1 Elementare Begriffe

Frank Reinhold
1
Prüfungsthemen - Analysis I+II
Elementare Begriffe
Der Nachweis des mit diesen Themen verbundenen Wissens und entsprechender Anwendungspraxis ist für das
Bestehen der Prüfung essentiell.
1. Elementare Aussagenlogik und Mengenlehre (Boolsche Algebra, Beweistechniken, Unendlichkeit)
Seite 3-15, 23
Und-, Oder-, Wenn-Dann-, Genau-Dann-Wenn-Verknüpfung
Quantoren, Negation von Aussagen
Teilmenge: B ⊆ A := (x ∈ B) → (x ∈ A)
Die Vereinigung C := A ∪ B ist durch (x ∈ C) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) charakterisiert.
Der Durchschnitt C := A ∩ B ist durch (x ∈ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) charakterisiert.
Für zwei Mengen A, B definieren wir die Differenz A/B := {a ∈ A|a ∈
/ B}
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A wird durch (X ∈ P(A)) ⇔ (X ⊆ A) charakterisiert.
2. Relationen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen
Seite 16-18
Eine binäre Relation ist eine Aussage über geordnete Paare von Objekten. Eine binäre Relation zwischen
Elementen aus den Mengen A und B ist eine Teilmenge von A × B.
Eigenschaften einer Relation R:
Reflexivität: Für alle a ∈ A gilt aRa
Symmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ↔ bRa
Antisymmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ∧ bRa → b = a
Asymmetrie: Für alle a, b ∈ A gilt aRb →∼ (bRa)
Transitivität: Für alle a, b, c ∈ A gilt aRb ∧ bRc → aRc
Totalität: Für alle a, b ∈ A gilt aRb ∨ bRa ∨ a = b
Eine Äquivalenzrelation ist eine reflexive, transitive und symmetrische Relation.
Eine Halbordnung ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation.
3. Konzept der reellen Zahlen (Axiomatik)
Wikipedia, Stichwort: Reelle Zahl“
”
Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen:
(a) Die reellen Zahlen sind ein Körper.
(b) Die reellen Zahlen sind total geordnet, d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:
1. es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Totalität)
2. aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
(c) Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge
von
besitzt ein Supremum in .
R
R
4. Umgang mit Ungleichungen
Seite 36
Definition der Intervalle: [a, b], (a, b], ...(
x
Betragsabbildung: |.| : → , |x| 7→
−x
R R
x≥0
x<0
5. Arithmetisches und geometrisches Mittel
Seite 37-38
Pn
ai
Arithmetisches Mittel: marith (a1 , . . . , an ) := i=1
n
p
Q
n
Geometrisches Mittel: mgeom (a1 , . . . , an ) := n i=1 ai
Bernoulli-Ungleichung: Sei 3 n ≥ 2 und 3 x > −1, x 6= 0. Dann gilt (1 + x)n > 1 + nx.
Beweis: Induktion über n. Sei n = 2. Dann gilt (1+x)2 = 1+2x+x2 > 1+2x. Sei die Bernouli-Ungleichung
wahr für n. Dann gilt: (1+x)n+1 = (1+x)(1+x)n > (1+x)(1+nx) = 1+(n+1)x+nx2 > 1+(n+1)x
Seien a1 , . . . , an positive reelle Zahlen. Dann gilt mgeom ≤ marith .
N
R
6. Konzept des Grenzwertes für Folgen reeller Zahlen
Seiten 39-45
Die Zahl a ist Grenzwert einer Folge (ai )∞
i=1 , wenn für jedes > 0 eine Zahl N0 ∈
alle i > N0 die Relation |ai − a| < gilt.
22. Oktober 2008
N existiert, sodass für
Seite 1
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N
N
Oder: a ist Grenzwert der Folge (ai ), wenn (∀ > 0∃N0 ∈ |(∀i ∈ |i > N0 → |ai − a| < )).
Eine Folge reeller Zahlen (ai ) heißt Cauchy-Folge, wenn für alle 0 < ∈ ein N ∈
existiert, sodass
für alle n, m ≥ N die Ungleichung |an − am | < gilt.
R
N
7. Umgang mit sup, inf, lim sup, lim inf, etc.
Wikipedia, Stichwort: sup“, limsup“
”
”
Ein Element b ∈ T heißt obere (untere) Schranke von T , wenn gilt: b ≥ x ∀x ∈ T . Existiert eine obere
(untere) Schranke von T, so heißt T nach oben (unten) beschränkt. T heißt beschränkt, falls T nach
oben und unten beschränkt ist.
Ein Element b ∈ T heißt Supremum von T , oder wenn b die kleinste obere Schranke von T ist. Es heißt
Infimum von T , wenn es die größte untere Schranke von T ist.
Limes Inferior: lim inf n→∞ xn = supn≥0 inf k≥n xk = sup{inf{xk |k ≥ n}|n ≥ 0} = limn→∞ (inf m≥n xm ).
8. Konvergenz von Reihen (Formulierung von Kriterien und deren Anwendung in Beispielen)
Seiten 45-52
Pn
Die n-te Partialsumme der Folge (ai ) ist definiert
als sn := i=0 ai .
P
∞
Wenn die Folge (sn )∞
n=0 konvergiert,
P∞ i dann ist i=0 ai := limn→∞ s1n .
Die geometrische Reihe i=0 x konvergiert für |x| < 1 gegen 1−x .
Cauchy-Kriterium: Eine Reihe konvergiert
genau dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchy
P∞
Folge ist. Oder: ∀ > 0∃N0 ∈ : | i=n ai | < Majoranten-Kriterium:
Seien (ai ) und (ci ) Folgen derart,
dass |ai | < ci für alle bis auf endlich viele
P∞
P∞
i ∈ gilt und i=0 ci konvergiert. Dann konvergiert auch i=0 ai .
P∞
Sei (ai ) eine monoton P
fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Die Reihe i=0 ai konvergiert genau
∞
dann, wenn die Reihe i=1P2i a2i konvergiert.
P∞
P∞
P∞
∞
Die harmonische Reihe i=1 1i konvergiert nicht, da i=0 1i ⇒ i=0 2k 21k = i=0 1 divergiert.
Leibnitz-Kriterium: Wir betrachten eine monoton
P∞ fallende Folge nichtnegativer Zahlen (ai ) mit limi→∞ ai =
0. Dann konvergiert die alternierende Reihe n=0 (−1)n an .
Durch die Umkehrung des Majorantenkriteriums erhalten wir das Minorantenkriterium, mit dem man
die Nichtkonvergenz
gewisser Reihen zeigen kann.
P∞
P∞
Eine Reihe i=1 ai konvergiert absolut, wenn i=1 |ai | konvergiert.
P∞
Quotientenkriterium: Eine Reihe i=0 ai konvergiert absolut, wenn lim supi→∞ aai+1
< 1 gilt.
i
P∞
1
Wurzelkriterium: Eine Reihe i=1 ai konvergiert absolut, wenn lim supi→∞ |ai | i < 1 gilt.
N
N
9. Konzept der Stetigkeit für reellwertige Funktionen in einer reellen Veränderlichen
Seiten 54-59
− δ−Definition: Eine Funktion f : A → heißt (metrisch) stetig in x ∈ A, wenn für jedes > 0 ein
δ > 0 existiert, sodass aus y ∈ A und |y − x| < δ folgt, dass |f (y) − f (x)| < ist.
Folgenstetigkeit: Eine Funktion f : A → heißt folgenstetig in x ∈ A, wenn für jede Folge (xn ) mit
xn ∈ A und limn→∞ xn = x auch (f (xn )) konvergiert und limn→∞ f (xn ) = f (x) gilt.
Topologische Definition: Eine Funktion f : A →
heißt (topologisch) stetig in x ∈ A, wenn für
jede Umgebung N ⊆ von f (x) das Urbild f −1 (N ) ⊆ A eine Umgebung von x in A ist.
R
R
R
R
10. Formulierung und Anwendung der Zwischenwertsätze für stetige Funktionen
Seiten 59-60
Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → mit f (a) ≤ 0 ≤ f (b). Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = 0.
Sei f : [a, b] → stetig und x ∈ zwischen f (a) und f (b). Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = x.
R
R
R
11. Konzept der Ableitung
Seiten 81-82
Differenzenquotient: Sei U ⊆
eine offene Teilmenge, x ∈ U und f : U →
(x)
auf y ∈ U \ {x}.
Differenzenquotienten ∆x (f )(y) := f (y)−f
y−x
R
R. Wir betrachten den
(x)
Wenn f 0 (x) := limy→x f (y)−f
existiert, dann heißt f im Punkt x differenzierbar und f 0 (x) die Ableiy−x
tung von f im Punkt x.
