Elektrodynamik

Elektrodynamik
Lernziele
• Die Kapazität von Kondensatorkombinationen
berechnen können.
• Grundlegende Beziehungen und Zusammenhänge der
Elektrostatik benenhen Ladungsverteilungennen und
anwenden können:
– Feld und Potenzial von Punktladungen, Dipol, Platten,
Zylindern, Kugeln und Kombinationen daraus
– Kraft und potentielle Energie von Punktladung und Dipol
in elektrischen Feldern
– Ladung, Spannung und Energie von Kapazitäten
Experimentalphysik 2 SS2017 Elke Heinecke
Elektrodynamik
???
Kapazität
???
Energie
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Elektrostatik
Zusammenfassung VL10
1. Kapazität
Das elektrische Feld E (z.B. zwischen zwei Platten der Fläche A im Abstand d ) kann sowohl aus der Ladung Q=σA
als auch aus der Potenzialdifferenz (Spannung) U=Vf -Vi errechnet werden.
Man sieht: Ladung und Spannung sind proportional zueinander:
Q=
Q
E = ϵσ =
0
ϵ0 A
E=
U
d
Q
U
=
ϵ0 A d
ϵ0 A
Q
U =C U ⇒ C=
d
U
Der Proportionalitätsfaktor C heißt „Kapazität“. Einheit [C]= 1 Farad = 1 F = 1 C/V.
Die Kapazität gibt allgemein an, welche Ladungsmenge bei einer bestimmten Spannung vorhanden ist.
Für einen Plattenkondensator ergibt sich speziell die Kapazität
C= 0
A
d
2. Energieinhalt eines Kondensators
Um zwischen zwei Elektroden (z.B. eines Plattenkondensators) ein elektrisches Feld aufzubauen, muß man durch
eine äußere Kraft gegen das Feld Arbeit verrichten. Durch den Ladevorgang nimmt die Potenzialdifferenz U=V2-V1
zwischen den Elektroden ständig zu. Um ein Ladungselement d q von V1=0 auf das mit q zunehmende Potenzial
V2 zu verschieben, ist die Energie dW = U(q) dq erforderlich. Die komplette Aufladearbeit ergibt sich mit q=CU
Q
Q
Q
2
q
1Q 1
= CU 2
durch Integration bis zur Endladung Q: W =∫ dW =∫ U (q)dq=∫ dq=
2 C 2
0
0
0 C
Diese Aufladearbeit ist als Energie im elektrischen Feld gespeichert. Die Beziehung gilt allgemein.
3. Kombination von Kondensatoren: a) Parallelschaltung
es addieren sich
→ Kapazitäten
C Gesamt =C1C 2...=∑ C i
i
C1
C2
- +
Batterie
b) Reihenschaltung
→ Kapazitäts-Kehrwerte
1
1
1
1
C1
=  ...=∑
C Gesamt C 1 C 2
i Ci
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C2
- +
Elektrostatik
Elektrisches Feld und Feld einer Punktladung q
Unterscheidung in felderzeugende Ladung Q und Probeladung q am Ort r → Definition des elektrischen Feldes
E(r) am Ort r über die Coulombkraft pro Ladung q verursacht durch die felderzeugende Ladung Q
Elektrisches Feld einer
Punktladung Q
⃗
F
⃗ (⃗r )= = 1 Q2 ⃗r
E
q 4 π ϵ0 ∣r∣ ∣r∣
Definition
⃗
N
⃗ (⃗r )= F
E
Einheit [ E ]=
q
C
Hauptsächliche Anwendung von E:
⃗ =q E
⃗ (⃗r)
Berechnen der Coulombkraft F
r Zeigervektor von Q zum Feldort
oder, wenn Q nicht im Kooridinatenursprung sitzt.
⃗ (⃗r )=
E
⃗
FQ
⃗r −⃗r q
1
Q
=
2
q 4 π ϵ0 ∣⃗r −⃗r q∣ ∣⃗r −⃗r q∣
(1)
r Ortsvektor vom Ursprung zum Feldort
rq Ortsvektor vom Ursprung nach Q
r -rq Zeigervektor von Q zum Feldort
Darstellung von Feldern
Feldvektoren
➔
Richtung und Stärke des Feldes an jedem Raumpunkt
Feldlinien = vereinfachte Darstellung, nichts Reales.
