zum beweis von c, f. gauss fur die irreduzibilitat des

Historia M a t h e m a t i c a
ii
(1984) 131-141
ZUM BEWEIS VON C, F. GAUSS FUR DIE IRREDUZIBILITAT
DES -TEN KREISTEILUNGSPOLYNOMS
BY KARSTEN JOHNSEN
MATHEMATISCHES SEMINAR,
CHRISTIAN ALBRECHTS UNIVERSITAT,
2300 KIEL I , BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND
SUMMARIES
In art. 341 der Disquisitiones Arithmeticae zeigt
C. F. Gauss die Irreduzibilitat des p-ten Kreisteilungsp o l y n o m s hp(x) = x p-I + ... + x + 1 (p ungerade Primzahl)
uber dem Korper der rationalen Zahlen.
Der Beweis
zer/allt in vier Teile.
Das einfache Argument, dab ein
reelles P o l y n o m mit jeder k o m p l e x e n Zahl z auch die konjugierte Zahl z als Nullstelle besitzt, reduziert den
Beweis auf den ersten Teil.
Es wird die Vermutung
diskutiert, dab Gauss ursprunglich an die Irreduzibilitat
von hp(x) uber einem groBeren, nicht n o t w e n d i g reelen
K o e f f i z i e n t e n b e r e i c h K gedacht hat.
Am Beispiel K = ~(i)
wird gezeigt, dab Gauss' Beweis dann in allen Teilen
sehr naturlich erscheint.
In section 341 of his Disquisitiones Arithmeticae
C. F. Gauss shows the i r r e d u c i b i l i t y of the pth cyclotomic p o l y n o m i a l hp(x) = xP -I + ... + x + 1 (p an odd
prime) over the rationals.
The p r o o f consists of four
parts.
The simple fact that a real polynomial with
complex root z also vanishes for the conjugate z reduces
the p r o o f to its first part.
We discuss the conjecture
that Gauss originally aimed at the i r r e d u c i b i l i t y of
hp(x) over a larger, not n e c e s s a r i l y real, field K of
coefficients.
From this point of view, Gauss' p r o o f
appears completely natural, as is shown for K = ~(i).
Dans l'article 341 des Disquisitiones Arithmeticae
C. F. Gauss montre l ' i r r e d u c t i b i l i t 6 du p o l y n o m e cyclotomique hp(x) = xP-I + ... + x + 1 (p p r e m i e r impair)
sur le corps des nombres rationnels.
La d e m o n s t r a t l o n
consiste en quatre parties.
Cependant, en observant
simplement que si z e s t racine d'un p o l y n o m e r6el alors
le hombre conjugu~ ~ l'est aussi, la d 6 m o n s t r a t i p n peut
etre r~duite ~ la p r e m i e r e partie.
On discutera l'hypoth~se qu'au fond Gauss a vlse l ' i r r e d u c t l b l l l t e de hp(x)
sur un corps K plus large et non n e c e s s a 2 r e m e n t r~el.
En c o n s i d ~ r a n t l'exemple K = ~(i) on montrera que sous
cet aspect la d ~ m o n s t r a t i o n de Gauss parait tres naturelle.
0315-0860/84 $3.00
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132
Karsten Johnsen
i.
HM Ii
EINLEITUNG
Das p-te Kreisteilungspolynom
hp(x)
= x p-I
+ xP -2 +
''" + x + 1
(p ungerade Primzahl) wird von keinem normierten Polynom f(x)
geteilt, das einen kleineren Grad als p-I hat und dessen Koeffizienten alle ganze Zahlen sind.
Diese Entdeckung des neunzehnjahrigen Carl Friedrich Gauss,
die so auSerordentlich fruchtbar werden sollte fur die Entwicklung der Algebra und der Algebraisehen Zahlentheorie im 19.
Jahrhundert, ist aufgezeichnet im 7. Abschnitt der D i s q u i s i t i o n e s
A r i t h m e t i c a e [Gauss 1801].
Genauer lesen wir bei Gauss:
THEOREMA.
