Universität Regensburg Analysis 1 und 2

Universität Regensburg
Analysis 1 und 2
Dozent: Prof. Ulrich Bunke
LATEX: Frank Reinhold
Wintersemester 2007/2008
Sommersemester 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Begriffe
1.1 Elementare Aussagenlogik und Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relationen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . .
1.3 Konzept der reellen Zahlen (Axiomatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Umgang mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Charakterisierung und Eigenschaften der e-Funktion und des Logarithmus
1.7 Charakterisierung und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen .
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2 Konvergenz und Grenzwert
2.1 Konzept des Grenzwertes für Folgen reeller Zahlen .
2.2 Umgang mit sup, inf, lim sup, lim inf . . . . . . . . .
2.3 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Vertauschen von Grenzwerten bei Folgen und Reihen
2.5 Umordnung und Produkte von Reihen . . . . . . . .
2.6 Konvergenzkonzepte für Funktionenfolgen . . . . . .
2.7 Kompakte versus beschränkte Teilmengen in n . .
2.8 Konzept der Vollständigkeit metrischer Räume . . .
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3 Stetigkeit
3.1 Konzept der Stetigkeit für reellwertige Funktionen in einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . .
3.2 Beschränktheit und gleichmäßige Stetigkeit von Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . .
3.3 Formulierung und Anwendung der Zwischenwertsätze für stetige Funktionen . . . . . . . . . . . .
6
6
7
7
4 Ableitung
4.1 Konzept der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Umkehrfunktionen, Ableitung der Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Kettenregel und weitere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Konzept der Ableitung für Funktionen in mehreren reellen Veränderlichen . . . . . . . . . . . .
4.6 Partielle und Richtungsableitungen (Definition und Berechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Die Beziehung zwischen Ableitung, partieller Ableitung und Richtungsableitung für Funktionen
mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Satz über implizite Funktionen und die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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R
5 Integration
5.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Konvergenzkonzepte für uneigentliche Integrale . . .
5.5 Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung .
5.6 Die Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Mittelwertsätze für das Integral stetiger Funktionen
5.8 Konzept der Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Metrische Räume
6.1 Konzept des metrischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Konzept der Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen
6.3 verschiedene Metriken auf n , Bilder der Bälle und Kugeln,
6.4 Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen .
6.5 Die Supremumsmetrik auf Räumen reellen Funktionen . . .
6.6 Formulierung des Fixpunktsatzes für Kontraktionen . . . .
6.7 topologische Grundbegriffe für Teilemengen des n . . . . .
6.8 Banachräume von Funktionen mit sup-Norm . . . . . . . .
R
R
7 Extremwertaufgaben
7.1 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Äquivalenzbegriff für Metriken
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13
13
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8 Untermannigfaltigkeiten
13
8.1 Konzept des Tangentialraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.2 Beschreibung von Untermannigfaltigkeiten durch Immersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Differentialgleichungen
9.1 Grundlagen über gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Vektorfelder und Integralkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Formulierung des Satzes über die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven . . . .
9.4 Konzept: maximale Integralkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Formulierung von Aussagen über die Abhängigkeit von Anfangsbedingungen oder Parametern
9.6 Idee der Ljapunovfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Erhaltungsgrößen und deren Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Aspekte der Qualitativen Diskussion
10.1 Eigenschaften von Gradientenfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Klassiffikation kritischer Punkte von Vektorfeldern . . . . . . . . . .
10.3 Konzept des Flusses, Beziehung zwischen Flüssen und Vektorfeldern
10.4 Invariante Mengen, α- und ω-Mengen als invariante Mengen . . . . .
10.5 Beispiele für Vektorfelder mit periodischen Orbits . . . . . . . . . . .
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Frank Reinhold
1
Analysis 1 und 2
Elementare Begriffe
1.1
Elementare Aussagenlogik und Mengenlehre
Seite 3-15, 23
Und-, Oder-, Wenn-Dann-, Genau-Dann-Wenn-Verknüpfung
Quantoren, Negation von Aussagen
Teilmenge: B ⊆ A := (x ∈ B) → (x ∈ A)
Die Vereinigung C := A ∪ B ist durch (x ∈ C) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) charakterisiert.
Der Durchschnitt C := A ∩ B ist durch (x ∈ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) charakterisiert.
Für zwei Mengen A, B definieren wir die Differenz A/B := {a ∈ A|a ∈
/ B}
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A wird durch (X ∈ P(A)) ⇔ (X ⊆ A) charakterisiert.
Aussonderungsaxiom: Für jede Aussage a 7→ P (a) existiert die Menge B := {a ∈ A|P (a)} mit (b ∈ B) ⇔
(b ∈ A) ∧ P (b)
Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn die Äquivalenz der Aussagen
(x ∈ A) ↔ (x ∈ B) gilt.
Für jede Menge gibt es ein Objekt, welches nicht Element der Menge ist. Es gibt also keine Menge aller
Mengen.
Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B ∈ A derart, dass A ∩ B = ∅.
Paarmengenaxiom: Zu je zwei Mengen A, B gibt es eine Menge {A, B}, welche genau die Mengen A und B
als Element hat: (x ∈ {A, B}) ⇔ (x = A) ∨ (x = B).
Vereinigungsaxiom: Für jede Menge Z existiert eine Menge X, welche genau die Elemente der Elemente von
Z enthält. Sie wird durch (x ∈ X) ⇔ (∃z ∈ Z|x ∈ z) charakterisiert.
Potenzmengenaxiom: Für jede Menge existiert die Potenzmenge.
Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Nachfolgermenge.
1.2
Relationen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen
Seite 16-18
Eine binäre Relation ist eine Aussage über geordnete Paare von Objekten. Eine binäre Relation zwischen
Elementen aus den Mengen A und B ist eine Teilmenge von A × B.
Eigenschaften einer Relation R:
Reflexivität: Für alle a ∈ A gilt aRa
Symmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ↔ bRa
Antisymmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ∧ bRa → b = a
Asymmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb →∼ (bRa)
Transitivität: Für alle a, b, c ∈ A gilt aRb ∧ bRc → aRc
Totalität: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ∨ bRa ∨ a = b
Eine Äquivalenzrelation ist eine reflexive, transitive und symmetrische Relation.
Eine Halbordnung ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation.
1.3
Konzept der reellen Zahlen (Axiomatik)
Wikipedia, Stichwort: Reelle Zahl“
”
Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen:
1. Die reellen Zahlen sind ein Körper.
2. Die reellen Zahlen sind total geordnet, d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:
1. es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Totalität)
2. aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von
besitzt ein Supremum in .
R
R
Existenz irrationaler Zahlen:
Seite 27-28
Es gibt keine rationale Zahl q ∈ mit q 2 = 2.
2
Beweis: Annahme: Es existiert solch ein q. Sei q = ab für teilerfremde a, b ∈ . Dann ist q 2 = ab2 = 2, also
a2 = 2b2 . Wir benutzen die eindeutige Primfaktorzerlegung in . Aus 2 6 |a würde 2 6 |a2 folgen, was dieser
Q
Z
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Z
Seite 3
Analysis 1 und 2
Frank Reinhold
Gleichung widerspricht. Also gilt 2|a und damit 2|a2 . Daraus würde aber 2|b2 , also 2|b folgen. Widerspruch zur
Teilerfremdheit von a, b.
1.4
Umgang mit Ungleichungen
Seite 36
Definition der Intervalle: [a, b], (a, b], ...(
Betragsabbildung: |.| :
1.5
R → R, |x| 7→
x≥0
x<0
x
−x
Arithmetisches und geometrisches Mittel
Seite 37-38
Pn
ai
Arithmetisches Mittel: marith (a1 , . . . , an ) := i=1
n
p
Q
n
Geometrisches Mittel: mgeom (a1 , . . . , an ) := n i=1 ai
Bernoulli-Ungleichung: Sei 3 n ≥ 2 und 3 x > −1, x 6= 0. Dann gilt (1 + x)n > 1 + nx.
Beweis: Induktion über n. Sei n = 2. Dann gilt (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x. Sei die Bernouli-Ungleichung
wahr für n. Dann gilt: (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n > (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x
Seien a1 , . . . , an positive reelle Zahlen. Dann gilt mgeom ≤ marith .
