3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen

technische universität dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. H. M. Möller
Dortmund, im November 2011
Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg
Zusammenfassung von Kapitel 3
3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen
3.1 Die natürlichen Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .} ist die Menge der natürlichen Zahlen. Mit N0 wird N ∪ {0}
bezeichnet.
Mit den Peano-Axiomen wird die Menge N0 und damit auch N eindeutig
definiert. Diese Axiome lauten
(PA1) 0 ∈ N0 .
(PA2) Es gibt eine injektive Abbildung (Nachfolge-Operation) s : N0 → N.
(PA3) Für jede Menge X gilt:
Wenn 0 ∈ X und wenn aus x ∈ X ∩ N0 folgt, dass auch s(x) ∈ X gilt, dann
gilt N0 ⊆ X.
Mit Hilfe der Nachfolge-Operation s : N0 → N kann man die Addition und
Multiplikation rekursiv definieren.
n + 0 := n,
n + s(m) := s(n + m), für alle m, n ∈ N0 .
n · 0 := 0,
n · s(m) := n · m + n, für alle m, n ∈ N0 .
Man macht sich klar, dass Addition und Multiplikation kommutativ und assoziativ sind.
3.2 Die ganzen Zahlen
Zu jeder Zahl n ∈ N führt man eine neue Zahl −n ein mit n + (−n) = 0.
Man erklärt dann die Menge der ganzen Zahlen durch
Z := N0 ∪ {−n | n ∈ N}
1
und stellt fest, dass man die Addition und Multiplikation in natürlicher Weise auf Z fortsetzen kann.
Eigenschaften von Z:
(Z1) N0 ⊂ Z.
(Z2) Zu jedem (a, b) ∈ Z ist a + b ∈ Z definiert und für alle a, b, c ∈ Z gilt
(a) (a + b) + c = a + (b + c)
(Assoziativgesetz),
(b) a + b = b + a
(Kommutativgesetz),
(c) Wenn a, b ∈ N0 , dann a + b wie in N0 .
(Z3) a + 0 = a für alle a ∈ Z.
(Z4) Für alle a ∈ Z gibt es ein −a ∈ Z mit a + (−a) = 0.
(Z5) Zu jedem (a, b) ∈ Z ist a · b ∈ Z definiert und für alle a, b, c ∈ Z gilt
(a) (a · b) · c = a · (b · c)
(Assoziativgesetz),
(b) a · b = b · a
(Kommutativgesetz),
(c) Wenn a, b ∈ N0 , dann a · b wie in N0 .
(Z6) Für alle a, b, c ∈ Z gilt
a · (b + c) = a · b + a · c
(Distributivgesetz).
Satz 3.1 (Teilen mit Rest)
Sei a ∈ Z und m ∈ N. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q ∈ Z und
r ∈ {0, 1, . . . , m − 1} mit
a = q · m + r.
q heißt Quotient und r Rest von a bei Division durch m. Man schreibt manchmal kurz a div m für q und a mod m für r.
Definition 3.2 (Teilbarkeit)
a ∈ Z ist durch m ∈ N teilbar, wenn beim Teilen mit Rest der Rest r Null
ist, in Zeichen m|a. Mit anderen Worten: m|a gilt genau dann, wenn es ein
q ∈ Z gibt mit a = q · m.
Für m ∈ Z\N0 definiert man m|a falls −m|a. Dann gilt auch hier m|a ⇔ ∃q ∈
Z : a = q · m.
Definition 3.3 (Primzahl)
p ∈ N heißt Primzahl wenn p 6= 1 und wenn p nicht Produkt zweier kleinerer
natürlicher Zahlen ist, also
p = a · b, a, b ∈ N ⇒ a = p ∨ b = p.
2
Satz 3.4 (Primfaktorzerlegung)
Jede natürliche Zahl n läßt sich als Produkt von Primzahlen schreiben,
n = p1 · p2 · · · ps ,
pi Primzahl.
Diese Darstellung ist eindeutig, wenn man p1 , . . . , ps ordnet, wenn also p1 ≤
p2 ≤ . . . ≤ ps gilt. D.h., wenn zu n auch Primzahlen q1 , q2 , . . . , qr gehören
mit n = q1 · q2 · · · qr und q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qr , dann folgt r = s und pi = qi für
i = 1, . . . , s.
Die Primzahlzerlegung bekommt man, indem man n sooft wie möglich durch
die erste Primzahl (also durch 2) teilt, den Rest dann sooft wie möglich durch
die nächste Primzahl (also durch 3) teilt, dann durch die nächste Primzahl
√
usw. bis endlich der Rest 1 ist oder die nächste Primzahl größer als n ist.
(In √
der Globalübung wurde gezeigt, dass höchstens ein Primzahlteiler größer
als n ist.) Beispielsweise
378 = 2 · 189 = 2 · 3 · 63 = 2 · 3 · 3 · 21 = 2 · 3 · 3 · 3 · 7.
Definition und Satz 3.5 (größter gemeinsamer Teiler)
Zu a, b ∈ Z gibt es ein g ∈ N mit den beiden Eigenschaften
(i) g|a und g|b,
(ii) (d ∈ Z ∧ d|a ∧ d|b) ⇒ d|g.
g wird größter gemeinsamer Teiler von a und b genannt, in Zeichen g =
ggT (a, b). Der ggT (a, b) ist eindeutig durch (i) und (ii) bestimmt.
