b2 · c2 = (b · c)2
b2
zahl, wenn beide Zahlen Quadratzahlen sind.
(⇐) Seien ggT(m,n) = 1, m =
Beh:
2
Das Produkt zweier teilerfremder natürlicher Zahlen ist genau dann eine Quadrat-
Damit folgt sofort: AMa = BMb
Beweis
Beh:
∼
und
Nach Kongruenzsatz SWS folgt: ∆ABMa = ∆ABMb
Es gilt: AC = BC =⇒ AMb = BMa
punkt von [BC].
(⇐) Sei ∆ABC gleichschenklig. Ferner seien Mb der Mittelpunkt von [AC] und Ma der Mittel-
XI
EXAMENSKURS NACH [WW15]
– in Examensprüfung häufig bereits in vorhergehenden Aufgaben bereits durchgeführt
Für die Sehne [AC] gilt dies analog
zu 180◦ ergänzen. Also gilt hier auch, dass sich gegenüberliegende Winkel zu 180◦ ergänzen.
gleichschenklig ist.
Seite 15
=⇒ ∆ABC ist gleichschenklig.
len unterschieden wird.
= 21 BC =⇒ AC = BC
=⇒ AMb = BMa =⇒
1
2 AC
∼
Mit Kongruenzsatz SWS gilt: ∆ASMb = ∆BMa S
Ferner gilt für ∆ASMb und ∆BMa S: Mb SA = BSMa
Nach Voraussetzung gilt: AS = BS und SMa = SMb
Es gilt: Seitenhalbierende teilen sich in allen Dreiecken im Verhältnis
von [AMa ] und [BMb ].
2
1
=
AS
SMa
BS
SMb
Seite 44
=
(⇒) Seien Mb der Mittelpunkt von [AC], Ma der Mittelpunkt von [BC] und S der Schnittpunkt
Beweis
2
Zwei Seitenhalbierende eines Dreiecks sind genau dann gleich lang, wenn das Dreieck
=⇒ konvexes Viereck 2ABCD ist ein Sehnenviereck
=⇒ ∃ Kreis k, sodass gilt: A,B,C,D ∈ k
sich zu 180◦ ergänzen.
Nach Umfangswinkelsatz existieren zwei sich ergänzende Kreisbögen, deren Umfangswinkel
(⇐) Es ergänzen sich gegenüberliegende Winkel im konvexen Viereck 2ABCD zu 180◦ .
Beh:
2
Nach Umfangswinkelsatz gilt, dass sich Umfangswinkel über sich ergänzenden Kreisbögen
Nun bilden die beiden Kreisbögen BD und DB sich ergänzende Kreisbögen.
=⇒ ∃ Kreis k, sodass gilt: A,B,C,D ∈ k
Zeichne nun eine weitere Sehne ein und wähle diese ohne Einschränkung [BD].
(⇒) Sei ein konvexes Viereck 2ABCD ein Sehnenviereck.
Beweis
liegenden Winkel zu 180◦ ergänzen.
angeführten Kompetenzen berücksichtigt werden, bei denen nach Inhalts- und Prozesszie-
Bei der Beschreibung von Lernzielen sollten insbesondere die in den KMK-Bildungsstandards
werden
– es können auch Grob- bzw. Hauptziel (DAS zentrale Ziel) und Feinziele unterschieden
werden kann
einen spezifischen Inhalt beziehen und zum anderen, dass ihr Erreichen auch überprüft
– operationalisiert: Lernziele sollten so angeführt werden, dass sie sich zum einen auf
∗ affektiven Bereich
∗ Fertigkeiten
∗ Fähigkeiten
∗ Können
∗ Wissen
– Ziele können sich beziehen auf
– Ziele, welche mit UE oder US erreicht werden sollen
ben?
• Lernziele: Welche Ziele werden gesetzt bzw. welche Kompetenzen sollen Lernende erwer-
häufiger Fehler: Lernvoraussetzungen werden zu allgemein beschrieben
zum Verständnis der UE oder US notwendig
– Fähigkeiten und Fertigkeiten der SuS
– betreffen das mathematische Wissen
• Lernvoraussetzungen
∗ was die Aussage eines angegebenen oder benötigten Satzes ist
∗ um welches Verfahren es sich handelt
∗ welche Zusammenhänge zu anderen Begriffen bestehen
∗ welche zentralen Begriffe auftreten
– hilfreich, sich selbst die Frage zu stellen,
Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich die gegenüber-
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
b2 = c2 + a2 − 2ca cos(β)
– evtl. Einordnung der Begriffe oder Verfahren in größere Zusammenhänge
stellung eines Verfahrens)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
Beh:
c2 = a2 + b2 − 2a · CS = a2 + b2 + 2ac cos(γ)
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks geht man analog vor und man erhält:
Man erhält also
– kurze Erläuterung der vorkommenden Begriffe oder Verfahren (Definition oder Dar-
– Erfassen vorkommender Begriffe von ihrem mathematischen Inhalt her
• mathematische Sachanalyse: Um welche(n) mathematischen Inhalt(e) geht es?
1.5.4 Vorbereitungsphasen
I
sin(α)
a
=
sin(β
b
=
=
sin(β)
b
und
sin(β) =
hc
a
sin(γ)
c .
2
2
Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ).
=
(BS)2
+
h2a
⇐⇒
h2a
=
c2
−
(BS)2
2
2
2
2
2
− (CS)2
2
Seite 43
Also gilt:
cos(γ) =
CS
⇐⇒ CS = b · cos(γ)
b
In ∆SCA ist nun aber [CS] gerade die Ankathete von γ = ACB und b die Hypotenuse.
⇐⇒ c = a + b − 2a · CS
2
⇐⇒ c = b + a − 2a · CS + (CS) − (CS)
2
2
⇐⇒ c2 = b2 + a − (CS)
⇐⇒ c2 = b2 + (BS)2 − (CS)2
c2 − (BS)2 = b2 − (CS)2
Setze beide Gleichungen zusammen und erhalte zusammen mit a = BS + CS:
und genauso in ∆SCA: b2 = (CS)2 + h2a ⇐⇒ h2a = b2 − (CS)2
c2
Betrachte zunächst ∆ABS und erhalte nach Pythagoras:
Dreiecke ∆ABS und ∆SCA.
Sei S ∈ [BC] der Höhenfußpunkt der Höhe ha . Man erhält somit zwei rechtwinklige
Betrachte zunächst ein spitzwinkliges Dreieck ∆ABC.
Beweis
Beh:
Bemerkung: Dieser Satz gilt auch in stumpfwinkligen Dreiecken, da sin(π − β) = sin(β) gilt.
man die vollständige Behauptung.
Unter Benutzung der gleichen Schlussweise mit einer weiteren Höhe (ha oder hb ) erhält
=⇒
hc
b
sin(α)
a
sin(α) =
Sei D ∈ [AB] der Höhenfußpunkt der Höhe hc . Dann gilt nach Definition:
Beweis
Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:
= ACB
=⇒ 90◦ = M AC + CBM
= 2 · M AC + 2 · CBM
180◦ = M AC + CBM + ( M AC + CBM )
Mit der Winkelsumme im Dreieck ∆ABC gilt:
BEWEISE
Beh:
XI
– sollte neugierig machen
– häufig auch das Wort Motivation verwendet
– Hinführung zum Thema
• Einstieg in die Problemstellung
Wie kann man vorgehen, damit Lernende die angestrebten Ziele erreichen können?
