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Kettenbrüche
Denition 1.1. Eine reelle Zahl α P R heiÿt algebraisch:ô D f
Sonst heiÿt α transzendent.
Denition 1.2. Sei α P R. Eine rationale Zahl
@ a
b
P Q rxst0u : f pαq 0.
heiÿt eine beste Näherung für α :
¤ b (beide P Nq : |dα c| ¡ |bα a|.
Denition 1.3. Sei α0 P R. Der Kettenbruch von α0 ist die Folge
c
d
a
b,d
ra0, a1, a2, . . . , ai, . . .s mit a0 : tα0u und
#
tαiu1, falls αi R Z, und a : tα
αi 1 :
i 1
i
0,
falls αi P Z.
ô
1 u.
Wenn ai 1 ai 2 . . . 0, schreibt man ra0 ; a1 , . . . , ai s und nennt den Kettenbruch
endlich, sonst unendlich.
Proposition 1.4. Die oben denierte Kettenbruchentwicklung von α
endliche Folge genau dann, wenn α P Q gilt.
P R liefert eine
Denition 1.5. Für eine Folge ra0 ; a1 . . .s heiÿt ra0 , a1 , . . . , ai s : Ai der i-te Näherungsbruch
des Kettenbruchs ra0 ; a1 , . . .s .
p2 : 0, p1 : 1, pi : ai pi1 pi2 .
q2 : 1, q1 : 0, qi : ai qi1 qi2 .
Lemma 1.6.
(a) @i ¥ 0 : ra0 ; a1 , . . . , ai1 , xs pqii11 xx
(b) Ai pi
qi
@i ¥ 0.
pi2
qi2 .
(c) @i ¥ 1 : pi1 qi pi qi1 p1qi .
(d) @i ¥ 2 : ppi , qi q 1.
1qi
.
(e) @i ¥ 1 : Ai1 Ai qp
i1 qi
(f) @i ¥ 0 : pi2 qi pi qi2 p1qi1 ai .
1qi ai
(g) Ai Ai2 p
qi2 qi @ i ¥ 2.
(Bei endlichen Kettenbrüchen läuft i nur bis k.)
Theorem 1.7.
(a) Die Folge A0 , A2 , A4 , . . . ist streng monoton wachsend. Die Folge A1 , A3 , A5 , . . . ist
streng monoton fallend. Für i gerade und j ungerade gilt Ai Aj .
(b) Sei ra0 ; a1 , . . .s unendlich. Dann konvergiert die FolgepAi qi¥0 der Näherungsbrüche
gegen eine reelle Zahl α R Q, für die gilt: A0 A2 . . . α . . . A3 A1 .
Wir schreiben α ra0 ; a1 , . . .s .
1
Korollar 1.8. Jedes α P R hat eine eindeutige Kettenbruchentwicklung. Die Folge der
Näherungsbrüche konvergiert gegen α. α ist rational genau dann, wenn der Kettenbruch
endlich ist.
Proposition 1.9.
(a) Für k P N gilt
ezk 1
ezk 1
rk; 3k, 5k, 7k, . . .s .
(b) e r2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, . . .s .
Insbesondere sind alle diese Zahlen irrational.
ra0; a1, a2, . . .s heiÿt periodisch : ô Di : Die Folge ai 1 , ai 2 , . . . ist periodisch, also von der Form b1 , . . . , bl , b1 , . . . , bl , . . . . Dann schreibt
man ra0 ; a1 , . . . .ai1 , b1 , . . . , bl s für den Kettenbruch. l heiÿt die Periodenlänge, a0 , . . . , ai1
heiÿt die Vorperiode, b1 , . . . , bl die Periode.
Denition 1.10. Der Kettenbruch
Theorem 1.11.
(a) (Euler) Ein unendlicher periodischer Kettenbruch deniert eine irrationale reelle
Zahl, die Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koezienten ist.
(b) (Lagrange) Eine irrationale Zahl, die algebraisch vom Grad zwei ist, d.h. Nullstelle
eines quadratischen Polynoms mit rationalen Koezienten, hat einen periodischen
Kettenbruch.
2
Die Modulgruppe
P R, ζ ¡ 1, a, b, c, d P Z, ad bc 1, c ¡ d ¡ 0 und η aζcζ db .