➔
Richtung = Richtung der Feldvektoren
➔
Dichte = Stärke des Feldes
➔
Starten in positiven und enden in negativen Ladungen
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Elektrostatik
Superpositionsprinzip: Das Feld einer Punktladung q ist
im gesamten Raum unabhängig davon, ob andere
⃗ ( ⃗r )=∑ ⃗Ei ( ⃗r )
E
Ladungen da sind. Das resultierende Feld mehrerer
i
Punktladungen ist die Vektorsumme der Einzelfelder.
Beispiel Dipol
Dipolmoment ⃗p =q ⃗
d
1
Feld ⃗
E Dipol ∝ 3
r
Kontinuierliche Ladungsdichten (L Länge, A Fläche, V Volumen):
dq
C
dq
C
dq
C
ρ=
; [ρ]= 3
Linienladungsdichte λ= ; [λ ]=
Flächenladungsdichte σ= ; [σ ]= 2 Raumladungsdichte
dA
dV
dL
m
m
m
Superpositionsprinzip: Berechnung des Feldes von Ladungsverteilungen durch Superposition der Felder einzelner
Elemente. Die einzelnen Elemente können Punktladungen, Drähte, Kugeln, Platten etc. sein.
dq ⃗r −⃗r q
⃗= 1
•
(1). Man ersetzt E → dE und Q → dq
Kleinster Grundbaustein: Feld einer Punktladung d E
4 π ϵ0 ∣⃗r −⃗r q∣2 ∣⃗r −⃗r q∣
•
Das Ladungsstückchen dq kann Teil einer Linien-, Flächen- oder Volumenladungsdichte sein. Die Ladungsmengen dq sind dann jeweils dq=λ dL (Linie); dq=σ dA (Fläche); dq=ρ dV (Volumen). Wenn dq nicht punktförming ist, (sondern z.B. ein geladener Kreisring o.ä.), können wir (1) nicht anwenden.
•
Felder größerer komplexerer Objekte baut man sukzessive aus bekannten Feldern auf: Das Feld eines
ringförmigen Drahtes aus Punktladungen, das Feld einer Platte aus ineinander liegenden Kreisdrähten, das Feld
eines Kondensators aus dem Feld von Platten usw.
Feld von mehreren Platten
Beispiel:
dq=λ dL
dq=σ dA
=
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Elektrodynamik
Berechnung elektrischer Felder
Methoden
⃗r − ⃗r q
1
dq
d⃗
E ( ⃗r )=
4 π ϵ0 ∣⃗r −⃗r q∣2 ∣⃗r −⃗r q∣
1. Superposition, Integration
⃗
⃗i
E =∑ E
2. Der Satz von Gauß
q in
⃗
⃗
Φ E =∮ E ( ⃗r )⋅d A= ϵ
3. Aus dem Potenzial V
⃗
E=−∇ V
0
E s=−
dV
ds
Äußere Felder
Systematik
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Elektrodynamik
1. Maxwell-Gleichung: Gaußscher Satz:
q
∮ E⃗ (⃗r )⋅d ⃗A = ϵin
0
Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine
beliebige geschlossene Fläche ist gleich der von der
Fläche umhüllten Ladung dividiert durch ε0.
2
⃗⋅d ⃗A , wobei A ein
Der elektrische Fluß [Φ E ]= Nm
Der elektrische Fluss ist definiert als Φ E =∫ E
C
Flächenvektor ist. Der elektrische Fluss ist eine abstrakte Größe, es fließt (bewegt) sich nichts!

A
q
a2
Bei beliebigen geschlossenen Flächen ist Φ E = ϵin , wenn qin darin sitzt.
0
Flächenvektoren Jeder ebenen Fläche kann ein Flächenvektor A zugeordnet werden. A steht senkrecht
auf Fläche, |A|= Flächeninhalt. Gekrümmte Flächen: Zerlegung in kleine Flächenelemente dA, die
⃗∥⃗
⃗⊥⃗
als eben betrachtet werden können. Wenn E
A ist Φ E =EA , wenn E
A ist Φ E =0 .