Wenn ggT (a, b) = 1, dann nennt man a und b teilerfremd.
Die Berechnung von ggT (a, b) ist dadurch möglich, dass man die Primfaktorzerlegung von a und b bestimmt (wenn a und b natürliche Zahlen sind.
Sonst nimmt man −a und/oder −b statt a und/oder b) und mit deren Hilfe
die Menge der Teiler von a und die Menge der Teiler von b. Die größte Zahl
im Durchschnitt dieser Mengen ist ggT (a, b). Die Berechnung der Primfaktorzerlegung ist für große Zahlen jedoch sehr aufwändig.
Der euklidische Algorithmus
Eingabe: a ∈ Z und b ∈ N.
Ausgabe: ggT (a, b).
Rechnung:(?) Teile a durch b mit Rest r = a mod b.
Ersetze a durch b und b durch r.
Wenn r = 0, dann gib b als ggT (a, b) zurück,
sonst geh zurück zu (?).
3
Der Algorithmus endet (man sagt: er terminiert) nach endlich vielen Schritten, weil bei jedem Rücksprung der Rest, d.h., das neue b, echt verkleinert
wird, aber immer eine ganze Zahl ≥ 0 ist, so dass nach spätestens b Schritten
(b ist das b der Eingabe) der Rest 0 erreicht wird.
Lemma 3.6 Der euklidische Algorithmus gibt für beliebige a ∈ Z und b ∈ N
den ggT (a, b) als Resultat zurück, d.h. er ist korrekt.
Beweis: Der Algorithmus führt der Reihe nach die folgenden euklidischen
Divisionen durch
a = q0 b + r1
b = q1 r1 + r2
r1 = q2 r2 + r3
..
.
r1 < b,
r2 < r1 ,
r3 < r2 ,
rs−1 = qs rs + rs+1
rs = qs+1 rs+1 + 0 .
rs+1 < rs ,
rs+1 teilt rs (s. letzte Zeile). Dann teilt es als Teiler von rs+1 und von rs auch
rs−1 (s. vorletzte Zeile). Wenn man sich die Zeilen nach oben durcharbeitet,
bekommt man dass ein Teiler von ri+1 und ri auch Teiler von ri−1 ist, und
damit ri−1 auch von rs+1 geteilt wird. Entsprechend für b und a. Fazit: rs+1
ist ein gemeinsamer Teiler von a und b.
Wenn t ein Teiler von a und b ist, dann auch von r1 (folgt aus Zeile 1). Wenn
t ein Teiler von b und r1 ist, dann auch von r2 (folgt aus Zeile 2) usw. Aus
der vorletzten Zeile folgt dann, dass t auch ein Teiler von rs+1 ist. Nach Definition (und Satz) 3.5 ist damit rs+1 = ggT (a, b).
Lemma 3.7 (Lemma von Bezout)
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a, b ∈ Z, b 6= 0, besitzt eine
Darstellung
ggT (a, b) = s · a + t · b
mit a, b ∈ Z.
Beim erweiterten euklidischen Algorithmus wird wie beim euklidischen Algorithmus eine Folge von euklidischen Divisionen beginnend mit der Division
von a durch b durchgeführt. Zusätzlich wird dabei Buch geführt, wie der jeweilige Divisionsrest von a und b abhängt.
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Rechenschema für den erweiterten euklidischen Algorithmus am Beispiel a =
161, b = 91
t
r −q
s
1
0 161 −
1 91 −1
0
1 −1 70 −1
2 21 −3
−1
4 −7
7 −3
0
−13 23
In der zu r gehörenden Spalte stehen der Reihe nach a, b, r1 , r2 , . . .. Das q
ist der jeweilige Quotient bei der euklidischen Division. In jeder Zeile gilt
(mit den aktuellen Werten von s, t und r) jeweils s · 161 + t · 91 = r. Die
ersten zwei Zeilen sind trivial. Die i + 1-te Zeile entsteht durch Addition der
i−1-ten und des −q-fachen der i-ten. In der vorletzten Zeile liest man dann
4 · 161 + (−7) · 91 = 7 = ggT (161, 91) ab.
Die letzte Zeile im Rechenschema zeigt Zähler und Nenner des ausgekürzten
91
,
Bruchs 161
91
13
−13 · 161 + 23 · 91 = 0 ⇒
= .
161
23
Man kann zeigen, dass bei beliebigen a, b ∈ Z, b 6= 0, ab der dritten Zeile im
Rechenschema die aktuellen Werte von s und t teilerfremd sind, so dass in
der letzten Zeile immer r = 0 gilt und s und t teilerfremd sind. Damit stehen
in der letzten Zeile immer Zähler und Nenner des ausgekürzten Bruches ab .
3.3 Algebraische Strukturen
Definition 3.8 (Verknüpfung)
Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung auf M ist eine Vorschrift, die jedem
Paar (x, y) ∈ M × M ein Element von M zuordnet. Bezeichnet man die
Verknüpfung z.B. mit ◦, dann wird das Element, welches dem Paar (x, y)
zugeordnet ist, mit x ◦ y bezeichnet.
