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Design of optical fibers 2. Optik 2.1 Core: Thin glass center of the fiber that carries the light Geometrische Optik und Strahlenoptik 2.1.1 Was ist geometrische Optik? Cladding: Surrounds the core and reflects the light back into the core x Welleneigenschaften des Lichtes werden vernachlässigt Buffer coating: Plastic protective coating x Grenzfall Wellenlänge O o 0 x geeignet, wenn Ausdehnung des betrachteten Problems wesentlich größer als die Wellenlänge ist. Grundgesetze ncore > ncladding x Ausbreitung des Lichtes in Form von Strahlen x geradlinige Ausbreitung in homogenen Medien x Reflexionsgesetz x Snellius'sches Brechungsgesetz EP III, WS 04/05 LMU S. Lochbrunner Physik 2.1.2 Das Fermat'sche Prinzip Die Lichtausbreitung erfolgt entlang einem extremalen optischen Weg, d. h. entlang des kürzesten (die Regel) oder längsten optischen Weges. Was ist ein Strahl? Realisierung: Aus Wellenfront, die von einer sehr kleinen (punktförmigen) Lichtquelle ausgeht, wird durch Einbringen einer Blende ein begrenztes Lichtbündel ausgeblendet. Optischer Weg: Summe aller Wegstücke multipliziert mit dem jeweiligen Brechungsindex P Der optische Weg S Verringert man nun den Durchmesser der Blende, so erhält man, für den Grenzfall Oĺ 0, ein ideal dünnes Lichtbündel, den Lichtstrahl. G ³ n x ds Q von Q nach P ist extremal. Hier ist der Weg S 0 kürzer als alle anderen Wege S i und beschreibt daher die Lichtausbreitung. Der Lichtstrahl ist parallel zum Poynting-Vektor (Richtung des Energieflusses) der elektromagnetischen Welle und damit in isotropen Medien parallel zum Wellenvektor (k). andere Formulierung: extremale Laufzeit Das Fermat'sche Prinzip lässt sich aus der Wellentheorie ableiten. Lichtbündel: räumlich begrenzte Welle Aus dem Fermat'schen Prinzip folgt wiederum die geradlinige Ausbreitung in homogenen Medien, das Reflexionsgesetz und das Snellius'sche Brechungsgesetz. Beispiele: Gaussbündel, Laserstrahl (also eigentlich Laserbündel) EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik 2.1.4 Optische Abbildung In inhomogenen Medien kann die Lichtausbreitung krummlinig sein. Bei einer optischen Abbildung soll Licht, das von einem Punkt P1 (Gegenstandspunkt) ausgeht, in einem Punkt P2 (Bildpunkt) wieder vereinigt werden, so dass ein punktförmiges Abbild von P1 entsteht. Beispiel: Luftspiegelungen, Fatamorgana Lufttemperatur und damit die Dichte und der Brechungsindex variieren mit Höhe. x ebener Spiegel eigentliche Abbildung entsteht erst im Auge. Die Lichtstrahlen werden auf der Netzhaut zusammengeführt. 2.1.3 Strahlablenkung durch ein Prisma G Prisma mit Scheitelwinkel Į aus einem transparenten Medium mit Brechungsindex n Beobachter hat aber den Eindruck, dass die Strahlen vom Punkt A' ausgehen: Ein- und ausfallender Strahl in einer Ebene (Zeichenebene) senkrecht zu brechenden Flächen. Mit Hilfe des Brechungsgesetzes ergibt sich der Ablenkwinkel G als Funktion des Einfallswinkel T e1 : virtueller Bildpunkt: Würde man an der Stelle B' einen Schirm aufstellen, wäre im Gegensatz zu einem reellen Bild keine Abbildung zu sehen T e1 D arcsin sin D n 2 sin 2 T e1 sin T e1 cos D x Lochkamera Idealisiert betrachtet wird einfach nur ein Strahl durchgelassen. hängt vom Brechungsindex ab: blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes. EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik 2.1.5 Sphärischer Hohlspiegel S. Lochbrunner LMU Physik Abbildung eines Punktes A auf der Achse: Ebene Spiegel liefern 1:1 Bilder, während gekrümmte Spiegelflächen verkleinerte oder vergrößerte Bilder erzeugen. Bei einem sphärischen Hohlspiegel werden die beiden parallelen Strahlen 1 und 2 nach dem Reflexionsgesetz reflektiert und schneiden sich im Punkt F, dem Brennpunkt. FM und daher OF = R ( 1 1 ( 2 cos B ) ) damit OF R 2 º DJ GD H + C = 2E Näherungsweise gilt für achsennahe Strahlen: h g und somit: f E | tan E LMU Physik h b G | sin G h R 1 1 2 1 | | g b R f Abbildungsgleichung: Beziehung zwischen Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b Der Abbildungsmaßstab ist Für paraxiale Strahlen ist die Brennweite f eines sphärischen Spiegels gleich dem halben Kugelradius und unabhängig von h. Es werden also alle Strahlen in f vereinigt. Mit zunehmendem Abstand h stimmt dies nicht mehr und f nimmt ab. S. Lochbrunner G E Es gilt: J | tan J R cos D 2 Es gilt Paraxiale Näherung: Für kleine Abstände h von der Symmetrieachse MO (paraxiale Strahlen) wird D sehr klein und damit cos D | 1 (und sin D | D ). EP III, WS 04/05 EP III, WS 04/05 M G B AA ' BB' gR Rb g b Je nach Abstand des Gegenstands zum Spiegel entsteht ein reelles oder virtuelles Bild. EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik Beim konkaven Spiegel liegt der Krümmungsmittelpunkt auf der Seite des Gegenstands, beim konvexen auf der entgegengesetzten. 