Inhaltsverzeichnis §1 Die reellen Zahlen

Inhaltsverzeichnis
§1
§2
§3
§4
§5
§6
§7
§8
§9
§10
§11
§12
Die reellen Zahlen . . . . . . . . .
Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Die komplexen Zahlen . . . . . . .
Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . .
Matrizen über R und C . . . . . .
Determinanten . . . . . . . . . . .
Vektorräume . . . . . . . . . . . .
Der Vektorraum K n . . . . . . . .
Stetige Funktionen . . . . . . . . .
Differenzierbare Funktionen . . . .
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338
$Id: reell.tex,v 1.42 2017/02/18 17:05:39 hk Exp $
Vorlesung 1, Montag 24.10.2016
§1
Die reellen Zahlen
Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die norma”
len Zahlen“ und man kann sie sich etwa als alle abbrechenden und nicht abbrechenden
Dezimalzahlen denken. Wir werden einige der Grundeigenschaften der reellen Zahlen
hier herleiten, dies geschieht nicht weil an diesen irgendein Zweifel besteht sondern um
die in der Mathematik verwendeten Beweismethoden an einigen einfachen Beispielen
vorzuführen. Mathematik ist keine empirische Wissenschaft, man kann mathematische
Aussagen nicht durch Versuche oder die Erhebung irgendwelcher Daten begründen,
es steht nur ein rein deduktives Vorgehen zur Verfügung. Eine solche deduktive Begründung einer mathematischen Aussage nennt man dann einen Beweis derselben.
1.1
Die Arithmetik der reellen Zahlen
Auf den reellen Zahlen sind zwei Grundrechenarten gegeben, zu je zwei reellen Zahlen
x, y sind eine Summe x + y und ein Produkt x · y definiert. Dabei sind Summe und
Produkt selbst wieder reelle Zahlen. Dass bei den Grundrechenarten Subtraktion und
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 24.10.2016
Division erst einmal fehlen ist beabsichtigt, diese zählen wir nicht zu den vorgegebenen Grundoperationen sondern wir werden sie definieren. Wie gesagt wollen wir einige
Grundrechenregeln der reellen Zahlen beweisen. Es gibt drei verschiedene grundsätzliche Beweismethoden, die wir auch alle kennenlernen werden, und die am häufigsten
angewandte Methode ist der sogenannte direkte Beweis. Bei diesem wird eine Kette
von Folgerungen hingeschrieben die mit der zu beweisenden Aussage endet.
Man kann dabei nicht alle Rechenregeln beweisen, man braucht ja irgendwelche
bereits feststehende Tatsachen mit denen die Folgerungskette beginnen kann. Diese
Grundannahmen mit denen alles anfängt und deren Wahrheit man von vornherein
annimmt, werden in diesem Zusammenhang Axiome“ genannt, bei den reellen Zahlen
”
haben wir dann die Axiome der reellen Zahlen“. In der Auswahl dieser Axiome liegt
”
eine gewisse Willkür, es gibt aber einen üblichen Satz von Axiomen die wir auch hier
verwenden wollen. Sind die Axiome aber einmal gewählt so sind sie auch alles was wir
an unbegründeten Tatsachen akzeptieren wollen, alles darüber hinausgehende bedarf
eines Beweises.
Insgesamt gibt es 16 Axiome für die reellen Zahlen die der Übersichtlichkeit halber in
vier Gruppen aufgeteilt werden. Die erste dieser Gruppen sind die Axiome für Addition
und Multiplikation und diese werden als die sogenannten Körperaxiome bezeichnet, das
Wort Körper“ hat hier aber nichts mit irgendwelchen geometrischen Objekten zu tun.
”
Wir listen die Körperaxiome jetzt auf:
Die Körperaxiome:
(A1) Das Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt
(x + y) + z = x + (y + z).
(A2) Das Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y gilt
x + y = y + x.
(A3) Es gibt eine reelle Zahl 0, genannt Null, mit 0 + x = x für jede reelle Zahl x.
(A4) Für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl −x, genannt das additive Inverse
von x, mit (−x) + x = 0.
(M1) Das Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt
(x · y) · z = x · (y · z).
(M2) Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y gilt
x · y = y · x.
(M3) Es gibt eine reelle Zahl 1, genannt Eins, mit 1 6= 0 und 1 · x = x für jede reelle
Zahl x.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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(M4) Für jede reelle Zahl x mit x 6= 0 existiert eine reelle Zahl x−1 , genannt das
multiplikative Inverse von x, mit x−1 · x = 1.
(D) Das Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt
x · (y + z) = x · y + x · z.
Im Distributivgesetz, und natürlich auch sonst, verwenden wir hier die übliche Konvention Punkt vor Strich“. Diese ist allerdings kein Axiom, ja nicht einmal eine mathe”
matische Aussage, sondern nur eine Frage der Notation. Auch Multiplikationszeichen
werden wir im Folgenden meist weglassen. Im Axiom (M3) ist es übrigens wirklich
notwendig 1 6= 0 zu fordern, lassen wir diese Bedingung weg, so könnte Null die einzige
reelle Zahl sein. Aus den Körperaxiomen kann man alle arithmetischen Rechenregeln
folgern, wenn man so will beschreiben die Körperaxiome genau das normale Rechnen“.
”
Die Körperaxiome sind auch weitgehend minimal, d.h. man kann, mit einer Ausnahme,
keines dieser Axiome aus den anderen Axiomen herleiten. Die einzige Ausnahme ist das
Kommutativgesetz der Addition, dieses folgt aus den restlichen Axiomen.
Wir werden hier exemplarisch einige Rechenregeln für die reellen Zahlen beweisen,
und beginnen mit der für jede reelle Zahl x gültigen Regel
−(−x) = x.
Beachte das wir hier kein x“ bestimmen müssen, dies ist keine Gleichung die es auf”
zulösen gilt. Gemeint ist das wann immer wir für x eine reelle Zahl einsetzen so entsteht
eine wahre Aussage, es gelten also beispielsweise −(−1) = 1, −(−127, 53) = 127, 53
und so weiter. Wir behaupten also:
(F1) Für jede reelle Zahl x gilt −(−x) = x.
Das F1“ soll dabei für Folgerung 1“ stehen, dies ist keine feststehende Bezeichnung
”
”
dieser Aussage sondern nur ein temporärer Name für die Zwecke dieses Abschnitts. Wie
schon gesagt bedarf jede mathematische Aussage eines Beweises, und einen solchen
wollen wir nun vorführen.
Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann ist
(A3)
(A2)
(A4)
− (−x) = 0 + (−(−x)) = (−(−x)) + 0 = (−(−x)) + ((−x) + x)
(A1)
(A4)
(A3)
= ((−(−x)) + (−x)) + x = 0 + x = x.
Wir wollen diesen Beweis jetzt noch etwas kommentieren und zunächst die Verwendung
von Variablen erläutern. Im normalen Sprachgebrauch ist eine Variable eine Größe
deren Wert sich im Laufe der Zeit oder in Abhängigkeit anderer Größen ändert, aber
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 24.10.2016
in der Mathematik wird das Wort Variable“ in einem etwas anderen Sinne verwendet.
”
Nehmen wir etwa die Variable x im Lemma. Diese wurde mit Sei x eine reelle Zahl“
”
eingeführt, und dies meint das wir uns eine reelle Zahl nehmen und dieser den Namen
x geben. Diese Zahl ändert sich dann im folgenden nicht, der Wert von x ist nicht etwas
variables“ und es ist beispielsweise völlig sinnlos so etwas wie Sei x := 3“ sagen zu
”
”
wollen, man könnte allerhöchstens den Fall betrachten das x gleich 3 ist. Variablen in
der Mathematik sind nur Namen für mathematische Objekte und keine sich ändernden
Größen, die Namensgebung Variable“ kommt daher das etwa unsere Variable x ein
”
Name für eine völlig beliebige reelle Zahl ist, die Variabilität liegt in den potentiell
möglichen Werten für x aber eben nicht im gewählten Wert selbst. Dies weicht vom
üblichen Sprachgebrauch etwas ab, aber daran muss man sich letztlich gewöhnen.
Es gibt einige, wenige Ausnahmen zum oben gesagten, beispielsweise die Integrationsvariable in einem bestimmten Integral wie
Z 1
x2 dx.
0
Das Symbol x“ ist hier eine echte“ Variable, man spricht hier auch von einer for”
”
”
malen Variablen“. Derartige Variablen treten immer nur in gebundener Form“ auf,
”
beispielsweise gibt
R 1es das ”x“ im obigen Integral nur innerhalb des Integranden, For2
meln wie x /2 = 0 x dx sind weder wahr noch falsch sondern nur unsinnig. Ein weiteres
Beispiel für formale Variablen kommt in unserer Behauptung Für jede reelle Zahl x ist
”
−(−x) = x“ vor, das x“ ist hier in der Allaussage gebunden. Jede Variable muss ein”
geführt werden, insbesondere müssen wir in unserem Beweis die Variable x einführen
und dies geschieht mit dem einleitenden Satz Sei x eine reelle Zahl“.
”
Die eigentliche Rechnung im Beweis ist dann nur eine Abfolge von Anwendungen
der Axiome. Dass wir dabei bei jedem Schritt angeben welches Axiom jeweils verwendet
wird ist eher unüblich, dies ist jetzt nur als Hilfestellung zum Anfang gedacht, später
wird dann etwas mehr eigenes Mitdenken erwartet. Nicht alle mathematischen Aussagen sind einfach Gleichungen, häufiger sind Implikationen also Aussagen des Typs
wenn irgendetwas gilt, so gilt auch etwas anderes“. Als ein Beispiel für eine solche
”
Aussage nehmen wir:
(F2) Seien x, y, z drei reelle Zahlen mit x + z = y + z. Dann ist auch x = y.
Beweis: Seien also x, y, z drei reelle Zahlen und es gelte x + z = y + z. Dann folgt auch
(A3)
(A2)
(A4)
(A2)
(A1)
x = 0 + x = x + 0 = x + ((−z) + z) = x + (z + (−z)) = (x + z) + (−z)
(A1)
(A2)
(A4)
(A2)
(A3)
= (y + z) + (−z) = y + (z + (−z)) = y + ((−z) + z) = y + 0 = 0 + y = y.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Auch hier sind wieder einige Kommentare angebracht. Wir haben den Beweis wieder
mit Seien x, y, z . . .“ begonnen, da Variablen nun einmal eingeführt werden müssen.
”
Andererseits werden x, y, z auch in der Formulierung von (F2) eingeführt, diese beginnt
ja ebenfalls mit Seien x, y, z drei reelle Zahlen“, und es ist eine übliche Konvention in
”
solchen Fällen die Variablen stillschweigend aus der Formulierung der zu beweisenden
Aussage zu übernehmen. Selbiges trifft auch auf die sonstigen Annahmen, bei (F2) ist
dies x + z = y + z“, zu, man kann den Beweis also verkürzen und den ersten Satz
”
einfach weglassen. In den allermeisten Fällen werden wir im Folgenden dieser Konvention folgen. Dies werden wir aber nicht tun wenn die Aussage explizit als Allaussage
formuliert ist, wenn also (F2) beispielsweise in der Form Für alle reellen Zahlen x, y, z
”
mit x + z = y + z ist auch x = y“ formuliert wäre, dann denken wir uns x, y, z in der
Aussage gebunden und müssten sie dann im Beweis wieder einführen.
Weiter sehen wir an diesem Beweis das es allmählich lästig wird immer wieder alles
auf die Axiome zurückzuführen, einige Argumente wiederholen sich dabei ständig, wie
etwa
(F3) Für jede reelle Zahl x ist x + 0 = x
oder
(F4) Für jede reelle Zahl x ist x + (−x) = 0.
Benutzt man diese Hilfsaussagen anstelle der Axiome selbst, so kann man den obigen
Beweis zu
x = x+0 = x+(z +(−z)) = (x+z)+(−z) = (y +z)+(−z) = y +(z +(−z)) = y +0 = y
verkürzen. Eine weitere Verkürzung ergibt sich indem das Assoziativgesetz (A1) in
Notation umgesetzt wird, das Axiom besagt ja das die Klammerung bei Addition keine
Rolle spielt, und wenn sie keine Rolle spielt kann man sie auch gleich weglassen, man
schreibt also x+y+z statt (x+y)+z, und entsprechend für vier und mehr Summanden.
Mit dieser Konvention kann man den Beweis noch etwas einfacher schreiben
x = x + 0 = x + z + (−z) = y + z + (−z) = y + 0 = y.
Entsprechendes gilt für die Multiplikation, es kommen allerdings einige kleine Komplikationen hinzu da die Null kein multiplikatives Inverses hat. Klar oder analog zu (F2)
sind
(F5) Für jede reelle Zahl x ist x · 1 = x.
(F6) Für jede reelle Zahl x mit x 6= 0 ist x · x−1 = 1.
(F7) Sind x, y, z reelle Zahlen mit x · z = y · z und z 6= 0, so ist x = y.
Die multiplikative Form von (F1) ist etwas komplizierter, und wir brauchen zu ihrer
Behandlung auch noch eine weitere Hilfsaussage:
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 24.10.2016
(F8) Für jede reelle Zahl x gilt 0 · x = 0.
Diese harmlos aussehende Behauptung ist tatsächlich die erste Stelle an der wir das Distributivgesetz benötigen, alle unsere bisherigen Beweise sind mit den ersten acht Axiomen ausgekommen. Der Beweis von (F8) kann beispielsweise folgendermaßen geführt
werden:
Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann gilt
(A3)
(A3)
(D)
0 + 0 · x = 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x,
und eine Anwendung von (F2) liefert 0 · x = 0.
Damit kommen wir zur angekündigten multiplikativen Form von (F1).
(F9) Ist x 6= 0 eine reelle Zahl, so ist auch x−1 6= 0 und (x−1 )−1 = x.
Beweis: Sei x eine reelle Zahl mit x 6= 0. Da nach (M4) und (M3) dann x−1 · x = 1 6= 0
ist, aber nach (F8) auch 0 · x = 0 gilt, muss x−1 6= 0 sein. Weiter ist
(x−1 )−1 · x−1 = 1 = x · x−1
und mit (F7) folgt (x−1 )−1 = x.
Die Aussage (F8) hat zwei weitere wichtige Konsequenzen, die erste davon ist der
Zusammenhang zwischen Multiplikation und dem additiven Inversen, dies meint die
wohlbekannte Regel
(F10) Für jede reelle Zahl x ist −x = (−1) · x.
Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Nach (F8) ist dann
(−x) + x = 0 = 0 · x = ((−1) + 1) · x = (−1) · x + 1 · x = (−1) · x + x,
also haben wir −x = (−1) · x nach (F2).
Kommen wir zur letzten heute zu behandelnden Aussage der sogenannten Nullteilerfreiheit, d.h. ist ein Produkt zweier reeller Zahlen gleich Null so ist bereits einer der
beiden Faktoren gleich Null. Der Beweis dieser Tatsache verwendet eine sogenannte
Fallunterscheidung.
(F11) Sind x, y zwei reelle Zahlen mit x · y = 0, so ist x = 0 oder y = 0.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 28.10.2016
Beweis: Seien also x, y reelle Zahlen mit x · y = 0. Ist y = 0, so sind wir bereits fertig.
Im anderen Fall nehmen wir dagegen y 6= 0 an, und da nach (F8) auch
0 · y = 0 = x · y,
mit y 6= 0 gilt, liefert (F7) in diesem Fall x = 0.
Beachte das das oder“ in (F11) ein einschließendes oder ist, d.h. es ist auch möglich
”
das x = 0 und y = 0 gelten. Dies ist die in der Mathematik übliche Konvention, das
Wort oder“ steht immer für die einschließende Version, in den erstaunlich seltenen
”
Fällen in denen die ausschließende Version gemeint ist schreibt man explizit entweder
”
. . . oder“. Dies soll an Beispielen für Herleitungen von Rechenregeln erst einmal reichen.
Wie schon bemerkt sind Subtraktion und Division keine eigenständigen Rechenoperationen, sondern sie können in Termen von Addition und Multiplikation definiert
werden, sind also letztlich nur Schreibweisen. Für reelle Zahlen x, y definieren wir die
Differenz von x und y als
x − y := x + (−y)
und im Fall y 6= 0 definieren wir den Quotienten von x durch y als
x
:= x · y −1 .
y
Das Symbol :=“ steht dabei für wird definiert als“ und wird nur der Deutlichkeit
”
”
halber verwendet, eigentlich ist es überflüssig da wir ja bereits gesagt haben das es sich
um Definitionen handelt. Als eine Übungsaufgabe werden Sie zeigen, dass dann die
üblichen Bruchrechenregeln gelten. Wie schon bemerkt ergeben sich aus den Körperaxiomen alle Rechenregeln für die Grundrechenarten. Hiermit sind allerdings nur die
Gleichheiten“ gemeint, also Aussagen der Form · · · = · · · , bei Ungleichheiten sieht
”
alles anders aus. Zum Beispiel reichen die Körperaxiome nicht aus um 1 + 1 6= 0 zu
beweisen, man kann mit ihnen nicht einmal zeigen, dass es eine von Null und Eins
verschiedene reelle Zahl gibt.
1.2
Aussagen und Mengen
Vorlesung 2, Freitag 28.10.2016
In der letzten Sitzung haben wir die neun arithmetischen Axiome der reellen Zahlen
eingeführt und aus diesen einige einfache Folgerungen gezogen. Bevor wir unsere Diskussion der reellen Zahlen mit der nächsten Axiomengruppe fortsetzen, ist es jetzt erst
einmal an der Zeit einige grundsätzliche Fragen zu klären. Nachdem wir im vorigen
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 28.10.2016
Abschnitt schon einige Beispiele von Beweisen gesehen haben, wollen wir den formalen Umgang mit mathematischen Aussagen besprechen, dieser ist der Gegenstand der
sogenannten Aussagenlogik.
Unter einer Aussage verstehen wir einen sprachlichen Ausdruck der einen eindeutigen Wahrheitsgehalt hat, also entweder wahr oder falsch ist. Streng genommen sind
wir hier eigentlich nur an mathematischen Aussagen interessiert, dies meint Aussagen
die nur von mathematischen Objekten handeln. In der Logik betrachtet man auch allgemeinere Aussagen, dies führt aber schnell zu zusätzlichen Komplikationen, die für
uns keine Rolle spielen. Beispiele derartiger (mathematischer) Aussagen sind:
• 3 + 4 = 7.
• 7 · 8 = 44 (Dies ist zwar falsch, aber trotzdem eine Aussage).
• Die 5-te Nachkommastelle von π ist 9.
Alle diese Ausdrücke sind definitiv, und ohne jeden Verhandlungsspielraum jeweils
wahr oder falsch. In einer Hinsicht sind wir dagegen recht großzügig, es ist nicht nötig
zu wissen ob eine mathematische Aussage nun wahr oder falsch ist, es kommt nur
darauf an, daß sie eines von beiden ist. Beispiele solcher zweifelsfrei mathematischen
Aussagen, deren Wahrheitsgehalt wir zur Zeit nicht kennen sind:
• Die 1032538 -te Nachkommastelle von π ist eine 7.
• Es gibt beliebig große natürliche Zahlen n so, dass unter den ersten n Nachkommastellen von π die 7 genauso oft wie die 3 vorkommt.
Diese beiden Aussagen sind sicherlich entweder wahr oder falsch. Bei der ersten Aussage ist es eher unwahrscheinlich das irgendjemand diese Dezimalstelle von π einmal
ausgerechnet hat. Im Prinzip kann man durchaus entscheiden ob die Aussage wahr
oder falsch ist, es gibt sogar einen Algorithmus der beliebige Dezimalstellen von π berechnen kann ohne dabei die vorhergehenden Stellen berechnen zu müssen. Auch die
zweite Aussage ist entweder wahr oder falsch, wir wissen nur nicht was zutrifft, wir
können uns sogar ziemlich sicher sein, das man das nie wissen wird. Trotzdem handelt
es sich um eine mathematische Aussage in unserem Sinn, denn entweder wahr oder
falsch ist sie allemal, auch wenn wir nicht wissen welche dieser beiden Möglichkeiten
nun zutrifft.
Es gibt verschiedene Konstruktionen aus bereits gegebenen Aussagen A, B neue
Aussagen zusammenzusetzen. Diese werden gelegentlich als aussagenlogische Junktoren
bezeichnet. Der einfachste dieser Junktoren ist die Verneinung. Ist A eine Aussage, so
ist die Verneinung von A die Aussage ¬A, die genau dann wahr ist wenn A falsch ist.
Ebenfalls ohne Überraschungen ist die Konjuktion, oder simpler die und“, Aussage.
”
Bei dieser sind zwei Aussagen A, B gegeben, und man bildet die neue Aussage A ∧ B,
gesprochen als A und B, die genau dann wahr ist wenn beide Aussagen A und B wahr
sind.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 28.10.2016
Diese Festlegungen sollten nicht besonders überraschend sein. Der nächste unserer
Junktoren wird nun die Disjunktion, beziehungsweise oder“ Aussage, sein. Hier gibt es
”
ein kleines Detail zu beachten, die Bedeutung der Disjunktion weicht gelegentlich etwas
von der sonst üblichen Verwendung dieses Wortes ab. Sind A, B wieder zwei Aussagen,
so ist die Disjunktion A ∨ B, gesprochen als A oder B, genau dann wahr wenn eine der
beiden Aussagen A, B wahr ist. Hierbei ist immer der Fall erlaubt, dass sogar beide
Aussagen A, B wahr sind. Wir hatten bereits in der letzten Sitzung bemerkt, dass diese
Verwendung des Wortes oder“ etwas von der Umgangssprache abweicht. Beachte hier
”
auch das eine der beiden Aussagen A, B wahr ist“ erlaubt das sogar beide Aussagen
”
wahr sind, bei der Angabe von Anzahlen ist implizit immer mindestens“ gemeint,
”
beispielsweise ist die Aussage In dieser Vorlesung sind sieben Studenten“ wahr. Ist
”
dies nicht gemeint so setzt man explizit ein genau“ davor und hat die falsche Aussage
”
In dieser Vorlesung sind genau sieben Studenten“. Der Deutlichkeit halber können wir
”
Konjunktion und Disjunktion in Form sogenanter Wahrheitstabellen beschreiben. Die
Tabellen für Konjunktion und Disjunktion haben dabei die folgende Form:
@A
A ∨ B: B
@ 0 1
0 0 1
1 1 1
A
A ∧ B: @
B @ 0 1
0 0 0
1 0 1
In diesen Tabellen schreiben wir 0 für falsch“ und 1 für wahr“. Dies soll nicht etwa
”
”
bedeuten, dass die Zahlen 0 und 1 irgendetwas mit wahr“ und falsch“ zu tun haben,
”
”
es handelt sich nur um Symbole für diese Begriffe. Alternativ könnten wir auch f und
w anstelle von 0 und 1 schreiben.
Mit den logischen Junktoren kann man rechnen. Wir wollen hier eine der Rechenregeln für logische Junktoren hervorheben, die sogenannten de Morganschen Regeln
für Aussagen. Diese behandeln die Verneinung von und“ beziehungsweise von oder“
”
”
Aussagen. Da es sich hier um logische Tatsachen und nicht um mathematischen Aussagen handelt, wollen wir diese Formeln nicht als mathematische Sätze bezeichnen. Die
de Morganschen Regeln besagen
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B) und
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
für alle Aussagen A und B. Dabei steht das Gleichheitszeichen hier für ist gleich”
bedeutend mit“ oder äquivalent“, gelegentlich wird hierfür ein eigenes Zeichen, etwa
”
≡“, verwendet, für unsere Zwecke ist das aber nicht nötig. Wir wollen uns die de
”
Morgansche Regel für die Disjunktion einmal klarmachen, die andere Regel kann man
sich dann analog überlegen. Die einzige Möglichkeit das die Disjunktion A ∨ B falsch
ist, ist wenn A und B gleichzeitig beide falsch sind, wenn also (¬A) ∧ (¬B) wahr ist.
Dies bedeutet ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B). Als eine alternative Begründung kann man
9
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 28.10.2016
sich auch die Wahrheitstafeln anschauen
¬(A ∨ B) :
0 1
0 1 0
1 0 0
(¬A) ∧ (¬B) :
0 1
0 1 0
1 0 0
Wir kommen jetzt zu einem weiteren logischen Junktor, der auch schon komplizierter
ist, der sogenannten Implikation. Sind A, B zwei Aussagen, so ist die Aussage A ⇒ B,
gesprochen als aus A folgt B“ oder A impliziert B“, wahr wenn mit A auch B stets
”
”
wahr ist. In Form einer Wahrheitstafel soll diese Festlegung gerade
A
A ⇒ B: @
B @ 0 1
0 1 0
1 1 1
bedeuten. Ist die Implikation A =⇒ B wahr, so nennt man A auch eine hinreichende
Bedingung für B und entsprechend B eine notwendige Bedingung für A. Beachte das
die Implikation A ⇒ B insbesondere immer dann wahr ist wenn die Voraussetzung A
der Implikation falsch ist. Anders gesagt soll aus einer falschen Aussage jede beliebige
andere Aussage folgen. Dies erscheint zunächst als eine etwas merkwürdige Festlegung, aber dieser Eindruck sollte bei näherer Betrachtung verfliegen. Umgangssprachlich würde man eine Aussage der Form Wenn morgen das Hörsaalgebäude einstürzt,
”
so fällt die Vorlesung aus“, als wahr betrachten unabhängig davon ob das Gebäude
morgen noch steht, selbst dann wenn die Vorlesung trotz eines in bestem Zustand befindlichen Hörsaals ausfällt. Ein weiterer Grund für die angegebene Interpretation der
Implikation, der für die Mathematik auch erheblich schwerwiegender ist, sind Aussagen
in denen Variablen vorkommen. Steht x beispielsweise für eine reelle Zahl, so sollte die
Aussage
x2 = 4 =⇒ −2 ≤ x ≤ 2
immer wahr sein, unabhängig davon welchen konkreten Wert x jetzt hat, also auch
wenn etwa x = 3 oder x = 0 ist.
Um eine Implikation A ⇒ B zu beweisen, kann man immer annehmen das die
Aussage A wahr ist, denn andernfalls gilt die Implikation sowieso. Ein Beispiel hatten
wir bei unserem Beweis von (F2) gesehen, als Implikation schreibt sich (F2) für reelle
Zahlen x, y, z als
x + z = y + z =⇒ x = y,
und im Beweis in seiner verkürzten Form sind wir dann gleich von x + z = y + z
ausgegangen.
Was ist jetzt die Verneinung der Implikation A ⇒ B? Diese ist genau dann wahr
wenn A ⇒ B falsch ist, und hierfür gibt es nur eine einzige Möglichkeit, A muss wahr
sein und B muss falsch sein. Als Formel bedeutet dies
¬(A ⇒ B) = A ∧ (¬B).
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Freitag 28.10.2016
Verwenden wir jetzt noch die offensichtliche Tatsache, dass für jede Aussage X stets
¬¬X = X ist, so erhalten wir mit den de Morganschen Regeln
A ⇒ B = ¬¬(A ⇒ B) = ¬(A ∧ (¬B)) = (¬A) ∨ (¬¬B) = (¬A) ∨ B.
Insbesondere scheint die Implikation damit auf derselben inhaltlichen Stufe wie und“
”
und oder“ zu stehen, was Sie zumindest irritieren sollte. Dieser Eindruck täuscht auch
”
in gewisser Weise, denn der hier verwendete Implikationsbegriff ist rein formaler Natur.
Es kommt für die Wahrheit von A ⇒ B nur auf den Wahrheitswert der Aussagen A
und B an, nicht aber auf die inhaltliche Bedeutung dieser Aussagen. Diesen Implikationsbegriff sollte man nicht mit dem inhaltlichen Folgerungsbegriff verwechseln, dass
also eine Aussage B durch logisches Schließen aus einer Aussage A folgt. Bei letzterem
kommt es tatsächlich auf die Bedeutung von A und B an. Um eine Implikation zu
beweisen, verwendet man dagegen in aller Regel eine inhaltliche Argumentation, wie
bereits bemerkt wird A als wahr angenommen und dann auf B geschlossen.
Der letzte der üblichen logischen Junktoren ist die Äquivalenz, sind A, B zwei Aussagen, so ist die Aussage A ⇐⇒ B, gesprochen als A ist äquivalent zu B“ oder A
”
”
genau dann wenn B“, wahr wenn A die Aussage B impliziert und umgekehrt aus B
auch die Aussage A folgt, also als Wahrheitstabelle
A
A ⇔ B: @
B @ 0 1
0 1 0
1 0 1
oder als Formel
A ⇐⇒ B = A =⇒ B ∧ B =⇒ A.
Wir wollen nun eine der wichtigsten aussagenlogischen Tatsachen besprechen, das sogenannte Kontrapositionsprinzip. Tatsächlich haben wir dieses bereits in der letzten
Sitzung im Einsatz gesehen, wenn auch in einer sehr schlichten Situation. Als Aussage
(F8) hatten wir bewiesen das für jede reelle Zahl x stets 0 · x = 0 gilt, und dies hatten
wir dann beim Beweis von (F9) verwendet. Dort hatten wir wieder eine reelle Zahl x
diesmal mit x 6= 0 und hatten aus x−1 · x = 1 6= 0 auf x−1 6= 0 geschlossen, wir haben
also aus der Aussage
y = 0 =⇒ y · x = 0 auf y · x 6= 0 =⇒ y 6= 0
geschlossen. Dies ist eine einfache Anwendung des Kontrapositionsprinzips. Allgemein
besagt dieses das für je zwei Aussagen A, B stets
A =⇒ B = ¬B =⇒ ¬A (Kontrapositionsprinzip)
ist. In unserem Beispiel sind A und B gerade die folgenden Aussagen
y = 0 =⇒ y · x = 0 beziehungsweise y · x 6= 0 =⇒ y 6= 0 .
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
A
¬B
B
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¬A
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Inhaltlich sollte das Kontrapositionsprinzip unmittelbar klar sein, man kann es, wenn
man will, auch rechnerisch“ begründen
”
¬B =⇒ ¬A = (¬¬B) ∨ ¬A = ¬A ∨ B = A =⇒ B.
Will man eine Implikation A =⇒ B beweisen, so kann man nach dem Kontrapositionsprinzip anstelle dessen auch die Kontraposition ¬B =⇒ ¬A zeigen, man spricht dann
auch von einem Beweis per Kontraposition.
Die meisten der Aussagen des vorigen Abschnitts waren sogenannte Allaussagen,
also beispielsweise Aussagen wie (F1), dass für jede reelle Zahl x stets −(−x) = x gilt.
Bei derartigen Allaussagen wird gesagt das eine Aussage A(x) mit einer freien Variable
x für jedes x aus einer gegebenen Objektklasse zutrifft und man sagt dann auch das die
Allaussage über dieser Objektklasse quantifiziert ist. Die Ausssage (F1) ist dann über
reelle Zahlen quantifiziert. Allgemein lassen wir als Objektklassen beliebige Mengen zu
und gehen daher erst einmal auf den Mengenbegriff ein.
Die klassische, 1878 von Cantor gegebene, Definition des Mengenbegriffs ist
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen.
Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt mathematische
”
Objekte“ sind, also beispielsweise Zahlen. Sind M eine Menge und x irgendein mathematisches Objekt, so schreiben wir x ∈ M für x ist ein Element von M“ und x ∈
/M
”
für x ist kein Element von M“. Wir listen jetzt einige Beispiele von Mengen auf:
”
1. Die Menge M die die drei Elemente 1, 2, 3 hat kann man als
M = {1, 2, 3}
schreiben. Man setzt also die vorgesehenen Elemente der Menge in ein Paar geschweifter Klammern.
2. Es ist auch erlaubt in den geschweiften Klammern dasselbe Objekt mehrfach
aufzulisten
M = {1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3}.
Ein Objekt ist entweder Element einer Menge oder nicht, so etwas wie eine
mehrfache Mitgliedschaft in einer Menge gibt es nicht. Im diesem Beispiel ist es
natürlich nicht besonders sinnvoll die Eins zweimal hinzuschreiben, man ist sogar
versucht so etwas ganz zu verbieten. Das wäre allerdings hochgradig unpraktisch.
Nehmen wir einmal an, wir hätten drei reelle Zahlen a, b, c gegeben, von denen
wir sonst nichts wissen. Es könnten also insbesondere Gleichheiten zwischen diesen Zahlen auftreten, etwa a = b 6= c. Wollen wir dann die Menge M mit den
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Elementen a, b, c hinschreiben und bestünden bei {. . .} auf verschiedenen Objekten in den Klammern, so bräuchten wir eine Definition wie ist a = b = c, so sei
”
M = {a}, ist a = b 6= c, so sei M = {a, c}, . . .“, und so weiter bis alle Möglichkeiten für Gleichheiten zwischen a, b, c aufgelistet sind. Erlauben wir dagegen
Wiederholungen bei {. . .}, wie wir es tun, so kann man einfach M = {a, b, c}
schreiben.
3. Mengen können auch unendlich viele Elemente haben. Als ein Beispiel einer solchen Menge haben wir etwa die Menge aller natürlichen Zahlen. Für diese Menge
gibt es ein nur für sie reserviertes Symbol
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Man muss leider etwas aufpassen, da es auch eine alternative Definition gibt bei
der die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, also N = {1, 2, 3, . . .}. Braucht
man dann doch einmal die Null dabei, so verwendet man N0 für die natürlichen
Zahlen mit Null. Welche der beiden Konventionen man verwendet, also mit oder
ohne Null, ist eine Geschmacksfrage, in der Literatur und in Lehrbüchern ist
beides anzutreffen. Wir wollen in dieser Vorlesung durchgängig die Variante mit
eingeschlossener Null verwenden.
4. Auch einige andere Zahlbereiche haben wie die natürlichen Zahlen eine Standardbezeichnung, diese sind:
Z
Q
R
C
−
−
−
−
die
die
die
die
ganzen Zahlen . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .,
rationalen Zahlen, also Brüche ganzer Zahlen,
reellen Zahlen und
komplexen Zahlen, die in §3 eingeführt werden.
5. Als nächstes Beispiel wollen wir die Menge M aller geraden natürlichen Zahlen
hinschreiben. Eine naheliegende Schreibweise hierfür ist
M = {0, 2, 4, 6, 8, . . .}.