Si functio
X per functionem
inferioris
gradus
P = x ~ + A x ~-I + Bx ~-2 + ... + Kx + L
est d i v i s i b i l i s , c o e f f i c i e n t e s A, B, ..., L omnes
integri esse nequeunt.
[Gauss 1801, art. 341]
SATZ.
niedrigeren
Wenn die F u n k t i o n
Grades
X durch
P = x ~ + Ax ~-I + Bx ~-2 +
die F u n k t i o n
''' + Kx + L
teilbar ist, so k o n n e n die K o e f f i z i e n t e n A, B, ..., L
n i c h t s a m t l i c h ganze Zahlen sein.
[Gauss/Maser 1889,
S. 402]
Im Anschlu8 an den Beweis dieses Satzes fugt Gauss als
Nachsatz hinzu:
Ex h o c t h e o r e m a t e liquet, q u o m o d o c u n q u e X in
factores resolvatur, horum coefficientes partim saltem
i r r a t i o n a l e s fieri ....
[Gauss 1801, art. 341]
Aus d i e s e m Satz geht also hervor, dass, wie auch
X in F a k t o r e n zerlegt w e r d e n n~ge, ihre C o e f f i c i e n t e n
w e n i g s t e n s zum Teil i r r a t i o n a l w e r d e n ....
[Gauss/
Maser 1889, S. 404]
Dies folgt aus dem Theorem mit Hilfe des in art. 42 der
A r i t h m e t i c a e bewiesenen 'Satzes von Gauss':
Disquisitiones
HM ii
Irreduzibilitat
des p-ten Kreisteilungspolynoms
133
S A T Z I. Sind h(x) ~ ZZ[x] und f(x), g(x) e ~[x] normierte
Polynome mit h(x) = f(x)g(x) , so gilt f(x) , g(x) ~ yZ[x] .
Zwei Dinge scheinen uns nun im Zusammenhang mit dem Theorem
bemerkenswert.
Der erst Punkt ist die Frage nach dem genauen
Zeitpunkt, an dem Gauss diesen Satz bewiesen hat.
Hieruber wollen
wir im folgenden (Abschnitt 3) kurz berichten.
Wichtiger ist uns
die Feststellung, dab der Beweis von Gauss, der auf den ersten
Blick ungeschickt und umstandlich erscheint, durch die Annahme
verstandlicher wird, Gauss habe zunachst die Irreduzibiltat von
hp(x) uber einem groSeren, nicht notwendig reellen Koeffizientenbereich nachweisen wollen.
Wir werden zeigen (Abschnitt 4), dab
zum Beispiel fur den Bereich ~(i) die SchluSweise von Gauss einen
sehr naturlichen Beweis fur die Irreduzibilitat von hp (x) ergibt.
2.
DEFINITIONEN
UND HILFSSATZE
Wir stellen zunachst einige Eigenschaften der p-ten Einheitswurzeln zusammen, die Gauss in seinem Beweis verwendet.
Es seien im folgenden p eine ungerade Primzahl und
hp(x)
=
x p - 1 _ xp_ 1 + xp- 2 + ... + x + i.
x - 1
E = { e l , e 2 , . . . , e p _ I} sei die Menge der komplexen Nullstellen von
hp(x), d.h. die Menge der primitiven p-ten Einheitswurzeln.
Wir
zitieren aus den D i s q u i s i t i o n e s
A r i t h m e t i c a e die folgenden Aussagen:
(a) E* = { l , e l , e 2 , . . . , e p _ I} ist eine zyklische Gruppe der
Ordnung p.
Setzt man e = el, so ist also E = {e,e2,e3,...,e p-I}
[Gauss 1801, art. 339].
(b) Es gilt e I + e 2 + --- + ep- 1 = -i [Gauss 1801, art. 339]
(c) Ist e ~ E und hp(e) = 0, so ist auch hp(e -I) = 0.
(d) Sei f(x) = ~ = I
(x - ai) ~ ~[x].
Fur k ~ iN sei
n
fk (x) = ~i=l
art. 338].
(x - a~).
