UE Statistik I für VWL, WS 05/06

UE Statistik I für VWL, WS 05/06
Beispielsammlung
1. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln für das Summenzeichen gelten, wobei die Summe durch
n
X
xi = x1 + x2 + . . . + xn−1 + xn ,
xi ∈ R, n ∈ N
i=1
definiert ist. Sei weiters c eine konstante in R.
Pn
Pn
(a)
i=1 cxi = c
i=1 xi
Pn
(b)
i=1 1 = n
Pn
(c)
i=1 c = nc
Pn
Pn
Pn
(d)
i=1 yi
i=1 xi ±
i=1 (xi ± yi ) =
Pn
Pn
(e)
i=1 (xi ± c) = (
i=1 xi ) ± nc
Pm
Pn
Pn
(f)
i=1 xi +
i=m+1 xi =
i=1 xi
P
Pn Pm
Pn
m
(g)
i=1
j=1 xi yi =
j=1 (
i=1 xi yi )
2. Überprüfen Sie, ob folgende Gleichungen gelten. Wenn nicht geben Sie ein Gegenbeispiel.
Pn
Pn
2
2
(a)
i=1 xi = (
i=1 xi )
Pn
Pn
Pn
(b)
i=1 xi yi =
i=1 xi
i=1 yi
Pn Pm
Pn
Pm
(c)
i=1
j=1 xi yij =
i=1 xi
j=1 yij
Pn
Pm
Pn Pm
(d)
i=1 xi
j=1 yi =
i=1
j=1 xi yj
3. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln für das Produktzeichen gelten, wobei das Produkt durch
n
Y
xi = x1 · x2 · · · xn−1 · xn ,
xi ∈ R, n ∈ N
i=1
definiert ist. Sei weiters c eine konstante in R
Qn
Qn
(a) i=1 cxi = cn i=1 xi
Qn
(b) i=1 1 = 1
Qn
(c) i=1 c = cn
Qn
(d) i=1 i = n!
Qn
Qn
Qn
(e) i=1 (xi yi ) = i=1 xi i=1 yi
Qm
Qn
c
(f) i=1 xci = ( i=1 xi )
4. Beschreiben Sie den Zustandsraum (sample space) Zufallsexperiments ”Würfeln mit 2 (ununterscheidbaren)
6 seitigen Würfeln” mathematisch (als Menge).
5. Welche Teilmengen des obigen Zustandsraumes entsprechenden den folgenden Ereignissen (events)
(a) Die Summe der Augenzahlen ist größer 4.
(b) Die Summe der Augenzahlen ist größer oder gleich 4.
(c) Die Summe der Augenzahlen ist größer 12.
(d) Zumindest einer der Würfel zeigt eine Augenzahl größer als 5.
(e) Keiner der Würfel zeigt eine Augenzahl größer als 3.
6. Bilden Sie die Mengen, die den Komplementärereignissen der Ereignisse aus Aufgabe 5 entsprechen.
1
7. Man bezeichne, die in Aufgabe 5(a) gefundene Menge, mit A, die in 5(b) gefunde Menge mit B usw. Bilden
Sie folgende Mengen und beschreiben Sie das Ereignisse, die diesen Mengen entsprichen, in Worten.
(a) A ∩ B
(b) D ∪ E
(c) D ∩ E
(d) C ∪ A
(e) C ∩ A
8. Welche der Ereignisse in Beispiel 5 schließen einander aus.
9. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse aus Aufgabe 5. Tipp: Nicht jedes Element des Zustandsraumes ist gleich wahrscheinlich. Vergleiche hierzu die Wahrscheinlichkeiten von {1, 1} und {1, 2}
.
10. Zeigen Sie mittels Venn-Diagrammen oder formaler Rechnung, dass
(a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Tipp: A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B} und A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B}
11. Zeigen Sie mittels Venn-Diagrammen oder formaler Rechnung, dass
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
12. Zeigen Sie die Gesetze von DeMorgan mittels Venn-Diagrammen oder formaler Rechnung
(a) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(b) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
13. Zeigen Sie, dass
(a) A ⊂ B ⇒ P(Ac ∩ B) = P(B) − P(A)
(b) A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
14. Seien A,B und C Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes Ω mit P (A) = 0.5, P (B) = 0.7 und P (C) =
0.1. Weiters gilt C ⊆ A ∩ B und Ω = A ∪ B.
(a) Welcher der folgenden Aussagen sind richtig ?
i.
ii.
iii.
iv.
B⊂A
P (A ∩ B) = 0.2
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
A und C sind unabhängig.
