Script 2
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Ampèresches Gesetz: G G B ⋅ dA = µ 0 ⋅ I Maxwellscher Verschiebestrom G Gemäß Ampèreschen Gesetz gilt B ⋅ d A = µ 0 I , wenn I der Strom ist, der insgesamt für einen Integrationsweg, der die Fläche umschließt, durch die der Strom I fließt. durch eine beliebige Fläche fließt, deren Rand die geschlossene Kurve C ist. Dies gilt für alle Flächen, deren Rand C ist; insbesondere auch nicht ebene Flächen. v∫ v∫ G Was ist, wenn ein Leiter endet und man zwei Flächen wählen kann, eine, die vom Leiter durchstoßen wird, und eine, die dem Leiter ausweicht. G G G v∫ B ⋅ d A = ∫ rotB ⋅ n dA Satz von Stokes mit C G ⎛ ∂B z ∂B y ∂B x ∂B z ∂B y ∂B x ⎞ rotB = ⎜ , , − − − ∂z ∂z ∂x ∂x ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂y Beispiel: Fläche wird zwischen die Platten eines Kondensators gelegt. Maxwellscher Verschiebestrom I V = ε 0 ∗ zeitliche Änderung des elektrischen Flusses gibt Verwirbelung eines Feldes wider G G G Stromdichte j : I = j ⋅ n dA ∫ I ist Gesamtstrom durch die Fläche A IV = ε0 differenzielle Form des Ampèreschen Gesetzes: G G rotB = µ 0 ⋅ j dann S. Lochbrunner G G G G d LMU Physik G G differenzielle Form G G G G v∫ B ⋅ d A = ∫ rotB ⋅ n dA G G ∂ G rotB = µ 0 j + µ 0 ε 0 E ∂t S. Lochbrunner LMU Physik Eine Leiterschleife befindet sich in einem Magnetfeld. An ihren Enden kann eine Spannung ≠ 0, die Induktionsspannung, abgegriffen werden, wenn Zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ruft ein Magnetfeld hervor! • sich die Schleife dreht • die Schleifengröße verändert wird • das Magnetfeld inhomogen ist und die Schleife verschoben wird Außerdem • sich das Magnetfeld verändert Magnetische Feldlinien sind geschlossen Es gibt keine magnetischen Ladungen (Monopole). Alle magnetischen Feldlinien sind geschlossen und der magnetische Fluss in ein Volumen hinein ist immer 0. G G ρ magnetisch = 0 bzw. B ⋅ n dA = 0 ∫ G div B = 0 EP III, WS 04/05 EP III, WS 04/05 dΦ el dt 1.1.3 Induktionsspannung und Faradaysches Gesetz v∫ B ⋅ d A = µ 0 ∫ j ⋅ n dA + µ 0 ε 0 dt ∫ E ⋅ ndA C Satz von Stokes G v∫ B ⋅ d A = µ 0 ( I + I V ) = µ 0 I + µ 0 ε 0 C EP III, WS 04/05 Integralform dΦ el dt S. Lochbrunner LMU Physik zusammengefasst, wenn sich der magnetische Fluss durch die Schleife mit der Zeit ändert. EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik magnetischer Fluss Φ mag = 1.1.4 Zusammenstellung der Maxwellgleichungen G G Integralform G G ∑ B ⋅ n ∆A i = ∫ B ⋅ n dA ∆A i → 0 lim Gaußsche Form des i G G ∫ E ⋅ n dA = Coulomb Gesetzes Faradaysches Gesetz U ind = G G v∫ E ⋅ d A = − Magnetische Feldlinien ∫ G ρ div E = ε0 Q innen ε0 G div B = 0 G G ∫ B ⋅ n dA = 0 sind geschlossen dΦ mag d G G B ⋅ n dA =− dt dt differenzielle Form Faradaysches U ind Induktionsspannung v∫ Induktionsgesetz verallgemeinertes Ampèresches ⇒ Eine Magnetfeldänderung ruft ein elektrisches Feld hervor Gesetz G G G G ∂B rotE = − ∂t G G d G G E ⋅ dA = − B ⋅ n dA dt ∫ G G d G G v∫ B ⋅ d A = µ 0 ∫ j ⋅ n dA + µ 0 