Mathematik in der Natur - Fibonacci und die
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Mathematik in der Natur Fibonacci und die Ananas Jan Schneider Hommage an das Oberfeld Atelierhaus Vahle February 25, 2017 1 / 28 Fibonacci-Folge (Fn )n∈N = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Divina Proportione φ = 0, 618 . . . 2 / 28 Leonardo da Pisa I * etwa 1170; † etwa 1250 3 / 28 Liber Abaci I “Buch des Rechnens” 4 / 28 Fibonacci’s Kaninchen I Wie viele Nachfahren hat ein Kaninchenpaar nach einem Jahr? I Stilisierte Annahmen: I I Ein Kaninchenpaar bringt pro Monat ein weiteres Paar zur Welt Ein Kaninchen wird nach einem Monat geschlechtsreif 5 / 28 6 / 28 Fibonacci-Folge I F1 = 1 I F2 = 1 I F3 = 1 + 1 = 2 I F4 = 2 + 1 = 3 I F5 = 3 + 2 = 5 I F6 = 5 + 3 = 8 I F7 = 8 + 5 = 13 7 / 28 Fibonacci-Folge Allgemeines Bildungsgesetz F1 = 1 F2 = 1 Fn = Fn−1 + Fn−2 , für n = 3, 4, 5, . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . 8 / 28 Waldlilie 9 / 28 Primel 10 / 28 Nelke 11 / 28 Kanadische Blutwurzel 12 / 28 Schwarzäugige Susanne 13 / 28 Gänseblümchen 14 / 28 Aloe Polyphylla 15 / 28 Kiefernzapfen 16 / 28 Sonnenblume 17 / 28 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 18 / 28 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 18 / 28 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 18 / 28 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 1−x x = x 1 18 / 28 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist √ 1+ 5 1 φ= = 1.6180339 · · · = 1 + 2 φ 18 / 28 Der goldene Winkel 19 / 28 Der goldene Winkel 19 / 28 Der goldene Winkel 19 / 28 Der goldene Winkel 19 / 28 Der goldene Winkel ω = 137, 507 . . .◦ 19 / 28 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt a= n . m Andernfalls heißt a irrational. 20 / 28 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt a= n . m Andernfalls heißt a irrational. √ √ Beispiele sind 2, 5, π, φ. 20 / 28 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt a= n . m Andernfalls heißt a irrational. √ √ Beispiele sind 2, 5, π, φ. Theorem φ ist die irrationalste aller Zahlen 20 / 28 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a1 , a2 , a3 , . . . ) so dass gilt: 1 a = a1 + 1 a2 + 1 a3 + a4 + 1 a5 + . . . 21 / 28 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a1 , a2 , a3 , . . . ) so dass gilt: 1 a = a1 + 1 a2 + 1 a3 + a4 + 1 a5 + . . . Näherungsbrüche K1 = a1 K2 = a1 + 1 p2 = a2 q2 21 / 28 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a1 , a2 , a3 , . . . ) so dass gilt: 1 a = a1 + 1 a2 + 1 a3 + a4 + 1 a5 + . . . Näherungsbrüche K1 = a1 K2 = a1 + 1 p2 = a2 q2 Die Näherungsbrüche konvergieren gegen a und sind beste Näherungen für a 21 / 28 Reguläre Kettenbrüche – Beispiel π π = 3, 14159 . . . 1 =3+ 1 7+ 1 15 + 1 1+ 1 292 + 1+ 1 1 + ... p1 =3 q1 p2 22 K2 = = = 3, 142857 q2 7 p3 333 K3 = = = 3, 141509 . . . q3 106 K1 = 22 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt φ=1+ 1 φ 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt φ=1+ 1 1+ 1 φ 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1+ 1 1+ 1 φ 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... Näherungsbrüche 1, 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... Näherungsbrüche 1, 21 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 53 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ 1 1 + ... Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 53 , 85 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 53 , 85 , 1 1 + ... 13 8 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 53 , 85 , 13 8 , 1 1 + ... 21 13 , 23 / 28 Reguläre Kettenbrüche – φ Es gilt 1 φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1+ Näherungsbrüche 1, 21 , 32 , 53 , 85 , 13 8 , 21 13 , 34 21 , 55 34 , 89 55 , 1 1 + ... ... 23 / 28 Phyllotaxis 24 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 110◦ 25 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel 137◦ 26 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ 27 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ 27 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ 27 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ 27 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ 27 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28 Phyllotaxis – Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