Die Funktion f : U →
ist genau dann in x ∈ U differenzierbar, wenn es eine Zahl a ∈
und eine
Funktion r : U → gibt, sodass f (y) = f (x) + a(y − x) + r(y)(y − x) und limy→x r(y) = 0 gilt. Dann ist
a = f 0 (x).
Ist f in x differenzierbar, so ist f auch in x stetig.
R
R
R
12. Kettenregel und weitere Eigenschaften
Seiten 82-87
22. Oktober 2008
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Kettenregel: Ist f in x und g in f (x) differenzierbar, so ist g◦f in x differenzierbar und es gilt (g◦f )0 (x) =
g 0 (f (x))f 0 (x).
Produktregel: Seien f, g : U →
im Punkt x ∈ U differenzierbar. Dann ist f + g und f g im Punkt x
differenzierbar und es gilt: (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) und (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
Wir sagen, dass f im Punkt x ∈ X ein lokales Maximum besitzt, wenn es eine Umgebung x ∈ U ⊆ X
von x gibt, mit supU f = f (x). In diesem Fall gilt f 0 (x) = 0.
Ist U ⊆ offen und f : U → differenzierbar, dann heißt ein Punkt x ∈ U kritisch, wenn f 0 (x) = 0 gilt.
Sei f : [a, b] →
stetig und auf (a, b) differenzierbar. Wenn f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b) gilt, dann ist f
monoton wachsend.
R
R
R
R
13. Integration (Idee der Konstruktion des Integrals, Interpretation als Fläche unter dem Graphen)
Seiten 93-99
Sei [a, b] ⊂ . Eine Funktion Φ : [a, b] → heißt einfach, wenn es eine Folge a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn−1 ≤
xn = b (zulässige Zerlegung) gibt, sodass Φ(x) := Φ(xi−1 ), ∀x ∈ [xi−1 , xi ), i = 1, . . . , n gilt.
Rb
Rb
Pn
Wir definieren das Integral einfacher Funktionen a . . . dx : ε[a, b] → durch a Φ(x)dx := i=1 Φ(xi−1 )(xi −
xi−1 ) für eine zulässige Zerlegung für Φ. Das Integral ist wohldefiniert.
Sei nun f : [a, b] → eine beschränkte Funkion. Dann gibt es Φ, Ψ ∈ ε[a, b] mit Φ ≤ f ≤ Ψ. Wir nennen
Rb
Rb
das Paar (Φ, Ψ) eine Zange von f . Dann gilt a Φ(x)dx ≤ a Ψ(x)dx. Eine Zange ist eine -Zange, wenn
Rb
(Ψ(x) − Φ(x))dx < gilt.
a
R b∗
Rb
Das Oberintegral von f ist definiert durch a f (x)dx := inf Ψ∈ε[a,b],f ≤Ψ a Ψ(x)dx.
Wir nennen f : [a, b] →
riemannintegrierbar, wenn das Oberintegral und das Unterintegral den
gleichen Wert hat. Für das Integral gilt:
R
R
R
R
R
(a) R[a, b] ist ein reeller Vektorraum (mit den üblichen Operationen)
Rb
(b) Das Integral a . . . dx : R[a, b] → ist linear
Rb
Rb
(c) Das Integral ist monoton, d.h. aus f, g ∈ R[a, b], f ≤ g folgt a f (x)dx ≤ a g(x)dx
R
R
(d) Sei c ∈ [a, b] und f : [a, b] → . Dann sind äquivalent:
1. f ∈ R[a, b]
2. f|[a,c] ∈ R[a, c] und f|[c,b] ∈ R[c, b]
Rb
Rc
Rb
Dann gilt: a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
(e) Sei f von unten durch m und von oben durch M beschränkt und Φ : [m, M ] →
f ∈ R[a, b], dann ist auch Φ ◦ f ∈ R[a, b]
Rb
Rb
(f) Wenn f ∈ R[a, b], dann auch |f | ∈ R[a, b] und es gilt: | a f (x)dx| ≤ a |f (x)|dx.
R stetig. Ist
14. Integrationsmethoden (partielle Integration, Substitutionsregel), Kenntnis der wesentlichen Stammfunktionen
Seiten 103-105
Partielle Integration: Sei U ⊆ offen, [a, b] ⊂ U und F, G : U → stetig differenzierbar mit f := F 0 ,
Rb
Rb
g = G0 . Dann gilt: a f (x)G(x)dx = F G|ba − a F (x)g(x)dx.
Rπ
R
π
Beispiel: 0 x sin(x)dx = (−x cos(x))|π0 − 0 (− cos(x))dx = π − (sin(π) − sin(0)) = π
Rb
R Φ(b)
Substitutionsregel: Für eine stetige Funktion f : (u, v) → gilt a f (Φ(x))Φ0 (x)dx = Φ(a) f (y)dy.
R cos(π)
R −1
Rπ
Beispiel: 0 sin(x)ecos(x) dx = cos(0) (−et )dt = 1 (−et )dt = e1 − e−1
Wesentliche Stammfunktionen:
R
R
R
1
n+1
n+1 x
= 1c ecx
(a) f (x) = xn , F (x) =
(b) f (x) = ecx , F (x)
(c) f (x) = x1 , F (x) = ln(x)
(d) f (x) =
(e) f (x) =
√ 1
, F (x) = arcsin(x)
1−x2
1
1+x2 , F (x) = arctan(x)
15. Partialbruchzerlegung
Seiten 105-107
Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zählerpolynoms. Beginne mit Polynomdivision und
stelle die Nullstellen
des Nenners fest. Anschließend Berechnung des Koeffizienten.
R∞
Beispiel: 0 1+2x12 +x4 dx
Nullstellen des Nenners: (x2 + 1)2 = (x + i)2 (x − i)2
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A
Bx+C
D
Ansatz: 1+2x12 +x4 = (x−i)
2 + x2 +1 + (x+i)2
Multiplikation mit Hauptnenner: 1 = A(x + i)2 + (Bx + C)(x2 + 1) + D(x − i)2
1 = x3 (B) + x2 (A + C + D) + x(Ai + B − Di) + (−A + C − D)
⇒ B = 0, A = D, 2A + C = 0, − 2A + C = 1, 2C = 1, A = − 41
1
1
1
Also: 1+2x12 +x4 = − 4(x−i)
2 + 2(x2 +1) − 4(x+i)2
1
1
1
Stammfunktion: 4(x−i) + 4(x+i) + 2 arctan(x) = 2(x2x+1) + 21 arctan(x)
R∞
Berechnung des Integrals: 0 1+2x12 +x4 dx = π4
16. Formulierung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, Anwendungen
Seiten 100-101
Rx
Hauptsatz: Sei f : [a, b] →
stetig. Wir bilden die Funktion [a, b] 3 x 7→ F (x) := a f (y)dy. Dann ist
F stetig, auf (a, b) differenzierbar und es gilt F 0 (x) = f (x), F (a) = 0.
R
17. Charakterisierung und Eigenschaften der e-Funktion und des Logarithmus
Seite 50; Wikipedia, Stichwort: PLogarithmus“
”∞ n
Die Funktion 3 x 7→ e(x) := n=0 xn! ∈ heißt e-Funktion. Für die e-Funktion gilt:
R
R
(a) Die Reihe konvergiert absolut.
(b) Für alle x, y ∈
R gilt e(x + y) = e(x)e(y).
(c) Die e-Funktion vertauscht mit Grenzwerten.
P∞
k
ln(1 + x) := k=1 (−1)k+1 xk heißt natürlicher Logarithmus. Für den Logarithmus gilt:
Qn
Pn
(a) ln i=1 xi = i=1 ln xi .
(b) ln x1 = − ln x
(c) ln xy = ln x − ln y
(d) ln(xr ) = r ln x
√
1
(e) ln n x = ln(x n ) =
(f) e
ln(x)
1
n
ln x
=x
18. Charakterisierung und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Seiten 87-90; Wikipedia, Stichwort: sin“
P∞
x2n+1 ”
Sinus: sin(x) := n=0 (−1)n (2n+1)!
P∞
x2n
Cosinus: cos(x) := n=0 (−1)n (2n)!
Nullstellen der Funktionen, Die Zahl π, Additionstheoreme, Für die trigonometrischen Funktionen gilt:
(a) tan(x) =
sin(x)
cos(x)
(b) sin2 (x) + cos2 (x) = 1
(c) sin(−x) = − sin(x)
(d) cos(−x) = cos(x)
19. Die Taylorformel (Formulierung, Anwendung)
Seiten 90-93
Sei f mindestens n-mal differenzierbar. Das Taylorpolynom von f im Punkt x vom Grad n ist P (y) :=
Pn f (k) (x)
k
k=0
k! (y − x) .