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a
a
a2
Elektrodynamik
Gauß'scher Satz: Der Fluss des elektrischen Feldes durch beliebige geschlossene
Oberflächen ist proportional zur von der Oberfläche umhüllten Ladung:
q
∮ E⃗ (⃗r )⋅d ⃗A= ϵin0
Anwendung: Einfache Berechnung von E(r), wenn es geschlossene Oberflächen (Gaußflächen) gibt, für die das
Flussintegral durch das Produkt aus Flächeninhalt der Gaußfläche A(r) und E(r) ersetztbar ist. Dann kann man
einfach nach E(r) auflösen:
q
q in
⃗ ( ⃗r )⋅d ⃗A=E ( ⃗r )∫ d A=E (⃗r )⋅A( ⃗r )= ϵin ⇒ E ( ⃗r )=
Φ E =∫ E
0
ϵ0 A( ⃗r )
Gaußscher Satz: Anwendungsmethode
1. Gaußflächen: Form der Ladungsverteilung ist Form der Gaußfläche, beide liegen zentriert ineinander
2. Fallunterscheidung
a) Aussenfeld:
A(r) liegt außerhalb
der Ladungsdichte
A(r) liegt innerhalb
b) Innenfeld:
der Ladungsdichte
0≤r ≤R
3
ρ 4 /3 π r
ρ
E ( ⃗r )=
=
r
2
3 ϵ0
ϵ0 4 π r
r≥R
E ( ⃗r )=
q
2
ϵ0 4 π r
Für das Aussenfeld bleibt die eingeschlossene
Ladung und damit der Fluss konstant. Wenn
A(r) wächst, muss E(r) genau invers abnehmen.
01.06.17
An der Oberfläche
c) Probe: müssen beide
Felder gleich sein.
Für das Innenfeld wächst die die eingeschlossene Ladung,
wenn A(r) wächst. Der Fluss nimmt zu. Wenn der Fluss
schneller wächst als die Fläche, muss E(r) zunehmen.
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Elektrodynamik
E
Das elektrische Potenzial
Zieht man zwei entgegengesetzte Ladungen -q, +Q auseinander, muss dazu Arbeit W
durch eine äußere Kraft verrichtet werden. Dadurch erhöht sich die potenzielle Energie Epot
des Systems aus beiden Ladungen. Die potenzielle Energie pro Ladung, also Epot/q nennt
man das Potenzial V(r) der Ladung Q. Per Konvention wählt man oft V(r=∞)=0.
f
⃗ außen⋅d ⃗s
W if =∫ F
i
f
Δ E pot ,if =−∫ q ⃗
E ( ⃗r )⋅d ⃗s
i
Finnen
ΔV =
Δ E pot
q
+Q
r
Fa
s
(Hinweis: Das Vorzeichen von W kann auch anders gewählt
werden, das Vorzeichen von V und Epot ist jedoch eindeutig
festgelegt.)
Die elektrische Spannung U ist die Potenzialdifferenz zwischen zwei Orten i und f :
f
U =V f −V i =−∫ ⃗
E⋅d ⃗s
i
Potenzial und Spannung haben die Einheit Volt: [V]=1 J/C = 1 V (Volt).
Der Zahlenwert des Potenzials hängt vom gewählten Nullpunkt, der der Spannung nicht.
Q 1
positive Ladung → positives Potenzial
V ( r )=
→ Potenzial einer Punktladung Q mit V(∞)=0
negative Ladung → negatives Potenzial
4 π ϵ0 r
⃗V
→ Berechnung des Feldes aus dem Potenzial
⃗ =−∇
E
→ Die potenzielle Energie von q und Q im Abstand r
E pot =q V ( ⃗r )
(Hinweis: Sprachlich sagt man oft nur
„die potenzielle Energie von q ...“)
Potenziale kann man als Höhenprofile einer elektrostatischen Potenziallandschaft auffassen. Die Landschaft zeichnet man, indem man das Potenzial an jedem Ort berechnet und grafisch darstellt. Positive Ladungen erzeugen Berge, negative Ladungen
Täler. Positive Ladungen wollen darin immer nach unten, negative Ladungen nach
oben. Verbindet man Orte mit gleichem Wert des Potenzials erhält man die
Höhenlinien (Äquipotenziallinien). Flächen, auf denen das Potenzial den gleichen Wert
hat, nennt man Äquipotenzialflächen. Elektrische Feldlinien stehen immer senkrecht
auf Äquipotenziallinien oder -flächen.
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+
-
–q