1.5.5 Durchführungsphasen einer UE
Seite 16
−→ didaktische oder methodische Erläuterungen in einzelnen Phasen integriert
phase zu integrieren
Durchführungsphasen zu erstellen bzw. die (Vor-)Bemerkung in die Durchführungs-
– in der Examensprüfung ist es ratsam, diesen Teil erst NACH der Beschreibung der
wird
– methodische Vorbemerkung: Begründung, wie das Thema im Unterricht behandelt
ist
gesamten Curriculums besitzt und warum es im mathematischen Lehrgang wichtig
– didaktische Vorbemerkung: Darlegung, welche Bedeutung Thema im Rahmen des
• didaktische und methodische Vorbemerkungen (evtl.)
ausreichend. Eine Unterscheidung zwischen Grob- und Feinzielen ist NICHT notwendig.
ist eine Beschränkung auf wenige zentrale Ziele sinnvoll. Hierfür sind 3 oder 4 Ziele völlig
Wenn nicht ausdrücklich eine ausführliche Beschreibung der Lernziele verlangt ist, dann
∗ Leitidee Daten und Zufall
∗ Leitidee funktionaler Zusammenhang
∗ Leitidee Raum und Form
∗ Leitidee Messen
∗ Leitidee Zahl
– inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
∗ Verallgemeinern und Reflektieren
∗ Zusammenhänge herstellen
∗ Reproduzieren
– Anforderungsbereiche mathematischer Kompetenzen
∗ Kommunizieren
∗ mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
∗ mathematische Darstellungen verwenden
∗ mathematisch modellieren
∗ Probleme mathematisch lösen
∗ mathematisch argumentieren
– allgemeine mathematische Kompetenzen
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
Warum wurde der Einstieg genau so gewählt?
– Erwartung neuer kreativer Ansätze
– Aufgaben mit eigenem Problemlöseansatz oder Transfer auf andere Gebiete
– Behandlung oder Hinweis auf weitergehende Fragen
• Vertiefung
– für jegliches Lernen ist Üben und Sichern sehr wichtig
– Transfer auf unbekannte Bereiche nur in engen Grenzen
ähnlichen Beispielen
– Anwendung von erkannten Zusammenhängen, Verfahren und Einsichten in (sehr)
– Festigung und Übung vom erhaltenen Resultat bzw. der Problemlösung
• Sicherung
– didaktische und/oder methodische Anmerkungen und Erläuterungen einfügen
∗ Hilfsmittel? Medien, neue Technologien?
∗ Erwartung von Ergebnissen nach Gruppenarbeit der SuS?
∗ Arbeitsblätter?
∗ Hilfestellungen für SuS, die die Lösung NICHT sofort erkennen?
symbolisch) erfolgt?
∗ Hilfreich, wenn Lösung auf verschiedenen Darstellungsebenen (enaktiv, ikonisch,
∗ Welche Schritte werden von SuS erwartet bzw. vom Lehrer angedacht?
dazu sind folgende Fragen und Überlegungen notwendig oder hilfreich:
– Darstellung, in welcher Art und Weise SuS die Lösung des Problems erreichen sollen;
– zentraler Teil der UE
• Problemlösung
– häufig direkt mit Aufgabenstellung gegeben
Frage sie sich beschäftigen sollen
– SuS muss im Laufe der Stunde deutlich werden, mit welchem Problem bzw. welcher
– Problemstellung evtl. durch weiteres Beispiel nach dem Einstieg deutlich hervorheben
• Problemstellung
– prinzipiell sind ungewöhnliche Einstiege gerne gelesen
ders bei ungewöhnlichen Einstiegen
– didaktische und/oder methodische Anmerkungen und Erläuterungen einfügen; beson-
auf Bedeutung der Inhalte in der Stunde oder am Ende der UE eingegangen werden
– kann lediglich aus Information bestehen, z. B. heute Stationenlernen; dann soll aber
– kann inner- und außermathematische Themenstellung sein
– kann Wiederholung früherer Inhalte (Grundwissen, letzte Stunde) sein
– sollte Frage oder Problem aufwerfen
EXAMENSKURS NACH [WW15]
Seite 17
I
und
F AE = ACB
(♮)
2
2
M AC = ACM
und
CBM = M CB
In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß, also gilt:
Somit sind ∆AM C und ∆M BC gleichschenklige Dreiecke.
Dann gilt: AM = BM = CM = r
Sei M der Mittelpunkt der Strecke [AB] und r der Radius des Kreises.
ein rechtwinkliges Dreieck..
Seite 42
geht die Grundseite durch den Mittelpunkt M des Kreises, so handelt es sich um
Satz des Thales: Liegen die Eckpunkte eines Dreiecks ∆ABC auf einem Kreis und
nahme D ∈
/ k steht.
Damit müssen aber die Punkte P und D übereinstimmen, was im Widerspruch zur An-
gemeinsame Punkte haben.
Das heißt, die beiden Dreiecke müssen sogar identisch übereinander liegen, da sie zwei
Ferner gilt nach Kongruenzsatz SSW: ∆ABP = ∆ABD
Nach Umfangswinkelsatz/Peripheriewinkelsatz gilt nun aber: ACB = AP B = ADB
Angenommen D ∈
/ k =⇒ ∃ Punkt P ∈ (AD ∩ k)
Bilde den Kreis k um die Punkte A, B und C.
ACB = ADB gilt. Dann liegen die Punkte A, B, C und D auf einem Kreis.
[AB] werden die Punkte C und D so gewählt, dass sie in einer Halbebene liegen und
Umkehrung des Umfangswinkelsatzes/Peripheriewinkelsatzes: Über einer Strecke
F AE = AM F = ACB
Beweis
Beh:
AM F = ACB
Zusammen erhält man dann mit (♦) und (♮):
Damit gilt aber nach (ii):
gleichschenkligen Dreieck ∆ABM gleichzeitig die Winkelhalbierende von AM B ist.
Beweis
Beh:
(♦)
AM F ist aber gerade der halbe Mittelpunktswinkel, da [M E] als Mittelsenkrechte im
F AE = AM F
kel AF E = AF M . Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss daher gelten:
Die Dreiecke ∆F M A und ∆F EA sind rechtwinklige Dreiecke mit dem gemeinsamen Win-
an den Kreis durch A im Punkt F .
(iv) Sei die Gerade durch E und M die Mittelsenkrechte von [AB]. Diese schneide die Tangente
ACB + BDA = 180◦
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
BEWEISE
(∗)
(♣)
(∗∗)
und
BM C = 180◦ − 2 · M CB
(♥)
− 2 · M CA
und
BM C =
180◦
− 2 · M CB
Seite 41
Also ist nach (ii) die Summe der komplementären Umfangswinkel die Hälfte:
Die Summe der komplementären Mittelpunktswinkel beträgt: AM B + BM A = 360◦
(iii) Sei D ein Punkt auf dem Kreisbogen AB.
die gleiche Größe, nämlich gerade den halben Mittelpunktswinkel haben.