2.1.6 Linsen Für eine korrekte Abbildung wird ein Parabolspiegel benötigt. Brechung an einer gekrümmten Fläche Geometrische Konstruktion einer Abbildung Strahl fällt auf die Grenzfläche zwischen Medien mit Brechungsindex n 1 und n 2 und wird dort gebrochen. Weiß man dass sich alle Strahlen im Bildpunkt treffen, kann man diesen finden, indem man die Schnittpunkte ausgewählter, einfach zu handhabender Strahlen betrachtet. Für paraxiale Strahlen ( h R ) gilt p OA x Strahl , parallel zur Achse, der nach der Reflexion durch den Brennpunkt geht. x Strahl ,, durch den Schnittpunkt AchseKugelschale, der symmetrisch zur Achse reflektiert wird. x f < D E D f R Und damit DE Da die Winkel klein sind n 1 D | n 1 sin D R<D | f <J n 2 sin E | n 2 E Es folgt für die Brennweite f 2 im Medium 2 (näherungsweise) f2 Strahl ,,,, der durch den Brennpunkt und nach der Reflexion parallel zur Achse läuft. n2 · n 2 n1 E R §¨ ¸R n n 2 n1 E E © 2 n1 ¹ Analog zur obigen Ableitung folgt für die gegenstandsseitige Brennweite f1 EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik Zur Herleitung des Abbildungsgesetzes beachten wir GH n1 G H E § n1 · R ¨n n ¸ © 1 2¹ EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik Dünne Linsen Eine Linse besteht aus einem durchsichtigen Medium mit Brechzahl n 2 , das auf beiden Seiten durch polierte und gekrümmte Flächen von einem Medium mit Brechzahl n 1 (z. B. Luft) getrennt ist. n1 D | n 2 E D f1 GJ Wir betrachten sphärische Flächen und als einhüllendes Medium Luft ( n 1 n2 G J 1 und n 2 n ). Die Klassifizierung von Linsen erfolgt nach den beiden Krümmungsradien. R ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der der Lichtquelle abgewandten Seite liegt, und R>0 negativ, wenn der Krümmungsmittelpunkt zur Lichtquelle orientiert ist. p PO R<G | b< J | a<H Für eine dünne Linse muss der Abstand der Flächen sehr klein sein. also n1 n 2 a b oder EP III, WS 04/05 n1 H n 2 J R<G R<G n1 n 2 a b n 2 G n1 G R<G n2 f2 n 2 n1 R Die Wirkung der Linse entspricht aufeinanderfolgenden Abbildungen der beiden gekrümmten Grenzflächen. n 1 f1 1. S. Lochbrunner LMU Physik n1 1 und n 2 EP III, WS 04/05 n 1 n a1 b1 n 1 R1 S. Lochbrunner LMU Physik a 1 d 2 und b b 1 d 2 gilt für die Ohne 2. Fläche würde das Bild von A bei B 1 entstehen. Mit a Dieser Bildpunkt wird als Gegenstand für die 2. Abbildung verwendet. dünne Linse ( d a,b ) die 2. n1 n und n 2 1 a2 Linsenmacherformel b1 d 1 1 a b 1 1 · ¸ © R1 R 2 ¹ n 1 §¨ 1 f Die zwei Brechungen sind näherungsweise durch eine Brechung an der Mittelebene der Linse zu beschreiben. n 1 b1 d b 2 1 n R2 Die Lateralvergrößerung M ist M BB' AA ' b a f f a Für M < 0 steht das Bild auf dem Kopf; dies tritt für a > f auf. Addition ergibt 1 1 a1 b 2 Für a = 2 f folgt M = -1 ( 4-f Anordnung ). 1 1 · n n ¸ b b d R R © 1 2¹ 1 1 1 1 · n<d § n 1 ¨ ¸ © R1 R 2 ¹ b1 b1 d n 1 §¨ Für eine bikonvexe Linse gilt R 1 R 2 und damit f R2 n 1 Für n = 1,5 (optisches Glas) ist also f=R Für eine plan-konvexe Linse gilt f man vergleiche dies mit der Brennweite eines Hohlspiegels EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik f 2R R 2 S. Lochbrunner LMU Physik Abbildungskonstruktion bei Linsen Linsentypen a) bikonvex b) plan-konvex c) d) EP III, WS 04/05 EP III, WS 04/05 R n 1 die Brennpunkte FG und FB sind von der Linsenebene gleichweit (Brennweite f) entfernt x Strahl , parallel zur Achse geht nach der Brechung durch den bildseitigen Brennpunkt geht. x Strahl ,, durch den Linsenmittelpunkt wird nicht gebrochen, da dort die Flächen parallel sind. x Strahl ,,,, der durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt geht, ist nach der Brechung parallel zur Achse. konvex-konkav bikonkav e) konkav-plan f) nicht-sphärisch S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 Sammellinse = konvexe Linse Zerstreuungslinse = konkave Linse S. Lochbrunner LMU Physik