Dann D n P N : Der pn 1q-te Näherungsbruch von η ist db , der n-te Näherungsbruch ist
a
c und ζ ηn (d.h. der Restterm.)
Lemma 2.1. Sei
ζ
Denition 2.2. Zwei reelle Zahlen ξ und
D
η heiÿen äquivalent genau dann, wenn gilt:
b
a, b, c, d P Z mit ad bc 1, so daÿ gilt: ξ aη
cη d .
Lemma 2.3. Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation.
Denition 2.4. Die spezielle lineare Gruppe SL2 pZq SLp2, Zq ist die multiplikative
Gruppe der 2 2 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante
" 1.
Die Modulgruppe Γ ist der Quotient von SL2 pZq modulo dem Normalteiler
Γ wird auch mit P SL2 pZq bezeichnet.
1 0
0 1
*
.
Lemma 2.5. Alle rationalen Zahlen sind zueinander äquivalent.
Theorem 2.6. Seien
äquivalent:
α und β irrationale Zahlen. Dann sind die folgenden Aussagen
(a) α und β sind äquivalent.
(b) Die Kettenbrüche α ra0 ; a1 , . . .s und β
Endstück ral bm , al 1 bm 1 , . . .s.
2
rb0; b1, . . .s haben ein gemeinsames
Korollar 2.7.
Die Modulgruppe
Γ
ist erzeugt von den beiden Elementen
1 1
0 1
1
P s und Q1 s.
P
und Q 0
1
1
0
, d.h. jede Matrix in Γ ist ein endliches Produkt aus
Proposition 2.8.
Sei H tz P C : Impz q ¡ 0u und F : tz P H : 21 Repz q 12 , |z | ¡ 1u. F ist ein
Fundamentalbereich für die Operation der Modulgruppe Γ auf der obereren Halbebene
H.
Das bedeutet: z1 , z2 P F, z1 z2 ñ z1 und z2 sind nicht äquivalent.
z1 P H ñ D z2 P F F Y B F, so daÿ z1 und z2 äquivalent sind.
3
Diophantische Approximation
Theorem 3.1. Sei α P R, n ¡ 1, 0 d ¤ qn und
und stärker sogar |pn qn α| |c dα|, d.h.
c
d
pq
n
n
. Dann gilt
| pq α| | dc α|
n
n
ist die beste Näherung.
pn
qn
Proposition 3.2. Von zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen erfüllt mindestens
einer die Ungleichung | pq α| Theorem 3.3. Sei |
p
q
1
.
2q 2
α| 2q1
2
. Dann ist p{q ein Näherungsbruch.
Korollar 3.4. Jede beste Näherung für α P R ist ein Näherungsbruch von α.
P R Q mit α ra0; a1, . . .s, so dass DA ¥ 1 : @i ¥ 0 : ai ¤ A.
Dann gilt für alle p P Z, q P N : |α pq | ¡ A1 2 q1
Theorem 3.6 (Approximationssatz von Liouville). Sei α P R algebraisch. Dann existiert
ein cpαq ¡ 0, so dass für alle p P Z, q P N und pq α gilt: |α pq | ¥ cpαqq Bpαq , wobei
Bpαq der Grad von α ist, d.h. von dessen Minimalpolynom f pxq P Zrxs mit f pαq 0
Korollar 3.5. Sei
α
2
und Höchstkoezient 1.
Theorem 3.7 (A.Thue, C.C. Siegel, K.F. Roth). : Sei α P R Q irrational und alge-
¡ 2. Dann existiert cpα, K q ¡ 0, so dass gilt:
@ p P Z, q P N : |α pq | ¥ cpα, K q q1 .
braisch, K
K
4
Gitter
P N, V der R-Vektorraum Rn. Eine Teilmenge Γ Rn heiÿt
: ô D Basis pv1 , . . . , vn q von Rn , so dass Γ Zv1 ` ` Zvn , d.h. Γ ist die
Denition 4.1. Sei
n
Gitter in
Menge der ganzzahligen Linearkombinationen der Basisvektoren v1 , . . . , vn .
Rn
Theorem 4.2. Sei Γ
gungen erfüllt:
Rn eine abelsche Gruppe, die zwei der folgenden drei Bedin-
(1) Γ erzeugt Rn als R-Vektorraum.
(2) Γ hat als Unterraum des topologischen Raums Rn die diskrete Topologie, d.h.
einpunktige Mengen sind oen (also ist jede Menge oen, die Topologie ist P pΓqq.