N
1.6
R
Charakterisierung und Eigenschaften der e-Funktion und des Logarithmus
Seite 50; Wikipedia, Stichwort: PLogarithmus“
”∞ n
Die Funktion 3 x 7→ e(x) := n=0 xn! ∈ heißt e-Funktion. Für die e-Funktion gilt:
R
R
1. Die Reihe konvergiert absolut.
2. Für alle x, y ∈
R gilt e(x + y) = e(x)e(y).
3. Die e-Funktion vertauscht mit Grenzwerten.
P∞
k
ln(1 + x) := k=1 (−1)k+1 xk heißt natürlicher Logarithmus. Für den Logarithmus gilt:
Qn
Pn
1. ln i=1 xi = i=1 ln xi .
2. ln x1 = − ln x
3. ln xy = ln x − ln y
4. ln(xr ) = r ln x
√
1
5. ln n x = ln(x n ) =
1
n
ln x
6. eln(x) = x
P∞ Pn
P∞ xn P∞ ym
e(x)e(y) =
m=0 m! =
n=0
k=0
n=0 n!
e(x + y)
1
eq = (e b )a = e( 1b )a = e( ab ) = e(q)
1.7
xk y n−k
(n−k)!k!
=
P∞
1
n=0 n!
Pn
k=0
n!
xk y n−k k!(n−k)!
=
P∞
n=0
(x+y)n
n!
=
Charakterisierung und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Seiten 87-90; Wikipedia, Stichwort: sin“
P∞
x2n+1 ”
Sinus: sin(x) := n=0 (−1)n (2n+1)!
P∞
x2n
Cosinus: cos(x) := n=0 (−1)n (2n)!
Nullstellen der Funktionen, Die Zahl π, Additionstheoreme, Für die trigonometrischen Funktionen gilt:
1. tan(x) =
sin(x)
cos(x)
2. sin2 (x) + cos2 (x) = 1
3. sin(−x) = − sin(x)
Seite 4
6. Februar 2009
Frank Reinhold
Analysis 1 und 2
4. cos(−x) = cos(x)
Die Funktion cos hat Nullstellen auf [0, ∞).
Beweis: Wir nehmen an cos hätte keine Nullstellen. Dann gilt wegen Zwischenwertsatz und cos(0) = 1, dass
cos(x) > 0 für alle x ∈ . Wegen sin0 = cos folgt, dass sin streng monoton wächst. Da sin 6≡ 0 gilt, gibt es
ein c > 0 derart, dass sin(x) ≥ c für x ≥ 1. Wegen cos0 = − sin gilt dann cos0 (x) ≤ −c für alle x ≥ 1. Wir
betrachten h(x) := cos(x) + c(x − 1) − cos(1). Es gilt für x ≥ 1, dass h0 (x) = − sin(x) + c ≤ 0. Folglich fällt h
monoton. Da h(1) = 0 gilt, ist h(x) ≤ 0 für alle x ≥ 1. Daraus folgt −cx ≥ cos(x) − cos(1) − c ≥ −1 − cos(1) − c
für alle x ≥ 1, was unmöglich ist. Also hat cos(x) eine Nullstelle.
Wir definieren die Zahl π := 2 inf{x ∈ [0, ∞)| cos(x) = 0}.
R
2
2.1
Konvergenz und Grenzwert
Konzept des Grenzwertes für Folgen reeller Zahlen
Seiten 39-45
Die Zahl a ist Grenzwert einer Folge (ai )∞
existiert, sodass für alle
i=1 , wenn für jedes > 0 eine Zahl N0 ∈
i > N0 die Relation |ai − a| < gilt.
Oder: a ist Grenzwert der Folge (ai ), wenn (∀ > 0∃N0 ∈ |(∀i ∈ |i > N0 → |ai − a| < )).
Eine Folge reeller Zahlen (ai ) heißt Cauchy-Folge, wenn für alle 0 < ∈ ein N ∈ existiert, sodass für alle
n, m ≥ N die Ungleichung |an − am | < gilt.
N
N
2.2
N
R
N
Umgang mit sup, inf, lim sup, lim inf
Wikipedia, Stichwort: sup“, limsup“
”
”
Ein Element b ∈ T heißt obere (untere) Schranke von T , wenn gilt: b ≥ x ∀x ∈ T . Existiert eine obere
(untere) Schranke von T, so heißt T nach oben (unten) beschränkt. T heißt beschränkt, falls T nach oben
und unten beschränkt ist.
Ein Element b ∈ T heißt Supremum von T , oder wenn b die kleinste obere Schranke von T ist. Es heißt
Infimum von T , wenn es die größte untere Schranke von T ist.
Limes Inferior: lim inf n→∞ xn = supn≥0 inf k≥n xk = sup{inf{xk |k ≥ n}|n ≥ 0} = limn→∞ (inf m≥n xm ).
Begründung der Existenz von sup oder inf aus den Axiomen der reellen Zahlen
Wikipedia, Stichwort: Sup“
”
Beweisidee: Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert,
kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu
konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (an ) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken
von M besteht, die zweite (bn ) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht, so dass noch gilt,
dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet
und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht). Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert
sup(M ) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M , denn:
Jedes Element von M ist kleiner-gleich jedem Element bn der oberen Folge, also kleiner-gleich sup(M ), deshalb
ist sup(M ) eine obere Schranke von M . Und jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M ), ist kleiner als wenigstens
ein Element an0 (für ein gewisses n0 ) der unteren Folge, also keine obere Schranke.
2.3
Konvergenz von Reihen
Seiten 45-52
Pn
Die n-te Partialsumme der Folge (ai ) ist definiert
als sn := i=0 ai .
P
∞
Wenn die Folge (sn )∞
n=0 konvergiert,
P∞ i dann ist i=0 ai := limn→∞ s1n .
Die geometrische Reihe i=0 x konvergiert für |x| < 1 gegen 1−x .
Cauchy-Kriterium: Eine Reihe
P∞ konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchy Folge
ist. Oder: ∀ > 0∃N0 ∈ : | i=n ai | < Majoranten-Kriterium:
Seien (ai ) und (ci ) FolgenPderart, dass |ai | < ci für alle bis auf endlich viele i ∈
P∞
∞
gilt und i=0 ci konvergiert. Dann konvergiert auch i=0 ai .
P∞
Sei (ai ) eine monoton
Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Die Reihe i=0 ai konvergiert genau dann,
P∞ fallende
wenn die Reihe i=1 2i a2i P
konvergiert.
P∞
P∞
P∞
∞
Die harmonische Reihe i=1 1i konvergiert nicht, da i=0 1i ⇒ i=0 2k 21k = i=0 1 divergiert.
Leibnitz-Kriterium: Wir betrachten eine monoton
P∞ fallende Folge nichtnegativer Zahlen (ai ) mit limi→∞ ai =
0. Dann konvergiert die alternierende Reihe n=0 (−1)n an .
Durch die Umkehrung des Majorantenkriteriums erhalten wir das Minorantenkriterium, mit dem man die
N
6. Februar 2009
N
Seite 5
Analysis 1 und 2
Frank Reinhold
Nichtkonvergenz
P∞ gewisser Reihen zeigen kann. P∞
Eine Reihe i=1 ai konvergiert absolut, wenn i=1 |ai | konvergiert.
P∞
Quotientenkriterium: Eine Reihe i=0 ai konvergiert absolut, wenn lim supi→∞ aai+1
< 1 gilt.
i
N
Beweis: Aus lim supi→∞ | aai+1
| < 1 folgt die Existenz einer Zahl 0 ≤ c < 1 und eines N ∈
derart, dass
i
2
3
k
| aai+1
|
≤
c
für
alle
i
≥
N
gilt.
Daraus
folgt
a
≤
a
c
,
a
≤
a
c
,
.
.
.
,
a
c
.
Die
geometrische
Reihe
N +2
N
N +3
N
N +k
iP
P
∞
∞
i
aN i=0 c ist also eine konvergente Majorante der Reihe k=0 aN +k .
P∞
1
Wurzelkriterium: Eine Reihe i=1 ai konvergiert absolut, wenn lim supi→∞ |ai | i < 1 gilt.
1
1
Beweis: Wenn lim supn→∞ |an | n P
< 1, dann gibt es eine 0 < q < 1 und n0 ∈ P mit |an | n < q für alle n ≥ n0 .
∞
∞
n
n
Daraus folgt |an | < q . Damit ist n=n0 q eine konvergente Majorante von n=n0 an .