(i) Aus dem Beweis von (ii) folgt, dass alle Umfangswinkel mit demselben Mittelpunktswinkel
= 2 · ACB
(♠)
= 2 · ( M CB − M CA)
= 180◦ − 2 · M CA − (180◦ − 2 · M CB)
AM B = AM C − BM C
Für den Mittelpunktswinkel AM B gilt somit:
AM C =
180◦
Außerdem gilt wegen der Winkelsumme im Dreieck und (♥):
∆BCM gleichschenklig =⇒ CBM = M CB
∆ACM gleichschenklig =⇒ CAM = M CA
ACB = M CB − M CA (♠)
3. Fall: M liegt außerhalb des Dreiecks ∆ABC. Dann gilt:
= 2 · ACB
(♣)
= 360◦ − 360◦ − 2 · ( ACM + M CB)
= 360◦ (180◦ − 2 · ACM + 180◦ − 2 · M CB)
AM B = 360◦ − ( CM A + BM C)
Für den Mittelpunktswinkel AM B gilt somit:
CM A = 180◦ − 2 · ACM
Außerdem gilt wegen der Winkelsumme im Dreieck und (∗∗):
∆BCM ist gleichschenklig =⇒ CBM = M CB
∆AM C ist gleichschenklig =⇒ M AC = M CB
ACB = ACM + M CB
2. Fall: M liegt im Inneren des Dreiecks ∆ABC. Dann gilt:
Der symmetrische Fall, dass M auf [BC] liegt, kann analog gezeigt werden.
AM B = M CB + CBM = 2 · ACB
(∗)
Weiter gilt: AM B ist Außenwinkel des Dreiecks ∆M BC und damit gilt:
∆M BC ist gleichschenklig =⇒ CM B = M CB
1. Fall: M liegt auf AC. Dann gilt:
(ii) Für diesen Teil ist eine Fallunterscheidung nötig:
Beweis
XI
• Verzicht auf Allgemeinaussagen
• Übersichtlichkeit und korrekte Rechtschreibung
• Verwendung korrekter mathematischer Schreibweise
• Verwendung korrekter Fachsprache
Seite 18
Generell sollte bei der Anfertigung der Examensarbeit auf folgende Aspekte geachtet werden:
II Hinweise zur Examensprüfung nach [Rei15]
• ggf. Sitzplan, falls zum Verständnis nötig
• Unterrichtsmaterialien: Arbeitsblätter, Gruppenarbeitsaufträge, Laufzettel, Folien . . .
• ggf. Hefteinträge
• geplantes Tafelbild
Folgende Inhalte sollten auf jedem Fall als Anhang beiliegen:
1.5.7 Anhang
– Berücksichtigung von Sicherungen bei Beschreibung der Lernschritte
– fortlaufende Sicherung nach jedem der einzelnen Lernschritte
• Sicherung
– didaktische Begründung und Erläuterung der einzelnen Schritte
– kurz auf methodische Behandlung eingehen
– Anführung der Lernschritte unter mathematischen Gesichtspunkten
– zentraler Teil der Bearbeitung
• Angabe der Lernschritte im Rahmen der US
– am Ende dieser Einordnung sollte die Problemstellung stehen
im Umfang einer UE sein
– Aufzeigen des Bezuges neuer Inhalte zu bereits behandelten Inhalten; kann durchaus
– Einstieg in US ist häufig ein neuer Abschnitt oder ein neues Kapitel
• Problemstellung und Einordnung in das Gesamtcurriculum
• Inhalte werden vom Einfachen zum Schweren hin aufgebaut
Wie kann man vorgehen, damit Lernende die angestrebten Ziele erreichen können?
1.5.6 Durchführungsphasen einer US
bereiche hinweisen aber NICHT deren Inhalt ausführlich behandeln!
VORSICHT: Vertiefung NICHT zu anspruchsvoll gestalten; kann auf zukünftige Themen-
lung gegeben wird
– oft möglich, Vertiefung so zu wählen, dass Ausblick auf eine kommende Themenstel-
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
DEFINITIONEN
Seite 19
(3) Falls Z = P , so gilt: P ′ = P = Z.
Urpunktes P .
punkt von k(Z,P ) mit ZP , der NICHT mit P zusammenfällt, ist der Bildpunkt P ′ des
schneidet diese mit dem Kreis k(Z; P ) mit Mittelpunkt Z und Radius |ZP |. Der Schnitt-
(2) Falls Z ungleich P , zeichnet man durch Z und einen Urpunkt P die Gerade ZP und
(1) Gegeben sei ein ausgezeichneter Punkt Z (das sogenannte Spiegelzentrum).
Eine Punktspiegelung ist eine geometrische Abbildung gemäß folgender Vorschrift:
4.2 Punktspiegelung
• Eine Abbildung, die längen- und winkeltreu ist, nennt man Kongruenzabbildung.
Drehung, eine Verschiebung oder eine Schubspiegelung ist.
• Eine Abbildung nennt man Kongruenzabbildung, wenn sie eine Achsenspiegelung, eine
von (endlich vielen) Achsenspiegelungen ersetzen lässt, nennt man Kongruenzabbildung.
• Eine Abbildung, die sich durch eine Achsenspiegelung oder die Hintereinanderausführung
4.1 Kongruenzabbildung
die Zahl stammt.
Ist im Folgenden von Zahl die Rede, dann sollte angegeben werden, aus welcher Grundmenge
IV Definitionen
– klare Beschreibung der Unterrichtsskizze
– Bereitstellung oder Sicherung von Informationen
– Bilder, Modelle, reale Gegenstände, technische Hilfsmittel . . .
• materielle Objekte
∗ Phase des Transfers: Möglichkeiten und Grenzen der Übertragung des Gelernten
∗ Phase der Einübung: Medium einer operativen Sicherung des Gelernten
Begriffe, Lehrsätze oder Verfahren
∗ Phase der Erkenntnisgewinnung: Vermittlung neuer Kenntnisse in Bezug auf
∗ Phase der Erstbegegnung: vornehmlich motivierender Charakter
– kann in jeder Phase des mathematischen Lernprozesses eingesetzt werden
– enthält bildlich-symbolische Darstellungen (zeichnerische Ebene)
(handelnde Ebene)
– enthält Ausgangssituationen, zu vervollständigende Zeichnungen, Bilderserien . . .
– enthält Impulse, Anregungen, Hilfe, Handlungsaufforderungen . . . (sprachliche Ebene)
• Arbeitsblatt
3.1 Inhaltliche Klarstellungen bezüglich verwendbarer Medien
III Anmerkungen zur Examensprüfung nach [Rot15]
IV
Wann sind zwei ebene Dreiecke ähnlich?
Beh:
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, so sind sie einander ähnlich. (WW)
(Definition der Ähnlichkeit)
(Kongruenzsatz wsw)
A′ B ′
AB
2
wie der Umfangswinkel.
Seite 40
(iv) Der Sehnen-Tangenten-Winkel auf der Gegenseite der Sehne ist gleich groß
(iii) Umfangswinkel über sich ergänzenden Kreisbögen ergänzen sich zu 180◦ .
Mittelpunktswinkel.
(ii) Der Umfangswinkel über einem Kreisbogen ist halb so groß wie der zugehörige
gleich.
(i) Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen sind
Umfangswinkelsatz/Peripheriewinkelsatz
=⇒ ∆ABC ∼ ∆A′ B ′ C ′
∼
=⇒ ∆AB1 C1 = ∆A′ B ′ C ′
β1 = β = β ′
,k=
(Winkeltreue von SA;k )
(nach Voraussetzung)
AB1 = A′ B ′
α = α′
SA;k : ∆ABC → ∆A′ B ′ C ′
Sei SA;k eine zentrische Streckung mit Zentrum A und Streckfaktor k.
anderen Dreiecks ist.
