Mathematische Exkursionen

Mathematische Exkursionen
Exkursionen
Mathematische
Die Gesetze der großen Zahlen
Treffer
Niete
Fig. 1
Der Beweis ist in der
Schule unmöglich, da hier
Wahrscheinlichkeitsaussagen über Grenzwerte von
„unendlichen“ Folgen gemacht werden.
Analoge Aussagen erhält
man mit der 2σ- und
σ-Regel.
Der 99 %-„Wurzeltrichter“
wird begrenzt durch die
Funktionsgraphen zu
f (n) = p ±
σ
3 ��1 .
n
��
Entsprechendes gilt für die
68 %- und 95 %-Intervalle.
Je höher der Versuchsumfang, desto näher liegt die
relative Häufigkeit „in der
Regel“ bei der Wahrscheinlichkeit.
Die Erfahrung zeigt, dass sich relative Häu0,4
figkeiten bei BERNOULLI-Ketten mit größer
werdendem Versuchsumfang stabilisieren.
0,3
Wenn man z. B. das Glücksrad mit der Trefferh
0,2
wahrscheinlichkeit p = �14� (Fig. 1) wiederholt
dreht und jedes Mal die aktuelle relative Tref0,1
ferhäufigkeit h in Abhängigkeit von dem Versuchsumfang n grafisch darstellt, erhält man
0
ein Diagramm, wie es Fig. 2 für drei verschie0
500
1000
1500
2000
n
dene Versuchsserien zeigt. Die Unterschiede
Fig. 2
zwischen den Folgen der relativen Häufigkeiten werden mit wachsendem Versuchsumfang geringer – alle Folgen scheinen den gleichen
Grenzwert zu haben. Tatsächlich gilt:
Starkes Gesetz der großen Zahlen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer BERNOULLI-Kette die Folge hn der relativen Häufigkeiten gegen die Trefferwahrscheinlichkeit p konvergiert, beträgt 1 (100 %).
Es gilt also: P ( lim (hn) = p) = 1.
n →∞
Das starke Gesetz der großen Zahlen ist von theoretischem Interesse, denn es rechtfertigt die
Deutung einer Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer Häufigkeiten. In Anwendungssituationen (etwa bei Meinungsumfragen) muss man sich mit endlichen Stichproben begnügen. Dann
interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit hn = �Xn� nach n Schritten in
einem bestimmten („kleinen“) Intervall um die Wahrscheinlichkeit p liegt. So liefert beispielsweise die 3 σ-Regel mit den Abkürzungen
X
�n� = hn und σ1 = �p
(1�
–�
p)� :
��
0,4
0,35
n � X � n p + 3σ1 · ��
n � ≈ 99 %,
P �n p – 3σ1 · ��
σ
σ
n
��
�n�
P �p – 3 · ��1 � �Xn� � p + 3 · ��1 � ≈ 99 %,
σ
P �� hn – p � � 3 · ��1 � ≈ 99 %.
n
��
Fig. 3 rechtfertigt „die Erwartung“: An einer
fest herausgegriffenen Stelle n liegen ca. 99 %
aller relativen Häufigkeiten innerhalb des zugehörigen „Wurzeltrichters“.
1
�� -Gesetz
�n
�
0,3
0,25
0,2
h
0,15
0,1
0,05
0
99%-Wurzeltrichter
0
500
1000
1500
2000
n
Fig. 3
für BERNOULLI-Ketten
Man betrachtet BERNOULLI-Ketten zum Versuchsumfang n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
σ
σ
Das Intervall �p – 3 · ��1 ; p + 3 · ��1 � enthält die relative Trefferhäufigkeit h mit 99%iger
n
��
n
��
Wahrscheinlichkeit. Der Radius dieses 99 %-Intervalls schrumpft bei wachsendem Versuchsumfang n mit dem Faktor �1� .
n
��
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2009 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten 978-3-12-733110-3
Lambacher
Schweizer,
Service-CD
Von dieser Druckvorlage
ist die Vervielfältigung
für den
eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Dieter Brandt, Hans Freudigmann u.a.