Taylorformel: Sei [a, b] ⊂ U mit a < x < b. Sei f : U → eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
R
(a) Auf U ist f n-mal differenzierbar.
(b) f (n) ist auf [a, b] stetig.
(c) f (n+1) existiert in (a, b).
(n+1)
(ξ)
Dann gibt es für jedes x 6= y ∈ (a, b) ein ξ ∈ (x, y), sodass r(y) = f (n+1)!
(y − x)n+1 .
Das Taylorpolynom zweiter Ordnung um den
(x0 , y0) lässt sich
wie folgt berech Entwicklungspunkt
x−x0
x−x0
1
0
nen: T2 (f )(x, y) = f (x0 , y0 ) + hdf (x0 , y0 ), x−x
i
+
hHessf
(x
,
y
)
·
,
0 0
y−y0
y−y0
y−y0 i.
2
22. Oktober 2008
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20. Mittelwertsätze für das Integral stetiger Funktionen
Wikipedia, Stichwort: Mittelwertsatz Integral“
”
Seien f, g : [a, b] →
stetige Funktionen und weiterhin g ≥ 0. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass
Rb
Rb
f
(x)g(x)dx
=
f
(ξ)
g(x)dx.
a
a
Seien f, g : [a, b] →
Funktionen, f monoton und g stetig. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass
Rb
Rξ
Rb
f (x)g(x)dx = f (a) a g(x)dx + f (b) ξ g(x)dx.
a
R
R
21. Kurvendiskussion
Nullstellen, Extremwerte, kritische Punkte, etc.
22. Konzept der Bogenlänge, Berechnung in Beispielen
Seite 107-110
Ein parametrisierter Weg in n ist eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → n . Mit P n bezeichnen wir
die Menge aller parametrisierten Wege in n .
Ein differenzierbarer parametriesierter Weg in n ist eine stetig differenzierbare Abbildung γ :
[0, 1] → n . Mit PC 1 n bezeichnen wir die Menge der differenzierbaren Wege in n .
R1
Wir definieren die Länge von γ durch L(γ) := 0 kγ 0 kdt. Die wesentliche Aussage ist, dass diese Definition
nicht von der Parametrisierung abhängt.
√
Beispiel: Wir parametrisieren
den Vierteleinheitskreis
durch γ(t) = (t, 1 − t2 ). Dann gilt γ 0 (t) =
q
q
R1
−t
t2
1−t2 +t2
1
(1, √1−t
) und kγ 0 (t)k = 12 + 1−t
= √1−t
. Damit ist L(γ) = 0 1−√11−t2 dt = arcsin(1) −
2 =
2
2
1−t2
arcsin(0) = π2 .
R
R
R
R
R
R
R
R
23. Konzept des metrischen Raumes, Beispiele
Seite 60-61
Eine Metrik (oder Abstandsfunktion) auf X ist eine Funktion d : X × X → [0, ∞) mit folgenden
Eigenschaften:
(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(b) d(x, y) = d(y, x)
(c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), wobei x, y, z beliebige Punkte in X bezeichnen.
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) aus einer Menge mit einer Abstandsfunktion.
Beispiele metrischer Räume:
(a) Die Funktion d :
R × R → [0, ∞), d(x, y) := |x − y| ist eine Abstandsfunktion.
(b) Ist X ein metrischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge, dann ist A mit dem eingeschränkten Abstand
d|A×A : A × A → [0, ∞) auch ein metrischer Raum.
(c) Jede Teilmenge A ⊆
R ist also in natürlicher Weise ein metrischer Raum.
24. Konzept der Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen
Seite 61
Sei (X, d) ein metrischer Raum und x ∈ X. Eine Folge (xn ) in X konvergiert gegen x ∈ X, wenn
d(xn , x) → 0 gilt.
Eine Folge (xn ) in X ist eine Cauchyfolge, wenn für jedes > 0 ein n0 ∈ exisitert, sodass für n, m > n0
gilt d(xn , xm ) < .
N
25. verschiedene Metriken auf
Seite 61-65
Rn, Bilder der Bälle und Kugeln, Äquivalenzbegriff für Metriken
(
0 x=y
Diskrete Metrik: ddisc : X × X → [0, ∞), ddisc (x, y) :=
1 x 6= y
Unendlichkeitsmetrik: d∞ : n × n → [0, ∞), d∞ (x, y) := max{|x
pPn i − yi | i ∈ {1, . . . , n}}
2
Euklidische Metrik: deukl : n × n → [0, ∞), deukl (x, y) :=
i=1 (xi − yi )
Mit B(x, r) := {y ∈ X|d(x, y) < r} bezeichnen wir den Ball um x mit Radius r.
R R
R R
R mit dem Abstand d(x,y) := |x −Py| ist B(x, r) = (x − r, x + r)
n
(b) In (Rn , deukl ) ist B(x, r) = y ∈ Rn | i=1 (xi − yi )2 < r2 eine geometrische Kugel.
(a) In
(c) In (X, ddisc ) ist B(x, r) entweder gleich X für r > 1 oder {x} für r ≤ 1.
22. Oktober 2008
Seite 5
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Die Metriken d0 , d1 heißen äquivalent, wenn es 0 < c, C ∈
d1 (x, y) ≤ Cd0 (x, y).
Die Metriken d∞ und deukl auf n sind äquivalent.
R gibt, sodass für alle x, y ∈ X gilt cd0(x, y) ≤
R
26. Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen
Seite 72
Sei (x, dX ) ein metrischer Raum. Die Abbildung f ist an der Stelle x (metrisch) stetig, wenn für jede
Umgebung M von f (x) ein δ > 0 existiert, sodass aus dX (u, x) < δ folgt f (u) ∈ M . Oder: ∀ > 0∃δ > 0 :
(dX (u, x) < δ → dY (f (u), f (x)) < )
27. Konzept der Ableitung für Funktionen in mehreren reellen Veränderlichen
Seite 119Seien k.kE und k.kF Normen auf E und F . Eine Zahl C ∈
ist eine Schranke von A, wenn kAxkF ≤
CkxkE für alle x ∈ E gilt. Wenn A eine Schranke besitzt, dann nennen wir A beschränkt. Das Infimum
über alle oberen Schranken heißt Norm von A.
F
Operatornorm: kAkop = sup06=x∈E kAxk
kxkE = supx∈E,kxkE =1 kAxkF .
Seien (E, k.kE ) und (F, k.kF ) normierte Vektorräume. Sei u ∈ U ⊆ E und f : U → F . Die Abbildung f
ist in u differenzierbar, wenn es eine beschränkte lineare Abbildung A ∈ B(E, F ) gibt, sodass f (v) =
kR(v)kF
f (u) + A(v − u) + R(v) und limv→u k(v−u)k
= 0. Die Abbildung df (u) := A heißt Ableitung von f im
E
Punkt u.
R
28. Partielle und Richtungsableitungen (Definition und Berechnung)
Seite 128-131
Sei u ∈ U ⊆ E und f : U → F . Sei ξ ∈ E. Dann erhalten wir eine Abbildung γ :
→ E durch
γ(t) := u + tξ, die parametrisierte Gerade durch u mit Richtung ξ. Diese Abbildung ist stetig.
f hat im Punkt u die Richtungsableitung dξ f (u) ∈ F in Richtung ξ, wenn γ ∗ f im Punkt 0 die Ableitung
dξ f (u) := (γ ∗ f )0 (0) hat.
Wenn f im Punkt u differenzierbar ist, dann besitzt f im Punkt u alle Richtungsableitungen und es gilt
dξ f (u) = df (u)(ξ)
Im Fall E = n heißt ∂i f (u) := dei f (u) die i-te partielle Ableitung von f im Punkt u.
Die Matrix, welche df (u) unter dieser Identifikation darstellt, bezeichnet man als Jacobimatrix Jf (u) ∈
Mat(n, m).
R
R
29. Extremwertaufgaben (Lösen von Aufgaben)
Seiten 137-140
Die Abbildung E 3 ξ 7→ Hessf (u)(ξ) := d(2) f (u)(ξ)(ξ) heißt Hessesche Form von f im Punkt u.