N
2.4
Vertauschen von Grenzwerten bei Folgen und Reihen
Seite 53
Wir sagen, dass eine Abbildung f mit Grenzwerten vertauscht, wenn f (limn→∞ rn ) = limn→∞ f (rn ) für
jede konvergete Folge (rn ) gilt.
2.5
Umordnung und Produkte von Reihen
Seite 48; Wikipedia, Stichwort: Cauchy-Produktformel“
”
Umordnung von Reihen: Das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe kann von der Reihenfolge der
Summation abhängen. Endlich viele Summanden können beliebig vertauscht werden. Konvergiert eine Reihe
absolut, so können auch unendlich
viele
werden.
P∞
P∞ Summanden
P∞ vertauscht
P∞
P∞
Produkt von Reihen: ( k=0 ak )( j=0 bj ) = k=0 ( j=0 ak bj ) = k=j=0 ak bj .
P∞
P∞
Cauchy-Produktformel: Sind (anP
) = n=0 an und (b
Pnn) = n=0 bn zwei absolut konvergente Reihen, so ist
∞
deren Produkt (an ) · (bn ) = (cn ) = n=0 cn , mit cn = k=0 ak bn−k wiederum eine absolut konvergente Reihe.
2.6
Konvergenzkonzepte für Funktionenfolgen
Seiten 79-81
Eine Folge von Funktionen (fn ), fn : A → konvergiert punktweise gegen f : A → , falls für alle a ∈ A
gilt limn→∞ fn (a) = f (a).
Eine Folge von Funktionen (fn ) konvergiert gleichmäßig gegen f , falls limn→∞ supa∈A d(fn (a), f (a)) = 0.
R
2.7
Kompakte versus beschränkte Teilmengen in
R
Rn
Seiten 67-69
Ein topologischer Raum X ist Hausdorffsch, wenn für alle x, y ∈ X mit x 6= y Umgebungen M, N von x, y
existieren mit M ∩ N = ∅
Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in diesem Raum eine konvergente Teilfolge
besitzt.
S
Eine Überdeckung eines topologischen Raumes (X, T ) ist eine Familie (Ui )i∈I offener Teilmengen mit i∈I Ui =
X.
Eine Teilüberdeckung von (Ui )i∈I ist eine Überdeckung (Ui )i∈I 0 mit einer Teilmenge I 0 ⊆ I. Ein topologischer Raum heißt quasi-kompakt, wenn jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wenn er
zusätzlich Hausdorffsch ist, dann heißt er kompakt.
2.8
Konzept der Vollständigkeit metrischer Räume
Seite 61
Wir nennen einen metrischen Raum vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert.
3
Stetigkeit
3.1
Konzept der Stetigkeit für reellwertige Funktionen in einer reellen Veränderlichen
Seiten 54-59
− δ−Definition: Eine Funktion f : A → heißt (metrisch) stetig in x ∈ A, wenn für jedes > 0 ein δ > 0
existiert, sodass aus y ∈ A und |y − x| < δ folgt, dass |f (y) − f (x)| < ist.
R
Seite 6
6. Februar 2009
Frank Reinhold
Analysis 1 und 2
R
Folgenstetigkeit: Eine Funktion f : A → heißt folgenstetig in x ∈ A, wenn für jede Folge (xn ) mit xn ∈ A
und limn→∞ xn = x auch (f (xn )) konvergiert und limn→∞ f (xn ) = f (x) gilt.
Topologische Definition: Eine Funktion f : A →
heißt (topologisch) stetig in x ∈ A, wenn für jede
Umgebung N ⊆ von f (x) das Urbild f −1 (N ) ⊆ A eine Umgebung von x in A ist.
Die Folgenden Aussagen sind äquivalent: f ist in x metrisch stetig. f ist in x folgenstetig. f ist in x topologisch
stetig.
Beweis: Sei f metrisch stetig und (xn ) eine Folge in A mit xn → x. Sei > 0 gegeben. Dann wählen wir ein
δ > 0 so, dass aus |y − x| < δ folgt |f (y) − f (x)| < . Nun wählen wir n0 ∈
derart, dass aus n ≥ n0 folgt
|xn − x| < δ. Nun gilt für n ≥ n0 auch |f (xn ) − f (x)| < .
Sei f folgenstetig und N ⊂ eine Umgebung von f (x). Wir nehmen an, dass f −1 (N ) keine Umgebung von x
ist. Dann existiert für jedes n ∈ ein xn ∈ (x − n1 , x + n1 ) ∩ A mit f (xn ) ∈
/ N . Folglich gilt xn → x, nicht aber
f (xn ) → f (x). Dies ist ein Widerspruch zur Folgenstetigkeit.
Sei nun f in x topologisch stetig und > 0 gegeben. Dann ist N := (f (x) − , f (x) + ) eine Umgebung von
f (x). Folglich ist f −1 (N ) eine Umgebung von x. Also gibt es ein δ > 0 derart, dass (x − δ, x + δ) ∩ A ⊂ f −1 (N ).
Damit folgt aus |y − x| < δ, dass |f (y) − f (x)| < .
R
R
N
R
3.2
N
Beschränktheit und gleichmäßige Stetigkeit von Funktionen auf kompakten
Mengen
Wikipedia, Stichwort: gleichmäßig stetig“
”
Sei D ⊆ . Eine Abbildung f : D → heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn (∀ > 0 ∃δ > 0 ∀x, x0 ∈ D :
|x−x0 | < δ ⇒ |f (x)−f (x0 )| < ).Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn
sie in jedem Punkt von D gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit. Die Besonderheit der gleichmäßigen
Stetigkeit besteht darin, dass δ nur von und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der
Stelle x0 abhängt. Anschaulich bedeutet das:
Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite
δ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten ; δ geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt,
dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet.
Beispiel: Wurzelfunktion auf [0, ∞)
R
3.3
R
Formulierung und Anwendung der Zwischenwertsätze für stetige Funktionen
Seiten 59-60
Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → mit f (a) ≤ 0 ≤ f (b). Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = 0.
Sei f : [a, b] → stetig und x ∈ zwischen f (a) und f (b). Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = x.
R
4
4.1
R
R
Ableitung
Konzept der Ableitung
Seiten 81-82
Differenzenquotient: Sei U ⊆ eine offene Teilmenge, x ∈ U und f : U →
(x)
zenquotienten ∆x (f )(y) := f (y)−f
auf y ∈ U \ {x}.
y−x
R
R. Wir betrachten den Differen-
(x)
Wenn f 0 (x) := limy→x f (y)−f
existiert, dann heißt f im Punkt x differenzierbar und f 0 (x) die Ableitung
y−x
von f im Punkt x.
Die Funktion f : U → ist genau dann in x ∈ U differenzierbar, wenn es eine Zahl a ∈ und eine Funktion
r : U → gibt, sodass f (y) = f (x) + a(y − x) + r(y)(y − x) und limy→x r(y) = 0 gilt. Dann ist a = f 0 (x).
Ist f in x differenzierbar, so ist f auch in x stetig.
R
4.2
R
R
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wikipedia, Stichwort: Mittelwertsatz Differentialrechnung“
”
Mittelwertsatz: Sei f : [a, b] →
stetig und auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).
R
4.3
Umkehrfunktionen, Ableitung der Umkehrfunktionen
Seite 83-84
Ableitung der Umkehrfunktion: Sei U ⊆ ein Intervall, f : U → V streng monoton, stetig und in x ∈ U
differenzierbar mit f 0 (x) 6= 0. Dann ist f −1 : V → U in f (x) differenzierbar und es gilt (f −1 )0 (f (x)) = f 01(x) .
R
6. Februar 2009
Seite 7
Analysis 1 und 2
Frank Reinhold
Beweis: Sei (vn ) eine Folge in V \f (x) mit vn → f (x). Sei g := f −1 . Wir wissen schon, dass g als Umkehrfunktion
(x))
einer streng monotonen stetigen Funktion stetig ist. Dann gilt mit xn := g(vn ) auch xn → x und g(vvnn)−g(f
=
−f (x)
xn −x
1
1
f (xn )−f (x) = f (xn )−f (x) → f 0 (x) .
xn −x
4.4
Kettenregel und weitere Eigenschaften
Seiten 82-87
Kettenregel: Ist f in x und g in f (x) differenzierbar, so ist g ◦ f in x differenzierbar und es gilt (g ◦ f )0 (x) =
g 0 (f (x))f 0 (x).