(b) Bestimmen Sie P (C|A) und P (B|C) .
15. Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln über die bedingte Erwartung (conditional probability), dass
(a) der Satz von Bayes
P(B|A) =
P(A|B)P(B)
P(A)
(b) der Satz über die totale Wahrscheinlichkeit
P (A) = P (A|B1 ) P (B1 )+P (A|B2 ) P (B2 )+· · ·+P (A|Bn ) P (Bn ) ,
wobei A =
n
[
i=1
gilt.
2
Bi und Bi ∩Bj = {} ∀i 6= j
1
16. Ein medizinischer Test für eine Krankheit, die mit Wahrscheinlichkeit P (K) = 10000
auftritt, ergibt bei
einem Kranken immer ein richtiges Ergebnis. Bei einem Gesunden ergibt der Test bei 1% der Fälle ein
positives Ergebnis. Wenn eine Person nun positiv getestet wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die Person tatsächlich krank ist? Tipp: Verwende den Satz über die totale Wahrscheinlichkeit und den
Satz von Bayes, um die Bedingte Wahrscheinlichkeit P (K|Test positiv) zu berechnen.
17. In einer Quizshow muss sich eine Kandidatin zwischen 3 Toren entscheiden von denen in zweien kein
Gewinn und in einem der Hauptpreis ist. Hat die Kandidatin ein Tor gewählt, so öffnet der Showmaster
eines der verbleibenden (nicht gewählten Tore) ohne Gewinn und gibt der Kandidatin die Möglichkeit ihre
Entscheidung noch einmal zu überdenken. Sollte die Kandidatin bei ihrer ursprünglichen Wahl bleiben,
oder sich umentscheiden ? Tipp: Beschreibe den Zustandsraum und verwende den Satz von Bayes.
18. Erweitern Sie folgende Menge
M = {{A, B, C} , {A, F }}
zu der kleinsten σ-Algebra F über der Menge Ω = {A, B, C, D, E, F }, die M als Teilmenge enthält.
Notation: Wir bezeichnen die kleinste σ-Algebra, die eine Menge M enthält, als F = σ(M)
19. Sei Ω = N. Finden Sie die kleinste σ-Algebra, die die Menge(n)
(a) Ng = {n ∈ N : n ist gerade}
(b) A1 , A2 , . . . mit An = Ng ∩ {1, 2, 3, . . . , n}
(c) N
als Teilmenge(n) enthält.
20. Betrachten Sie die Intervalle A = [0, 31 ) ∪ (0.5, 0.6), B = (0.2, 0.4) und C = (0.9, 1]. Bilden Sie folgende
Ereignisse und bestimmen Sie deren Wahrscheinlichkeit mit dem in der Vorlesung vorgestellten Wahrscheinlichkeitsmaß
(a) Ac
(b) A ∪ B c
(c) (Ac ∪ C c ) ∩ B
21. (a) Stellen Sie das offene Interval (a, b) als Vereinigung von halboffenen Intervallen (ai , bi ] dar.
(b) Stellen Sie das abgeschlossene Interval [a, b] als Durchschnitt von halboffenen Intervallen (ai , bi ] dar.
(c) Stellen Sie das abgeschlossene Interval [a, b] als Durchschnitt von offen Intervallen dar.
Tipp: Vereinigungen und Durchschnitte von Mengen können auch über unendliche Indexmengen laufen.
22. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Mengen aus Beispiel 21 gemessen in dem Wahrscheinlichkeitsmaß aus der Vorlesung. Tipp: Es gilt
!
∞
[
Ai ⊆ Aj ∀i < j ⇒ P
An = lim P (An )
n→∞
n=1
und
Ai ⊇ Aj ∀i < j ⇒ P
∞
\
!
An
n=1
= lim P (An )
n→∞
23. Betrachten Sie Ω = {A, B, C, D}, M = {{A} , {B, C} , {D}} und F = σ(M). Überprüfen Sie, ob folgende
Funktionen Verteilungsfunktionen sein können.
(a) P1 ({A}) = 0, P1 ({B, C}) = 1, P1 ({D}) = 0, P1 ({A, B, C}) = 1, P1 ({B, C, D}) = 1, P1 ({A, D}) =
1
2
(b) P2 ({A}) = 0, P2 ({B, C}) = 1, P2 ({D}) = 0, P2 ({A, B, C}) = 1, P2 ({B, C, D}) = 1, P2 ({A, D}) = 0
(c) P3 ({A}) = 31 , P3 ({A, B, C}) = 23 , P3 ({B, C, D}) =
1
2
24. Man betrachte Ω = R und die σ-Algebra F = σ(Z). Sei weiters f : Ω → R gegeben durch f (x) = round(x).
Ist die Funktion f eine Zufallsvariable, wenn
3
(a) man Ω mit der σ-Algebra F und den Wertebereich mit der σ-Algebra der Borelmengen ausstattet ?