Vorgehensweise: Jacobimatrix, Hessematrix, Definitheit überprüfen
2
−12
. Die folgenden PunkBeispiel: f : 2 → , f (x, y) = x3 + y 3 − 12x − 3y. Dann ist df (x, y) = 3x
2
3y −3
R
R
te sind kritisch: (2, 1), (−2, 1), (2, −1), (−2, −1). Die Hessische Matrix ist gegeben durch: Hessf (x, y) =
6x 0
12 0 ) positiv definit, Minimum.
0 6y . Die Diskussion der kritischen Punkte ergibt: Hessf (2, 1) = ( 0 6 −12 0
12 0
Hessf (−2, 1) =
kein Extremum. Hessf (2, −1) = 0 −6 indefinit, kein Extremum.
0 6 indefinit,
0
Hessf (−2, −1) = −12
negativ
definit, Maximum.
0 −6
30. Untermannigfaltigkeiten (Definition, wichtige Beispiele, etwa S n )
Seite 146-150
Seien E, F Banachräume, U ⊆ E offen und f : U → F stetig differenzierbar. Die Funktion f ist in u ∈ U
regulär, wenn df (u) : E → F surjektiv ist. Eine Funktion ist in u genau dann regulär, wenn u nicht
kritisch ist.
Eine Teilmenge M ⊆ E heißt Untermannigfaltigkeit der Kodimension k, wenn es für jeden Punkt
m ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ E und eine Funktion f : U → k gibt, sodass {f = 0} = M ∩ U gilt
und f in allen Punkten regulär ist. Wir nennen so ein Paar (U, f ) eine lokale definierende Funktion
von M bei m.
Eine offene Teilmenge M ⊆ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 0. Das Paar (M, 0) ist
eine definierende Funktion.
Der Punkt M := {0} ⊆ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension n. Das Paar n , id ist eine
definierende Funktion.
Die Einheitskugel S n−1 ⊂ n ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1. Das Paar ( n , x 7→
f (x) := kxk2 ) ist eine definierende Funktion. In der Tat ist df (x)(ξ) = 2hx, ξi, also df (x) = 0 genau für
x = 0. Da dieser Punkt nicht in S n−1 liegt, ist f in allen Punkten von S −1Pregulär.
n
1
Der Schnitt der Einheitskugel S n−1 mit der affinen Hyperebene
Pn { i=1 x1i = 2 } ist eine Untern
2
mannigfaltigkeit der Kodimension 2. Das Paar ( , f (x) = (kxk , i=1 xi − 2 )) ist eine definierende
R
R
R
R
R
R
R
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Seite 6
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Pn
Funktion. Dazu berechnen wir df (x)(ξ) = (2hx, ξi, i=1 ξi ). Es gilt dim im(df (x)) < 2 genau dann, wenn
x ∼ (1, . . . , 1)T gilt. Die einzigen solchen Punkte mit kxk = 1 wären x = ± √1n (1, . . . , 1)T . Dann gilt aber
Pn
√
1
i=1 xi = ± n 6= 2 , also sind diese Punkte nicht in der Hyperebene und damit nicht in A.
31. Grundlagen über gewöhnliche Differentialgleichungen (Daten, Lösungsbegriff, Anfangswertproblem)
Seite 159
Sei U ⊂ n+1 offen und R : U → eine Abbildung. Eine n-mal differenzierbare Funktion h : I → heißt
Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung h(n) = R(t, h, h0 , . . . , h(n−1) ), falls für die Abbildung
I 3 t 7→ f (t) := (t, h(t), h0 (t), . . . , h(n−1) (t)) ∈ n+1 gilt:
R
R
R
R
(a) f (I) ⊆ U
(b) h(n) = f ∗ R
R
wobei I ⊆
ein offenes Intervall ist. Wir betrachten das Vektorfeld auf U , welches durch X(x) =
(1, x3 , . . . , xn+1 , R(x)) gegeben wird. h : I → ist genau dann Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung h(n) = R(t, h, h0 , . . . , h(n−1) ), wenn f : I → U , f (t) := f (t) := (t, h(t), h0 (t), . . . , h(n−1) (t)) eine
Integralkurve von X ist.
R
32. Lösung linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Seite ???
Beispiel: NOCH HINZUFÜGEN!!!
33. Vektorfelder und Integralkurven - Grundlegende Definitionen
Seite 157-158
Sei (V, k.k) ein reller Banachraum und U ⊆ V offen. Ein Vektorfeld X auf U ist eine Abbildung X :
U →V.
Eine Integralkurve von X ist eine differenzierbare Abbildung f : I → U , welche der Gleichung f 0 = f ∗ X
genügt, wobei I ⊆ ein offenes Intervall ist.
Beispiel.:
R
R1 und X(x) := 1. Für alle c ∈ R ist fc : R → R1, fc(t) := c + t eine Integralkurve.
(b) Sei V := R1 und X(x) := x. Für alle c ∈ R1 ist fc : R → R1 , fc (t) := cet eine Integralkurve von X.
c
eine Integralkurve, wobei
(c) Sei V := R1 und X(x) := x2 . Für jedes c ∈ R1 ist fc : Ic R1 , fc (t) := 1−ct

(a) Sei V :=
1

(−∞, c
Ic := ( 1c , ∞)


c>0
c < 0.
c=0
R
0 1
t
(d) Sei V := R2 und
X(x, y) :=
(y, −x) . Wir schreiben D := −1 0 und X(v) := Dv. Für t ∈ R setzen
cos(t) sin(t)
wir A(t) := − sin(t) cos(t) . Für jedes c ∈ R2 ist die Kurve fc : R2 → R2 , fc (t) := A(t)c, eine
Integralkurve von X.
34. Lösung einfacher Anfangswertprobleme
Seite ???
Beispiel: NOCH HINZUFÜGEN!!!
35. Beziehung zwischen gewöhnlichen DGL und Vektorfeldern
KEINE AHNUNG WAS HIER ERWARTET WIRD!!!
36. Aspekte der Qualitativen Diskussion (Kritische Punkte, periodische Lösungen)
Seite 189-190
Sei Φ : × V → V ein Fluss. Der Orbit von x unter Φ ist Ox := ΦR (x). Wir setzen Ox+ := ΦR+ (x) und
Ox− := ΦR− (x).
x ∈ V ist ein stationärer Punkt, falls Ox = {x} gilt.
Ox ist geschlossen mit Periode T ∈
6= 0, falls für ein (und damit für alle) y ∈ Ox gilt ΦT (y) = y.
Beachte, dass mit T auch nT, n ∈ \ {0} eine Periode ist. Wir sagen, dass x ein periodischer Punkt
sei.
T
T
Wir definieren ω(x) := s∈R+ {Φ[s,∞) (x)}, α(x) := s∈R− {Φ(−∞,s] (x)}
Eine Teilmenge A ⊆ V heißt invariant, falls für alle x ∈ A gilt Ox ⊆ A.
Eine Teilmenge A ⊂ V heißt anziehend, wenn es eine Umgebung U von Ā derart gibt, dass für jede
Umgebung V von Ā und Kompaktum K ⊆ U ein t > 0 existiert, sodass Φ[T,∞) (K) ⊆ V . Analog definiert
man abstoßende Mengen, also solche, die unter Zeitumkehr anziehend sind.
R
Z
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R
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2
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Vertieftes Verständnis
Dieses Wissen und entsprechende Fähigkeiten sind für ein befriedigendes bis gutes Ergebnis von Bedeutung
1. Axiomatik der natürlichen Zahlen und Begründung des Induktionsprinzips
Seite 3-15
Aussonderungsaxiom: Für jede Aussage a 7→ P (a) existiert die Menge B := {a ∈ A|P (a)} mit
(b ∈ B) ⇔ (b ∈ A) ∧ P (b)
Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn die Äquivalenz der Aussagen (x ∈ A) ↔ (x ∈ B) gilt.
Für jede Menge gibt es ein Objekt, welches nicht Element der Menge ist. Es gibt also keine Menge aller
Mengen.
Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B ∈ A derart, dass A ∩ B = ∅.
Paarmengenaxiom: Zu je zwei Mengen A, B gibt es eine Menge {A, B}, welche genau die Mengen A
und B als Element hat: (x ∈ {A, B}) ⇔ (x = A) ∨ (x = B).
Vereinigungsaxiom: Für jede Menge Z existiert eine Menge X, welche genau die Elemente der Elemente
von Z enthält. Sie wird durch (x ∈ X) ⇔ (∃z ∈ Z|x ∈ z) charakterisiert.
Potenzmengenaxiom: Für jede Menge existiert die Potenzmenge.
Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Nachfolgermenge.