ε 0 dt ∫ E ⋅ ndA C G G ∂B rotE = − ∂t differenzielle Formulierung: EP III, WS 04/05 1.2 LMU S. Lochbrunner Physik EP III, WS 04/05 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 + + ⎜⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎝ 1.2.1 Wellengleichung Kombination Faradaysche Induktionsgesetz und Ampèresches Gesetz G G G ⎛ ∂B ⎞ ∂ rot ( rotE ) = rot ⎜ − = − ( rotB ) = ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ G ∂⎛ ∂ G ∂2 G µ 0 j + µ 0 ε 0 E ⎞⎟ = −µ 0 ε 0 E ⎜ ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂t 2 G G ⎛ ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 rot ( rotE ) = ⎛⎜ , , ⎞⎟ ( div E ) − ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ G wegen div E = 0 im Vakuum EP III, WS 04/05 LMU Physik G ⎞G ∂2 G B = ∆B = µ 0 ε 0 B ⎟⎟ ∂t 2 ⎠ Betrachtet man Felder, die sich nur in einer Raumrichtung (z) verändern und entlang der beiden anderen Koordinatenachsen konstant sind, lassen sich die Gleichungen schreiben: ∂2 G ∂2 G E = µ0 ε0 E 2 ∂z ∂t 2 G wegen j = 0 ⎞G ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎟⎟ E = − ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂2 G ∂2 G B = µ0 ε0 B ∂z 2 ∂t 2 ⎞G ⎟⎟ E ⎠ entsprechen der aus der Mechanik bekannten Wellengleichung. damit ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ⎝ ∂x S. Lochbrunner ebenso Elektromagnetische Wellen im Vakuum =− G G ∂ G rotB = µ 0 j + µ 0 ε 0 E ∂t Auch wenn in den Gleichungen jeweils nur ein Feld erscheint, sind E- und B-Feld über die Maxwell-Gleichungen miteinander verknüpft und propagieren zusammen. Die Änderung des E-Feldes ruft das B-Feld hervor und umgekehrt. G ⎞G ∂2 G ⎟⎟ E = ∆ E = µ 0 ε 0 2 E ∂t ⎠ S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik 1.2.2 Ebene Wellen ⎛ −g ( z ± c t ) ⎞ G 1 B = ± ⎜ f(z ± ct) ⎟ ⎟ c ⎜⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⇒ Betrachtet man Felder, die in Richtung der x- und y-Achse konstant sind, erfüllen Felder ⎛ f(z ± ct) ⎞ G E(z,t) = ⎜ g ( z ± c t ) ⎟ mit c = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ das heißt 1 µ0 ε0 G G G 1 G B = E & B steht senkrecht auf E und auch senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung c (hier z). G G G B und E breiten sich völlig synchron, das E G heißt mit gleicher Phase z ± c t aus. ẑ Solche Wellen, werden als ebene Wellen G B bezeichnet, da die E- und B-Felder auf jeder G die Wellengleichung und div E = 0 . Beschreibt Felder, die nur entlang einer Achse (hier z) und mit der Zeit variieren. Diese stehen auf der Ausbreitungsrichtung (hier z) senkrecht, es handelt sich um eine transversale Welle. (Gilt auch in isotropen (richtungsunabhängige) Medien.) Was ist in so einem Fall das dazugehörige B-Feld? Ebene parallel zur x-y-Ebene konstant sind. ∂0 ∂g ( z ± c t ) ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ∂y ∂z G ⎜ ⎟ ⎛ −g′ ( z ± c t ) ⎞ G ⎜ ∂f ( z ± c t ) ∂0 ⎟ = ⎜ f ′ z ± c t ⎟ = − ∂B − rotE = ⎜ ( ) ⎟ ⎜ ⎟ ∂z ∂x ∂t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎠ ∂ ± ∂ ± g z c t f z c t ) ( )⎟ ⎜ ( − ⎜ ⎟ ∂x ∂y ⎝ ⎠ EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner Die Phase z ± c t ist innerhalb jeder dieser Ebenen konstant; es liegt eine ebene Phasenfront vor. Phasenfront bezeichnet eine Fläche, entlang der die Phase konstant ist. LMU Physik EP III, WS 04/05 Phasengeschwindigkeit LMU Physik Historische Messungen der Lichtgeschwindigkeit Ole Rømer,1675 Die Welle hat zu einem Zeitpunkt t 1 an einem Ort z 1 eine bestimmte Phase ϕ = z 1 − c t 1. (Die Welle breitet sich in positiver z-Richtung aus.) Bestimmung der Umlaufperiode des Jupitermondes Io und des Verfinsterung durch Jupiter in Abhängigkeit von der Stellung der Erde. Wann erreicht diese Phase den Ort z 2 , d. h. zu welchem Zeitpunkt t 2 gilt z 2 − c t 2 = ϕ = z1 − c t 1 geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen c= ∆z z 2 − z 1 c t 2 − c t 1 = = ∆t t 2 − t1 t 2 − t1 c= f = Drehfrequenz des Zahnrads Ergebnis c = 3,15 ⋅ 10 8 1 m = 2,99 792 458 ⋅ 10 8 s µ0 ε0 S. Lochbrunner 2d = 2d ⋅ N ⋅ f ∆T N = Zahl der Zahnradzähne v Phase = c Lichtgeschwindigkeit = Ausbreitungs- m s Zahnradmethode Phasengeschwindigkeit = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phase v Phase = Ergebnis c = 2,3 ⋅ 10 8 Armand Fizeau, 1849 z 2 − z1 = c t 2 − c t 1 ? bzw. EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 m s S. Lochbrunner LMU Physik 1.2.3 Periodische Wellen Die Wellenfunktion soll sich mit der räumlichen Periode, d. h. mit der Wellenlänge λ wiederhohlen. Ansatz G G 2π E ( z,t ) = E 0 sin ⎛⎜ ( z − c t ) + ϕ 0 ⎞⎟ ⎝ λ ⎠ nimmt für alle Wiederholt sich auch zeitlich, und zwar mit der Periodendauer Die Schwingung hat damit die Frequenz Zur einfacheren Schreibweise definiert man die Wellenzahl und die Kreisfrequenz z = z 0 , z 0 + λ , z 0 + 2 λ , z 0 + 3 λ , ... T= ν= λ c 1 c = T λ k= 2π λ ω = 2π ν G G G z t E ( z,t ) = E 0 sin ⎛⎜ 2π ⎛⎜ − c ⎞⎟ + ϕ 0 ⎞⎟ = E 0 sin ( k z − ω t + ϕ 0 ) T⎠ ⎝ ⎝λ ⎠ die gleichen Werte an Phasengeschwindigkeit für periodische Wellen G E 0 ist die Amplitude und v Phase = c = ω = ν⋅λ k ϕ 0 die Phase bei z = 0 und t = 0 . EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik Ebene Sinuswelle mit beliebiger Ausbreitungsrichtung G k = ( k x ,k y ,k z ) Definition des Wellenvektors Sein Betrag ist gleich der Wellenzahl Licht besteht aus G 2π k = λ und seine Richtung ist die Ausbreitungsrichtung. G G G G G G E ( r,t ) = E 0 sin ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) = E 0 sin ( k x ⋅ x + k y ⋅ y + k z ⋅ z − ω t + ϕ 0 ) elektromagnetischen Wellen G G G Damit Maxwellgleichungen erfüllt sind, müssen k, E und B zueinander senkrecht stehen. Viele andere Strahlungsarten stellen ebenfalls G G G G k ⋅ r1 = k ⋅ r2 elektromagnetische Wellen dar Phasenfronten sind durch G G k ⋅ r = kons tan t G gegeben, da an all diesen Punkten r die Welle die gleiche Phase hat. Phasenfronten sind Ebenen senkrecht zu G k und damit zur Ausbreitungsrichtung EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik EP III, WS 04/05 S. Lochbrunner LMU Physik