Eine derartige Pünktchen-Schreibweise“ muss man aber sehr sparsam verwen”
den, es muss wirklich unmissverständlich und ohne jeden Spielraum klar sein
wofür die Auslassungspunkte stehen. Beispielsweise kann man bei der Menge
N = {1, 7, 289, . . .} bestenfalls raten was damit gemeint sein soll, und so etwas
geht auch nicht als sinnvolle Mengenbeschreibung durch. Eine pünktchenfreie“
”
alternative Beschreibung der Menge M der geraden Zahlen kann man durch Parametrisierung der Elemente erhalten. Eine gerade natürliche Zahl ist ja definitionsgemäß eine Zahl die man als 2 · n für eine andere natürliche Zahl n schreiben
kann, und durchläuft n die natürlichen Zahlen, so durchläuft 2 · n die geraden
Zahlen. Dies führt auf die Schreibweise
M = {2n|n ∈ N}.
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Dies ist dann ein Beispiel einer Mengendefinition durch allgemeine Aufzählung
der Elemente, rechts vom Strich stehen eine formale Variable und ein Wertebereich für diese und links vom Strich steht eine Formel mit der freien Variablen n.
Anstelle des senkrechten Strichs werden hier auch andere Trennsymbole verwendet, etwa Komma, Semikolon, Doppelpunkte und so weiter.
6. Die Schreibweise des vorigen Beispiels kann man jetzt auch auf kompliziertere Situationen ausdehnen in denen gleich mehrere laufende Variablen vorkommen. Als
ein Beispiel wollen wir einmal die Menge M aller natürlichen Zahlen hinschreiben, die sich als eine Summe von zwei Quadraten schreiben lassen. Diese Zahlen
haben die Form a + b wobei a, b zwei Quadratzahlen sind. Die Quadratzahlen
kann man ihrerseits wieder als a2 mit a ∈ N erhalten, und es ergibt sich
M = {a2 + b2 |a, b ∈ N}
als eine einfache Art die Menge M anzugeben. Entsprechend kann man auch die
Menge aller natürlichen Zahlen hinschreiben die sich als eine Summe von vier
Quadraten schreiben lassen, und es stellt sich heraus das
{a2 + b2 + c2 + d2 |a, b, c, d ∈ N} = N
ist. Wir wollen hier glauben das diese Gleichung wahr ist, der Beweis ist leider
viel zu kompliziert um ihn hier im ersten Semester vorzuführen. Dieses Beispiel
zeigt uns aber eine wichtige Tatsache, zwei Mengen sind dann gleich wenn sie
genau dieselben Elemente besitzen und nicht etwa wenn sie dieselben Beschreibungen haben. Die Beschreibungen der beiden Mengen links und rechts des obigen Gleichheitszeichens sind grundverschieden und lassen sich auch nicht durch
einfache Umformungen ineinander überführen, trotzdem sind die von ihnen beschriebenen Mengen gleich.
7. Neben der Mengenbildung durch Aufzählung wie in den vorigen beiden Beispielen
kann man Mengen auch noch durch Auswahl konstruieren. Haben wir eine Menge
M und eine Aussage A(x) über Elemente x ∈ M , so können wir die Menge
N := {x ∈ M |A(x)}
aller Elemente von M bilden für die A(x) zutrifft. Beispielsweise ist
{x ∈ R|x2 = 1} = {−1, 1}.
Der formale Aufbau dieser Art der Mengendefinition sieht genauso aus wie bei der
Mengenbildung durch Aufzählung, beide haben die Form {. . . | . . .}, es handelt
sich aber um zwei verschiedene Konstruktionen. Dass für verschiedene Dinge
nahezu gleiche Schreibweisen verwendet werden mag etwas unglücklich sein, stellt
sich aber im praktischen Gebrauch als unproblematisch heraus.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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8. Bisher haben wir in all unseren Beispielen immer Zahlen als Elemente einer Menge
verwendet. Allgemeine Mengen dürfen aber auch kompliziertere Elemente haben,
etwa Punkte, Geraden, Kreise oder auch andere Mengen. Ein Beispiel hierfür ist
M = {{1, 2}, {3, 4}, 5}.
Dies ist eine Menge mit drei Elementen, und nicht etwa mit fünf, und diese drei
Elemente sind
M = {{1, 2}, {3, 4}, 5 },
| {z } | {z } |{z}
1
2
3
also die Menge {1, 2} mit den beiden Elementen 1 und 2, dann die Menge {3, 4}
und schließlich die Zahl 5. Insbesondere ist etwa 2 ∈
/ M , denn die Zahl 2 ist nur
ein Element eines Elements von M , aber eben kein Element von M selbst.
9. Ein letztes Beispiel ist die Menge
M = {{1}}.
Dies ist eine Menge mit einem einzelnen Element, aber dieses Element ist nicht
die Zahl Eins, sondern die Menge {1}, deren einziges Element 1 ist. Beachte
{1} =
6 1, denn Eins ist eine Zahl und keine Menge, und damit auch {{1}} =
6 {1}
denn diese beiden Mengen haben verschiedene Elemente.
Vorlesung 3, Montag 31.10.2016
In der letzten Sitzung haben wir die verschiedenen Konstruktionsmethoden für Mengen kennen gelernt. Insbesondere hatten wir die Mengenbildung durch Auswahl eingeführt, hier sind eine Grundmenge M sowie eine Aussage A(x) über Elemente x von
M gegeben und mit diesen Daten konnte man dann die Menge
{x ∈ M |A(x)}
aller Elemente von M die die Eigenschaft A erfüllen bilden. Diese Form der Mengenbildung ist nur bei Vorhandensein einer explizit oder implizit vorgegebenen Obermenge M
möglich aus der Elemente ausgewählt werden, freie Mengenbildung {x|A(x)} wird nicht
zugelassen. Das übliche Beispiel weshalb diese problematisch wäre ist die sogenannte
Russelsche Antinomie. Bei dieser versucht man die Menge
R := {M |M ist eine Menge mit M ∈
/ M}
zu bilden, und die Existenz einer solchen Menge“ stellt sich als widersprüchlich heraus.
”
Das Problem entsteht bei der Frage ob R ∈ R gilt? Nehmen wir einmal an das R ∈ R
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ist. Dann ist nach Definition von R auch R ∈
/ R, es kann also nicht R ∈ R sein. Damit
muss R ∈
/ R gelten, aber dann ist R eine Menge die sich nicht selbst als Element
enthält, d.h. wir haben doch R ∈ R. Eine Konstruktion wie das obige R führt also
auf Widersprüche, so etwas soll in der Mathematik aber nicht auftreten und um die
Russelsche Antinomie zu beseitigen verbietet man schlichtweg die freie Mengenbildung
und besteht auf vorgegebenen Obermengen aus denen ausgewählt wird.
Wir wollen ein letztes Beispiel einer Menge vorstellen, diese ist sogar wichtig genug
ein eigenes Symbol zu erhalten.
Definition 1.1 (Die leere Menge)
Die leere Menge ist die Menge die keine Elemente hat, geschrieben als ∅.
Natürlich ist die leere Menge für sich genommen keine interessante Menge, ihre Wichtigkeit besteht darin das sie sehr häufig vorkommt. Wir haben die leere Menge hier
sogar als eine sogenannte Definition“ eingeführt und wollen diesen Begriff jetzt ein
”
wenig besprechen.
Dass wir die Definition der leeren Menge offiziell als eine Definition bezeichnet und
numeriert haben, die Cantorsche Definition einer Menge aber nicht, ist kein Versehen
sondern gewollt. Letztere ist nämlich keine Definition im mathematischen Sinne. Im
normalen Sprachgebrauch gibt es verschiedene Sorten von Definitionen, und die einfachste Art einer Definition ist die Verabredung einer Abkürzung. Dass beispielsweise
LS17“ für Leibniz Straße 17“ stehen soll ist eine rein willkürliche Abkürzung. Will
”
”
man dagegen definieren was ein Planet ist, so gibt es ja nach intendierten Verwendungszweck verschiedene Definitionen, wie man etwa an der Diskussion um den Status
des Pluto sehen kann. Eine Definition von Planeten beschreibt real vorhandene Objekte und dient nur dazu die gerade relevanten Aspekte dieses Objekts zu benennen. In
der Mathematik kommen solche Definitionen nicht vor, schon da die Mathematik nicht
von realen Objekten handelt, statt dessen sind alle Definitionen Verabredungen von
Abkürzungen. Der Begriff der leeren Menge ist nicht strikt nötig, anstelle von M = ∅“
”
könnte man genauso gut Die Menge M besitze keine Elemente“ sagen. Bevor das
”
Wort leere Menge“ definiert wurde gab es keine leere Menge, Planeten dagegen gibt
”
es völlig egal ob man eine Definition von Planet hat oder nicht.
Mathematische Definitionen führen also immer einen neuen Begriff in Termen bereits vorhandener Begriffe ein. Die Cantorsche Mengendefinition ist nicht von dieser
Art, da sie ihrerseits auf weitere noch nicht definierte Begriffe, wie Objekte unse”
rer Anschauung“, Zusammenfassung“ und so weiter, verweist. So etwas ist leider auch
”
nötig, mit mathematischen Definitionen alleine kommt man nicht aus. Wenn jeder neue
Begriff nur in Termen bereits vorhandener Begriffe eingeführt werden kann, so braucht
man irgendetwas mit dem alles anfangen kann. Hierfür verwendet man sogenannte
Grundbegriffe“, diese denken wir uns als vorgegeben und nicht weiter hinterfragbar.
”
Für diese Grundbegriffe gibt man dann üblicherweise eine Beschreibung an, die erklären soll was man sich unter dem Grundbegriff vorzustellen hat. Der Mengenbegriff
ist solch ein Grundbegriff und die Cantorsche Mengendefinition ist seine Erklärung.
Welche Begriffe als Grundbegriffe verwendet werden und welche definiert werden,
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ist letzten Endes eine rein willkürliche Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich den
Begriff einer Funktion als Grundbegriff zu verwenden, und Mengen dann in Termen
von Funktionen zu definieren. Es hat sich aber ein üblicher Satz“ an Grundbegriffen
”
durchgesetzt, zu denen unter anderem die Mengen gehören. Man kann mit erstaunlich
wenigen Grundbegriffen auskommen, es reichen der Mengenbegriff und ausreichend
viele logische und mathematische Begriffe um eine axiomatische Mengenlehre in Gang
zu bringen. Auf der Basis dieser Begriffe können dann kompliziertere Objekte wie
die reellen Zahlen definiert werden und ihre Axiome bewiesen werden. Als Startpunkt
im ersten Semester ist dies allerdings nicht geeignet, da man einfach zu weit unten
anfangen müsste, nicht einmal Dinge wie 2 + 2 = 4“ wären bekannt, schlimmer noch
”
es wäre noch nicht einmal definiert was 2“, 4“ und +“ überhaupt sein sollen. Daher
”
”
”
starten wir mit einem viel größeren Satz an Grundbegriffen, zu denen unter anderem
die reellen Zahlen gehören.
Da eine mathematische Definition letztlich nur eine Abkürzung ist, beschreibt sie
das definierte Objekt vollständig, die Definition und die sich aus ihr ergebenden Folgerungen sind alles was über die definierten Objekte zu sagen ist. Dies unterscheidet
mathematische Definitionen von Definitionen in anderen Gebieten, wo die definierten
Objekte letztlich reale Gegenstände sind und durchaus weitere über eine Definition
hinausgehende Eigenschaften haben können. Insbesondere sind Fragen nach dem Status nicht definierter Konzepte keine mathematische Fragen, sondern bestenfalls Fragen
über Mathematik. Ein übliches Beispiel für die Verwirrungen die bei Fehlinterpretationen des Definitionsbegriffs entstehen ist die Frage“ was denn 0/0 ist. Wir haben den
”
Bruch a/b := ab−1 nur definiert wenn a, b ∈ R und b 6= 0 sind, dem Symbol 0/0 ist
damit keine Bedeutung zugewiesen und die Frage nach seinem Wert ist sinnlos.
In diesem Skript werden die meisten Definitionen explizit als solche ausgewiesen und
numeriert. Gelegentlich werden wir aber auch Ausnahmen zulassen, einige besonders
einfache Definitionen die eher Synonyme oder Notation sind werden einfach im laufenden Text aufgeführt, so hatten wir zum Beispiel in der ersten Sitzung die Definitionen
der Subtraktion und der Division behandelt.
Wir wollen auch noch eine Anmerkung zur Vergabe des Namens ∅“ machen.
”
Während die Physik sehr großzügig mit fest vergebenen Namen ist, beispielsweise ist v
fest für die Geschwindigkeit reserviert, gibt es in der Mathematik nur sehr wenige reservierte Namen, selbst ein Symbol wie π steht nicht immer für die Kreiszahl, sondern
kann je nach Kontext auch was ganz anderes bedeuten. Einer dieser vergebenen Namen
ist das Symbol ∅ für die leere Menge, ein anderer ist N für die Menge der natürlichen
Zahlen. Dass soll an Kommentaren zu dieser Definition erst einmal reichen, und wir
kommen zu einer weiteren wichtigen Definition.
Definition 1.2 (Teilmengen einer Menge)
Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N , wenn jedes Element von M auch ein
Element von N ist. In diesem Fall schreiben wir M ⊆ N .
Ist eine Menge M keine Teilmenge einer Menge N , so wird dies mit dem Symbol
M 6⊆ N notiert. Die Schreibweise M ⊆ N für die Teilmengenbeziehung wird leider
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nicht einheitlich von allen Autoren verwendet, oftmals finden Sie auch M ⊂ N anstelle
von M ⊆ N . Einige Beispiele von Teilmengen sind:
1. Es ist
{1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
denn die beiden Elemente 1 und 2 der linken Menge sind auch Elemente der
rechten Menge.
2. Es ist auch
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
Allgemein ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Will man dies nicht
haben, so spricht man von einer echten Teilmenge, d.h. eine Menge M ist eine
echte Teilmenge der Menge N wenn M ⊆ N und M 6= N ist, und wir schreiben
M ( N für M ist eine echte Teilmenge von N“. Oftmals wird anstelle von
”
M ( N aber auch die alternative Schreibweise M ⊂ N verwendet, was etwas
unglücklich ist da dies von anderen wieder als die normale Teilmengenbeziehung
interpretiert wird. Die beiden Symbole ⊆“ und (“ sind unmißverständlich,
”
”
während ⊂“ je nach Autor Teilmenge“ oder echte Teilmenge“ bedeuten kann.
”
”
”
Das ist verwirrend, aber es ist leider so.
3. Dagegen ist
{1, {2}} 6⊆ {1, 2, 3},
denn die einelementige Menge {2} ist zwar ein Element der linken aber kein
Element der rechten Menge.
4. Das letzte Beispiel ist jetzt etwas verwirrend, wir behaupten das
∅ ⊆ {1, 2, 3}
gilt. Erinnern wir uns an die Teilmengendefinition, so bedeutet ∅ ⊆ {1, 2, 3}
das jedes Element der leeren Menge auch ein Element von {1, 2, 3} ist, und so
merkwürdig es einem auch vorkommt, dies ist wahr. Es gibt ja kein Element der
leeren Menge für das das falsch sein könnte. Mit derselben Begründung ist auch
∅⊆M
für überhaupt jede Menge M . Insbesondere ∅ ⊆ ∅.
Dieser Teilmengenbegriff wird häufig beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen
verwendet, es gilt für je zwei Mengen M und N
(F12) Genau dann ist M = N wenn M ⊆ N und N ⊆ M gelten.
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In der Tat, dass M und N gleich sind bedeutet das diese beiden Mengen dieselben
Elemente haben, das also aus x ∈ M auch x ∈ N folgt und umgekehrt x ∈ N auch
x ∈ M impliziert. Letzteres sind aber gerade die beiden Inklusionen M ⊆ N und
N ⊆ M . Diese Beobachtung wird meist verwendet um die Gleichheit zweier Mengen
zu beweisen, um M = N einzusehen, zeigt man zum einen die Inklusion M ⊆ N und
zum anderen die Inklusion N ⊆ M .
Mit Mengen kann man rechnen, es gibt eine Vielzahl von Operationen die aus zwei
gegebenen Mengen eine neue Menge machen. Die drei wichtigsten dieser Rechenoperationen wollen wir nun einführen:
Definition 1.3: Seien M, N zwei Mengen.
1. Die Vereinigung von M und N , geschrieben als M ∪N , ist die Menge all derjenigen
Objekte die Element von M oder von N sind.
2. Der Durchschnitt von M und N , geschrieben als M ∩ N , ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M und von N sind.
3. Die Differenzmenge von M und N , geschrieben als M \N , ist die Menge aller
Elemente von M , die nicht zugleich Element von N sind. Alternativ nennen wir
dies auch das Komplement von N in M oder das relative Komplement von N in
M.
Vereinigung
M ∪N
Alle x in M oder N
Durchschnitt
M ∩N
Alle x in M und N
Komplement
M \N
Alle x in M nicht in N
Anstelle der Schreibweise M \N für die Differenzmenge wird von einigen Autoren auch
das Symbol M − N verwendet. Da wir diese Begriffe nicht sofort brauchen, werden
Beispiele hierzu in den Übungsaufgaben behandelt. Wir wollen an dieser Stelle nur
noch einige Rechenregeln für die obigen Operationen einführen.
Lemma 1.1 (Grundeigenschaften der Mengenoperationen)
Seien A, B, C drei Mengen.
(a) Es gelten die beiden Distributivgesetze
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) und A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
(b) Es gelten die beiden deMorganschen Regeln
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) und A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C).
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Beweis: (a) Wir beginnen mit dem Nachweis der ersten Formel. Nach (F12) müssen
wir einsehen das die beiden Inklusionen A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) und (A ∩ B) ∪
(A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C), beziehungsweise A ∩ (B ∪ C) ⊇ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), bestehen,
und diese werden wir beide nachweisen.
”⊆” Sei x ∈ A ∩ (B ∪ C). Dann ist x ∈ A und x ∈ B ∪ C, und es treten zwei
mögliche Fälle auf. Im ersten Fall ist x ∈ B und dann haben wir x ∈ A ∩ B, also auch
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Im zweiten Fall ist dagegen x ∈ C und wir haben x ∈ A ∩ C, also
wieder x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Damit haben wir in beiden Fällen x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
und die behauptete Inklusion ist bewiesen.
”⊇” Sei nun umgekehrt x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Dann treten wieder zwei Fälle auf.
Im ersten Fall ist x ∈ A ∩ B, also wegen x ∈ B auch x ∈ B ∪ C und mit x ∈ A folgt
x ∈ A ∩ (B ∪ C). Im zweiten Fall haben wir dagegen x ∈ A ∩ C, also wegen x ∈ C auch
x ∈ B ∪ C und mit x ∈ A folgt erneut x ∈ A ∩ (B ∪ C). Damit haben wir in beiden
Fällen x ∈ A ∩ (B ∪ C) gezeigt und auch diese Inklusion ist bewiesen.
Zum Beweis der zweiten Formel reicht es nach (F12) wieder die beiden Inklusionen
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) einzusehen.
”⊆” Sei x ∈ A ∪ (B ∩ C). Dann haben wir wieder zwei mögliche Fälle. Im ersten Fall
ist x ∈ A und dann sind auch x ∈ A ∪ B und x ∈ A ∪ C, also x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
wie gewünscht. Im zweiten Fall ist x ∈ B ∩ C also x ∈ B und x ∈ C und damit ist
wieder x ∈ A ∪ B und x ∈ A ∪ C also x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Damit haben wir in
beiden Fällen x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und die Inklusion ist bewiesen.
”⊇” Sei nun umgekehrt x ∈ (A∪B)∩(A∪C). Ist dann x ∈ A so ist auch x ∈ A∪(B ∩C)
und wir sind bereits fertig. Andernfalls ist x ∈
/ A. Wegen x ∈ A ∪ B ist dann x ∈ B
und wegen x ∈ A ∪ C ebenso x ∈ C, es gilt also x ∈ B ∩ C und wir haben wieder
x ∈ A ∪ (B ∩ C). Damit haben wir in beiden Fällen x ∈ A ∪ (B ∩ C) und die Inklusion
ist bewiesen.
(b) Wir beginnen mit der ersten Regel und zeigen wie in (a) beide Inklusionen A\(B ∪
C) ⊆ (A\B) ∩ (A\C) und (A\B) ∪ (A\C) ⊆ A\(B ∪ C).
”⊆” Sei also x ∈ A\(B ∪ C), d.h. x ∈ A und x ∈
/ B ∪ C. Wegen x ∈
/ B ∪ C sind
dann x ∈
/ B und x ∈
/ C, also ist x ∈ A\B sowie x ∈ A\C und es gilt folglich x ∈
(A\B) ∩ (A\C).
”⊇” Jetzt sei umgekehrt x ∈ (A\B) ∩ (A\C). Dann ist x ∈ A\B und x ∈ A\C also
x ∈ A und x ∈
/ B, x ∈
/ C, d.h. x ∈
/ B ∪ C und somit x ∈ A\(B ∪ C). Dies zeigt
(A\B) ∩ (A\C) ⊆ A\(B ∪ C).
Erneut nach (F12) ist damit die erste deMorgansche Regel bewiesen. Schließlich
kommen wir zur zweiten Regel und erneut werden wir A\(B ∩ C) ⊆ (A\B) ∪ (A\C)
und (A\B) ∪ (A\C) ⊆ A\(B ∩ C) zeigen.
”⊆” Sei x ∈ A\(B ∩ C) also x ∈ A aber x ∈
/ B ∩ C. Letzteres bedeutet x ∈
/ B oder
x∈
/ C also haben wir x ∈ A\B oder x ∈ A\C und folglich x ∈ (A\B) ∪ (A\C). Dies
zeigt A\(B ∩ C) ⊆ (A\B) ∪ (A\C).
”⊇” Schließlich sei x ∈ (A\B) ∪ (A\C). Dann treten zwei verschiedene Fälle auf.
Im ersten Fall ist x ∈ A\B, also x ∈ A und x ∈
/ B und insbesondere x ∈
/ B ∩ C,
d.h. x ∈ A\(B ∩ C). Andernfalls ist x ∈ A\C und x ∈ A\(B ∩ C) folgt analog mit
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vertauschten Rollen von B und C. Damit haben wir auch (A\B) ∪ (A\C) ⊆ A\(B ∩ C)
gezeigt.
Eine letzte Anwendung von (F12) liefert auch die zweite deMorgansche Regel.
Der Beweis läßt sich durchaus ökonomischer und etwas kürzer gestalten, hier geht
es uns um die Demonstration der auf (F12) beruhenden Standardtechnik“ zum Be”
weis von Mengengleichheiten die daher stur immer wieder verwendet wurde. Da dies
die erste Aussage ist die wir hervorheben und als Lemma bezeichnen, wollen wir an
dieser Stelle noch kurz auf die hier verwendete Terminologie eingehen. Die Aussagen
der Mathematik werden als sogenannte Sätze“ formuliert und in einem aufgeschriebe”
nen Text werden sie dann oftmals numeriert und in irgendeiner Form hervorgehoben
dargestellt. Dabei ist der Name Satz“ hier ein Oberbegriff, je nach Bedeutung der Aus”
sage werden verschiedene Namen verwendet. In der Literatur finden Sie die folgenden
Bezeichnungen:
Satz Aussage mit einer mitteilenswerten, eigenständigen Bedeutung.
Hauptsatz Ein besonders wichtiger Satz.
Theorem Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz“ oder für Hauptsatz“.
”
”
Lemma Wie ein Satz aber mit Bedeutung hauptsächlich innerhalb der Theorie.
Proposition Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz“ oder für Lemma“.
”
”
Hilfssatz Ein sehr spezifisches Lemma das nur für den Beweis einer oder sehr weniger
anderer Aussagen gedacht ist.
Korollar Eine unmittelbare Folgerung aus einem Satz oder Lemma, oftmals ein besonders hervorgehobener Spezialfall.
Wir werden die Namen Satz“, Lemma“ und Korollar“ verwenden. Einfache Aus”
”
”
sagen werden oftmals nicht extra als Satz formuliert sondern nur im laufenden Text
erwähnt und später ohne weiteren Verweis verwendet, dies trifft beispielsweise auf all
unsere Feststellungen (F1) und so weiter zu. Besonders selbstverständliche Aussagen
werden sogar nirgends festgehalten, beispielsweise werden wir so etwas wie A ∪ B =
B ∪ A für Mengen A, B verwenden auch ohne es irgendwo explizit zu benennen.
Wir führen jetzt eine weitere Schreibweise für mathematische Aussagen ein. Diese
haben sehr oft die Form Für alle Elemente x eine gegebenen Menge M gilt eine
”
Aussage A(x)“, eine sogenannte Allaussage, oder Es gibt ein Element x der Menge M
”
für das A(x) gilt“, eine sogenannte Existenzaussage. Man schreibt
∀(x ∈ M ) : A(x) für Für alle x ∈ M gilt A(x)“.
”
Das Symbol ∀“ ist ein sogenannter Allquantor. Entsprechend schreibt sich eine Exi”
stenzaussage als
∃(x ∈ M ) : A(x) für Es existiert ein x ∈ M mit A(x)“,
”
21
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 31.10.2016
und hier nennt man ∃“ einen Existenzquantor. Beispielsweise übersetzt sich die Aus”
sage Für jede reelle Zahl x existiert eine natürliche Zahl n, die echt größer als x ist“
”
als Formel in
∀(x ∈ R)∃(n ∈ N) : n > x.
Ein solcher Ausdruck mit mehreren Quantoren ist dabei immer von links nach rechts
zu lesen, ein Ändern der Quantorenreihenfolge ändert auch die Bedeutung der Aussage.
Beispielsweise bedeutet
∃(n ∈ N)∀(x ∈ R) : n > x,
dass es eine natürliche Zahl n gibt, die echt größer als überhaupt alle reellen Zahlen ist,
was natürlich falsch ist. Quantoren desselben Typs kann man vertauschen, und daher
werden sie meist in zusammengefasster Form notiert, man schreibt beispielsweise
∀(x, y ∈ R) : y > x > 0 ⇒ y 2 > x2 für ∀(x ∈ R)∀(y ∈ R) : y > x > 0 ⇒ y 2 > x2 .
Wir haben jetzt Allaussagen ∀(x ∈ M ) : A(x) und Existenzaussagen ∃(x ∈ M ) : A(x)
eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage ∀(x ∈ M ) : A(x) zu
beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x ∈ M der zugrundeliegenden Menge
M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für
einzelne x ∈ M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal
M = N\{0, 1} = {2, 3, 4, . . .} und
A(n) = ggT(n5 − 5, (n + 1)5 − 5) = 1
letzteres für jedes n ∈ N. Probieren wir etwa n = 2 so sind n5 −5 = 27 und (n+1)5 −5 =
238 und wir haben ggT(n5 − 5, (n + 1)5 − 5) = 1. Verwenden wir dann einen Computer,
so kann man leicht etwa alle Werte 2 ≤ n ≤ 1000000 durchprobieren und die beiden
Zahlen n5 − 5 und (n + 1)5 − 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis
der Aussage ∀(n ∈ M ) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von
Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus
die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa
n = 1435390, so ist ggT(n5 − 5, (n + 1)5 − 5) = 1968751 > 1.
Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage ∃(x ∈ M ) : A(x)
zu beweisen, muss man nur ein einziges x ∈ M finden für welches die Aussage A(x) gilt.
Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist
nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen
kann, ohne die geringste Idee zu haben wie man ein solches x konkret beschaffen kann.
Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen.
Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage ∀(x ∈ M ) : A(x) falsch ist. Wie im
obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x ∈ M aus so, dass A(x) falsch ist. In
anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich
¬∀(x ∈ M ) : A(x) = ∃(x ∈ M ) : ¬A(x).
22
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 31.10.2016
Entsprechend ist eine Existenzaussage ∃(x ∈ M ) : A(x) falsch, wenn wir eben kein
Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung
¬A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird
damit eine Allaussage
¬∃(x ∈ M ) : A(x) = ∀(x ∈ M ) : ¬A(x).
Bei Verneinung drehen sich also All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren
werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind
beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x ∈ M und
y ∈ N , so wird
¬∀(x ∈ M )∃(y ∈ N ) : A(x, y) = ∃(x ∈ M ) : ¬∃(y ∈ N ) : A(x, y)
= ∃(x ∈ M )∀(y ∈ N ) : ¬A(x, y).
Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle
Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint.
1.3
Die Anordnung der reellen Zahlen
Nachdem wir im vorigen Abschnitt alle zunächst für uns relevanten Grundlagen behandelt haben, wollen wir nun unsere im ersten Abschnitt begonnene Diskussion der reellen
Zahlen fortsetzen. Wir haben bereits die neun arithmetischen Axiome kennengelernt
die das Verhalten der Grundrechenarten kontrollieren. Jetzt kommen wir zur nächsten
Gruppe von Axiomen für die reellen Zahlen, diese beschäftigen sich nicht mehr nur mit
Addition und Multiplikation sondern auch mit der Kleiner-Gleich Beziehung zwischen
reellen Zahlen. Neben der Addition und der Multiplikation sei auf den reellen Zahlen
noch eine Anordnung gegeben, d.h. für je zwei reelle Zahlen x, y ist festgelegt ob x ≤ y
gilt oder nicht. Diese Anordnung ist für uns ein Grundbegriff, der die folgenden Axiome
erfüllen soll:
Die Ordnungsaxiome:
(R) Das Reflexivitätsgesetz: Für jedes x ∈ R ist x ≤ x.
(T) Das Transitivitätsgesetz: Für alle x, y, z ∈ R gilt
x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.
(A) Die Antisymmetrie: Für alle x, y ∈ R gilt
x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y.
(L) Die Ordnung ist total oder linear, d.h. für alle x, y ∈ R ist stets x ≤ y oder y ≤ x.
23
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
Erst einmal wollen wir eine kleine Anmerkung zu den vier Anordnungsaxiomen machen.
Das Reflexivitätsgesetz (R) gilt nicht automatisch nur weil wir von der Kleiner-Gleich
”
Relation“ sprechen, dies ist nur ein Name, dass tatsächlich Gleichheit auch KleinerGleich impliziert muss explizit festgehalten werden, auch wenn die Namensgebung andernfalls natürlich recht unglücklich wäre. Allerdings ist (R) tatsächlich redundant und
könnte weggelassen werden, denn die Linearität (L) ergibt insbesondere x ≤ x oder
x ≤ x, also x ≤ x, für jedes x ∈ R. Trotzdem wollen wir (R) mit als Axiom aufführen,
dies kommt da oftmals auch Anordnungen“ betrachtet werden die nur (R), (T) und
”
(A) erfüllen und aus (T) und (A) läßt sich (R) nicht herleiten.
Vorlesung 4, Freitag 4.11.2016
Am Ende der letzten Sitzung hatten vier die vier Axiome für die Anordnung der
reellen Zahlen aufgelistet, diese waren
(R)
(A)
(T)
(L)
∀(x ∈ R) : x ≤ x
∀(x, y ∈ R) : x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
∀(x, y, z ∈ R) : x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
∀(x, y ∈ R) : x ≤ y ∨ y ≤ x.
Die Transitivitätseigenschaft (T) wird dabei oft in der folgenden Form verwendet: Ist
a = x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn = b
eine Kette von Ungleichungen, so ist auch a ≤ b. Die Symbole x1 , x2 , . . .“ und so
”
weiter sind dabei als reelle Variable gedacht, da es sich um eine unbestimmte Anzahl n
solcher handelt kann man diese schlecht c, d, e, f, . . . nennen und numeriert sie anstelle
dessen einfach durch. Dass obige Kettenaussage gilt ist leicht zu sehen. Zunächst haben
wir a ≤ x1 und x1 ≤ x2 , also liefert die Transitivität (T) auch a ≤ x2 . Da x2 ≤ x3
gilt liefert eine weitere Anwendung von (T) dann a ≤ x3 . So fortfahrend erhalten wir
schließlich a ≤ xn und dann a ≤ b. Eine weitere wichtige Folgerung aus (T) und der
Antisymmetrie (A) ist die folgende Aussage: Haben wir eine Kette von Ungleichungen
a = x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn = a,
die bei einer reellen Zahl a ∈ R startet und endet, so sind überhaupt alle Elemente der
Kette gleich a, d.h. es ist x1 = · · · = xn = a. In der Tat, ist 1 ≤ i ≤ n gegeben, so
folgen aus
a = x1 ≤ · · · ≤ xi und xi ≤ xi+1 ≤ · · · ≤ xn = a
mit der obigen Transitivitätsaussage auch a ≤ xi und xi ≤ a, d.h. wir haben xi = a.
Neben der Kleiner-Gleich Relation definiert man die Echt-Kleiner Relation für x, y ∈ R
durch
x < y :⇐⇒ x ≤ y ∧ x 6= y.
24
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
Mit den vier Anordnungsaxiomen ergeben sich dann schnell entsprechende Aussagen für
Echt-Kleiner. Zunächst haben wir das sogenannte Trichotomieprinzip, dieses besagt das
für x, y ∈ R stets genau eine der drei Möglichkeiten x < y, y < x oder x = y gilt. Dies
folgt sofort aus den beiden Anordnungsaxiomen (A) und (L). Weiter hat man auch eine
erweiterte Transitivitätseigenschaft, die besagt das für alle x, y, z ∈ R mit x < y ≤ z
oder x ≤ y < z stets auch x < z gilt. In der Tat, nach dem Transitivitätsaxiom (T) ist
zumindest x ≤ z und wäre x = z, so hätten wir x = y = z im Widerspruch zu x 6= y
oder y 6= z. Hieraus folgt weiter das im Fall einer Ungleichungskette
a = x1 ≤ · · · ≤ xi < xi+1 ≤ xi+2 ≤ · · · ≤ xn = b
in der mindestens ein Echt-Kleiner vorkommt, letztlich stets auch a y :⇐⇒ y < x.
Die Anordnung kann man dann zur Definition der sogenannten beschränkten Intervalle
verwenden:
Definition 1.4 (Beschränkte Intervalle)
Seien a, b ∈ R. Dann heißt die Menge
[a, b]
(a, b)
[a, b)
(a, b]
:=
:=
:=
:=
{x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
{x ∈ R|a < x < b}
{x ∈ R|a ≤ x < b}
{x ∈ R|a < x ≤ b}
ein
ein
ein
ein
beschränktes,
beschränktes,
beschränktes,
beschränktes,
abgeschlossenes Intervall,
offenes Intervall,
rechts halboffenes Intervall,
links halboffenes Intervall.