2. Begründung der Existenz von sup oder inf aus den Axiomen der reellen Zahlen
Wikipedia, Stichwort: Sup“
”
Beweisidee: Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (an ) monoton wachsend ist und nicht
aus oberen Schranken von M besteht, die zweite (bn ) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von
M besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man
jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht). Damit
erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M ) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M ,
denn:
Jedes Element von M ist kleiner-gleich jedem Element bn der oberen Folge, also kleiner-gleich sup(M ),
deshalb ist sup(M ) eine obere Schranke von M . Und jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M ), ist kleiner
als wenigstens ein Element an0 (für ein gewisses n0 ) der unteren Folge, also keine obere Schranke.
3. Begründung der Existenz von Wurzeln und Logarithmus in den reellen Zahlen
KEINE AHNUNG WAS HIER ERWARTET WIRD!!!
4. Existenz irrationaler Zahlen
Seite 27-28
Es gibt keine rationale Zahl q ∈ mit q 2 = 2.
2
Beweis: Annahme: Es existiert solch ein q. Sei q = ab für teilerfremde a, b ∈ . Dann ist q 2 = ab2 = 2, also
2
2
2
a = 2b . Wir benutzen die eindeutige Primfaktorzerlegung in . Aus 2 6 |a würde 2 6 |a folgen, was dieser
Gleichung widerspricht. Also gilt 2|a und damit 2|a2 . Daraus würde aber 2|b2 , also 2|b folgen. Widerspruch
zur Teilerfremdheit von a, b.
Q
Z
Z
5. Begründung der Konvergenzkriterien für Reihen und deren sichere Anwendung
Seite 52
Beweis (Quotientenkriterium): Aus lim supi→∞ | aai+1
| < 1 folgt die Existenz einer Zahl 0 ≤ c < 1
i
ai+1
und eines N ∈
derart, dass | ai | ≤ c für alle i ≥ N gilt. Daraus folgt aN +2 ≤ aN c2 , aN +3 ≤
P∞
3
k
aN c , . . . , aN +k c . Die geometrische Reihe aN i=0 ci ist also eine konvergente Majorante der Reihe
P
∞
k=0 aN +k .
1
Beweis (Wurzelkriterium): Wenn lim supn→∞ |an | n < 1, dann gibt es eine 0 < q < 1 und n0 ∈
mit
P∞
1
|an | n < q für alle n ≥ n0 . Daraus folgt |an | < q n . Damit ist n=n0 q n eine konvergente Majorante von
P∞
n=n0 an .
N
N
6. Vertauschen von Grenzwerten bei Folgen und Reihen
Seite 53
Wir sagen, dass eine Abbildung f mit Grenzwerten vertauscht, wenn f (limn→∞ rn ) = limn→∞ f (rn )
für jede konvergete Folge (rn ) gilt.
7. Umordnung und Produkte von Reihen
Seite 48; Wikipedia, Stichwort: Cauchy-Produktformel“
”
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Seite 8
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Umordnung von Reihen: Das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe kann von der Reihenfolge
der Summation abhängen. Endlich viele Summanden können beliebig vertauscht werden. Konvergiert eine
Reihe absolut, so können P
auch unendlich
P∞ viele Summanden
P∞ P∞ vertauschtPwerden.
∞
∞
Produkt von Reihen: ( k=0 ak )( j=0 bj ) = k=0 ( j=0 ak bj ) = k=j=0 ak bj .
P∞
P∞
Cauchy-Produktformel: Sind (an ) =
) = n=0 bn zwei absolut konvergente Reihen, so
P∞ n=0 an und (bnP
n
ist deren Produkt (an )·(bn ) = (cn ) = n=0 cn , mit cn = k=0 ak bn−k wiederum eine absolut konvergente
Reihe.
8. Konvergenzkonzepte für Funktionenfolgen (punktweise, gleichmäßig)
Seiten 79-81
Eine Folge von Funktionen (fn ), fn : A →
konvergiert punktweise gegen f : A → , falls für alle
a ∈ A gilt limn→∞ fn (a) = f (a).
Eine Folge von Funktionen (fn ) konvergiert gleichmäßig gegen f , falls limn→∞ supa∈A d(fn (a), f (a)) =
0.
R
R
R
9. Kompakte versus beschränkte Teilmengen in n
Seiten 67-69
Ein topologischer Raum X ist Hausdorffsch, wenn für alle x, y ∈ X mit x 6= y Umgebungen M, N von
x, y existieren mit M ∩ N = ∅
Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in diesem Raum eine konvergente Teilfolge besitzt.
Eine
S Überdeckung eines topologischen Raumes (X, T ) ist eine Familie (Ui )i∈I offener Teilmengen mit
i∈I Ui = X.
Eine Teilüberdeckung von (Ui )i∈I ist eine Überdeckung (Ui )i∈I 0 mit einer Teilmenge I 0 ⊆ I. Ein topologischer Raum heißt quasi-kompakt, wenn jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Wenn er zusätzlich Hausdorffsch ist, dann heißt er kompakt.
10. Sicherer Umgang mit dem Grenzwertbegriff
klar.
11. Relationen zwischen verschiedenen Stetigkeitsdefinitionen (-δ, Vertauschbarkeit mit Grenzwerten)
Seite 57
Die Folgenden Aussagen sind äquivalent: f ist in x metrisch stetig. f ist in x folgenstetig. f ist in x
topologisch stetig.
Beweis: Sei f metrisch stetig und (xn ) eine Folge in A mit xn → x. Sei > 0 gegeben. Dann wählen wir
ein δ > 0 so, dass aus |y − x| < δ folgt |f (y) − f (x)| < . Nun wählen wir n0 ∈ derart, dass aus n ≥ n0
folgt |xn − x| < δ. Nun gilt für n ≥ n0 auch |f (xn ) − f (x)| < .
Sei f folgenstetig und N ⊂
eine Umgebung von f (x). Wir nehmen an, dass f −1 (N ) keine Umgebung
/ N . Folglich gilt xn → x,
von x ist. Dann existiert für jedes n ∈ ein xn ∈ (x − n1 , x + n1 ) ∩ A mit f (xn ) ∈
nicht aber f (xn ) → f (x). Dies ist ein Widerspruch zur Folgenstetigkeit.
Sei nun f in x topologisch stetig und > 0 gegeben. Dann ist N := (f (x) − , f (x) + ) eine Umgebung
von f (x). Folglich ist f −1 (N ) eine Umgebung von x. Also gibt es ein δ > 0 derart, dass (x − δ, x + δ) ∩ A ⊂
f −1 (N ). Damit folgt aus |y − x| < δ, dass |f (y) − f (x)| < .
N
R
N
12. Beschränktheit und gleichmäßige Stetigkeit von Funktionen auf kompakten Mengen
Wikipedia, Stichwort: gleichmäßig stetig“
”
Sei D ⊆ . Eine Abbildung f : D →
heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn (∀ > 0 ∃δ >
0 ∀x, x0 ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ).Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die
gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von D gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.
Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass δ nur von und nicht, wie bei der
punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle x0 abhängt. Anschaulich bedeutet das:
Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite δ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten ; δ geeignet auf dem Funktionsgraphen
entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet.
Beispiel: Wurzelfunktion auf [0, ∞)
R
R
13. Begründung des Vorgehens bei der Kurvendiskussion
KEINE AHNUNG WAS HIER ERWARTET WIRD!!!
14. Begründung zum Konzept der Bogenlänge (etwa Unabhängigkeit von der Parametrisierung, Approximation durch gerade Strecken)
Seiten 108-109
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Seite 9
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R
Gilt für γ0 , γ1 ∈ PC 1 n die Relation γ0 ∼C 1 γ1 , dann ist L(γ0 ) = L(γ1 ).
Beweis: Sei γ0 = γ1 ◦ Φ für eine differenzierbare Abbildung Φ : I → I mit Φ0 > 0. Dann gilt γ00 (t) =
R1
γ10 (Φ(t))Φ0 (t) und kγ00 (t)k = kγ10 (Φ(t))kΦ0 (t). Die Substitutionsregel für das Integral zeigt 0 kγ00 (t)kdt =
R1 0
R1
kγ1 (Φ(t))kΦ0 (t)dt = 0 kγ10 (t)kdt.
0
15. Begründung der Eigenschaften der e-Funktion und der trigonometrischen Funktionen, π
Seiten 50,
P∞ n P∞
P∞ Pn xk yn−k
P∞ 1 Pn
P∞ (x+y)n
m
n!
k n−k
e(x)e(y) = n=0 xn! m=0 ym! = n=0 k=0 (n−k)!k!
= n=0 n!
=
k=0 x y
n=0
k!(n−k)! =
n!
e(x + y)
1
eq = (e b )a = e( 1b )a = e( ab ) = e(q)
Die Funktion cos hat Nullstellen auf [0, ∞).