Definition 3.9 (assoziativ und kommutativ)
Eine Verknüpfung auf M wird assoziativ genannt, wenn für beliebige x, y, z ∈
M gilt
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
Sie heißt kommutativ, wenn für beliebige x, y ∈ M
x ◦ y = y ◦ x.
5
Man schreibt (M, ◦) für eine Menge M mit Verknüpfung ◦.
Definition 3.10 (neutrales Element)
Sei M eine Menge mit Verknüpfung ◦. Wenn es in M ein Element e gibt mit
x◦e=e◦x=x
für alle x ∈ M,
dann heißt e neutrales Element für die Verknüpfung ◦.
Bemerkung. Sind e und e0 neutrale Elemente für die Verknüpfung ◦, dann
gilt e = e0 . (Zum Beweis betrachte man e ◦ e0 .)
Beispiele. In (N, +) und (Z, +) ist die Verknüpfung + jeweils assoziativ
und kommutativ. In Z ist 0 das neutrale Element bzgl. +. (N, +) hat kein
neutrales Element. Nimmt man Z mit dem aus der Schule bekannten “Minus” als Verknüpfung, dann ist diese Verknüpfung weder assoziativ, z.B. gilt
7 − (5 − 1) = 7 − 4 = 3 6= 1 = 2 − 1 = (7 − 5) − 1, noch kommutativ, z.B.
gilt 7 − 5 6= 5 − 7. (N, ·) und (Z, ·) sind ebenfalls assoziativ und kommutativ
und haben 1 als neutrales Element.
Definition 3.11 (Gruppe)
Eine Gruppe ist eine Menge G mit Verknüpfung ◦, so dass die folgenden drei
Axiome gelten
(G1) Die Verknüpfung ◦ ist assoziativ.
(G2) G besitzt ein neutrales Element e bzgl. ◦.
(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein b ∈ G mit
a ◦ b = b ◦ a = e.
Ist die Verknüpfung ◦ zusätzlich kommutativ, dann heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.
In (G3) ist das b eindeutig durch a bestimmt. (Zum Beweis betrachte man
ein weiteres b0 ∈ G mit a ◦ b0 = b0 ◦ a = e und berechne b ◦ a ◦ b0 .) Das b in
(G3) wird als invers zu a bezeichnet. Man schreibt a−1 für das zu a inverse
Element. Wird die Verknüpfung in der Gruppe G mit + bezeichnet, dann
schreibt man für das neutrale Element in der Regel 0 (d.h. Null) und −a für
das zu a inverse Element. Im Fall, dass die Verknüpfung eine Multiplikation
ist, nennt man das neutrale Element gern Eins und schreibt manchmal sogar
1 statt e.
Beispiel (Z, +) ist eine Gruppe. Dagegen (Z \ {0}, ·) nicht, weil die inversen
Elemente für die Zahlen 6= ±1 fehlen. Nimmt man die sogenannten Stammbrüche) hinzu, das sind die Zahlen n1 für alle n ∈ N mit n ≥ 2), und die
6
Produkte von ganzen Zahlen 6= 0 mit den Stammbrüchen, bekommt man die
Menge der rationalen Zahlen ohne Null, Q \ {0}. Dann ist (Q \ {0}, ·) eine
Gruppe.
Satz 3.12 (Permutationsgruppe)
Sei M eine beliebige Menge. Dann ist ist
Per M := {f : M → M | f bijektiv }
eine Gruppe mit der Komposition als Verknüpfung. Neutrales Element ist
idM . Zu f ∈ Per M ist die Umkehrabbildung f −1 das inverse Element.
Beweis. Die Komposition zweier bijektiver Abbildungen von M nach M ist
wieder eine bijektive Abbildung von M nach M (vgl. Aufgabe 7). Also ist die
Komposition eine Verknüpfung im Sinn von Definition 3.8. Die Komposition
ist assoziativ, weil ((f ◦ g) ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = (f ◦ (g ◦ h))(x). idM ist
bijektiv mit (f ◦ idM )(x) = f (x) = (idM ◦ f )(x) für alle x ∈ M und alle f ∈
Per M , also f ◦ idM = idM ◦ f für alle f ∈Per M . Und die Umkehrabbildung
ist bijektiv und invers zu f ∈ PerM .
Ist M = {1, 2, . . . , n} und f ∈ Per M , dann stellt (f (1), f (2), . . . , f (n)) eine
Permutation von (1, 2, . . . , n) dar. Man bezeichnet Per M dann als symmetrische Gruppe vom Grad n und schreibt Sn statt Per M .
Satz 3.14 (Mächtigkeit von Sn )
Für alle n ∈ N gilt |Sn | = n · (n − 1) · · · 2 · 1 = n!.
Beweis. Für n = 1 ist M = {1} und S1 = {idM }. Wenn die Behauptung
schon für n gilt, dann betrachte M := {1, 2, . . . , n + 1}. Die bijektiven Abbildungen f : M → M werden in n + 1 verschiedenen und elementfremden
(disjunkten) Teilmengen eingeordnet,
Mk := {f ∈ Per M | f (n + 1) = k}
k = 1, . . . , n + 1.