(b) man sowohl Ω als auch den Wertebereich mit der σ-Algebra der Borelmengen ausstattet ?
25. Man betrachte folgende σ-Algebra F, die aus Teilmengen des Zustandsraumes Ω des Experimentes ”Würfeln
mit 2 (ununterscheidbaren) 6 seitigen Würfeln” besteht
F = {Ω, ∅, A, B, C, A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C}
mit
A = {{1, 1} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 2}}
B = {{1, 4} , {1, 5} , {1, 6} , {2, 3} , {2, 4} , {2, 5} , {2, 6} , {3, 3} , {3, 4} , {3, 5} , {4, 4}}
C = {{3, 6} , {4, 5} , {4, 6} , {5, 5} , {5, 6} , {6, 6}}
Sind folgende Funktionen Zufallsvariablen ?
(a) X1 : Ω → N mit X1 bildet ein {ω1 , ω2 } ∈ Ω auf ω1 + ω2 ab (X1 (ω1 , ω2 ) = ω1 + ω2 ).
(b) X2 : Ω → N mit
1 , wenn ω1 6= ω2
X2 (ω1 , ω2 ) =
2 , wenn ω1 = ω2
ω1 +ω2 (c) X3 : Ω → N mit X3 (ω1 , ω2 ) =
(wobei dxe die ganze Zahl ist, die aus x durch Aufrunden
4
entsteht).
26. (a) Man betrachte die Zufallsvariable X die den Gewinn aus einem Lottotipp darstellt (5 aus 20) und
beschreibe bzw skizziere die dazugehörige Verteilung F, wenn der Gewinn bei drei Richtigen 10, bei
vier
100
und bei fünf 1000 Euro beträgt. Tipp: Die Anzahl der möglichen verschiedenen Lottotipps ist
20
20!
= 15504. Jede Kombination kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden.
= 5!15!
5
1
Die Wahrscheinlichkeit einen ’Fünfer’ zu tippen ist demnach 15504
, die einen ’Vierer’ zu tippen
5
15
×
4
1
75
=
15504
15504
und die Wahrscheinlichkeit einen ’Dreier’ zu tippen
5
15
×
3
2
1050
=
15504
15504
(b) Ist X : (Ω, σ(Ω)) → (R, B) eine Zufallsvariable, wenn Ω die Menge aller Tipps ist und B die Menge
aller Borelmengen in R?
27. (Geometrische Verteilung) Gegeben sei folgende Situation: Sie ziehen aus einer Urne zufällig einen Ball.
In der Urne befinden sich 4 weiße und ein roter Ball. Sie ziehen so lange bis Sie bei einer Ziehung den roten
Ball ziehen. Wird ein weißer Ball gezogen wird dieser wieder in die Urne zurückgelegt. Die Ziehungen sind
unabhängig voneinander. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den roten Ball beim n-ten Versuch
ziehen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable, die Ihnen angibt wieviele Ziehungen
Sie benötigen bis Sie den roten Ball ziehen.
28. Gegeben sei folgende Situation: Sie würfeln zwei mal mit einem 6 seitigen Würfel und betrachten die Zufallsvariable X, welche die Summe der Augenzahlen der beiden Würfe angibt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X = i) mit i = 1, . . . , 12 und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X. Tipp: Zeichnen Sie
ein quadratisches Raster in dem die x-Koordinate die Augenzahl des ersten und die y-Koordinate die Augenzahl des zweiten Wurfes beschreibt. Lesen Sie die Häufigkeiten eine bestimmte Summe von Augenzahlen
zu erhalten aus diesem Raster ab.
29. (Exponentialverteilung) Die Zeit bis zum Eintreffen eines Ereignisses wird oft als Exponentialverteilt
modelliert. Die Verteilung des Zeitpunktes t des Eintreffens eines Ereignisses hat die Dichte (density)
f (x) = λe−λx
mit λ > 0
Leiten Sie die Formel für die kumulative Verteilungsfunktion F her und berechnen Sie F (x) für x ∈
{1, 10, 20} und λ von 0.5 bzw 10.