Man zeige, dass eine Ähnlichkeitsabbildung existiert, bei der das eine Dreieck das Bild des
Beweis
Beh:
• Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite
ODER
• (SWS) Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
• (SSS) Übereinstimmung in allen Verhältnissen entsprechender Seiten ODER
• (WW) Übereinstimmung in zwei Winkeln ODER
Zwei Dreiecke sind ähnliche, wenn gilt:
Frage:
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
2
Dreieck zusammen?
Wann fallen die Schnittpunkte von den Höhen und den Seitenhalbierenden im
2
Was unterscheidet die Mittelsenkrechten von den anderen Dreieckslinien?
Seite 39
punkten entfernt ist und gleichzeitig Mittelpunkt des Umkreises ist.
Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, welcher gleich weit von allen drei Eck-
Frage:
senkrechten zusammen.
Im gleichseitigen Dreieck fallen die Höhen, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und Mittel-
Frage:
punkt), muss dies auch für die Höhen des Dreiecks ∆ABC gelten.
Da sich die Mittelsenkrechtn eines Dreiecks in einem Punkt schneiden (Umkreismittel-
des Dreiecks ∆A′ B ′ C ′ überein.
Die Höhen des ursprünglichen Dreiecks ∆ABC stimmen daher mit den Mittelsenkrechten
von ∆A′ B ′ C ′ gerade doppelt so lang sind wie die Seiten von ∆ABC.
Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und es folgt, dass die Seiten
Je zwei der vier Teildreiecke des neuen Dreiecks bilden ein Parallelogramm.
Ecken und erhalte ein größeres Dreieck ∆A′ B ′ C ′ .
Konstruiere zunächst die Parallelen zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden
Sei ∆ABC ein Dreieck.
Die drei Höhen im Dreieck haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
=⇒ ma , mb und mc schneiden sich also in einem gemeinsamen Punkt M .
=⇒ M liegt auf der Mittelsenkrechten mc
=⇒ M hat auch denselben Abstand zu A und B
• M liegt auch auf ma , also hat M denselben Abstand zu B und zu C
−x

x
für x ≤ 0
für x ≥ 0
heißt Betragsfunktion.
a a teilt n
Teilermenge von n.
Hat die Teilermenge T (n) genau zwei Elemente, so heißt die Zahl n Primzahl.
4.7 Primzahl
Für eine Zahl n heißt die Menge T (n) =
4.6 Teilermenge
Für Zahlen a und b sagen wir: a teilt b, falls es eine Zahl k gibt mit b = k · a.
4.5 Teilbarkeit
Die Funktion f : x −
7 → |x| =
4.4.6 Betragsfunktion
Eine Funktion f : x −
7 → mx + t mit m,t ∈ Q heißt lineare Funktion.
4.4.5 lineare Funktion
heißen proportionale Funktionen. a ist dabei der Proportionalitätsfaktor.
x−
7 → ax , a > 0 , x > 0
Funktionen mit der Termdarstellung
4.4.4 proportionale Funktionen
Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.
4.4.3 bijektive Funktion
Es gibt für alle y ∈ B ein x ∈ A mit f (x) = y
4.4.2 surjektive Funktion
Für alle x1 6= x2 gilt: f (x1 ) 6= f (x2 )
Sei ohne Einschränkung M der Schnittpunkt von ma und mb . Dann gilt:
genau ein y ∈ B zuordnet.
Seite 20
Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A,B. Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ A
4.4 Funktion
Bemerkung: Somit darf in einem Term KEIN „=“ enthalten sein!
licher Variablen in einen Zahlenwert übergeht.
4.4.1 injektive Funktion
• M liegt auf mb , also hat M denselben Abstand zu A und zu C
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck (formal: eine Zeichenreihe), der bei Belegung sämt-
4.3 Term
Schnittpunkt.
Da ma , mb und mc verschiedene Geraden sind, haben sie jeweils einen gemeinsamen
seiten.
Beweis
Beh:
2
Sei ∆ABC ein Dreieck und seien ma , mb und mc die Mittelsenkrechten auf die Dreiecks-
Beweis
Die drei Mittelsenkrechten im Dreieck haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Punkt S (Schwerpunkt des Dreiecks) schneiden.
weiteren Seitenhalbierenden und es folgt, dass sich alle drei Seitenhalbierenden in einem
Analog zeigt man, dass dies auch für die Seitenhalbierende [F C] mit einer beliebigen
BEWEISE
Beh:
XI
DEFINITIONEN
90◦
Sei 2ABCD ein Parallelogramm mit [AB] k [CD] und [BC] k [AD].
∼
Dann gilt:
CB
CD
=
CA
CE
=
2
1
Seite 21
haben, ist die Mittelsenkrechte mAB auf [AB].
Damit gilt:
AS
SD
=
BS
SE
=
2
1
• Übereinstimmung der Wechselwinkel: BAS = EDS
• Übereinstimmung im Scheitelwinkel: DSE = ASB
AB
ED
=
2
1
F der Mittelpunkt von [AB]. Ferner sei S der Schnittpunkt von [AD] und [BE].
∆ABS und ∆ESD sind ähnlich, wegen
Die Menge aller Punkte P , die von zwei verschiedenen Punkten A und B gleichen Abstand
2
Seite 38
Seien ∆ABC ein Dreieck, D der Mittelpunkt von [BC], E der Mittelpunkt von [AC] und
Die drei Seitenhalbierenden im Dreieck haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Somit folgt sofort: AS = SC und BS = SD
• SBA = SDC (Wechselwinkel)
• BAS = DCS (Wechselwinkel)
• AB = CD (nach Voraussetzung)
Nach Kongruenzsatz WSW gilt: ∆ABS = ∆SCD, wegen
∼
BC = AD. Ferner sei S der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD].
r haben, heißt Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.
4.14 Mittelsenkrechte
2
Sei 2ABCD ein Parallelogramm mit [AB] k [CD], [BC] k [AD], AB = CD und
Diagonalen im Parallelogramm halbieren sich gegenseitig.
Somit folgt sofort: AB = CD und BC = AD
Nach Kongruenzsatz WSW gilt: ∆ABC = ∆ACD
CAD = ACB (Wechselwinkel)
DCA = BAC (Wechselwinkel)
Beweis
Beh:
2
Die Diagonale [AC] teilt das Viereck in zwei Dreiecke, welche beide die Seite [AC] besitzen.
Mit der Umkehrung der Strahlensätze folgt: [AB] k [ED] und
gibt,
u−t
m−n
Die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang.
Insgesamt folgt also die Behauptung.
Beweis
Beh:
m6=n
=⇒ ∃x, sodass g und h einen Punkt P gemeinsam haben.
Beweis
Beh:
2. Fall: m 6= n
=⇒ mx + t = nx + u =⇒ (m − n)x = u − t ===⇒ x =
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
Die Menge aller Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M den gleichen Abstand
4.13 Kreis
Stellt die Punktmenge eine Ebene oder einen Teil der Ebene dar, so heißt sie Ortsbereich.
Bildet diese Punktmenge eine Linie, so heißt diese Ortslinie.
Bemerkung: E ist in der Schule meistens „gleicher Abstand von . . . “.
Punkte, die eine Eigenschaft E besitzen, heißen geometrischer Ort zur Eigenschaft E.
4.12 Ortslinie und Ortsbereich
die gleichzeitig g auf h und h auf g abbildet.
• Zwei Geraden g und h heißen senkrecht, wenn g 6= h und es eine Drehung um
spiegelung an h mit ihrem Bild zur Deckung kommt (g also Fixgerade ist).