Beweis: Wir schreiben: f (y) = f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x), g(u) = g(f (x)) − g 0 (f (x))(u − f (x)) + s(u)(u −
f (x)). Dann gilt: g(f (y)) = g(f (x))+g 0 (f (x))(f (y)−f (x))+s(f (y))(f (y)−f (x)) = g(f (x))−g 0 (f (x))(f 0 (x)(y −
x) + r(y)(y − x)) + s(f (y))(f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x)) = g(f (x)) + g 0 (f (x))f 0 (x)(y − x) + [r(y) + s(f (y))(f 0 (x) +
r(y))](y − x) mit limy→x [r(y) + s(f (y))(f 0 (x) + r(y))] = 0.
Produktregel: Seien f, g : U →
im Punkt x ∈ U differenzierbar. Dann ist f + g und f g im Punkt x
differenzierbar und es gilt: (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) und (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
Beweis: Wir schreiben: f (y) = f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x), g(y) = g(x) + g 0 (x)(y − x) + s(y)(y − x). Dann
gilt: (f g)(y) = (f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x))(g(x) + g 0 (x)(y − x) + s(y)(y − x)) = f (x)g(x) + [f 0 (x)g(x) +
Wir
f (x)g 0 (x)](y − x) + [f (x)s(y) + g(x)r(y)](y − x) mit limy→x [f (x)s(y) + g(x)r(y)] = 0.
sagen, dass f im Punkt x ∈ X ein lokales Maximum besitzt, wenn es eine Umgebung x ∈ U ⊆ X von x gibt,
mit supU f = f (x). In diesem Fall gilt f 0 (x) = 0.
Ist U ⊆ offen und f : U → differenzierbar, dann heißt ein Punkt x ∈ U kritisch, wenn f 0 (x) = 0 gilt.
Sei f : [a, b] →
stetig und auf (a, b) differenzierbar. Wenn f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b) gilt, dann ist f
monoton wachsend.
R
R
4.5
R
R
Konzept der Ableitung für Funktionen in mehreren reellen Veränderlichen
Seite 119Seien k.kE und k.kF Normen auf E und F . Eine Zahl C ∈ ist eine Schranke von A, wenn kAxkF ≤ CkxkE
für alle x ∈ E gilt. Wenn A eine Schranke besitzt, dann nennen wir A beschränkt. Das Infimum über alle
oberen Schranken heißt Norm von A.
F
Operatornorm: kAkop = sup06=x∈E kAxk
kxkE = supx∈E,kxkE =1 kAxkF .
Seien (E, k.kE ) und (F, k.kF ) normierte Vektorräume. Sei u ∈ U ⊆ E und f : U → F . Die Abbildung f ist in u
differenzierbar, wenn es eine beschränkte lineare Abbildung A ∈ B(E, F ) gibt, sodass f (v) = f (u) + A(v −
kR(v)kF
u) + R(v) und limv→u k(v−u)k
= 0. Die Abbildung df (u) := A heißt Ableitung von f im Punkt u.
E
R
4.6
Partielle und Richtungsableitungen (Definition und Berechnung)
Seite 128-131
Sei u ∈ U ⊆ E und f : U → F . Sei ξ ∈ E. Dann erhalten wir eine Abbildung γ : → E durch γ(t) := u + tξ,
die parametrisierte Gerade durch u mit Richtung ξ. Diese Abbildung ist stetig.
f hat im Punkt u die Richtungsableitung dξ f (u) ∈ F in Richtung ξ, wenn γ ∗ f im Punkt 0 die Ableitung
dξ f (u) := (γ ∗ f )0 (0) hat.
Wenn f im Punkt u differenzierbar ist, dann besitzt f im Punkt u alle Richtungsableitungen und es gilt
dξ f (u) = df (u)(ξ)
Im Fall E = n heißt ∂i f (u) := dei f (u) die i-te partielle Ableitung von f im Punkt u.
Die Matrix, welche df (u) unter dieser Identifikation darstellt, bezeichnet man als Jacobimatrix Jf (u) ∈
Mat(n, m).
R
R
4.7
Die Beziehung zwischen Ableitung, partieller Ableitung und Richtungsableitung für Funktionen mehrerer Veränderlicher
Seite 130
Eine Funktion f heißt auf U differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt u ∈ U differenzierbar ist. Sie ist auf
U stetig differenzierbar, wenn U 3 u 7→ df (u) ∈ B(E, F ) stetig ist.
Sei E = n . Die Funktion F heißt auf U partiell differenzierbar, wenn ∂i f (u) für alle u ∈ U und i = 1, . . . , n
existiert. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, wenn U 3 u 7→ ∂i f (u) ∈ F stetig ist für i = 1, . . . , n.
Sei U ⊂ n . Die Funktion f : U → F ist genau dann stetig differenzierbar, wenn sie stetig partiell differenzierbar
ist.
R
R
Seite 8
6. Februar 2009
Frank Reinhold
4.8
Analysis 1 und 2
Satz über implizite Funktionen und die Umkehrfunktion
Seiten 142-145
Seien E, F Banachräume, U ⊆ E offen, f : U → F stetig differenzierbar, u ∈ U .
Satz über die Umkehrfunktion: Ist df (u) : E → F beschränkt invertierbar, dann existieren Umgebungen
x ∈ V ⊆ U und f (x) ∈ W ⊆ F und eine stetig differenzierbare Abbildung g : W → V derart, dass g ◦ f = idV
und f ◦ g = idW gilt.
Satz über implizite Funktionen: Wenn d1 p(e, f ) invertierbar ist, dann gibt es offene Umgebungen e ∈
Ṽ ⊆ V und f ∈ W ⊆ F derart, dass für jedes y ∈ W genau ein x ∈ Ṽ existiert mit p(x, y) = 0. Die so
durch p(g(y), y) ≡ 0 eindeutig bestimmte Abbildung g : W → Ṽ ist in f stetig differenzierbar und es gilt
dg(e) = −d1 p(e, f )−1 ◦ d2 p(x, y).
Beispiel: Betrachte Funktion f : 2 → , (x, y) 7→ ey−1 − cos(y − x) und den Punkt (x0 , y0 ) = (1, 1). Zu
zeigen soll sein, dass es auf einer Umgebung U von x0 eine stetig differenzierbare Funktion φ gibt, für die
f (x, y) = 0 ⇔ y = φ(x) gilt. Und φ0 (1) soll bestimmt werden.
y−1
+sin(y −x),
Die Funktion f ist offensichtlich stetig differenzierbar. Außerdem ist f (1, 1) = 0 und ∂f
∂y (x, y) = e
R
R
also ∂f
∂y (1, 1) = 1 6= 0. Nun liefert der Satz über implizite Funktionen eine stetig differenzierbare Funktion φ mit
den gewünschten Eigenschaften.
− sin(φ(x)−x)
−1 ∂f
Für die Ableitung von φ gilt φ0 (x) = −( ∂f
∂y (x, φ(x)))
∂x (x, φ(x)) = − eφ(x)−1 +sin(φ(x)−x) . Insbesondere folgt
0
φ (1) = 0.
5
Integration
5.1
Integration
Seiten 93-99
Sei [a, b] ⊂ . Eine Funktion Φ : [a, b] →
heißt einfach, wenn es eine Folge a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn−1 ≤
xn = b (zulässige Zerlegung) gibt, sodass Φ(x) := Φ(xi−1 ), ∀x ∈ [xi−1 , xi ), i = 1, . . . , n gilt.
Rb
Rb
Pn
Wir definieren das Integral einfacher Funktionen a . . . dx : ε[a, b] → durch a Φ(x)dx := i=1 Φ(xi−1 )(xi −
xi−1 ) für eine zulässige Zerlegung für Φ. Das Integral ist wohldefiniert.
Sei nun f : [a, b] →
eine beschränkte Funkion. Dann gibt es Φ, Ψ ∈ ε[a, b] mit Φ ≤ f ≤ Ψ. Wir nennen
Rb
Rb
das Paar (Φ, Ψ) eine Zange von f . Dann gilt a Φ(x)dx ≤ a Ψ(x)dx. Eine Zange ist eine -Zange, wenn
Rb
(Ψ(x) − Φ(x))dx < gilt.
a
R b∗
Rb
Das Oberintegral von f ist definiert durch a f (x)dx := inf Ψ∈ε[a,b],f ≤Ψ a Ψ(x)dx.