Beweis: Wir nehmen an cos hätte keine Nullstellen. Dann gilt wegen Zwischenwertsatz und cos(0) = 1,
dass cos(x) > 0 für alle x ∈ . Wegen sin0 = cos folgt, dass sin streng monoton wächst. Da sin 6≡ 0 gilt,
gibt es ein c > 0 derart, dass sin(x) ≥ c für x ≥ 1. Wegen cos0 = − sin gilt dann cos0 (x) ≤ −c für alle x ≥ 1.
Wir betrachten h(x) := cos(x) + c(x − 1) − cos(1). Es gilt für x ≥ 1, dass h0 (x) = − sin(x) + c ≤ 0. Folglich
fällt h monoton. Da h(1) = 0 gilt, ist h(x) ≤ 0 für alle x ≥ 1. Daraus folgt −cx ≥ cos(x) − cos(1) − c ≥
−1 − cos(1) − c für alle x ≥ 1, was unmöglich ist. Also hat cos(x) eine Nullstelle.
Wir definieren die Zahl π := 2 inf{x ∈ [0, ∞)| cos(x) = 0}.
R
16. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wikipedia, Stichwort: Mittelwertsatz Differentialrechnung“
”
Mittelwertsatz: Sei f : [a, b] →
stetig und auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit
0
f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a).
R
17. Umkehrfunktionen, Ableitung der Umkehrfunktionen
Seite 83-84
Ableitung der Umkehrfunktion: Sei U ⊆
ein Intervall, f : U → V streng monoton, stetig und
in x ∈ U differenzierbar mit f 0 (x) 6= 0. Dann ist f −1 : V → U in f (x) differenzierbar und es gilt
(f −1 )0 (f (x)) = f 01(x) .
Beweis: Sei (vn ) eine Folge in V \ f (x) mit vn → f (x). Sei g := f −1 . Wir wissen schon, dass g als
Umkehrfunktion einer streng monotonen stetigen Funktion stetig ist. Dann gilt mit xn := g(vn ) auch
(x))
−x
1
1
xn → x und g(vvnn)−g(f
= f (xxnn)−f
−f (x)
(x) = f (xn )−f (x) → f 0 (x) .
R
xn −x
18. Begründung der Existenz des Integrals für stetige Funktionen
Seiten 98-99
Es gilt C([a, b]) ⊂ R[a, b]. Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
Beweis: Sei > 0 gegeben. Dann wählen wir eine Zerlegung (xi )ni=0 von [a, b] derart, dass xi − xi−1 < b−a
für alle i gilt. Wir setzen weiter Φ(x) := xi−1 , Ψ(x) := xi , x ∈ [xi−1 , xi ). Dann ist (Φ, Ψ) eine Zange von
Rb
id[a,b] . Weiter gilt |Ψ(x) − Φ(x)| < b−a
und deshalb a (Ψ(x) − Φ(x))dx ≤ . Also ist (Φ, Ψ) eine -Zange
von id[a,b] . Da > 0 beliebig klein gewählt werden kann, gilt id[a,b] ∈ R[a, b].
Wir schreiben f = f ◦ id[a,b] und wenden das Theorem an, das besagt, dass die Verkettung einer beliebigen
Funktion und einer riemannintegrierbaren wieder riemannintegrierbar ist.
19. Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
Seite 100
Ry
Rz
Rz
Beweis: Wir betrachten z ∈ [a, b]. Für y > z gilt F (y) − F (z) = a f (x)dx − a f (x)dx = a f (x)dx +
Ry
Ry
Rz
f (x)dx − a f (x)dx = z f (x)dx. Sei M := sup[a,b] |f |. Wir schließen, dass |F (y) − F (z)| < M |y − z|
z
gilt. Daraus folgt die Stetigkeit von F .
Ry
Ry
Wir betrachten nun z ∈ (a, b).R Wir schreiben F (y) = F (z)R + z f (x)dx = F (z) + z (f (z) + (f (x) −
y
(f (x)−f (z))dx
y
(f (x)−f (z))dx
y→z
f (z)))dx = F (z)+f (z)(y−z)+ z
(y−z). Es gilt | z
| ≤ supx∈[z,y] |f (x)−f (z)| −→
y−z
y−z
0
0, da f in z stetig ist. Das zeigt, dass F im Punkt z existiert und F 0 (z) = f (z) gilt. Die Aussage F (a) = 0
ist klar.
20. Sichere und effektive Anwendung von Integrationsmethoden
klar.
21. Begründung der Partialbruchzerlegung
Seiten 105-106
Bemerkung: Definitiv ein sehr schöner Beweis...
22. Oktober 2008
Seite 10
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22. Konvergenzkonzepte für uneigentliche Integrale
Seite 102
Rc
Der Punkt b sei Häufungspunkt des Definitionsbereiches (a, b) einer Funktion f . Wenn limc→b a f (x)dx
Rb
Rc
existiert, dann heißt dieser Wert a f (x)dx = limc→b a f (x)dx uneigentliches Integral von f . Analog
definiert man das uneigentliche Integral einer Funktion (a, b] → ∞.
23. Begründung der Taylorformel mit Restglied
Seite 91
Beweis: Wir definieren M ∈
durch r(y) = f (z) − P (z) = M (y − x)n+1 . Dann setzen wir g(z) :=
n+1
f (z) − P (z) − M (z − x)
. Es gilt g (n+1) (z) = f (n+1) (z) − P (n+1) (z) − (n + 1)!M = f (n+1) (z) − (n + 1)!M .
(n+1)
Es ist zu zeigen, dass g
(z) eine Nullstelle in (y, x) hat. Wir nehmen an, dass y < x ist. Es gilt für
k = 0, . . . , n, dass g(k)(x) = 0. Desweiteren gilt nach der Konstruktion von M auch g(y) = 0. Folglich
gibt es ein ξ1 ∈ (y, x) mit g (1) (ξ1 ) = 0. Wir schließen nun, dass es ein ξ2 ∈ (ξ1 , x) ⊂ (y, x) mit g (2) (ξ2 ) = 0
gibt. Wir fahren so induktiv fort, bis wir ein ξ ∈ (y, x) mit g (n+1) (ξ) = 0 finden.
R
24. Die Supremumsmetrik auf Räumen reellen Funktionen
Seite 63
Für ein f ∈ C([a, b]) definieren wir die Supremumsnorm als kf k := supx∈[a,b] |f (x)|.
R
25. topologische Grundbegriffe für Teilemengen des n (offen, abgeschlossen, Abschluss, Rand, Häufungspunkt)
Seite 76
Eine Teilmenge U ⊆
heißt offen, wenn für jedes x ∈ U ein > 0 existiert, sodass (x − , x + ) ⊂ U .
Eine Teilmenge V ⊆ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement \ V offen ist.
Sei X ein topologischer Raum und E ⊂ X eine Teilmenge. Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt von
E, wenn jede Umgebung von x ∈ X einen nichtleeren Durchschnitt mit E hat. Eine Topologie auf einer
Menge X ist eine Teilmenge T ⊆ P(X) mit:
R
R
R
(a) ∅, X ∈ T
(b) T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten.
(c) T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen.
26. Konzept der Vollständigkeit metrischer Räume
Seite 61
Wir nennen einen metrischen Raum vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert.
27. Banachräume von Funktionen mit sup-Norm
Seite 112
Ein normierter Vektorraum (E, k.k) (über ), welcher als metrischer Raum (mit d(x, y) := kx − yk)
vollständig ist, nennet man einen reellen Banachraum.
Wenn (B, k.k) ein Banachraum ist, dann ist kf kC(X,B) := supx∈X kf (x)k wieder eine Norm auf dem
Vektorraum C(X, B), der dann wieder ein Banachraum ist.
R
28. lineare Abbildungen zwischen Banachräumen, Stetigkeit und Beschränktheit
KEINE AHNUNG WAS HIER ERWARTET WIRD!!!
29. Die Beziehung zwischen Ableitung, partieller Ableitung und Richtungsableitung für Funktionen mehrerer
Veränderlicher
Seite 130
Eine Funktion f heißt auf U differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt u ∈ U differenzierbar ist. Sie ist
auf U stetig differenzierbar, wenn U 3 u 7→ df (u) ∈ B(E, F ) stetig ist.
Sei E = n . Die Funktion F heißt auf U partiell differenzierbar, wenn ∂i f (u) für alle u ∈ U und i = 1, . . . , n
existiert. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, wenn U 3 u 7→ ∂i f (u) ∈ F stetig ist für i = 1, . . . , n.