(3) Γ ist eine freie abelsche Gruppe von Rang n, d.h. Γ Zn als abelsche Gruppe.
3
Dann erfüllt Γ auch die dritte Bedingung. Insbesondere ist Γ ein Gitter. Umgekehrt ist
jedes Gitter in Rn eine abelsche Gruppe, die alle drei Bedingungen erfüllt.
Ein Element x P G (abelsch) ist Torsion oder Torsionselement : ô D n P Z t0u :
nx 0. G heiÿt torsionsfrei :ô 0 ist das einzige Torsionselement. G heiÿt Torsion (oder
Torsionsgruppe) : ô alle Elemente sind Torsionselemente.
ņ
ai xi 0 ist eine Relation in G, nichttrivial falls D i : xi 0, ai 0.
Lemma 4.3. Sei G eine endlich-erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe mit erzeugenden
Elementen x1 , . . . , xn , wobei n die minimale Elementenzahl eines Erzeugendensystems
Eine Gleichung
i 1
ņ
ai xi 0 (mit ai
x1 , . . . , xn sind über Z linear unabhängig, bilden also eine Basis.
G heiÿt frei abelsch :ô G ` Z.
ist. Dann gibt es keine nichttriviale Relation
P Zq. Das heiÿt, die
i 1
endlich
Theorem 4.4 (Elementarteilersatz, erste Version). Sei G eine endlich erzeugte torsions-
freie (also freie) abelsche Gruppe und H t0u eine Untergruppe von G. Dann existiert
eine Basis x1 , . . . , xn und m1 , . . . , mr P N, für ein r ¤ n, mit m1 |m2 | . . . |mr1 |mr , so
dass m1 x1 , . . . , mr xr eine Basis von H bilden. H ist also eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe und H Zr .
Wenn rG : H s 8, d.h. |G{H | 8, dann gilt: r n.
Index
t0u eine endlich erzeugte
abelsche Gruppe (nicht notwendig torsionsfrei). Dann existieren Elemente x1 , . . . , xn in
G und m1 , . . . , mr P N (für ein 0 ¤ r ¤ nq, so dass mi ¡ 1 für 1 ¤ i ¤ r, mi |mi 1 für
i 1, . . . , r 1, mi xi 0 für 1 ¤ i ¤ r und so dass jedes Element x in G eindeutig
Theorem 4.5 (Elementarteilersatz, zweite Version). Sei G
ņ
ai xi mit 0 ¤ ai mi für 1 ¤ i ¤ r geschrieben werden kann. Die Zahlen
n, r, m
1 , . . . , mr sind durch G eindeutig bestimmt.
looooomooooon
als x
i 1
Elementarteiler
Korollar 4.6.
(a) Sei H eine Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe G. Dann ist H
endlich erzeugt.
(b) [Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]
Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann ist G F ` T , wobei F
frei abelsch von endlichem Rang ist und T eine endliche abelsche Gruppe. Sei G
endlich, dann existieren 1 m1 |m2 | . . . |mk : G Z{m1 Z ` . . . ` Z{mk Z.
Denition 4.7. Sei Γ
Rn ein Gitter mit ZBasis pb1 , . . . , bn q.
Die Determinante detpP q des Gitters Γ ist deniert als |det pb1 , . . . , bn q|.
Denition 4.8. Sei Γ : Zb1 ` . . . ` Zbn
Rn. Das Fundamental-Parallelotop P von
Γ ist tx P
: x λ1 b1 ` . . . ` λbn mit 0 ¤ λi ¤ 1 @ iu.
vol loomoon
pRn{Γq volpP q |detpΓq| |detpb1, . . . , bnq|.
Rn
kompakt
4
Denition 4.9. Sei
V
Rn und V HompV, Rq. Deniere ϕ : V
x ÞÑ ϕx : y ÞÑ x y .
Sei Γ Rn ein Gitter. V Rn sei durch x
zu Γ duale Gitter Γ deniert durch
Ñ
V durch
ÞÑ ϕx mit V identiziert. Dann ist das
Γ : tx P Rn |x y
P Z @ y P Γu.
tx P Rn|ϕxpyq P Z @ y P Γu.
Denition 4.10. Ein Gitter Γ Rn heiÿt ganzzahliges Gitter :ô @ x, y P Γ : x y P Z.