Dann ist auch fk(x)
~ ~[x]
[Gauss 1801,
Gauss beweist dies mit Hilfe des Satzes von Newton uber die
Darstellbarkeit der Potenzsummen durch elementar symmetrische
Funktionen.
Er bemerkt ohne Beweis, da~ die Aussage (d) auch
dann gilt, falls man ~ durch ~ ersetzt.
(e) Seien ~(tl,...,ts)
~ ~ [tl,...,ts]
Dann ist Ep-I
i eine ganze,
i=O .~ (.e.~ ,.
,e s)
[Gauss 1801, art. 340].
und e l , . . . , e s ~ E.
durch p teilbare
Zahl
134
Karsten Johnsen
3.
HM ii
DAS DATIERUNGSPROBLEM
Die wichtigste
Quelle zur Enstehungsgeschichte der D i s q u i s i ist das T a g e b u c h ( N o t i z e n j o u r n a l )
[Gauss 1901],
das Gauss vom 30.3.1796 bis zum 9.10.1814 gefuhrt hat (vgl.
[Bachmann 1911; Neumann 1978]).
Im Zusammenhang mit dem Theorem aus art. 341 stehen die beiden
Eintragungen Nr. 40 und Nr. 69:
tiones
Arithmeticae
Nr. 40: A e q u a t i o n i s
multiplicatae
aggregatae
xP -I = 0 r a d i c e s
cifram producere
[Gauss 1901]
1796
per integros
non possunt.
Oct.
9 Brunsv.
D i e W u r z e l n der G l e i c h u n g xP -I = 0 m i t g a n z e n
Zahlen multipliziert
u n d a d d i e r t k o n n e n n i c h t Null
hervorbringen.
B r a u n s c h w e i g 9. Okt. 1796
[Gauss/Schuhmann
1981]
Nr. 69: Si (A) x ~ + ~ + a x ~+~-I + b x ~ + ~ - 2 + ... + n
p e r (B) x~ + ~xV -I + ~x~ -2 + "'" + m d i v i d a t u r a t q u e
o m n e s c o e f f i c i e n t e s in (A) a , b , c , etc. sint n u m e r i
integri, coefficientes
vero o m n e s in (B) r a t i o n a l e s ,
e t i a m hi o m n e s e r u n t i n t e g r i u l t i m u m q u e n u l t i m u s m
metietur.
1797
Jul.
23
[Gauss 1901]
Wenn (A) x ~ + ~ + ax ~+~-I +
(B) x~ + ~x~ -I + ~x~ -2 + ... +
K o e f f i z i e n t e n in (A) a , b , c usw.
a l l e K o e f f i z i e n t e n in, (B) a b e t
a u s n a h m s l o s g a n z e Z a h l e n sein,
T e i l e r des a m E n d e s t e h e n d e n n
[Gauss/Schuhmann
b x ~ +~-2 + ... + n d u t c h
m t e i l b a r i s t und a l l e
ganze Zahlen sind,
rationale, werden diese
und das m a m E n d e w i r d
sein.
23. Juli 1 7 9 7
1981]
Versteht man in Nr. 40 p a l s ungerade Primzahl, "radix" als
"radix primitiva" und "integros" als ganze Zahlen nicht alle
gleich Null, bedeutet diese Aussage in heutigen Begriffen
[Johnsen 1982]:
SATZ 2. Seien p eine ungerade Primzahl, h p ( x ) das p-te
Kreisteilungspolynom, el, e2, ..., ep- 1 die Nullstellen von hp(x)
und al, a2, ..., ap_ 1 ganze Zahlen nicht alle gleich Null.
Dann
gilt
ale I + a 2 e 2 +
''' + a p _ l e p _ 1 # 0,
d.h. el, e 2, • .., ep- 1 sind linear unabhangig
uber Q.
im Vektorraum
HM ii
Irreduzibilitat
2
des p-ten Kreisteilungspolynoms
3
135
l}
Wegen E = {e I , e I , e I, ..., ~ ist also a I + a2e I + a3e ~ +
"'" + a p _ l e ~ -2 # 0, d.h. e I i s t nicht Nullstelle eines Polynoms
fl (x) e ~[x] mit grad fl(x) ~ p - 2, also nicht Nullstelle eines
normierten Polynoms f(x) ~ ~[x] mit grad f(x) ! P - 2. Daraus
erkennt man, dab die Aussage der Tagebucheintragung Nr. 40 aquivalent ist zu der im oben zitierten Nachsatz aus art. 341.