Wir nennen f : [a, b] →
riemannintegrierbar, wenn das Oberintegral und das Unterintegral den gleichen
Wert hat. Für das Integral gilt:
R
R
R
R
R
1. R[a, b] ist ein reeller Vektorraum (mit den üblichen Operationen)
2. Das Integral
Rb
a
. . . dx : R[a, b] →
R ist linear
3. Das Integral ist monoton, d.h. aus f, g ∈ R[a, b], f ≤ g folgt
Rb
a
f (x)dx ≤
Rb
a
g(x)dx
R
4. Sei c ∈ [a, b] und f : [a, b] → . Dann sind äquivalent:
1. f ∈ R[a, b]
2. f|[a,c] ∈ R[a, c] und f|[c,b] ∈ R[c, b]
Rb
Rb
Rc
Dann gilt: a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
5. Sei f von unten durch m und von oben durch M beschränkt und Φ : [m, M ] →
dann ist auch Φ ◦ f ∈ R[a, b]
6. Wenn f ∈ R[a, b], dann auch |f | ∈ R[a, b] und es gilt: |
Rb
a
f (x)dx| ≤
Rb
a
R stetig. Ist f ∈ R[a, b],
|f (x)|dx.
Es gilt C([a, b]) ⊂ R[a, b]. Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
für
Beweis: Sei > 0 gegeben. Dann wählen wir eine Zerlegung (xi )ni=0 von [a, b] derart, dass xi − xi−1 < b−a
alle i gilt. Wir setzen weiter Φ(x) := xi−1 , Ψ(x) := xi , x ∈ [xi−1 , xi ). Dann ist (Φ, Ψ) eine Zange von id[a,b] .
Rb
Weiter gilt |Ψ(x) − Φ(x)| < b−a
und deshalb a (Ψ(x) − Φ(x))dx ≤ . Also ist (Φ, Ψ) eine -Zange von id[a,b] .
Da > 0 beliebig klein gewählt werden kann, gilt id[a,b] ∈ R[a, b].
Wir schreiben f = f ◦ id[a,b] und wenden das Theorem an, das besagt, dass die Verkettung einer beliebigen
Funktion und einer riemannintegrierbaren wieder riemannintegrierbar ist.
6. Februar 2009
Seite 9
Analysis 1 und 2
5.2
Frank Reinhold
Integrationsmethoden
Seiten 103-105
Partielle Integration: Sei U ⊆
offen, [a, b] ⊂ U und F, G : U →
stetig differenzierbar mit f := F 0 ,
Rb
Rb
0
b
g = G . Dann gilt: a f (x)G(x)dx = F G|a − a F (x)g(x)dx.
Rπ
Rπ
Beispiel: 0 x sin(x)dx = (−x cos(x))|π0 − 0 (− cos(x))dx = π − (sin(π) − sin(0)) = π
Rb
R Φ(b)
Substitutionsregel: Für eine stetige Funktion f : (u, v) → gilt a f (Φ(x))Φ0 (x)dx = Φ(a) f (y)dy.
Rπ
R cos(π)
R −1
Beispiel: 0 sin(x)ecos(x) dx = cos(0) (−et )dt = 1 (−et )dt = e1 − e−1
Wesentliche Stammfunktionen:
R
R
R
1. f (x) = xn , F (x) =
1
n+1
n+1 x
2. f (x) = ecx , F (x) = 1c ecx
3. f (x) = x1 , F (x) = ln(x)
4. f (x) =
√ 1
,
1−x2
5. f (x) =
1
1+x2 ,
5.3
F (x) = arcsin(x)
F (x) = arctan(x)
Partialbruchzerlegung
Seiten 105-107
Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zählerpolynoms. Beginne mit Polynomdivision und stelle
die Nullstellen
R ∞ des Nenners fest. Anschließend Berechnung des Koeffizienten.
Beispiel: 0 1+2x12 +x4 dx
Nullstellen des Nenners: (x2 + 1)2 = (x + i)2 (x − i)2
A
Bx+C
D
Ansatz: 1+2x12 +x4 = (x−i)
2 + x2 +1 + (x+i)2
Multiplikation mit Hauptnenner: 1 = A(x + i)2 + (Bx + C)(x2 + 1) + D(x − i)2
1 = x3 (B) + x2 (A + C + D) + x(Ai + B − Di) + (−A + C − D)
⇒ B = 0, A = D, 2A + C = 0, − 2A + C = 1, 2C = 1, A = − 41
1
1
1
Also: 1+2x12 +x4 = − 4(x−i)
2 + 2(x2 +1) − 4(x+i)2
1
1
Stammfunktion: 4(x−i)
+ 4(x+i)
+ 1 arctan(x) = 2(x2x+1) + 12 arctan(x)
R∞ 21
Berechnung des Integrals: 0 1+2x2 +x4 dx = π4
5.4
Konvergenzkonzepte für uneigentliche Integrale
Seite 102
Rc
Der Punkt b sei Häufungspunkt des Definitionsbereiches (a, b) einer Funktion f . Wenn limc→b a f (x)dx existiert,
Rb
Rc
dann heißt dieser Wert a f (x)dx = limc→b a f (x)dx uneigentliches Integral von f . Analog definiert man
das uneigentliche Integral einer Funktion (a, b] → ∞.
5.5
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
Seiten 100-101
Rx
Hauptsatz: Sei f : [a, b] →
stetig. Wir bilden die Funktion [a, b] 3 x 7→ F (x) := a f (y)dy. Dann ist F
stetig, auf (a, b) differenzierbar und es gilt F 0 (x) = f (x), F (a) = 0.
Rz
Rz
Ry
Beweis: Wir betrachten z ∈ [a, b]. Für y > z gilt F (y) − F (z) = a f (x)dx − a f (x)dx = a f (x)dx +
Rz
Ry
Ry
f (x)dx − a f (x)dx = z f (x)dx. Sei M := sup[a,b] |f |. Wir schließen, dass |F (y) − F (z)| < M |y − z| gilt.
z
Daraus folgt die Stetigkeit von F .
Ry
Ry
Wir betrachten nun z R∈ (a, b). Wir schreiben F (y) = RF (z) + z f (x)dx = F (z) + z (f (z) + (f (x) − f (z)))dx =
R
y
(f (x)−f (z))dx
y
(f (x)−f (z))dx
y→z
(y − z). Es gilt | z
| ≤ supx∈[z,y] |f (x) − f (z)| −→ 0, da f in z
F (z) + f (z)(y − z) + z
y−z
y−z
0
stetig ist. Das zeigt, dass F im Punkt z existiert und F 0 (z) = f (z) gilt. Die Aussage F (a) = 0 ist klar.
5.6
Die Taylorformel
Seiten 90-93
Sei f mindestens n-mal differenzierbar. Das Taylorpolynom von f im Punkt x vom Grad n ist P (y) :=
Pn f (k) (x)
k
k=0
k! (y − x) .
Taylorformel: Sei [a, b] ⊂ U mit a < x < b. Sei f : U → eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
R
Seite 10
6. Februar 2009
Frank Reinhold
Analysis 1 und 2
1. Auf U ist f n-mal differenzierbar.
2. f (n) ist auf [a, b] stetig.
3. f (n+1) existiert in (a, b).
(n+1)
(ξ)
(y − x)n+1 .
Dann gibt es für jedes x 6= y ∈ (a, b) ein ξ ∈ (x, y), sodass r(y) = f (n+1)!
Das Taylorpolynom zweiter Ordnung um den Entwicklungspunkt (x0 , y0 ) lässt
sich wie folgt berechnen:
x−x0
x−x0
1
0
i.
,
i
+
hHessf
(x
,
y
)
·
T2 (f )(x, y) = f (x0 , y0 ) + hdf (x0 , y0 ), x−x
0 0
y−y0
y−y0
y−y0
2
Beweis: Wir definieren M ∈
durch r(y) = f (z) − P (z) = M (y − x)n+1 . Dann setzen wir g(z) := f (z) −
P (z) − M (z − x)n+1 . Es gilt g (n+1) (z) = f (n+1) (z) − P (n+1) (z) − (n + 1)!M = f (n+1) (z) − (n + 1)!M . Es ist zu
zeigen, dass g (n+1) (z) eine Nullstelle in (y, x) hat. Wir nehmen an, dass y < x ist. Es gilt für k = 0, . . . , n, dass
g(k)(x) = 0. Desweiteren gilt nach der Konstruktion von M auch g(y) = 0. Folglich gibt es ein ξ1 ∈ (y, x) mit
g (1) (ξ1 ) = 0. Wir schließen nun, dass es ein ξ2 ∈ (ξ1 , x) ⊂ (y, x) mit g (2) (ξ2 ) = 0 gibt. Wir fahren so induktiv
fort, bis wir ein ξ ∈ (y, x) mit g (n+1) (ξ) = 0 finden.