Ein Gitter Γ heiÿt unimodular :ô Γ Γ .
Denition 4.11. Sei S Zn eine freie abelsche Gruppe vom Rang n.
Eine symmetrische Bilinearform auf S ist eine Abbildung. b : S S Ñ Z, für die gilt
(mit bps, tq : ps, tqq:
ps1 s2, tq ps1, tq ps2, tq @s1, s2, t P S
ps, t1 t2q ps, t1q ps, t2q @s, t1, t2 P S
sowie ps, tq pt, sq @s, t P T.
b heiÿt positiv denit:ô ps, sq ¡ 0 @s 0.
*
bilinear
Proposition 4.12. Die ganzzahligen Gitter S in Rn mit dem euklidischen Skalarprodukt
liefern alle positiv deniten symmetrischen Bilinearformen auf Zn .
Denition 4.13. Ein Code der Länge n über dem Alphabet Fq ist eine nichtleere echte
Teilmenge von Fnq . q 2 : Binärcode.
Die Elemente von C sind die Codewörter. n ist die Wortlänge von C .
Denition 4.14. Das Gewicht
wpxq von x
0.
Der Hamming-Abstand dpx, y q zwischen x xi
x1
.. P Fn ist die Anzahl der i mit
. q
xn
.. . und y
x1
.. . ist die Anzahl
y1
xn
yn
der i mit xi yi , d.h. dpx, y q wpx y q. Der Minimalabstand in C ist mintdpx, y q :
x, y P C, x y u. Ein pn, M, dq - Code hat Wortlänge n, M Wörter und Minimalabstand
d.
Denition 4.15. Die Informationsdichte eines Codes C Fnq ist deniert als
p q
p q.
logq C
logq Fn
q
Denition 4.16. Ein Code C Fnq heiÿt linearer Code, wenn C ein Untervektorraum
von Fnq ist.
Fnq Ñ Fnq k Ñ 0.
Die Abbildungen α und β sind durch Matrizen A und B gegeben. Rang pAq k, Rang
pB q n k.
0 Ñ Fkq
Ñα
β
• C α pFkq q tAx : x P Fkq u.
A heiÿt Erzeugermatrix (oder Generatormatrix).
5
• C kernpβ q, d.h. für x P Fnq gilt : x P C ô Bx 0. B heiÿt Kontrollmatrix.
Bx heiÿt das Syndrom von x. x P C ô Syndrom Bx 0.
0 Ñ Fnq k
ÝBβÝÑ
Ñ 0. Das deniert einen Code der Dimension n k. Dieser
Code ist der duale Code C K β pFqnk q.
Lemma 4.17. C K ty P Fnq | x y 0 @ x P C u. C heiÿt selbstdual ô C C K .
Ein Binär-Code heiÿt doppelt gerade :ô die Gewichte wpxq sind alle durch 4 teilbar.
Die Automorphismengruppe von C ist deniert als AutpC q : tσ P Σn : σ pC q C u.
Proposition 4.18. Sei C ein binärer Code und ΓC ?12 ϕ1 pC q wie oben deniert.
tr
Fnq
ÝAαÝÑ
tr
Fkq
Dann gilt:
(b)
(c)
(d)
5

CK
ô ΓC ist ein ganzzahliges Gitter.
C ist doppelt gerade ô ΓC ist ein gerades Gitter. d.h. x x gerade @ x P ΓC .
C ist selbstdual ô ΓC ist unimodular.
vol pRn {Γc q 1 ô K n2 .
(a) C
Elliptische Kurven
Denition 5.1. Sei D C eine oene Menge und f : D Ñ C CYt8u eine Abbildung.
Dann heiÿt f eine meromorphe Funktion :ô D eine diskrete Menge S pf q D pd.h. @ z P
S pf q D ε : |Uε pz q X S pf q| 8q, so dass gilt:
f |DS pf q : D S pf q Ñ C ist analytisch und
@ z P S pf q : f pzq 8, z ist ein Pol von f |DSpf q.
Denition 5.2. Sei Γ C ein Gitter. Eine elliptische (oder doppelt periodische) Funktion zum Gitter Γ ist eine meromorphe Funktion f : C Ñ C mit der Eigenschaft
f pz wq f pz q @z P C, w P Γ.