Die
Gleichwertigkeit des Nachsatzes mit dem Theorem folgt jedoch
genau wie der Beweis des Theorems erst unter Verwendung des
'Satzes von Gauss' aus art 42 der D i s q u i s i t i o n e s Arithmeticae.
Aber schon Klein und Loewy weisen in ihrem Kommentar zur Eintragung Nr. 69 in [Gauss 1901], die ja auf den art. 42 hinauslauft,
auf das Ratsel bin, da~ diese etwa zehn Monate nach dem Irreduzibilitatsbeweis gemacht worden ist.
Sie schreiben:
M i t h i n mu~ Gauss die Aussage der Tagebuchnotiz
Nr. 40, die ja auf den Satz des art. 341 hinausl~uft,
am 9. Oktober entweder anders als in den D i s q u i s i t i o n e s
A r i t h m e t i c a e oder noch nicht v o l l s t a n d i g b e w i e s e n haben.
Es sind sehr viele verschiedene Beweise fur die Irreduzibilitat der Kreisteilungspolynome gegeben worden (vgl. [Dickson
1923]), jedoch ist uns keiner bekannt, der direkt die in der
Tagebuchnotiz Nr. 40 behauptete lineare Unabhangigkeit der
Nullstellen von hp(x) zeigt.
Die im Theorem selbt behauptete Eigenschaft von hp(x) lautet
in modernen Begriffen:
SATZ 3. Ist f(x) ~ C[x] ein normiertes Polynom mit 0 < grad
f(x) < p - i, das das Kreisteilungspolynom hp(X) im Polynomring
e[x] teilt, so ist f ( x ) ~ Z Z [ x ] ; d.h. h p ( x ) b e s i t z t
keinen echten
normierten Teiler f(x) ~ 7Z[x].
Man erkennt leicht, da~ dies aquivalent ist zu einer etwas
schwacheren Aussage als der in der Tagebuchnotiz Nr. 40, namlich:
SATZ 4. Es gibt keine ganzen Zahlen a2, a3,
e I = a2e 2 + a3e 3 + ... + ap_lep_ I.
..., ap_ 1 mit
Wir mochten nun, anders als Klein und Loewy, vermuten, dab
Gauss im Oktober 1796 vielleicht schon im Besitz eines Beweises
fur das Theorem in seiner tatsachlichen Formulierung gewesen ist,
jedoch noch keinen Beweis fur den Nachsatz kannte.
Dabei bleibt
naturlich das eigentliche Ratsel ungelost.
Wir wollen unsere
These vor allem durch den Nachweis stutzen, da~ der Beweis von
Gauss fur das Theorem durch leichte, ihm sicher mogliche, wenn
auch von ihm bewu~t vermiedene Anderungen ganz ohne den art. 42
auskommt.
Um dies und anderes darstellen zu konnen, mussen wir
den Beweis im einzelnen ausfuhren.
136
Karsten Johnsen
4.
HM ii
D E R B E W E I S AUS ART.
42
Der Beweis b e g i n n t mit einem langeren V o r s p a n n und ist dann
in vier Abschnitte unterteilt:
Es sei h p ( x )
= f ( x ) g ( x ) mit f(x) = IIe~F(X - e) und
- e) eine echte Zerlegung v o n h p ( X ) in
zwei Factoren f ( x ) , g(x) e C[x].
Es ist also F # ~,
G # ~ und E = F U G.
Seien F- = {e-lle e F}, G- =
{e-lie e G}, f-(x) = [[eeF(X - e -1) u n d g - ( x ) = [[eeG(X - e-1).
