2 Die 0 und die ganzen Zahlen

2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Die Einführung der 0 durch indische Mathematiker etwa im Jahre 500 bedeutete einen wesentlichen Fortschritt im Umgang mit Zahlen, der sich aber
erst langsam durchsetzte. In Europa wurde noch im 13. Jahrhundert mit
den römischen Zahlzeichen gearbeitet (siehe [If1981], Kap. 31). Wir wollen
zunächst diese Zahlzeichen einführen, die auch heute noch zu meist feierlichen
Anlässen benutzt werden, und die man daher kennen sollte.
2.1 Die römischen Zahlzeichen
Die römischen Zahlzeichen bauen auf den Grundzeichen I, V, X, L, C, D, M
auf. Diese bezeichnen die Zahlen 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000:
I := 1, V := 5, X := 10, L := 50, C := 100, D := 500, M := 1000. Hieraus
werden alle anderen Zahlen additiv zusammengesetzt. Wenn vier gleiche Zeichen aufeinander folgen, schreibt man nur eines dieser Zeichen und danach
das der Größe nach folgende:
IV := 4 (das bedeutet 5-1),
IX := 9 (das bedeutet 10-1),
XL := 40, XC := 90, CD = 400, u.s.w.
Von links nach rechts schreibt man zunächst die Tausender (es gibt nur
M, MM und MMM). Dann folgen die Hunderter
C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM,
100 200 300 400 500 600 700 800 900,
die Zehner
X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC,
10 20 30 40 50 60 70
80 90,
und die Einer
I II III IV V VI VII VIII IX,
1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Die folgenden Beispiele verdeutlichen das eben Gesagte:
XIV := 14, XXIX := 29, CCCIX := 309, MDCCCXLIX := 1849,
44
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
MCMXCIX := 1999. Die heute übliche Schreibweise IV für 4, IX für 9, u.s.w.,
kam erst im Mittelalter auf. Die Römer schrieben IIII für 4, VIIII für 9, u.s.w.
Siehe hierzu [Tr1980], S. 34.
Aufgaben
1. Man schreibe die folgenden Zahlen mit arabischen Zahlzeichen:
DXXIX, MMIX, CMXLIX.
2. Man schreibe die folgenden Zahlen mit römischen Zahlzeichen:
1707, 3838, 2444.
2.2 Die Einführung der 0
In diesem Abschnitt fügen wir zu den bisher betrachteten natürlichen Zahlen
die Zahl 0 hinzu, die wir freilich bei der Schreibung der natürlichen Zahlen
schon benutzt haben.
Die Menge N der natürlichen Zahlen wird durch Hinzufügen der 0 zur
Menge N0 der nichtnegativen ganzen Zahlen, eine Bezeichnung, die erst im
Verlaufe des zweiten Kapitels ihre Rechtfertigung findet.
Die Bedeutung der Zahl 0 ist “nichts”, d.h. es soll sich durch Hinzufügen
von 0 zu einer Zahl aus N0 wieder diese Zahl ergeben:
a + 0 = a,
0 + a = a für a ∈ N0 .
(2.1)
Entsprechend soll für die Multiplikation
a · 0 = 0,
0 · a = 0 für a ∈ N0
(2.2)
gelten.
Mit diesen Festlegungen sieht man leicht, dass die Rechengesetze in Theorem 1.1 auch für Zahlen a, b, c aus N0 gelten.
Setzt man andererseits die Rechengesetze aus Theorem 1.1 für die Zahlen
aus N0 voraus und setzt man voraus, dass
0+1=1
(2.3)
gilt, so kann man (2.1) und (2.2) beweisen:
Zum Beweis von (2.1) nehmen wir uns eine natürliche Zahl b her und
addieren sie zu (2.3). Dann erhalten wir
(0 + 1) + b = 1 + b.
Wegen der Assoziativität der Addition folgt
0 + (1 + b) = 1 + b.
2.2 Die Einführung der 0
45
Jede natürliche Zahl a, die von 1 verschieden ist, lässt sich in der Form
a = 1 + b schreiben. Daher gilt für alle natürlichen Zahlen a
0 + a = a.
Es bleibt, 0+0 = 0 zu zeigen. Angenommen 0+0 wäre gleich einer natürlichen
Zahl b:
0 + 0 = b.
Durch Addition von 1 erhält man
(0 + 0) + 1 = b + 1,
nun gilt nach den Voraussetzungen (0 + 0) + 1 = 0 + (0 + 1) = 0 + 1 = 1, also
1 = b + 1 = σ(b),
d.h. 1 wäre Nachfolger von b im Widerspruch zu Axiom 2.
Damit ist (2.1) bewiesen. Zum Beweis von (2.2) gehen wir von einem beliebigen a ∈ N0 und der
bereits bewiesenen Gleichung
a + 0 = a.
aus. Durch Multiplikation mit a erhält man
(a + 0) · a = a · a
und nach dem Distributivitätsgesetz
a2 + 0 · a = a2 .
Hieraus folgt
0 · a = 0.
Denn für jede natürliche Zahl c ist
a2 + c = a2 .
0 · a ist also keine natürliche Zahl, d.h. 0 · a = 0. Die Erhaltung der Rechengesetze in Theorem 1.1 erzwingt also schon die
Regeln für die neu eingeführte Größe 0.
Wie übertragen sich die übrigen Rechengesetze für natürliche Zahlen? Wir
übertragen die Kleinerbeziehung entsprechend der Definition in Abschnitt
1.9. von N auf N0 : Seien a und b Zahlen aus N0 . Dann heißt a kleiner als
b, wenn es eine natürliche Zahl c mit a + c = b gibt. In N0 ist also die
kleinste Zahl die 0. Die 1 ist die Nachfolgerin der 0. Die Sätze 4, 5 und 6 aus
Abschnitt 1.9. übertragen sich ohne jede Schwierigkeit auf Zahlen aus N0 .
Satz 1.7. überträgt sich wie folgt:
46
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Satz 2.1 Seien a und b Zahlen aus N0 . Dann gibt es ein x ∈ N0 mit
a+x=b
(2.4)
dann und nur dann, wenn a ≤ b ist. Wenn a ≤ b gilt, ist die Lösung x von
(2.4) eindeutig bestimmt. Entsprechend überträgt sich die Kürzungsregel für die Addition (Satz
1.3). Andererseits gibt es keine Übertragung der Kürzungsregel für die Multiplikation (Satz 1.11). Satz 1.12. kann wie folgt formuliert werden:
Satz 2.2 Seien a und b Zahlen aus N0 , sei c eine natürliche Zahl. Dann gilt
a < b genau dann, wenn
ac < bc
gilt.
B e w e i s. Der einzige gegenüber Satz 1.12 neue Fall ist a = 0. Dann ist die
Behauptung von Satz 2.2 offensichtlich. Schließlich haben wir auch die Potenz an auf Zahlen aus N0 zu erweitern.
Für a = 0 und n ∈ N setzen wir
0n := 0
(2.5)
a0 := 1.