C{Γ ist ein Torus.
f
Periodische Funktionen C II
I
II
II
II
I$
T
ö
/
u: C
u
uu
uu
uu Df
u
u
faktorisieren über T .
C{Γ
Denition 5.3. Die Ordnung einer elliptischen Funktion f ist Ordpf q :
°
ordpf ; aq,
wobei die Summe über alle Polstellen a im Fundamentalparallelotop (genauer: auf T )
geht. Eine Zahl z P C heiÿt b-Stelle von f (mit b P C), wenn z eine Nullstelle von
g pz q : f pz q b ist. Die b-Ordnung von f , bezeichnet mit b Ord, ist die Anzahl der
b-Stellen von f auf C{Γ (mit Vielfachheiten).
Proposition 5.4. Sei f eine nichtkonstante elliptische Funktion. Dann gilt für alle b P C:
b Ordpf q Ordpf q. Das heiÿt, f nimmt auf C{Γ jeden Wert (mit Vielfachheit gerechnet) gleich oft an; z.B. hat f gleich viele Nullstellen wie Polstellen.
P C heiÿt Verzweigungspunkt (bezüglich f ), wenn es ein a gibt, das eine mindestens
zweifache bStelle ist. Es kann nur endlich viele Verzweigungspunkte geben.
b
6
Denition 5.5. Sei Γ ein Gitter.
$ Die Weierstraÿsche ℘-Funktion zum Gitter Γ ist deniert durch : ℘pz; Γq : ℘pz q :
&
%
8 für z °P Γ
1
z2
1
z w
P t0u p q
w Γ
2
w1
2
für z R Γ
Theorem 5.6. Sei Γ ein Gitter und ℘ die zugehörige ℘-Funktion. Dann gilt:
(a) ℘ ist auf C meromorph. ℘ hat Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten w P Γ
und ist auÿerhalb von Γ analytisch.
(b) ℘ ist gerade: ℘pz q ℘pz q @z P C.
(c) Die Laurententwicklung um z0 0 ist von der Form ℘pz q (d.h. a0 0, a2 1 und an 0 für n ungerade.)
°
(d) Die Ableitung von ℘ ist ℘1 mit ℘1 pz q 2 pz1wq3 .
wPΓ
(e) ℘1 ist ungerade: ℘1 pz q ℘1 pz q.
1
z2
a2 z 2
a4 z 4
(f) ℘ ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2. ℘1 ist eine elliptische Funktion der
Ordnung 3.
Sei e1 : ℘p w21 q, e2 : ℘p w22 q und e3 : ℘p w1 2 w2 q. Diese Zahlen heiÿen die Halbwerte
der ℘-Funktion.
°
wn , n P N, n ¥ 3, heiÿen Eisensteinreihen
Denition 5.7. Die Reihen Gn :
nPΓt0u
(zu Γ).
Proposition 5.8. In der gröÿten oenen Kreisscheibe um 0, die auÿer 0 keine Gitter-
punkte enthält, ist die Laurententwicklung von ℘pz q von der Form
8̧
℘pz q z12
p2n 1qG2pn 1qz2n.
n1
Theorem 5.9. Sei f eine elliptische Funktion bezüglich Γ . Dann existieren rationale
Funktionen R und S , so daÿ f Rp℘q S p℘q℘1 ist.
Denition 5.10. Eine Teilmenge X C2 heiÿt ebene ane Kurve, wenn es ein nicht-
konstantes Polynom P in zwei Variablen gibt, so dass gilt
x tpz1 , z2 q P C2 : P pz1 , z2 q 0u.
Proposition 5.11. Die Zuordnung z ÞÑ p℘pz q, ℘1 pz qq deniert eine bijektive Abbildung
C{Γt0u Ø X pg2 , g3 q, zwischen dem punktierten Torus und der ebenen Kurve X pg2 , g3 q.
Denition 5.12. Eine Teilmenge X̃ P2 pCq heiÿt ebene projektive Kurve, wenn es ein
nichtkonstantes homogenes Polynom P in drei Variablen gibt, so dass
X̃ trz s P P2 pCq : P pz q 0u gilt.
Theorem 5.13. Durch die Abbildung
C{Γ Ñ P2 pCq
"
1, ℘pz q, ℘1 pz qs falls z R Γ
rzs ÞÑ rr0,
0, 1s falls z P Γ
7
wird eine bijektive Abbildung deniert zwischen dem Torus und der ebenen projektiven
Kurve X̃ pg2 , g3 q mit der Gleichung z0 z22 4z13 g2 z02 z1 g3 z03 .