Dann ist E = F- U G- und h p ( x ) = f - ( x ) g - ( x ) .
g(x)
= [[eeG(X
In Klammern e i n g e s c h l o s s e n
(a) Ist f(x)
f-(x)
bemerkt Gauss nun:
= x r + ar_ixr-I
+
"-"
+ alx
+ a0,
so ist
= xr + a_!xr-1 + ... + a r - l x + 1
ao
ao
ao
Von jetzt an w e r d e n die folgenden vier Falle unterschieden:
F = F-, also
I,
II.
EnF-#¢,
III•
GnG-#~,
F N F-
IV.
f(x)
= ~, a l s o
= F(x),
F = G, f - ( x )
FALL I.
Sei F = F-, also f(x)
jedem e auch e -l , u n d daher ist
f(x)
=
T[
(x - e ) ( x
- e -1)
=
= g(x)
= f-(x).
und
f(x)
= g-(x).
Dann enthalt F mit
IT ((x - cos ~)2 + sin2~),
wobei sich das Produkt uber geeignete Winkel ~ erstreckt.
folgt:
(b) Fur alle a ~ [R ist f(a)~IR und f(a)
Daraus
> O.
Da f k ( x ) ebenso wie f(x) mit jeder N u l l s t e l l e e auch die
Nullstelle e -I besitzt, folgt mit demselben Argument:
(c)
fk(a)
FUr alle k e {i, 2, .... p - I} und alle a e IR ist
e IR und f k ( a )
> O.
Setzt man speziell x k = fk (i), so gilt also
(d) x I, x 2 . . . .
, X p _ 1 > O.
Sei nun ~(t I, t 2, .... t r) = (i - tl) (I - t 2) .... (i - t r)
ein Element ausTZ[tl, t 2, ..., tr].
Dann gilt ~(i, ..., i) = 0
HM ii
Irreduzibilitat
des p - t e n K r e i s t e i l u n g s p o l y n o m s
137
und ~(e~ . . . . . e~) = {k fur F = {el, e 2 . . . . . e r} und alle
k e {i, 2, ..., p - i}.
Mit Hilfe des oben angegebenen Satzes aus
art. 340 der D i s q u i s i t i o n e s A r i t h m e t i c a e folgt dann:
(e) x I + x 2 + "'" + Xp-i
ist eine ganze durch p teilbare
Zahl.
Wegen f l ( x ) f 2 ( x ) . . . f p _ l ( X )
(f) X l X 2 . . . X p _ l
= hp(X) r i s t
= h p ( 1 ) r = pr.
An dieser Stelle u n t e r b r i c h t
fahrt nach einem Absatz fort:
Gauss seinen G e d a n k e n g a n g
und
(g) Iam si omnes c o e f f i c i e n t e s in P [i.e., f(x)']
rationales essent, omnes quoque in P', P" etc.
[i.e., f2(x), f3(x) . . . . . fp_l(X)] per art 338
r a t i o n a l e s evaderent; per art 42 autem cuncti
c o e f f i c i e n t e s n e c e s s a r i o essent integri.
[Gauss
1801, art. 341]
Wenn nun alle K o e f f i z i e n t e n in P rational
waren, so wurden auch nach art. 338 alle
K o e f f i z i e n t e n in P', P" usw. rational werden;
nach art. 42 aber wurden alle diese K o e f f i z i e n t e n
n o t w e n d i g ganze Zahlen sein.
[Gauss/Maser 1889,
S. 403]
In der Tat ist bis zu diesem Punkt des Beweises keine
spezielle E i g e n s c h a f t der K o e f f i z i e n t e n von f(x) benutzt worden.
Setzt man jedoch die Annahme, dab f(x) rationale K o e f f i z i e n t e n
hat, ganz an den Anfang des Beweises, so hat man zwei Moglichkeiten, die A r g u m e n t a t i o n zu v e r e i n f a c h e n und die Fallunterscheidung zu beseitigen.
In seiner Theorie des nombres verwendet A. M. Legendre den
folgenden Schlu~:
On peut donner une valeur q u e l c o n q u e a x dans cette
6quation [i.e. f(x)]; soit donc x = i, et appellons p'
ce que devient P; nous aurons
p' =
(i - r)(l - s)~l - t) etc.
[i.e. x I = f(1)
=
~
eeF
(i - e)].