(2.6)
Für a ∈ N0 und n = 0 setzen wir
Man sieht ohne Schwierigkeiten, dass mit den Definitionen (2.5) und (2.6)
der Satz 1.21 gültig bleibt. Umgekehrt beweist man leicht, dass der auf Zahlen
aus N0 übertragene Satz 1.21 die Definitionen (2.5) und (2.6) erzwingt mit
Ausnahme der Festlegung 00 = 1.
Zu den vielen Vorteilen, die man mit der Einführung der 0 gewonnen hat,
gehört die einfachere Formulierung von Satz 1.18:
Satz 2.3 Seien a und n beliebige natürliche Zahlen. Dann gibt es eindeutig
bestimmte Zahlen c und r aus N0 mit
a = cn + r,
r < n. Aufgabe
1. Man beweise an + bn ≤ (a + b)n für natürliche Zahlen a, b, n. Für welche
a, b, n ∈ N0 ist die Ungleichung falsch?
2.3 Der Zahlenstrahl und die geometrische Reihe
47
2.3 Der Zahlenstrahl und die geometrische Reihe
Ein Teil der Faszination, die von der Mathematik ausgeht, kommt her von
der Kombination von Zahl und Geometrie. Für die geometrische Darstellung
der nichtnegativen ganzen Zahlen führt man den Zahlenstrahl ein. Es ist dies
eine einseitig begrenzte gerade Linie, die nach rechts ins Unendliche geht,
und auf der die Zahlen als Punkte aufgetragen werden.
r
0
r
1
r
2
r
3
r
4
r
5
r
6
r
7
r
8
r
9
r 10
Abbildung 2.1
Solche Zahlenstrahlen begegnen uns überall im Alltag. Wenn es sich dabei
um eine Temperaturskala in Grad Celsius handelt, so verlangt diese nach einer
Fortsetzung nach links, um auch negative Grade anzeigen zu können.
Damit ist ein praktischer Grund für die Einführung negativer Zahlen gegeben. Aber es gibt hierfür auch gewichtige innermathematische Gründe.
Selbst wenn wir unser Interesse auf natürliche Zahlen beschränken, ist es von
großem Vorteil, auch negative Zahlen mit einzubeziehen. Wir demonstrieren
dies am Beispiel der geometrischen Reihe.
Seien a und n natürliche Zahlen. Dann interessiert uns die Gleichung
(a − 1)
n−1
ai = an − 1.
(2.7)
i=0
Zu ihrem Beweis kann man Induktion bezüglich n anwenden. Für n = 1 steht
auf beiden Seiten das gleiche. Sei schon für ein gewisses n bewiesen, dass
(a − 1)
n
−1
ai = an − 1
i=0
gilt. Dann haben wir
(a − 1)
n
ai = an +1 − 1
i=0
zu zeigen. Es gilt
(a − 1)
n
a = (a − 1)a
i
n
+ (a − 1)
i=0
n
−1
i=0
Es bleibt also
ai = (a − 1)an + (an − 1).
(a − 1)an + (an − 1) = an +1 − 1
48
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
zu zeigen. Hätten wir negative Zahlen zur Verfügung, so könnten wir
(a − 1)an + (an − 1) = an +1 − an + an − 1 = an +1 − 1
(2.8)
folgern und der Beweis von (2.7) wäre beendet. Bleiben wir dagegen bei
Rechnungen innerhalb N0 , so müssen wir komplizierte Überlegungen anstellen, die im Lichte des Rechnens unter Einschluss negativer Zahlen als völlig
überflüssig erscheinen. Wir führen daher zunächst im folgenden Abschnitt
negative Zahlen ein.
2.4 Negative Zahlen
Der Bereich der natürlichen Zahlen wird durch Hinzufügung der Null und
der negativen ganzen Zahlen zum Bereich der ganzen Zahlen erweitert. Die
negativen ganzen Zahlen befinden sich in eineindeutiger Entsprechung zu den
natürlichen Zahlen und werden mit −1, −2, ... bezeichnet.
Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet:
Z := N ∪ {0} ∪ {−a | a ∈ N}.
In diesem Kapitel werden Variable, die ganze Zahlen bezeichnen mit griechischen Buchstaben bezeichnet, während lateinische Buchstaben für natürliche und nichtnegative Zahlen verwendet werden.
Die Nachfolgerbeziehung σ wird auf Z übertragen durch die Festlegung
σ(0) = 1,
σ(−2) = −1
σ(−1) = 0,
und allgemein
σ(−a) = −(a − 1) für a ∈ N.
In Z hat also jede Zahl genau einen Nachfolger und genau einen Vorgänger.
Dies entspricht der Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden
r
−4
r
−3
r
−2
r
−1
r
0
r
1
r
2
r
3
r
4
-
Abbildung 2.2
Das Rechnen mit negativen Zahlen wird wie folgt festgelegt: Seien a und
b natürliche Zahlen, dann definieren wir Addition und Multiplikation durch
2.4 Negative Zahlen
(−a) + 0 := −a,
(−a) + a := 0,
(−a) · 0 := 0,
a + (−b) :=
49
(2.9)
(2.10)
(2.11)
a − b wenn a > b
−(b − a) wenn a < b,
(2.12)
(−a) + (−b) := −(a + b),
(2.13)
a · (−b) := −(a · b),
(−a) · (−b) := a · b.
(2.14)
(2.15)
Die noch fehlenden Festsetzungen ergeben sich aus der Forderung, dass
Addition und Multiplikation kommutativ sein sollen. Die Festsetzung
(−a) · (−b) = a · b erscheint zunächst willkürlich, während die übrigen Festsetzungen als naheliegend gelten können. Wir wollen jedoch zeigen, dass die
obigen Festsetzungen erzwungen werden, wenn die Erhaltung der Rechenregeln für nichtnegative ganze Zahlen und die Grundbeziehungen (2.9) und
(2.10) vorausgesetzt werden.
Satz 2.4 Für die Addition und Multiplikation der ganzen Zahlen sollen die
Rechengesetze aus Theorem 1.1 erhalten bleiben. Weiter sollen die Gleichungen (2.9) und (2.10) erfüllt sein.
Dann genügen Addition und Multiplikation den Regeln (2.11) − (2.15).
B e w e i s. Zum Beweis von (2.11) gehen wir von
a + (−a) = 0
aus und multiplizieren mit 0. Dann erhält man
a · 0 + (−a) · 0 = 0
und, da nach Abschnitt 2.2 a · 0 = 0 gilt,
(−a) · 0 = 0.
Zum Beweis von (2.12) haben wir die Definition von a − b bzw. b − a in
Abschnitt 1.8. zu betrachten. Im Falle a > b ist a − b gleich der eindeutig
bestimmten Lösung x der Gleichung
b + x = a.
Wir haben also zu zeigen, dass
b + (a + (−b)) = a
gilt. In der Tat ist
50
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
b + (a + (−b)) = (b + a) + (−b)
= (a + b) + (−b) = a + (b + (−b)) = a + 0 = a.