4
30. (Gleichverteilung) Ein idealisierter Computer wählt zufällig eine reele Zahl zwischen 0 und 3. Jede Zahl
wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen. Finden Sie die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung
der entsprechenden Zufallsvariable und schreiben Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Zahl in den
Intervallen ( 12 , 25 ), (−1, 2), (1, 4) bzw (a, b) mit a > 0, b < 3 liegt mit Hilfe der gefundenen Verteilungsfunktion und berechnen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse.
31. Benutzen Sie die Regeln zum Rechnen mit Erwartungswerten, folgende Identitäten zu zeigen
(a) E (X − E(X)) = 0
(b) var(aX + c) = a2 var(X)
32. Eine Serie Rubellose (Cash) besteht aus 15.000.000 Losen. Der Lospreis beträgt e1,5. Jede Serie enthält
folgende Anzahl an Gewinnlosen1
10-mal
20-mal
100-mal
200-mal
5.000-mal
17.501-mal
110.000-mal
410.000-mal
1.000.000-mal
1.618.300-mal
e50.000
e10.000
e1.000
e500
e100
e50
e15
e6
e3
e1,5
(a) Berechnen Sie den erwarteten ‘Gewinn’ eines Spielers, der ein Los der Serie kauft.
(b) Berechnen Sie den Gewinn der Lotteriegesellschaft, wenn alle Lose verkauft und alle Gewinne eingelöst
werden.
33. Berechnen Sie den Erwartungswert bzw die Varianz der Verteilung aus den Beispiel 28
34. Berechnen Sie den Erwartungswert bzw die Varianz der Verteilung aus den Beispiel 29
35. Berechnen Sie den Erwartungswert bzw die Varianz der Verteilung aus den Beispiel 30.
36. Berechnen Sie den Erwartungswert bzw die Varianz der Verteilung aus den Beispiel 27. Tipp: Um die
entsprechenden Summen aufzulösen, betrachten Sie folgende Funktion (momenterzeugende Funktion)
M (t) =
∞
X
pn ent =
n=1
n
∞ ∞ n−1
X
1 nt
1X 2 t
p
2
e =
e
=
3
3
3 n=0 3
1 − et 23
n=1
Es gilt nun: das n-te zentrale Moment der Verteilung ist gleich
dn
dtn M (t)
(nachrechnen!).
t=0
37. Finden Sie eine diskrete Zufallsvariable X, für die E(X) = ∞ gilt. Tipp: Die notwendigerweiseP
unendlich
vielen möglichen Werte von XPmüssen Wahrscheinlichkeiten pi haben, die gegen 0 gehen ( pi = 1,
∞
1
i
verwenden Sie zB die Formel
i=0 x = 1−x für |x| < 1, solche pi zu finden). Die Werte, die diesen
Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind, müssen also, um sich auf ∞ aufzusummieren, entsprechend schneller
wachsen als die pi fallen.
38. Finden Sie eine diskrete Zufallsvariable, für die E(X) < ∞ und var(X) = ∞ gilt.
39. Finden Sie die ersten 3 (nicht zentrierten) Momente der Exponentialverteilung (siehe Beispiel 29). Können
Sie eine allgemeine Formel für das n-te Moment erraten (oder gar Beweisen) ? Tipp: Berechnung durch
partielle Integration, eventueller Beweis mittels vollständiger Induktion.
40. Sie werfen 4 mal eine Münze. Sei X die Zufallsvariable, die misst wie oft Kopf in den letzten 2 Würfen
vorkommt, und Y die Zufallsvariable, die mißt, wie oft Kopf in den letzten 3 Würfen vorkommt.
(a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y.
1 Quelle:
www.rubbellos.at, Stand 18.11.2005
5
(b) Berechnen Sie die marginalen Verteilungsfunktionen für die Zufallsvariablen X und Y.
41. (a) Berechnen Sie die Kovarianz und die Korrelation für die Zufallsvariablen X und Y aus Beispiel 40.
(b) Sind die beiden Zufallsvariablen aus Beispiel 40 unabhängig ?
42. Betrachten Sie die folgende gemeinsame Dichte für (X, Y )
f (x, y) =
x+y
,
3
für
0 < x < 1, 0 < y < 2
(a) Finden Sie die Dichten von X und Y .
(b) Berechenen Sie Kovarianz und Korrelation zweichen X und Y.
(c) Bestimmen Sie, ob die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind.
43. Sei θ gleichverteilt auf (0, 2π) und seien X = sin θ, Y = cos θ. Zeigen Sie, dass X und Y nicht unabhängig
sind und berechnen Sie die Kovarianz.
