Kerne und Teilchen
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Kerne und Teilchen Moderne Physik III Vorlesung # 4 Guido Drexlin, Institut für Experimentelle Kernphysik 2.3 Kernmodelle - Schalenmodell - Struktur der Kernkräfte - LS-Kopplung - Nukleon-Nukleon Potential - Austauschkräfte: Pionen und Mesonen Wiederholung: ● Fermigasmodell Nukleonen bilden im Kerngrundzustand bei T = 0 K ein ´Fermigas´ von wechselwirkungsfreien Teilchen, da alle Fermion-Zustände bis zur Fermi-Energie EF besetzt sind Bestimmung der Fermi-Energie EF bzw. des Fermi-Impulses pF aus der Quantenstatistik eines Fermigases: für Kerne mit Z = N = A/2 ⎛ 9π ⎞ pF = ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ 1/ 3 h ≈ 250 MeV / c R0 Neutronenpotenzial 7-8 MeV VC Protonenpotenzial FermiNiveau EF ~33 MeV Potenzial V0 ~ 40 MeV, unabhängig von Massenzahl A (vgl. freies Elektronengas) kinetische Energie der Nukleonen ist Symmetrieeffekt in der gleichen Größenordnung wie das Kernpotential: EF ~ V0 Coulombeffekt ● Tröpfchenmodell Tröpfchenmodell von C.F. v. Weizsäcker: semiempirische Massenformel ª Bindungsenergie pro Nukleon B(Z,A) = aV · A - aS · A2/3 - aC · Z2 · A1/3 - aA · (N – Z)2 / A + δ(Z,A) - Volumenterm: Kondensation - Oberflächenterm: weniger Partner - Coulombterm: Protonenladung - Asymmetrie-Term: Ferminiveaus - Paarungs-Term: antiparalleler Spin bei bestimmten magischen Protonenzahlen Z & Neutronenzahlen N verbleiben Abweichungen zwischen dem Experiment & der Massen-Formel des Tröpfchenmodells: Resultat der Schalenstruktur der Kerne ● Schalenmodell Kerne mit den magischen Protonen- oder Neutronen-Zahlen N=28 N=2 N=8 Z=8 Z=2 N=20 Z=20 Z doppelt magische Kerne Z=50 N=50 Z=28 Z=82 N=82 verfügen über spezielle Eigenschaften: - hohe Bindungsenergien / Separationsenergien - viele Isotope (Isotone) bei gleichem Z (N) - relative Häufigkeit der Kerne - hohe Anregungsenergie des ersten angeregten Zustands - kleine n-Einfangquerschnitte - ß-Zerfall N=126 Z oder N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 stabil N Maria Goeppert-Mayer (1906-1972) Nobelpreis 1963 Experimentelle Befunde Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Massenformel: hohe Bindungsenergie bei magischen Zahlen 12 doppeltmagisch Energie [MeV] doppelt magische Kerne: 4He, 16O, 40Ca, 72Ge,… 208Pb 50 132Sn 28 20 8 -4.64 8 20 28 500 50 82 126 doppeltmagisch 82 Energie [keV] Energie des ersten angeregten Kernniveaus mit JP = 2+ : hohe Anregungsenergie bei magischen Zahlen 82 50 28 20 0 8 8 20 28 50 82 126 Kernpotentiale Analogie zu magischen Zahlen der Atomphysik (Z = 2, 10, 18, 36, 54, 80, 86) dort wird ein Potenzial erzeugt durch langreichweitiges Coulombfeld –Z e2/r Ansatz in der Kernphysik: Aufstellung eines