Im Falle a < b haben wir a + x = b mit x := b − a. Durch Addition von
(−x) + (−b) erhält man nach Umformungen mit Hilfe des Assoziativitätsund Kommutativitätsgesetzes der Addition
a + (−b) = (−x),
wie zu zeigen war.
Zum Beweis von (2.13) gehen wir von der Gleichung
(a + b) + (−(a + b)) = 0
aus. Durch Addition von (−a) + (−b) zu dieser Gleichung und Umformungen
wie oben, erhält man
−(a + b) = (−a) + (−b).
Zum Beweis von (2.14) gehen wir von der Gleichung
b + (−b) = 0
aus und multiplizieren mit a. Dann erhält man
a · (b + (−b)) = a · 0 = 0.
Weiter liefert das Distributivitätsgesetz
a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b).
Hierzu addieren wir −(a · b) und erhalten nach Umformungen wie oben
a · (−b) = −(a · b).
Ganz entsprechend beweisen wir (2.15), indem wir wieder von
b + (−b) = 0
ausgehen. Wir multiplizieren mit −a und erhalten
(−a) · b + (−a) · (−b) = (−a) · 0 = 0.
(2.16)
Wir wissen bereits, dass
(−a) · b = −(a · b)
ist. Durch Addition von a · b zu (2.16) erhält man daher
(−a) · (−b) = a · b,
wie zu beweisen war. Damit ist der Beweis von Satz 2.4 beendet.
2.5 Beweis der Rechengesetze der Addition und Multiplikation
51
2.5 Beweis der Rechengesetze der Addition und
Multiplikation
Im vorigen Abschnitt haben wir Addition und Multiplikation für ganze Zahlen definiert und gezeigt, dass diese Definitionen durch die Erhaltung der
Rechengesetze für natürliche Zahlen erzwungen werden. Es bleibt noch übrig
umgekehrt zu zeigen, dass diese Rechengesetze aus den Definitionen für Addition und Multiplikation folgen.
Die Kommutativität von Addition und Multiplikation folgt unmittelbar
aus der Definition. Die Assoziativität der Multiplikation ist ebenfalls leicht
aus den Definitionen ablesbar. Es bleiben die Assoziativität der Addition und
das Distributivgesetz zu beweisen. Dies direkt zu beweisen, wäre mühselig,
da eine Vielzahl von Fällen auftritt, je nach dem, ob positive oder negative
Zahlen vorliegen.
Wir beweisen daher zunächst Spezialfälle, aus denen der allgemeine Beweis leicht folgt.
Für natürliche Zahlen a1 , a2 definieren wir
a1 − a2 := a1 + (−a2 ),
(2.17)
d.h. für a1 > a2 läuft das auf die Definition der Subtraktion in Abschnitt
1.8 hinaus, und für a1 = a2 bzw. a1 < a2 erhält man a1 − a2 = 0 bzw.
a1 − a2 = −(a2 − a1 ).
Satz 2.5 Seien a1 , a2 , b1 und b2 natürliche Zahlen. Dann gilt
(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) = (a1 + b1 ) − (a2 + b2 )
(2.18)
(a1 − a2 ) · (b1 − b2 ) = (a1 b1 + a2 b2 ) − (a1 b2 + a2 b1 ).
(2.19)
und
Bevor wir zum Beweis von Satz 2.5 kommen, wollen wir uns überzeugen,
dass die Assoziativität der Addition und das Distributivgesetz mit Hilfe von
Satz 2.5 leicht zu beweisen sind.
Satz 2.6 Seien α, β und γ ganze Zahlen. Dann gilt
(α + β) + γ = α + (β + γ).
B e w e i s. Jede ganze Zahl α ist Differenz zweier natürlicher Zahlen, d.h.
es gibt a1 , a2 ∈ N mit α = a1 − a2 . Entsprechend gibt es b1 , b2 ∈ N mit
β = b1 − b2 und c1 , c2 ∈ N mit γ = c1 − c2 .
Wegen (2.17) gilt
(α + β) + γ = ((a1 − a2 ) + (b1 − b2 )) + (c1 − c2 )
= ((a1 + b1 ) − (a2 + b2 )) + (c1 − c2 )
= ((a1 + b1 ) + c1 ) − ((a2 + b2 ) + c2 )
52
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
und
α + (β + γ) = (a1 − a2 ) + ((b1 − b2 ) + (c1 − c2 ))
= (a1 − a2 ) + ((b1 + c1 ) − (b2 + c2 ))
= (a1 + (b1 + c1 )) − (a2 + (b2 + c2 )).
Hieraus folgt die Behauptung von Satz 2.6 auf Grund des Assoziativitätsgesetzes für natürliche Zahlen. Satz 2.7 Seien α, β und γ ganze Zahlen. Dann gilt
α · (β + γ) = α · β + α · γ.
B e w e i s. Wir setzen wieder α = a1 − a2 , β = b1 − b2 , γ = c1 − c2 mit
natürlichen Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 und c1 , c2 . Dann wird wegen Satz 2.5
α · (β + γ) = (a1 − a2 ) · ((b1 − b2 ) + (c1 − c2 ))
= (a1 − a2 ) · ((b1 + c1 ) − (b2 + c2 ))
= (a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 )) − (a1 (b2 + c2 ) + a2 (b1 + c1 ))
und
α · β + α · γ = (a1 − a2 ) · (b1 − b2 ) + (a1 − a2 ) · (c1 − c2 )
= ((a1 b1 + a2 b2 ) − (a1 b2 + a2 b1 ) + ((a1 c1 + a2 c2 ) − (a1 c2 + a2 c1 ))
= ((a1 b1 + a2 b2 ) + (a1 c1 + a2 c2 )) − ((a1 b2 + a2 b1 ) + (a1 c2 + a2 c1 )).
Hieraus folgt die Behauptung von Satz 2.7 auf Grund der Rechengesetze
für natürliche Zahlen. Wir kommen jetzt zum Beweis von Satz 2.5. Dabei haben wir folgende
Hilfsmittel zur Verfügung:
a) Das Rechnen mit den Zahlen aus N0 , für welche die im Theorem 1.1
genannten Rechenregeln sowie die Kürzungsregel gelten.
b) Die Definition der Addition und Multiplikation der ganzen Zahlen, ausgedrückt in den Regeln (2.9) bis (2.15).
c) Die Kommutativität der Addition und Multiplikation der ganzen Zahlen.
Zum Beweis von (2.18) unterscheiden wir vier Fälle:
A) a1 ≥ a2 , b1 ≥ b2 .
Dann sind x := a1 − a2 und y := b1 − b2 nichtnegative Zahlen und es gilt
a1 = a2 + x, b1 = b2 + y.
Weiter ist auch a1 + b1 ≥ a2 + b2 und
a1 + b1 = (a2 + x) + (b2 + y) = a2 + b2 + x + y
2.5 Beweis der Rechengesetze der Addition und Multiplikation
53
und daher
a1 + b1 − (a2 + b2 ) = x + y = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ),
was zu beweisen war.