Le nombre p' aura aussi pour valeur 1 + a + b + c + etc.
[i.e., 1 + ap_ 1 + ap_ 2 + ... + a I + a0] , et ainsi il sera
entier; de plus, il devra ~tre positif, p u i s q u e toutes
les racines r, s, t, etc. sont imaginaires.
[Legendre
1808, S. 439]
138
Karsten Johnsen
HM ii
Legendre benutzt also die Aussage, dab ein normiertes Polynom mit reellen Koeffizienten, das keine reellen Nullstellen
besitzt, uberall, also auch fur x = 1 positive Werte annimmt.
Er verwendet dies ohne Beweis als selbstverstandlich.
Gauss
benotigt in seinem zweiten Beweis fur den Fundamentalsatz der
Algebra [Gauss 1816] einen ahnlichen Zwischwenwertsatz dafur,
dab ein reelles Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle
Nullstelle besitzt.
Den ersten Beweis fur den allgemeinen
Zwischenwertsatz gibt unseres Wissens Bolzano [Bolzano 1817;
vgl. Edwards 1979, S. 308].
Legendre schlieSt fur fk(x) genauso wie fur f(x) und erhalt
dann die Aussagen (d), (e), und (f) des Beweises von Gauss; die
Annahme, da~ F = F- gilt, ist dabei gar nicht benutzt worden.
Als Widerspruch ergibt sich dann genau wie bei Gauss im Fall I:
(h) Es gibt keine positiven ganzen Zahlen Xl, x2, ...,
Xp_ 1 mit plxl + x 2 + ''' + Xp_ 1 und XlX2''.Xp_ 1 = pr fur r < p - i.
Man kann gegen die Verbesserung von Legendre den Einwand
erheben, dab er einen unbewiesenen und auSerdem methodisch der
Arithmetik fremden Schlu~ benutzt babe.
Wir wollen den Beweis von Gauss nun in einer anderen Art
verkurzen: Es sei von Beginn des Beweises an angenommen, da~ f(x)
rationale Koeffizienten hat; da f(x) dann aber mit jeder Nullstelle e auch die konjugiert komplexe Zahl e = e -I als Nullstelle
besitzt, ist in jedem Fall F = F-, d.h. man benotigt nur den
Fall I.
Setzt man, was ja fur die Behauptung des Theorems ausreicht,
an den Anfang des Beweises die starkere Annahme, dab f(x) ganzrationale Koeffizienten hat und schlieSt dann mit dem von Gauss
in art. 338 erw'ahnten Satz, da~ in diesem Fall auch fk(x) ganzrationale Koeffizienten hat, so erhalt man wie oben behauptet
einen Beweis fur das Theorem, der ohne den "Satz von Gauss" aus
art. 42 auskommt.
Nun kann die Tatsache, da~ Gauss die Annahme (g) so spat im
Beweis einfuhrt, die Vermutung nahelegen, er habe den Beweis
zunachst fur einen allgemeineren Fall angelegt, d.h. fur einen
Koeffizientenbereich, der m~glicherweise auch nichtreelle Zahlen
enthalt.
Wir denken hierbei an den Ring ~[i] der ganzen
gauss'schen Zahlen und den zugehorigen Korper ~[i].
Die wesentlichen Eigenschaften dieser Zahlen hat Gauss in seiner Abhandlung
Theoria residuorum biquadraticorum.
Commentatio secunda [Gauss
1832] bewiesen.
Insbesondere gelten die folgenden Aussagen:
(1) In dem Ring R = ~[i] gilt der Satz v o n d e r
Zerlegung in Primelemente [Gauss 1832, art. 42].
eindeutigen
(2) Der "Satz von Gauss" aus art. 42 der Disquisitiones
Arithmeticae gilt fur ~[i] und ~(i) anstelle von ~ und ~.
HM ii
art.