Seite aus: Lambacher Schweizer, Gesamtband
Quellen: Lambacher Schweizer, Gesamtband Oberstufe Oberstufe mit CAS
mit CAS, ISBN-13: 978-3-12-733120-2
ISBN-13: 978-3-12-733120-2
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2007
Mathematische Exkursionen
Exkursionen
Mathematische
Man betrachtet neben dem „Wurzeltrichter“ auch den „Schlauch“ mit einem konstanten kleinen
Radius ε um die Trefferwahrscheinlichkeit p. In Fig. 3 auf der vorigen Seite ist dieser Schlauch
für ε = 0,05 farblich unterlegt. Da jeder Wurzeltrichter irgendwann einmal in diesem Schlauch
liegt, konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit hn um weniger als ε von
der Trefferwahrscheinlichkeit p abweicht, gegen 1. Es gilt:
Schwaches Gesetz der großen Zahlen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer BERNOULLI-Kette die relative Häufigkeit hn in der Nähe
der Trefferwahrscheinlichkeit p liegt, konvergiert mit wachsendem Versuchsumfang gegen 1.
In einer Formel: lim (P ( � hn – p � < ε) = 1.
n →∞
Während das starke Gesetz der großen Zahlen eine Aussage über die Wahrscheinlichkeiten eines
Grenzwertes macht, geht es beim schwachen Gesetz der großen Zahlen um einen Grenzwert
von Wahrscheinlichkeiten.
1
Werfen Sie arbeitsteilig gleichartige Knöpfe.
a) Berechnen Sie z. B. in Zehnerschritten die Folge relativer Häufigkeiten für die Landung auf
der Vorderseite (V). Sie können als Muster Fig. 1 verwenden.
b) Stellen Sie die Folgen der relativen Häufigkeiten grafisch dar.
c) Stellen Sie eine Beziehung zum �1� -Gesetz her.
�n�
Fig. 1
2
a) Wie oft müsste man eine ideale Münze werfen, damit die relative Häufigkeit für die
Seite „Wappen“ mit ca. 99%iger Wahrscheinlichkeit zwischen 0,49 und 0,51 liegt?
b) Wie oft müsste man ein Glücksrad mit p = 0,1 drehen, damit die relative Trefferhäufigkeit
mit ca. 99%iger Wahrscheinlichkeit zwischen 0,09 und 0,11 liegt?
Begründung der Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF:
Wenn die Zufallsgröße X
mit einer höheren Wahr2
scheinlichkeit als �σc�2 Werte
annehmen würde, die mehr
als c vom Erwartungswert
entfernt wären, dann wäre
der Beitrag allein dieser
Werte zur Varianz von X
2
größer als c2 · �σc�2 = σ 2.
Das ist aber unmöglich.
3 Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF und schwaches Gesetz der großen Zahl
Für jede Zufallsgröße X lässt sich die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen (c > 0) vom
Erwartungswert µ mithilfe der Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF durch die Standardabweichung
2
σ wie folgt abschätzen: P ( � X – µ � > c) < �σc�2 .
a) Folgern Sie aus dieser Ungleichung für binomialverteilte Zufallsgrößen mit µ = n p und
σ
n�
p�
(1�
–�
p�) , dass gilt: P �� hn – p � > k ��1 � < �k1�2 . Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit den
σn = ��
n
��
σ-Regeln.
p (1 – p)
.
b) Folgern Sie aus der Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF, dass gilt: P ( � hn – p � > ε) < �n ε�
2
c) Begründen Sie mit der Formel aus b) das schwache Gesetz der großen Zahlen.
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Seite aus: Lambacher Schweizer, Gesamtband
Quellen: Lambacher Schweizer, Gesamtband Oberstufe Oberstufe mit CAS
mit CAS, ISBN-13: 978-3-12-733120-2
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