B) a1 ≥ a2 , b1 < b2 oder
B ) a1 < a2 , b1 ≥ b2 . Durch Vertauschung von a und b geht (2.18) in
(b1 − b2 ) + (a1 − a2 ) = (b1 + a1 ) − (b2 + a2 )
und die Bedingung B ) geht in B) über. Da wir die Kommutativität der
Addition der ganzen Zahlen zur Verfügung haben, ist die letztere Gleichung gleichbedeutend mit (2.18). Es genügt daher den Fall B) zu betrachten.
Wir müssen jedoch die Fälle BA) und BB) unterscheiden, je nach dem
ob a1 + b1 ≥ a2 + b2 oder a1 + b1 < a2 + b2 ist.
Im Falle BA) sind
x := a1 − a2 , y := b2 − b1 , z := (a1 + b1 ) − (a2 + b2 )
nichtnegative Zahlen mit
a1 = a2 + x, b2 = b1 + y, a1 + b1 = a2 + b2 + z.
Wir haben einerseits
a1 + b2 = a1 + b1 + y = (a2 + b2 + z) + y
und andererseits
a1 + b2 = (a2 + x) + b2
und nach Kürzung von a2 und b2
z + y = x.
Hierfür können wir nach Definition der Subtraktion in N0 auch
x−y =z
(2.20)
schreiben. Nach Definition der Addition von ganzen Zahlen ist weiter
x − y = x + (−y) = (a1 − a2 ) + (−(b2 − b1 ))
(2.21)
−(b2 − b1 ) = b1 − b2 .
(2.22)
und
Aus (2.20) bis (2.22) folgt (2.18).
Die Überlegungen in den restlichen Fällen sind analog zu BA). Wir
können uns daher kurzfassen:
54
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
BB). Jetzt sind
x := a1 − a2 , y := b2 − b1 , z := (a2 + b2 ) − (a1 + b1 )
nichtnegative Zahlen und es gilt
a1 = a2 + x, b2 = b1 + y, a2 + b2 = a1 + b1 + z.
Wir haben
a1 + b 2 + z = a1 + b 1 + y + z = a2 + b 2 + y
und
a1 + b2 + z = a2 + x + b2 + z,
also
y = x + z.
Weiter ist
x + (−y) = −(y − x) = −z,
woraus (2.18) folgt.
C) Es bleibt der Fall a1 < a2 , b1 < b2 übrig. Dann ist auch a1 + b1 < a2 + b2
und wir haben natürliche Zahlen
x := a2 − a1 , y := b2 − b1 , z := (a2 + b2 ) − (a1 + b1 )
mit
a2 = a1 + x, b2 = b1 + y, a2 + b2 = a1 + b1 + z.
Hieraus folgt
x + y = z.
Weiter ist
(−x) + (−y) = −(x + y) = −z,
woraus (2.17) folgt.
Damit ist der Beweis von (2.18) beendet und wir kommen zum Beweis
von (2.19), wobei wir drei Fälle zu unterscheiden haben.
A) a1 ≥ a2 , b1 ≥ b2 .
Dann ist auch a1 b1 + a2 b2 ≥ a1 b2 + a2 b1 . Um uns hiervon zu überzeugen,
setzen wir wieder
x := a1 − a2 , y := b1 − b2 , x, y ∈ N0 ,
und es gilt
a1 = a2 + x, b1 = b2 + y.
Dann haben wir die Abschätzung
2.5 Beweis der Rechengesetze der Addition und Multiplikation
55
a1 b1 + a2 b2 = (a2 + x)b1 + a2 b2 ≥ a2 b1 + xb2 + a2 b2
= a2 b 1 + a1 b 2 .
Wir setzen daher
z := (a1 b1 + a2 b2 ) − (a1 b2 + a2 b1 ) ∈ N0 .
Dann gilt
a1 b1 + a2 b2 = (a1 b2 + a2 b1 ) + z.
(2.23)
a1 b1 + a2 b2 = (a2 + x)(b2 + y) + a2 b2
(2.24)
a1 b2 + a2 b1 = (a2 + x)b2 + a2 (b2 + y).
(2.25)
Andererseits ist
und
Aus (2.23) bis (2.25) erhält man
(a2 + x)(b2 + y) + a2 b2 = ((a2 + x)b2 + a2 (b2 + y)) + z.
Auf Grund der Rechenregeln in N0 folgt hieraus
x·y =z
und dies ist die Behauptung von 2.19 im Falle A).
B) a1 ≥ a2 , b1 < b2 .
Nach Definition der Multiplikation ist
(a1 − a2 ) · (b1 − b2 ) = −(a1 − a2 )(b2 − b1 ).
Weiter ist nach A)
(a1 − a2 )(b2 − b1 ) = (a1 b2 + a2 b1 ) − (a1 b1 + a2 b2 ).
Nach Definition der Addition ist wegen a1 b2 + a2 b1 ≥ a1 b1 + a2 b2
(a1 b1 + a2 b2 ) − (a1 b2 + a2 b1 ) = −((a1 b2 + a2 b1 ) − (a1 b1 + a2 b2 )).
Nun folgt (2.19) aus den letzten drei Gleichungen. Der Fall a1 < a2 ,
b1 ≥ b2 geht wieder nach Vertauschung von a und b in B) über.
C) a1 < a2 , b1 < b2 .
Dann ist nach Definition der Multiplikation negativer Zahlen und wegen
A)
(a1 − a2 ) · (b1 − b2 ) = (a2 − a1 )(b2 − b1 )
= (a2 b2 + a1 b1 ) − (a2 b1 + a1 b2 ).
Dies beweist (2.19) im Falle C). Damit ist der Beweis von (2.19) beendet.
56
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Für eine ganze Zahl α definieren wir −α durch
−α := (−1) · α.
(2.26)
Man sieht leicht, dass die folgenden Regeln gelten:
−(−α) = α,
α + (−α) = 0,
α · (−β) = −(α · β)
(−α) · (−β) = α · β.
Unter Benutzung der Rechenregeln für ganze Zahlen, die uns jetzt zur
Verfügung stehen, beweist man leicht den folgenden
Satz 2.8 Seien α und β ganze Zahlen. Dann hat die Gleichung
α+ξ =β
die eindeutige Lösung
ξ = β + (−α).
Wir können jetzt für beliebige ganze Zahlen α und β die Subtraktion
α − β := α + (−β)
(2.27)
definieren. Für natürliche Zahlen läuft das auf (2.17) hinaus.
Damit haben wir die gewünschte Freiheit im Rechnen mit ganzen Zahlen
gewonnen. Bei Rechnungen, die Subtraktionen einschließen, hat man jeweils
die Definition (2.27) zu beachten. Daher ist es nicht notwendig, Verallgemeinerungen von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzen auf Ausdrücke mit Addition und Subtraktion aufzuschreiben. Zum Beispiel gilt
(α − β)γ = αγ − βγ,
weil
(α − β)γ = (α + (−β))γ = αγ + (−β) · γ = αγ + (−βγ) = αγ − βγ
ist.