Später in diesem Kapitel werden wir auch noch die unbeschränkten Intervalle definieren. Beachte das wir formal auch zulassen das linke und rechte Grenze falsch herum
sind, dann ist das entsprechende Intervall die leere Menge, zum Beispiel [2, 1] = ∅ oder
(1, 1) = ∅. Weiter ist für jedes a ∈ R auch [a, a] = {a}.
In der Literatur finden sie gelegentlich auch alternative Schreibweisen für die offenen
beziehungsweise halboffenen Intervalle, die Übersetzungstabelle ist
Standardschreibweise Alternative Schreibweise
(a, b)
]a, b[
[a, b)
[a, b[
(a, b]
]a, b]
ob der Randpunkt zum Intervall gehören soll oder nicht wird also durch eine sich
richtig herum schließende eckige Klammer beziehungsweise durch eine sich falsch herum
schließende eckige Klammer angedeutet.
So weit haben wir nur die Anordnungsaxiome verwendet. In den reellen Zahlen sind
die arithmetische Struktur, also Plus und Mal, und die Anordnungsstruktur natürlich
25
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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nicht unabhängig voneinander, sondern es gibt viele Rechenregeln die den Zusammenhang zwischen den beiden beschreiben. Zum Beispiel ist genau dann x ≤ y wenn
−y ≤ −x ist, das Produkt negativer Zahlen ist positiv, und vieles mehr. Genau wie
bei den Rechenregeln für die Grundrechenarten, lassen sich all diese vielen Regeln auf
einige wenige Axiome zurückführen. Diese Axiome sind die sogenannten Axiome eines
angeordneten Körpers, sie umfassen zum einen die neun Körperaxiome dann die vier
Anordnungsaxiome und zusätzlich die folgenden beiden neuen Axiome:
Axiome eines angeordneten Körpers:
(O1) Für alle x, y, z ∈ R gilt
y ≤ z =⇒ x + y ≤ x + z.
(O2) Für alle x, y, z ∈ R gilt
x ≥ 0 ∧ y ≤ z =⇒ xy ≤ xz.
Wir definieren hier dabei nicht was ein angeordneter Körper“ ist, für uns ist die Be”
zeichnung Axiome eines angeordneten Körpers“ nur ein Name für die angegebene
”
Gruppe von Axiomen, genauso wie die Körperaxiome“ ein Name für die Gruppe der
”
neun arithmetischen Axiome ist. Aus den Axiomen eines angeordneten Körpers folgen alle üblichen Regeln für den Umgang mit der Kleiner-Gleich Relation. Wie für
die arithmetischen Regeln im letzten Abschnitt wollen wir dies nicht systematisch für
alle denkbaren Regeln vorführen, sondern es nur examplarisch an einigen Beispielen
demonstrieren.
1. Sind x, y, x0 , y 0 ∈ R mit x ≤ x0 und y ≤ y 0 , so ist auch x + y ≤ x0 + y 0 . Dies ergibt
sich durch zweimaliges Anwendung des Axioms (O1)
x + y ≤ x + y 0 = y 0 + x ≤ y 0 + x0 = x0 + y 0 ,
und anschließende Anwendung der Transitivität (T). Außerdem ist hier natürlich
noch die Kommutativität der Addition, also das Axiom (A2), verwendet worden,
aber die benutzten Körperaxiome wollen wir jetzt nicht mehr einzeln auflisten.
2. Sind x, y, z ∈ R mit y < z, so ist auch x + y < x + z. Denn nach Axiom (O1)
ist zumindest x + y ≤ x + z und wegen y 6= z ist auch x + y 6= x + z, also
x + y < x + z. Analog zum Beweis der obigen Aussage folgt weiter, dass für alle
x, y, x0 , y 0 ∈ R mit x < x0 und y ≤ y 0 beziehungsweise x ≤ x0 und y < y 0 stets
auch x + y < x0 + y 0 gilt.
3. Sind x, y ∈ R mit x ≤ y, so ist −y ≤ −x. Dies ergibt sich direkt aus Axiom (O1).
Addieren wir beide Seiten von x ≤ y mit −x, so wird
0 = (−x) + x ≤ (−x) + y,
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
und addieren wir dann auch noch −y, so ergibt sich
−y ≤ (−x) + y + (−y) = −x.
Weiter können wir auch auf −y ≤ −x die schon bewiesene Aussage anwenden
und erhalten
x = −(−x) ≤ −(−y) = y,
d.h. wir haben
∀(x, y ∈ R) : x ≤ y ⇐⇒ −y ≤ −x.
Ebenso ergibt sich auch
∀(x, y ∈ R) : x < y ⇐⇒ −y < −x.
4. Sind x, y, z ∈ R mit x < y und z > 0, so ist auch xz < yz. Denn nach Axiom
(O2) ist zumindest xz ≤ yz und wäre xz = yz, so hätten wir auch (x − y)z = 0
also x = y oder z = 0 im Widerspruch zu x 6= y und z 6= 0.
5. Sind x, y, z ∈ R mit x ≤ y und z ≤ 0, so ist yz ≤ xz. Denn zunächst ist nach
Schritt (3) auch −z ≥ 0 und Axiom (O2) ergibt −xz ≤ −yz, also yz ≤ xz wieder
nach (3). Ebenso folgt aus x < y und z < 0 dann auch yz < xz.
6. Für jedes x ∈ R ist x2 ≥ 0. Denn ist x ≥ 0, so folgt mit Axiom (O2) sofort
x2 = x · x ≥ 0 · x = 0 und ist x ≤ 0, so ergibt (5) auch x2 = x · x ≥ 0 · x = 0.
Insbesondere ist somit 1 = 12 > 0 und mit (3) auch −1 < 0.
Das soll an Beispielen für derartige Überlegungen wieder reichen. Wir führen in diesem
Abschnitt noch einen letzten wichtigen Begriff ein, den sogenannten Betrag einer reellen
Zahl. Dieser hat eine rein praktische Funktion, wir möchten eine bequeme Möglichkeit
haben davon zu sprechen, dass eine reelle Zahl x klein ist. Wir könnten beispielsweise
versuchen die Zahl x klein zu nennen wenn x ≤ 10−4 gilt. Dies erfüllt aber nicht ganz
den intendierten Zweck, den es ist ja zum Beispiel auch −400 ≤ 10−4 , aber −400 wollen
wir meist nicht als klein betrachten. Wir müssten unsere Bedingung also beispielsweise
in x ≤ 10−4 und x ≥ −10−4 umschreiben. Um diese zwei Bedingungen durch eine
einzige zu ersetzen, wird nun der erwähnte Betrag der reellen Zahl x eingeführt.
Definition 1.5 (Betrag und Vorzeichen reeller Zahlen)
Ist x ∈ R eine reelle Zahl, so heissen

(

x > 0,
1,
x,
x ≥ 0,
sign(x) := 0,
x = 0, das Vorzeichen und |x| := sign(x) · x =

−x, x ≤ 0

−1, x < 0
der Betrag von x.
27
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Beispielsweise sind |4| = 4, | − 2| = 2 und |0| = 0.
Als Funktion von x hat der Betrag die nebenstehende
Gestalt. In anderen Worten ist |x| der nichtnegative Wert
unter den beiden Zahlen x und −x. In unserem obigen
Beispiel können wir die beiden Bedingungen x ≤ 10−4
und x ≥ −10−4 dann durch die eine Bedingung |x| ≤
10−4 ersetzen, und allgemein ist für jedes a ∈ R mit a ≥ 0
Freitag 4.11.2016
y
|x|
x
[−a, a] = {x ∈ R : |x| ≤ a} und (−a, a) = {x ∈ R : |x| < a}.
Entsprechendes gilt auch für nicht bei Null zentrierte Intervalle, sind reelle Zahlen
a, ∈ R mit > 0 gegeben, so haben wir
{x ∈ R : |x − a| ≤ } = [a − , a + ].
In der Tat, ist x ≥ a, so ist x − a ≥ 0 und |x − a| = x − a, d.h. |x − a| ≤ bedeutet
x ≤ a + . Ist dagegen x ≤ a, so haben wir x − a ≤ 0 also |x − a| = −(x − a) = a − x
und genau dann ist a − x ≤ wenn − ≤ x − a also x ≥ a − gilt. Dass also die reelle
Zahl x um höchstens von der reellen Zahl a abweicht kann damit kurz als |x − a| ≤ notiert werden. Um letztere Bedingung rechnerisch zugänglich zu machen, benötigen
wir Rechenregeln für den Betrag und die wichtigsten dieser Regeln werden im folgenden
Lemma zusammengestellt.
Lemma 1.2 (Grundeigenschaften des reellen Betrags)
Für alle x, y, z ∈ R gelten:
(a) Es sind sign(−x) = − sign(x), |x| = | − x| ≥ 0 und x2 = |x|2 .
(b) Es gilt x ≤ |x|.
(c) Es sind sign(xy) = sign(x) · sign(y) und |xy| = |x| · |y|.
(d) Es gilt die Dreiecksungleichung |x + y| ≤ |x| + |y|.
(e) Es ist |x − y| ≥ |x| − |y|.
(f ) Es ist |x| − |y| ≤ |x − y|.
Beweis: (a) Nach der dritten Folgerung aus den Axiomen eines angeordneten Körpers
ist sign(−x) = − sign(x) und somit auch |−x| = |x|. Im Fall x = 0 ist x2 = 0 = |x|2 und
für x 6= 0 haben wir sign(x) ∈ {−1, 1}, also sign(x)2 = 1 und somit |x|2 = sign(x)2 x2 =
x2 .
(b) Ist x ≥ 0 so ist x = |x| ≤ |x| und im Fall x < 0 ist nach der dritten Folgerung aus
den Axiomen eines angeordneten Körpers auch −x > 0 also x < 0 < −x = |x| und
somit x < |x|.
28
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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(c) Mit der vierten und der fünften Folgerung aus den Axiomen eines angeordneten Körpers folgt zunächst sign(xy) = sign(x) sign(y) und dies ergibt weiter |xy| =
sign(x) sign(y)xy = |x| · |y|.
(d) Es sind nach (a,b) x ≤ |x|, y ≤ |y|, −x ≤ | − x| = |x| und −y ≤ | − y| = |y|, also
auch
x + y ≤ |x| + |y| und − (x + y) = (−x) + (−y) ≤ |x| + |y|,
und da |x + y| eine der beiden Zahlen x + y oder −(x + y) ist, folgt |x + y| ≤ |x| + |y|.
(e) Mit Teil (d) rechnen wir
|x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|,
also |x − y| ≥ |x| − |y|.
(f ) Mit Teil (e) haben wir |x| − |y| ≤ |x − y| und (e), (a) zusammen ergeben auch
|y| − |x| ≤ |y − x| = | − (x − y)| = |x − y|. Da |x| −
|y| aber
eine der beiden Zahlen
|x| − |y| oder −(|x| − |y|) = |y| − |x| ist, folgt auch |x| − |y| ≤ |x − y|.
Warum Aussage (d) hier als Dreiecksungleichung bezeichnet wird, ist an dieser
Stelle nicht gut zu sehen. Wir werden dies aber bei der Betrachtung des Betrags einer
komplexen Zahl später noch klären.
1.4
Das Vollständigkeitsaxiom
In den vorhergehenden Abschnitten haben wir jetzt insgesamt 15 Axiome an die reellen Zahlen zusammengestellt. Aber auch all diese Axiome reichen noch nicht aus die
reellen Zahlen vollständig zu beschreiben, es fehlt noch ein weiteres Axiom. Dies ist das
sogenannte Vollständigkeitsaxiom, und es bezieht sich ausschließlich auf die Ordnungsstruktur der reellen Zahlen und nicht auf die arithmetische Struktur. Wir benötigen
leider noch zwei vorbereitende Definitionen um das Vollständigkeitsaxiom überhaupt
aussprechen zu können.
Definition 1.6 (Obere und untere Schranken)
Sei M ⊆ R eine Teilmenge.
(a) Eine reelle Zahl a ∈ R heißt obere Schranke von M wenn x ≤ a für alle x ∈ M
gilt.
(b) Die Menge M heißt nach oben beschränkt wenn es eine obere Schranke a ∈ R von
M gibt.
(c) Ein Element a ∈ M heißt maximales Element von M , oder ein Maximum von
M , wenn x ≤ a für alle x ∈ M ist, wenn a also eine obere Schranke von M
ist. Beachte das es nur ein einziges maximales Element von M geben kann, denn
ist b ∈ M ein weiteres so haben wir b ≤ a und a ≤ b, also a = b. Gibt es ein
maximales Element a ∈ M von M , so können wir damit max M := a schreiben.
29
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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(d) Eine reelle Zahl a ∈ R heißt untere Schranke von M wenn x ≥ a für alle x ∈ M
gilt.
(e) Die Menge M heißt nach unten beschränkt wenn es eine untere Schranke a ∈ R
von M gibt.
(f ) Ein Element a ∈ M heißt minimales Element von M , oder ein Minimum von M
wenn x ≥ a für alle x ∈ M ist, wenn a also eine untere Schranke von M ist.
Genau wie für maximale Elemente kann es höchstens ein minimales Element a
von M geben, und in diesem Fall schreiben wir min M := a.
(g) Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt
ist.
Die Terminologie dieser Definition wird am klarsten wenn wir uns die reellen Zahlen wie
unten gezeigt als eine vertikal hingemalte Linie denken, wobei es unten nach −∞ und
oben nach ∞ geht. Eine obere Schranke einer Teilmenge M ⊆ R ist dann tatsächlich
eine reelle Zahl, die eben oberhalb von M liegt. Beachte das obere Schranken bei weitem
nicht eindeutig festgelegt sind, ist a eine obere Schranke von M , so ist auch jede andere
reelle Zahl b ∈ R mit b ≥ a ebenfalls eine obere Schranke von M .
Eine nach oben beschränkte Menge muss im allgemeinen kein Maximum besitzen, anschaulich haben wir zwar +∞
immer ein Element unmittelbar oberhalb M“, aber diea (obere Schranke)
”
se Zahl gehört eventuell nicht zu M . Beispielsweise sind
sup M
max[0, 1] = 1 und min[0, 1] = 0
M
aber das offene Intervall M = (0, 1) hat weder ein Maximum noch ein Minimum, da eben 0 und 1 hier nicht zu
M gehören. Für die Beschränktheit einer Menge M ⊆ R
gibt es eine oftmals nützliche Umformulierung in Termen
des Betrags reeller Zahlen
−∞
M ⊆ R ist beschränkt ⇐⇒ Es gibt c ∈ R mit c ≥ 0 und |x| ≤ c für alle x ∈ M .
Gibt es nämlich ein c ∈ R mit c ≥ 0 und |x| ≤ c für alle x ∈ M , so ist auch −c ≤ x ≤ c
für alle x ∈ M , d.h. −c ist eine untere und c ist eine obere Schranke von M . Damit ist
M nach oben und unten beschränkt, also insgesamt beschränkt. Nun sei M umgekehrt
beschränkt. Dann gibt es sowohl eine untere Schranke a von M als auch eine obere
Schranke b von M , und wir setzen c := max{|a|, |b|} ≥ 0. Für jedes x ∈ M haben wir
dann x ≤ b ≤ |b| ≤ c und x ≥ a, also auch −x ≤ −a ≤ |a| ≤ c, und da |x| eine der
beiden Zahlen x oder −x ist bedeutet dies |x| ≤ c.
Wie schon bemerkt muss eine nach oben beschränkte Menge keinesfalls ein Maximum haben. Aber selbst wenn eine nach oben beschränkte Menge M ⊆ R kein
30
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
Maximum besitzt, so gibt es trotzdem ein Zahl gerade oberhalb von M“, diese ist so”
zusagen die bestmögliche obere Schranke von M . Explizit gesagt handelt es sich gerade
um die kleinstmögliche obere Schranke von M , und diese wird auch als das Supremum
der Menge M bezeichnet.
Definition 1.7 (Supremum und Infimum)
Sei M ⊆ R eine Teilmenge. Dann heißt eine reelle Zahl a ∈ R ein Supremum von M
wenn a eine kleinste obere Schranke von M ist, d.h. a ist eine obere Schranke von M
und für jede andere obere Schranke b ∈ R von M gilt stets a ≤ b. Analog heißt eine
reelle Zahl a ∈ R ein Infimum von M wenn a eine größte untere Schranke von M ist,
d.h. a ist eine untere Schranke von M und für jede andere untere Schranke b ∈ R von
M gilt stets b ≤ a.
In dieser Definition reden wir noch vorsichtig von einem Supremum einer Menge M ⊆
R, da es zunächst ja auch mehrere Suprema geben könnte. Dies ist aber nicht der Fall,
es kann höchstens ein Supremum von M geben. Seien nämlich a, b ∈ R zwei Suprema
der Menge M ⊆ R. Dann ist b eine obere Schranke von M und da a andererseits eine
kleinste obere Schranke von M ist, folgt a ≤ b. Ebenso ist auch b ≤ a und wir haben
insgesamt a = b. Analog kann es auch höchstens ein Infimum einer Menge M ⊆ R
geben. Da Supremum und Infimum somit eindeutig festgelegt sind, können wir sie
auch mit einem Symbol bezeichnen. Man schreibt für M ⊆ R
sup M := Das Supremum von M ,
inf M := Das Infimum von M ,
natürlich nur falls das fragliche Supremum oder Infimum existiert.
Wir hatten das Supremum einer Menge M ⊆ R als die kleinste obere Schranke von
M definiert, sofern eine solche überhaupt existiert. Dieser Begriff ist mit dem Begriff
des Maximums der Menge M verwandt, aber er ist nicht dasselbe. Wir wollen uns den
Zusammenhang der beiden Begriffe kurz einmal klar machen.
Zunächst nehme an, dass M ein Maximum a = max M besitzt. Dann ist a insbesondere eine obere Schranke von M und ist b ∈ R eine beliebige obere Schranke von M ,
so gilt wegen a ∈ M auch a ≤ b. Damit ist a die kleinste obere Schranke von M , d.h.
das Supremum von M . Gibt es also ein Maxiumum von M , so ist dieses auch gleich
dem Supremum.
Umgekehrt muss ein Supremum aber kein Maximum sein, ist zum Beispiel M =
(0, 1), so ist sup M = 1 aber wegen 1 ∈
/ M ist 1 kein Maximum von M . Haben wir
allerdings eine Menge M ⊆ R mit a = sup M ∈ M , so ist a ∈ M insbesondere eine
in M liegende obere Schranke von M , also ein Maximum von M . Entsprechendes gilt
dann auch für das Minimum und das Infimum einer Menge M ⊆ R. Zusammenfassend
31
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
haben wir für M ⊆ R also die folgenden Implikationen:
a = max M
a = sup M ∧ a ∈ M
a = min M
a = inf M ∧ a ∈ M
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
a = sup M,
a = max M,
a = inf M,
a = min M.
Sei M ⊆ R gegeben. Gibt es dann ein Supremum a ∈ R von M , so ist a insbesondere
eine obere Schranke von M , d.h. M ist nach oben beschränkt. Ist b ∈ R eine reelle
Zahl mit b < a, so kann b keine obere Schranke von M mehr sein, da sonst ja a ≤ b
gelten müsste, und dies bedeutet das es ein x ∈ M mit x > b gibt. Insbesondere muss
M 6= ∅ sein. Diese Beobachtung können wir jetzt zu einer äquivalenten Definition des
Supremums umformulieren.
Lemma 1.3 (Charakterisierung von Supremum und Infimum)
Seien M ⊆ R eine Teilmenge und a ∈ R.
(a) Genau dann ist a ein Supremum von M wenn a eine obere Schranke von M ist
und es für jedes b ∈ R mit b < a stets ein Element x ∈ M mit x > b gibt.
(b) Genau dann ist a ein Infimum von M wenn a eine untere Schranke von M ist
und es für jedes b ∈ R mit b > a stets ein Element x ∈ M mit b > x gibt.
Beweis: (a) ”=⇒” Dies haben wir bereits oben eingesehen.
”⇐=” Keine reelle Zahl b ∈ R mit b < a ist eine obere Schranke von M , und damit
muss für jede obere Schranke b von M stets b ≥ a gelten. Damit ist a ein Supremum
von M .
(b) Analog zu (a).
Die Existenz von Supremum oder Infimum kann über die Axiome eines angeordneten
Körpers nicht bewiesen werden, und das noch ausstehende Vollständigkeitsaxiom der
reellen Zahlen fordert diese Existenz einfach.
Vollständigkeitsaxiom (V):
Jede nach oben beschränkte, nicht leere Teilmenge ∅ 6= M ⊆ R der reellen
Zahlen besitzt ein Supremum.
Dieses ist das letzte noch fehlende Axiom für die reellen Zahlen, man sagt auch das R
ein vollständig angeordneter Körper ist. Hierdurch sind die reellen Zahlen in gewissen
Sinne auch eindeutig festgelegt, aber dies wollen wir hier nicht näher ausführen. Da
wir jetzt den vollständigen Satz an Axiomen für die reellen Zahlen zusammen haben,
können wir auch noch einmal auf Redundanzen zwischen diesen eingehen. Schon im
ersten Abschnitt hatten wir bemerkt, dass die Kommutativität der Addition (A2) nicht
gefordert werden muss, sie folgt aus den restlichen acht Körperaxiomen. Weiter hatten
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 4.11.2016
wir im vorigen Abschnitt festgestellt das die Reflexivität (R) in der Linearität (L) der
Anordnung enthalten ist. Mit dem Vollständigkeitsaxiom (V) kann man jetzt auch das
Kommutativgesetz (M2) der Multiplikation streichen, dieses läßt sich auch aus den
anderen Axiomen herleiten. Da dies allerdings schon etwas komplizierter ist und für
unser Thema keine Rolle spielt, wollen wir dies hier nicht weiter behandeln.
Am Vollständigkeitsaxiom fällt auf das hier das Supremum vor dem Infimum ausgezeichnet wird, während wir die beiden bisher als völlig analoge Spiegelbilder zueinander behandelt haben. Diese Auszeichnung des Supremums ist auch nur eine optische
Täuschung, die Existenz des Infimums werden wir gleich beweisen. Umgekehrt hätte
man genauso gut fordern können, dass jede nicht leere, nach unten beschränkte Menge
reeller Zahlen ein Infimum hat, und könnte dann die Existenz des Supremums beweisen.
Lemma 1.4 (Existenz des Infimums)
Jede nicht leere, nach unten beschränkte Menge ∅ =
6 M ⊆ R reeller Zahlen hat ein
Infimum.
Beweis: Sei ∅ 6= M ⊆ R nach unten beschränkt, d.h. M hat eine untere Schranke.
Dann ist die Menge
N := {a ∈ R|a ist eine untere Schranke von M } ⊆ R
aller unteren Schranken von M nicht leer N 6= ∅. Ist a ∈ M , so gilt für jedes x ∈ N
stets x ≤ a, da x ja eine untere Schranke von M ist, d.h. a ist eine obere Schranke von
N . Damit ist jedes Element von M eine obere Schranke von N . Wegen M 6= ∅ gibt es
insbesondere überhaupt eine obere Schranke von N , d.h. die Menge N ist nach oben
beschränkt. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert das Supremum
a := sup N ∈ R,
und wir behaupten das a auch das Infimum von M ist. Ist x ∈ M so ist x eine obere
Schranke von N , also a ≤ x. Damit ist a überhaupt eine untere Schranke von M . Ist
jetzt b ∈ R eine beliebige untere Schranke von M , so ist b ∈ N und damit auch b ≤ a.
Folglich ist a die größte untere Schranke von M , d.h. a = inf M .
Wir werden im Laufe des Semesters sehr viele Anwendungen von Supremum und
Infimum sehen, tatsächlich handelt es sich bei diesen beiden Begriffen um zwei der
mit Abstand wichtigsten technischen Hilfsmittel der gesamten Analysis. Hier wollen
wir jetzt nur noch eine allererste kleine Anwendung vorführen, und die sogenannte
archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen beweisen. Diese besagt im wesentlichen
das die natürlichen Zahlen unter den reellen Zahlen beliebig groß werden und um dies
zu beweisen benötigt man tatsächlich das Vollständigkeitsaxiom (V), die Axiome eines
angeordneten Körpers reichen hierzu nicht aus.
Auch der Beweis dieses Lemmas ist hier für uns von besonderem Interesse, er ist
das erste Beispiel eines sogenannten Widerspruchsbeweises in dieser Vorlesung.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 7.11.2016
Lemma 1.5 (Die archimedische Eigenschaft von R)
Sind a, b ∈ R mit a > 0 so existiert eine natürliche Zahl n ∈ N mit na > b.
Beweis: Wir beweisen dies per Widerspruchsbeweis. Gäbe es kein solches n ∈ N mit
na > b, so wäre na ≤ b für alle n ∈ N, d.h. b ist eine obere Schranke der Menge
M := {na|n ∈ N} ⊆ R.
Damit ist M nach oben beschränkt und wegen 0 ∈ M ist auch M 6= ∅. Nach dem
Vollständigkeitsaxiom existiert das Supremum s := sup M von M . Wegen s − a < s
gibt es nach Lemma 3.(a) ein x ∈ M mit x > s − a, und nach Definition von M gibt
es weiter ein n ∈ N mit na = x > s − a. Damit ist auch (n + 1)a ∈ M mit
(n + 1)a = na + a > s − a + a = s,
aber andererseits ist auch (n + 1)a ≤ s da s eine obere Schranke von M ist. Dies ist
ein Widerspruch und das Lemma ist bewiesen.
Vorlesung 5, Montag 7.11.2016
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannte archimedische Eigenschaft
der reellen Zahlen bewiesen, gegeben waren zwei reelle Zahlen a, b mit a > 0 und wir
hatten gezeigt das es eine natürliche Zahl n ∈ N mit n · a > b gibt. Hierzu hatten wir
angenommen das es keine solche natürliche Zahl n gibt, dass also n · a ≤ b für jedes
n ∈ N gilt, und hatten hieraus einen Widerspruch hergeleitet.
Diesen Beweis wollen wir noch etwas kommentieren. Bisher haben wir alle unsere
Aussagen direkt“ bewiesen, d.h. wir haben von den Voraussetzungen und unseren
”
Axiomen ausgehend eine Kette von Folgerungen hergestellt die mit der behaupteten
Aussage endet. Unser Nachweis der archimedischen Eigenschaft ist kein solcher direkter
Beweis sondern ein sogenannter Widerspruchsbeweis, oder indirekter Beweis, dies ist
ein eigenständiger Beweistyp. Wie wir noch sehen werden gibt es im wesentlichen drei
verschiedene Beweismethoden, die erste und am häufigsten verwendete Methode ist der
direkte Beweis, die zweite ist der Widerspruchsbeweis und die dritte Methode werden
wir etwas später in diesem Kapitel kennenlernen.
Kommen wir zum allgemeinen Aufbau eines Widerspruchsbeweises. Nehmen wir
an die Aussage A wäre zu zeigen. Bei einem Widerspruchsbeweis nimmt man an das
A falsch wäre, dass also die Verneinung ¬A gilt. In dieser hypothetischen Welt in
der A nicht gilt beginnen wir dann weitere Aussagen herzuleiten und beweisen etwa
eine Aussage B. Andererseits überlegt man sich das auch die Verneinung ¬B von B
34
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 7.11.2016
wahr ist. Eine mathematische Aussage ist allerdings immer entweder wahr oder falsch,
insbesondere können B und ¬B nicht beide gleichzeitig gelten. Die von der Annahme
¬A erschaffene Welt kann es also gar nicht geben, und daher kann A nicht falsch sein.
Wieder da eine mathematische Aussage entweder wahr oder falsch ist, muss dann A
wahr sein. In Lemma 5 haben wir die Aussage
A = ∃(n ∈ N) : na > b mit ¬A = ∀(n ∈ N) : na ≤ b
und aus ¬A leiten wir sowohl B = s ist eine obere Schranke von M“ als auch ¬B = s
”
”
ist keine obere Schranke von M her“. Dies ist dann unser Widerspruch und A folgt.
Als logische Formel hat ein Widerspruchsbeweis von A die Form
(¬A =⇒ B) ∧ (¬A =⇒ ¬B) =⇒ A
wobei B eine weitere Aussage ist. Zumeist ist die zu beweisende Aussage selbst eine
Implikation, hat also die Form A = C =⇒ D, wenn wir die Behauptung von Lemma
5 etwas ausführlicher schreiben ist diese in Wahrheit ja gleich
A = (a, b ∈ R ∧ a > 0) =⇒ (∃(n ∈ N) : na > b) .
|
|
{z
}
{z
}
C
D
Die Verneinung von A wird also zu ¬A = C ∧ (¬D) und im Widerspruchsbeweis
werden dann (C ∧ ¬D) =⇒ B und (C ∧ ¬D) =⇒ ¬B gezeigt.
Der Beweis des Lemma 5 ist sogar ein Widerspruchsbeweis eines sehr speziellen
Typs, es wird die Existenz der natürlichen Zahl n durch einen Widerspruchsbeweis
eingesehen. Dass es möglich ist die Existenz von etwas“ durch die Widerlegung der
”
Nichtexistenz zu begründen ist keinesfalls selbstverständlich und ist recht spezifisch für
die Mathematik. Beispielsweise können Sie in der Physik die Existenz irgendeines neuen Elementarteilchens beim besten Willen nicht dadurch begründen das ihre Theorie
andernfalls widersprüchlich wird, bevor man das hypothetische Teilchen nicht irgendwie experimentell ausfindig machen kann ist seine Existenz höchstens eine plausible
Hypothese. Allgemein kann man die Existenz realer Objekte niemals durch theoretische Überlegungen wirklich nachweisen. Auch in der Mathematik selbst ist ein solches
Vorgehen bis ins letzte Viertel des neunzehnten Jahrhunderts nicht als Beweis akzeptiert worden, die damals verwendete, und bei den Anwendungen der Mathematik in
den Naturwissenschaften noch immer verwendete, Interpretation mathematischer Objekte war es sich diese als Idealisierungen“ realer Objekte zu denken, so wie etwa ein
”
mathematischer Kreis“ ein idealisierter Kreis ist dessen Rand tatsächlich unendlich
”
”
dünn“ ist. Bei einer solchen Sichtweise bedeutet die Existenz eines mathematischen
Objekts immer auch die Existenz irgendwelcher realen Dinge und ist damit eigentlich
keiner Argumentation über Widerspruchsargumente zugänglich.
Die Vorstellung das mathematische Objekte Idealisierungen wirklicher Gegenstände
sind wurde in der Mathematik Ende des neunzehnten Jahrhunderts aufgegeben, beziehungsweise in die Modellierung verbandt, wir hatten schon einmal erwähnt das die
Mathematik im eigentlichen Sinne nicht von der Realität handelt. Die Anwendung der
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 7.11.2016
Mathematik auf wirkliche Dinge denkt man sich dann als eine Art Übersetzungsprozess, bei dem die zu untersuchenden realen Objekte durch mathematische Objekte
beschrieben werden, einen Vorgang den man dann als Modellierung“ bezeichnet. Dies
”
hat zur Folge das das Wort Existenz“ in der Mathematik sehr viel freier verwendet
”
werden kann als irgendwo sonst, etwa übertrieben folgt man dem magischen Prinzip,
wenn man etwas“ einen Namen geben kann dann existiert es. Insbesondere wird beim
”
Nachweis der Existenz mathematischer Objekte nicht verlangt das man das existierende Gebilde in irgendeiner Weise konkret angeben können muss oder eine Methode
hat es zu berechnen. Daher ist es auch möglich die Existenz von etwas durch einen
Widerspruchsbeweis zu begründen.
Als ein zweites und etwas typischeres Beispiel eines indirekten Beweis wollen wir
die Irrationalität der Wurzel aus Zwei beweisen. Da wir noch keine Wurzeln eingeführt
haben formulieren wir dies als die Behauptung das x2 6= 2 für jedes x ∈ Q gilt. Wenn
wir dies über einen Widerspruchsbeweis einsehen wollen, nehmen wir an das es eine
rationale Zahl x ∈ Q gibt x2 = 2 gibt. Durch eventuellen Übergang zu −x können wir
weiter x > 0 annehmen und dann gibt es natürliche Zahlen p, q ∈ N\{0} mit x = p/q.
Durch Auskürzen können wir weiter erreichen das p und q teilerfremd sind. Wegen
2
p
p2
2
2=x =
= 2 folgt p2 = 2q 2
q
q
also ist p2 gerade und da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist, muss auch
p gerade sein. Damit ist auch r := p/2 ∈ N eine natürliche Zahl mit p = 2r. Hieraus
folgt
2q 2 = p2 = (2r)2 = 4r2 also q 2 = 2r2
und wie eben folgt das auch q gerade. Damit haben p und q den gemeinsamen Teiler
2, sind also nicht teilerfremd und wir haben einem Widerspruch erhaltem.
Dies ist erst einmal genug zu grundsätzlichen Dingen und wir kommen wieder zum
Begriff von Supremum und Infimum zurück. Manchmal ist es bequem für überhaupt
jede Teilmenge M ⊆ R Supremum und Infimum bilden zu können, unabhängig davon
ob sie nach oben beschränkt ist oder nicht. Hierzu gehen wir zu den sogenannten
erweiterten reellen Zahlen
R := R ∪ {−∞, ∞}
über, indem zwei neue Elemente ±∞ zu R hinzugefügt werden. Wir setzen die Ordnung
von R durch
−∞ < x < ∞
für alle x ∈ R fort, also insbesondere −∞ < ∞. Addition und Multiplikation sind auf
R nicht vollständig definiert, man setzt nur
∞ + ∞ = x + ∞ = ∞ + x := ∞ und (−∞) + (−∞) = (−∞) + x = x + (−∞) := −∞
für alle x ∈ R und
(∞) · (∞) = (−∞) · (−∞) := ∞, (∞) · (−∞) = (−∞) · (∞) := −∞
36
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 7.11.2016
sowie
(
(
∞,
x > 0,
−∞, x > 0
x · ∞ = ∞ · x :=
x · (−∞) = (−∞) · x :=
−∞, x < 0,
∞,
x<0
für alle x ∈ R\{0}. Andere Summen oder Produkte werden nicht definiert.
