Mathematik 1 - für Wirtschaftsinformatik
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Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Mathematik 1: Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Grundlegende Werkzeuge 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 5 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im Rn Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte Mathematik 1 Stefan Etschberger Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebsund volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 63 Mathematik 1 Stefan Etschberger Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F1 , F2 , F3 zwei Produkte P1 , P2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von Pj (j = 1,2) werden aij Mengeneinheiten von Fi (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch 2. Grundlegende Werkzeuge für eine Einheit des Produkts P1 P2 von Einheiten der Produktionsfaktoren F1 F2 F3 a11 a21 a31 1. Grundlegende Bausteine 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen a12 a22 a32 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme Grafisch dargestellt: 5.5. Inverse Matrizen a12 F1 1 a2 a F2 5.6. Determinanten a 31 a F3 22 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme 11 2 a3 P1 P2 64 Mathematik 1 Stefan Etschberger Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P1 , . . . , P5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. 1. Grundlegende Bausteine Ergebnis: 2. Grundlegende Werkzeuge Preis Produkte P1 P2 P3 P4 P5 Fragen: 20 18 20 16 18 Merkmale Qualität Kundenkreis 3. Aussagenlogik sehr gut sehr gut sehr gut mäßig ordentlich 5. Lineare Algebra A B A C B 4. Komplexe Zahlen 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte Ähnlichkeit von Produkten 6. Lineare Programme Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten −→ Marktforschung 65 Mathematik 1 Stefan Etschberger Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a11 a21 .. . A= ai1 . .. am1 a12 a22 .. . ai2 .. . am2 ... ... ... ... a1j a2j .. . aij .. . amj ... ... ... ... a1n a2n .. . = (aij ) m,n ain .. . amn 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen mit m, n ∈ N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m × n-Matrix (Im Folgenden: aij ∈ R). 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme a11 , . . . , amn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der aij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von aij . Sind alle Komponenten aij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 66 Mathematik 1 Stefan Etschberger Transponierte Matrix Definition Zu jeder m × n-Matrix a11 .. A= . am1 ... ... heißt die n × m-Matrix a11 .. T A = . ... a1n ... a1n .. . amn am1 .. . amn 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme die zu A transponierte Matrix ⇒ AT T =A 67 Mathematik 1 Stefan Etschberger Beispiel transponierte Matrix a) b) A= 1 1 1 AT = 1 2 2 3 3 5 2 3 5 4 2 3 4 0 5 4 1 2 ⇒ AT = 3 4 5 ⇒ A T T 1. Grundlegende Bausteine 1 3 5 2 4 1 = A = 2 3 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R 1 3 4 2 5 0 n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme 68 Mathematik 1 Stefan Etschberger Vektoren Definition 1. Grundlegende Bausteine n × 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a1 a = ... an 1 × n-Matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: T a = (a1 , . . . , an ) 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme 69 Mathematik 1 Stefan Etschberger Geometrische Veranschaulichung von Vektoren • −1 • 0 • 1 a1 • 2 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge a2 −1.8 0.6 • a2 1 • 2 1• • 1• 1 • 0 −1 1 • a1 a3 3. Aussagenlogik 0 2 0 1 • 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 3 2 2 3 0 2 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme 70 Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (aij )m,n und B = (bij )m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A=B ⇔ aij = bij für alle i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n A 6= B ⇔ aij 6= bij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A≤B ⇔ aij ≤ bij ∀(i, j) A<B ⇔ aij < bij ∀(i, j) Mathematik 1 Stefan Etschberger 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte Entsprechend A ≥ B und A > B. 6. Lineare Programme 71 Spezielle Matrizen Mathematik 1 Stefan Etschberger Definition a) A = (aij )n,n heißt quadratisch b) A = (aij )n,n mit A = AT heißt symmetrisch 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik c) A = (aij )n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn aij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder aij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R d) A = (aij )n,n heißt Diagonalmatrix, wenn aij = 0 für alle i 6= j n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme e) A = (aij )n,n heißt Einheitsmatrix, wenn aii = 1 für alle i und aij = 0 für alle j 6= j 72 Addition und Subtraktion von Matrizen Mathematik 1 Stefan Etschberger Definition Gegeben: A = (aij )m,n und B = (bij )m,n . 1. Grundlegende Bausteine Dann gilt: 2. Grundlegende Werkzeuge Addition: A + B = (aij )m,n + (bij )m,n = (aij + bij )m,n 3. Aussagenlogik Subtraktion: A − B = (aij )m,n − (bij )m,n = (aij − bij )m,n 5. Lineare Algebra 4. Komplexe Zahlen 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R Damit: A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl nicht übereinstimmen 73 Mathematik 1 Stefan Etschberger Skalare Multiplikation Definition Gegeben: A = (aij )m,n und r ∈ R (Skalar). Dann gilt: 2. Grundlegende Werkzeuge r · A = r · (aij )m,n = (r · aij )m,n = (aij · r)m,n = A · r Beispiel: 1. Grundlegende Bausteine 1 5· 3 2 5 = 5 15 10 25 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen Außerdem gilt: (rs)A (r + s)A r(A + B) 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte = r(sA) = rA + sA = rA + rB (Assoziativgesetz) (Distributivgesetz) 6. Lineare Programme 74 Mathematik 1 Stefan Etschberger Matrixmultiplikation Gegeben: A = (aik )m,p und B = bkj p,n . B : p Zeilen q Spalten b 12 Dann gilt: Merke: Zeile mal Spalte! 22 22 × b a n,q a p,q .+ k=1 .. + = (aik )n,p · bkj ! p X = aik bkj + 21 × A·B 2 p a2 a11 a12 ... a1p a21 a22 ... a2p .. . .. . .. .. . an1 an2 ... . anp A : n Zeilen p Spalten × bp b11 b12 ... b1q b21 b22 ... b2q .. . .. . .. .. . bp1 bp2 ... . bpq 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R c11 c12 ... c1q c21 c22 ... c2q .. . .. . .. .. . cn1 cn2 ... . cnq n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme C = A × B : n Zeilen q Spalten Quelle Grafik: Alain Matthes, altermundus.com 75 Spezialfälle und Rechenregeln Mathematik 1 Stefan Etschberger Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m × n)-Matrix, B = (n × m)-Matrix ⇒ es existiert A·B und B·A A quadratisch ⇒ A · A = A2 existiert A, B quadratisch ⇒ A · B existiert und B · A existiert. Aber: Im Allgemeinen A · B 6= B · A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: A·E=E·A=A 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R Spezielle Rechenregeln 5.5. Inverse Matrizen A = (m × p)-Matrix, B = (p × n)-Matrix. Damit gilt: A·B und B T · AT n 5.4. Lineare Gleichungssysteme existieren. 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme BT AT = (A · B)T AT A AAT ist symmetrische (p × p)-Matrix und ist symmetrische (m × m)-Matrix 76