Insbesondere können wir unseren Gedankengang zur Berechnung der geometrischen Reihe in Abschnitt 2.3 jetzt abschließen. Es gilt im Rahmen der
ganzen Zahlen die dortige Gleichung (2.7). Wir formulieren das Ergebnis in
dem folgenden
Satz 2.9 Sei a eine natürliche Zahl mit a > 1 und n eine beliebige natürliche
Zahl. Dann gilt
2.6 Die Kleinerbeziehung im Bereich der ganzen Zahlen
n−1
ai =
i=0
57
an − 1
. a−1
Aufgaben
1. Sei α eine ganze und n eine natürliche Zahl. Man beweise
(α − 1)
n
αi = αn+1 − α.
i=1
2. Man beweise Satz 2.8.
3. Unter Benutzung der Rechenregeln für ganze Zahlen beweise man Satz
2.5 für beliebige ganze Zahlen.
2.6 Die Kleinerbeziehung im Bereich der ganzen Zahlen
Die in Abschnitt 1.8 definierte Kleinerbeziehung für natürliche Zahlen überträgt sich in einfacher Weise auf ganze Zahlen.
Seien α und β ganze Zahlen. Dann heißt α kleiner als β (α < β), wenn es
eine natürliche Zahl c mit
α+c= β
gibt. Wenn α < β oder α = β gilt, schreibt man α ≤ β.
Die Sätze 5 bis 7 aus Abschnitt 1.9 gelten auch für ganze Zahlen. Bezüglich
der Multiplikation einer Ungleichung mit einer ganzen Zahl haben wir den
folgenden
Satz 2.10 Seien α und β ganze Zahlen mit α < β und sei a eine natürliche
Zahl. Dann gilt
aα < aβ
(2.28)
−aα > −aβ.
(2.29)
und
Der B e w e i s von Satz 2.10 sei dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
(2.29) bedeutet insbesondere für a = 1, dass sich die Ungleichung α < β
durch “Negation” umdreht: −α > −β.
58
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
2.7 Die Potenzen von ganzen Zahlen
Für eine negative ganze Zahl α = −a, a > 0 definieren wie die Potenz αn für
den Exponenten n, der eine Zahl aus N ist, als n-fache Multiplikation von α
mit sich selbst (n Faktoren). Es gilt
αn = (−1)n an ,
wobei
(−1)n =
1 für 2 | n
−1 für 2 n
ist. Wir setzen α◦ := 1. Die Rechengesetze in Abschnitt 1.15, die in Satz 1.21
beschrieben sind, gelten auch für ganze Zahlen, wenn n > 0 ist.
Wir kommen jetzt auf den Zusammenhang von Addition und Potenzierung mit einer natürlichen Zahl n zurück, den wir in Abschnitt 1.15 angesprochen haben. Für n = 2, 3 findet man
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 .
Allgemein ist (α + β)n von der Form
n−1
n
n
i n−i
ci α β
+ βn
(α + β) = α +
(2.30)
i=1
mit gewissen Koeffizienten ci , die natürliche Zahlen sind. Die Koeffizienten
ci heißen Binomialkoeffizienten und werden durch
n
:= ci
i
bezeichnet, in Worten n über i. Weiter setzt man
0
n
n
=
=
:= 1,
0
0
n
und
n
= 0 für i < 0 oder i > n.
i
Dann schreibt sich (2.30) in der Form
n n i n−i
αβ
(α + β) =
i
i=0
n
(2.31)
2.7 Die Potenzen von ganzen Zahlen
59
n+1
Durch Betrachtung
erhält man leicht eine induktive Formel
(α+β)
nvon
zur Bestimmung der i :
n+1
(α + β)
n n i n−i
= (α + β) (α + β) =
(α + β)
αβ
i
i=0
n n n i+1 n−i n i n+1−i
+
.
=
α β
αβ
i
i
i=0
i=0
n
In der ersten Summe nehmen wir eine Umsummierung vor, indem wir i+1 = j
setzen. Man erhält
n n+1 n i+1 n−i n
=
α β
αj β n+1−j .
i
j
−
1
i=0
j=1
Nun ersetzen wir j wieder durch i und fassen beide Summen zusammen. Wir
erhalten
n+1
n n
(α + β)n+1 =
+
αi β n+1−i
i
−
1
i
i=0
und daher
n+1
n
n
=
+
.
i
i−1
i
(2.32)
Die Binomialkoeffizienten bilden das Pascalsche Dreieck
1
1
1
1
1
2
1
1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . . . . . .
5
0
.
4
0
3
0
5
1
.
2
0
4
1
3
1
0
3
1
5
2
.
3
0
0
2
1
4
2
1 1
3 2
5 2
2
4
3
3
.
Abbildung 2.3
3
3
5
4
.
4
4
5
5
.
60
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
benannt nach dem französischen Mathematiker und Philosophen Blaise Pascal. Sie genügen, wie wir gleich zeigen werden, der Identität
i−1
n
n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − i + 1)
=
=
i
1 · 2 · 3···i
(n − j)
j=0
i
(2.33)
j
j=1
für 1 ≤ i ≤ n.
Aus (2.33) folgt, dass
i−1
(n − j) durch
j=0
i
j teilbar ist. Das ist direkt
j=1
schwer zu zeigen und wird in einigen zahlentheoretischen Beweisen benutzt
(siehe zum Beispiel [Ko1997], Satz 1.8.1).
Da wir in unserem Aufbau noch keine Brüche zur Verfügung haben, hat
man im folgenden darauf zu achten, dass man sich im Bereich der ganzen Zahlen bewegt. Wenn wir in Kapitel 3 gelernt haben, mit Brüchen umzugehen,
können wir diese Vorsicht vergessen.
Zur Abkürzung führt man die Schreibweise
n! :=
n
j,
0! := 1
j=1
ein. Dann kann man (2.33) auch in der Form
n
n!
=
i
i! · (n − i)!
(2.34)
schreiben. n! wird als n Fakultät gelesen. (2.34) gilt nach unserer Definition
für i= 0. Wir beweisen die Formel (2.34) durch Induktion über n. Für n = 1
1!
gilt 11 = 1!0!
= 1 nach Definition. Sei für ein gewisses n ≥ 1 und alle i mit
0 ≤ i ≤ n schon bewiesen, dass
n
(2.35)
i!(n − i)!
= n !
i
gilt, dann haben wir
n +1
i!(n + 1 − i)!
= (n + 1)!
i
(2.36)
für alle i mit 0 ≤ i ≤ n + 1 zu beweisen. Wegen der Formel (2.32) genügt es,
n
n
(2.37)
i!(n + 1 − i)!
+
= (n + 1)!
i−1
i
zu zeigen. Nach Induktionsvoraussetzung ist
2.8 Variation über das Thema Beweis durch vollständige Induktion“
”
61
n
i!(n + 1 − i)!
= i · (n !),
i−1
n
i!(n + 1 − i)!
