Serie1

Analysis 3b, Serie 01
Gregor Milicic, 529087
Paul Boeck, 528997
Übungsgruppe Lehmann, Mo 13-15
Aufgabe 1.1
Es ist A1 = [1, 2] und A2 = [3, 4]. Da diese Mengen disjunkt sind, gilt
Aσ ({A1 , A2 }) = ∅, R, A1 , A2 , Ac1 , Ac2 , A1 ∪ A2 , (A1 ∪ A2 )c
Nun sind alle Komplemente enthalten und alle Vereinigungen enthalten. Da die Mengen disjunkt sind, gilt A1 ∪ Ac2 =
Ac2 und analog für alle weiteren Vereinigungen, die nicht aufgeführt sind.
1
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Paul Boeck, 528997
Analysis 3b, Serie 01
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Aufgabe 1.2
Da die rationalen Zahlen Q dicht in R liegen, findet sich zu jedem a ∈ R eine Folge (qn )n∈N , sodass limn→∞ pn = a
und analog limn→∞ qn = b.
Betrachte also ein beliebiges Intervall (a, b) mit a < b und a, b ∈ R mit pn > a und qn < b für alle n ∈ N. Da
(qn , ∞) ∈ A, gilt auch
∞
[
lim
(pn , ∞) = (a, ∞) ∈ A da A
n→∞
n=1
c
σ–Algebra ist =⇒ (a, ∞) = (−∞, a] ∈ A. Außerdem ist (bn , ∞)c = (−∞, bn ] ∈ A, und damit auch
∞
[
(−∞, bn ] = (−∞, b) =⇒ (−∞, b)c = [b, ∞) ∈ A =⇒ ((−∞, a] ∪ [b, ∞))c = (a, ∞) ∩ (−∞, b) = (a, b) ∈ A
n=1
2
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Aufgabe 1.3
Damit A eine σ–Algebra ist, muss gelten:
i) ∅ ∈ A (nichtleer)
ii) A ∈ A =⇒ Ac ∈ A
iii) ∀i ∈ N : Ai ∈ A =⇒
S
i∈N
Ai ∈ A.
Es ist f : X → Y eine Abbildung, A eine σ–Algebra auf X, B eine σ–Algebra auf Y .
a)
(i) Es sind ∅, Y ∈ f∗ A, da f −1 (∅) = ∅ ∈ A und f −1 (Y ) = X ∈ A.
(ii) Analog gilt für ein beliebiges E ∈ f∗ A, dass E c ∈ f∗ A, da f −1 (E c ) = f −1 (E)c ∈ A (weil auch f −1 (E) ∈ A).
(iii) Ebenso gilt für die Vereinigung zweier Mengen V, W ∈ f∗ A, dass V ∪ W ∈ f∗ A, da f −1 (V ∪ W ) =
f −1 (V ) ∪ f −1 (W ) ∈ A. Diese Aussage lässt sich sofort auf abzählbar viele Vereinigungen übertragen,
wodurch alle Eigenschaften der σ–Algebra gezeigt sind.
b)
(i) Sofort ersichtlich ist wieder, dass ∅, X ∈ f −1 B.
(ii) Sei f −1 (B) ∈ f −1 B =⇒ B ∈ B =⇒ B c ∈ B =⇒ f −1 (B c ) ∈ f −1 B
S
S
(iii) S
Ebenso gilt für f −1 (Bi ) ∈ f −1 B ∀i ∈ N, dass Bi ∈ B =⇒ i∈N Bi ∈ B =⇒ f −1 ( i∈N Bi ) ∈ f −1 B =⇒
−1
(Bi ) ∈ f −1 B, da die Urbilder disjunkter Mengen wieder disjunkt sind.
i∈N f
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Aufgabe 1.4
a)
i) Für zwei Mengen A und B gilt
∗
µ (A) = inf
n
X
n
[
(bk − ak ) : A ⊂
!
(ak , bk )
k=1
k=1
∗
µ (B) = inf
m
X
(bk − ak ) : A ⊂
m
[
(ak , bk )
k=n+1
k=n+1
!
Dann gilt für die Vereinigung mit genau den Intervallen, die durch µ∗ ausgewählt wurden:
!
!
n
m
m
[
[
[
A∪B =
(ak , bk ) ∪
(ak , bk )
(ak , bk ) =
k=1
k=1
k=n+1
Damit gilt
∗
∗
µ (A) + µ (B) =
m
X
(bk − ak ) ≥ inf
k=1
m
X
!
(bk − ak )
k=1
= µ∗ (A ∪ B)
ii)
b) Die Menge A = Q ∩ [0, 1] ist überdeckbar durch die Familie von abzählbar vielen Intervallen Ik = (q − ε, q + ε)
um jede der (abzählbar vielen) rationalen Zahlen in A. Damit gilt für jedes Intervall |Ik | = 2ε. Also gilt
!
X
[
X
X
µ(A) = µ
µ(Ik ) =
Ik ≤
2ε −−−→
0=0
ε→0
k
k
k
4
k
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Aufgabe 1.5
a) Damit µ ein Maß ist, muss µ(∅) = 0 sein. Da die µk Maße sind, bilden auch diese auf 0 ab, so dass gilt
µ(∅) =
∞
X
ak µk (∅) =
∞
X
ak · 0 = 0
k=1
k=1
Außerdem muss die Additivität erhalten bleiben. Für eine disjunkte Familie Ai
!
!
∞
∞
∞
∞ X
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
[
X
[
µ(Ai )
ak µk (Ai ) =
ak
µk (Ai ) =
Ai =
ak µk
µ
Ai =
i=1
i=1
k=1
k=1
i=1
i=1 k=1
i=1
b) Damit µ = limn→∞ µn ein Maß ist, muss gelten
µ(∅) = lim µn (∅) = lim 0 = 0
n→∞
n→∞
Außerdem muss die σ–Additivität gelten:
µ(
∞
[
i=1
Ai ) = lim (
n→∞
∞
[
i=1
Ai ) = lim
n→∞
∞
X
i=1
5
µn (Ai ) =
∞
X
i=1
lim µn (Ai ) =
n→∞
∞
X
i=1
µ(Ai )
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Aufgabe 1.6
Betrachte eine Zerlegung in abzählbar viele disjunkte Quader Qk mit Kantenlänge
1
n.
Da µ ein Maß ist, gilt
[
X
1 = µ(Rn ) = µ( Qk ) =
µ(Qk ) =⇒ ∃!k : µ(Qk ) = 1
k
k
Wähle also genau den Quader mit µ(Qk ) = 1 und teile diesen wieder in Quader mit Kantenlänge n12 . Dies kann
beliebig oft wiederholt werden. Im jten Schritt ist die Kantenlänge n1j . Für j → ∞ ist die Kantenlänge also beliebig
klein und kann als Menge mit nur einem Element, x, aufgefasst werden. Dann ist µ({x}) = 1. Mit x ∈ A, A ⊂ Rn
beliebig ist dann µ(A) = 1, da {x} ⊂ A gilt,Sund dann auch
/ A, ist
T laut Monotonie 1 = µ({x}) ≤ µ(A) gilt. Mit x ∈
dann µ(A) = 0, da nach De Moivre gilt µ(A {x}) + µ(A {x}) = µ(A) + µ({x}) ⇔ 1 + 0 = µ(A) + 1 ⇔ µ(A) = 0.
6