mittleren Kernpotenzials V(r), in dem sich die einzelnen Nukleonen (wechselwirkungsfrei) bewegen Methode: Lösung der Schrödinger-Gleichung für Modellpotenzial V(r) u(r) folgt aus radialem Anteil der Schrödinger-Gleichung ⎛ 1 l ⋅ ( l + 1) Δ u + ⎜⎜ E − V ( r ) − 2 M ⋅ r 2M N 2 N ⎝ ⎞ ⎟⎟ u = 0 ⎠ Zentrifugalterm Hauptquantenzahl n, Drehimpuls ℓ = 0,1,2,3,… (s,p,d,f…) magnet. Quantenzahl m Vergleich der Energieniveaus (Schalenabschlüsse) mit den beobachteten magischen Zahlen, ª Anpassung des Modellpotenzials - Kastenpotenzial, harmonischer Oszillator, Woods-Saxon-Potenzial Modell 1: harmonischer Oszillator Nukleonen befinden sich in einem Potenzial V(r) eines harmonischen Oszillators mit Tiefe V0 ~ 40 MeV Wellenfunktionen harmonischer Oszillator Energie [MeV] 40 30 20 1i 2g 3d 4s 168 6 1h 2f 3p 112 5 1g 2d 3s 70 4 1f 2p 40 3 1d 2s 20 2 1p 10 0 1s ħω 8 2 1 0 Nukleonen befinden sich in einem Potenzial V(r) eines harmonischen Oszillators mit Tiefe V0 ~ 40 MeV quasiklassiche Bewegung eines Nukleons im Oszillatorpotential harmonischer Oszillator Energie [MeV] 40 30 20 1i 2g 3d 4s 168 6 1h 2f 3p 112 5 1g 2d 3s 70 4 1f 2p 40 3 1d 2s 20 2 1p 10 0 1s ħω 8 2 1 0 Oszillatorpotenzial V(r) = ½ MN ω2 r2 – V0 ħω – Schale: 2 · (n – 1) + ℓ Enℓ = - V0 + (2 n + ℓ + ½) ħω ħω n ℓ 0 1 0 1s 2 1 1 1 1p 8 2 2 1 2 1 0 2 1 3 2s 1d 2p 1f 3 Zustand Σ 2(2ℓ+1) 20 40 Modell 2: Kastenpotential Nukleonen befinden sich in einem Kasten-Potential V(r) mit einer endlichen Tiefe V0 ~ 40 MeV (Tiefe gegeben durch Fermigas-Modell) Kastenpotenzial Energie [MeV] 40 30 20 10 0 3p 1i 2f 138 132 3s 1h 2d 92 1g 2p 1f 2s 1d 68 58 40 34 20 18 1p 1s 8 2 V(r) = - V0 für r < R für ℓ = 0 V(r) = 0 für r > R Zentrifugalterm R V0 4s 3s 2s 1s 4p 3p 2p 1p 3d 2d 1d 3f 2f 1f 1s 1p 1d 1f 2s 2p 2d 2f 3s 3p 3d 3f Σ 2 (2 ℓ + 1) = Summe der Nukleonen bis zu einzelnen Schalen Nukleonen befinden sich in einem Kasten-Potential V(r) mit einer endlichen Tiefe V0 ~ 40 MeV (Tiefe gegeben durch Fermigas-Modell) Energie [MeV] Kastenpotenzial 40 3p 1i 2f 138 132 30 3s 1h 2d 92 20 10 0 1g 2p 1f 2s 1d 68 58 40 34 20 18 1p 1s 8 2 - Energieniveaus Ei aus den Nullstellen der sphärischen Bessel-Funktion jℓ - Schalenabschlüsse stimmen für schwere Kerne nicht mehr mit den beobachteten magischen Zahlen überein (.., 50, 82, 126,…) Σ 2 (2 ℓ + 1) = Summe der Nukleonen bis zu einzelnen Schalen Modell 3: Woods – Saxon Potential Ansatz: benutze Saxon-Woods Dichteverteilung ρ(r) [s. Kernformfaktoren], Woods-Saxon Potential: Verlauf folgt der Verteilung der Nukleonen im Kern, V(r)Woods-Saxon liegt zwischen harmonischem Oszillator & Kastenpotential rel. Potenzial V(r) / V0 V0 V (r ) = 1 + e(r −a) / d a: Kernradius (a ~ A1/3) d: Skindicke (~ 0.5 fm) 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0 1 2 3 4 5 6 7 Radius r [fm] 8 - Energie-Eigenwerte des Woods-Saxon Potentials liegen zwischen denen des Kastenpotentials & des harmonischen Oszillators - ´magische Zahlen´ für schwere Kerne Kerne stimmen nicht mit gemessenen Zahlen überein - weitere phys. Effekte: was ist die genaue Struktur der Kernkräfte? 