= (n + 1 − i)(n !).
i
Daraus folgt (2.37) und (2.36) für alle i mit 0 ≤ i ≤ n . Für i = n + 1 ist
(2.36) nach Definition erfüllt. Damit ist (2.34) für alle n ∈ N und alle i mit
0 ≤ i ≤ n bewiesen.
Wir fassen unser Ergebnis in dem folgenden Satz zusammen:
Satz 2.11 (Binomischer Lehrsatz) Seien α und β ganze Zahlen und sei
n eine natürliche Zahl. Dann ist
n n i n−i
n
(α + β) =
,
αβ
i
i=0
wobei für die Binomialkoeffizienten ni die Beziehung
n
n!
=
i
i!(n − i)!
gilt.
Aufgaben
1. Sei n eine natürliche Zahl. Man zeige, dass das Produkt aller Primzahlen p
mit
p < 2n kleiner als 22n ist. Hinweis: Man benutze die Ungleichung
2nn < 2n
n < 2
2. Seien n und k natürliche Zahlen mit k ≤ n. Man zeige, dass
die Anzahl
der Teilmengen von {1, 2, . . . , n} mit k Elementen gleich nk ist.
2.8 Variation über das Thema Beweis durch
”
vollständige Induktion“
Im weiteren benötigen wir eine Variante zu dem in Abschnitt 1.6 eingeführten
Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion.
Satz 2.12 (Induktionssatz) Sei a eine ganze Zahl und Aa (n) eine Behauptung für ganze Zahlen n ≥ a. Für Aa (n) seien die folgenden beiden
Bedingungen erfüllt:
α) Die Behauptung Aa (n) gilt für n = a (Induktionsanfang).
β) Sei m eine ganze Zahl mit m > a. Wenn Aa (n ) für alle ganzen Zahlen
n mit a ≤ n < m gilt, so gilt auch Aa (m) (Induktionsschritt).
62
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Dann gilt Aa (n) für alle ganzen Zahlen n mit n ≥ a.
Für den Leser mag diese Art des Induktionsbeweises ebenso klar sein,
wie die in Abschnitt 1.6 beschriebene. Der Vollständigkeit halber geben wir
jedoch im folgenden einen B e w e i s des Induktionssatzes.
Zunächst können wir uns auf a = 1 beschränken, indem wir von der
Behauptung Aa (n) zu
B(n) := Aa (n − a + 1)
übergehen. B(n) ist eine Behauptung für alle natürlichen Zahlen n und der
Induktionssatz für B(n) besagt, dass wenn B(1) gilt und wenn aus der Gültigkeit von B(n ) für alle n mit n < m, für eine gewisse Zahl m > 1 folgt, dass
B(m) gilt, so gilt B(n) für alle natürlichen Zahlen n.
Die dem Induktionssatz für B(n) zugrunde liegende mengentheoretische
Aussage, die dem Axiom 3 in Abschnitt 1.5 entspricht, lautet wie folgt:
Axiom 3 . Sei M eine Teilmenge von N mit den folgenden beiden Eigenschaften:
α) 1 ∈ M .
β) Sei m ∈ N mit m > 1. Wenn alle natürlichen Zahlen n mit n < m zu
M gehören, so gehört auch m zu M .
Dann ist M = N.
Zum Beweis des Induktionssatzes genügt es Axiom 3 zu beweisen.
Wir beweisen Axiom 3 durch Umformung in eine Aussage, die auf Grund
von gewöhnlicher Induktion gültig ist. Dazu sei
M (n) := {n ∈ M | n ≤ n},
N(n) := {n ∈ N | n ≤ n}.
Dann lautet Axiom 3 wie folgt:
Axiom 3 . Sei M (1) = {1} und wenn für eine natürliche Zahl m
M (m) = N(m)
gilt, so folgt
M (m + 1) = N(m + 1).
Dann gilt
M (n) = N(n)
für alle n ∈ N. Im folgenden sprechen wir von vollständiger Induktion bezüglich n (oder
über n) unabhänging davon, ob wir Induktion im Sinne von Axiom 3 oder
Axiom 3 im Auge haben.
2.9 Positionssysteme
63
2.9 Positionssysteme
Nachdem wir die 0, die negativen und damit die ganzen Zahlen eingeführt
haben, kehren wir zurück zu einer Frage über natürliche Zahlen, nämlich
deren zweckmäßige Schreibweise mit Hilfe eines Positionssystems, das erst
durch die Einführung der 0 ermöglicht wurde.
Wir haben bereits das Dezimalsystem zur Schreibweise der natürlichen
Zahlen benutzt und wollen uns jetzt über die Hintergründe dieses Systems
Klarheit verschaffen.
Das Dezimalsystem ist auf die “Basiszahl 10” gegründet. Es ist geschichtlich nicht das erste “Positionssystem”. Schon die Babylonier benutzten ein
auf die Basiszahl 60 gegründetes Positionssystem (siehe hierzu [If1981], Kap.
28) für wissenschaftliche Rechnungen. In der heutigen Zeit besitzt das Dualsystem, das auf die Basiszahl 2 gegründet ist, in der Informatik eine große
Bedeutung.
Wir erklären daher zunächst das Positionssystem für eine beliebige Basiszahl g, wobei g eine von 1 verschiedene natürliche Zahl ist.
Sei Mg die Menge der Zahlen x aus N0 mit x < g:
Mg := {0, 1, . . . , g − 1}.
Die Zahlen in Mg heißen Ziffern des Positionssystems.
Satz 2.13 Seien n und b natürliche Zahlen mit
g n−1 ≤ b < g n .
Dann hat b eine Darstellung
b=
n−1
xi g i = x0 + x1 g 1 + · · · + xn−1 g n−1 ,
(2.38)
i=0
wobei die Zahlen xi in Mg liegen und xn−1 von 0 verschieden ist.
B e w e i s. Wir beweisen Satz 2.13 mit Hilfe des Induktionssatzes aus Abschnitt 2.8. Für n = 1 gilt Satz 2.13 nach Definition von Mg . Sei nun schon
für alle natürlichen Zahlen n < n bewiesen, dass alle b mit g n −1 ≤ b < g n
eine Darstellung
b =
n
−1
xi g i
(2.39)
i=0
haben, wobei die Zahlen xi in Mg liegen und xn−1 von 0 verschieden ist. Dann
haben wir zu zeigen, dass es für alle b mit g n−1 ≤ b < g n eine Darstellung
(2.38) gibt.
Sei also b mit g n−1 ≤ b < g n vorgelegt. Wegen g n−1 ≤ b gibt es nach Satz
2.3 Zahlen c und b aus N0 mit
64
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
b = c · g n−1 + b , b < g n−1 .
Wegen b < g n ist c < g und wegen b < g n−1 gilt b = 0 oder es gibt eine
natürliche Zahl n < n mit g n −1 ≤ b < g n .
Im Falle b = 0 ist c = 0, und wir haben die gesuchte Darstellung
b = xn−1 g n−1
mit xn−1 := c.