Sei U ⊂ n . Die Funktion f : U → F ist genau dann stetig differenzierbar, wenn sie stetig partiell
differenzierbar ist.
R
R
30. Begründung der Ableitungsregeln
Seite 82-84
Beweis der Kettenregel: Wir schreiben: f (y) = f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x), g(u) = g(f (x)) −
g 0 (f (x))(u − f (x)) + s(u)(u − f (x)). Dann gilt: g(f (y)) = g(f (x)) + g 0 (f (x))(f (y) − f (x)) + s(f (y))(f (y) −
f (x)) = g(f (x)) − g 0 (f (x))(f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x)) + s(f (y))(f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x)) = g(f (x)) +
g 0 (f (x))f 0 (x)(y −x)+[r(y)+s(f (y))(f 0 (x)+r(y))](y −x) mit limy→x [r(y)+s(f (y))(f 0 (x)+r(y))] = 0.
22. Oktober 2008
Seite 11
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Prüfungsthemen - Analysis I+II
Beweis der Produktregel: Wir schreiben: f (y) = f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x), g(y) = g(x) +
g 0 (x)(y − x) + s(y)(y − x). Dann gilt: (f g)(y) = (f (x) + f 0 (x)(y − x) + r(y)(y − x))(g(x) + g 0 (x)(y − x) +
s(y)(y−x)) = f (x)g(x)+[f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x)](y−x)+[f (x)s(y)+g(x)r(y)](y−x) mit limy→x [f (x)s(y)+
g(x)r(y)] = 0.
31. Formulierung des Fixpunktsatzes für Kontraktionen, Nachprüfen der Kontraktionseigenschaft in Beispielen
Seite 141
Sei (X, d) ein metrischer Raum, U ⊆ X und f : U → X. f heißt Kontraktion, wenn es eine Konstante
c ∈ [0, 1) gibt, sodass d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y) für alle x, y ∈ X gilt.
Ein Punkt u ∈ U heißt Fixpunkt von f , wenn f (u) = u gilt.
Fixpunktsatz: Eine Kontraktion hat höchstens einen Fixpunkt.
Beweis: Sei c wie oben. Seien x, y ∈ U Fixpunkte. Dann gilt d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y). Diese
Gleichung kann aber nur für d(x, y) = 0, also x = y gelten.
32. Satz über implizite Funktionen und die Umkehrfunktion (Formulierung und Anwendungen)
Seiten 142-145
Seien E, F Banachräume, U ⊆ E offen, f : U → F stetig differenzierbar, u ∈ U .
Satz über die Umkehrfunktion: Ist df (u) : E → F beschränkt invertierbar, dann existieren Umgebungen x ∈ V ⊆ U und f (x) ∈ W ⊆ F und eine stetig differenzierbare Abbildung g : W → V derart, dass
g ◦ f = idV und f ◦ g = idW gilt.
Satz über implizite Funktionen: Wenn d1 p(e, f ) invertierbar ist, dann gibt es offene Umgebungen
e ∈ Ṽ ⊆ V und f ∈ W ⊆ F derart, dass für jedes y ∈ W genau ein x ∈ Ṽ existiert mit p(x, y) = 0. Die so
durch p(g(y), y) ≡ 0 eindeutig bestimmte Abbildung g : W → Ṽ ist in f stetig differenzierbar und es gilt
dg(e) = −d1 p(e, f )−1 ◦ d2 p(x, y).
Beispiel: Betrachte Funktion f : 2 → , (x, y) 7→ ey−1 − cos(y − x) und den Punkt (x0 , y0 ) = (1, 1).
Zu zeigen soll sein, dass es auf einer Umgebung U von x0 eine stetig differenzierbare Funktion φ gibt, für
die f (x, y) = 0 ⇔ y = φ(x) gilt. Und φ0 (1) soll bestimmt werden.
y−1
+
Die Funktion f ist offensichtlich stetig differenzierbar. Außerdem ist f (1, 1) = 0 und ∂f
∂y (x, y) = e
R
R
sin(y − x), also ∂f
∂y (1, 1) = 1 6= 0. Nun liefert der Satz über implizite Funktionen eine stetig differenzierbare
Funktion φ mit den gewünschten Eigenschaften.
− sin(φ(x)−x)
−1 ∂f
Für die Ableitung von φ gilt φ0 (x) = −( ∂f
∂y (x, φ(x)))
∂x (x, φ(x)) = − eφ(x)−1 +sin(φ(x)−x) . Insbesondere
0
folgt φ (1) = 0.
33. Untermannigfaltigkeiten (Beispiele wie SO(n)), Konzept des Tangentialraumes
Seiten 148, 150
Die Untergruppe SO(n) ⊂ O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension n(n+1)
. In der Tat, die
2
Menge U := {det(A) > 0} ⊂ Mat(n, n) ist offen, und (U, f|U ) definiert SO(n).
Sei M ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension k und m ∈ M . Der von der Wahl der definierenden
Funktion (U, f ) von M bei m unabhängige Raum Tm M := ker(df (m)) heißt Tangentialraum von M an
m.
Zwei lineare Unterräume V, W ∈ E eines endlich dimensionalen Vektorraumes heißen transversal (wir
schreiben V t W ), wenn dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ) − dim(E) gilt.
Zwei Untermannigfaltigkeiten M, N ⊆ E sind zueinander transversal, wenn für jeden Punkt x ∈ M ∩ N
gilt Tx M t Tx N .
34. Beschreibung von Untermannigfaltigkeiten durch Immersionen
Seite 149
f ist eine Immersion, wenn df (u) für alle u ∈ U injektiv ist. Die Abbildung f ist eine Einbettung, wenn
f eine Immersion ist und f : U → f (U ) ein Homöomorphismus.
Ist f : U → E eine Einbettung, dann ist f (U ) ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit. Es gilt Tf (u) f (U ) =
imdf (u).
35. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen - Begründung
Seiten 150-153
Sei E ein endlich-dimensionaler Vektorraum, M ⊆ E eine Untermannigfaltigkeit, U ⊆ E offen und
f : U → . Die Funktion f hat ein lokales Extremum mit Nebenbedingung M , falls f|M ∩U ein
lokales Extremum hat.
Wenn f in m ∈ M ein lokales Extremum mit Nebenbedingung M hat, dann gilt df (m)(Tm M ) = 0
Beweis: Wir nehmen o.B.d.A an, dass m = 0. Wir wählen eine Aufspaltung E = T0 M ⊕ N und Umgebungen V ⊆ T0 M und W ⊆ N , sowie eine Abbildung g : V → W derart, dass M ∩ (V × W ) = Γ(g)
gilt und dg(0) = 0. Dann ist Φ : V → M ∩ (V × W ), Φ(x) = (x, g(x)) eine Einbettung. Die Abbildung
R
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Φ∗ f hat in 0 ein lokales Extremum. Also gilt 0 = d(Φ∗ f ) = df (0) ◦ dΦ(0). Die Behauptung folgt nun aus
im(dΦ(0)) = T0 M .
Wenn die Funktion f in m ∈ M ein lokales Extremum mit Nebenbedingung in M hat, dann existiert ein
λ ∈ F 0 derart, dass λ ◦ dΦ(m) = df (m). Die Linearform λ heißt Langrangescher Multiplikator. Um
also die lokalen Extremwerte mit Nebenbedingung in M = {Φ = 0} zu finden, müssen wir insbesondere
das im allgemeinen nichtlineare Gleichungssystem Φ(x) = 0, df (x) = λ ◦ dΦ(x) für (x, λ) ∈ U × F 0 lösen.
36. Formulierung des Satzes über die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven
Seite 162
Seien (M, dM ) und (N, dN ) metrische Räume. Eine Abbildung X : M → N heißt Lipschitzstetig, wenn
es eine Konstante C > 0 gibt, sodass für alle a, b ∈ M gilt dN (X(a), X(b)) ≤ CdM (a, b). Die Zahl C heißt
Lipschitzkonstante für X.
Sei (V, k . . . kV ) ein reeller Banachraum und U ⊆ V offen und x ∈ U . Wir nehmen an, dass X Lipschitzstetig ist. Dann existiert ein 0 > 0 derart, dass es für jedes ∈ (0, 0 ) genau eine auf I := (−, ) defnierte
Integralkurve f : I → U mit f (0) = x gibt.
37. Konzept: maximale Integralkurven
Seite 165
Sei U ⊆ V offen, x ∈ U und X : U → V ein Vektorfeld. Sei 0 ∈ J ⊆ ein offenes Intervall. Ist g : J → U
eine Integralkurve des Vektorfeldes und I ⊆ J ein offenes Teilintervall mit 0 ∈ I, dann ist g|I : I → U
auch eine Integralkurve. Wir betrachten auf der Menge der Integralkurven des Vektorfeldes X mit Anfang
x die folgenden partielle Ordnung.