• Zwei Geraden g und h heißen senkrecht, wenn g 6= h und die Gerade g bei einer Achsen-
entstehenden Winkel rechte Winkel sind.
• Zwei Geraden g und h heißen senkrecht (g ⊥ h), wenn sie sich schneiden und alle vier
4.11 senkrechte/orthogonale Geraden
geschnitten werden.
• Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie von einer dritten Geraden im gleichen Winkel
• Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand zueinander haben.
• Zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn sie sich NICHT schneiden (oder gleich sind).
4.10 parallele Geraden
Eine Gerade ist eine Linie von unendlicher Ausdehnung.
4.9 Gerade
Gilt für zwei Zahlen a und b ggT(a; b) = 1, so nennt man a und b teilerfremd.
4.8 teilerfremde Zahlen
IV
2
2
Spiegelbild von P bzgl. der Geraden g.
∼
Seite 37
Seite 22
g zuordnet, heißt Achsenspiegelung.
=⇒ Für t 6= u gibt es KEINEN Punkt P , den g und h gemeinsam haben.
Die Gerade g heißt Spiegelachse.
Eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P sein Spiegelbild P ′ bezüglich der Geraden
4.21 Achsenspiegelung
heißt
P′
liegt. Ist P ′ ein von P verschiedener Punkt, für den [AP ] = [AP ′ ] und [BP ] = [BP ′ ] gilt, so
∼
Seien A und B zwei verschiedene Punkte einer Geraden g und P ein Punkt, der NICHT auf g
4.20 Spiegelbild
Sind alle Punkte einer Geraden Fixpunkte, so heißt diese Fixpunktgerade.
Fixgerade.
Sind eine Gerade und ihr Bild unter einer Abbildung identisch, so heißt eine solche Gerade
der Abbildung.
Sind ein Punkt und sein Bild unter einer Abbildung identisch, so heißt ein solche Punkt Fixpunkt
4.19 Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade
Bemerkung: entspricht der Vorstellung „deckungsgleich“
gibt, welche die Figur auf die andere abbildet.
Zwei geometrische Figuren heißen genau dann kongruent, wenn es eine Kongruenzabbildung
4.18 kongruent (Abbildungsgeometrie)
Kongruenzabbildung.
Formaler: Sei E eine Ebene. Dann heißt f : E → E mit f (A)f (B) = AB für alle A,B ∈ E
∼
Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich selbst heißt Kongruenzabbildung.
4.17 Kongruenzabbildung
Bemerkung: Figur und Bildfigur sind identisch, das heißt invariant unter dieser Abbildung.
selbst abbildet.
Eine Figur heißt symmetrisch, wenn es eine Kongruenzabbildung gibt, welche die Figur auf sich
4.16 symmetrisch (Abbildungsgeometrie)
Dann heißt der Winkel ACB der zum Winkel AM B gehörige Umfangs- bzw. Randwinkel.
Sei C ein Punkt des Kreises, der bezüglich der Geraden AB in derselben Halbebene wie M liegt.
Winkel AM B Mittelpunktswinkel.
Seien A und B zwei verschiedene Punkte eines Kreises mit Mittelpunkt M . Dann heißt der
4.15 Mittelpunktswinkel, Umfangs- bzw. Randwinkel
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
zung.
Dies gilt nur dann, wenn g und h identisch sind und steht im Widerspruch zur Vorausset-
=⇒ mx + t = mx + u =⇒ t = u
1. Fall: m = n
Seien g(x) = mx + t und h(x) = nx + u mit m,n,t,u ∈ R zwei verschiedene Geraden.
Zwei verschiedene Geraden g und h haben höchstens einen Punkt P gemeinsam.
=⇒ Das Viereck ist ein Rechteck.
=⇒ auch der vierte Winkel hat ein Winkelmaß von 90◦
=⇒ 360◦ − 3 · 90◦ = 90◦
Es gilt: Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360◦ .
Ein Viereck mit drei rechten Winkeln ist ein Rechteck.
Geraden sind.
Damit sind die Wechselwinkel α und β genau dann kongruent, wenn p und h parallele
Die Scheitelwinkel γ und β sind immer kongruent.
sind.
Die Stufenwinkel γ und α sind genau dann kongruent, wenn p und h parallele Geraden
Beweis
Beh:
p und h parallel sind.
Betrachte den Winkel γ. Es gilt: γ ist Stufenwinkel zu α und Scheitelwinkel zu β.
Beweis
Beh:
2
Zwei Wechselwinkel α = w(p,h) und β = w(h,g) sind genau dann kongruent, wenn
winkeltreu ist, gilt: α ist kongruent zu β.
der Geraden g. Dann wird p auf h abgebildet und folglich α auf β. Da eine Translation
Seien p und h parallel. Verschiebe den Scheitel von α auf den Scheitel von β entlang
Geraden abgebildet werden, ist p parallel zu h.
ist, wird α auf β abgebildet und folglich p auf h. Da bei Translationen Geraden auf parallele
Scheitel von α entlang der Geraden g auf den Scheitel von β. Da eine Translation winkeltreu
Seien α und β kongruent. Scheitel und ein Schenkel liegen jeweils auf g. Verschiebe den
Beweis
Beh:
(⇐)
(⇒)
Beweis
und h parallele Geraden sind.
Zwei Stufenwinkel α = w(p,g) und β = w(h,g) sind genau dann kongruent, wenn p
BEWEISE
Beh:
XI
DEFINITIONEN
P′
halbiert.
so zuordnet, dass M die Strecke
Seite 23
ckung.
Eine Verknüpfung einer Drehung und einer Streckung mit identischem Zentrum heißt Drehstre-
4.28 Drehstreckung
von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen.
Unter Ähnlichkeitsabbildung versteht man die Hintereinanderausführung einer endlichen Anzahl
4.27 Ähnlichkeitsabbildung
Bemerkung: Man könnte die zentrische Streckung also auch „Parallelvergrößerung“ nennen.
sie jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet und einen Fixpunkt hat.
Eine Abbildung der Ebene auf sich heißt Dilatation (zentrische Streckung) genau dann, wenn
4.26 Dilatation (zentrische Streckung)
gleich weit in gleicher Richtung.
• Bei einer Parallelverschiebung bewegen sich alle Punkte auf zueinander parallelen Geraden
g und h dargestellt werden kann.
als Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen Sg und Sh an parallelen Achsen
• Eine Abbildung der Ebene auf sich heißt Parallelverschiebung oder Translation, wenn sie
4.25 Translation (Parallelverschiebung)
punkt M in gleichem Drehsinn um gleich große Winkel gedreht.
• Bei einer Drehung werden alle Punkte einer Figur auf Kreisen mit dem gleichen Mittel-
M heißt Drehpunkt und α Drehwinkel.
M P = M P ′ und Winkel P M P ′ = α ist.
besitzt und wenn für jeden von M verschiedenen Punkt P und sein Bild P ′ gilt, dass
• Eine Abbildung DM,α der Ebene auf sich heißt Drehung, wenn sie einen Fixpunkt M
4.24 Drehung
durch M gleichweit entfernt von M .
• Bei einer Punktspiegelung am Punkt M liegen jeder Punkt und sein Bild auf einer Geraden
M heißt Zentrum der Punktspiegelung.