Ist dann M ⊆ R eine beliebige Teilmenge, so existieren in R sowohl Supremum als
auch Infimum. Ist nämlich M 6= ∅ und nach oben beschränkt, so gibt es sup M ∈ R
nach dem Vollständigkeitsaxiom. Ist M nicht nach oben beschränkt, so ist ∞ die einzige
obere Schranke von M in R, also auch sup M = ∞. Ist schließlich M = ∅, so ist jedes
a ∈ R obere Schranke von M , also sup M = −∞. Insbesondere haben wir
sup M ∈ R ⇐⇒ M 6= ∅ ist nach oben beschränkt.
Entsprechendes gilt dann fürs Infimum, also insbesondere inf ∅ = ∞ in R. Wenn wir
±∞ als Supremum und Infimum zulassen wollen, so sprechen wir auch davon das
Supremum und Infimum in R gebildet werden. Man könnte sogar sup M und inf M
für Teilmengen M ⊆ R betrachten, aber in aller Regel sind für uns nur Teilmengen
von R von Interesse. Beachte das ±∞ keine reellen Zahlen sind, der Übergang zu den
erweiterten reellen Zahlen ist nur ein formaler Trick gelegentlich Fallunterscheidungen
zu vermeiden.
Ein Beispiel hierzu werden wir in einer Übungsaufgabe sehen. Dort haben wir zwei
Mengen M, N ⊆ R und wollen sagen, dass M ∪N genau dann nach oben beschränkt ist,
wenn M und N beide nach oben beschränkt sind und das in diesem Fall sup(M ∪ N ) =
max{sup M, sup N } gilt. Interpretieren wir dies in R, so können wir uns das Gerede
über nach oben beschränkt“ sparen und müssen nur noch die Gleichung sup(M ∪N ) =
”
max{sup M, sup N } hinschreiben. Da M ⊆ R genau dann nach oben beschränkt ist,
wenn in R die Bedingung sup M 6= ∞ gilt, ist die Aussage über nach oben beschränkte
Mengen in der Gleichung für die Suprema enthalten. Auch der Fall das eine oder beide
der Mengen leer sind, wird automatisch mit behandelt.
1.5
Potenzen mit rationalen Exponenten
Reelle Potenzen xa werden in mehreren Stufen, geordnet nach immer allgemeineren
Exponenten a, definiert. In der ersten Stufe werden natürliche Exponenten a = n ∈ N
mit n ≥ 1 behandelt, und bei diesen ist für die Basis x jede reelle Zahl zugelassen. Für
x ∈ R und n ∈ N mit n ≥ 1 definieren wir die Potenz xn als
xn := x
. . · x} .
| · .{z
n mal
Nullte Potenzen werden dagegen durch x0 := 1 für alle x ∈ R eingeführt, also insbesondere 00 = 1. Interpretieren wir ein Produkt mit Null Faktoren per Konvention als 1, so
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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deckt sich diese Definition mit derjenigen von xn für n ≥ 1. Aus den Körperaxiomen
folgen die Potenzrechenregeln, also
(xy)n = xn y n , xn · xm = xn+m und (xn )m = xnm
jeweils für alle x, y ∈ R, n, m ∈ N. Diese Regeln wollen wir jetzt nicht strikt formal
vorführen, sondern uns auf eine etwas informelle Begründung verlassen. Zunächst sind
xn · xm = |x · .{z
. . · x} · x
. . · x} = x
. . · x} = xn+m
| · .{z
| · .{z
n mal
m mal
n + m mal
und
(xn )m = |xn · .{z
. . · xn} = |x · .{z
. . · x} = xnm
. . · x} · . . . · x
. . · x} = x
| · .{z
| · .{z
m mal
n mal
nm mal
{z
}
| n mal
m mal
und mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation ergibt sich auch
xn · y n = |x · .{z
. . · x} · y · . . . · y = xy · . . . · xy = (xy)n .
| {z } | {z }
n mal
n mal
n mal
Man kann nun noch die übliche Formel für die Potenzen von Brüchen herleiten, im
Fall y 6= 0 ist zunächst (y −1 )n y n = (y −1 y)n = 1n = 1 = (y n )−1 y n und somit auch
(y −1 )n = (y n )−1 , also schließlich
n
xn
x
−1 n
n −1 n
n n −1
= (xy ) = x (y ) = x (y ) = n .
y
y
m)
Beachte das x(n
6= (xn )m ist, zum Beispiel ist (23 )4 = 212 = 4096 während
4
2(3 ) = 281 = 2417851639229258349412352
sehr viel größer ist. Im Fall positiver Basen bleiben Ordnungsbeziehungen beim Potenzieren erhalten. Sind x, y ∈ R mit 0 < x < y und n ∈ N mit n ≥ 1, so haben wir
auch
xn = x
. . · x} < y · . . . · y = y n
| · .{z
| {z }
n mal
n mal
und haben wir x, y ∈ R mit 0 ≤ x ≤ y so folgt analog sogar für jedes n ∈ N das
xn ≤ y n ist. Kombinieren wir dies mit den Kontrapositionen dieser Aussagen so ergibt
sich auch, dass für alle x, y ∈ R und alle n ∈ N mit x, y > 0, n ≥ 1 genau dann x < y
ist wenn xn < y n gilt. Wie sich die Anordnung von Potenzen bezüglich des Exponenten
verhält hängt von der Lage der Basis zur Eins ab. Sind n, m ∈ N mit n < m so haben
wir für jede reelle Zahl x > 1
xn = |x · .{z
. . · x} = x
. . · x} · 1| · .{z
. . · 1} < x
. . · x} · x
. . · x} = xm
| · .{z
| · .{z
| · .{z
n mal
n mal
m − n mal
38
n mal
m − n mal
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während sich im Fall 0 < x < 1 analog xn > xm ergibt. Berücksichtigen wir auch noch
die Gleichheitsfälle so ist für alle x ∈ R mit x ≥ 1 und alle n, m ∈ N mit n ≤ m
stets auch xn ≤ xm während für x ∈ R mit 0 ≤ x ≤ 1 und n, m ∈ N mit n ≤ m die
Ungleichung xn ≥ xm gilt. Insgesamt gilt damit für alle x ∈ R und alle n, m ∈ N auch
das im Fall x > 1 genau dann xn < xm gilt wenn n < m ist und im Fall 0 < x < 1 ist
genau dann xn < xm wenn n > m ist.
Als Funktion von x wächst die Potenz xn damit umso schneller je größer n ist,
für unsere folgenden Überlegungen benötigen wir diese Aussage allerdings in einer
etwas spezifischer quantifizierten Form. Wir wollen uns die sogenannte Bernoullische
Ungleichung überlegen, diese besagt das für alle reellen Zahlen x mit x ≥ −1 und alle
natürlichen Zahlen n stets (1 + x)n ≥ 1 + nx ist. Für n = 0 und n = 1 ist dies klar,
und für n = 2 kann man es leicht einsehen, es ist etwa
(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 ≥ 1 + 2x
da Quadrate niemals negativ sind. Der Fall n = 3 ist schon komplizierter. Gehen wir
zunächst einmal wie im Fall n = 2 vor, so haben wir die Rechnung
(1 + x)3 = (1 + 2x + x2 ) · (1 + x) = 1 + 3x + 3x2 + x3 = 1 + 3x + x2 (3 + x) ≥ 1 + 3x
da x+3 ≥ 2 ist. Man könnte jetzt so fortfahrend argumentieren, allerdings wird in jedem
Schritt die Anzahl der überzähligen Summanden“ größer und damit die Abschätzung
”
schwerer und zum anderen werden auf diese Weise nur spezielle Werte von n behandelt,
die Bernoullische Ungleichung ist aber für beliebige n ∈ N formuliert. Um eine Idee
zu kriegen wie ein allgemeines n“ behandelt werden kann, schauen wir uns den Fall
”
n = 3 noch einmal auf eine etwas andere Weise an. Wir wissen bereits
(1 + x)2 ≥ 1 + 2x
und multiplizieren wir diese Ungleichung mit 1 + x ≥ 0, so folgt
(1 + x)3 ≥ (1 + x) · (1 + 2x) = 1 + 3x + 2x2 ≥ 1 + 3x.
Dies ist zunächst einmal keine nennenswerte Vereinfachung, diese Methode läßt sich
jetzt aber wiederholen. Multiplizieren wir das Ergebnis (1 + x)3 ≥ 1 + 3x wieder mit
1 + x ≥ 0 so wird auch
(1 + x)4 ≥ (1 + x) · (1 + 3x) = 1 + 4x + 3x2 ≥ 1 + 4x,
und wir haben den Fall n = 4 auf einfache Weise behandelt. Die Bernoullische Ungleichung für n = 4 folgt also aus der Bernoullischen Ungleichung für n = 3, und diese folgt
wiederum aus derjenigen für n = 2. Dies setzt sich immer so fort, die Bernoullische
Ungleichung für n = 4 liefert erneut durch Multiplikation mit 1 + x diejenige für n = 5,
daraus folgt die für n = 6, dann für n = 7 und immer so weiter. Eine systematische
Auswertung dieser Idee führt jetzt auf die Methode der sogenannten vollständigen
”
Induktion“.
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Schreiben wir bei weiterhin fixierten x ≥ −1
A(n) := (1 + x)n ≥ 1 + nx
für die Bernoullische Ungleichung für n ∈ N, so können wir unsere Überlegungen auch
in der Form
A(2) =⇒ A(3) =⇒ A(4) =⇒ A(5) =⇒ A(6) =⇒ A(7)
schreiben. Wir behaupten das sich diese Implikationskette immer weiter fortsetzt, dass
also ganz allgemein A(n) =⇒ A(n + 1) für jedes n ∈ N mit n ≥ 2 ist. Dies ist im
wesentlichen dieselbe Rechnung wie im Fall n = 2. Sei etwa ein n ∈ N mit n ≥ 2
gegeben. Um die Implikation A(n) =⇒ A(n + 1) einzusehen, können wir, wie schon
im zweiten Abschnitt festgehalten, die Aussage A(n) als wahr annehmen, es gelte also
bereits (1 + x)n ≥ 1 + nx. Multiplizieren wir diese Ungleichung mit 1 + x ≥ 0, so folgt
weiter
(1 + x)n+1 ≥ (1 + x) · (1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x,
es gilt also auch A(n + 1) und die Implikation A(n) =⇒ A(n + 1) ist bewiesen. Unsere
obige Implikationskette setzt sich also endlos fort
A(0) =⇒ A(1) =⇒ A(2) =⇒ A(3) =⇒ A(4) =⇒ A(5) =⇒ · · · ,
wobei wir diesmal bei A(0) anfangen da die ersten beiden Implikationen sowieso gelten.
Unsere Folgerungskette kann also zu jedem n ∈ N verlängert werden und A(n), d.h.
die Bernoullische Ungleichung, gilt damit allgemein für n ∈ N.
Das Vorgehen im eben durchgeführten Beweis ist streng genommen weder ein direkter noch ein indirekter Beweis, da das kann also zu jedem n ∈ N verlängert werden“
”
zwar plausibel aber kein direkter Beweis ist. Es handelt sich hier um eine sogenannte vollständige Induktion“, diese ist ein eigenständiger Beweistyp, den wir nun auch
”
allgemein besprechen wollen. Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, um
Aussagen über alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genauer geht es um Allaussagen
der Form
∀(n ∈ N) : A(n),
wobei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen n ist, beispielsweise das obige A(n)
aus der Bernoulli-Ungleichung. Ein Induktionsbeweis erfolgt in zwei Schritten:
1. Induktionsanfang: Zeige das die Aussage A(0) gilt.
2. Induktionsschritt: Hier ist zu zeigen, dass aus A(n) für n ∈ N auch A(n + 1)
folgt, d.h es ist die Allaussage ∀(n ∈ N) : A(n) ⇒ A(n + 1) zu beweisen. Den
Induktionsschritt unterteilt man meistens in zwei Teile:
(a) Induktionsannahme: Sei n ∈ N mit A(n) gegeben.
(b) Induktionsschluß: Zeige, dass auch A(n + 1) gilt.
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Montag 7.11.2016
Haben wir Induktionsanfang und Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt, so besagt
das Prinzip der vollständigen Induktion das die Aussage A(n) für jedes n ∈ N wahr ist.
Hieraus folgt dann beispielsweise die allgemeine Gültigkeit der Bernoullischen Ungleichung, wir werden diese etwas weiter unten auch noch einmal explizit als ein Lemma
festhalten. Ein häufiges Mißverständnis besteht darin zu glauben, dass man beim Induktionsschritt bereits weiss das A(n) wahr ist. Dies ist aber nicht der Fall, alles was
gezeigt wird ist die Implikation A(n) ⇒ A(n + 1) und wie immer beim Beweis einer
Implikation kann man annehmen das die Voraussetzung der Implikation, also A(n),
wahr ist denn andernfalls ist die Implikation sowieso wahr.
Überlegen wir uns kurz noch einmal in der allgemeinen Situation warum ein Induktionsbeweis funktioniert. Im Induktionsanfang wird A(0) nachgewiesen und im Induktionsschritt wird weiter A(n) ⇒ A(n + 1) für alle n ∈ N gezeigt. Mit n = 0
wissen wir insbesondere A(0) ⇒ A(0 + 1) = A(1), d.h. A(0) und die Implikation
A(0) ⇒ A(1) sind wahr und somit ist auch A(1) wahr. Mit n = 1 haben wir dann auch
A(1) ⇒ A(1+1) = A(2) und da wir A(1) bereits eingesehen haben, ist auch A(2) wahr.
So fortfahrend sind dann auch A(3), A(4), . . ., und immer so weiter, wahr. Da wir so
bei jeder natürlichen Zahl n ∈ N vorbeikommen ist A(n) für jedes n ∈ N wahr. Dies
sollte Sie von der Gültigkeit der Methode der vollständigen Induktion überzeugen. Es
ist allerdings wieder kein exaktes Argument für diese, da wir das Problem in dem harmlos aussehenden und so weiter“ versteckt haben. Tatsächlich werden viele einfache
”
”
Induktionsbeweise“ gar nicht explizit als solche benannt sondern mit Formulierungen
wie so fortfahrend“ verschleiert, wir sind beispielsweise im vorigen Abschnitt beim
”
Nachweis der Kettenform des Transitivitätsgesetzes der Anordnung auf diese Weise
vorgegangen.
In den allermeisten Fällen ist der Induktionsanfang eine recht banale Angelegenheit.
Trotzdem ist er unverzichtbar, der Induktionsschluß kann auch bei falschen Aussagen
funktionieren. Nehmen wir einmal die offensichtlich unsinnige Aussage n > n + 1 als
unser A(n). Ist dann n ∈ N mit A(n), also n > n + 1, so folgt durch Addition mit Eins
auch n + 1 > (n + 1) + 1, also A(n + 1). Der Induktionsschluß ist hier also problemlos
möglich, der Anfang natürlich nicht. Dies ist kein seltenes Phänomen, nehmen Sie
einmal an die Aussage A(n) ist für jedes n ∈ N falsch. Da aus Falschem alles folgt, gilt
dann A(n) ⇒ A(n + 1) für jedes n ∈ N, der Induktionsschluß funktioniert also immer
wenn die Aussage A(n) niemals richtig ist.
Es spielt keine Rolle das als Startpunkt der Induktion n = 0 verwendet wird, man
kann einen Induktionsbeweis auch bei einem beliebigen n = n0 ∈ N starten. Sehr häufig
wird n = 1 als Start verwendet da n = 0 oft ein Sonderfall ist. Als ein vollständiges
Beispiel eines Induktionsbeweises, wollen wir jetzt die Bernoulli-Ungleichung, sogar in
einer etwas erweiterten Form, explizit formulieren und beweisen.
Lemma 1.6 (Die Bernoulli-Ungleichung)
Für alle x ∈ R mit x ≥ −1 und alle n ∈ N gilt die Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx
und genau dann ist (1 + x)n = 1 + nx wenn n ≤ 1 oder x = 0 ist.
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Beweis: Sei x ∈ R mit x ≥ −1. Dann gelten sofort (1 + x)0 = 1 = 1 + 0 · x sowie
(1 + x)1 = 1 + 1 · x und im Fall x = 0 ist auch (1 + x)n = 1n = 1 = 1 + n · x für jedes
n ∈ N. Wir können daher im Folgenden x 6= 0 annehmen und wollen (1 + x)n > 1 + nx
für alle n ∈ N mit n ≥ 2 zeigen. Dies geschieht nun durch vollständige Induktion nach
n. Zunächst ist (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x, unsere Behauptung gilt also im Fall
n = 2 und der Induktionsanfang ist durchgeführt.
Nun sei ein n ∈ N mit n ≥ 2 und (1 + x)n > 1 + nx gegeben. Wegen 1 + x ≥ 0 folgt
dann auch
(1 + x)n+1 ≥ (1 + x) · (1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x,
und unsere Behauptung gilt auch für n + 1. Per vollständiger Induktion ist damit
(1 + x)n > 1 + nx für alle n ∈ N mit n ≥ 2.
Wir wollen auch noch einen zweiten Induktionsbeweis vorführen und die sogenannte
allgemeine binomische Formel herleiten. Dies ist eine Formel für die Potenzen einer
Summe, also für (x + y)n mit x, y ∈ R, n ∈ N. Um diese hinzuschreiben benötigen
wir allerdings zwei kleine Vorbereitungen, zunächst einmal wollen wir das sogenannte
Summenzeichen einführen. Man schreibt beispielsweise für n ∈ N
n
X
k = 1 + 2 + · · · + n.
k=1
Das große Sigma ist hier das
Pn Summenzeichen und k der sogenannte Summationsindex. Das Summenzeichen k=1 ak wird so interpretiert das k die Werte von 1 bis n
durchläuft, für jedes solche k die Zahl ak gebildet wird und alle diese Zahlen aufsummiert werden. Beispielsweise sind
6
X
2
2
2
2
2
k = 3 + 4 + 5 + 6 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86 oder
k=3
4
X
1
k=1
k
= 1+
1 1 1
25
+ + = .
2 3 4
12
Oftmals läßt man den Summationsindex auch über eine kompliziertere Menge laufen,
die dann in der Regel unterhalb des Summenzeichens beschrieben wird, beispielsweise
X
1≤k≤10
k Primzahl
1
1 1 1 1
247
= + + + =
.
k
2 3 5 7
210
Der Summationsindex ist eine der in der ersten Sitzung erwähnten formalen Variablen,
insbesondere gibt es ihn nur innerhalb der Summe und nicht außerhalb. Bei komplexeren Summen dürfen auch mehrere Summationsindizes gleichzeitig verwendet werden,
beispielsweise
1
1
1
1
1 1 1
47
=
+
+
= + + = .
i+j
1+2 1+3 2+3
3 4 5
60
1≤i<j≤3
X
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Hier durchlaufen die Summationsindizes i, j die möglichen Werte (i, j) = (1, 2), (1, 3)
und (2, 3). Sind a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn und c beliebige Zahlen, so gelten offenbar
n
X
(ak + bk ) =
n
X
k=1
ak +
n
X
k=1
n
X
(cak ) = c ·
bk und
k=1
n
X
ak .
k=1
k=1
Entsprechende Formeln gelten dann natürlich auch für die Summation über kompliziertere Indexbereiche. Analog zum Summenzeichen gibt es auch ein Produktzeichen,
hierfür verwendet man ein großes Pi, also beispielsweise
5
Y
(2k − 1) = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
k=1
Die beiden obigen Formeln nehmen für das Produktzeichen die Form
n
Y
(ak bk ) =
k=1
n
Y
!m
=
ak
n
Y
k=1
n
Y
ak ·
n
Y
bk ,
k=1
am
k
k=1
k=1
an, wobei n, m ∈ N, a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R sind. Die Potenzformel gilt dann auch für
Potenzen mit rationalen oder reellen Exponenten, sobald diese definiert sind. Genau
wie beim Summenzeichen werden auch Produkte über kompliziertere Indexbereiche
oder mit mehreren Indizes notiert, etwa
Y
k = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
1≤k≤10
k ist Primzahl
oder
Y
j i = 21 · 31 · 32 = 54.
1≤i<j≤3
Einen Randfall wollen wir noch erwähnen, wenn der Indexbereich einer Summe oder
eines Produktes überhaupt keine Elemente enthält, wir also eine leere Summe“ bezie”
hungsweise ein leeres Produkt“ haben, so wird die leere Summe per Konvention als 0
”
interpretiert und das leere Produkt ist per Konvention gleich 1.
Als zweite Vorbereitung für die allgemeine binomische Formel wollen wir die sogenannten Binomialkoeffizienten einführen.
Definition 1.8 (Fakultäten und Binomialkoeffizienten)
Sei n ∈ N. Dann heißt die Zahl
n
Y
n! :=
k = 1 · 2 · ... · n
k=1
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die Fakultät von n. Für n = 0 wird dieses leere Produkt wie gerade beschrieben als
0! = 1 interpretiert. Weiter definieren wir für jedes k ∈ N mit 0 ≤ k ≤ n den Binomialkoeffizienten von n über k als
n
n!
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
:=
=
.
k
k!(n − k)!
k!
Man kann die Binomialkoeffizienten bequem über das sogenannte
Pascalsche Drei
n
eck berechnen. Denken wir uns die Binomialkoeffizienten k zu festen n zeilenweise
angeordnet
0
0
.
& 1
1
0
1
.
&
.
& 2
2
2
0
1
2
& .
& .
& .
3
3
3
3
0
1
2
3
so ergibt sich der k-te Binomialkoeffizient in Zeile n als die Summe des (k − 1)-ten
und des k-ten Binomialkoeffizienten in Zeile n − 1, d.h. als die Summe der links und
rechts über ihm stehenden Einträge. Beispielsweise erhalten wir für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6
die Werte
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
Als Formel geschrieben bedeutet das Pascalsche Dreieck das für alle n, k ∈ N mit
1 ≤ k ≤ n stets
n+1
n
n
=
+
k
k−1
k
gilt. Dies läßt sich leicht nachrechnen
n
n
n!
n!
n! · (k + n + 1 − k)
+
=
+
=
k−1
k
(k − 1)!(n + 1 − k)! k!(n − k)!
k!(n + 1 − k)!
n! · (n + 1)
(n + 1)!
n+1
=
=
=
.
k!(n + 1 − k)!
k!(n + 1 − k)!
k
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Freitag 11.11.2016
Vorlesung 6, Freitag 11.11.2016
In der letzten Sitzung hatten wir die Beweismethode der vollständigen Induktion
eingeführt und wollen als ein weiteres Beispiel eines Induktionsbeweises nun die sogenannte allgemeine binomische Formel begründen.
Lemma 1.7 (Allgemeine binomische Formel)
Für alle x, y ∈ R, n ∈ N gilt
n
(x + y) =
n X
n
k=0
k
xk y n−k .
Beweis: Seien x, y ∈ R gegeben. Wir beweisen die binomische Formel durch Induktion
nach n. Wegen
0 0 0
0
(x + y) = 1 =
xy
0
gilt die binomische Formel für n = 0 und der Induktionsanfang ist nachgewiesen. Nun
sei ein n ∈ N mit
n X
n k n−k
n
(x + y) =
x y
k
k=0
gegeben. Multiplizieren wir diese Gleichung mit x + y, so folgt weiter
n+1
(x + y)
n X
n
n X
n
n+1−k k
n X
n
xn−k y k+1
x y
=
x
y +
k
k
k
k=0
k=0
k=0
n n+1 X
X
n
n n+1−k k
=
x
y +
xn+1−k y k
k
k
−
1
k=1
k=0
n X
n
n
n+1
=x
+
+
xn+1−k y k + y n+1
k
k
−
1
k=1
n n+1 X
X
n + 1 n+1−k k
n + 1 n+1−k k
n+1
n+1
=x
+
x
y +y
=
x
y ,
k
k
k=1
k=0
= (x + y) ·
k n−k
und wir haben den Induktionsschritt durchgeführt. Per vollständiger Induktion ist das
Lemma damit bewiesen.
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Freitag 11.11.2016
Beispielsweise sind damit
n n
X
X
n
n
n
k n
= (1 + 1) = 2 und
(−1)
= (1 − 1)n = 0,
k
k
k=0
k=0
letzteres für n ≥ 1. Konkret haben wir für einige kleine Werte des Exponenten n die
Gleichungen
(x + y)2
(x + y)3
(x + y)4
(x + y)5
(x + y)6
=
=
=
=
=
x2 + 2xy + y 2 ,
x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ,
x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 ,
x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 ,
x6 + 6x5 y + 15x4 y 2 + 20x3 y 3 + 15x2 y 4 + 6xy 5 + y 6 .
Wir wollen noch eine erste Anwendung der binomischen Formel vorführen und den
Beweis der Bernoullischen Ungleichung im Hauptfall x ≥ 0 vereinfachen. Sind n ∈ N
und x ∈ R mit x ≥ 0, so ist auch xk ≥ 0 für jedes k ∈ N und damit folgt sofort
n n X
X
n k
n k
n
(1 + x) =
x = 1 + nx +
x ≥ 1 + nx.
k
k
k=0
k=2
Andere Abschätzungen für Potenzen von 1 + x kann man jetzt ganz analog durch
weitere Anwendungen der binomischen Formel erhalten. Sind beispielsweise n ∈ N und
1 ≤ k ≤ n gegeben, so folgt für jedes x ∈ R mit x ≥ 0 auch
n X
n l
n k
n
x ≥1+
x .
(1 + x) =
l
k
l=0
Hier haben wir einfach alle Terme bis auf zwei in der binomischen Formel weggelassen,
was den Ausdruck wegen x ≥ 0 kleiner macht.
Damit haben wir die Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten behandelt, und als
nächsten Schritt definieren wir die Potenzen mit negativen, ganzzahligen Exponenten.
Diese kann man aber nur noch für eine von Null verschiedene Basis einführen. Bereits
im Axiom (M4) haben wir für 0 6= x ∈ R die Schreibweise x−1 eingeführt, und nach
unserer Bruchdefinition ist
1
x−1 = 1 · x−1 = .
x
Für n ∈ N mit n ≥ 1 und 0 6= x ∈ R setzen wir allgemein
n
1
1
−n
x := n =
,
x
x
für n = 1 ist dies wegen x1 = x weiterhin das multiplikative Inverse von x. Auch für
diesen allgemeineren Potenzbegriff gelten dann die Potenzrechenregeln
n
x
xn
n
n n
= n , xn · xm = xn+m und (xn )m = xnm
(xy) = x y ,
y
y
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für alle x, y ∈ R\{0}, n, m ∈ Z. All diese Formeln kann man auf die entsprechenden
Aussagen für Potenzen mit natürlichen Exponenten zurückführen. In der Vorlesung
hatten wir darauf verzichtet dies vorzuführen, hier wollen wir es aber ruhig einmal tun.
Seien also x, y ∈ R\{0} gegeben. Wir beginnen mit (xy)n = xn y n und für n ∈ N wissen
wir dies bereits. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist weiter
(xy)−n =
1
1
1 1
= n n = n · n = x−n y −n ,
n
(xy)
x y
x y
wobei wir hier und im folgenden die in Aufgabe (3) nachgewiesenen Bruchrechenregeln
verwenden. Die Formel für Potenzen von Brüchen haben wir im Fall natürlicher Exponenten bereits eingesehen und für negative Exponenten, ist für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
zunächst
n
1
−1 −n
n
n −1 −1
−1 −1 n
(y ) =
= (y −n )−1
=
(y
)
=
y
=
(y
)
y −1
und somit auch
−n
x
x−n
= (xy −1 )−n = x−n (y −1 )−n = x−n (y −n )−1 = −n .
y
y
Nun wollen wir die Formel (xn )m = xnm für alle n, m ∈ Z einsehen, welche wir im Fall
n, m ∈ N bereits kennen. Die Formel gilt auch stets wenn n = 0 oder m = 0 ist, denn
für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist
(x0 )−n = 1−n =
1
= 1 = x0·(−n) und (x−n )0 = 1 = x(−n)·0 .
n
1
Bei den verbleibenden drei Fällen haben wir für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 auch
n m nm
1
1
−n m
=
x
=
= x−nm = x(−n)·m ,
x
x
1
1
= nm = x−nm = xn·(−m) ,
(xn )−m =
n
m
(x )
x
n −m −nm
nm
−m
1
1
x−n
=
=
= (x−1 )−1
= xnm = x(−n)·(−m) ,
x
x
und damit ist (xn )m = xnm für überhaupt alle n, m ∈ Z gezeigt. Damit kommen wir
zur letzten der vier Formeln, also xn · xm = xn+m , die wir für n, m ∈ N bereits kennen.
Für n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 haben wir auch
n m n+m
1
1
1
−n
−m
x ·x =
=
= x−(n+m) = x(−n)+(−m) .
x
x
x
Für die beiden gemischten Fälle reicht es xn x−m = xn−m für alle n, m ∈ N mit m ≥ 1
zu zeigen. Im Fall m ≤ n sind n − m ∈ N und
xn x−m = xn−m xm (x−1 )m = xn−m (x · x−1 )m = xn−m · 1m = xn−m
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während wir im Fall m > n stets m − n ∈ N und
xn x−m = xn (x−1 )m = xn (x−1 )n (x−1 )m−n = (x · x−1 )n x−(m−n) = 1n · xn−m = xn−m
haben. Damit haben wir die Potenzrechenregeln auch im Fall ganzzahliger Exponenten
nachgewiesen. Eine vernünftige Formel für Potenzen von Summen bei negativen Exponenten gibt es leider nicht. Ordnungsbeziehungen drehen sich bei negativen Exponenten
um, für x, y ∈ R mit x, y > 0 haben wir zunächst
x < y ⇐⇒
1
1
<
y
x
und für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 folgt weiter
n n
1
1
1
1
< ⇐⇒
<
,
y
x
y
x
also haben wir insgesamt
∀(x, y ∈ R, x, y > 0)∀(n ∈ Z, n < 0) : x < y ⇐⇒ y n < xn .
Die Anordnungseigenschaften bezüglich des Exponenten gelten dagegen auch für ganzzahlige Exponenten unverändert weiter, d.h. wir haben
und
∀(x ∈ R, x > 1)∀(n, m ∈ Z) : xn < xm ⇐⇒ n < m
∀(x ∈ R, 0 < x < 1)∀(n, m ∈ Z) : xn < xm ⇐⇒ n > m.
Um dies zu zeigen seien n, m ∈ Z gegeben. Weiter sei x > 1 eine reelle Zahl. Im Fall
n, m ∈ N wissen wir bereits das xn < xm gleichwertig zu n < m ist und im Fall n, m < 0
haben wir 0 < x−1 < 1 und damit ebenfalls
xn < xm ⇐⇒ (x−1 )−n < (x−1 )−m ⇐⇒ −n > −m ⇐⇒ n < m.
In den beiden gemischten Fällen gilt unsere Behauptung ebenfalls, für n < 0 ≤ m haben
wir xn = (x−1 )−n < 1 ≤ xm während für m < 0 ≤ n ebenso xn ≥ 1 > (x−1 )−m = xm
gilt. Ist schließlich x eine reelle Zahl mit 0 < x < 1 so haben wir x−1 > 1 und somit
xn < xm ⇐⇒ (x−1 )−n < (x−1 )−m ⇐⇒ −n < −m ⇐⇒ n > m.
Die nächste Ausdehnung des Potenzbegriffs erfolgt auf rationale Exponenten, d.h. wir
wollen Potenzen xa für reelles x ∈ R mit x > 0 und rationales a ∈ Q definieren. Dies
erfolgt durch Rückgriff auf reelle Wurzeln, aber leider sagen unsere Axiome für die reellen Zahlen nicht direkt das es solche Wurzeln überhaupt gibt. Wie schon bemerkt legen
die angegebenen Axiome die reellen Zahlen vollständig fest, wir sollten die Existenz
von Wurzeln also beweisen können. Um den Beweis übersichtlich zu halten, wollen wir
zunächst einige kleine Vorüberlegungen anstellen. Sind x, y ∈ R mit x < y, so folgt
x=
x+x
x+y
y+y
<
<
= y,
2
2
2
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also ist z := (x + y)/2 eine reelle Zahl zwischen x und y, d.h. x < z < y. Weiter
behaupten wir das es für je zwei reelle Zahlen x, y ∈ R mit 0 ≤ x < y stets eine reelle
Zahl z ∈ R mit z > 1 und xz < y gibt. Für x = 0 ist dies etwa mit z := 2 erfüllt
und für x > 0 haben wir y/x > 1, also existiert z ∈ R mit 1 < z < y/x und durch
Multiplikation mit x > 0 folgt xz < y.
Nun seien n ∈ N mit n ≥ 1 und x, y ∈ R mit x > 0 und xn < y gegeben. Wir
behaupten das es dann auch ein z ∈ R mit z > x und z n < y gibt. Zunächst gibt es
nämlich eine reelle Zahl u > 1 mit xn u < y. Dann ist u − 1 > 0 also ist
u−1
:= min
,1
2n − 1
eine reelle Zahl mit 0 < ≤ 1 und 1 + (2n − 1) ≤ u. Wir erhalten die reelle Zahl
z := x(1 + ) > x. Wegen ≤ 1 gilt k ≤ für jedes k ∈ N mit k ≥ 1, also liefert die
binomische Formel Lemma 7
n n X
X
n k
n
n
(1 + ) =
≤1+
= 1 + (2n − 1) ≤ u
k
k
k=0
k=1
und somit ist auch
z n = xn (1 + )n ≤ xn u < y.
Eine analoge Aussage läßt sich auch in die andere Richtung beweisen, sind n ∈ N mit
n ≥ 1 und x, y ∈ R mit x > 0 und xn > y > 0, so existiert eine weitere reelle Zahl
z ∈ R mit 0 < z < x und z n > y. In der Tat, betrachten wir die positiven Zahlen
1/x, 1/y > 0 mit (1/x)n = 1/xn < 1/y, so gibt es nach der eben bewiesenen Aussage
ein z 0 ∈ R mit z 0 > 1/x und z 0 n < 1/y. Damit ist auch
z :=
1
1
< x mit z > 0 und z n = 0 n > y.