R
5.7
Mittelwertsätze für das Integral stetiger Funktionen
Wikipedia, Stichwort: Mittelwertsatz Integral“
Rb
”
Seien f, g : [a, b] → stetige Funktionen und weiterhin g ≥ 0. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass a f (x)g(x)dx =
Rb
f (ξ) a g(x)dx.
Rb
Seien f, g : [a, b] → Funktionen, f monoton und g stetig. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass a f (x)g(x)dx =
Rξ
Rb
f (a) a g(x)dx + f (b) ξ g(x)dx.
R
R
5.8
Konzept der Bogenlänge
Seite 107-110
Ein parametrisierter Weg in n ist eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → n . Mit P n bezeichnen wir die
Menge aller parametrisierten Wege in n .
Ein differenzierbarer parametriesierter Weg in n ist eine stetig differenzierbare Abbildung γ : [0, 1] →
n
. Mit PC 1 n bezeichnen wir die Menge der differenzierbaren
Wege in n .
R1 0
Wir definieren die Länge von γ durch L(γ) := 0 kγ kdt. Die wesentliche Aussage ist, dass diese Definition
nicht von der Parametrisierung abhängt.
√
−t
)
Beispiel: Wir parametrisieren den Vierteleinheitskreis durch γ(t) = (t, 1 − t2 ). Dann gilt γ 0 (t) = (1, √1−t
2
q
q
R
2
2
2
1
t
1
1−t +t
und kγ 0 (t)k = 12 + 1−t
= √1−t
. Damit ist L(γ) = 0 1−√11−t2 dt = arcsin(1) − arcsin(0) = π2 .
2 =
2
1−t2
n
Gilt für γ0 , γ1 ∈ PC 1
die Relation γ0 ∼C 1 γ1 , dann ist L(γ0 ) = L(γ1 ).
Beweis: Sei γ0 = γ1 ◦ Φ für eine differenzierbare Abbildung Φ : I → I mit Φ0 > 0. Dann gilt γ00 (t) =
R1
γ10 (Φ(t))Φ0 (t) und kγ00 (t)k = kγ10 (Φ(t))kΦ0 (t). Die Substitutionsregel für das Integral zeigt 0 kγ00 (t)kdt =
R1 0
R
1
kγ1 (Φ(t))kΦ0 (t)dt = 0 kγ10 (t)kdt.
0
R
R
R
R
R
R
R
R
R
6
Metrische Räume
6.1
Konzept des metrischen Raumes
Seite 60-61
Eine Metrik (oder Abstandsfunktion) auf X ist eine Funktion d : X ×X → [0, ∞) mit folgenden Eigenschaften:
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), wobei x, y, z beliebige Punkte in X bezeichnen.
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) aus einer Menge mit einer Abstandsfunktion.
Beispiele metrischer Räume:
1. Die Funktion d :
R × R → [0, ∞), d(x, y) := |x − y| ist eine Abstandsfunktion.
2. Ist X ein metrischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge, dann ist A mit dem eingeschränkten Abstand
d|A×A : A × A → [0, ∞) auch ein metrischer Raum.
3. Jede Teilmenge A ⊆
6. Februar 2009
R ist also in natürlicher Weise ein metrischer Raum.
Seite 11
Analysis 1 und 2
6.2
Frank Reinhold
Konzept der Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen
Seite 61
Sei (X, d) ein metrischer Raum und x ∈ X. Eine Folge (xn ) in X konvergiert gegen x ∈ X, wenn d(xn , x) → 0
gilt.
Eine Folge (xn ) in X ist eine Cauchyfolge, wenn für jedes > 0 ein n0 ∈ exisitert, sodass für n, m > n0 gilt
d(xn , xm ) < .
N
6.3
verschiedene Metriken auf
für Metriken
Rn, Bilder der Bälle und Kugeln, Äquivalenzbegriff
Seite 61-65
(
0 x=y
1 x 6= y
Unendlichkeitsmetrik: d∞ : n × n → [0, ∞), d∞ (x, y) := max{|x
pPn i − yi | i ∈ {1, . . . , n}}
2
Euklidische Metrik: deukl : n × n → [0, ∞), deukl (x, y) :=
i=1 (xi − yi )
Mit B(x, r) := {y ∈ X|d(x, y) < r} bezeichnen wir den Ball um x mit Radius r.
Diskrete Metrik: ddisc : X × X → [0, ∞), ddisc (x, y) :=
R R
R R
R mit dem Abstand d(x, y) := |x − y| ist B(x, r) = (x − r, x + r)
Pn
2. In (Rn , deukl ) ist B(x, r) = y ∈ Rn | i=1 (xi − yi )2 < r2 eine geometrische Kugel.
1. In
3. In (X, ddisc ) ist B(x, r) entweder gleich X für r > 1 oder {x} für r ≤ 1.
Die Metriken d0 , d1 heißen äquivalent, wenn es 0 < c, C ∈
d1 (x, y) ≤ Cd0 (x, y).
Die Metriken d∞ und deukl auf n sind äquivalent.
R gibt, sodass für alle x, y ∈ X gilt cd0(x, y) ≤
R
6.4
Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen
Seite 72
Sei (x, dX ) ein metrischer Raum. Die Abbildung f ist an der Stelle x (metrisch) stetig, wenn für jede Umgebung
M von f (x) ein δ > 0 existiert, sodass aus dX (u, x) < δ folgt f (u) ∈ M . Oder: ∀ > 0∃δ > 0 : (dX (u, x) < δ →
dY (f (u), f (x)) < )
6.5
Die Supremumsmetrik auf Räumen reellen Funktionen
Seite 63
Für ein f ∈ C([a, b]) definieren wir die Supremumsnorm als kf k := supx∈[a,b] |f (x)|.
6.6
Formulierung des Fixpunktsatzes für Kontraktionen
Seite 141
Sei (X, d) ein metrischer Raum, U ⊆ X und f : U → X. f heißt Kontraktion, wenn es eine Konstante c ∈ [0, 1)
gibt, sodass d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y) für alle x, y ∈ X gilt.
Ein Punkt u ∈ U heißt Fixpunkt von f , wenn f (u) = u gilt.
Fixpunktsatz: Eine Kontraktion hat höchstens einen Fixpunkt.
Beweis: Sei c wie oben. Seien x, y ∈ U Fixpunkte. Dann gilt d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y). Diese Gleichung
kann aber nur für d(x, y) = 0, also x = y gelten.
6.7
topologische Grundbegriffe für Teilemengen des
Rn
Seite 76
Eine Teilmenge U ⊆
heißt offen, wenn für jedes x ∈ U ein > 0 existiert, sodass (x − , x + ) ⊂ U . Eine
Teilmenge V ⊆ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement \ V offen ist.
Sei X ein topologischer Raum und E ⊂ X eine Teilmenge. Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt von E,
wenn jede Umgebung von x ∈ X einen nichtleeren Durchschnitt mit E hat. Eine Topologie auf einer Menge
X ist eine Teilmenge T ⊆ P(X) mit:
R
R
R
1. ∅, X ∈ T
2. T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten.
3. T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen.
Seite 12
6. Februar 2009
Frank Reinhold
6.8
Analysis 1 und 2
Banachräume von Funktionen mit sup-Norm
Seite 112
Ein normierter Vektorraum (E, k.k) (über ), welcher als metrischer Raum (mit d(x, y) := kx − yk) vollständig
ist, nennet man einen reellen Banachraum.
Wenn (B, k.k) ein Banachraum ist, dann ist kf kC(X,B) := supx∈X kf (x)k wieder eine Norm auf dem Vektorraum
C(X, B), der dann wieder ein Banachraum ist.