[P P ′ ]
punkt M besitzt und jedem Punkt P den Bildpunkt
• Eine Abbildung ϕM der Ebene auf sich heißt Punktspiegelung, wenn sie genau einen Fix-
4.23 Punktspiegelung
kann.
derausführung einer geraden Anzahl von Achsenspiegelungen auf die andere abgebildet werden
Zwei kongruente Figuren heißen gleichsinnig orientiert, wenn die eine durch die Hintereinan-
4.22 gleichsinnig orientiert
IV
Seien A, B und C verschiedene Punkte auf einer Geraden, wobei ohne Einschränkung B
2
2
α + β = 180◦ und α + γ = 180◦ . Es folgt β = γ.
Seite 36
2
Seien β und γ Scheitelwinkel. Dann gibt es einen gemeinsamen Nebenwinkel α, sodass
Scheitelwinkel sind gleich groß.
Folgt unmittelbar aus der Definition: Gerade entspricht einem gestreckten Winkel
Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen 180◦ .
Geraden gleich der Anzahl der Schnittpunkte der Bildgeraden.
Beweis
Beh:
2
Da die Abbildungen bijektiv und geradentreu sind, ist die Anzahl der Schnittpunkte zweier
Kongruenzabbildungen sind parallelentreu.
Dies ist aber NICHT möglich (Dreiecksungleichung).
Da AB + BC = AC, folgt auch A′ B ′ + B ′ C ′ = A′ C ′ .
Annahme: Der Bildpunkt B ′ liegt NICHT auf der Geraden durch die Bildpunkte A′ C ′ .
Beweis
Beh:
abgebildet).
zwischen A und B liegt.
Beweis
Beh:
2
Kongruenzabbildungen sind geradentreu (das heißt, Geraden werden auf Geraden
dem auch X liegt. Damit hat X ein Urbild (surjektiv).
Betrachte nun die Bilder der Punkte auf der Kreislinie: sie bilden einen Kreis um P ′ , auf
Bildpunkt. Schlage um P einen Kreis, dessen Radius kongruent zur Strecke [P ′ X] ist.
Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt X ein Urbild. Denn sei P ein Punkt und P ′ sein
erhalten bleibt (injektiv).
Beweis
Beh:
Kongruenzabbildungen sind bijektiv und damit umkehrbar
Zwei verschiedene Punkte können NICHT den gleichen Bildpunkt haben, da der Abstand
Beweis
Beh:
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
= 0.1
∞ X
=
m2
=1
mit m,n ∈ Z, n 6= 0 und ggT(m,n) = 1.
1
9
2
2
2
√
21 =
m
n
(∗)
mit m,n ∈ Z, n 6= 0 und ggT(m,n) = 1.
21 ist irrational.
Seite 35
(∗) ergibt sich aus der Substitution m = 21 ·
m′ ,
woraus folgt:
Dies steht im Widerspruch zu ggT(m,n) = 1.
√
=⇒ 21 ist irrational.
21n2
=
212 m′2
=⇒ 21n2 = m2 =⇒ 21 m2 =⇒ 21 m =⇒ 21 n2 =⇒ 21 n
Sei
Beweis
√
zu ggT(n,m) = 1.
√
=⇒ 2 ist irrational.
2
2
teilbar. Folglich ist n2 und damit auch n durch 2 teilbar. Dies ist jedoch ein Widerspruch
Teiler 2 besitzen. Dann muss aber bereits m den Teiler 2 besitzen. Also ist m2 durch 4
Da 2n2 gerade ist für alle n ∈ Z, muss auch m2 eine gerade Zahl sein und somit den
m
n
2n2
n
1
1 10
·
=
10 9
9
= 0.1. Also folgt: 0.9 = 9 · 0.1 = 9 ·
2 ist irrational.
1
9
(Alternative)
2=
√
=⇒
Sei
√
Es gilt:
Beweis
Beh:
10
=
⇐⇒ 10a − a = 9.9 − 0.9 ⇐⇒ 9a = 9 ⇐⇒ a = 1
Beweis
Beh:
0.9 = 1
n=0
∞ X
1 n
Sei 0.9 = a. Dann gilt: 10a = 9.9
Beweis
Beh:
Mit geometrischer Reihe folgt
1
1
1
1
1
0.111111 . . . =
+
+
+ ... =
·
10 100 1000
10 n=0 10
Beweis
1
9
BEWEISE
Beh:
XI
Seite 24
Ein Viereck mit zwei Paaren kongruenter benachbarter Winkel heißt gleichschenkliges Trapez.
4.38.1 gleichschenkliges Trapez
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heißt Trapez.
4.38 Trapez
Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind, heißt Parallelogramm.
4.37 Parallelogramm
Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute oder Rhombus.
4.36 Raute
Ein Viereck heißt Rechteck, falls alle Winkel rechte Winkel sind.
4.35 Rechteck
Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten und vier rechten Winkeln heißt Quadrat.
4.34 Quadrat
punkt bestimmt sind, heißen Seitenhalbierende des Dreiecks.
Die Geraden, die durch den Mittelpunkt einer Dreiecksseite und den gegenüberliegenden Eck-
4.33 Seitenhalbierende des Dreiecks
genden Geraden heißen Höhen des Dreiecks.
Die (Maße der) Strecken auf den Höhengeraden vom Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberlie-
durch die gegenüberliegenden Punkte C, B und A gehen, Höhengeraden des Dreiecks.
Sei ABC ein Dreieck. Dann heißen die Senkrechten der Geraden AB, AC und BC, die jeweils
4.32 Höhen im Dreieck
auf einer Geraden liegen.
Ein Dreieck ist die Vereinigung der Strecken zwischen drei verschiedenen Punkten, die NICHT
4.31 Dreieck
bezüglich g in derselben Halbebene liegen.
der beiden Winkel auf einer gemeinsamen Geraden g liegt und die beiden anderen Schenkel
Zwei Winkel α = w(p,g) und β = w(h,g) heißen genau dann Stufenwinkel, wenn je ein Schenkel
4.30 Stufenwinkel
Spiegelstreckung.
Eine Verknüpfung einer Achsenspiegelung und einer Streckung mit Zentrum auf der Achse heißt
4.29 Spiegelstreckung
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
DEFINITIONEN NACH [RR01]
4.40 Sinus
In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken ist das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und
des Winkels ab.
Gegenkathete
sin(α)
=
Ankathete
cos(α)
Seite 25
nachfolgenden Ziffern werden durch Nullen ersetzt.
Die zu rundende Ziffer wird um 1 erhöht, wenn eine der Ziffern 5, 6, 7, 8 oder 9 folgt. Die
5.3 Aufrunden
B heißt Teilmenge von A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist.
5.2 Teilmenge
Eine Menge ist die Zusammenfassung unterscheidbarer Dinge zu einem Ganzen.
5.1 Menge
V Definitionen nach [RR01]
Tangens(α) = tan(α) =
Der Tangenswert ist umso kleiner, je kleiner der Winkel ist.
Zahlen.
Tangenswerte sind Quotienten von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck. Sie sind unbenannte
Dieses Verhältnis nennt man Tangens eines Winkels.