0
z
z
Nach diesen Vorbereitungen kommen wir zum Beweis der Existenz von Wurzeln reeller
Zahlen.
Lemma 1.8 (Existenz von Wurzeln)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann existiert für jede reelle Zahl a ∈ R mit a ≥ 0 genau eine
reelle Zahl s ∈ R mit s ≥ 0 und sn = a.
Beweis: Da für x, y ∈ R mit 0 ≤ x < y stets xn < y n also insbesondere xn 6= y n gilt,
ist die Eindeutigkeit der Wurzel s klar. Es ist also nur noch die Existenz zu beweisen.
Wir betrachten zunächst den Fall a ≥ 1 und setzen
M := {x ∈ R|x > 0 und xn ≤ a} ⊆ R.
Wegen 1 ∈ M ist dann M 6= ∅. Weiter ist a eine obere Schranke von M , denn ist x ∈ M
so gilt im Fall x ≤ 1 sofort x ≤ 1 ≤ a und im Fall x > 1 haben wir ebenfalls x ≤ xn ≤ a.
49
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 11.11.2016
Damit ist die Menge M auch nach oben beschränkt und das Vollständigkeitsaxiom (V)
liefert die Existenz von
s := sup M = sup{x ∈ R|x > 0 ∧ xn ≤ a}.
Wegen 1 ∈ M ist s ≥ 1, also insbesondere s > 0. Wir behaupten das sn = a ist und
hierzu zeigen wir das weder sn < a noch sn > a gelten kann. Angenommen es wäre
sn < a. Wie eingangs gezeigt gibt es dann ein t ∈ R mit t > s und tn < a, d.h. es ist
t ∈ M und somit t ≤ s, ein Widerspruch. Wäre sn > a, so gibt es wieder nach unserer
Vorbemerkung eine reelle Zahl t ∈ R mit 0 < t < s und tn > a. Nach Lemma 3.(a)
existiert ein x ∈ M mit x > t und damit ergibt sich der Widerspruch a < tn < xn ≤ a.
Damit muss sn = a gelten und die Existenz einer n-ten Wurzel ist im Fall a ≥ 1
bewiesen.
Für a = 0 ist die Existenz einer n-ten Wurzel klar, wir müssen also nur noch den
Fall 0 < a < 1 behandeln. Dann ist 1/a > 1 und wie bereits gezeigt existiert ein s ∈ R
mit s ≥ 0 und sn = 1/a. Wegen 1/a 6= 0 ist auch s 6= 0 und damit ist 1/s > 0 mit
(1/s)n = a.
√
n
Die Zahl s des
Lemmas
wird
dann
natürlich
als
die
n-te
Wurzel
a := s von a
√
n
definiert, d.h. a ist diejenige, nicht negative, reelle Zahl deren n-te Potenz gleich a
ist. Aus den Potenzrechenregeln folgen sofort die Rechenregeln für Wurzeln, d.h. sind
x, y ∈ R mit x, y ≥ 0 und n, m ∈ N mit n, m ≥ 1, so haben wir
√
r
q
n
√
√
√
x
x
√
n √
n
m
nm
n
n
n
x · y = x · y,
x =
x und im Fall y > 0 auch
= √
.
n
y
y
Auch auf den Beweis dieser Regeln haben wir in der Vorlesung
verzichtet, und er soll
√
√
n
n
hier vorgeführt werden. Für die erste Regel beachte das x · y ≥ 0 mit
√
√ n √ n √
n
x · n y = n x · n yn = x · y
√ √
√
ist, also n xy = n x n y nach Definition der Wurzel. Für die zweite Regel gehen wir
p√
analog vor, es ist n m x ≥ 0 mit
q
q
nm
n m
√ m
n √
n √
m
m
= m x = x,
x =
x
p√
√
und dies bedeutet n m√x = nm x. Für die dritte Eigenschaft nehme y > 0 an und
√
erhalte die reelle Zahl n x/ n y ≥ 0 mit
√
n
√
n
n
n
x
x
x
=
=
,
√
√
n
n y
n y
y
p
√ √
also ist auch in diesem Fall n x/y = n x/ n y. Weiter kann man nun auch überlegen wie
sich die Kleiner-Relation mit der Wurzelbildung verträgt. Sind x, y ∈ R mit x, y ≥ 0
und n ∈ N mit n ≥ 1, so haben wir
√
√ n
√
√
n
x < n y ⇐⇒ n x < ( n y)n ⇐⇒ x < y.
50
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 11.11.2016
Auch das Verhalten der Wurzel bezüglich n läßt sich entsprechend untersuchen. Seien
hierzu wieder n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 und x ∈ R mit x ≥ 0 gegeben. Beachten wir dann
√ m
√
√
( n x)nm = ( n x)n = xm und analog ( m x)nm = xn
so ergibt sich zunächst
√
n
√
x < m x ⇐⇒ xm < xn
√
√
also ist im Fall
x > 1√genau dann n x < m x wenn n > m ist während im Fall 0 < x < 1
√
genau dann n x < m x gilt wenn n < m ist.
Nachdem die Existenz von Wurzeln gesichert ist, können nun Potenzen mit positiver
Basis und rationalen Exponenten definiert werden. Sind hierzu x ∈ R mit x > 0 und
a ∈ Q gegeben, so schreiben wir a = p/q mit p, q ∈ Z, q ≥ 1 und definieren
p
√ p
xa = x q := q x > 0.
Diese Zahl hängt tatsächlich nur von a und nicht von den speziell gewählten p und q
ab, denn sind auch t, s ∈ Z mit s ≥ 1 und
a=
also haben wir
p qs
√ pqs
√
q
x
= qx
=
p
t
= , so ist auch qt = sp,
s
q
q ps
√
q
x
= xps = xqt =
s qt
t qs
√
√ sqt √
s
s
x
= sx
=
x
,
√ t
√ p
und somit ist auch ( q x) = ( s x) . Damit ist xa tatsächlich sinnvoll definiert. Im
ganzzahligen Fall a ∈ Z stimmen die so definierten Potenzen mit den früher definierten
Potenzen mit ganzzahligen√Exponenten überein, wir können nämlich
a = a/1 schreiben
√
a/1
a
a
2/3
1
3
und haben damit x =
( x) = x . Beispielsweise sind √
x = ( x)2 für jedes x > 0,
√
und konkret 163/2 = ( 16)3 = 43 = 64 oder 165/4 = ( 4 16)5 = 25 =√32. Weiter ist
wieder für eine allgemeine rationale Zahl a =
p/q wie√oben stets 1a = ( q 1)p = 1p = 1,
√
und für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist x1/n = ( n x)1 = n x. Auch für diese allgemeineren
Potenzen ergeben sich jetzt wieder die Potenzrechenregeln
a
x
xa
a
a a
(xy) = x y ,
= a , (xa )b = xab und xa xb = xa+b
y
y
für alle x, y ∈ R, a, b ∈ Q mit x, y > 0. Auf den Nachweis dieser Formeln wurde in der
Vorlesung wieder verzichtet, so dass wir dies hier nachholen wollen. Zunächst benötigen
wir eine weitere Wurzelformel,
wir√behaupten das für alle x ∈ R mit x > 0 und alle
√
n, m ∈ Z mit n ≥ 1 stets n xm = ( n x)m gilt. Hierzu rechnen wir
n
√
√
√ m
( n x)m = ( n x)nm = ( n x)n = xm
√
√
und dies bedeutet n xm = ( n x)m , wie behauptet. Damit kommen wir zu den genannten
Potenzregeln. Seien also x, y ∈ R mit x, y > 0 gegeben. Weiter sei a ∈ Q und schreibe
a = p/q mit p, q ∈ Z, q ≥ 1. Dann ist
√ √
√
√
√
(xy)a = ( q xy)p = ( q x q y)p = ( q x)p ( q y)p = xa y a
51
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
und analog
Freitag 11.11.2016
p
a r p √
√
q
( q x)p
xa
x
x
x
q
=
= √
=
=
.
√
q y
y
y
( q y)p
ya
Für die anderen beiden Formeln sei auch b ∈ Q geschrieben als b = t/s mit t, s ∈ Z,
s ≥ 1. Dann ist
a b
(x ) = (
√
s
xa )t
=
q
s
(
√
q
t
x)p
q
s
=
√
q
t
xp
=
√ t
√ t
qs
xp = ( qs x)p
pt
√
= ( qs x)pt = x qs = xab
und die dritte unserer Formeln ist bewiesen. Für die verbleibende Formel beachten wir
a + b = (ps + qt)/(qs) mit ps + qt ∈ Z, qs ∈ N\{0} und erhalten
x
a+b
=(
√
qs
ps+qt
x)
=(
√
qs
ps
x) (
√
qs
qt
x) =
q
s
√
q
x
s p q
q
√
s
q t
x
√
√
= ( q x)p ( s x)t = xa xb .
Auch die Regeln für Ungleichungen gelten für die Potenzen mit rationalen Exponenten.
Seien hierzu x, y ∈ R mit x, y ≥ 0 gegeben. Weiter sei a ∈ Q eine rationale Zahl und
schreibe a = p/q mit p, q ∈ Z, q ≥ 1. Ist dann a > 0 so haben wir auch p ≥ 1 und
folglich
√ p
√
√
√
x < y ⇐⇒ q x < q y ⇐⇒ q x < ( q y)p ⇐⇒ xa < y a .
Ist der Exponent a < 0 negativ, so ist dagegen p < 0 und wir haben
x < y ⇐⇒
√
q
x<
√
q
y ⇐⇒
p
√
√
q
x > ( q y)p ⇐⇒ xa > y a .
Für die Anordnung bezüglich des Exponenten seien a, b ∈ Q gegeben und schreibe
diese mit gemeinsamen Nenner
als a = p/r, b = q/r mit p, q, r ∈ Z, r ≥ 1. Ist dann
√
r
x > 1 so haben wir auch x > 1 und somit wird
√
√
a xb .
Damit haben wir den Potenzbegriff mit rationalen Exponenten vollständig etabliert,
und im letzten Abschnitt dieses Kapitels kommen wir zum allgemeinen Potenzbegriff
bei dem auch reelle Exponenten auftreten können.
52
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
1.6
Freitag 11.11.2016
Allgemeine reelle Potenzen
Die letzte Erweiterung des Potenzbegriffs erfolgt jetzt auf Potenzen xa mit beliebigen
reellen Exponenten a ∈ R und positiver Basis x > 0.
Definition 1.9 (Potenzen mit reellen Exponenten)
Sei a ∈ R. Für jedes x ∈ R mit x ≥ 1 definieren wir dann
xa := sup{xq |q ∈ Q, q ≤ a}
und für x ∈ R mit 0 < x < 1 sei
xa := inf{xq |q ∈ Q, q ≤ a}.
Im Fall rationaler Exponenten stimmen die so definierten Potenzen mit dem Potenzbegriff des vorigen Abschnitts überein, denn sind x ∈ R und a ∈ Q so folgt mit den
Monotonieeigenschaften der Potenz bezüglich des Exponenten im Fall x ≥ 1
xa = max{xq |q ∈ Q, q ≤ a} = sup{xq |q ∈ Q ≤ a}
und im Fall 0 < x < 1 ist ebenso
xa = min{xq |q ∈ Q, q ≤ a} = inf{xq |q ∈ Q ≤ a}.
Der Nachweis der Potenzrechenregeln ist anhand der obigen Definition allerdings etwas
mühsam, daher wurde dies in der Vorlesung auch nicht durchgeführt. In §11.4 wird
sich ein bequemer zu handhabender Zugang zu den Potenzfunktionen eröffnen, und
wir verschieben diese Überlegungen daher auf §11.
$Id: funktion.tex,v 1.24 2016/11/14 11:09:04 hk Exp $
§2
Funktionen
In diesem Kapitel wollen wir uns mit dem allgemeinen Funktionsbegriff beschäftigen. Im sechszehnten Jahrhundert hat Vieta die Buchstabenrechnung“ weitgehend
”
in der heute verwendeten Form entwickelt, nur die Potenzschreibweise stammt erst
aus dem achtzehnten Jahrhundert. In diesem Rahmen entstand dann auch die erste
Form des Funktionsbegriffs, damals waren Funktionen algebraische Formeln in denen
das Funktionsargument als freie Variable auftritt, im wesentlichen das was man heute
Polynome nennt. Dieser erste Begriff wurde dann nach und nach erweitert, die algebraischen Formeln wurden durch allgemeine geschlossene analytische Ausdrücke“
”
53
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 11.11.2016
ersetzt und was diese sind wurde auch immer wieder erweitert wenn eine neue Funk”
tion in die Analysis eingeführt“ wurde, außerdem wurde auch erlaubt das die Funktion
in mehreren analytischen Ausdrücken definiert auf sich überlappenden Teilen“ defi”
niert wird. Dieser Entwicklungszweig stieß dann Ende des neunzehnten Jahrhunderts
an seine Grenzen, die Theorie der Fourierreihen und der allgemeinen trigonometrischen Reihen erforderte eine völlige Neuformulierung des Funktionsbegriffs. Seitdem
wird der Funktionsbegriff auf den Mengenbegriff zurückgeführt indem Funktionen als
gewisse Mengen definiert werden. Tatsächlich entstand auch der Mengenbegriff selbst
aus Cantors Untersuchungen über trigonometrische Reihen.
Als Vorbereitung erinnern wir zunächst an die aus
der Schule vertraute Definition“ einer Funktion. Dort y
”
hatte man zwei Variablen x, y wobei der Wert einer der y
(x,y)=(x,f(x))
beiden Variablen von der anderen abhing. Normalerweise verwendet man y als diese abhängige Variable und
bezeichnet y als eine Funktion von x, symbolisch oft gex
schrieben als y = f (x). Dabei muss jedem Wert von x
x
genau ein Wert von y entsprechen, in anderen Worten
hängt y über eine eindeutige Zuordnungsvorschrift“ von x ab. Typischerweise war
”
diese Zuordnungsvorschrift dabei einfach eine Formel in der x als freie Variable vorkommt. Graphisch konnte man sich die Funktion dann durch ihren Funktionsgraphen
veranschaulichen, d.h. man trägt auf der horizontalen Achse die x-Werte ab und auf
der vertikalen das zugehörige y = f (x). Die Menge all der Punkte auf diesem Graphen
liefert dann eine Teilmenge
graph(f ) = {(x, f (x))|x ∈ dom(f )}
beziehungsweise
graph(f ) = {(x, y)|x ∈ dom(f ), y = f (x)}
der Ebene, wobei dom(f ) die Menge all derjenigen Werte von x ist für die y = f (x) definiert ist, der sogenannte Definitionsbereich der Funktion. Beachte das wir den Punkt
P der Ebene mit x-Koordinate a und y-Koordinate b einfach als P = (a, b) schreiben,
in der Schule populäre Schreibweisen wie P (a|b) werden in der Mathematik nicht verwendet. Durch den Graphen einer Funktion f ist die Funktion vollständig festgelegt,
um den Funktionswert y = f (x) zu ermitteln bilden wir die vertikale Gerade durch
(x, 0) und diese schneidet den Graphen im Punkt (x, y).
Wie bereits bemerkt ist die Zuordnungsvorschrift oftmals einfach eine Formel in x,
beispielsweise y = x2 +1 oder y = sin x. In der Schule wurde dann leider der Unterschied
zwischen der definierenden Formel und der Funktion verwischt, eine Funktion ist schon
seit über dreihundert Jahren keine Formel mehr, Formeln können nur umgekehrt zur
Definition von Funktionen verwendet werden. Tatsächlich reichen derartige Funktionen
nicht aus, man braucht zumindest noch solche Funktionen die in mehreren Stücken
definiert sind, etwa
54
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 11.11.2016
H(x)
f(x)
x=1
( x=1/2
2x,
0 ≤ x ≤ 12 ,
y = f (x) =
2 − 2x, 21 ≤ x ≤ 1
x
x=0
(
0, x < 0,
y = H(x) =
.
1, x ≥ 0
Die Funktion H(x) ist die sogenannte Heaviside-Funktion die erstaunlich häufig, beispielsweise bei der Behandlung von Einschaltvorgängen, auftritt. In Anwendungssituationen tauchen dann noch weitere Funktionsarten auf, beispielsweise Funktionen die
nicht durch irgendeine Formel gegeben sind sondern von einigen Meßergebnissen gebildet werden. Derartige Funktionen sind dann zunächst nur in endlich vielen Punkten
definiert, es können ja nur endlich viele Messungen wirklich durchgeführt werden, und
will man die Funktion auch in anderen Punkten auswerten so geschieht dies durch eine
für die konkrete Situation geeignete Form von Interpolation. Wieder andere Funktionen sind durch das Ein/Ausgabeverhalten irgendwelcher realer Apperaturen definiert,
und manche entstehen sogar indem einfach ihr Graph hingemalt wird.
Wie sie sehen, deckt dieser reale Funktionsbegriff“ eine Vielfalt verschiedenartiger
”
Situationen ab. Der nun einzuführende mathematische Funktionsbegriff soll all diese
verschiedenen Funktionstypen umfassen und zugleich eine exakte mathematische Definition sein. Dies wird möglich indem der eigentliche Zuordnungsvorgang völlig ignoriert
wird. Man betrachtet nur noch den fertigen Funktionsgraph und verwendet diesen zur
Definition einer Funktion. Wenn Sie so wollen nimmt man die Idee das Funktionen
durch Hinmalen des Graphen definiert werden können ernst. Es tritt zuvor nur noch
eine kleine zusätzliche Schwierigkeit auf. Bisher haben wir nur Funktionen betrachtet
die reelle Argumente und reelle Werte haben und der Graph war dann eine Menge
von Punkten der Ebene. Mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variable kommt
man aber nicht aus, beispielsweise ordnet ein elektrisches Feld ja jedem Punkt des
betrachteten Raumgebiets einen Vektor zu, die beschreibende Funktion hat also dreidimensionale Punkte als Argumente und dreidimensionale Vektoren als Werte. Auch so
etwas soll mit unserem Funktionsbegriff erfasst werden, wir wollen sogar erlauben das
die Argumente x aus einer völlig beliebigen Menge M kommen und die Werte y = f (x)
aus einer ebenfalls völlig beliebigen Menge N sind. Als Ersatz für die Ebene nehmen
wir das wie folgt definierte Produkt der Mengen M und N .
Definition 2.1 (Cartesisches Produkt von Mengen)
Seien M und N zwei Mengen. Das cartesische Produkt von M und N ist dann die
Menge
M × N := {(x, y)|x ∈ M, y ∈ N }.
Manchmal spricht man auch kürzer einfach vom Produkt der beiden Mengen M und N .
Wir denken uns anschaulich M × N als eine Ebene“ deren horizontale x-Koordinaten
”
55
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 11.11.2016
aus der Menge M kommen und deren vertikale y-Koordinaten aus der Menge N kommen. Wir wollen einige Beispiele cartesischer Produkte behandeln:
1. Das Produkt R2 := R × R ist die Menge aller Paare (x, y) reeller Zahlen x, y ∈ R,
also die Ebene.
2. Ebenso ist R3 := R × R × R die Menge aller Tripel (x, y, z) reeller Zahlen
x, y, z ∈ R, und wir können uns den R3 als den dreidimensionalen Raum denken. Streng genommen ist dies durch die Definition des cartesischen Produkts
gar nicht abgedeckt, da wir hier drei statt zwei Faktoren haben, wir denken uns
etwas genauer R3 = (R × R) × R. Die Elemente sind dann eigentlich von der
Form ((x, y), z) mit x, y, z ∈ R. Zur Vereinfachung der Notation entscheiden wir
uns dann dazu die inneren Klammern nicht mitzuschreiben.
3. Noch allgemeiner kann man für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 auch den n-dimensionalen
Raum
Rn = R
· · × R}
| × ·{z
n mal
einführen. Der Begriff Dimension“ wird hier in einem sehr prosaischen Sinne ver”
wendet, man denkt nicht an irgendwelche zusätzlichen Raumdimensionen sondern
einfach an Dinger zu deren Beschreibung man n reelle Zahlen braucht. Das mathematische Wort Dimension“ ist also das was sie in der Physik als die Anzahl
”
der Freiheitsgrade bezeichnen.
4. Als ein ganz konkretes Beispiel nehmen wir jetzt die beiden Mengen M = {1, 2}
und N = {2, 3}. Für die beiden Komponenten der Punkte im cartesischen Produkt M × N gibt es dann jeweils zwei Möglichkeiten und das Produkt hat damit
vier Punkte, nämlich
M × N = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
Wie schon bemerkt wollen wir Funktionen von einer Menge M
in eine Menge N als Graphen definieren, also als Teilmengen des
cartesischen Produkts M ×N . Nun ist aber nicht jede Teilmenge von
M × N als Graph einer Funktion geeignet. Einen jeden Wert x ∈ M
soll genau ein Wert y ∈ N zugeordnet werden, d.h. die vertikale
”
Gerade“ {(x, y)|y ∈ N } sollte den Graphen in genau einem Punkt
treffen, es sollte also nicht die rechts abgebildete Situation vorliegen. Dies führt uns
auf die folgende Definition von Funktionen.
N
x
M
Definition 2.2 (Der allgemeine Funktionsbegriff)
Seien M, N zwei Mengen. Eine Funktion oder Abbildung f : M → N ist eine Teilmenge
f ⊆ M × N so, dass es für jedes x ∈ M genau ein y ∈ N mit (x, y) ∈ f gibt. Man nennt
die Menge M dann den Definitionsbereich der Funktion f und schreibt dom(f ) = M
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 14.11.2016
und für jedes x ∈ M wird das eindeutige Element y ∈ N mit (x, y) ∈ f mit dem
Symbol y = f (x) bezeichnet.
Anstelle der Schreibweise f (x) für den Funktionswert von x ∈ M unter f finden Sie
in der Literatur manchmal auch f x, also ohne die Klammern um das Argument, oder
die Postfix Schreibweise xf . Die Schreibweise ohne Klammern ist beispielsweise bei einigen der Grundfunktionen, etwa beim Logarithmus ln oder bei den trigonometrischen
Funktionen üblich, also etwa ln x statt ln(x). Man sollte dies aber auf einfache Argu”
mente“ beschränken, also beispielsweise nicht ln xy da nicht klar ist, ob dies ln(x) · y
oder ln(xy) meint. Bei den trigonometrischen Funktionen werden Klammern traditionell sehr großzügig weggelassen, so wird etwa sin 2x in den allermeisten Fällen sin(2x)
bedeuten und nicht sin(2) · x.
Vorlesung 7, Montag 14.11.2016
In der letzten Sitzung hatten wir Funktionen als spezielle Mengen eingeführt, eine
Funktion f : M → N einer Menge M in eine Menge N ist eine Teilmenge f ⊆ M × N
des cartesischen Produkts der beiden Mengen so, dass es für jedes x ∈ M genau ein
y ∈ N mit (x, y) ∈ f gibt, und man schrieb dann y = f (x).
Der allgemeine Funktionsbegriff übernimmt auch einige der Rollen die außerhalb der
reinen Mathematik normalerweise von Variablen gespielt werden. Wir hatten schon im
ersten Kapitel angemerkt das Variablen in der Mathematik Namen für mathematische
Objekte sind und keine sich tatsächlich im Wert ändernden Objekte. Das wirft die
Frage auf wie man denn Objekte behandelt die sich tatsächlich etwa im Ablauf der
Zeit ändern, beispielsweise den Schwerpunkt S eines sich bewegenden Körpers. Zu
jedem Zeitpunkt t ∈ R hat S ∈ R3 eine andere Position und dies kann man auch so
lesen das dem Zeitpunkt t ∈ R eine Position S(t) ∈ R3 zugeordnet wird, d.h. man kann
S als eine Funktion S : R → R3 interpretieren. In diesem Sinne wird der Schwerpunkt
S dann durch eine Funktion beschrieben.
Dieser Funktionsbegriff ist so allgemein das auch Dinge darunter fallen die man
sich eigentlich zunächst nicht als Funktionen denkt. Nehmen wir beispielsweise einmal
die Addition der reellen Zahlen. Diese ordnet je zwei reellen Zahlen x, y ∈ R eine neue
reelle Zahl x + y zu, anders gesagt wird der Punkt (x, y) ∈ R2 der Ebene auf x + y
abgebildet, wir haben also eine Funktion
+ : R × R → R geschrieben in Infix-Notation als x + y := +(x, y),
der Graph der Addition, also die Funktion + selbst, ist dann eine Ebene im Raum.
Der Definitionsbereich M einer Funktion f ist durch f vollständig bestimmt, er
ist genau die Menge aller mathematischen Objekte x für die es ein mathematisches
Objekt y mit (x, y) ∈ f gibt, die Menge N ist dagegen etwas willkürlich, zum Beispiel
57
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 14.11.2016
kann die Parabel f := {(x, x2 )|x ∈ R} sowohl als eine Funktion f : R → R als
auch als eine Funktion f : R → R≥0 := {x ∈ R|x ≥ 0} aufgefasst werden. Wir
werden Funktionen in der Regel nur mit spezifizierten Mengen M, N verwenden, will
man auch freie Funktionen f als Mengen von Paaren betrachten, so ist wie gesagt
nur der Definitionsbereich aber nicht der Bildbereich festgelegt. Oftmals wird diese
Mehrdeutigkeit umgangen indem die Mengen M, N in die Definition einer Funktion
aufgenommen werden, man also eine Funktion als ein Tripel (M, N, f ) mit f ⊆ M × N
und der obigen Funktionseigenschaft definiert. Für uns spielt all das wie gesagt keine
Rolle da wir M und N immer angeben werden.
Auch wenn die Menge N nicht durch f : M → N festgelegt ist, so gibt es immerhin
eine kleinstmögliche Wahl von N , nämlich die Menge all derjenigen mathematischen
Objekte y die als zweite Komponente eines Elements von f auftreten, das sogenannte
Bild von f . Dieses ist eine, im allgemeinen echte, Teilmenge von N . Dies und eine kleine
Erweiterung wollen wir in der folgenden Definition festhalten.
Definition 2.3 (Das Bild einer Funktion)
Sei f : M → N eine Funktion. Ist A ⊆ M eine Teilmenge, so nennen wir die Menge
f (A) := {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ N |∃(x ∈ A) : y = f (x)} ⊆ N
das Bild von A unter f . Weiter heißt die Menge
Bild(f ) := f (M ) = {f (x)|x ∈ M } = {y ∈ N |∃(x ∈ M ) : y = f (x)} ⊆ N
das Bild von f .
Wir werden gleich ein Beispiel für diese Definiton besprechen, zuvor aber noch zwei
kleine Notationen einführen. Weil diese sich in Beispielen am einfachsten behandeln
lassen, werden wir sehr häufig durch explizite Zuordnungsvorschriften definierte Funktionen verwenden. Diese Funktionen notieren wir in der folgenden Form
f : M → N ; x 7→ f (x),
gelesen als f von M nach N , x wird abgebildet auf“. Die links und rechts vom Pfeil
”
stehenden Mengen M und N geben den Definitionsbereich der Funktion f beziehungsweise ihr Ziel an. Darauf folgt die eigentliche Abbildungsvorschrift. Die Variable x ist
hier eine formale Variable, taucht also nur gebunden innerhalb der Funktionsdefinition
auf. Rechts vom Abbildungspfeil 7→“ steht dann die eigentliche Abbildungsvorschrift.
”
Da wir noch reichlich Funktionen sehen werden beschränken wir uns jetzt auf zwei kleine Beispiele. Zunächst eine Funktion deren Abbildungsvorschrift eine einfache Formel
ist
f : R → R; x 7→ x2 + 1.
Es ist also f (x) = x2 + 1 für jedes x ∈ R. Auf zwei kleine Details wollen wir noch
besonders hinweisen. Zum einen sollten Sie die Formel x2 + 1“, wie schon einmal
”
erwähnt, nicht mit der Funktion f verwechseln, eine Formel kann zur Beschreibung
58
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 14.11.2016
einer Funktion verwendet werden, sie ist aber keine Funktion, ja nicht einmal ein mathematisches Objekt. Zum anderen gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen f
und f (x). Dabei ist f die Funktion selbst, aber f (x) ist, bei gegebenen x ∈ M , ein
konkreter Wert der Funktion, also ein Element von N . Insbesondere ist f streng genommen etwas anderes als f (x). Gelegentlich, vor allen in informellen Kontext, ist es
bequem diesen Unterschied zu verwischen, also f (x) für f zu schreiben.
Wir kommen zum zweiten Beispiel, der sogenannten Popcorn-Funktion, und in diesem haben wir noch immer eine explizite Zuordnungsvorschrift, diese ist aber schon
von etwas komplizierterer Natur

0, x = 0 oder x ∈
/ Q,
p
f : R → Q; x 7→ 1
 q , x ∈ Q und x = mit teilerfremden p ∈ Z, q ∈ N\{0}.
q
Die Zuordnungsvorschrift ist wie folgt zu lesen: Bei gegebenen x ∈ R schaue zunächst ob
x = 0 ist oder ob x irrational ist. Wenn ja, ist der Funktionswert f (x) = 0. Andernfalls
kann man x = p/q als Bruch mit ganzzahligen Zähler p und von Null verschiedenen,
natürlichen Nenner q schreiben, und durch eventuelles Auskürzen können p und q als
teilerfremd angenommen werden. Dann sind p und q durch x eindeutig festgelegt, und
wir können f (x) := 1/q definieren. Beispielsweise sind
√
4
2
1
f ( 2) = 0, f (1) = 1, f (2) = 1, f (0, 4) = f
=f
= .
10
5
5
Diese Popcorn-Funktion dient in verschiedensten Zusammenhängen als Beispiel, da
sie zum einen schon recht kompliziert und ungewöhnlich ist, aber zum anderen noch
ausreichend einfach ist um sich gut behandeln zu lassen.
Im Analysis-Teil dieses Semesters werden wir uns hauptsächlich mit Funktionen
beschäftigen die auf reellen Intervallen definiert sind. Die beschränkten Intervalle hatten wir schon in §1.3 eingeführt, und neben diesen gibt es dann die unbeschränkten
Intervalle, die wir jetzt definieren wollen.
Definition 2.4 (Unbeschränkte Intervalle)
Sei a ∈ R. Dann heissen die Mengen
[a, ∞) := {x ∈ R|x ≥ a} und (−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}
unbeschränkte, abgeschlossene Intervalle und die Mengen
(a, ∞) := {x ∈ R|x > a} und (−∞, a) := {x ∈ R|x < a}
heissen unbeschränkte, offene Intervalle. Außerdem setzen wir noch (−∞, ∞) := R.
Wie bei den beschränkten Intervallen ist die Terminologie so gewählt, dass abgeschlos”
sen“ bedeutet das die reellen Randpunkte zum Intervall gehören und offen“ bedeutet
”
das sie nicht zum Intervall gehören.
59
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Montag 14.11.2016
Nun sind alle notwendigen Schreibweisen bereitgestellt und wir können zu einem
Beispiel für Bildmengen kommen. Haben wir eine Abbildung f : M → N so bedeutet
y ∈ Bild(f ) für ein y ∈ N das die Gleichung f (x) = y mit x ∈ M lösbar ist, man muss
also effektiv eine Gleichung lösen. Dabei treten dann meist von y abhängige Lösbarkeitsbedingungen auf und das Bild ist die Menge all der y ∈ N die diese Bedingungen
erfüllen. Will man allgemeiner das Bild f (A) einer Teilmenge A ⊆ M berechnen, so
geht man genauso vor, hat aber die zusätzliche Bedingung das es Lösungen x von
f (x) = y mit x ∈ A geben muss. Dies führt dann oft zu zusätzlichen Bedingungen
an y und die Bildmenge f (A) ist die Menge aller y die auch noch diese zusätzlichen
Bedingungen erfüllen. Als ein konkretes Beispiel betrachten wir die Funktion
f : R → R; x 7→ x2 + x + 1.
Zur Bestimmung des Bildes von f müssen wir die Gleichung
x2 + x + 1 = y beziehungsweise x2 + x + 1 − y = 0
für x ∈ R mit einem fixierten y ∈ R untersuchen. Erinnern wir uns an die Lösungsformel
für quadratische Gleichungen, dass also die Gleichung x2 + px + q = 0 mit reellen
Parametern p, q ∈ R genau dann eine reelle Lösung x ∈ R hat wenn p2 − 4q ≥ 0 ist
und in diesem Fall die Lösungen durch
r
p
−p ± p2 − 4q
p
p2
x=− ±
−q =
2
4
2
gegeben sind, so erhalten wir das unsere Gleichung f (x) = y genau dann lösbar ist
wenn 1 − 4(1 − y) = 4y − 3 ≥ 0 gilt, wenn wir also y ≥ 3/4 haben, und dies bedeutet
3
3
Bild(f ) = y ∈ R y ≥
= ,∞ .
4
4
Wollen wir dagegen die Bildmenge f (R≥0 ) bestimmen, so haben wir die zusätzliche
Bedingung das eine der Lösungen x von x2 + x + 1 = y in R≥0 liegen muss. Diese
Lösungen sind für y ≥ 3/4 gegeben als
p
1
x = (−1 ± 4y − 3)
2
und das eine der beiden nichtnegativ ist bedeutet
p
4y − 3 − 1 ≥ 0 also 4y − 3 ≥ 1
und somit wird f (R≥0 ) = [1, ∞).
Die nächsten drei Definitionen beschäftigen sich alle direkt oder indirekt mit dem
Begriff einer Umkehrfunktion. Haben wir eine Funktion y = f (x), so soll die Umkehrfunktion zu f umgekehrt aus dem Wert y das Argument x ermitteln. Das ist natürlich
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nicht immer möglich, zum Beispiel geht beim Quadrieren einer reellen Zahl x ∈ R das
Vorzeichen verloren und kann nicht mehr aus x2 rekonstruiert werden. Was aber immer
möglich ist, ist die Bildung der sogenannten Urbildmengen unter einer Funktion.
Definition 2.5 (Urbildmengen einer Funktion)
Seien f : M → N eine Funktion und B ⊆ N eine Teilmenge. Dann heißt die Menge
f −1 (B) := {x ∈ M |f (x) ∈ B}
das Urbild von B unter f .
