Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie für
Lehramtsstudierende
Sommersemester 2015
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
C. Kleinschmidt
Blatt 9
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für Ereignisse A1 , · · · , An gilt
P(
[
i≤n
Ai ) =
X
X
(−1)k−1
P(
1≤i1 <···<ik ≤n
k≤n
\
Aij ).
j≤k
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Bei der Herstellung von n Schokoladentafeln mit ganzen Nüssen werden k ≥ n
Nüsse in die Abfüllanlage gegeben. Alle Nüsse bleiben ganz. Jede Nuss wird von
der Anlage mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der n Tafeln verarbeitet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tafel keine Nuss enthält?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete Modell
an.
Hinweis: Benutzen Sie z.B. Aufgabe 1.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
√
Berechnen Sie die Dichte der Verteilung von X für eine auf [0, 1] gleichverteilte
Zufallsvariable X sowie die von eT für eine mit Parameter λ exponentialverteilte
Zufallsvariable T .
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei p ∈ (0, 1]. Eine Zufallsvariable X mit Werten in den natürlichen Zahlen
heißt geometrisch verteilt zum Parameter p, falls für alle n ∈ gilt
P (X = n) = p(1 − p)n−1 (vgl. auch Aufgabe 7.1). Zeigen Sie:
N
N
1. Ist Z exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, so ist X := dZe geometrisch verteilt zum Parameter p := 1 − e−λ . (Hierbei sei für r ∈
die
kleinste ganze Zahl z ≥ r mit dre bezeichnet.)
R
2. Ist X geometrisch verteilt zum Parameter p, so gilt
E(X) =
1
p
und
Var(X) =
1
1
− .
p2
p
Hinweis für Aufgabenteil 2 : Hilfreich ist die geometrische Reihe und der Rechentrick „Differentiation nach einem Parameter“ (vgl. die Berechnung der Summe in Aufgabe 2.5 (c)).
Aufgabe 5 (*-Aufgabe; 4 Zusatzpunkte)
Schokoladenriegel der Marke „Smack!“ enthalten in diesem Sommer aus aktuellem Anlass jeweils eines von 11 Sammelbildern von (ehemaligen) Fußballfunktionären, die von Konsumenten in das „Dream-Team auf der Ermittelungsliste des
FBI!“ gewählt wurden. Die verschiedenen Bilder kommen dabei mit der gleichen
relativen Häufigkeit vor. Was ist die erwartete Anzahl von Schokoriegeln, die Sie
kaufen müssen, um das komplette „Dream Team“ zusammen zu haben?
Hinweis: Für i = 1, 2, . . . , 11 sei die Zufallsvariable Xi die Anzahl der Riegel,
die Sie kaufen, bis Sie i verschiedene Sammelbilder zusammen zu haben. Ferner
sei X0 := 0. Überlegen Sie sich, welche Verteilung Yi := Xi − Xi−1 besitzt.
Abgabe bis Freitag, den 26.6.2015, 10:15 Uhr im Schrein (1. Stock) bzw. im
Briefkasten (3. Stock).