Im Falle b > 0 wenden wir den Induktionssatz an. Nach Induktionsvoraussetzung läßt sich b in der Form
b =
n
−1
xi g i
i=0
mit xi ∈ Mg , xn −1 = 0, darstellen. Es folgt
b=
n−1
xi g i
i=0
mit
xi := xi für i = 0, . . . , n − 1,
xi := 0 für i = n , . . . , n − 2,
xn−1 := c.
Wir kommen jetzt zu einer Umkehrung von Satz 2.13:
Satz 2.14 Sei n eine natürliche Zahl und seien x0 , x1 , . . . , xn−1 Zahlen aus
Mg mit xn−1 = 0. Dann ist
b :=
n−1
xi g i
i=0
eine natürliche Zahl mit
g n−1 ≤ b < g n .
B e w e i s. Wegen 1 ≤ xn−1 ist
g n−1 ≤ xn−1 g n−1 ,
also erst recht
2.9 Positionssysteme
g n−1 ≤
n−1
65
xi g i = b.
i=0
Wegen xi ≤ g − 1 ist nach Satz 2.9
n−1
xi g i ≤
i=0
n−1
(g − 1)g i = g n − 1. i=0
Schließlich wollen wir die Eindeutigkeit der Darstellung (2.38) beweisen.
Satz 2.15 Seien n und b natürliche Zahlen mit
g n−1 ≤ b < g n .
Dann gibt es höchstens eine Darstellung
b=
n−1
xi g i mit xi ∈ Mg .
(2.40)
i=0
B e w e i s. Wir beweisen Satz 2.15 durch Induktion bezüglich n. Für n = 1
folgt die Behauptung aus der Definition von Mg . Sei für ein n schon bewiesen,
dass jede natürliche Zahl b mit g n −1 ≤ b < g n höchstens eine Darstellung
b=
n
−1
xi g i mit xi ∈ Mg
i=0
hat. Dann haben wir zu zeigen, dass jede natürliche Zahl b mit g n ≤ b <
g n +1 höchstens eine Darstellung
b =
n
xi g i mit xi ∈ Mg
(2.41)
i=0
hat. Wir wenden Satz 2.3 auf b und g n an. (2.41) können wir in der Form
b = xn g
n
+
n
−1
xi g i
(2.42)
i=0
schreiben. Nach Satz 2.14 ist
n
−1
xi g i < g n .
i=0
Daher ist (2.42) eine Division mit Rest. Diese ist nach Satz 1.18 eindeutig.
n−1
Also ist xn und
xi g i durch b eindeutig bestimmt. Es folgt nach der Ini=0
duktionsvoraussetzung, dass auch x0 , x1 , . . . , xn −1 eindeutig bestimmt sind.
Damit ist Satz 2.15 bewiesen. 66
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Im Positionssystem zur Basis g wird nun die Zahl
b=
n−1
xi g i
i=0
kürzer in der Form
xn−1 xn−2 · · · x1 x0
(2.43)
geschrieben, wobei also die xi für i = 0, 1, . . . , n − 2, n − 1 aus Mg sind und
xn−1 = 0 ist. b heißt n-stellige Zahl.
Neben der praktischen Bedeutung einer solchen Schreibweise steht die
grundsätzliche Bedeutung, die Zahlen handhabbar zu machen, indem man
sie strukturiert. Die Schreibweise (2.43) ist umso kürzer, je größer die Basis g
ist. Andererseits steigt mit wachsendem g die Anzahl der Ziffern in Mg . Im
Falle des babylonischen Sexagezimalsystems mit der Basis 60 war die Anzahl
der benötigten Ziffern zu groß, so dass man innerhalb der Zahlen von 0 bis
59 noch einmal strukturieren musste (siehe [If1981]). Andererseits wird im
Dualsystem zur Basis 2 die Stellenzahl für alltägliche Zahlen zu groß, so dass
das Dezimalsystem zur Basis 10 einen guten Kompromiß zwischen beiden
Extremen darstellt. Zum Beispiel hat die Zahl 1999 im Sexagezimalsystem
die Form
33 · 60 + 19 = 33 19
und im Dualsystem die Form
1 · 210 + 1 · 29 + 1 · 28 + 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 2 + 1
= 11111001111.
Wahrscheinlich ist die Wahl der Basis 10 dadurch bedingt, dass der Mensch
10 Finger hat, mit denen er Gegenstände abzählt. Nachdem die 10 erschöpft
ist, hat man neu anzusetzen. Solange man barfuß lief, nahm man eventuell
noch die Zehen hinzu. Die in Abschnitt 1.3 erwähnte Bezeichnung der Zahl
96 in der französischen Sprache ist ein Relikt der Strukturierung auf der
Grundlage der Basis 20 (siehe hierzu [If1981], Kap. 2). Hätten wir Verbindung
mit intelligenten Außerirdischen aufzunehmen und hätten diese 12 Finger, so
müßten wir damit rechnen, dass ihr Zahlensystem auf die Basis 12 gegründet
ist.
2.10 Die Grundrechenarten in einem Positionssystem
Wir wollen uns jetzt klarmachen, in welcher Weise die Grundrechenarten in
einem Positionssystem ausgeführt werden. Dem entspricht für das Dezimalsystem das Rechnen, das man in der Schule lernt.
2.10 Die Grundrechenarten in einem Positionssystem
67
Seien m und n natürliche Zahlen mit m < n. Dann füllen wir eine mstellige Zahl zu einer n-stelligen auf, indem wir an die freien Stellen Nullen
setzen. Bei der Addition können wir also von zwei n-stelligen Zahlen
b=
n−1
i=0
xi g i , b =
n−1
xi g i mit xi ∈ Mg , xi ∈ Mg
i=0
ausgehen. Dann ist
b + b =
n−1
(xi + xi )g i .
i=0
xi
liegt jedoch im allgemeinen nicht in Mg und daraus ergeben sich
xi +
die bekannten Übertragungsregeln , d.h. wir suchen y0 , y1 , . . . , yn−1 , yn mit
n
yi g i , yi ∈ Mg . Durch Division von x0 + x0 durch g mit Rest
b + b =
i=0
erhalten wir
x0 + x0 = u1 g + y0 , y0 ∈ Mg .
Weiter hat man
x1 + x1 + u1 = u2 g + y1 , y1 ∈ Mg .
Wir können diesen Prozess fortsetzen und kommen so zu einem Übertragungsalgorithmus, der dann die Addition der Zahlen b und b im Positionssystem
ermöglicht.
Um die Addition von natürlichen Zahlen zu bewerkstelligen, hat man also
einerseits die Addition der Zahlen in Mg im Kopf zu haben oder man muss
dazu Hilfstabellen heranziehen und man muss den Übertragungsalgorithmus
beherrschen. Beides lernt man in den ersten Schuljahren.
In einem elektronischen Rechner sind diese Operationen implementiert.
Da diese Rechner jedoch nach dem Dualystem arbeiten, d.h. es fließt Strom
oder es fließt kein Strom, müssen Dezimalzahlen immer noch in Dualzahlen
umgerechnet werden. Wir gehen jedoch nicht auf diese Frage ein. Wir wollen
uns nur noch klarmachen, dass der Übertragungsalgorithmus für Dualzahlen
wegen der hohen Stellenzahl im Verhältnis zum Dezimalsystem langwierig
ist.