Beachte das hierdurch keine Funktion f −1 : N → M definiert wird, anstelle dessen
wird jeder Teilmenge von N eine Teilmenge von M zugeordnet. Für y ∈ N schreibt
man oft
f −1 (y) := f −1 ({y}) = {x ∈ M |f (x) ∈ {y}} = {x ∈ M |f (x) = y},
und nennt diese Menge die Faser von f über y, aber dies ordnet y eben kein Element von
M zu, ist also keine Umkehrfunktion. Wir besprechen zwei kleine Beispiele. Zunächst
betrachte die Funktion
f : R → R; x 7→ x2 ,
und wir wollen einige Urbildmengen berechnen. Es sind
f −1 (1) = {x ∈ R|x2 = 1} = {−1, 1},
f −1 (0) = {x ∈ R|x2 = 0} = {0},
f −1 (−1) = {x ∈ R|x2 = −1} = ∅.
Als Urbilder einzelner Elemente können also einelementige, zweielementige und die leere
Teilmenge von R vorkommen. Als ein zweites Beispiel betrachten wir die Sinusfunktion
sin : R → R.
Dann ist beispielsweise
sin−1 (0) = {x ∈ R| sin x = 0} = {0, ±π, ±2π, ±3π, . . .} = {nπ|n ∈ Z},
wobei wir für die Argumente der trigonometrischen Funktionen wie immer das Bogenmaß verwenden. Ein etwa komplizierteres Beispiel ist das Urbild
sin−1 ([0, ∞)) = {x ∈ R| sin x ≥ 0} = [0, π] ∪ [2π, 3π] ∪ [−2π, −π] ∪ · · · ,
für das Sie sich am besten einmal den Sinus hinmalen.
Wie schon bemerkt ist unser momentanes Ziel die Behandlung der Umkehrfunktionen. Die Funktion f : M → N hat eine Umkehrfunktion wenn die Urbildmengen f −1 (y)
für jedes y ∈ N einelementig sind, oder äquivalent wenn jede Gleichung f (x) = y mit
y ∈ N eine eindeutige Lösung x ∈ M hat. Es stellt sich als sinnvoll heraus neben dieser
Eigenschaft auch noch diejenigen Funktionen zu betrachten, für die f (x) = y für jedes
y ∈ N mindestens eine, beziehungsweise höchstens eine, Lösung hat.
Definition 2.6 (Injektive und surjektive Funktionen)
Sei f : M → N eine Funktion. Dann heißt die Funktion f
61
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(a) injektiv wenn es für jedes y ∈ N höchstens ein x ∈ M mit f (x) = y gibt.
(b) surjektiv wenn es für jedes y ∈ N stets ein x ∈ M mit f (x) = y gibt.
(c) bijektiv wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. für jedes y ∈ N gibt es genau ein
x ∈ M mit f (x) = y.
Dass die Funktion f surjektiv ist kann in Termen des Bildes durch Bild(f ) = N
charakterisiert werden. Auch die Injektivitätsbedingung läßt sich noch auf verschiedene
Arten umformulieren, beispielsweise
f : M → N injektiv ⇐⇒ ∀(x1 , x2 ∈ M ) : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
In der Tat, dass f (x) = y für jedes y ∈ N höchstens eine Lösung x ∈ M hat, bedeutet
das je zwei Lösungen von f (x) = y gleich sind, d.h. für jedes y ∈ N und alle x1 , x2 ∈ M
mit f (x1 ) = f (x2 ) = y ist x1 = x2 . Dass dies für jedes y ∈ N so ist, ist dann gerade
die Gültigkeit der obigen Aussage. Manchmal ist es bequemer die Kontraposition
f : M → N injektiv ⇐⇒ ∀(x1 , x2 ∈ M ) : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
zu verwenden. Wir kommen zu ein paar Beispielen.
1. Sei
f : R → R; x 7→ x2 .
Diese Funktion ist nicht surjektiv, denn für jedes x ∈ R ist f (x) = x2 ≥ 0,
also insbesondere f (x) 6= −1. Damit hat die Gleichung f (x) = −1 keine Lösung
x ∈ R und f ist nicht surjektiv. Außerdem ist f auch nicht injektiv, denn es ist
beispielsweise
f (−1) = (−1)2 = 1 = 12 = f (1).
2. Nun betrachten wir die ähnliche Situation
f : R → R≥0 ; x 7→ x2 ,
und diesmal ist f surjektiv. Denn ist y ∈ R≥0 , also y ∈ R mit y ≥ 0, so haben wir
√
eine Wurzel x := y mit f (x) = x2 = y. Allerdings ist f weiterhin nicht injektiv.
3. Nun sei
f : R≥0 → R; x 7→ x2 ,
d.h. diesmal betrachten wir nur nichtnegative Argumente. Wie im ersten Beispiel
ist f dann nicht surjektiv. Diesmal ist f aber injektiv. Seien nämlich x1 , x2 ∈ R≥0
mit f (x1 ) = f (x2 ) gegeben, also x21 = x22 . Dann ist x2 = ±x1 und wegen x1 , x2 ≥ 0
muss sogar x1 = x2 sein.
62
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4. Schließlich sei
f : R≥0 → R≥0 ; x 7→ x2 .
Genau wie im zweiten und dritten Beispiel folgt dann das f surjektiv und injektiv
ist, also insgesamt bijektiv ist.
Diese vier Beispiele zeigen uns zum einen das es für Surjektivität und Injektivität ganz
entscheidend auf den Definitionsbereich und die Zielmenge einer Funktion ankommt,
dass diese Begriffe also insbesondere nur sinnvoll sind wenn diese beiden Mengen vorgegeben sind. Außerdem liefern sie uns Beispiele für weder injektive noch surjektive,
für injektive aber nicht surjektive, für surjektive aber nicht injektive und für surjektive
und injektive Funktionen.
In den eben behandelten Beispielen haben wir unter anderem neue Funktionen
konstruiert indem der Definitionsbereich bereits vorhandener Funktionen verkleinert
wurde, einen Vorgang den man als Einschränkung“ bezeichnet. Dies kommt derart
”
häufig vor das hierfür eine eigene Notation eingeführt wird. Angenommen wir haben
eine Funktion f : M → N und eine Teilmenge A ⊆ M des Definitionsbereichs von f .
Als die Einschränkung von f auf A, geschrieben als f |A, bezeichnet man die Funktion
f |A : A → N ; x 7→ f (x),
beziehungsweise in Mengenschreibweise f |A = f ∩ (A × N ).
Wir behandeln noch ein allerletztes Beispiel, nämlich die Funktion
f : R\{−1} → R\{1}; x 7→
x−1
.
x+1
Beachte das für x ∈ R mit x 6= −1 stets x − 1 6= x + 1 also f (x) 6= 1 ist, es handelt sich
also wirklich um eine Abbildung zwischen den angegebenen Mengen. Wir wollen uns
überlegen ob f surjektiv, injektiv oder gar bijektiv ist. Bei solchen durch Formeln gegebene Funktionen kann man dies oft durch direkte Rechnung entscheiden. Wir müssen
y ∈ R mit y 6= 1 betrachten und uns das Lösungsverhalten der Gleichung
y = f (x) =
x−1
x+1
für x ∈ R\{−1} anschauen. Es ist
y=
x−1
⇐⇒ xy + y = x − 1 ⇐⇒ x(y − 1) = −y − 1 = −(y + 1),
x+1
und wegen y 6= 1 hat diese Gleichung die eindeutige Lösung
x=
1+y
1−y
wobei wegen y + 1 6= y − 1 auch (1 + y)/(1 − y) 6= −1 ist. Damit hat unsere Gleichung
eine eindeutige Lösung x ∈ R\{−1} und die Funktion f ist somit bijektiv.
63
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Jetzt ist alles soweit vorbereitet, dass wir den Begriff der Umkehrfunktion einer
Funktion tatsächlich einführen können. Ist f : M → N eine Funktion, so soll die
Umkehrfunktion von f bei gegebenen Wert y = f (x) ∈ N aus y das Argument x
rekonstruieren, es ist also die Gleichung f (x) = y nach x aufzulösen. Dass dies überhaupt möglich ist bedeutet das es für jedes y ∈ N auch genau eine Lösung x ∈ M
von f (x) = y gibt, dass also die Funktion f bijektiv ist. In diesem Fall können wir die
Lösung x von f (x) = y als Funktion von y auffassen, und erhalten
Definition 2.7 (Umkehrfunktionen)
Seien M, N zwei Mengen und f : M → N eine bijektive Abbildung. Dann gibt es für
jedes y ∈ N genau ein Element f −1 (y) ∈ M mit f (f −1 (y)) = y, und wir nennen
f −1 : N → M ; y 7→ f −1 (y)
die Umkehrfunktion von f . Explizit ist dabei
f −1 = {(y, x)|(x, y) ∈ f }.
Letztere Formel kann man dann auch so interpretieren das die Umkehrfunktion f −1
aus f durch Spiegeln an der Diagonalen“ entsteht. Das Wort Spiegeln“ muss man
”
”
hierzu allerdings recht großzügig auslegen, um eine wirkliche geometrische Spiegelung
handelt es sich nur im Fall M, N ⊆ R, im allgemeinen Fall muss man sich halt das
Vertauschen der beiden Komponenten eines Paares als Spiegelung denken. Ist f : M →
N eine bijektive Funktion so ordnet die Umkehrfunktion f −1 : N → M also jedem
y ∈ N das eindeutige x = f −1 (y) ∈ M mit f (x) = y zu. Streng genommen ist die
Schreibweise f −1 (y) nicht günstig da wir so schon die Urbildmenge f −1 ({y}) = {x}
bezeichnet haben, diese kleine Mehrdeutigkeit stellt sich im praktischen Gebrauch aber
als unproblematisch heraus.
Unsere obige Rechnung zeigt das die Umkehrfunktion der Funktion
f : R\{−1} → R\{1}; x 7→
durch
f −1 (y) =
x−1
x+1
1+y
1−y
für y ∈ R\{1} gegeben ist, denn genau dies hatte sich beim Auflösen der Gleichung
f (x) = y nach x ergeben. Wir wollen uns nun einige weitere Beispiele hierzu anschauen
bei denen wir keine wirklichen Rechnungen durchführen müssen.
Im folgenden werden wir in einigen dieser Beispiele trigonometrische Funktionen
verwenden, allerdings sind wir an dieser Stelle noch nicht in der Lage diese auf Grundlage unserer Axiome für die reellen Zahlen einzuführen. Dies wird uns erst in §11.5 gelingen, daher wollen wir uns erst einmal auf die vertraute geometrische Begründung der
trigonometrischen Funktionen verlassen. Für eine formale Definition ist dieser Zugang
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Montag 14.11.2016
in unserem Rahmen allerdings nicht geeignet, tatsächlich geht man oftmals umgekehrt
vor und verwendet die analytisch definierten trigonometrischen Funktionen um Winkel
und die anderen geometrischen Konzepte einzuführen. Daher hat alles was wir erst einmal über trigonometrische Funktionen festhalten einen vorläufigen Charakter, in §11.5
und §12.3 werden wir dann aber alles was wir bis dahin verwendet haben tatsächlich
beweisen.
1. Wie schon früher in einem Beispiel bemerkt ist die Funktion
f : R≥0 → R≥0 ; x 7→ x2
bijektiv. Zum Bestimmen der Umkehrfunktion muss die Gleichung y = f (x) =
√
x2 gelöst werden, und dies geschieht durch x = y. Die Umkehrfunktion des
Quadrierens auf R≥0 ist also die Wurzelfunktion.
y
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
y
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
√
f −1 (x) =
f (x) = x2
1.4
1.6
1.8
2
x
Etwas allgemeiner ist die Funktion f : R≥0 → R≥0 ; x 7→ xn nach §1.Lemma 8
für jedes n ∈ N mit
n ≥ 1 bijektiv. Die Umkehrfunktion von f ist dann die n-te
√
−1
n
Wurzel f (x) = x für jedes x ∈ R≥0 .
2. Als nächtes wollen wir den Sinus betrachten, nur ist dieser leider weder injektiv
noch surjektiv. Dabei können wir die Surjektivität leicht erreichen indem wir die
Menge N = [−1, 1] = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 1} als Zielmenge verwenden. Um
den Sinus auch injektiv zu machen schauen wir uns nur Argumente x zwischen
−π/2 und π/2 an. Wie schon früher einmal bemerkt geben wir die Argumente der
trigonometrischen Funktionen immer im Bogenmaß an. Dann ist die Funktion
h π πi
sin : − ,
→ [−1, 1]; x 7→ sin x
2 2
bijektiv, und ihre Umkehrfunktion
h π πi
arcsin : [−1, 1] → − ,
2 2
wird als der Arcus Sinus bezeichnet.
65
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1.5
1.5
3
3
1
1
2
2
y
y
0.5
–1.5
–1
–0.5
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0
y
0.5
0.5
1
1.5
–1.5
–1
–0.5
0
x
y
1
0.5
1
1.5
–3
–2
–1
0
1
1
2
3
–3
–2
–1
0
x
x
–0.5
–1
–1
–1
–1
–2
–2
–1.5
–3
–1.5
f (x) = sin x
f
−1
(x) = arcsin x
f (x) = cos x
1
2
3
x
–0.5
–3
f
−1
(x) = arccos x
Beachte das die in der Schule verbreitete Schreibweise sin−1 für den Arcus Sinus
nicht benutzt wird, schon da sie eigentlich unsinnig ist, der Sinus selbst ist ja
nicht umkehrbar sondern nur seine Einschränkung auf das Intervall [−π/2, π/2].
Entsprechendes trifft für die Schreibweisen der anderen trigonometrischen Umkehrfunktionen zu.
3. Beim Cosinus sind die Verhältnisse weitgehend analog, nur müssen wir eine andere Menge als Definitionsbereich verwenden, zwischen −π/2 und π/2 ist der
Cosinus nicht injektiv. Die übliche Wahl ist die Menge der Winkel zwischen 0
und π, d.h. wir betrachten die bijektive Funktion
cos : [0, π] → [−1, 1]; x 7→ cos x
und ihre Umkehrfunktion
arccos : [−1, 1] → [0, π]
wird als der Arcus Cosinus bezeichnet.
4. Als letztes Beispiel nehmen wir den Tangens. Dieser ist als Abbildung nach R
surjektiv, und betrachten wir ihn nur zwischen −π/2 und π/2 so ist er auch
injektiv. Wir nehmen also die bijektive Funktion
π π
tan : − ,
→ R; x 7→ tan x
2 2
und ihre Umkehrfunktion
π π
arctan : R → − ,
2 2
heißt der Arcus Tangens.
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1.5
1.5
1
1
y
y
0.5
–1.5
–1
–0.5
0.5
0
0.5
1
1.5
–1.5
–1
–0.5
0
x
0.5
1
1.5
x
–0.5
–0.5
–1
–1
–1.5
–1.5
f (x) = tan x
f
−1
(x) = arctan x
Zur weiteren Untersuchung von Umkehrfunktionen benötigen wir einen weiteren Begriff, die sogenannte Hintereinanderausführung von Funktionen.
Definition 2.8 (Hintereinanderausführung von Funktionen)
Seien f : A → B, g : B → C zwei Funktionen. Die Hintereinanderausführung oder
Komposition von f und g ist dann die Funktion
g ◦ f : A → C; x 7→ g(f (x)).
Ist beispielsweise g durch eine Zuordnungsvorschrift x 7→ g(x) gegeben, so entsteht
die Zuordnungsvorschrift der Hintereinanderausführung g ◦ f indem f (x) für x in die
Zuordnungsvorschrift von g eingesetzt wird.
Wir behandeln nun zwei Beispiele zur Komposition von Funktionen:
1. Seien
f : R → R; x 7→ x3 + 1 und g : R → R; x 7→ x2 + x − 2.
Dann ist für jedes x ∈ R
g ◦ f (x) = g(f (x)) = f (x)2 + f (x) − 2 = (x3 + 1)2 + (x3 + 1) − 2
= x6 + 2x3 + 1 + x3 − 1 = x6 + 3x3 .
2. Im zweiten Beispiel wollen wir umgekehrt eine gegebene Funktion als Hintereinanderausführung zweier einfacherer Funktionen schreiben. Für jedes x ∈ R haben
wir das Additionstheorem
cos(2x) = 2 cos2 x − 1
und hier kommt auf der rechten Seite nur noch cos x aber kein isoliertes x vor. Man
kann also für x ∈ R stets cos(2x) = T2 (cos x) mit dem Polynom T2 (x) = 2x2 − 1
67
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 14.11.2016
schreiben. Ist also f : R → R; x 7→ cos(2x), so ist f = T2 ◦ cos. Ebenso ist für
jedes x ∈ R auch
cos(3x) = 4 cos3 x − 3 cos x = T3 (cos x)
mit T3 (x) = 4x3 − 3x, d.h. die Funktion f : R → R; x 7→ cos(3x) ist eine
Hintereinanderausführung f = T3 ◦ cos.
Zum Ende dieses Kapitels wollen wir auch noch einige wichtige Aussagen über all diese
Begriffe formulieren und beweisen. Wir beginnen dabei mit einem Lemma über die
Hintereinanderausführung von Funktionen.
Lemma 2.1 (Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung)
Seien f : A → B, g : B → C und h : C → D drei Funktionen. Dann gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Beweis: Beachte das zwei Funktionen offenbar genau dann gleich sind, wenn sie denselben Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereichs auf denselben Wert abbilden. Wir haben
dom((h ◦ g) ◦ f ) = A = dom(g ◦ f ) = dom(h ◦ (g ◦ f ))
und für jedes x ∈ A gilt
(h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ g(f (x)) = h(g(f (x))) = h(g ◦ f (x)) = h ◦ (g ◦ f )(x).
Damit ist das Assoziativgesetz der Komposition von Funktionen bewiesen.
Aus dem Assoziativgesetz folgt, dass man auch beliebig lange Ketten von Hintereinanderausführungen beliebig umklammern kann ohne die Gesamtfunktion zu ändern, d.h.
man kann die Klammern auch einfach weglassen, da sie sowieso keinen Einfluss auf das
Ergebnis haben. Wie bei der Multiplikation wird gelegentlich auch das Zeichen ◦“ für
”
die Komposition weggelassen, man schreibt also verkürzt gf anstelle des vollständigen
g ◦ f . Ein Kommutativgesetz für die Komposition von Abbildungen gilt aber nicht,
zum einen muss f ◦ g nicht einmal definiert sein wenn g ◦ f dies ist und selbst wenn dies
der Fall ist kann f ◦ g 6= g ◦ f sein. Nehmen wir beispielsweise die beiden Funktionen
f : R → R; x 7→ x2 und g : R → R; x 7→ x + 1
so ist für jedes x ∈ R zum einen g(f (x)) = x2 +1 und zum anderen f (g(x)) = (x+1)2 =
x2 +2x+1, also haben wir f ◦g 6= g◦f . Zum Abschluß der heutigen Sitzung untersuchen
wir jetzt wie sich Injektivität und Surjektivität mit der Komposition von Funktionen
vertragen.
Lemma 2.2 (Grundeigenschaften von Injektivität und Surjektivität)
Seien f : A → B und g : B → C zwei Funktionen.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 18.11.2016
(a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
(b) Ist g ◦ f injektiv, so ist auch f injektiv.
(c) Sind f und g surjektiv, so ist auch g ◦ f surjektiv.
(d) Ist g ◦ f surjektiv, so ist auch g surjektiv.
Beweis: (a) Seien x, y ∈ A mit x 6= y. Da f injektiv ist, ist dann f (x) 6= f (y) und da
auch g injektiv ist, haben wir (g ◦ f )(x) = g(f (x)) 6= g(f (y)) = (g ◦ f )(y). Somit ist
auch g ◦ f injektiv.
(b) Seien x, y ∈ A mit x 6= y. Dann g(f (x)) = (g ◦ f )(x) 6= (g ◦ f )(y) = g(f (y)) und
insbesondere muss f (x) 6= f (y) sein. Damit ist f injektiv.
(c) Sei z ∈ C. Da g surjektiv ist, existiert ein y ∈ B mit z = g(y). Da weiter auch
f surjektiv ist, existiert auch ein x ∈ A mit y = f (x) und wir haben (g ◦ f )(x) =
g(f (x)) = g(y) = z. Damit ist g ◦ f surjektiv.
(d) Sei z ∈ C. Da g ◦f surjektiv ist, existiert ein x ∈ A mit (g ◦f )(x) = z. Damit haben
wir das Element f (x) ∈ B mit g(f (x)) = (g ◦ f )(x) = z. Somit ist auch g surjektiv.
In (b) folgt im Allgemeinen tatsächlich nur die Injektivität von f aber nicht die von g
und in (d) ergibt sich entsprechend auch nur die Surjektivität von g aber nicht von f .
Vorlesung 8, Freitag 18.11.2016
Wir beschäftigen uns gerade mit Umkehrfunktionen und zum Auftakt der heutigen
Sitzung schauen wir uns noch ein letztes Beispiel an, und zwar die Funktion
f : R\{−1} → R\{−1}; x 7→
1−x
,
1+x
diese ist zwar recht ähnlich zu einem der obigen Beispiele wird uns aber ein neues
Phänomen zeigen. Zunächst beachte das für x ∈ R\{−1} auch 1+x 6= x−1 = −(1−x)
ist, die Funktionswerte liegen also tatsächlich in R\{−1}. Wir gehen wie oben vor und
betrachten für y ∈ R\{−1} die Gleichung f (x) = y. Diese lösen wir durch
y=
1−x
1−y
⇐⇒ y + xy = 1 − x ⇐⇒ (1 + y)x = 1 − y ⇐⇒ x =
,
1+x
1+y
und dies bedeutet das f bijektiv mit f −1 = f ist. Hier haben wir also eine umkehrbare
Funktion die gleich ihrer eigenen Umkehrfunktion ist.
Wir kommen nun zu zwei kleinen Beobachtungen über Umkehrfunktionen. Zunächst
beachte das die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion f : M → N wieder bijektiv
ist mit
(f −1 )−1 = {(x, y)|(y, x) ∈ f −1 } = {(x, y)|(x, y) ∈ f } = f.
69
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 18.11.2016
Die definierende Eigenschaft der Umkehrfunktion einer Funktion f : M → N war die
Gleichung f (f −1 (y)) = y für alle y ∈ N und diese kann man auch als
f ◦ f −1 = idN
lesen, wobei idN die sogenannte identische Funktion oder Abbildung auf N ist, d.h.
idN : N → N ; y 7→ y.
Die identische Funktion auf einer Menge M , oder kurz die Identität auf M , ist also die
Funktion die mit den Elementen der Menge überhaupt nichts macht. Diese Funktion
taucht überraschend häufig auf, und erhält daher auch ihr eigenes Symbol. Ist jetzt
wieder x ∈ M , so ist f −1 (f (x)) ∈ M dasjenige Element u von M mit f (u) = f (x), also
u = x und dies bedeutet f −1 (f (x)) = x. Somit haben wir auch
f −1 ◦ f = idM .
Umgekehrt stellt sich nun heraus das die Umkehrfunktion durch die beiden Eigenschaften f ◦ f −1 = idN und f −1 ◦ f = idM bereits festgelegt ist. Um den Nutzen
dieser Aussage zu rechtfertigen, machen wir uns erst einmal klar was zu tun ist, um
die Umkehrfunktion von f : M → N zu berechnen. Im ersten Schritt muss man sich
überlegen, dass es überhaupt eine Umkehrfunktion gibt, d.h. man muss zeigen, dass
die Funktion f bijektiv, also sowohl injektiv als auch surjektiv, ist. Ist dies erledigt,
so gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion und diese können wir durch Auflösen der
Gleichung f (x) = y nach x ermitteln. Hier gibt es oft eine gewisse Überlappung, die
Rechnungen zum Auflösen von y = f (x) sind häufig genau dieselben die schon zum
Nachweis von Surjektiv und Injektiv verwendet wurden.
Das folgende Lemma stellt jetzt ein alternatives Vorgehen bereit. Angenommen wir
haben schon einen Kandidaten h : N → M für die Umkehrfunktion. Wie man auf solch
einen Kandidaten kommt, hängt an der speziellen Situation, man kann beispielsweise
f (x) = y zumindest teilweise lösen oder oft kann man auch einfach geschickt raten.
Haben wir den Kandidaten h so reicht es f (h(y)) = y für alle y ∈ N und h(f (x)) = x
für alle x ∈ M nachzurechnen. Ist dies getan, so folgt sowohl das f bijektiv ist als auch
das h die Umkehrfunktion von f ist.
Lemma 2.3 (Kennzeichnung der Umkehrfunktion)
Seien M, N zwei Mengen und f : M → N eine Funktion. Dann ist f genau dann
bijektiv, wenn es eine Funktion g : N → M mit g ◦ f = idM und f ◦ g = idN gibt. In
diesem Fall ist g = f −1 .
Beweis: ”=⇒” Dass f ◦ f −1 = idN und f −1 ◦ f = idM gelten, haben wir bereits oben
eingesehen.
”⇐=” Sei g : N → M eine Funktion mit g ◦ f = idM und f ◦ g = idN . Wir zeigen
zunächst das f injektiv ist. Seien also x1 , x2 ∈ M mit f (x1 ) = f (x2 ) gegeben. Dann
folgt
x1 = idM (x1 ) = (g ◦ f )(x1 ) = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = (g ◦ f )(x2 ) = idM (x2 ) = x2 .
70
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 18.11.2016
Damit ist f zumindest injektiv. Sei jetzt y ∈ N . Dann haben wir das Element g(y) ∈ M
mit f (g(y)) = (f ◦ g)(y) = idN (y) = y. Dies zeigt zum einen, dass f surjektiv, und
damit sogar bijektiv, ist, und zum anderen das f −1 (y) = g(y) für jedes y ∈ N gilt, es
ist also g = f −1 .
Als ein kleines Beispiel zur Anwendung dieses Lemmas wollen wir uns noch einmal die
Funktion
x−1
f : R\{−1} → R\{1}; x 7→
x+1
der letzten Sitzung anschauen. Wir hatten bereits die Gleichung y = f (x) als x = (1 +
y)/(1 − y) aufgelöst, d.h. die Umkehrfunktion g = f −1 von f ist g(x) = (1 + x)/(1 − x).
Wir wollen dies noch einmal, unabhängig von unserer früheren Rechnung, beweisen.
Hierzu können wir die Funktion g von vornherein als
g : R\{1} → R\{−1}; x 7→
1+x
1−x
definieren, was wegen 1 + x 6= −(1 − x) für alle x ∈ R sinnvoll ist. Dann rechnen wir
die beiden Hintereinanderausführungen g ◦ f und f ◦ g aus. Für jedes x ∈ R\{−1} ist
g(f (x)) =
1+
1 + f (x)
=
1 − f (x)
1−
x−1
x+1
x−1
x+1
=
x+1+x−1
2x
=
=x
x + 1 − (x − 1)
2
=
2x
1 + x − (1 − x)
=
= x,
1+x+1−x
2
und für jedes x ∈ R\{1} haben wir
g(x) − 1
f (g(x)) =
=
g(x) + 1
1+x
1−x
1+x
1−x
−1
+1
d.h. es gelten g ◦ f = idR\{−1} und f ◦ g = idR\{1} . Nach dem eben bewiesenen Lemma
ist f damit bijektiv mit der Umkehrabbildung f −1 = g.
Auf diese Weise kann man natürlich nur vorgehen wenn man bereits einen Kandidaten für die Umkehrfunktion von f besitzt. Es gibt tatsächlich erstaunlich häufig
Situationen in denen eine solche vermutete Umkehrfunktion offensichtlich ist, und selbst
in Fällen in denen man rechnen muss um g zu finden kann es dann einfacher sein den
Beweis der Aussage f −1 = g unter Verwendung des obigen Lemmas zu führen. Zum Abschluß beweisen wir noch ein Lemma über die Umkehrfunktionen von Kompositionen.
Lemma 2.4 (Hintereinanderausführungen bijektiver Funktionen)
Seien f : A → B und g : B → C zwei bijektive Funktionen. Dann ist auch g◦f : A → C
bijektiv und es gilt
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
71
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Beweis: Wir betrachten die Abbildung h := f −1 ◦ g −1 : C → A. Mit dem Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung Lemma 1 ergibt sich
(g ◦ f ) ◦ h = g ◦ (f ◦ h) = g ◦ (f ◦ (f −1 ◦ g −1 )) = g ◦ ((f ◦ f −1 ) ◦ g −1 )
= g ◦ (idB ◦ g −1 ) = g ◦ g −1 = idC ,
und analog folgt auch h ◦ (g ◦ f ) = idA . Nach Lemma 3 ist g ◦ f bijektiv mit (g ◦ f )−1 =
h = f −1 ◦ g −1 .
Dass g ◦ f bijektiv ist folgt natürlich auch aus Lemma 2, wir wollten hier aber einen
davon unabhängigen Beweis vorführen.
$Id: komplex.tex,v 1.21 2017/02/18 17:11:53 hk Exp $
§3
Die komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen wurden ursprünglich zur Lösung der Gleichung dritten Grades eingeführt. Man kann die allgemeine Gleichung dritten Grades x3 + ax2 + bx + c = 0
zunächt analog zur quadratischen Ergänzung auf die Normalform x3 + px + q = 0
bringen, und für diese Gleichung gibt es eine Lösungsformel, die sogenannte Formel
von Cardano. Die volle Cardano-Formel beschreibt alle drei Lösungen der Gleichung
x3 + px + q = 0, aber für unsere Zwecke reicht es die erste, und auch einfachste, dieser
drei Lösungen hinzuschreiben. Diese Lösung ist gegeben als
√
3
p
D
2p
x=
mit D := −108q + 12 12p3 + 81q 2 .
−√
3
6
D
Wir wollen als ein konkretes Beispiel einmal beginnen die Gleichung
x3 −
3
1
x−
=0
50
250
durchzurechnen. Hier ist p = −3/50 und q = −1/250. Damit wird
81
34
12p + 81q = −
=− 2 6
62500
2 ·5
p
p
und wir sehen das es überhaupt keine reelle Wurzel 12p3 + 81q 2 = −81/62500
gibt. Die komplexen Zahlen entstanden jetzt indem dieses Problem einfach ignoriert
wird, d.h. wir rechnen einfach weiter und erhalten
r
p
34
32 √
9 √
12p3 + 81q 2 = − 2 6 =
−1
=
−1
2 ·5
2 · 53
250
3
2
72
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 18.11.2016
und schließlich
p
√
54
54
54 √
−1 =
D = −108q + 12 12p3 + 81q 2 =
+
(1 + −1).
125 125
125
Um
die Cardano-Formel anzuwenden, muss jetzt als nächster
√
√ Schritt die dritte Wurzel
3
D berechnet werden. Schreiben wir zur Abkürzung i := −1, so erhalten wir
√
√
√
3
1 + i = 2−4/3 ( 3 + 1 + i · ( 3 − 1)).
Wie man diese Wurzel findet werden wir erst später in diesem Kapitel sehen, für dieses
Beispiel prüfen wir einfach nach das es sich um eine Wurzel handelt. Zunächst ist
3
√
√
2−4/3 ( 3 + 1 + i · ( 3 − 1))
√
√
√
√
√
1 √
=
( 3 + 1)3 + 3i( 3 + 1)2 ( 3 − 1) + 3i2 ( 3 + 1)( 3 − 1)2 + i3 ( 3 − 1)3
16
√
√
√
2
3
2
3
und
√ wegen i√ = −1, i √= i · i = −i, ( 3 + 1) · ( 3 − 1) = 2 sowie ( 3 ± 1) =
3 3 ± 9 + 3 3 ± 1 = 6 3 ± 10 wird
−4/3
2
3
√
√
( 3 + 1 + i · ( 3 − 1))
√
√
√
1 √
= (6 3 + 10 + 6i( 3 + 1) − 6( 3 − 1) − i(6 3 − 10)) = 1 + i,
16
die angegebene Wurzel ist also korrekt. Hieraus folgt weiter
√
3
√
√
3
3 √
D = 21/3 3 1 + i = ( 3 + 1 + i( 3 − 1))
5
10
mit dem Kehrwert
√
√
1
10
3 + 1 − i( 3 − 1)
√
√
√
√
=
· √
3
3 ( 3 + 1 + i( 3 − 1)) · ( 3 + 1 − i( 3 − 1))
D
√
√
√
3 + 1 − i( 3 − 1)
5 √
10
√
· √
=
= ( 3 + 1 − i( 3 − 1)).
3 ( 3 + 1)2 − i2 ( 3 − 1)2
12
Als Lösung der Gleichung dritten Grades erhalten wir
√
3
2p
D
−√
x =
3
6
D
√
√
1 √
3 5 √
=
( 3 + 1 + i( 3 − 1)) +
· ( 3 + 1 − i( 3 − 1))
20
25 12
√
√
1 √
1 √
=
( 3 + 1 + i( 3 − 1)) + ( 3 + 1 − i( 3 − 1))
20
√ 20
√
1+ 3
1
=
· 2( 3 + 1) =
.
20
10
73
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 18.11.2016
Dieses Ergebnis kann man dann durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung verifizieren,
worauf wir hier aber verzichten wollen. In diesem Beispiel haben wir jetzt gesehen, dass
die Cardano Formel auf Wurzeln negativer Zahlen führt und man mit diesen einfach
weiterrechnet.
Wir wollen also so tun als würde es Wurzeln aus negativen Zahlen geben, und die
komplexen Zahlen sind dann das was herauskommt wenn wir zu den reellen Zahlen
die Wurzeln negativer Zahlen hinzunehmen und normal rechnen“. Das ist natürlich
”
keine mathematische Definition, zu dieser kommen wir erst etwas später. Wir können
die Situation gleich ein wenig vereinfachen. Wie im Beispiel brauchen
√ wir gar keine
Wurzeln aus beliebigen negativen Zahlen, eine einzige
Wurzel
i
:=
√
√ √
√ −1 reicht bereits
aus und dann
√ ist für jedes positive x ∈ R auch −x = x −1 = x · i. Die Schreibweise i = −1 wird in der Mathematik durchgängig verwendet, in einigen anderen
Gebieten finden Sie gelegentlich auch andere Schreibweisen, etwa j“ statt i“ in der
”
”
Elektrotechnik. Was brauchen wir neben i jetzt an weiteren neuen Zahlen“? Wenn
”
wir normal rechnen wollen müssen wir insbesondere die Potenzen von i bilden können,
und diese ergeben sich als
i2 = −1, i3 = i2 · i = −i, i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1, i5 = i4 · i = i, . . .
und so weiter. Wir brauchen also nur erste Potenzen von i und betrachten daher Zahlen
der Form a + ib mit a, b ∈ R. Derartige Zahlen addieren und multiplizieren sich gemäß
der Formeln
(a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = a1 + a2 + i(b1 + b2 ),
(a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = a1 a2 + i(a1 b2 + a2 b1 ) + i2 b1 b2
= a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + a2 b1 ).