44. Wieviele Kombinationen gibt es aus einer Urne mit 10 nummerierten Bällen 3 zu ziehen, wenn
(a) bereits gezogene Bälle wieder zurückgelegt werden
(b) bereits gezogene Bälle nicht wieder zurückgelegt werden
45. Wieviele verschiedene Blätter kann man als Spieler beim Vierer-Schnapsen bekommen (20 Karten, jeder
Spieler bekommt 5).
46. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 5 Personen zwei am gleichen Wochentag geboren ?
47. Ein Fragebogen enthält 5 Fragen, zu denen jeweils 4 Antworten vorgegeben sind. Einen positiven Prüfungsabschluss erreicht man, wenn mindestens die Hälfte der Antworten richtig angekreuzt ist. Man berechne
die Wahrscheinlichkeit, einen positiven Prüfungsabschluss zu erlangen, wenn man einfach ”blindlings” ankreuzt.
48. Zwei Spieler spielen folgendes Spiel: Es wird mit 4 Würfeln gewürfelt. Tritt mindestens einmal 6 auf, dann
gewinnt A sonst B. Ist das Spiel fair in dem Sinne, dass im Mittel beide Spieler gleich oft gewinnen ?
49. Eine Schachtel enthält n Kugeln, druchnummeriert mit 1,2, . . ., n. Wir ziehen mit Zurücklegen aus der
Schachtel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir erstmals beim k-ten Zug eine Kugel ziehen, die
wir vorher schon einmal gezogen hatten ?
50. In einer Ebene sind 15 Geraden gegeben, von denen keine zwei parallel sind und keine drei durch einen
Punkt gehen.
(a) Wie viele Schnittpunkte von Geraden gibt es?
(b) Wie viele Dreiecke gibt es?
51. Auf wie viele Arten kann man 9 Tafeln Schokolade an 3 Kinder verteilen, wenn
(a) jedes Kind mindestens eine Tafel bekommen soll,
(b) jedes Kind mindestens zwei Tafeln bekommen soll, und
(c) nicht jedes Kind eine Tafel bekommen muss?
52. Sie Würfeln 60 mal mit einem 6 seitigen Würfel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei 40 der
Würfen
(a) eine Zahl größer oder gleich 2 Würfeln
(b) eine gerade Zahl würfeln
(c) 6 würfeln
direkt und mit Hilfe der Approximation durch eine Poisson Verteilung.
53. Zeigen Sie mittels des Binomischen Lehrsatzes, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
auf 1 summieren.
6
54. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Gewinnzahlen einer Lottorunde keine zwei benachbarten
Zahlen sind ? Tipp: Man zeige zuerst, dass die Abbildung (i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ) 7→ (i1 , i2 − 1, i3 − 2, i4 − 3, i5 −
4, i6 − 5) jedem geordneten 6-Tupel ohne benachbarte Zahlen aus {1, 2, . . . , 45} ein geordnetes 6-Tupel aus
{1, 2, . . . , 40} zuordnet.
55. (a) Berechnen Sie die momenterzeugende Funktion der Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] (a < b).
(b) Geben Sie eine Formel für das n-te zentrale Moment der obigen Gleichverteilung an.
56. Berechnen Sie die momenterzeugende Funktion der Binomialverteilung mit Parametern n = 1 und p ∈
(0, 1),
57. (a) Berechnen Sie die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung (siehe Beispiel 29).
(b) Zeigen Sie, dass E(X n ) =
r
r−t
ist.
58. Zeigen Sie, dass für eine Zufallsvariable X
MaX+b = ebt MX (at)
gilt.
59. Die Normalverteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ ist durch die Dichtefunktion f (x) =
beschrieben. Zeigen Sie, dass momenterzeugende Funktion gleich
M (t) = eµt+
√1 e
2πσ
(x−µ)2
2σ 2
σ 2 t2
2
ist. Tipp: Behandeln Sie zuerst den Fall µ = 0 und σ = 1: Schreiben Sie den Exponenten um in dem Sie
auf ein vollständiges Quadrat ergänzen und verwenden Sie dann, dass die Funktion f eine Dichtefunktion
ist, sich also auf 1 aufintegriert. Schließen Sie nun mittels Beispiel 58 auf den allgemeinen Fall.
60. Gegeben seien zwei unabhängige Normalverteilungen X1 und X2 mit Mittelwerten µ1 , µ2 und Varianzen σ1
und σ2 . Berechnen Sie die Verteilung von X1 +X2 . Tipp: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktion und schließen Sie mittels des Uniqueness Theorem aus der Vorlesung auf die Verteilung.
7