Wir betrachten die Aufgabe
15 + 15.
Im Dezimalsystem haben wir zwei Stellen und eine Übertragung. Im Dualsystem haben wir dagegen fünf Stellen und vier Übertragungen:
15
15
1
30
1111
1111
1111
11110
68
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Die Subtraktion ist analog zur Addition. Das gleiche gilt für die mehrfache
Addition und Subtraktion. Wir wenden uns daher gleich der Multiplikation
zu.
Die natürlichen Zahlen b und b seien m- bzw. n-stellig:
b=
m−1
xi g i ,
b =
i=0
n−1
xj g j .
j=0
Die Multiplikation von b mit b wird in zwei Stufen bewerkstelligt. Zunächst
multipliziert man b mit den Ziffern x0 , x1 , . . . , xn−1 und führt danach die
Addition
n−1
bxj g j
j=0
aus. Zur Multiplikation von
m−1
xi g i mit der Ziffer x ∈ Mg hat man das
i=0
kleine Einmaleins , d.h. die Multiplikation von Zahlen in Mg im Kopf oder
in einer Hilfstabelle bereit zu haben. Die weitere Rechnung geschieht wieder
durch Übertragung:
m−1
m−1
i
xi g · x =
(xi x)g i .
i=0
i=0
Man beginnt mit x0 x. Dies ist im allgemeinen eine zweistellige Zahl y1 g + y.
Man addiert y1 zu x1 x und erhält wieder eine höchstens zweistellige Zahl,
u.s.w.
Sei
n
ykj g k .
bxj =
k=0
Dann ist
bxj g j =
n
ykj g k+j .
k=0
In der Positionsschreibweise bedeutet dies, dass bxj g j gegenüber bxj um j
Stellen nach links verschoben ist. Genau dies tut man in der Schule, um durch
Addition der Produkte bxj g j zu dem Endergebnis b · b zu kommen. Wir
betrachten als Beispiel 15 · 15 im Dualsystem: Hier ist das kleine Einmaleins
trivial. Es besteht nur aus 1 · 1!
1111 · 1 = 1111,
2.10 Die Grundrechenarten in einem Positionssystem
69
1111 · 1111
1111
1111
1111
1111
123321
11100001
Man beachte: Ergibt sich bei mehrfacher Addition von Ziffern, d.h. Elementen aus Mg , die Zahl c · g + d mit d ∈ Mg , so ist die Übertragungszahl c.
Wegen der besseren Übersichtlichkeit haben wir die Übertragungszahlen in
unserem Beispiel im Dezimalsystem geschrieben.
Die Ausführung der Division mit Rest in einem Positionssystem mit der
Basis g erfordert neben der Kenntnis des kleinen Einmaleins ein gewisses
Gefühl für Größenverhältnisse. Vorgegeben sei eine m-stellige Zahl
b=
m−1
xi g i
i=0
und eine n-stellige Zahl
b =
n−1
xi g i ,
i=0
wobei m ≥ n ist. Im ersten Schritt führt man die Division mit Rest von
g n−m
m−1
i=m−n
xi g i durch
n−1
xi g i
i=0
aus. Wegen xn−1 = 0 gilt
g
n−m
m−1
xi g i = b ym−n + r1 mit ym−n ∈ Mg
i=m−n
und r1 < b .
Bei der Bestimmung von ym−n hat man zu beachten, dass
≤ ym−n ≤ ym−n
ym−n
ist, wobei ym−n
bzw. ym−n
durch die einfachere Division
xm−1 = ym−n
(xn−1 + 1) + r
bzw.
xm−1 + 1 = ym−n
xn−1 + r
gegeben ist. Den genauen Wert von ym−n hat man durch Probieren zu bestimmen.
70
2 Die 0 und die ganzen Zahlen
Im zweiten Schritt führt man die Division mit Rest von
gr1 + g n−m+1 xm−n−1 durch b
durch und bestimmt ym−n−1 mit
gr1 + g n−m+1 xm−n−1 = b ym−n−1 + r2 .
Dieser Prozess wird fortgesetzt bis man bei x0 angekommen ist. Im letzten,
(m − n − 1)-ten Schritt hat man die Division mit Rest
grm−n + x0 = b y0 + rm−n+1
und als Ergebnis des Algorithmus erhält man
n−m
i
b=b
yi g + rm−n+1 .
i=0
Hierbei ist zu beachten, dass yn−m = 0 sein kann, woraus dann aber
yn−m−1 = 0 folgt. Wir rechnen einige Beispiele mit g = 10:
a) Sei b = 1000 und b = 3. Dann ist m = 4, n = 1,
m−1
xi g i = x3 103 = 1000,
i=m−n
y3 = 0, r1 = 1, 10 = 3 · 3 + 1,
y2 = 3, r2 = 1, y1 = 3, r3 = 1, y0 = 3, r4 = 1.
Das Ergebnis ist
1000 = 333 · 3 + 1.
Schematisch schreibt man diesen Algorithmus wie folgt:
1000 : 3 = 333
9
10
9
10
9
1
b) Entsprechend wird
1000000 : 7 = 142857
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49
1
2.10 Die Grundrechenarten in einem Positionssystem
71
Das Ergebnis ist
1.000.000 = 142857 · 7 + 1.
(2.44)
Speziell ersieht man aus (2.44), dass die Zahl 106 − 1 durch 7 teilbar ist.
Dies ist ein Spezialfall einer allgemeinen Gesetzmäßigkeit, wonach für
eine beliebige Primzahl p und eine zu p teilerfremde natürliche Zahl a,
die Zahl
ap−1 − 1
durch p teilbar ist. Wir beweisen diesen kleinen Fermatschen Satz in
Abschnitt 2.15.
c)
3125 : 23 = 135
23
82
69
135
115
20
Das Ergebnis ist
3125 = 135 · 23 + 20.
d) Schließlich rechnen wir noch ein Beispiel im Dualsystem:
1000000 : 111 = 1001
111
001000
111
1
1000000 = 1001 · 111 + 1.
Die Umrechnung ins Dezimalsystem ergibt 64 = 9 · 7 + 1.
Aufgaben
1. Man rechne die Zahlen 3125 und 23 ins Dualsystem um und führe die
Division mit Rest von 3125 durch 23 im Dualsystem durch.
2. Wie Aufgabe 2.10.1 nur werde die Berechnung im Positionssystem zur
Basis 7 durchgeführt.
3. Man multipliziere die Zahl 142857 mit 2,3,4,5 und 6 und überzeuge
sich davon, dass die so entstehenden Zahlen zyklische Vertauschungen
von 142857 sind. (Die mathematische Gesetzmäßigkeit, die hinter diesem
Phänomen steht, wird in Abschnitt 3.8 erklärt.)
http://www.springer.com/978-3-540-43022-3