6 Woods-Saxon Potential ist N 112 Ausgangspunkt zur Beschreibung der 5 Kernkräfte, aber weitere Terme ! 70 wichtige Erkenntnis (vgl. Atomphysik): 4 auch bei Kernkräften Kopplung von Bahndrehimpuls ℓ und Spin s 40 r J 3 20 8 r s 2f 1h 3s 50 1f 28 20 1d 2 harmonischer Oszillator 3p 1/2 2f 5/2 3p 3/2 1i 13/2 1h 9/2 2f 7/2 1h 11/2 2d 3/2 3s 1/2 1g 7/2 2d 5/2 1g 9/2 2p 1/2 1f 5/2 2p 3/2 1f 7/2 1d 3/2 2s 1/2 1d 5/2 8 1p 1/2 1p 3/2 1p 1 0 82 2d 1g 2p 2s 2 r l 126 2 1s ℓ 1s 1/2 Spin-Bahn Kopplung ℓ · s Struktur der Kernkräfte Untersuchung des Deuteron: einfachstes gebundenes System aus zwei Nukleonen (Di-Proton & Di-Neutron sind ungebunden) n Eigenschaften des Deuterons (Grundzustand) Bindungsenergie B = - 2.225 MeV Spin & Parität JP = 1+ Isospin I=0 magnetisches Moment µ = 0.857 µNukleon ≠ µP + µn elektr. Quadrupolmoment Q = 0.282 e fm2 p up: I3 = +½, down: I3 = -½ nicht kugelsymmetrisch Eigenschaften des Deuterons: Spin: J = 1 ª Spins von Proton & Neutron sind parallel, Triplettzustand × × vorwiegend in Zustand mit L = 0 (96%), d.h. 3S1 [ 2S+1LJ ] kleine D-Beimischung (4%), d.h. 3D1 Struktur der Kernkraft ist deutlich komplexer als die Struktur z.B. der Coulombkraft/Newtonschen Gravitation (Zentralpotenziale) - ergibt sich aus ihrer Struktur als Restwechselwirkung von farbneutralen Nukleonen (Analogie: elektromagnetische van der Waals – Kräfte zwischen neutralen Atomen ) d g d u Quantenchromodynamik Restwechselwirkung Struktur der Kernkraft ist deutlich komplexer als die Struktur z.B. der Coulombkraft/Newtonschen Gravitation (Zentralpotentiale) - ergibt sich aus ihrer Struktur als Restwechselwirkung von farbneutralen Nukleonen (Analogie: elektromagnetische van der Waals – Kräfte zwischen neutralen Atomen ) Zentralkraft V0(r) entnommen aus den Eigenschaften des Deuterons (96% 3S1-Zustand) spinabh ängige Zentralkraft spinabhängige (Spin-Spin-Wechselwirkung) entnommen aus der Neutron-Proton Streuung (σSingulett > σTriplett) nichtzentrale Tensorkraft folgt aus den höheren Momenten der Ladungsverteilungen im Kern Spin-Bahn (ℓ·s) (ℓ·s) - Kopplungsterm Spin-Bahn entnommen aus der Streuung an polarisierten Protonen (Links/Rechts Asymmetrie) Struktur der Kernkräfte: Potential Tröpfchenmodell & Kernkräfte: auch bei schweren Kernen ist B/A ~ const., d.h. es wirken immer nur Kräfte zwischen zwei Nukleonen Wechselwirkung zwischen Nukleonen abhängig von dynamischen Größen: → → → relativer Abstand x, relativer Impuls p, Gesamtbahndrehimpuls L und → → relative Ausrichtung der Spins s1, s2 : V (r ) = V0 (r ) r r + V ss ( r ) ⋅ s1 ⋅ s 2 / h 2 r r r r 3 (s1 ⋅ x )(s 2 ⋅ x ) r r + VT ( r ) ⋅ 2 − s1 ⋅ s 2 2 r h r r r 1 + V l S ( r ) ⋅ (s1 + s 2 ) ⋅ l ⋅ 2 h r r r r 1 + V l s ( r ) ⋅ s1 ⋅ l ⋅ s 2 ⋅ l ⋅ 4 h r r r r 1 + V ps ( r ) ⋅ (s1 ⋅ p ) ⋅ (s 2 ⋅ p ) ⋅ 2 2 2 h m c ( )( ) Zentralpotenzial Spin-Spin Wechselwirkung nicht-zentrale Tensorkraft Spin-Bahn Wechselwirkung Spin-Spin-Kraft & LS Kopplung Spin-Spin Kopplung unabhängig vom Koordinaten-System, d.h. muß eine skalare Größe sein r r unterschiedliche Eigenwerte für ~ V ss ( r ) ⋅ s1 ⋅ s 2 / h 2 Triplett- und Singulett-Zustände ( ) der starken Wechselwirkung → s p Target p → ℓ → ℓ ch ts na ch re Experimenteller Beleg für ℓ · s – Kopplung: Streuung von Protonen an polarisierten Protonen zeigt eine Asymmetrie der Streuraten zwischen p → → - Linksstreuung: ℓ→· s→ > 0 - Rechtsstreuung: ℓ · s < 0 na lin ch ks ℓ·s Kopplung in Analogie zur Feinstrukturaufspaltung der Atomhülle (M. Goeppert-Mayer): Kopplung zwischen dem Bahndrehimpuls ℓ und Spin s des Nukleons r r Spin-Bahn Kopplung ~ V ls ( r ) ⋅ l ⋅ s ℓs-Kopplung des Nukleons im Kern Berechnung der Energieverschiebung der Nukleonen-Niveaus: r r r j = l+s r r r2 r2 r 2 j = l + 2⋅ l⋅s + s r r 1⎡ 3⎤ l ⋅ s = ⎢ j ⋅ ( j + 1) − l ⋅ ( l + 1) − ⎥ 2⎣ 4⎦ für j = ℓ + ½ : V(r) + ½ Vℓs(r) · ℓ für j = ℓ - ½ : V(r) – ½ Vℓs(r) · (ℓ + 1) 1 j =l+ : 2 1 j =l− : 2 r r 1 l⋅s = ⋅l 2 r r 1 l ⋅ s = − ⋅ (l + 1) 2 Vorzeichen von Vℓs ergibt für j = ℓ - ½ höhere Energien (geringeres Potenzial) Δ E ~ 2 ℓ +1 ΔE mit wachsendem ℓ Zunahme der Aufspaltung Atomhülle: kleine Feinstrukturaufspaltung Kernschalen: große Aufspaltung 1p Aufspaltung > Niveauabstand Beispiel: Vorzeichen umgekehrt wie bei Atomen Aufspaltung 1p 1p1/2 1p3/2 Auspaltung durch Spin-Bahn Kopplung Kernzustände mit j = ℓ + ½ liegen tiefer als j = ℓ-½ 4 ħω in jedem Niveau j : (2 j + 1) Protonen (2 j + 1) Neutronen 3 ħω Einfluss des Vℓs Terms der Spin-Bahn Kopplung auf das Saxon-Woods-Potenzial: maximale Beiträge von Peripherie 2 ħω V 3s 2d Sn-100 1g 2p 1f 50 Ni-56 28 2s 1d 20 O-16 r s↑↓ℓ 1 ħω 1p 8 ℓ=0 s↑↑ℓ Ca-40 He-4 0 ħω 1s 2 Tensor-Kraft Tensorkraft ist spinabhängig und z.B. verantwortlich für die kleine Deformation des Deuterons (3D1-Zustand) Proton und Neutron: Spin s = ½ , ª daher maximal Dipolmomente möglich r r r r 3 (s ⋅ x )(s 2 ⋅ x ) r r entspricht formal der Wechselwirkung − ⋅ ~ VT ( r ) ⋅ 2 1 s s 1 2 von 2 magnetischen Dipolen h r2 Tensorkraft r s2 r x r s1 anziehend r s1 r x r s2 abstoßend keine Tensorkraft für Singulett-Zustände Tensorkraft wird vermittelt durch Pionaustausch, beeinflusst Schalen & magische Zahlen π