R
7
Extremwertaufgaben
Seiten 137-140
Die Abbildung E 3 ξ 7→ Hessf (u)(ξ) := d(2) f (u)(ξ)(ξ) heißt Hessesche Form von f im Punkt u.
Vorgehensweise: Jacobimatrix, Hessematrix, Definitheit überprüfen 2
−12
Beispiel: f : 2 → , f (x, y) = x3 +y 3 −12x−3y. Dann ist df (x, y) = 3x
. Die folgenden Punkte sind kri2
3y −3
0
tisch: (2, 1), (−2, 1), (2, −1), (−2, −1). Die Hessische Matrix ist gegeben durch: Hessf (x, y) = 6x
0 6y . Die Dis
−12 0
0
kussion der kritischen Punkte ergibt: Hessf (2, 1) = ( 12
0 6 ) positiv definit, Minimum. Hessf (−2, 1) =
0
6
−12 0
0
indefinit, kein Extremum. Hessf (2, −1) = 12
0 −6 indefinit, kein Extremum. Hessf (−2, −1) =
0 −6 negativ definit, Maximum.
R
7.1
R
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Seiten 150-153
Sei E ein endlich-dimensionaler Vektorraum, M ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit, U ⊆ E offen und f : U → .
Die Funktion f hat ein lokales Extremum mit Nebenbedingung M , falls f|M ∩U ein lokales Extremum hat.
Wenn f in m ∈ M ein lokales Extremum mit Nebenbedingung M hat, dann gilt df (m)(Tm M ) = 0
Beweis: Wir nehmen o.B.d.A an, dass m = 0. Wir wählen eine Aufspaltung E = T0 M ⊕ N und Umgebungen
V ⊆ T0 M und W ⊆ N , sowie eine Abbildung g : V → W derart, dass M ∩ (V × W ) = Γ(g) gilt und dg(0) = 0.
Dann ist Φ : V → M ∩ (V × W ), Φ(x) = (x, g(x)) eine Einbettung. Die Abbildung Φ∗ f hat in 0 ein lokales
Extremum. Also gilt 0 = d(Φ∗ f ) = df (0) ◦ dΦ(0). Die Behauptung folgt nun aus im(dΦ(0)) = T0 M .
Wenn die Funktion f in m ∈ M ein lokales Extremum mit Nebenbedingung in M hat, dann existiert ein λ ∈ F 0
derart, dass λ ◦ dΦ(m) = df (m). Die Linearform λ heißt Langrangescher Multiplikator. Um also die lokalen
Extremwerte mit Nebenbedingung in M = {Φ = 0} zu finden, müssen wir insbesondere das im allgemeinen
nichtlineare Gleichungssystem Φ(x) = 0, df (x) = λ ◦ dΦ(x) für (x, λ) ∈ U × F 0 lösen.
R
8
Untermannigfaltigkeiten
Seite 146-150
Seien E, F Banachräume, U ⊆ E offen und f : U → F stetig differenzierbar. Die Funktion f ist in u ∈ U
regulär, wenn df (u) : E → F surjektiv ist. Eine Funktion ist in u genau dann regulär, wenn u nicht kritisch
ist.
Eine Teilmenge M ⊆ E heißt Untermannigfaltigkeit der Kodimension k, wenn es für jeden Punkt m ∈ M
eine offene Umgebung U ⊆ E und eine Funktion f : U → k gibt, sodass {f = 0} = M ∩ U gilt und f in allen
Punkten regulär ist. Wir nennen so ein Paar (U, f ) eine lokale definierende Funktion von M bei m.
Eine offene Teilmenge M ⊆ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 0. Das Paar (M, 0) ist eine
definierende Funktion.
Der Punkt M := {0} ⊆ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension n. Das Paar n , id ist eine definierende Funktion.
Die Einheitskugel S n−1 ⊂ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1. Das Paar ( n , x 7→ f (x) :=
kxk2 ) ist eine definierende Funktion. In der Tat ist df (x)(ξ) = 2hx, ξi, also df (x) = 0 genau für x = 0. Da dieser
Punkt nicht in S n−1 liegt, ist f in allen Punkten von S −1 regulär.
Pn
Der Schnitt der Einheitskugel S n−1 mit der affinen Hyperebene
{ i=1 xi = 21 } ist eine UntermannigfalP
n
1
n
2
tigkeit der Kodimension 2. Das Paar
Pn ( , f (x) = (kxk , i=1 xi − 2 )) ist eine definierende Funktion.TDazu
berechnen wir df (x)(ξ) = (2hx, ξi, i=1 ξi ). Es gilt dim im(df (x)) < 2 genau dann, wenn
. . . , 1) gilt.
Pn x ∼ (1,√
Die einzigen solchen Punkte mit kxk = 1 wären x = ± √1n (1, . . . , 1)T . Dann gilt aber i=1 xi = ± n 6= 12 , also
sind diese Punkte nicht in der Hyperebene und damit nicht in A.
Die Untergruppe SO(n) ⊂ O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension n(n+1)
. In der Tat, die Menge
2
U := {det(A) > 0} ⊂ Mat(n, n) ist offen, und (U, f|U ) definiert SO(n).
R
R
R
R
R
R
R
6. Februar 2009
Seite 13
Analysis 1 und 2
8.1
Frank Reinhold
Konzept des Tangentialraumes
Seiten 148, 150
Sei M ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension k und m ∈ M . Der von der Wahl der definierenden
Funktion (U, f ) von M bei m unabhängige Raum Tm M := ker(df (m)) heißt Tangentialraum von M an m.
Zwei lineare Unterräume V, W ∈ E eines endlich dimensionalen Vektorraumes heißen transversal (wir schreiben
V t W ), wenn dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ) − dim(E) gilt.
Zwei Untermannigfaltigkeiten M, N ⊆ E sind zueinander transversal, wenn für jeden Punkt x ∈ M ∩ N gilt
Tx M t Tx N .
8.2
Beschreibung von Untermannigfaltigkeiten durch Immersionen
Seite 149
f ist eine Immersion, wenn df (u) für alle u ∈ U injektiv ist. Die Abbildung f ist eine Einbettung, wenn f
eine Immersion ist und f : U → f (U ) ein Homöomorphismus.
Ist f : U → E eine Einbettung, dann ist f (U ) ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit. Es gilt Tf (u) f (U ) = imdf (u).
9
Differentialgleichungen
9.1
Grundlagen über gewöhnliche Differentialgleichungen
Seite 159
Sei U ⊂ n+1 offen und R : U →
eine Abbildung. Eine n-mal differenzierbare Funktion h : I →
heißt
Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung h(n) = R(t, h, h0 , . . . , h(n−1) ), falls für die Abbildung
I 3 t 7→ f (t) := (t, h(t), h0 (t), . . . , h(n−1) (t)) ∈ n+1 gilt:
R
R
R
R
1. f (I) ⊆ U
2. h(n) = f ∗ R
R
wobei I ⊆ ein offenes Intervall ist. Wir betrachten das Vektorfeld auf U , welches durch X(x) = (1, x3 , . . . , xn+1 , R(x))
gegeben wird. h : I → ist genau dann Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung h(n) = R(t, h, h0 , . . . , h(n−1) ),
wenn f : I → U , f (t) := f (t) := (t, h(t), h0 (t), . . . , h(n−1) (t)) eine Integralkurve von X ist.
9.2
R
Vektorfelder und Integralkurven
Seite 157-158
Sei (V, k.k) ein reller Banachraum und U ⊆ V offen. Ein Vektorfeld X auf U ist eine Abbildung X : U → V .
Eine Integralkurve von X ist eine differenzierbare Abbildung f : I → U , welche der Gleichung f 0 = f ∗ X
genügt, wobei I ⊆ ein offenes Intervall ist.
Beispiel.:
R
R1 und X(x) := 1. Für alle c ∈ R ist fc : R → R1, fc(t) := c + t eine Integralkurve.
2. Sei V := R1 und X(x) := x. Für alle c ∈ R1 ist fc : R → R1 , fc (t) := cet eine Integralkurve von X.
c
eine Integralkurve, wobei
3. Sei V := R1 und X(x) := x2 . Für jedes c ∈ R1 ist fc : Ic R1 , fc (t) := 1−ct

1. Sei V :=
1

(−∞, c
1
Ic := ( c , ∞)


c>0
c < 0.
c=0
R
0 1
4. Sei V :=R2 und X(x,y) := (y, −x)t . Wir schreiben D := −1
0 und X(v) := Dv. Für t ∈ R setzen wir
sin(t)
A(t) := −cos(t)
. Für jedes c ∈ R2 ist die Kurve fc : R2 → R2 , fc (t) := A(t)c, eine Integralkurve
sin(t) cos(t)
von X.
