§ 3. Größte und kleinste Elemente

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 3. Größte und kleinste Elemente
(3.1) DEF: Kleiner-gleich-Beziehung auf
Z
Z
Für a, b ∈ setzt man:
a) a ≤ b :⇐⇒ es gibt ein k ∈ 0 mit a + k = b (lies: a ist kleiner-gleich b)
b) a < b :⇐⇒ (a ≤ b und a 6= b) (lies: a ist echt kleiner als b).
N
Z
(3.2) SATZ: a) Die ≤–Beziehung ist eine Ordnungsrelation auf , d.h. es gelten die
folgenden Eigenschaften:
1) Für alle a ∈ gilt a ≤ a (Reflexivität)
2) Für alle a, b ∈ gilt: (a ≤ b und b ≤ a) =⇒ (a = b) (Antisymmetrie)
3) Für alle a, b, c ∈ gilt: (a ≤ b und b ≤ c) =⇒ (a ≤ c) (Transitivität).
Z
Z
Z
b) Für je zwei ganze Zahlen a, b gilt a ≤ b oder b ≤ a (Linearität).
Z
(3.3) SATZ: Addition und Multiplikation auf
sind mit der ≤–Beziehung verträglich,
d.h. es gilt für alle a, b ∈
a) a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c für alle c ∈
b) a ≤ b =⇒ a · c ≤ b · c für alle c ∈ mit c ≥ 0.
Z
Z
(3.4) DEF: Sei T ⊆
a)
1)
b)
1)
Z eine nichtleere Teilmenge.
Eine ganze Zahl g heißt größtes Element von T , wenn gilt:
g ∈ T und 2) t ≤ g für alle t ∈ T .
Bezeichnung: g =: max(T ).
Eine ganze Zahl k heißt kleinstes Element von T , wenn gilt:
k ∈ T und 2) k ≤ t für alle t ∈ T .
Bezeichnung: k =: min(T ).
(3.5) SATZ: a)
b)
Z
N besitzt ein kleinstes Element, aber kein größtes Element.
Z besitzt weder ein kleinstes noch ein größtes Element.
(3.6) Indirekter Beweis
Es soll mit einem indirekten Beweis oder auch Beweis durch Widerspruch bewiesen
werden, dass aus einer Aussage A die Aussage B folgt (in Zeichen: A =⇒ B) , d.h. A
ist die Voraussetzung und B die Behauptung.
Dazu machen wir die Annahme , dass die Behauptung B nicht gilt, und leiten aus dieser
Annahme unter Verwendung der Voraussetzung A einen Widerspruch her. Dies bedeutet
dann, dass die Annahme falsch gewesen sein muss, die Behauptung also richtig ist.
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(3.7) SATZ:
Element.
Jede nichtleere endliche Teilmenge von
Z besitzt ein kleinstes und ein größtes
Diesen Satz beweisen wir mit Hilfe vollständiger Induktion:
(3.8) Beweis durch vollständige Induktion
N
N
n0 ∈ 0 sei eine feste Zahl, und es sei A(n) eine Aussage in Abhängigkeit von n ∈ 0 .
Dann ist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 richtig, wenn man
folgendes beweisen kann:
i)
A(n0 ) ist richtig
und
ii)
aus der Richtigkeit von A(n) für eine beliebige, aber feste natürliche
Zahl n ≥ n0 folgt die Richtigkeit von A(n + 1).
Bezeichnungen: Ein Induktionsbeweis besteht immer aus zwei Beweis–Teilen:
1) dem Induktionsanfang (IA):
Hier wird bewiesen, dass die Behauptung für n = n0 richtig ist.
2) dem Induktionsschluss (IS) oder dem “Schluss von n auf n + 1“:
Hier wird unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass die Behauptung für eine beliebige
(aber feste) natürliche Zahl n ≥ n0 richtig ist, die Induktionsbehauptung (IB) bewiesen,
dass dann die Behauptung auch für n + 1 richtig ist.
(3.9) BEISPIEL: Wir wollen die Aussage ”8 | 10n für alle n ∈
N , n ≥ 3”
durch
vollständige Induktion nach n beweisen.
(IA) Der Induktionsanfang ist für n = 3 vorzunehmen:
Es gilt 103 = 1 000 = 8 · 125 , d.h.
n = 3 richtig.
8 | 103 . Damit ist die Aussage für
(IV) Für eine beliebige, aber feste natürliche Zahl n ≥ 3 gilt 8 | 10n .
(IB)
Es gilt 8 | 10n+1 .
(IS)
Es ist 10n+1 = 10 · 10n . Nach (IV) gilt 8 | 10n , so dass nach Aufgabe 2a)
n
n+1
auch 8 | (10
richtig ist.
| ·{z10 }) und damit 8 | 10
=10n+1
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Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion ist das sog. Induktionsprinzip
aus den Peano–Axiomen für die natürlichen Zahlen (Giuseppe Peano, 1858–1932):
(3.10) Die PEANO–Axiome für die natürlichen Zahlen (1889):
P1 ) 0 ist eine natürliche Zahl
P2 ) Jede natürliche Zahl n besitzt eine natürliche Zahl n′ als
Nachfolger
P3 ) 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
P4 ) Haben zwei natürliche Zahlen denselben Nachfolger, so sind
sie gleich
P5 ) Induktionsprinzip
Eine Menge T natürlicher Zahlen, die 0 enthält und mit jeder
Zahl auch deren Nachfolger, enthält alle natürlichen Zahlen.
Unter den Voraussetzungen i) und ii) aus (3.8) läßt sich zeigen, dass die Menge
T := { n | n ∈
N , n ≥ n , A(n) ist richtig } ⊆ N
0
0
0
auf Grund von P5 ) gleich der Menge aller natürlichen Zahlen ≥ n0 ist, d.h. A(n) ist dann für
alle n ∈ 0 , n ≥ n0 richtig.
N
(3.11) SATZ: Jede nichtleere Teilmenge von
N
0
besitzt ein kleinstes Element.
(3.12) BEM:
a) Der Satz (3.11) wird auf den Satz (3.7) zurückgeführt, den wir mit
vollständiger Induktion bewiesen hatten.
b) Umgekehrt lässt sich das Induktionsprinzip aus dem Satz (3.11) folgern.
N
c) Die Eigenschaft von ( 0 , ≤) , dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt,
bezeichnet man auch als Wohlordnung von ( 0 , ≤) .
(3.13) SATZ:
äquivalent:
N
Es sei T eine nichtleere Teilmenge von
a) T besitzt ein größtes Element
b) T ist eine endliche Menge.
N
0
. Dann sind folgende Aussagen