Insbesondere haben Summen und Produkte von Zahlen der Form a + ib (a, b ∈ R)
stets wieder diese Form. Dies läßt die Hoffnung zu, dass es für die komplexen Zahlen
ausreichen könnte überhaupt nur Zahlen z = a + ib mit a, b ∈ R zuzulassen. Das
einzige Problem ist das es dann nicht unmittelbar klar ist ob wir die Division immer
durchführen können, ob also 1/(a + ib) auch wieder von der Form a0 + ib0 ist. Um diese
Frage zu klären, behandeln wir zunächst ein Beispiel
1
2−i
2−i
2 1
2−i
=
= 2
=
= − i.
2
2+i
(2 + i) · (2 − i)
2 −i
5
5 5
Hier haben wir mit 2−i erweitert um im Nenner die dritte binomische Formel anwenden
zu können. Eine analoge Rechnung kann man auch allgemein durchführen, für alle
a, b ∈ R mit (a, b) 6= (0, 0) ist
a − ib
a − ib
a
b
1
=
= 2
=
−
i
·
.
a + ib
(a + ib) · (a − ib)
a + b2
a2 + b 2
a2 + b2
Mit diesen Formeln ist festgelegt wie man mit komplexen Zahlen a + ib zu rechnen
hat. Es ist nur nicht klar ob das überhaupt funktioniert. Es ist denkbar das man
74
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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durch konsequente Anwendung der Rechenregeln für die komplexen Zahlen letztlich zu
einem Widerspruch gelangt. Für die Anwendung auf die Cardano Formel ist dies völlig
belanglos, wie wir gesehen haben verschwinden in der Cardano Formel am Ende der
Rechnung alle komplexen Größen und es bleibt ein reelles Ergebnis übrig. Dass dieses
Ergebnis dann tatsächlich eine Lösung der gegebenen Gleichung dritten Grades ist,
kann man einfach durch Einsetzen überprüfen, die logische Konsistenz der Rechnung
spielt da keine Rolle.
Da die komplexen Größen in der der Cardano Formel nur zwischendurch als Zwischenergebnisse auftauchen und am Ende wieder alle weg sind, haben sie in diesem
√
Zusammenhang etwas Geisterhaftes“ und dies führt zu der Sprechweise von i = −1
”
als der imaginären Einheit“. Die Zahlen iy mit y ∈ R werden dann entsprechend
”
imaginär“ genannt. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, gibt es eine ganz
”
konkrete und explizite Konstruktion der komplexen Zahlen, und an ihnen ist damit
nichts mehr imaginär“. Die Sprechweise von i als der imaginären Einheit hat damit
”
eigentlich ihre Berechtigung verloren, sie wird aber traditionell weiter verwendet.
3.1
Die Gaußsche Zahlenebene
Wir wollen jetzt eine exakte mathematische
Definition der komplexen Zahlen angeben.
Im
−2+3i
3
Diese Definition wird uns zugleich auch ein
besseres Verständnis der komplexen Zahlen
2
geben so, dass wir beispielsweise auch leicht
sehen können wie man dritte Wurzeln komplei
1
xer Zahlen berechnet, was etwa für die Carda2+ 1 i
2
no Formel von Interesse ist. Die Grundidee ist
−2
−1
1
2
3 Re
dabei sehr einfach, wir denken uns die kom- −3
plexe Zahl a + ib mit a, b ∈ R als den Punkt
−1
(a, b) ∈ R2 der Ebene. Wir führen die komplexen Zahlen dann ein, indem eine Addition
−2
und eine Multiplikation von Punkten der Ebene definiert wird. Wir wissen auch bereits wie
−3
wir dies tun müssen, Summen und Produkte
von Zahlen der Form a + ib haben wir ja bereits oben berechnet, und wir stellen diese Rechnung nun auf den Kopf und verwenden
ihr Ergebnis als Definition von Addition und Multiplikation.
Wir formulieren das Ergebnis dieser Überlegungen als einen Satz.
Satz 3.1 (Konstruktion der komplexen Zahlen)
Die komplexen Zahlen sind die Menge C := R × R versehen mit der durch die Formeln
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 ),
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
75
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für a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R definierten Addition und Multiplikation. Diese erfüllen die in §1.1
aufgelisteten Körperaxiome mit der Null (0, 0) und der Eins (1, 0), wobei additives und
multiplikatives Inverses für a, b ∈ R durch die Formeln
−1
−(a, b) := (−a, −b) und (a, b)
:=
a
b
,− 2
2
2
a +b
a + b2
für (a, b) 6= (0, 0)
gegeben sind. Fassen wir R als die x-Achse auf, schreiben also x = (x, 0) für x ∈ R,
so stimmen reelle und komplexe Addition und Multiplikation auf R überein. Schließlich
erfüllt die imaginäre Einheit
i := (0, 1) ∈ C
die Gleichungen i2 = −1 und a + ib = (a, b) für alle a, b ∈ R.
Beweis: Wir gehen zunächst die neun Körperaxiome durch und verwenden dabei deren Bezeichnungen aus §1.1. In der Vorlesung hatten wir darauf verzichtet dies alles
aufzuschreiben, hier soll aber der vollständige Beweis angegeben werden.
(A1) Seien z1 , z2 , z3 ∈ C und schreibe zj = (aj , bj ) mit aj , bj ∈ R für j = 1, 2, 3. Dann
gilt
(z1 + z2 ) + z3 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) + (a3 , b3 )
= ((a1 + a2 ) + a3 , (b1 + b2 ) + b3 ) = (a1 + (a2 + a3 ), b1 + (b2 + b3 ))
= (a1 , b1 ) + (a2 + a3 , b2 + b3 ) = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) = z1 + (z2 + z3 ).
(A2) Seien z1 , z2 ∈ C und schreibe zj = (aj , bj ) mit aj , bj ∈ R für j = 1, 2. Dann gilt
z1 + z2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) = (a2 + a1 , b2 + b1 )
= (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) = z2 + z1 .
(A3) Ist z ∈ C so schreibe z = (a, b) mit a, b ∈ R und erhalte
(0, 0) + z = (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b) = z.
Damit ist (0, 0) die Null der komplexen Zahlen.
(A4) Ist z ∈ C so schreibe z = (a, b) mit a, b ∈ R. Dann ist auch −z := (−a, −b) ∈ C
und es gilt
(−z) + z = (−a, −b) + (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0),
d.h. −z = (−a, −b) ist das additive Inverse von z.
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(M1) Seien z1 , z2 , z3 ∈ C und schreibe zj = (aj , bj ) mit aj , bj ∈ R für j = 1, 2, 3. Dann
gilt
(z1 · z2 ) · z3 = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) · (a3 , b3 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) · (a3 , b3 )
= ((a1 a2 − b1 b2 )a3 − (a1 b2 + a2 b1 )b3 , (a1 a2 − b1 b2 )b3 + a3 (a1 b2 + a2 b1 ))
= (a1 a2 a3 − b1 b2 a3 − a1 b2 b3 − b1 a2 b3 , a1 a2 b3 − b1 b2 b3 + a1 b2 a3 + b1 a2 a3 )
= (a1 (a2 a3 − b2 b3 ) − b1 (a2 b3 + a3 b2 ), a1 (a2 b3 + a3 b2 ) + (a2 a3 − b2 b3 )b1 )
= (a1 , b1 ) · (a2 a3 − b2 b3 , a2 b3 + a3 b2 ) = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) · (a3 , b3 ) = z1 · (z2 · z3 ).
(M2) Seien z1 , z2 ∈ C und schreibe zj = (aj , bj ) mit aj , bj ∈ R für j = 1, 2. Dann gilt
z1 · z2 = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
= (a2 a1 − b2 b1 , a2 b1 + a1 b2 ) = z2 · z1 .
(M3) Ist z ∈ C so schreibe z = (a, b) mit a, b ∈ R und erhalte
(1, 0) · z = (1, 0) · (a, b) = (1 · a − 0 · b, 1 · b + a · 0) = (a, b) = z.
Da auch (1, 0) 6= (0, 0) gilt ist (1, 0) damit die Eins der komplexen Zahlen.
(M4) Ist z ∈ C mit z 6= (0, 0) so schreibe z = (a, b) mit a, b ∈ R. Wegen z 6= (0, 0) ist
a 6= 0 oder b 6= 0, also a2 > 0 oder b2 > 0 und somit a2 + b2 > 0, d.h. a2 + b2 6= 0
und z −1 := (a/(a2 + b2 ), −b/(a2 + b2 )) ∈ C ist eine wohldefinierte komplexe Zahl.
Es gilt
z
−1
·z =
a
b
,
−
a2 + b2 a2 + b2
· (a, b)
=
a2
b2
ab
ab
+
, 2
− 2
2
2
2
2
2
a +b
a +b a +b
a + b2
= (1, 0)
d.h. z −1 ist das multiplikative Inverse von z.
(D) Seien z1 , z2 , z3 ∈ C und schreibe zj = (aj , bj ) mit aj , bj ∈ R für j = 1, 2, 3. Dann
gilt
z1 · (z2 + z3 ) = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) = (a1 , b1 ) · (a2 + a3 , b2 + b3 )
= (a1 (a2 + a3 ) − b1 (b2 + b3 ), a1 (b2 + b3 ) + (a2 + a3 )b1 )
= (a1 a2 + a1 a3 − b1 b2 − b1 b3 , a1 b2 + a1 b3 + a2 b1 + a3 b1 )
= (a1 a2 − b1 b2 + a1 a3 − b1 b3 , a1 b2 + a2 b1 + a1 b3 + a3 b1 )
= (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) + (a1 a3 − b1 b3 , a1 b3 + a3 b1 )
= (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) · (a3 , b3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
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Damit haben wir alle neun Körperaxiome verifiziert. Für alle x, y ∈ R haben wir weiter
(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) und (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0),
also stimmen die reelle und die komplexe Addition und Multiplikation auf den reellen
Zahlen überein. Die Aussagen über die imaginäre Einheit ergeben sich durch
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
und
a + ib = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
für alle a, b ∈ R.
Wie schon in §1 erwähnt bedeutet die Gültigkeit der neun Körperaxiome das wir
mit den komplexen Zahlen bezüglich der Grundrechenarten normal rechnen können,
insbesondere haben wir wie bei den reellen Zahlen auch wieder Subtraktion und Division und die Bruchrechenregeln gelten. Es gibt allerdings keine Methode die komplexen
Zahlen so anzuordnen, dass die Axiome eines angeordneten Körpers gelten. In der
Tat hatten wir in §1 eingesehen, dass diese Axiome implizieren das Quadrate positiv
oder Null sind und das −1 negativ ist, da in C aber −1 = i2 ein Quadrat ist, kann
es keine Anordnung geben. Die Addition komplexer Zahlen ist die vertraute Addition von Vektoren in der Ebene, die geometrische Interpretation der Multiplikation ist
etwas komplizierter, und wird erst im nächsten Abschnitt behandelt. Wir starten die
weitergehende Untersuchung der komplexen Zahlen mit der Formel
1
a − ib
= 2
a + ib
a + b2
für das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl. Sowohl der Zähler als auch der
Nenner der rechten Seite dieser Gleichung haben eine geometrische Bedeutung.
Definition 3.1: Sei z = x + iy mit x, y ∈ R eine komplexe Zahl.
(a) Die reelle Zahl Re z := x heißt der Realteil von z, er ist die Orthogonalprojektion
von z auf die x-Achse.
(b) Die reelle Zahl Im z := y heißt der Imaginärteil von z, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die y-Achse.
(c) Die komplexe Zahl z := x − iy heißt die komplex Konjugierte zu z. Diese ist die
Spiegelung von z an der x-Achse.
p
(d) Die reelle Zahl |z| := x2 + y 2 heißt der Betrag von z. Nach dem Satz des Pythagoras ist |z| der Abstand des Punktes z der Ebene zum Nullpunkt 0 = (0, 0).
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b1 + b 2
z1 + z 2
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z=a+ib
z=(x,y)
r
b2
z2
y
x
b1
z1
z=a−ib
a2
a1
a1 + a 2
Addition
Konjugation
Betrag
Gelegentlich wird die komplex Konjugierte einer Zahl z ∈ C auch mit dem Symbol z ∗
anstelle von z bezeichnet, diese Schreibweise werden wir in diesem Skript aber nicht
verwenden. Mit diesen Bezeichnungen gilt für jedes z ∈ C\{0} die Gleichung
1
z
= 2
z
|z|
also auch zz = |z|2 . Trivialerweise gilt diese Gleichung auch für z = 0. Die Grundeigenschaften der komplexen Konjugation werden im folgenden Lemma zusammengestellt:
Lemma 3.2 (Grundeigenschaften der komplexen Konjugation)
Seien z, w ∈ C. Dann gelten:
(a) Es ist z + w = z + w.
(b) Es ist z · w = z · w.
(c) Im Fall z 6= 0 sind
z
1
= 2 und
z
|z|
1
1
= .
z
z
(d) Es sind z = z, |z| = |z| und zz = |z|2 .
(e) Es gelten
Re(z) =
z+z
z−z
und Im(z) =
.
2
2i
(f ) Genau dann ist z ∈ R wenn z = z gilt.
Beweis: Wir schreiben z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v ∈ R.
(a) Es ist
z + w = (x + u) + i(y + v) = (x + u) − i(y + v) = x − iy + u − iv = z + w.
79
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
(b) Es ist
zw = xu − yv + i(xv + yu) = xu − yv − i(xv + yu)
= xu + (−y)(−v) + i(x(−v) + (−y)u) = (x − iy) · (u − iv) = z · w.
(c) Die erste Gleichung haben wir bereits oben festgehalten, und für die andere Gleichung ergibt sich mit (b)
1
1=1=z· =z·
z
1
1
1
=⇒
= .
z
z
z
(d) Diese Aussagen sind klar, beziehungsweise bereits oben bewiesen.
(e) Es gelten
z + z = 2x und z − z = 2iy.
(f ) Klar.
Vorlesung 9, Montag 21.11.2016
In der letzten Sitzung hatten wir die komplexen Zahlen eingeführt, diese haben die
Form z = x + iy mit zwei reellen Zahlen x, y ∈ R. Dabei heißt x der Realteil und y
der Imaginärteilpvon z. Fassen wir z als den Punkt (x, y) der Ebene auf, so hat z den
Abstand |z| = x2 + y 2 zum Nullpunkt √
und man nannte |z| den Betrag der Zahl z.
Ist z dabei reell, also y = 0, so ist |z| = x2 = |x|, d.h. für reelle Zahlen stimmt der
komplexe Betrag mit dem reellen Betrag aus §1.3 überein. Wir wollen jetzt einsehen,
dass der komplexe Betrag dieselben Eigenschaften wie der reelle Betrag hat.
Lemma 3.3 (Grundeigenschaften des komplexen Betrags)
Seien z, w ∈ C. Dann gelten:
√
(a) Es ist max{| Re z|, | Im z|} ≤ |z| ≤ 2 max{| Re z|, | Im z|}.
(b) Es gilt |zw| = |z| · |w|.
(c) Es gilt die Dreiecksungleichung |z + w| ≤ |z| + |w|.
(d) Es gilt |z − w| ≥ |z| − |w|.
(e) Es gilt |z| − |w| ≤ |z − w|.
80
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
Beweis: (a) Schreibe z = x + iy mit x, y ∈ R und setze M := max{| Re z|, | Im z|} =
max{|x|, |y|}. Wegen
p
p
p
√
|x| = x2 ≤ x2 + y 2 = |z| und |y| = y 2 ≤ x2 + y 2 = |z|
ist dann M ≤ |z|. Weiter haben wir
p
p
√
√
|z| = x2 + y 2 = |x|2 + |y|2 ≤ M 2 + M 2 = 2M.
(b) Nach Lemma 2.(b) gilt
√
√
√
√
|zw| = zwzw = zzww = zz · ww = |z| · |w|.
(c) Es gilt nach Lemma 2.(a,b,d,e) und Teil (a,b)
|z + w|2 = (z + w) · (z + w) = (z + w) · (z + w) = zz + zw + zw + ww
= |z|2 + zw + zw + |w|2 = |z|2 + 2 Re(zw) + |w|2 ≤ |z|2 + 2| Re(zw)| + |w|2
≤ |z|2 + 2|zw| + |w|2 = |z|2 + 2|z| · |w| + |w|2 = |z|2 + 2|z| · |w| + |w|2
= (|z| + |w|)2 ,
also auch |z + w| ≤ |z| + |w|.
(d,e) Analog zu §1.Lemma 2.
Sind z, w ∈ C, so zeigt die Interpretation der komplexen Addition als Vektoraddition,
dass es, abgesehen von Randfällen, ein Dreieck mit den Seitenlängen |z|, |w| und |z +w|
gibt. Die Dreiecksungleichung für den Betrag wird dann zur geometrischen Dreiecksungleichung das in einem Dreieck jede Seite höchstens so lang wie die Summe der beiden
anderen Seiten ist.
Mit Hilfe des komplexen Betrages können wir nun auch definieren wann eine Menge
komplexer Zahlen beschränkt sein soll. In §1 hatten wir eine Menge M ⊆ R beschränkt
genannt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist und wir hatten eingesehen,
dass dies genau dann der Fall ist, wenn es eine Zahl c ≥ 0 mit |x| ≤ c für alle x ∈ M
gibt. Letztere Beschreibung kann man leicht auf C erweitern.
Definition 3.2 (Beschränkte Mengen in C)
Eine Menge M ⊆ C heißt beschränkt wenn es eine reelle Zahl c ∈ R mit c ≥ 0 und
|z| ≤ c für alle z ∈ M gibt.
Insbesondere ist eine Teilmenge M ⊆ R genau dann als Teilmenge von R beschränkt
wenn sie als Teilmenge von C beschränkt ist. Da der komplexe Betrag der Abstand
zum Nullpunkt ist, kann man alternativ auch sagen, dass eine Teilmenge M ⊆ C
genau dann beschränkt ist, wenn sie Teilmenge eines ausreichend grossen Kreises ist.
Weiter behaupten wir das eine komplexe Menge M ⊆ C genau dann beschränkt ist,
wenn die reellen Mengen
Re(M ) := {Re z|z ∈ M } und Im(M ) := {Im z|z ∈ M }
81
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
beschränkt sind. Ist nämlich M ⊆ C beschränkt, so gibt es ein c ≥ 0 mit |z| ≤ c für
alle z ∈ M und mit Lemma 3.(a) folgt auch
| Re z| ≤ |z| ≤ c und | Im z| ≤ |z| ≤ c
für alle z ∈ M . Sind umgekehrt Re(M ) und Im(M ) beschränkt, so gibt es Konstanten
c1 , c2 ≥ 0 mit | Re z| ≤ c1 und | Im z| ≤ c2 für alle z ∈ M . Ist also c :=
√
2 max{c1 , c2 } ≥ 0, so ist nach Lemma 3.(a) auch
√
√
|z| ≤ 2 max{| Re z|, | Im z|} ≤ 2 max{c1 , c2 } = c
für alle z ∈ M . Wenn man will kann man dies alles auch in geometrischer Sprache
begründen, dass M beschränkt ist bedeutet das M in einem Kreis enthalten ist, und
das die Real- und die Imaginärteile der Elemente von M jeweils beschränkt sind bedeutet das M in einem Rechteck enthalten ist. Damit ist die Beschränktheitsaussage
ebenfalls klar, denn jeder Kreis ist in einem ausreichend großen Rechteck enthalten und
umgekehrt ist jedes Rechteck in einem geeigneten Kreis enthalten.
3.2
Die komplexe Multiplikation
Wir haben bereits gesehen das die komplexe Addition
y
einfach die gewöhnliche Addition von Vektoren im Parallelogram ist, dagegen ist die komplexe Multiplikation
durch eine Formel gegeben der man ihre geometrische Bez=reφ
r
deutung nicht direkt ansieht. Dies liegt im wesentlichen
eφ
φ
daran das die bisher verwendeten cartesischen Koordinax
ten der Ebene zur Beschreibung der komplexen Multiplikation nicht gut geeignet sind, wesentlich günstiger ist es
die sogenannten Polarkoordinaten zu verwenden. Angenommen wir haben einen Punkt z ∈ C = R2 der Ebene.
Dann können wir die Lage von z beschreiben indem wir
zum einen den Abstand r ≥ 0 von z zum Nullpunkt und zum anderen den Winkel φ
den z mit der x-Achse bildet angeben. Man nennt r und φ die Polarkoordinaten der
komplexen Zahl z.
Zum besseren Verständnis der Polarkoordinaten betrachten wir für jedes φ ∈ R den Punkt e(φ) ∈ C auf dem
Einheitskreis, also dem Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, der mit der x-Achse den Winkel φ bildet. Bee( )
1
trachten wir das nebenstehende Bild, so ergibt sich der
y
Punkt e(φ) explizit als
x
e(φ) = (cos φ, sin φ) = cos φ + i sin φ.
Die komplexe Zahl z ∈ C zu den gegebenen Polarkoordinaten r, φ ist dann
z = re(φ).
82
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Beachte das die erste Polarkoordinate r wegen |re(φ)| = r|e(φ)| = r immer als der
Betrag von z eindeutig festgelegt ist, der Winkel φ aber nicht. Man kann zu φ noch
beliebige Vielfache von 2π, also von 360◦ im Gradmaß, hinzuaddieren ohne das sich
z ändert. Um ein eindeutiges φ zu kriegen muss man die erlaubten Winkel auf ein
Intervall der Länge 2π einschränken. Für r = 0 ist φ sogar völlig willkürlich. Schauen
wir uns einmal drei kleine Beispiele an.
1. Sei z = i. Der Abstand zu 0 ist r = |i| = 1, und da i im oberen Teil der yAchse liegt, ist der Winkel zur x-Achse gleich 90◦ , beziehungsweise φ = π/2.
Also i = 1 · e(π/2) in Polarkoordinaten.
2. Die komplexe Zahl z = 1 + i hat als Abstand zum Nullpunkt
√
√
r = |1 + i| = 12 + 12 = 2.
Außerdem liegt z auf der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten,
unser Win√
kel ist also φ = π/4. Polarkoordinaten sind damit 1 + i = 2 e(π/4).
3. Nehme jetzt z = −i. Es ist r = | − i| = 1. Was als Winkel genommen wird, ist
nicht mehr so eindeutig. Laufen wir im Gegenuhrzeigersinn um den Einheitskreis,
so durchqueren wir drei volle Quadranten, also φ = 3π/2. Laufen wir dagegen im
Uhrzeigersinn um den Kreis, so wird φ = −π/2. Diese beiden Winkel unterscheiden sich gerade um 2π. Welchen Winkel man als die Polarkoordinate“ ansieht
”
hängt von der gewählten Normierung ab und ist damit letztlich willkürlich.
Die zweite Polarkoordinate φ wird oft auch als das Argument der komplexen Zahl
z bezeichnet, und mit dem Symbol φ = arg z notiert. Wie schon bemerkt ist das
Argument nur bis auf Vielfache von 2π festgelegt und für z = 0 ist es sogar völlig
beliebig. Um eine gewisse Eindeutigkeit zu erhalten schränken wir uns auf Winkel φ
mit |φ| < π ein, also −π < φ < π. Wegen e(π) = cos π + i sin π = −1 werden dann die
positiven Vielfachen von −1 ausgeschlossen.
Definition 3.3 (Hauptwert des Arguments)
Die geschlitzte komplexe Ebene ist die Menge
C− := C\R≤0
und für z ∈ C− bezeichnen wir das Argument φ von z mit |φ| < π als den Hauptwert
von arg z. Die hierdurch definierte Funktion
arg : C− → (−π, π)
heißt der Hauptzweig des Arguments.
Für z ∈ C− haben wir also eindeutig festgelegte Polarkoordinaten r = |z|, φ = arg z
wenn wir immer den Hauptwert des Arguments verwenden. Diese Wahl ist natürlich
nicht die einzig mögliche, in vielen Zusammenhängen, wie beispielsweise im nächsten
83
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Abschnitt, ist die Normierung 0 ≤ φ < 2π passender. Für den Moment wollen wir
aber den Hauptwert verwenden. Haben wir die komplexe Zahl z = x + iy mit x, y ∈ R
in cartesischen Koordinaten gegeben, so ist die Berechnung der Polarkoordinaten r, φ
im Prinzip nicht schwer, es gilt aber einige
p Fälle zu unterscheiden. Die erste Polarkoordinate ist unproblematisch r = |z| = x2 + y 2 . Zur Berechnung von φ haben wir
verschiedene Gleichungen zur Auswahl
cos φ =
x
y
sin φ
y
, sin φ = und im Fall x 6= 0 auch tan φ =
= .
r
r
cos φ
x
Wir nehmen z ∈ C− an und wollen für φ den Hauptwert des Arguments verwenden,
also |φ| < π. Das Problem ist das wir nicht einfach irgendeine der trigonometrischen
Arcus Funktionen verwenden können, da diese die zugehörige trigonometrische Funktion immer nur auf einem bestimmten Intervall der Länge π umkehren. In der Vorlesung
hatten wir nur den Weg über den Cosinus besprochen, hier gehen wir der Reihe nach
alle möglichen Berechnungsmethoden durch.
1. Der Weg über x/r = cos φ. Der Arcus Cosinus kehrt den Cosinus zwischen 0 und
π um, er kann also unverändert für z in einem der ersten beiden Quadranten,
d.h. für y ≥ 0 verwendet werden. Dort ist dann φ = arccos(x/r). In den anderen
beiden Quadranten ist y < 0 also −π < φ < 0. Damit ist 0 < −φ < π und
cos(−φ) = cos φ = x/r also −φ = arccos(x/r) und somit φ = − arccos(x/r).
Insgesamt ist damit
(
x
arccos(x/r),
y ≥ 0,
φ = sign(y) · arccos
=
r
− arccos(x/r), y < 0.
Beachte das diese Formel auch für y = 0 funktioniert da wegen z ∈ C− dann
x > 0 und φ = 0 ist.
2. Der Weg über y/r = sin φ. Der Arcus Sinus kehrt den Sinus zwischen −π/2 und
π/2 um, er kann also unverändert für z im ersten und im vierten Quadranten
verwendet werden, d.h. für x ≥ 0. Dort ist dann φ = arcsin(y/r). Nun sei z im
zweiten Quadranten, also π/2 < φ < π. Dann ist π − φ ∈ (0, π/2) mit
y y y
sin(π − φ) = sin φ = =⇒ π − φ = arcsin
=⇒ φ = π − arcsin
.
r
r
r
Ist z im verbleibenden dritten Quadranten, so haben wir −π < φ < −π/2 also
ist −(φ + π) ∈ (−π/2, 0) mit
sin(−(φ + π)) = − sin(φ + π) = sin φ =
84
y y
=⇒ −(φ + π) = arcsin
r
r y
=⇒ φ = − π + arcsin
.
r
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Insgesamt ist damit


x ≥ 0,
arcsin(y/r),
φ = π − arcsin(y/r),
x < 0, y > 0,


−(π + arcsin(y/r)), x, y < 0.
3. Der Weg über tan φ = y/x. Der Arcus Tangens kehrt den Tangens zwischen
−π/2 und π/2 unter Ausschluß der Grenzen um, also für x > 0. Dort ist dann
φ = arctan(y/x). Im zweiten Quadranten unter Ausschluß der y-Achse ist π/2 <
φ < π und somit φ − π ∈ (−π/2, 0) mit
y
y
y
tan(φ − π) = tan φ = =⇒ φ − π = arctan
=⇒ φ = π + arctan
.
x
x
x
Im dritten Quadranten haben wir schließlich −π < φ < −π/2 also 0 < φ + π <
π/2 und
y
y
y
tan(φ + π) = tan φ = =⇒ φ + π = arctan
=⇒ φ = arctan
− π.
x
x
x
Insgesamt ist damit


arctan(y/x),
x > 0,





x = 0, y > 0,
π/2,
φ = π + arctan(y/x), x < 0, y > 0,



−π/2,
x = 0, y < 0,



arctan(y/x) − π, x, y < 0.
Für Punkte auf der negativen x-Achse, also x < 0, y = 0, ist kein Hauptwert des Arguments festgelegt, wenn man will kann man für diese φ = π setzen. Dies ist auch das Ergebnis das sich mit der ersten Formel ergibt, denn dann ist arccos(x/r) = arccos(−1) =
π.
Wählen wir eine andere Normierung des Arguments so ergeben sich auch andere
Formeln. Eine oft verwendete alternative Normierung für die Werte φ des Arguments
ist wie schon erwähnt 0 ≤ φ < 2π. In dieser Normierung unterscheidet sich das Argument φ vom Hauptwert nur im dritten und vierten Quadranten also für y < 0. Dort
muss 2π zum Hauptwert addiert werden. In der Arcus Cosinus Formulierung ist damit
beispielsweise
(
arccos(x/r),
y ≥ 0,
φ=
2π − arccos(x/r), y < 0.
Entsprechend ergeben sich auch Formeln über den Arcus Sinus beziehungsweise über
den Arcus Tangens. Nun können wir die Polarkoordinaten zur Beschreibung der komplexen Multiplikation einsetzen. Gegeben seien zwei komplexe Zahlen z, w ∈ C die wir
in Polarkoordinaten als z = re(φ) und w = se(ψ) schreiben. Dann wird
z · w = rs e(φ) · e(ψ),
85
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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und wegen |e(φ) · e(ψ)| = |e(φ)| · |e(ψ)| = 1 liegt e(φ)e(ψ) wieder auf dem Einheitskreis
kann also als e(φ)e(ψ) = e(θ) für einen geeigneten Winkel θ ∈ R geschrieben werden.
Das Produkt z · w hat dann die Polarkoordinaten |zw| = |z| · |w| = rs und θ. Zur
Berechnung von θ verwenden wir die trigonometrischen Additionstheoreme
sin(φ + ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ und cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ
und berechnen
e(φ) · e(ψ) = (cos φ + i sin φ) · (cos ψ + i sin ψ)
= cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i · (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ)
= cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = e(φ + ψ),
wir können also θ = φ + ψ verwenden. Insgesamt hat die komplexe Multiplikation in
Polarkoordinaten damit die Form
(re(φ)) · (se(ψ)) = rs e(φ + ψ)
für alle r, s ∈ R≥0 , φ, ψ ∈ R, d.h. bei der komplexen Multiplikation werden die Längen
miteinander multipliziert und die Winkel addiert.
3.3
Komplexe Wurzeln
Zur Behandlung von Wurzeln ist es am bequemsten die eben eingeführten Polarkoordinaten zu verwenden. Angenommen wir haben eine√komplexe Zahl a ∈ C und einen
Exponenten n ∈ N mit n ≥ 1 gegeben, und wollen n a berechnen, etwas genauer formuliert wollen wir also die Gleichung z n = a nach z ∈ C auflösen. Da es für a = 0 nur
die eindeutige Lösung z = 0 gibt, können wir uns auf den Fall a 6= 0 beschränken. Wir
schreiben a in Polarkoordinaten a = re(φ), die wir hier auf 0 ≤ φ < 2π normieren.
Machen wir für z in Polarkoordinaten den Ansatz z = se(ψ) mit s > 0, 0 ≤ ψ < 2π,
so wird unsere Gleichung zu
!
z n = (se(ψ))n = sn e(nψ) = re(φ).
√
Dies gibt zum einen die Bedingung sn = r, der Betrag von z ist also als s = n r
eindeutig festgelegt. Es verbleibt e(nψ) = e(φ). Hier führt die Mehrdeutigkeit des
Arguments zu einer kleinen Komplikation, wir wissen nur das sich nψ und φ um ein
ganzzahliges Vielfaches von 2π unterscheiden müssen, und wegen 0 ≤ nψ < 2nπ führt
dies auf
φ
2π
nψ = φ + 2πk =⇒ ψ = + k ·
mit k ∈ N, 0 ≤ k < n.
n
n
Damit haben wir genau n verschiedene komplexe Wurzeln von z = re(φ) nämlich
√
φ
2π n
n
{w ∈ C|w = z} =
re
+k·
k ∈ N, 0 ≤ k < n .
n
n 86
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Ein besonders wichtiger Spezialfall liegt vor wenn a = 1 ist, wenn wir also die n-ten
Wurzeln der Eins bestimmen wollen.
Definition 3.4 (Einheitswurzeln)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Eine komplexe Zahl z ∈ C heißt eine n-te Einheitswurzel wenn
z n = 1 ist.
Ist in unserer Rechnung a = 1, so sind die Polarkoordinaten gegeben als r = 1 und
φ = 0, also ergibt sich die Menge En der n-ten Einheitswurzeln als
2πk En = e
k ∈ N, 0 ≤ k < n ,
n und somit liegen die n-ten Einheitswurzeln alle auf dem Einheitskreis und bilden die
Ecken eines regulären n-Ecks, dies ist ein n-Eck in dem alle Seitenlängen und alle Innenwinkel gleich sind. Wir fassen diese Überlegungen und einige unmittelbare Folgerungen
jetzt in einem Satz zusammen.
Satz 3.4 (Komplexe Wurzeln)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und setze
ζ := e
2π
n
= cos
2π
2π
+ i sin .
n
n
Dann bildet die Menge En der n-ten Einheitswurzeln ein in den Einheitskreis eingeschriebenes reguläres n-Eck und es gilt
En = {ζ k |k ∈ N, 0 ≤ k < n}.
Ist 0 6= a ∈ C eine beliebige komplexe
Zahl, so hat a in C genau n verschiedene n-te
p
n
Wurzeln, die alle den Abstand |a| vom Nullpunkt haben
√ und die Ecken eines regulären
n-Ecks bilden. Ist a = re(φ) mit r, φ ∈ R, r > 0 so ist n re(φ/n) eine n-te Wurzel von
a. Ist w eine beliebige n-te Wurzel von a, so ist
{z ∈ C|z n = a} = {ζ k w|k ∈ N, 0 ≤ k < n}.