Denition 5.14. Die zum Gitter Γ gehörende Kurve X̃ pg2 , g3 q heiÿt elliptische Kurve
(zu Γ).
Denition 5.15.
(a) Seien z, w P C, so dass z w, z w, z, w P Γ. Dann gilt
2
1
p1 pw q
ppz wq 14 ppppzz q
qppwq ppz q ppwq.
(b) Drei paarweise verschiedene Punkte a, b, c auf der elliptischen Kurve X̃ pg2 , g3 q
haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen.
Denition 5.16. Zwei Gitter Γ P C und Γ1 P C heiÿen äquivalent genau dann, wenn es
eine komplexe Zahl a 0 gibt mit Γ1 aΓ.
Proposition 5.17. Zwei Gitter Γ Z Zτ und Γ1 Z Zτ 1 mit Im τ ¡ 0 und
Im τ 1 ¡ 0 sind äquivalent ô DM P P SLp2, Zq so daÿ τ 1 M τ.
: H ÑC heiÿt
Modulform vom Gewicht k
a b
d qk f pτ q @
P SLp2, Zq.
c d
Denition 5.18. Eine holomorphe Funktion f
(für k P 2N), wenn gilt: f
aτ b
cτ d
pcτ
Sei ∆ : g23 27g32 , die Diskriminante von Γ. Die Zahl j :
heiÿt die absolute Invariante von Γ.
Denition 5.19. Sei Γ Rn ein Gitter, H tτ
PC|
g23
∆
Im τ
g g27g P C Y t8u C
3
2
3
2
2
3
¡ 0u die obere Halbebene.
P H schreiben wir q :
Die Thetafunktion (oder Thetareihe) von Γ ist
8̧
° x x
q
ϑΓ : τ ÞÑ
. Schreibt man ar |tx P Γ : x x 2ru, so ist ϑΓ pτ q ar q r ,
e2πiτ .
Für τ
1
2
xPΓ
d.h. ϑ ist die erzeugende Funktion für die endlichen Zahlen ar .
r 0
Theorem 5.20. Sei Γ ein gerades unimodulares Gitter im Rn . Dann ist ϑΓ eine Modulform vom Gewicht n2 .
(Gerade unimodulare Gitter gibt es nur für 8|n).
Theorem 5.21 (Jacobi 1829). Für
° n P Nngilt:
8
2
2
7tx P Z : x1 . . . x8 nu 16 p1q dd3
d|n
Theorem 5.22 (Jacobi 1828). Für n P¸N gilt:
7tx P Z4 : x21
x22
x23
x24
nu 8
d
|
¤¤
Denition 5.23. Das Hamming-Gewichtszählpolynom (oder der Gewichtszähler) des
linearen Codes C Fnq ist das Polynom
ņ
° nwpuq wpuq
WC px, y q :
X
Y
AiX niY i, wobei Ai die Anzahl der Codewörter
uPC
i0
vom Gewicht i ist.
Beispiele: Der Hamming-Code H F72 hat Gewichtszähler
WH px, y q x7 7x4 y 3 7x3 y 4 y 7 .
Der erweiterte Hamming-Code H̃ F82 (Übungsblatt 9) hat Gewichtszähler
WH̃ px, y q x8 14x4 y 4 y 8 .
4-d n
1 d n
8
Proposition 5.24. Sei C Fn2 ein binärer linearer Code mit Gewichtszählern WC px, yq,
und sei Γ das zugehörige Gitter. Dann ist
ϑΓC WC pA, B q, wobei A und B deniert sind durch
° x x
° 1 pxxq
Ap τ q q 1 2q 2q 4 2q 9 . . . , B pτ q q4
.
xPZ
xP2Z 1
Es gibt genau einen doppelt geraden Code G̃ F24
2 mit A4 0. G̃ heiÿt Golay-Code.
Theorem 5.25 (Gleason). Sei
C
Fn2 ein doppelt gerader selbstdualer Code. Dann
ist der Gewichtszähler von C ein Polynom in WH̃ und WG̃ , den Gewichtszählern des
erweiterten Hamming-Codes und des erweiterten Golay-Codes.
9