Irreduzibilitat
(3) Die E i n h e i t e n
34].
des p - t e n K r e i s t e i l u n g s p o l y n o m s
in~[i]
(4) Der Satz aus art.
gilt auch fur Q(i).
sind i, -1, i, -i
338 der D i s q u i s i t i o n e s
139
[Gauss 1832,
Arithmeticae
Wir w o l l e n nun zeigen, dab der Beweis yon Gauss fur das
T h e o r e m v e r s t a n d l i c h e r wird, wenn man die B e h a u p t u n g e r w e i t e r t
zu :
SATZ 5.
Seien R = ZZ[i], p eine ungerade Primzahl und
h p ( X ) = x P -I + xP -2 + "'" + x + i.
Dann g i b e s kein n o r m i e r t e s
f(x) ~ R[x] mit 0 < grad f(x) < p - i, das hp(x) teilt.
Die B e h a u p t u n g des N a c h s a t z e s kann dann e n t s p r e c h e n d erweitert werden zu der Aussage, da~ h p ( x ) irreduzibel ist uber
e = ~i).
Wir mussen jetzt an den Anfang des Beweises die Annahme
f(x) ~ Q[x] setzten.
Dann ist auch g(x) ~ Q[x], und leicht folgt
f-(x) e Q[x].
Die U n t e r s c h e i d u n g in die Falle I, II, III, und
IV ist jetzt notwendig.
Die oben e r l a u t e r t e n B e w e i s s c h r i t t e (b),
(c), (d), (e), u n d (f) b l e i b e n unverandert.
Da aber reelle positive Zahlen aus ~ [i] wieder in ~ liegen, kann im Fall I ein
W i d e r s p r u c h genau wie im Beweis von Gauss h e r g e l e i t e t werden.
Behandeln wir nun Gauss folgend die Falle II, III, und IV:
FALL II.
Seien T = F A F- # ~ und t(x) = ~ e e T ( X - e).
Dann
ist T = T- und t(x) = g g T ( f ( x ) , f - ( x ) ) , also t(x) ~ e[x].
t(x)
erf~llt nun die V o r a u s s e t z u n g e n bzgl.
f(x) im Fall I, also ergibt
sich ein Widerspruch.
f(x)
FALL III.
durch g(x)
Folgt e n t s p r e c h e n d
ersetzt.
Fall I und Fall II, wenn man
FALL IV.
Sei F- = G, G- = F.
Dann ist f-(x) = g(x), also
h p ( x ) = f ( x ) f - ( x ) = (xr + a r _ i x r - i + ... + a o ) ( x r + (al/aO)x r-I +
+ I).
Setzt man nun x = i, so erhilt man
•
- -
p a 0 = (1 + ar_ 1 + at-2
Dabei ist a 0 eine Einheit
Gleichung
pa 0 =
in ~[i],
+ "'" + a0) 2.
also a 0 e {i, -i, i, -i}.
Die
(u + vi) 2 = u 2 - v 2 + 2uvi
hat jedoch fur kein a 0 eine Losung mit ganzen Zahlen u und v, da
p eine ungerade Primzahl ist.
Also ergibt sich auch in diesem
Fall ein Widerspruch.
140
Karsten Johnsen
HM ii
Da i eine primitive 4. Einheitswurzel ist, ist der Satz 5
ein Spezialfall des Satzes von L. Kronecker aus dem Jahre 1854,
dab das n-te Kreisteilungspolynom hn(x) irreduzibel ist ~ber dem
~6rper ~(e'), wenn e' eine primitive m-te Einheitswurzel und
ggT(n,m) = 1 ist [Kronecker 1854. S. 182].
Nat~rlich enth~it unser Versuch, den Beweis von Gauss besser
zu verstehen, die Annahme, er habe zur Zeit der Disquisitiones
Arithmeticae, also 30 Jahre vor seiner Abhandlung uber ~ [i]
wesentliche Eigenschaften dieser Zahlen gekannt.
Doch zeigen
andere Beispiele, dab Gauss manches gekannt hat, weit bevor er
es der Offentlichkeit mitteilte.
Einen Grund dafur, dab er
seinen Beweis des Theorems in dieser Form in die Disquisitiones
Arithmeticae aufgenommen hat, kann man darin sehen, dab im folgenden nichts anderes als das tatsachlich Behauptete benotigt
wird.
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HM ii
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