Zu f ∈ Mk betrachte g : {1, . . . , n} → M \ {k}, g(i) := f (i) für i = 1, . . . , n.
Jedes g ist bijektiv. Offenbar gibt es genauso viele derartige g wie es bijektive
Abbildungen von {1, . . . , n} auf sich gibt, also nach Induktionsvoraussetzung
|Sn | = n!. Weil es zu jedem f ∈ Mk genau ein g gibt, hat die Menge Mk die
Mächtigkeit n!. Das gilt für k = 1, . . . , n + 1. Also |M | = n! + n! + . . . + n! =
(n + 1)n! = (n + 1)!
Definition 3.14 (Addition und Multiplikation modulo m)
Sei m ∈ N. Auf Zm := {0, 1, . . . , m − 1} wird eine Addition erklärt durch
x +m y = (x + y) mod m
7
für alle x, y ∈ Zm
und eine Multiplikation durch
x ·m y = (x · y) mod m
für alle x, y ∈ Zm .
Definition 3.15 (Ring)
Eine Menge R mit Verknüpfungen + und · wird Ring genannt, wenn die
folgenden drei Axiome gelten,
(R1) (R, +) ist abelsche Gruppe.
(R2) · ist assoziativ.
(R3) Es gelten die Distributivgesetze
a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx für alle a, b, x, y ∈ R.
Oft verlangt man, dass die Multiplikation im Ring kommutativ ist. In dem
Fall spricht man von einem kommutativen Ring. Hat der Ring ein neutrales
Element bzgl. ·, also eine “Eins”, dann nennt man R einen Ring mit Eins.
Beispiele (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Die Menge der Polynome
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . an xn ,
a0 , a1 , . . . , an ∈ R, n ∈ N0 ,
bilden mit der Polynomaddition und -multiplikation einen Ring (R[x], +, ·).
Hier ist die Null das Nullpolynom 0 + 0 · x + 0 · x2 + · · · und die Eins das
Polynom 1 + 0 · x + 0 · x2 + · · · .
Definition 3.16 (Körper)
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, bei dem jedes Element 6= 0
ein multiplikatives Inverses besitzt.
Beispiele (Z, +, ·) ist kein Körper, weil (Z \ {0}, ·) keine Gruppe (!) ist. Dagegen ist (Q, +, ·) ein Körper.
Satz 3.17 (Zm als Ring)
Für jedes m ∈ N ist (Zm , +m , ·m ) ein kommutativer Ring mit Eins.
Satz 3.18 (Existenz von Inversen)
Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Element a ∈ R hat genau
dann ein Inverses (bzgl. ·), wenn die Abbildung La : R → R, x 7→ a · x
bijektiv ist.
Beweis.
“ ⇐ ” Sei La bijektiv. Dann ist La insbesondere surjektiv, d.h., jedes y ∈ R
hat ein Urbild x ∈ R, La (x) = y, insbesondere y = 1:
∃x ∈ R : a · x = La (x) = 1.
8
Damit gilt x = a−1 .
“ ⇒ ” Sei x zu a invers bzgl. ·, also x = a−1 . Dann gilt
La (x1 ) = La (x2 ) ⇒ a · x1 = a · x2 ⇒ x1 = a−1 ax1 = a−1 ax2 = x2 .
Somit ist La injektiv. Zu y ∈ R ist a−1 y ∈ R das Urbild,
La (a−1 y) = aa−1 y = y.
Das gilt für jedes y ∈ R. Also ist La auch surjektiv.
Satz 3.19 (Existenz von Inversen in Zm )
Sei m ∈ N. a ∈ Zm ist genau dann invertierbar, wenn a und m teilerfremd
sind.
Beweis.
“ ⇐ ” Sei ggT (a.m) = 1. Dann gibt es nach dem Lemma von Bezout s, t ∈ Z
mit sa + tm = 1. Also sa ≡ 1(mod m), d.h., s = a−1 .
“ ⇒ ” Sei s ·m a = 1, d.h., s invers zu a. Nach Definition von ·m folgt
sa ≡ 1(mod m). Das bedeutet sa + tm = 1 mit einem t ∈ Z. Jeder gemeinsame Teiler von a und m ist dann Teiler von 1. Das ist für (positive) Teiler
nur möglich, wenn der Teiler 1 ist. Also ggT (a, m) = 1.
Satz 3.20 (Zp als Körper)
Für jede Primzahl p ist (Zp , +p , ·p ) ein Körper.
Definition 3.21 (Untergruppen)
Sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e und sei H ⊆ G. (H, ∗) ist
Untergruppe von (G, ∗), wenn die drei folgenden Eigenschaften gelten.
(UG1) Für alle x, y ∈ H gilt x ∗ y ∈ H.
(UG2) e ∈ H.
(UG3) Für alle x ∈ H gilt x−1 ∈ H.