=⇒ a (n · b)
=⇒ ∃(n · k) : n · b = (n · k) · a
=⇒ n · b = n · k · a = (n · k) · a
a b =⇒ ∃k : b = k · a
Beweis
Beh:
Gilt a b, so folgt für jede Zahl n: a (n · b)
=⇒ a (b − c)
=⇒ ∃(k − l) : b − c = (k − l) · a
=⇒ b − c = k · a − l · a = (k − l) · a
Ankathete immer gleich. Es hängt NICHT von der Länge der Seiten, sondern nur von der Größe
a c =⇒ ∃l : c = l · a
Beweis
Beh:
In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken ist das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und
Gegenkathete
Hypotenuse
Gilt a b und a c für b > c, so folgt a (b − c)
=⇒ a (b + c)
=⇒ ∃(k + l) : b + c = (k + l) · a
Sinus(α) = sin(α) =
=⇒ b + c = k · a + l · a = (k + l) · a
a b =⇒ ∃k : b = k · a
4.41 Tangens
und 1.
Da die Hypotenuse immer länger ist als die Gegenkathete, gibt es nur Sinuswerte zwischen 0
Zahlen.
Sinuswerte sind Quotienten von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck. Sie sind unbenannte
Dieses Verhältnis nennt man Sinus eines Winkels.
Größe des Winkels ab.
a c =⇒ ∃l : c = l · a
Hypotenuse immer gleich. Es hängt NICHT von der Länge der Seiten, sondern nur von der
Seite 34
2
2
2
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
Gilt a b und a c, so folgt a (b + c).
a b =⇒ ∃k : b = k · a
Beweis
Beh:
XI Beweise
chen.
Ein Viereck, bei dem eine Diagonale auf einer Symmetrieachse liegt, heißt symmetrischer Dra-
4.39.1 symmetrischer Drachen
Ein Viereck, dessen eine Diagonale durch die andere halbiert wird, heißt (schiefer) Drachen.
4.39 Drachen
V
Seite 33
Die Funktion f mit y = loga (x) und a ∈ R+ \ {1} heißt Logarithmusfunktion zur Basis a.
10.1 Logarithmusfunktion
X Definitionen nach [RR08]
Zerlegungsgleiche Figuren haben gleichen Flächeninhalt.
lassen.
Zwei Figuren heißen zerlegungsgleich, wenn sie sich in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegen
9.2 Zerlegungsgleichheit
Die nicht negative Lösung der Gleichung x2 = a mit a ∈ Q+
0 heißt Quadratwurzel aus a.
Seite 26
Ist eine Zahl a durch n teilbar, so ist auch jedes Produkt mit dem Faktor a durch n teilbar.
5.15 Teilbarkeit eines Produkts
Sind zwei Zahlen a und b durch n teilbar, so ist auch ihre Summe durch n teilbar.
5.14 Teilbarkeit einer Summe
so erhält man einen Körper, den man (gerades) Prisma nennt.
Verschiebt man ein Vieleck (Dreieck, Viereck, Fünfeck . . . ) senkrecht zur Ebene dieses Vielecks,
5.13 Prisma
Zu einer Geraden gibt es durch einen Punkt genau eine Parallele.
5.12 Parallelenaxiom
sind.
Zwei Geraden heißen zueinander parallel, wenn sie beide zu einer dritten Geraden senkrecht
5.11 parallele Geraden
Zu einer Geraden gibt es durch einen Punkt genau eine Senkrechte.
5.10 Existenz einer Senkrechte
Ein von zwei Punkten begrenzter Teil einer Geraden heißt Strecke.
5.9 Strecke
Von einem Punkt begrenzter Teil einer Geraden heißt Halbgerade.
5.8 Halbgerade
Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt.
5.7 Gerade
Eine Gerade ist eine Menge von unendlich vielen Punkten. Sie ist nach beiden Seiten unbegrenzt.
5.6 Eigenschaften von Geraden
Element der Ebene. Sie ist nach allen Seiten unbegrenzt.
Die Ebene E ist eine Punktmenge mit unendlich vielen Elementen. Jeder einzelne Punkt ist
5.5 Eigenschaften der Ebene
IX Definitionen nach [RR06]
9.1 Quadratwurzel
Die zu rundende Ziffer bleibt unverändert, wenn eine der Ziffern 0, 1, 2, 3 oder 4 folgt. Die
nachfolgenden Ziffern werden durch Nullen ersetzt.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die größte Seite die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
gegenüber.
5.4 Abrunden
DEFINITIONEN NACH [RR08]
8.9 Hypotenuse
X
b,c,x ∈ Q
Seite 27
aller auftretenden Primfaktoren in der jeweils höchsten vorkommenden Potenz nimmt.
Man bestimmt das kgV zweier Zahlen aus der Primfaktorzerlegung, indem man das Produkt
5.25 Bestimmung des kgV aus der Primfaktorzerlegung
den Potenz.
Seite 32
Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn die zugehörige Umkehrrelation wieder eine Funktion ist.
8.8 Umkehrbarkeit einer Funktion
gelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.
(2) Den Graphen der Umkehrrelation erhält man aus dem Graphen der Relation durch Spie-
(1) Die Umkehrrelation entsteht durch Vertauschen der Variablen in der Relationsvorschrift.
8.7 Umkehrrelation
5.24 Bestimmung des ggT aus der Primfaktorzerlegung
Ordnet eine Relation jedem Element der Definitionsmenge D genau ein Element der Wertemenge
8.6 Funktion
Die Produktmenge M1 × M2 ist die Menge aller geordneten Paare (x|y) mit x ∈ M1 und y ∈ M2 .
8.5 Produktmenge
mente aus G, für die der Termwert berechenbar ist.
Die Definitionsmenge D eines Terms bezüglich seiner Grundmenge G ist die Menge aller Ele-
8.4 Definitionsmenge
a ∈ Q \ {0}
Für a < 0 liegt ein Maximum vor.
(2) Für a > 0 liegt ein Minimum vor.
(1) Der Term a · (x + b)2 + c hat für x = −b den Extremwert c.
8.3 Extremwerte quadratischer Terme
Terme der Form ax2 + c mit a < 0 besitzen für x = 0 ein Maximum. Dieses hat den Wert c.
8.2 Maximum
W zu, so nennt man sie Funktion in D × W.
Man bildet das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren in der jeweils niedrigsten vorkommen-
Terme der Form ax2 + c mit a > 0 besitzen für x = 0 ein Minimum mit dem Wert c. (a,c ∈ Q)
8.1 Minimum
VIII Definitionen nach [RR96]
P d(P ; p1 ) = d(P ; p2 )
Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente besitzt, heißt Primzahl.
5.23 Primzahl
Eine natürliche Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
5.22 Teilbarkeit durch 9
Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
5.21 Teilbarkeit durch 3
Ziffern durch diese Zahl teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 8 oder durch 125 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten drei
5.20 Teilbarkeit durch 8 und 125
Ziffern durch diese Zahl teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 4 oder durch 25 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden
5.19 Teilbarkeit durch 4 und 25
ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 2 oder 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch diese Zahl teilbar
5.18 Teilbarkeit durch 2 und 5
Besitzt eine Zahl 1/2/3 Endnullen, dann ist sie durch 2/4/8 und 5/25/125 teilbar.
5.17 Teilbarkeit durch Zweier- und Fünferpotenzen
m=
Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei gegebenen Parallelen gleichen Abstand haben,
ist ihre Mittelparallele.
Besitzt eine natürliche Zahl genau 1/2/3 Endnullen, dann ist sie durch 10/100/1000 teilbar.
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
7.16 Mittelparallele
DEFINITIONEN NACH [RR01]
5.16 Teilbarkeit durch Stufenzahlen
V
P AP = BP
HB =
P AP > BP
P d(P ; g) = d(P ; h)
Seite 31
p1 ∪ p2 =
P d(P ; g) = a
haben, ist das Parallelenpaar zur Geraden g im Abstand a.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden den gleichen Abstand a
7.15 Parallelenpaar zu einer Gerade
renden. Sein Radius ri ist der Abstand von Mi zu den Seiten.