n p Leuchtnukleonen & angeregte Zustände gg-Kerne: Spins der Nukleonen heben sich paarweise auf, Spin J = 0 - nichtabgeschlossene Schalen: Leuchtnukleon definiert Spin & Parität 1 Nukleon in äußerster Schale: Gesamtspin J = j Protonen Neutronen Parität P = (-1)ℓ - Spiegelkerne 17O / 17F : 1p / 1n in 1d5/2 gg-Kern mit abgeschlossener Schale + 4 Neutronen + 2 Protonen: J = 0 angeregte Kernzustände uu-Kern: viele angeregte Zustände bei niedrigen Energien gg ug uu Energie [keV] gg-Kern: 1. angeregter Zustand liegt bei hoher Energie Grundzustand angeregte Zustände Zusammenfassung: Struktur der Kernkräfte Kurzreichweite der Kernkräfte ( ~ 1-2 fm) folgt z.B. direkt aus der schwachen Bindungsenergie des Deuterons Lösung der Schrödinger-Gleichung für Deuteron mit Zentralpotenzial V0(r): Ansatz eines kastenförmigen Potenzials mit R0 = 1.3 fm ; B = -2.2 MeV ªTiefe des Potenzialtopfes: V0 ≈ - 50 MeV Abstoßung bei kleinen Abständen (< 0.8 fm) Nukleon-Nukleon Streuexperimente bei niedrigen Energien zeigen: - anziehender Charakter der Kernkraft bis d ~ 2 fm - abstoßender Charakter der Kernkraft für d < 0.8 fm: Abstoßung basiert nicht auf dem Pauli-Prinzip, 12 Quarks in h3: 3 Farbladungen (rbg) , 2 Spinzustände (↑↓), 2 Isospins (u,d) resultiert aus der starken Spin-Spin Wechselwirkung der Quarks wenn 2 Nukleonen „überlappen“: 2 der Quarks im p-Zustand Ö Abstoßung u d d ausgetauschte Quarks gleicher Farbe _ q q Zeit t anziehende Kernkräfte : Mesonenaustausch im Nukleon sind virtuelle Quark-Antiquark Paare vorhanden, ª Austausch von farbneutralen _ Quark-Antiquark-Paaren (Mesonen = qq Paare) dominanter Beitrag zur NN-Kraft 1-Pion-Austausch aber auch 2-Pionen –Austausch sowie Austausch von leichten Vektormesonen ρ, ω u Diquark anziehende Kernkräfte : Quarkaustausch analog zur kovalenten Bindung der Atome Modell: Nukleon-Konfiguration aufgebaut aus Diquark und einzelnem Quark Diquark: (u,d) energetisch günstig falls Spin S = 0 & Isospin I = 0 Quarkaustausch nur subdominater Beitrag! Diquark Kernkräfte als Austauschkräfte Nukleon-Nukleon Potenzial: Pionaustausch durch die endliche Masse mπ des ausgetauschten Bosons wird die Reichweite der starken Wechselwirkung begrenzt auf R ~ 1.4 fm der Einpionen-Austausch kann n nicht alle Eigenschaften des p ΔE · Δt = ħ Ö Kernpotenzials erklären: Austausch c · Δt ~ 1.4 fm 0 weiterer Mesonen σ, ω, ρ, η, δ π n ª spezielle Form des Wechselwirkungspotenzials (attraktive/ p repulsive Bereiche) vgl. zu niedrige Energie Restwechselwirkung bei Atomen E < 1 GeV Meson Masse Reichweite Typ der Ww. Stärke π 138 MeV 1-2 fm langreichweitig 14.6 η 548 MeV 0.5-1 fm Bindung 8 ω 783 MeV 0.7 fm Repulsion 20 ρ 775 MeV 0.7 fm LS-Kraft 0.95 virtuelles Pion oder Meson Proton Neutron