Beispiele (Z, +) ist eine Gruppe mit neutralem Element 0. Die Menge H =
2Z = {2m | m ∈ Z} ist Teilmenge von Z und (2Z, +) ist Untergruppe
von (Z, +), weil (UG1), (UG2) und (UG3) erfüllt sind, denn 2m + 2n =
2(m + n) ⇒ (U G1), 0 ∈ 2Z, −2m ∈ 2Z ist (additiv) invers zu 2m.
S3 , die Menge aller bijektiven Abbildungen von M := {1, 2, 3} auf sich, ist
mit der Komposition ◦ eine Gruppe (S3 , ◦). Betrachte die bijektive Abbildung
ϕ : M → M, ϕ(1) = 2, ϕ(2) = 3, ϕ(3) = 1.
Dann ist ϕ2 := ϕ ◦ ϕ gegeben durch
ϕ2 (1) = 3, ϕ2 (2) = 1, ϕ2 (3) = 2.
9
Die Menge A3 := {idM , ϕ, ϕ2 } ist Teilmenge von S3 und es gilt, wie leichte
Rechnung zeigt,
ϕ ϕ2
◦ idM
idM idM
ϕ ϕ2
ϕ
ϕ ϕ2 idM
ϕ2 ϕ2 idM
ϕ
Hieraus liest man die Untergruppeneigenschaften (UG1), (UG2), (UG3) für
(A3 , ◦) ab.
Definition 3.22 (Unterringe)
Sei (R, +, ·) ein Ring und S ⊆ R. Dann heißt (S, +, ·) Unterring von (R, +, ·),
wenn gilt
(UR1) (S, +) ist Untergruppe von (R, +).
(UR2) Für alle x, y ∈ S gilt x · y ∈ S.
√
√
2]
:=
{a
+
b
·
2 | a, b ∈ Z}. Offenbar
gilt
Beispiel
Man
definiert
Z[
√
√
Z[ √2] ⊂ R. Die Addition in R beschränkt auf Elemente aus Z[ 2] macht
(Z[ 2], +) zu einer Untergruppe von (R, +), denn es gilt
√
√
√
(a + b · 2) + (x + y · 2) = (a + x) + (b + y) · 2.
Weil a + x ∈ R und b + y ∈ R, wenn a, b, x, y ∈ R, gilt (UG1). Das neutrale
Element in (R, +) ist
√
√
0 = 0 + 0 · 2 ∈ Z[ 2].
√
√
Damit gilt √
auch (UG2). Zu a + b · 2 ist −a − b · 2 sowohl in (R, +) als
auch in (Z[ 2], +) invers. Damit gilt auch (UG3). Insgesamt ist damit (UR1)
erfüllt.
√
Weil für je zwei Elemente aus Z[ 2] gilt
√
√
√
√
(a + b · 2) · (x + y · 2) = (ax + 2by) + (bx + ay) · 2 ∈ Z[ 2]
√
ist auch (UR2) erfüllt und somit (Z[ 2], +, ·) ein Unterring von (R, +, ·).
√
Übrigens ist (Z, +, ·) ein Unterring von (Z[ 2], +, ·).
Satz 3.23 (Der Ring (Z/mZ, ⊕, ))
Auf der Menge aller Restklassen modulo m sind durch
[k]m ⊕ [`]m := [k + `]m
und [k]m [`]m := [k · `]m
zwei Verknüpfungen sinnvoll definiert. (Man sagt: sie sind wohldefiniert).
(Z/mZ, ⊕, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.
10
Beweis Jede Äquivalenzklasse wird durch Angabe eines Elements (das dann
Repräsentant der Äquivalenzklasse genannt wird) eindeutig bestimmt. Man
schreibt [k]m , wenn k das ausgewählte Element ist. Man hätte auch [k 0 ]m für
[k]m schreiben können, wenn k 0 ≡ k mod m. Das Problem ist also ob auch
k 0 + `0 ≡ k + ` mod m gilt, wenn k 0 ≡ k mod m und `0 ≡ ` mod m. Die
Rechnung zeigt das aber,
k 0 = k + a · m, `0 = ` + b · m ⇒ k 0 + `0 = k + ` + (a + b) · m.
Also ist ⊕ wohldefiniert. Entsprechend zeigt man, dass wohldefiniert ist.
Weil die Resultate der Zuordnung zweier Elemente aus Z/mZ wieder ein Element aus Z/mZ ist, sind damit ⊕ und Verknüpfungen auf Z/mZ.
Leichte, aber längliche Rechnung zeigt, dass (Z/mZ, ⊕) abelsche Gruppe mit
[0]m als Null und [−a]m als Inverses zu [a]m ist, dass [1]m die Eins ist und
dass assoziativ und kommutativ ist und dass auch das Distributivgesetz
gilt.
Vergleicht man die Verknüpfungstafeln von (Z/mZ, ⊕, ) und (Zm , +m , ·m ),
dann stellt man fest, dass sie im wesentlichen gleich sind. Z.B. gilt für m = 4
⊕
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[1]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[2]4
[2]4
[3]4
[0]4
[1]4
[3]4
[3]4
[0]4
[1]4
[2]4
+4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[1]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[2]4
[0]4
[2]4
[0]4
[2]4
[3]4
[0]4
[3]4
[2]4
[1]4
·4
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Definition 3.24 (Isomorphie von Gruppen)
Ein Isomorphismus einer Gruppe (G, ·) auf eine Gruppe (H, ) ist eine Abbildung ϕ : G → H mit den zwei Eigenschaften
1. ϕ ist bijektiv,
2. ϕ ist verknüpfungstreu, d.h.,
ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y) für alle x, y ∈ G.