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Sein Mittelpunkt Mi ist der Schnittpunkt der Winkelhalbie-
7.14 Inkreis des Dreiecks
rechten. Sein Radius ru ist die Entfernung von Mu zu den Eckpunkten.
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt Mu ist der Schnittpunkt der Mittelsenk-
7.13 Umkreis des Dreiecks
wobei α = (g; h)
wα =
ist die Halbierende des Winkels.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von den Schenkeln eines Winkels gleichen Abstand haben,
7.12 Winkelhalbierende
HA =
P AP < BP
Entfernung als von B haben, ist die Halbebene bezüglich m[AB] , in der A (B) liegt.
Der geometrische Ort aller Punkte, die vom Endpunkt A einer Strecke [AB] ein kleinere (größere)
7.11 Halbebene
m[AB] =
Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der beiden Punkte.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei Punkten gleiche Entfernung haben, ist die
7.10 Mittelsenkrechte
vom Punkt M die Entfernung r haben.
Der Kreis k um M mit Radius r, kurz k(M ; r), ist der geometrische Ort aller Punkte P , die
7.9 Kreis
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
a ∈ N0
b∈N
a
x,y,k ∈ Q+
P −
7 → P′
Abbildungsvorschrift: Für P ∈ a gilt: P = P ′ .
Bestimmungsstück: Spiegelachse a
6.8 Achsenspiegelung
y =k·x
Durch eine direkte Proportionalität werden Zahlenpaare (x|y) festgelegt, für die gilt:
6.7 Direkte Proportionalität
Bemerkung: Quadrieren eine Gleichung ist KEINE Äquivalenzumformung!
Seite 28
der/die gleiche(n) Zahl, so erhält man eine Gleichung, die zur ursprünglichen äquivalent
ist.
• Multipliziert/dividiert man den Linksterm und den Rechtsterm einer Gleichung mit/durch
Gleichung.
• Liest man eine Gleichung von rechts nach links, so erhält man eine dazu äquivalente
gleiche Zahl, so erhält man eine Gleichung, die zur ursprünglichen äquivalent ist.
• Addiert bzw. subtrahiert man zum Linksterm und zum Rechtsterm einer Gleichung die
6.6 Äquivalenzumformung
Eine Gleichung (Ungleichung) heißt unerfüllbar in G, wenn L die leere Menge ist.
6.5 unerfüllbare Gleichung (Ungleichung)
Eine Gleichung (Ungleichung) heißt allgemein gültig in G, wenn L gleich G ist.
6.4 allgemein gültige Gleichung (Ungleichung)
Eine Gleichung (Ungleichung) heißt teilgültig in G, wenn L eine echte Teilmenge von G ist.
6.3 teilgültige Gleichung (Ungleichung)
besitzen, heißen äquivalent.
Zwei Gleichungen (Ungleichungen), welche bei gleicher Grundmenge die gleiche Lösungsmenge
6.2 Äquivalenz von Gleichungen (Ungleichungen)
a
=a:b
b
Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für einen Quotienten. Es gilt:
6.1 Bruch
Eine Figur heißt drehsymmetrisch zum Winkel α mit dem Zentrum Z, wenn sie nach Drehung
um Z mit α mit sich selbst zur Deckung kommt.
VI Definitionen nach [RR02]
DEFINITIONEN NACH [RR04]
7.8 Drehsymmetrie
VII
DEFINITIONEN NACH [RR04]
Seite 29
y
=k
x
k
x · y = k ⇐⇒ y =
x
7.2 Indirekte Proportionalität
y = k · x ⇐⇒
7.1 Direkte Proportionalität
VII Definitionen nach [RR04]
x,y ∈ Q+
x,y ∈ Q+
• die anderen Seiten sind parallel und werden durch die Achse halbiert
schneiden. Dabei gilt:
Z
P −
7 → P′
(2) auf der Halbgeraden [P Z
(1) auf dem Kreis um Z durch P
Für jeden Punkt P 6= Z gilt: P ′ liegt
Abbildungsvorschrift: Das Zentrum Z wird auf sich abgebildet.
Bestimmungsstück: Spiegelzentrum Z.
Die Punktspiegelung ist der Spezialfall einer Drehung mit α = 180◦ .
7.7 Punktspiegelung
Seite 30
(2) auf dem freien Schenkel des Winkels vom Maß α, der in Z an [ZP angetragen wird.
(1) auf dem Kreis um Z durch P
Abbildungsvorschrift: Das Zentrum Z wird auf sich abgebildet.
6.14 gleichschenkliges Trapez (achsensymmetrisch)
• ein Paar gleich langer Seiten
α
2
Bestimmungsstücke: Das Zentrum Z. Das Drehwinkelmaß (kurz der Drehwinkel) α.
α
∈]0◦ ; 360◦ [.
an zwei Achsen, die sich in Z unter einem Winkel vom Maß ϕ =
Für jeden Punkt P 6= Z gilt: P ′ liegt
• zwei Paare gleich großer Winkel
Z;α
P −
7 → P′
Die Drehung um Z mit dem Winkelmaß α ist die Ersatzabbildung einer Doppelachsenspiegelung
7.6 Drehung
als Repräsentant des Vektors genommen werden.
Die Menge aller Pfeile mit gleicher Länge und Richtung heißt Vektor. Jeder seiner Pfeile kann
7.5 Vektor
Jede Gerade in Verschiebungsrichtung ist Fixgerade.
Die Parallelverschiebung besitzt KEINEN Fixpunkt.
7.4 Fixelemente der Parallelverschiebung
übereinstimmen.
Abbildungsvorschrift: Jedem Punkt P wird durch einen Verschiebungspfeil ein Punkt P ′ zu# „
geordnet. Die Verschiebungspfeile sind so zu wählen, dass sie in Länge und Richtung mit AB
# „
Bestimmungsstück: Verschiebungspfeil AB
• die anderen Winkel werden durch die Achse halbiert
• ein Paar gleich großer Winkel
• zwei Paare gleich langer Seiten
6.13 (Achsensymmetrischer) Drachen
Die Spiegelachse heißt Symmetrieachse.
symmetrisch.
Eine Figur, die durch Achsenspiegelung auf sich selbst abgebildet werden kann, heißt achsen-
6.12 Achsensymmetrie
Jeder Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Spiegelachse a ist Fixkreis.
k ist Fixkreis, wenn gilt: k ′ = k
6.11 Fixkreis
Die Spiegelachse a und jede Senkrechte dazu ist Fixgerade.
g ist Fixgerade, wenn gilt: g ′ = g
6.10 Fixgerade
Jeder Punkt der Spiegelachse a ist Fixpunkt.
F ist Fixpunkt, wenn gilt: F ′ = F
6.9 Fixpunkt
Die Parallelverschiebung ist die Ersatzabbildung einer Doppelachsenspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen.
(2) Der Bildpunkt P ′ hat von der Spiegelachse a den gleichen Abstand wie der Urpunkt P .
# „
AB
P −
7 → P′
7.3 Parallelverschiebung
Staatsexamen Didaktik der Mathematik
(1) Der Bildpunkt P ′ liegt auf der Senkrechten s zur Spiegelachse a durch den Urpunkt P .
Für P ∈
/ a gilt:
VII