9.3
Formulierung des Satzes über die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven
Seite 162
Seien (M, dM ) und (N, dN ) metrische Räume. Eine Abbildung X : M → N heißt Lipschitzstetig, wenn
es eine Konstante C > 0 gibt, sodass für alle a, b ∈ M gilt dN (X(a), X(b)) ≤ CdM (a, b). Die Zahl C heißt
Seite 14
6. Februar 2009
Frank Reinhold
Analysis 1 und 2
Lipschitzkonstante für X.
Sei (V, k . . . kV ) ein reeller Banachraum und U ⊆ V offen und x ∈ U . Wir nehmen an, dass X Lipschitz-stetig ist.
Dann existiert ein 0 > 0 derart, dass es für jedes ∈ (0, 0 ) genau eine auf I := (−, ) defnierte Integralkurve
f : I → U mit f (0) = x gibt.
9.4
Konzept: maximale Integralkurven
Seite 165
Sei U ⊆ V offen, x ∈ U und X : U → V ein Vektorfeld. Sei 0 ∈ J ⊆ ein offenes Intervall. Ist g : J → U eine
Integralkurve des Vektorfeldes und I ⊆ J ein offenes Teilintervall mit 0 ∈ I, dann ist g|I : I → U auch eine
Integralkurve. Wir betrachten auf der Menge der Integralkurven des Vektorfeldes X mit Anfang x die folgenden
partielle Ordnung.
Es gilt (f : I → U ) ≤ (g : J → U ), falls I ⊆ J und f = g|I ist.
Unter den Voraussetzungen von oben gibt es genau eine maximale Integralkurve f : I → mit f (0) = x.
R
R
9.5
Formulierung von Aussagen über die Abhängigkeit von Anfangsbedingungen
oder Parametern
Seite 175
Wir betrachten einen endlich-dimensionalen Vektorraum V und eine offene Teilmenge U ⊆ V . Sei X : U → V
ein Lipschitz-stetiges Vektorfeld mit Lipschitzkonstante CX . Für x ∈ U sei Φ(x) : Ix → U , t 7→ Φt (x), die
eindeutige maximale Integralkurve mit Φ0 (x) = x.
Sei xT ∈ U . Dann existiert eine Umgebung W ⊆ U von x und ein Intervall I ⊆
mit 0 ∈ I derart, dass
I ⊂ v∈W Iv und Φ : W × I → V , (w, t) 7→ Φt (w), stetig ist.
Es gibt eine Konstante CY derart, dass Y (p, .) Lipschitz-stetig mit Konstanten CY für alle p ∈ P ist.
Sei xT ∈ U . Dann existiert eine Umgebung W ⊆ U von x und ein Intervall I ⊆
mit 0 ∈ I derart, dass
I ⊂ v∈W Iv und W × I 3 (x, t) 7→ Φt (x) ∈ V k-mal stetig differenzierbar ist.
R
R
9.6
Idee der Ljapunovfunktion
Seite 167
Ein Abbildung L : M → N zwischen topologischen Räumen M und N heißt eigentlich, falls für jede kompakte
Teilmenge K ⊆ N das Urbild f −1 (K) ⊆ M kompakt ist.
Sei − := [−∞, ∞). Eine Ljapunovfunktion für X ist eine differenzierbare Abbildung L : U → mit folgenden
Eigenschaften:
R̄
R
1. Für alle x ∈ U gilt die Ungleichung dL(x)(X(x)) ≤ 0.
2. L : U →
9.7
R̄− ist eigentlich.
Erhaltungsgrößen und deren Anwendung
Wikipedia, Stichwort: Erhaltungsgröße“
”
Erhaltungsgrößen sind nichtkonstante Funktionen derjenigen Größen des betrachteten physikalischen Systems,
die man beim Start mit unterschiedlichen Werten vorgeben kann, beispielsweise Orte und Geschwindigkeiten von
Teilchen oder Feldstärken. Diese Größen ändern sich nach dem Start. Erhaltungsgrößen sind solche Funktionen
dieser sich ändernden Größen, die sich mit der Zeit nicht ändern, sondern ihren Startwert behalten.
10
Aspekte der Qualitativen Diskussion
Seite 189-190
Sei Φ :
× V → V ein Fluss. Der Orbit von x unter Φ ist Ox := ΦR (x). Wir setzen Ox+ := ΦR+ (x) und
−
Ox := ΦR− (x).
x ∈ V ist ein stationärer Punkt, falls Ox = {x} gilt.
Ox ist geschlossen mit Periode T ∈ 6= 0, falls für ein (und damit für alle) y ∈ Ox gilt ΦT (y) = y. Beachte,
dass mit T auch nT, n ∈T \ {0} eine Periode ist. Wir
T sagen, dass x ein periodischer Punkt sei.
Wir definieren ω(x) := s∈R+ {Φ[s,∞) (x)}, α(x) := s∈R− {Φ(−∞,s] (x)}
Eine Teilmenge A ⊆ V heißt invariant, falls für alle x ∈ A gilt Ox ⊆ A.
Eine Teilmenge A ⊂ V heißt anziehend, wenn es eine Umgebung U von Ā derart gibt, dass für jede Umgebung
V von Ā und Kompaktum K ⊆ U ein t > 0 existiert, sodass Φ[T,∞) (K) ⊆ V . Analog definiert man abstoßende
Mengen, also solche, die unter Zeitumkehr anziehend sind.
R
Z
6. Februar 2009
R
Seite 15
Analysis 1 und 2
10.1
Frank Reinhold
Eigenschaften von Gradientenfeldern
Seite 192-193
Sei X = − grad(U ) für ein Potential U : n → n . Für x ∈ n ist entweder ω(x) = 0 oder ω(x) besteht aus
stationäreren Punkten von X. Eine analoge Aussage gilt für α(x).
Ein Gradientenvektorfeld im n hat keine periodischen Orbits.
R
R
R
R
10.2
Klassiffikation kritischer Punkte von Vektorfeldern
Seite 192
Der stationäre Punkt 0 von X ist:
1. stabil, falls <(λ0 ) < 0, <(λ1 ) < 0, z.B.: A =
2. hyperbolisch, falls λi ∈
−1 0
0 −1
R, λ0, λ1 < 0, z.B.: A =
−1 0
0 1
3. instabil, falls <(λ0 ) > 0, <(λ1 ) > 0, z.B.: A = ( 10 01 )
10.3
Konzept des Flusses, Beziehung zwischen Flüssen und Vektorfeldern
Seiten 175-176
Sei V ein topologischer Raum. Ein lokaler (Halb-)Fluss auf V ist durch folgende Daten gegeben:
1. Eine offene Teilmenge D ⊆
R × X (oder D ⊆ [0, ∞) × X für einen Halbfluss) mit {0} × V ⊂ V .
2. Eine stetige Abbildung Φ : D → V , (t, v) 7→ Φt (v).
Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
1. Φ0 = idV : V → V .
2. Für jedes x ∈ V ist {t ∈
R|(t, x) ∈ D} ein (offenes) Intervall in R (oder in [0, ∞) für einen Halbfluss).
3. Wenn (s, Φt (x)) ∈ D und (t + s, x) ∈ D, dann gilt Φt+s (x) = Φs (Φt (x)).
10.4
Invariante Mengen, α- und ω-Mengen als invariante Mengen
Seiten 189-190
Stationäre Punkte undgeschlossene Orbits sind invariant.
Die Mengen ω(x) und α(x) sind invariant.
Beweis: Sei y ∈ ω(x). Dann existiert eine Folge (tn ) mit tn → ∞ und Φtn (x) → y. Sei s ∈ . Dann ist
Φs (y) = limn→∞ Φs (Φtn (x)) = limn→∞ Φtn +s (x) und damit Φs (y) ∈ ω(x). Die Invarianz von α(x) zeigt man
analog.
R
10.5
Beispiele für Vektorfelder mit periodischen Orbits
Seite 193
Das Vektorfeld X(x) := Ax mit A :=
Seite 16
0 1
−1 0
hat ausschließlich periodische Orbits.
6. Februar 2009