Eine Gruppe (G, ·) heißt isomorph zur Gruppe (H, ), wenn ein Isomorphismus von (G, ·) auf (H, ) existiert.
Bemerkung Man nennt den in Definition 3.24 eingeführten Isomorphismus
manchmal auch Gruppenisomorphismus, weil man auch für Ringe und Körper
11
Isomorphismen definieren kann. Dabei hat man zwei Verknüpfungen auf jeder
Menge, sodass die Verknüpfungstreue für beide Verknüpfungen gelten muss.
Genauer: Sind (G, +, ·) und (H, ⊕, ) Ringe (bzw. Körper), und gibt es eine
bijektive Abbildung ϕ : G → H mit
ϕ(x + y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y)
ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y)
für alle x, y ∈ G,
für alle x, y ∈ G,
dann heißt (G, +, ·) isomorph zu (H, ⊕, ) und ϕ (Ring- bzw. Körper-) Isomorphismus.
Ist eine bijektive Abbildung ϕ : G → H verknüpfungstreu, dann ist auch die
Umkehrabbildung ϕ−1 verknüpfungstreu, denn zu beliebigen a, b ∈ H gibt es
x, y ∈ G mit a = ϕ(x), b = ϕ(y) und
ϕ−1 (a b) = ϕ−1 (ϕ(x) ϕ(y)) = ϕ−1 (ϕ(x · y)) = x · y = ϕ−1 (a) · ϕ−1 (b).
Ist also (G, ·) isomorph zur Gruppe (H, ) (mit Isomorphismus ϕ), dann ist
auch (H, ) isomorph zur Gruppe (G, ·) (mit Isomorphismus ϕ−1 ). Entsprechendes gilt natürlich auch für Ringe und Körper.
Satz 3.25 (Ein Ringisomorphismus)
Für jedes m ∈ N sind die Ringe (Zm , +m , ·m ) und (Z/mZ, ⊕, ) isomorph
zueinander.
Beweis. Die Abbildung ϕ : Zm → Z/mZ, r 7→ [r]m ist bijektiv und verknüpfungstreu.
Ein Beispiel für isomorphe Körper sind (Q, +, ·) und (Z × N/∼ , +, ·), wobei
Z × N/∼ aus den Äquivalenzklassen [(z, n)]∼ := {(a, b) ∈ Z × N | z · b = n · a}
besteht, die Addition in Z × N/∼ wohldefiniert ist durch
[(z1 , n1 )]∼ + [(z2 , n2 )]∼ := [(z1 · n2 + z2 · n1 , n1 · n2 )]∼
und die Multiplikation durch
[(z1 , n1 )]∼ · [(z2 , n2 )]∼ := [(z1 · z2 , n1 · n2 )]∼ .
Die Abbildung ϕ : Q → Z × N/∼ ist gegeben durch ϕ( nz ) := [(z, n)]∼ . (Ohne
Beweis!)
Lässt man bei der Definition eines Isomorphismus’ ϕ : G → H nur die
Forderung weg, dass ϕ bijektiv ist, dann hat man einen Homomorphismus.
Man spricht, jenachdem, ob G und H Gruppen, Ringe oder Körper sind, von
Gruppen-, Ring- oder Körperhomomorphismen.
12
Beispiel Für jedes m ∈ N ist die Abbildung
ϕm : Z → Zm , x 7→ ϕm (x) := x mod m,
ein Ringhomomorphismus von (Z, +, ·) auf (Zm , +m , ·m ), denn ϕm ist verknüpfungstreu bezüglich Addition und Multiplikation (aber nicht bijektiv).
Man kann nämlich leicht zeigen, dass für alle a, b ∈ Z gilt
ϕm (a + b) = ϕm (a) +m ϕm (b) und ϕm (a · b) = ϕm (a) ·m ϕm (b).
Für m = 9 und m = 3 kann man ϕm (a) schnell berechnen. Weil für jedes k ∈
N die Zahl 10k − 1 durch 9 teilbar ist, gilt für beliebige Ziffern c0 , c1 , . . . , cs ∈
{0, 1, 2, . . . , 9}
c0 + c1 · 10 + c2 · 102 + . . . + cs · 10s ≡ c0 + c1 + c2 + . . . + cs (mod 9).
Daher liegt für m = 9 und m = 3 jedes positive a ∈ Z, also a ∈ N, in der
selben Äquivalenzklasse modulo m wie seine Quersumme d.h., a und seine
Quersumme haben dasselbe Bild unter ϕm . So berechnet man z.B. schnell
ϕ9 (77777) = ϕ9 (35) = ϕ9 (8) = 8. Speziell folgt die bekannte Regel, dass ein
a ∈ N genau dann in der Restklasse [0]3 liegt, also durch 3 teilbar ist, wenn
dasselbe für seine Quersumme gilt.