Es gilt (f : I → U ) ≤ (g : J → U ), falls I ⊆ J und f = g|I ist.
Unter den Voraussetzungen von oben gibt es genau eine maximale Integralkurve f : I →
mit
f (0) = x.
R
R
38. Bedingungen für die Existenz von Integralkurven für große Zeiten
KEINE AHNUNG WAS HIER ERWARTET WIRD!!!
39. Formulierung von Aussagen über die Abhängigkeit von Anfangsbedingungen oder Parametern
Seite 175
Wir betrachten einen endlich-dimensionalen Vektorraum V und eine offene Teilmenge U ⊆ V . Sei X : U →
V ein Lipschitz-stetiges Vektorfeld mit Lipschitzkonstante CX . Für x ∈ U sei Φ(x) : Ix → U , t 7→ Φt (x),
die eindeutige maximale Integralkurve mit Φ0 (x) = x.
Sei xT∈ U . Dann existiert eine Umgebung W ⊆ U von x und ein Intervall I ⊆
mit 0 ∈ I derart, dass
I ⊂ v∈W Iv und Φ : W × I → V , (w, t) 7→ Φt (w), stetig ist.
Es gibt eine Konstante CY derart, dass Y (p, .) Lipschitz-stetig mit Konstanten CY für alle p ∈ P ist.
Sei xT∈ U . Dann existiert eine Umgebung W ⊆ U von x und ein Intervall I ⊆
mit 0 ∈ I derart, dass
I ⊂ v∈W Iv und W × I 3 (x, t) 7→ Φt (x) ∈ V k-mal stetig differenzierbar ist.
R
R
40. Idee der Ljapunovfunktion
Seite 167
Ein Abbildung L : M → N zwischen topologischen Räumen M und N heißt eigentlich, falls für jede
kompakte Teilmenge K ⊆ N das Urbild f −1 (K) ⊆ M kompakt ist.
Sei − := [−∞, ∞). Eine Ljapunovfunktion für X ist eine differenzierbare Abbildung L : U →
mit
folgenden Eigenschaften:
R̄
R
(a) Für alle x ∈ U gilt die Ungleichung dL(x)(X(x)) ≤ 0.
(b) L : U →
R̄− ist eigentlich.
41. Erhaltungsgrößen und deren Anwendung
Wikipedia, Stichwort: Erhaltungsgröße“
”
Erhaltungsgrößen sind nichtkonstante Funktionen derjenigen Größen des betrachteten physikalischen Systems, die man beim Start mit unterschiedlichen Werten vorgeben kann, beispielsweise Orte und Geschwindigkeiten von Teilchen oder Feldstärken. Diese Größen ändern sich nach dem Start. Erhaltungsgrößen sind
solche Funktionen dieser sich ändernden Größen, die sich mit der Zeit nicht ändern, sondern ihren Startwert behalten.
42. Eigenschaften von Gradientenfeldern
Seite 192-193
Sei X = − grad(U ) für ein Potential U : n → n . Für x ∈ n ist entweder ω(x) = 0 oder ω(x) besteht
aus stationäreren Punkten von X. Eine analoge Aussage gilt für α(x).
Ein Gradientenvektorfeld im n hat keine periodischen Orbits.
R
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43. Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Seite ???
klar
44. Elemente der Theorie linearer Differentialgleichungen (Lösungsraum, Fundamentalmatrix)
Seite 184
Lösungsraum: NOCH IM SKRIPT SUCHEN!!! Die Abbildung Φ : → Mat(n, n) heißt Fundamentalmatrix der Gleichung f 0 = Af .
R
45. Lösung von Differentialgeichungen durch Trennung der Variablen
Seite ???
klar
46. Klassiffikation kritischer Punkte von Vektorfeldern
Seite 192
Der stationäre Punkt 0 von X ist:
(a) stabil, falls <(λ0 ) < 0, <(λ1 ) < 0, z.B.: A =
(b) hyperbolisch, falls λi ∈
−1 0
0 −1
R, λ0, λ1 < 0, z.B.: A =
−1 0
0 1
(c) instabil, falls <(λ0 ) > 0, <(λ1 ) > 0, z.B.: A = ( 10 01 )
47. Konzept des Flusses, Beziehung zwischen Flüssen und Vektorfeldern
Seiten 175-176
Sei V ein topologischer Raum. Ein lokaler (Halb-)Fluss auf V ist durch folgende Daten gegeben:
(a) Eine offene Teilmenge D ⊆
R × X (oder D ⊆ [0, ∞) × X für einen Halbfluss) mit {0} × V ⊂ V .
(b) Eine stetige Abbildung Φ : D → V , (t, v) 7→ Φt (v).
Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
(a) Φ0 = idV : V → V .
(b) Für jedes x ∈ V ist {t ∈
R|(t, x) ∈ D} ein (offenes) Intervall in R (oder in [0, ∞) für einen Halbfluss).
(c) Wenn (s, Φt (x)) ∈ D und (t + s, x) ∈ D, dann gilt Φt+s (x) = Φs (Φt (x)).
48. Invariante Mengen, α- und ω-Mengen als invariante Mengen
Seiten 189-190
Stationäre Punkte undgeschlossene Orbits sind invariant.
Die Mengen ω(x) und α(x) sind invariant.
Beweis: Sei y ∈ ω(x). Dann existiert eine Folge (tn ) mit tn → ∞ und Φtn (x) → y. Sei s ∈ . Dann ist
Φs (y) = limn→∞ Φs (Φtn (x)) = limn→∞ Φtn +s (x) und damit Φs (y) ∈ ω(x). Die Invarianz von α(x) zeigt
man analog.
R
49. Beispiele für Vektorfelder mit periodischen Orbits
Seite 193
0 1
Das Vektorfeld X(x) := Ax mit A := −1
0 hat ausschließlich periodische Orbits.
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Fundierte mathematische Kenntnisse
Für ein sehr gutes Ergebins muss man fundierte Fähigkeiten und Kenntnisse nachweisen.
1. Konstruktion der reellen Zahlen (z.B. Dedekindsche Schnitte)
2. Begründung für Umordnungssätze für Reihen
3. Begründung für Vertauschen von Grenzwerten und Reihen
4. Topologische und metrische Grundbegriffe und deren Relationen untereinander, Anwendung in Beispielen
5. Begründung der Vollständigkeit von Funktionenräumen mit Supremumsnorm
6. Kompaktkeit in Funktionenräumen, Formulierung des Satzes von Ascoli
7. Vervollständigung metrischer Räume (zum Beispiel
R = Q̄)
8. Vertauschbarkeit von Summen und Ableitung - Beründung von Kriterien und deren Anwendung
9. Begründung für Zwischenwertsätze
10. Begründung für Existenz und Eigenschaften von Umkehrfunktionen
11. Integral als stetiges Funktional
12. Sicherer Umgang mit uneigentlichen Integralen
13. Duale normierte Vektorräume und normierte Räume beschränkter linearer Abbildungen
14. Invertieren linearer Abbildungen als stetige und differenzierbare Abbildung
15. BegrÄundung der Relationen zwischen den verschiedenen Ableitungsbegriffen
16. Beweis der Symmetrie der partiellen Ableitungen
17. Beweis der Taylorformel, Anwendungen
18. Beweis des Fixpunktsatzes für Kontraktionen
19. Sichere Anwendung der Sätze über Umkehrfunktion und implizite Funktion in Beispielen
20. Idee des Beweises des Satzes über Umkehrfunktion
21. Idee des Beweises des Satzes über implizite Funktionen
22. Nachweis der lokalen Struktur von Untermannigfaltigkeiten (Darstellung als Graph, Invarianz des Tangentialraumes)
23. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen: Begründung der Methode der Langrageschen Multiplikatoren
24. Sicherer Umgang mit dem Begriff der Lipschitzstetigkeit
25. Idee des Beweises Äuber die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven
26. Beweis der Existenz maximaler Integralkurven
27. Umgang mit und Begründung von Kriterien für die Langzeitexistenz von Integralkurven
28. Begründung stetiger oder differenzierbarer Abhängigkeit von Anfangsbedingungen und Parametern
29. Effektiver Umgang mit Erhaltungsgrößen
30. Effektive Bestimmung des qualitativen Verhaltens im Phasenraum
31. Stabilitätsbegriffe
32. Lineare Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten
33. Flussboxen und lokale Struktur in der Nähe von Transversalen
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