3.4 Die komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen treten in der Schule erstmals beim Lösen quadratischer
Gleichungen auf. Die Gleichung (mit vorgegebenen reellen p und q)
x2 + p · x + q = 0
hat im Fall q >
p2
4
die nicht-reellen Lösungen
x1,2
−p
=
±
2
r
q−
p2 √
−1.
4
√
Diese zwei nicht-reellen Lösungen sind also vom Typ a + b · −1 mit a, b ∈ R.
Wenn man mit i eine der beiden Lösungen von x2 + 1 = 0 bezeichnet, kann
man die nicht-reellen Lösungen also als a + b · i schreiben mit a, b ∈ R.
Derartige Zahlen nennt man komplexe Zahlen und bezeichnet die Menge der
komplexen Zahlen als C. Zwei komplexe Zahlen a1 + b1 · i und a2 + b2 · i sind
genau dann verschieden, wenn a1 6= a2 oder b1 6= b2 .
13
In C kann man rechnen, als wäre i eine reelle Zahl, also
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i
und, wenn man ausnutzt, dass i2 = −1 gilt,
(a + b · i) · (c + d · i) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c) · i.
Man kann dann mit (langer und mühevoller) Rechnung zeigen, dass mit dieser Addition und Multiplikation (C, +, ·) ein Körper ist.
Neutrales Element bzgl. + ist hier 0 + 0 · i, bezüglich der Multiplikation ist es
1+0·i. Invers zu a+b·i bzgl. + ist −a+(−b)·i. Bezüglich der Multiplikation
−b
a
ist a2 +b
2 + a2 +b2 i invers zu a + b · i 6= 0 + 0 · i, wie man durch Nachrechnen
feststellt,
(a + b · i) · (
a
−b
a2 − (−b)b a(−b) + ba
+
i)
=
+
i = 1 + 0 · i.
a2 + b 2 a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
Ab sofort schreiben wir a für a + b · i, wenn b = 0 (und entsprechend b · i
für a + b · i, wenn a = 0). Auf diese Weise können wir die reellen Zahlen als
Teilmenge von C ansehen und wieder 0 für das neutrale Element bzgl. + und
1 für das neutrale Element bzgl. · schreiben.
Satz 3.26 ((C, +, ·) und (R2 , +, ·) sind isomorph)
Auf der Menge R2 werden zwei Verknüpfungen eingeführt,
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) := (a · c − b · d, a · d + b · c).
Dann ist die bijektive Abbildung ϕ : R2 → C, (a, b) 7→ a + b · i verknüpfungstreu bzgl. + und ·, d.h. ϕ ist ein Isomorphismus von R2 auf C.
Definition 3.27 (Betrag, Konjugierte,
Real- und Imaginärteil)
√
2
Zu z := a + b · i ∈ C heißt |z| := a + b2 der Betrag von z und z := a − b · i
die zu z konjugierte Zahl. Man nennt Re(z) := a den Realteil und Im(z) := b
den Imaginärteil von z = a + b · i.
Satz 3.27 (komplexe Konjugation)
Seien z, w ∈ C. Dann gelten die folgenden Rechenregeln
1. z + w = z + w.
2. z · w = z · w.
3. |z|2 = z · z.
4. z −1 = |z|12 z.
14
Beweis durch Einsetzen der Definition und Ausrechnen.
Satz 3.28 (Eigenschaften der Betragsfunktion)
Seien z, w ∈ C. Dann gelten die folgenden Rechenregeln
1. |z| ≥ 0.
2. |z| = 0 ⇔ z = 0.
3. |z · w| = |z| · |w|.
4. |z + w| ≤ |z| + |w|
(Dreiecksungleichung)
Beweis Die ersten beiden Regeln folgen aus der Definition. Regel 3 folgt mit
Satz 3.27, Regel 3,
|z|2 |w|2 = zz · ww = zw · zw = |z · w|2 .
Durch Wurzelziehen bekommt man Regel 3.
Regel 4 ist mühsamer. Mit z = a + b · i und w = c + d · i bekommt man
zw = (a + b · i)(c − d · i) = ac + bd − (ad − bc)i,
zw = (a − b · i)(c + d · i) = ac + bd + (ad − bc)i,
also zw + zw = 2(ac + bd). Es gelten die Implikationen
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
(ad − bc)2 ≥ 0
a2 d2 + b2 c2 ≥ 2abcd
a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 ≥ a2 c2 + 2abcd + b2 d2
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
(eben gezeigt)
|z|2 |w|2 ≥ 41 (zw + zw)2
1
|z| · |w| ≥ 2 (zw + zw)
|z|2 + 2|z| · |w| + |w|2 ≥ zz + zw + zw + ww
(|z| + |w|)2 ≥ (z + w)(z + w) = |z + w|2
|z| + |w| ≥ |z + w|.
Weil die erste Aussage (ad − bc)2 ≥ 0 wahr ist, gilt auch die letzte Aussage,
also Regel 4.
Zur Veranschaulichung der Multiplikation in der komplexen Zahlenebene benutzt man die Polarkoordinatendarstellung: Jedes z = a + b · i ∈ C kann man
auch als z = |z|(cos(ϕ) + sin(ϕ) · i) schreiben, wobei ϕ der Winkel zwischen
der reellen Achse und der Geraden durch 0 und z ist. Anhand des rechtwinkligen Dreiecks, das die Ecken in 0, z und a + 0 · i hat, erkennt man, dass der
Realteil von z, also a, die Ankathete und der Imaginärteil von z, also b die
Gegenkathete in diesem Dreieck ist. Daher gilt
cos(ϕ) =
a
|z|
und
15
sin(ϕ) =
b
.
|z|
Satz 3.29 (Multiplikation und Polarkoordinatendarstellung)
Jede komplexe Zahl z 6= 0 hat eine Polarkoordinatendarstellung
z = |z|(cos(ϕ) + sin(ϕ) · i)
mit einem (durch z) eindeutig bestimmten Winkel ϕ ∈ [0, 2π). Für die
Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = |z|(cos(ϕ) + sin(ϕ) · i) und
w = |w|(cos(ψ) + sin(ψ) · i) gilt die Polarkoordinatendarstellung
z · w = |z| · |w|(cos(ϕ + ψ) + sin(ϕ + ψ) · i).
Beweis Die Polarkoordinatendarstellung von z · w erfolgt entweder über die
Formel von Euler-deMoivre cos(ϕ) + sin(ϕ) · i = ei·ϕ oder mit Hilfe der Additionstheoreme für den Sinus und Cosinus.
Beispiel Wir betrachten die Zahl z1 = i und zwei weitere Zahlen z2 und
bzw. um 4π
z3 , die in der komplexen Zahlenebene durch Drehung um 2π
3
3
aus z1 entstehen. Es gilt |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1. Rechnung gibt wegen z1 =
= 7π
, π2 + 4π
= 11π
cos( π2 ) + sin( π2 ) · i und wegen π2 + 2π
3
6
3
6
√
z2 = cos( 7π
) + sin( 7π
) · i = −2√3 − 12 i,
6
6
z3 = cos( 11π
) + sin( 11π
) · i = 23 − 21 i.
6
6
Die Multiplikation von z2 und z3 kann jetzt auf zwei Weisen erfolgen. Nach
der Definition der Multiplikation in C gilt
√ √
√
√
− 3
3 1 1
− 3 −1
3 −1
z2 · z3 =
·
− · +(
·
+
·
) · i = . . . = −1.
2
2
2 2
2
2
2
2
Mit der Polarkoordinatendarstellung bekommt man direkt
z2 · z3 = cos(
18π
18π
) + sin(
) · i = cos(3π) + sin(3π) = −1.
6
6
Der folgende Satz ist der Höhepunkt dieses Kapitels. Er besagt im wesentlichen, dass eine Gleichung n-ten Grads,
xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
bei beliebig vorgegebenen Zahlen an−1 , . . . , a1 , a0 immer n Lösungen in C besitzt. Dabei darf es aber sein, dass einige Lösungen mehrfach sind. Für n = 1
und n = 2 ist dieser Satz bekannt. Für n > 2 wurde er erstmal vollständig
durch C. F. Gauß in seiner Dissertation 1799 bewiesen. Inzwischen existieren
viele alternative Formulierungen dieses Fundamentalsatzes der Algebra und
auch viele verschiedene Beweise. Die Beweise erfordern aber Kenntnisse, die
16
über die von Erstsemestern hinausgehen, so dass der Beweis hier unterbleibt.
Satz 3.20 (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom
f (z) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
mit komplexen Koeffizienten an , an−1 , . . . , a1 , a0 und an 6= 0, n ∈ N, hat mindestens eine Nullstelle α in C, d.h., f (α) = 0, α ∈ C.
Dass jetzt ein Polynom vom Grad n wirklich (nicht unbedingt verschiedene)
n Nullstellen in C besitzt, sieht man folgendermaßen ein.
fn sei Polynom des Grads n mit der nach Satz 3.20 existierenden Nullstelle
αn ∈ C. Teilt man fn durch das lineare Polynom x − αn mit Rest,
fn (x) = fn−1 (x)(x − αn ) + rn−1 (x),
dann hat fn−1 den Grad n − 1 und rn−1 den Grad 0 oder rn−1 = 0. Es gilt
rn−1 (αn ) = fn (αn ) − fn−1 (αn )(αn − αn ) = 0.
Daher ist das konstante Polynom rn−1 Null, also fn (x) = fn−1 (x)(x − αn ).
Wendet man nun den Satz 3.20 auf fn−1 an, bekommt man eine Nullstelle αn−1 von fn−1 und damit entsprechend zur eben gemachten Rechnung
fn−1 (x) = fn−2 (x)(x − αn−1 ). Zusammen also
fn (x) = fn−2 (x)(x − αn )(x − αn−1 ).
Dieses Verfahren setzt man fort bis f1 , das als lineares Polynom die Darstellung
−c0
∈C
f1 (x) = c1 x + c0 = c1 (x − α1 )
mit α1 =
c1
besitzt. Insgesamt also
fn (x) = (x − αn )(x − αn−1 ) · · · (x − α1 )c1 .
Hieraus liest man dann ab, dass fn tatsächlich n (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen α1 , α2 , . . . , αn ∈ C besitzt.
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