Beweis: Für jedes k ∈ N mit 0 ≤ k < n haben wir
k
2πk
2π
2π
e
=e k·
=e
= ζk,
n
n
n
und damit ist die Aussage über die Einheitswurzeln bewiesen. Sei jetzte a ∈ C\{0}.
Wir haben oben bereits alles bis auf die letzte Aussage über die n-ten Wurzeln von
a eingesehen. Ist w ∈ C mit wn = a, so ist insbesondere w 6= 0 und für jedes z ∈ C
bestehen damit die Äquivalenzen
z n
z
z
z n = a ⇐⇒ z n = wn ⇐⇒
= 1 ⇐⇒ ∈ En ⇐⇒ ∃(k ∈ N, 0 ≤ k < n) : = ζ k .
w
w
w
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Montag 21.11.2016
Die restlichen Aussagen haben wir bereits oben eingesehen.
Die Einheitswurzeln spielen also
√ so in etwa die Rolle von ”Vorzeichen“ n-ter Wurzeln.
Hat man eine Quadratwurzel
a, so sind die beiden √
möglichen Quadratwurzeln die
√
beiden Werte ± a. Hat man dagegen eine n-te Wurzel n a, so ergeben sich die anderen
n-ten Wurzeln durch Multiplikation mit den n-ten Einheitswurzeln.
Zur exakten, also nicht numerischen, Auswertung komplexer Wurzeln ist es hilfreich
möglichst viele Werte der trigomometrischen Funktionen zu kennen, und dies wollen
wir hier etwas ausführlicher als in der Vorlesung beschreiben. Zunächst haben wir die
Grundwerte
φ
0
π/6
π/5
π/4
π/3
π/2
π
cos φ
√1
3/2
√
(1 + 5)/4
√
1/ 2
1/2
0
-1
sin φ
0
q 1/2√
2(5 − 5)/4
√
1/
√ 2
3/2
1
0
tan φ
0√
1/ 3
p
√
5−2 5
√1
3
0
Diese Werte dürften Sie auch in Ihrer Formelsammlung finden. Man kann sie alle geometrisch über die Definition der trigonometrischen Funktionen über rechtwinklige Dreiecke begründen, der Winkel π/5 ist aber schon etwas trickreicher und hängt mit der
Konstruktion des regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal zusammen. Eine exakte
Herleitung auf der Basis unserer Axiome ist uns an dieser Stelle sowieso nicht möglich
da wir noch keine analytische Definition der trigonometrischen Funktionen haben. Eine
solche folgt erst später in diesem Semester und in §12.3 werden wir die Werte in der
Tabelle alle beweisen können. Daher akzeptieren wir die obige Tabelle an dieser Stelle
erst einmal. Weitere Werte kann man dann über Periodizitätseigenschaften und die
Additionstheoreme berechnen. Oft nützlich sind insbesondere die Halbierungsformeln,
an die wir uns jetzt kurz erinnern wollen. Wir starten mit dem Additionstheorem
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
Setzen wir hier x/2 statt x ein, so wird diese Formel zu
2 x
2 x
cos x = 2 cos
− 1 = 1 − 2 sin
.
2
2
Für −π ≤ x ≤ π ist −π/2 ≤ x/2 ≤ π/2 also cos(x/2) ≥ 0 und somit
x r
x r 1 + cos x
cos
= cos2
=
(−π ≤ x ≤ π).
2
2
2
88
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Mit dem Sinus können wir ähnlich rechnen. Für 0 ≤ x ≤ 2π ist 0 ≤ x/2 ≤ π also
sin(x/2) ≥ 0. Damit ist
x r 1 − cos x
.
sin
=
2
2
Ist schließlich 0 ≤ x < π, so ist
tan
x
2
sin
=
cos
x
2
x
2
r
=
1 − cos x
=
1 + cos x
s
s
(1 − cos x) · (1 + cos x)
1 − cos2 x
=
(1 + cos x)2
(1 + cos x)2
s
sin2 x
sin x
=
.
=
2
(1 + cos x)
1 + cos x
Erweitert man mit 1 − cos x statt mit 1 + cos x, so ergibt sich für 0 < x < π die
alternative Formel
x 1 − cos x
tan
.
=
2
sin x
Zum Beispiel sind
s
r
√
√
√
π
1 − cos(π/6)
2− 3
6− 2
sin
=
=
=
,
12
2
4
4
s
r
√
√
√
π
1 + cos(π/6)
2+ 3
6+ 2
=
=
,
cos
=
12
2
4
4
π
√
1 − cos(π/6)
tan
= 2 − 3.
=
12
sin(π/6)
Mit all diesen Formeln ausgestattet kehren wir jetzt zu unserem Eingangsbeispiel
x3 −
3
1
x−
=0
50
250
zurück. Dies hatten wir√bereits vollständig gerechnet es blieb aber die Frage offen wie
man die dritte Wurzel 3 1 + √
i findet. Dies können wir jetzt leicht sehen, die Polarkoordinaten von 1 + i sind r = 2 und φ = π/4, also
√
3
1+i=
√
6
2e
π
π
π = 21/6 cos
+ i sin
12
12
12 !
√
√
√
√
√
√
6+ 2
6− 2
1/6
=2
+i
= 2−4/3 ( 3 + 1 + i( 3 − 1)),
4
4
und wir haben die Wurzel berechnet.
$Id: folgen.tex,v 1.44 2016/12/02 12:13:18 hk Exp $
89
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
§4
Montag 21.11.2016
Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Nachdem wir in den ersten drei Kapiteln alle für uns nötigen Grundlagen behandelt
haben, beginnen wir jetzt mit der sogenannten Analysis. Als Startpunkt verwenden
wir dabei die gleich zu definierenden Folgen, diese werden sich dann als das zentrale
technische Hilfsmittel für den Analysis-Teil dieses Semesters herausstellen. Weshalb
Folgen überhaupt von Interesse sein sollten ist leider nicht unmittelbar zu sehen, sie
sind auch erst recht spät in der Entwicklung der Theorie aufgetaucht. In der nächsten
Sitzung werden wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge einführen und stellen die
Anmerkungen zur Motivation des Folgenbegriffs noch bis dahin zurück.
Definition 4.1: Eine Folge in einer Menge M ist eine Abbildung a : N → M . Dabei
nennen wir an := a(n) für n ∈ N das n-te Folgenglied.
Wir schreiben eine Folge meist nicht in Funktionsschreibweise sondern verwenden
Namen wie (an )n∈N oder alternativ (an )n≥0 . Etwas allgemeiner betrachten wir auch
Folgen mit anderen Startwerten als Null, d.h. ist n0 ∈ N so ist eine Folge mit dem
Startwert n0 eine Abbildung a : {n ∈ N|n ≥ n0 } → M , üblicherweise geschrieben als
(an )n≥n0 . Um die Notation nicht zu überladen sprechen wir meist einfach von Folgen
(an )n∈N , implizit sind damit aber auch immer Folgen mit beliebigen Startwert gemeint
auch wenn wir dies nicht extra hinschreiben. Wir werden im Laufe dieses Kapitels noch
viele Beispiele von Folgen sehen, daher geben wir hier nur zwei einfache Beispiele an.
Für n ∈ N mit n ≥ 1 sei
1
an := ,
n
1
wir betrachten also die Folge n n≥1 . Dies ist eine Folge mit dem Startwert n0 = 1.
Solche reelle Zahlenfolgen kann man sich graphisch durch Hinmalen ihres Graphen“
”
veranschaulichen, dieser besteht dann nur aus diskreten Punkten. Manchmal werden
diese aus optischen Gründen noch miteinander verbunden, diese Verbindungen haben
dann aber keine inhaltliche Bedeutung und dienen nur zur Illustration.
1
0.8
4
0.6
0.8
2
0.4
0.6
–4
–2
2
4
6
0.2
0.4
–2
–0.6
–4
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
–0.2
0.2
–6
2
4
6
8
10
12
14
an = 1/n
16
18
–0.4
20
an = (1 + i)n
Andere komplexe Folge
Als ein Beispiel einer komplexen
Folge nehmen wir ((1 + i)n )n∈N . Da 1 + i in Polarko√
ordinaten gleich 1 + i = 2 · e(π/4) ist verteilen sich die Glieder der Folge auf acht
90
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
vom Nullpunkt ausgehende Achsen. Da die Werte recht groß werden, ist diese Folge im
obenstehenden Bild logarithmisch skaliert dargestellt. Eine komplexe Folge kann man
sich veranschaulichen indem die Glieder a0 , a1 , a2 , . . . in die Gaußsche Zahlenebene eingezeichnet werden, die Information über den jeweiligen Folgenindex n geht dabei aber
verloren.
Zu Beginn unserer Untersuchungen stellen wir einige der immer wieder verwendeten
Grunddefinitionen zusammen.
Definition 4.2: Sei (an )n∈N eine Folge in einer Menge M . Eine Teilfolge von (an )n∈N
ist eine Folge der Form (ank )k∈N wobei n0 , n1 , n2 , . . . ∈ N mit n0 < n1 < n2 < · · · sind.
Eine Teilfolge durchläuft also einige, aber nicht unbedingt alle, der Folgenglieder der
Originalfolge in genau derselben Reihenfolge. Beispielsweise ist
1
1
eine
Teilfolge
von
.
n2 n≥1
n n≥1
Die nächste Definition ist nur noch auf reelle beziehungsweise komplexe Folgen anwendbar.
Definition 4.3: Sei K ∈ {R, C}. Eine Folge (an )n∈N in K heißt beschränkt, wenn die
Menge {an |n ∈ N} beschränkt ist, wenn es also eine Konstante c ≥ 0 mit |an | ≤ c für
alle n ∈ N gibt.
Die dritte und letzte dieser Definitionen ist sogar nur noch auf reelle Folgen anwendbar.
Definition 4.4: Sei (an )n∈N eine reelle Folge, d.h. eine Folge in der Menge R. Dann
heißt die Folge (an )n∈N
(a) monoton steigend, wenn an ≤ an+1 für alle n ∈ N gilt.
(b) streng monoton steigend wenn an < an+1 für alle n ∈ N gilt.
(c) monoton fallend, wenn an+1 ≤ an für alle n ∈ N gilt.
(d) streng monoton fallend, wenn an+1 < an für alle n ∈ N gilt.
(e) nach oben beschränkt, wenn die Menge {an |n ∈ N} nach oben beschränkt ist,
wenn es also ein c ∈ R mit an ≤ c für alle n ∈ N gibt.
(f ) nach unten beschränkt, wenn die Menge {an |n ∈ N} nach unten beschränkt ist,
wenn es also ein c ∈ R mit an ≥ c für alle n ∈ N gibt.
Wir wollen jetzt Beispiele von Folgen durchgehen und diese jeweils auf einige oder alle
der eben aufgelisteten Eigenschaften untersuchen.
91
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 25.11.2016
1. Sei q ∈ R mit q > 1. Dann ist die Folge (q n )n∈N streng monoton steigend, denn
für jedes n ∈ N ist q n+1 = q n · q > q n . Wegen q n ≥ 1 für alle n ∈ N ist die Folge
(q n )n∈N auch nach unten beschränkt. Wir zeigen nun das die Folge nicht nach oben
beschränkt ist. Sei nämlich c ∈ R gegeben. Es ist q − 1 > 0 also existiert nach der
archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen §1.Lemma 5 eine natürliche Zahl
n ∈ N mit n(q − 1) > c und die Bernoulli-Ungleichung §1.Lemma 6 ergibt
q n = (1 + (q − 1))n ≥ 1 + n(q − 1) > n(q − 1) > c.
Damit ist c keine obere Schranke der Folge (q n )n∈N , sie ist also nicht nach oben
beschränkt.
2. Sei q ∈ R mit 0 < q < 1. Für jedes n ∈ N ist dann q n+1 = q n · q < q n , die Folge
(q n )n∈N ist also streng monoton fallend. Wegen 0 < q n ≤ 1 für jedes n ∈ N ist sie
auch beschränkt.
3. Nun sei q ∈ C. Wir behaupten dann das für die allgemeine geometrische Folge
(q n )n∈N stets
(q n )n∈N ist beschränkt ⇐⇒ |q| ≤ 1
gilt. Ist nämlich |q| ≤ 1 so ist für jedes n ∈ N auch |q n | = |q|n ≤ 1 die Folge
(q n )n∈N ist also beschränkt. Ist dagegen |q| > 1 so ist die Folge (|q n |)n∈N =
(|q|n )n∈N nach dem ersten Beispiel nicht nach oben beschränkt, d.h. auch (q n )n∈N
ist nicht nach oben beschränkt.
4. Die Folge ((−1)n )n∈N ist weder monoton steigend noch monoton fallend.
5. Die durch
an :=
n
X
k=2
1
k(k − 1)
für n ≥ 2 gegebene Folge ist offenbar streng monoton steigend. Sie ist auch nach
oben beschränkt, denn für jedes n ∈ N mit n ≥ 2 gilt
an =
n
X
k=2
n X
1
1
1
1
=
−
= 1 − < 1.
k(k − 1) k=2 k − 1 k
n
Vorlesung 10, Freitag 25.11.2016
92
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
6. Die durch
Freitag 25.11.2016
n
X
1
an :=
k!
k=0
gegebene Folge ist offenbar wieder streng monoton steigend. Sie ist auch nach
oben beschränkt. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 2 gilt nämlich
n
n
n
X
X
X
1
1
1
1
an =
=2+
≤2+
= 3 − < 3.
k!
k!
k(k − 1)
n
k=0
k=2
k=2
7. Die durch
an :=
1
1+
n
n
für n ≥ 1 gegebene Folge ist streng monoton steigend. Um dies einzusehen benötigen wir die Bernoulli Ungleichung §1.Lemma 6, d.h. für alle x ∈ R mit 0 6= x ≥ −1
und alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt (1 + x)n > 1 + nx. Hiermit rechnen wir jetzt für
jedes n ∈ N mit n ≥ 1
1+
1
n+1
1
n+1
n
+ n1
=
=
n+2
n+1
n+1 n
n+1
n
=
n · (n + 2)
(n + 1)2
n+1
n+1
n
n+1
n+1
(n + 1)2 − 1
1
n+1
n+1
= 1−
2
2
(n + 1)
n
(n + 1)
n
n+1
1
n
n+1
> 1 − (n + 1) ·
=
·
= 1,
(n + 1)2
n
n+1
n
d.h. es ist
an+1 =
1
1+
n+1
n+1
>
1
1+
n
n
= an .
Die Folge (an )n∈N ist auch wieder nach oben beschränkt. Mit der allgemeinen
binomischen Formel §1.Lemma 7 erhalten wir etwa
1
1+
n
n
n n
X
X
n 1
(n − k + 1) · . . . · n 1
=
=
· k
k
k n
k!
n
k=0
k=0
n
n
X
X
1
n−k+1
n
1
1
=
·
· ... ·
≤
≤ 3 − < 3.
k!
n
n
k!
n
k=0
k=0
√
8. Als ein weiteres Beispiel wollen wir einsehen, dass die Folge ( n n)n≥3 streng monoton fallend ist. Ist nämlich n ∈ N mit n ≥ 3 gegeben, so haben wir
n n
(n + 1)n
n+1
1
=
= 1+
< 3 ≤ n,
nn
n
n
93
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 25.11.2016
also auch (n + 1)n < n · nn = nn+1 . Folglich ist
√
n+1
1
n
1
n + 1 = (n + 1) n+1 = (n + 1) n(n+1) = ((n + 1)n ) n(n+1) < nn+1
1
n(n+1)
1
= nn =
Für alle n ∈ N mit n ≥ 3 ist damit auch 1 <
beschränkt.
√
n
n≤
√
3
√
n
n.
3, die Folge ist also auch
9. Wir kommen zu einem letzten Beispiel einer sogenannten rekursiv definierten
Folge. Wir beginnen mit a0 := 1. Haben wir jetzt ein n ∈ N und ist das nte Folgenglied bereits definiert so wird das n + 1-te
√ Folgenglied in Termen des
schon bekannten n-ten Folgenglieds als an+1 := 1 + an definiert. Die ersten
Folgenglieder sind also
a0 = 1,
√
1 + 1,
a1 =
q
√
a2 =
1 + 1 + 1,
r
q
√
a3 =
1 + 1 + 1 + 1,
s
r
q
√
a4 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1,
und allgemein ist
v
s r
u
u
q
√
t
an = 1 + · · · 1 + 1 + 1 + 1,
|
{z
}
n Wurzeln
die Folge (an )n∈N besteht also aus immer tiefer verschachtelten Wurzelausdrücken.
Wir zeigen durch vollständige Induktion das für jedes n ∈ N stets
√
1+ 5
1 ≤ an < an+1 <
2
gilt, dies zeigt das√(an )n∈N streng monoton steigend√und beschränkt ist. Wegen
a√
2 ist 1 ≤ a0 < a1 und wegen (2 2)2 = 8 < 9 = 32 ist auch
0 = 1 und a1 =
2 2 < 3 und
√
√
√
3
1+ 4
1+ 5
a1 = 2 < =
<
,
2
2
2
unsere Behauptung gilt also für n = 0 und √
der Induktionsanfang ist durchgeführt.
Nun sei n ∈ N mit 1 ≤ an < an+1 < (1 + 5)/2 gegeben. Dann ist insbesondere
an+1 ≥ 1 und wegen
p
√
an+1 − an
√
an+2 − an+1 = 1 + an+1 − 1 + an = √
>0
1 + an+1 + 1 + an
94
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
ist auch an+2 > an+1 . Weiter haben wir
s
s
s
√
√
√
√
p
1+ 5
3+ 5
5+2 5+1
1+ 5
=
=
=
,
an+2 = 1 + an+1 < 1 +
2
2
4
2
und per vollständiger Induktion ist damit alles gezeigt.
4.1
Folgenkonvergenz
Der Begriff einer Folge ist weitgehend ein Hilfsbegriff, und wir wollen jetzt ein wenig
erläutern wobei Folgen eigentlich helfen sollen. Dies ist am besten im Vergleich zur
alten Begründung“ der Analysis zu verstehen. Begonnen hat alles mit der Infinitesi”
malrechnung des siebzehnten Jahrhunderts und ein gutes Beispiel für die damals untersuchten Problemstellungen ist der Begriff der Geschwindigkeit. Wir denken uns einen
sich bewegenden physikalischen Körper. Um keine Vektoren verwenden zu müssen, gehen wir davon aus, dass sich diese Bewegung in einer festen Richtung abspielt. Dann
können wir die Position unseres Körpers zum Zeitpunkt t durch eine einzelne Zahl x(t)
beschreiben, die etwa den Abstand des Körpers zum Koordinatenursprung angibt. Gehen wir erst einmal vom einfachsten Fall aus, und nehmen an das auf unseren Körper
keine Kräfte wirken. Dann gilt das sogenannte Trägheitsprinzip, d.h. der Körper legt in
gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück, oder gleichwertig er legt in einem Zeitabschnitt
der Dauer ∆t eine zur Dauer des Zeitabschnitts proportionale Strecke ∆x zurück. Die
hierbei auftretende Proportionalitätskonstante, d.h. die Zahl v mit ∆x = v · ∆t, nennt
man dann die Geschwindigkeit des Körpers. Maßeinheiten ignorieren wir dabei, und
denken uns alles als Zahlen.
Die kräftefreie Bewegung ist damit recht einfach. Kommen wir zum allgemeinen
Fall der beschleunigten Bewegung, bei der auf den Körper irgendwelche Kräfte wirken.
Betrachte wieder ein Zeitintervall der Länge ∆t, und in diesem Zeitintervall lege unser
Körper die Strecke ∆x zurück. Als die mittlere Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall
bezeichnen wir die Geschwindigkeit v die ein unbeschleunigter Körper hätte, der im
Zeitintervall ∆t die Strecke ∆x zurücklegte, also
v=
∆x
.
∆t
Nun führt man eine Idealisierung durch. Geben wir uns einen Zeitpunkt t vor, und
betrachten immer kleinere mit t startende Zeitabschnitte ∆t, so gehen wir davon aus,
dass sich die mittlere Geschwindigkeit bezüglich der Zeitintervalle ∆t auf einen Wert
v = v(t) einpendelt“. Diese Zahl bezeichnen wir dann als die Geschwindigkeit des
”
Körpers zum Zeitpunkt t. Die Existenz dieser Zahl kann man nicht logisch herleiten, es
handelt sich nur um eine idealisierende Annahme, die sich aber als sehr erfolgreich herausgestellt hat. Die mittlere Geschwindigkeit ist ein realer Wert, in dem Sinne das wir
sie direkt messen können, die Geschwindigkeit kann man dagegen nur näherungsweise durch Messung über ausreichend kleine Zeitabschnitte bestimmen. Für praktische
95
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
Zwecke macht das keinen effektiven Unterschied da Messungen ja naturgemäß näherungsweise sind, begrifflich gibt es aber schon einen gewissen Unterschied.
Wir denken uns die Geschwindigkeit als einen Quotienten
v=
dx
dt
wobei man sich dt als einen unendlich kleinen Zeitabschnitt“ und dx als die in diesem
”
Zeitabschnitt unendlich kleine zurückgelegte Strecke“ denkt. Ist allgemein x(t) eine
”
Funktion von t so definiert“ der entsprechende Quotient dx/dt die Ableitung x0 (t)
”
von x in t, also die Änderungsrate der Größe x zum Zeitpunkt t. Diese infinitesimalen
”
Größen“ dx und dt sind dann die Größen von denen die Infinitesimalrechnung handelt.
Wieweit der Umgang mit solchen unendlich kleinen Größen gerechtfertigt ist war schon
von Anfang an umstritten, und den Schöpfern der Theorie war durchaus klar das
ihr Vorgehen den antiken Beweisstandards nicht genügt. Dies wurde aber nicht als
ernsthaftes Problem angesehen, tatsächlich war es ein erklärtes Ziel die methodischen
Grenzen der griechischen Mathematik hinter sich zu lassen. Die neuen Methoden waren
auch derart erfolgreich das Fragen nach den Grundlagen sich einfach nicht stellten.
Dieser Zustand hat gut zweihundert Jahre angedauert und geändert hat sich das
alles erst im letzten Viertel des neunzehnten Jahrhunderts im Rahmen der Theorie
der sogenannten Fourierreihen. Diese traten erstmals beim Studium der sogenannten
Wärmeleitungsgleichung auf, diese beschreibt im klassischen Fall die zeitliche Entwicklung der Temperaturverteilung in einem Draht. Eine Fourierreihe soll eine periodische
Funktion f mit Periode 2π als Überlagerung sogenannter Grundschwingungen darstellen. Diese Grundschwingungen sind einfach die Funktionen 1, sin x, cos x, sin(2x),
cos(2x) und so weiter. Hat man beispielsweise die für |x| < π durch f (x) = sign(x)
definierte Rechteckwelle“, so kann man diese als
”
4 sin x sin(3x) sin(5x)
f (x) =
+
+
+ ···
π
1
3
5
schreiben, wobei das Gleichheitszeichen in einem geeigneten Sinne zu interpretieren ist.
Als ein Beispiel für die Probleme die bei diesen unendlichen trigonometrischen Summen auftreten, wollen wir hier den Satz von Cauchy erwähnen das eine solche unendliche Summe stetiger Funktionen immer eine stetige Funktion definiert. Dies widerspricht
allerdings dem obigen Beispiel da die links stehende Rechteckwelle Sprünge hat, die
einzelnen Sinusterme auf der rechten Seite aber alle stetig sind. Auf diese Kritik an
seinem Satz hat Cauchy geantwortet, dass dies nämlich überhaupt kein Gegenbeispiel
sei da die rechts stehende unendliche Summe gar nicht definiert ist wenn x = π/n für
eine unendlich große und ungerade natürliche Zahl n ist, was er dann auch vorgerechnet hat. Die Wahrheit von Cauchys Satz hing also an der Frage was eigentlich reelle
Zahlen sind, ob man also wirklich ein x = π/n der obigen Form haben kann.
Dies und andere Probleme die in diesem Rahmen auftraten machten es nötig die
Grundlagen der Infinitesimalrechnung zu überarbeiten und auf eine wirklich sichere Basis zu stellen. Durchgesetzt hat sich ein Aufbau auf der Basis des Mengenbegriffs der
96
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
selbst gerade in der Konvergenztheorie trigonometrischer Reihen entstanden war. Die
reellen Zahlen, der Funktionsbegriff und einiges mehr wurden in die heute verwendete
Form gebracht und die infinitesimalen Größen wurden vollständig aus der Mathematik
entfernt. Im mathematischen Sinn gibt es also keine unendlich kleinen oder unendlich großen Zahlen mehr, überlebt haben nur einige traditionelle Schreibweisen und
die gelegentliche Verwendung infinitesimaler Zahlen zu heuristischen oder zu Motivationszwecken. In gewisser Hinsicht wurde die antike Mathematik wieder aufgenommen,
beispielsweise ist eine der möglichen exakten Konstruktionen der reellen Zahlen eine
um negative Zahlen erweiterte Fassung der Proportionenlehre des Eudoxus.
Die Infinitesimalrechnung ist damit überhaupt keine solche mehr, da die infinitesimalen Größen eben aus ihr entfernt wurden, und so geriet auch dieser Name langsam
außer Gebrauch. So etwas wie Ableitungen wollte man aber natürlich trotzdem weiter verwenden, und daher mussten diese auf eine neue Grundlage gestellt werden. Als
Ersatz für die infinitesimalen Größen wurde der Begriff des Grenzwerts eingeführt. Es
gibt viele verschiedene Arten von Grenzwerten, alleine in diesem Semester werden wir
je nach Zählweise drei oder vier von ihnen kennenlernen.
Damit sind wir jetzt soweit die Bedeutung von Folgen einsehen zu können. Viele der
verschiedenen Grenzwertbegriffe lassen sich auf Grenzwerte von Folgen zurückführen.
Folgen sind in diesem Rahmen dann ein reines Hilfsmittel, sie erfassen gerade den
gemeinsamen Kern einer Vielfalt von Grenzwertbegriffen. Viele der Grundaussagen
über Grenzwerte überlegt man sich zunächst für Folgen und kann sie dann auf all die
anderen, uns wirklich interessierenden, Grenzwerttypen anwenden. Folgen sind also die
Maschinerie die den ganzen Kalkül am Laufen hält, haben aber für sich selbst eher
selten eine Bedeutung. Das hat leider zur Folge, dass die Theorie der Folgen zunächst
recht unmotiviert und wenig sinnvoll wirkt.
Nach all diesen Vorbemerkungen wollen wir jetzt den ersten unserer Grenzwertbegriffe einführen und definieren die Konvergenz einer Folge in R oder C wie folgt:
Definition 4.5 (Folgenkonvergenz)
Seien K ∈ {R, C} und (an )n∈N eine Folge in K. Dann konvergiert die Folge (an )n∈N
gegen eine Zahl a ∈ K wenn es für jedes > 0 eine natürliche Zahl n0 ∈ N mit
|an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt. In diesem Fall schreiben wir (an )n∈N −→ a.
Gelegentlich verwenden wir auch die verkürzte und eigentlich inkorrekte Schreibweise
an −→ a anstelle von (an )n∈N −→ a. Als Formel schreibt sich die Konvergenzbedingung
als
∀( ∈ R, > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ∈ N, n ≥ n0 ) : |an − a| < und meistens verkürzen wir dies zu
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : |an − a| < gehen also implizit davon aus das eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl sind.
Beachte das wir statt <“ in der Konvergenzbedingung genausogut ≤“ verwenden
”
”
97
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
können, also
(an )n∈N −→ a ⇐⇒ ∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : |an − a| ≤ .
Die Implikation von links nach rechts ist hier trivial. Setzen wir umgekehrt die rechte
Seite voraus, und haben eine reelle Zahl > 0 gegeben, so ist auch /2 > 0 und somit
existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| ≤ /2 für alle n ≥ n0 , also wegen /2 < auch
|an − a| < für alle n ≥ n0 .
Wir wollen uns jetzt noch die anschauliche Bedeutung der Konvergenzdefinition klarmachen, dies geht
n0
am schönsten für komplexe Folgen. Sei also (an )n∈N
eine komplexe Zahlenfolge im nebenstehenden Bild
ε
durch Pünktchen angedeutet. Weiter haben wir einen
a
vorgeschlagenen Grenzwert a ∈ C. Was bedeutet nun
|an − a| < ? Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr
Abstand zum Nullpunkt, an − a ist der Vektor von a
nach an , seine Länge |an − a| ist also der Abstand von
an zu a. Dass |an − a| < gilt, bedeutet also das an
höchstens den Abstand zu a hat, dass also an im Kreis mit Mittelpunkt a und Radius
liegt. Insgesamt bedeutet an −→ a also, dass es für jeden noch so kleinen Kreis mit
Mittelpunkt a immer einen Index n0 gibt, ab dem die Folge ganz im Kreis liegt.
Der Index n0 = n0 () hängt dabei in der Regel von ab, je kleiner der Radius unseres Kreises ist, um so später liegt die Folge ganz im Kreis, d.h. n0 wird größer wenn
kleiner wird. Beachte das die Konvergenz an −→ a nichts über konkrete Folgenglieder
aussagt, konvergiert etwa an −→ 1, so kann trotzdem a1000 = −100 sein, man weiss
nur das die Folgenglieder irgendwann einmal nahe bei 1 sein werden.
Eine andere Interpretation ist es, sich eine gegen a konvergente Folge (an )n∈N als eine Folge von Näherungen an a zu denken. Die Konvergenzbedingung besagt dann, dass
es zu beliebig vorgegebener Fehlerschranke immer eine Stelle n0 gibt ab der die Näherungen an höchstens den Fehler haben. Wir wollen jetzt einige erste Eigenschaften
des Konvergenzbegriffs nachweisen.
Lemma 4.1 (Grundeigenschaften der Konvergenz)
Seien K ∈ {R, C}, (an )n∈N eine Folge in K und a ∈ K.
(a) Ist (an )n∈N −→ a, so gilt auch (ank )k∈N −→ a für jede Teilfolge (ank )k∈N von
(an )n∈N .
(b) Es gibt höchstens ein b ∈ K mit (an )n∈N −→ b.
(c) Genau dann konvergiert die Folge (an )n∈N nicht gegen a, wenn es eine reelle Zahl
> 0 und eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit |ank − a| ≥ für alle k ∈ N
gibt.
98
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
(1)
(d) Sind (an(1) )k∈N und (an(2) )k∈N zwei Teilfolgen von (an )n∈N mit N = {nk |k ∈ N} ∪
k
k
(2)
{nk |k ∈ N}, so ist genau dann (an )n∈N −→ a wenn (an(j) )k∈N −→ a für j = 1, 2
k
gilt.
(e) Ist K = C, so gilt genau dann (an )n∈N −→ a, wenn (Re an )n∈N −→ Re a und
(Im an )n∈N −→ Im a gelten.
(f ) Ist K = C und an ∈ R für alle n ∈ N sowie (an )n∈N −→ a, so gilt auch a ∈ R und
die Folge konvergiert auch in R gegen a.
Beweis: (a) Sei (ank )k∈N eine Teilfolge von (an )n∈N . Sei > 0 gegeben. Dann existiert
ein m ∈ N mit |an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ m. Wegen n0 < n1 < n2 < . . . ist
nk ≥ k für jedes k ∈ N. Ist also k ∈ N mit k ≥ m, so gilt auch nk ≥ k ≥ m und somit
|ank − a| < . Dies zeigt (ank )k∈N −→ a.
(b) Sei also b ∈ K und nehme an das (an )n∈N sowohl gegen a als auch gegen b konvergiert. Angenommen es wäre a 6= b, also auch |a − b| > 0. Dann ist := |a − b|/2 > 0,
also existieren n1 , n2 ∈ N mit |an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ n1 und |an − b| < für alle n ∈ N mit n ≥ n2 . Wir erhalten n := max{n1 , n2 } ∈ N mit n ≥ n1 und n ≥ n2 ,
also
|a − b| = |a − an + an − b| ≤ |an − a| + |an − b| < 2 = |a − b|,
ein Widerspruch. Dieser Widerspruch zeigt a = b.
(c) ”=⇒” Die Verneinung von (an )n∈N −→ a ist
∃( > 0)∀(n0 ∈ N)∃(n ≥ n0 ) : |an − a| ≥ ,
es gibt also ein > 0 so, dass es für jedes n0 ∈ N stets ein n ∈ N mit n ≥ n0 und
|an − a| ≥ gibt. Nach Wahl von existiert ein n0 ∈ N mit |an0 − a| ≥ . Ist k ∈ N
und ist nk ∈ N bereits definiert, so existiert wieder nach Wahl von ein nk+1 ∈ N mit
nk+1 ≥ nk + 1 > nk und |ank+1 − a| ≥ . Damit wird rekursiv eine Teilfolge (ank )k∈N
von (an )n∈N mit |ank − a| ≥ für alle k ∈ N definiert.
”⇐=” Wähle ein > 0 und eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit |ank − a| ≥ für
alle k ∈ N. Angenommen (an )n∈N würde gegen a konvergieren. Nach (a) konvergiert
dann auch (ank )k∈N gegen a, und somit existiert ein k0 ∈ N mit |ank − a| < für alle
k ∈ N mit k ≥ k0 , also insbesondere |ank0 − a| < , ein Widerspruch. Also konvergiert
(an )n∈N nicht gegen a.
(d) ”=⇒” Klar nach (a).
”⇐=” Sei > 0. Für j = 1, 2 gibt es dann wegen (an(j) )k∈N −→ a ein kj ∈ N mit
k
(1)
(2)
|an(j) − a| < für alle k ∈ N mit k ≥ kj . Setze n0 := max{nk1 , nk2 } ∈ N. Sei n ∈ N
k
(1)
(2)
mit n ≥ n0 . Wegen N = {nk |k ∈ N} ∪ {nk |k ∈ N} existieren dann ein j ∈ {1, 2} und
(j)
(j)
(j)
ein k ∈ N mit n = nk . Wegen nk = n ≥ n0 ≥ nkj ist dann k ≥ kj und somit haben
wir |an − a| = |an(j) − a| < . Dies zeigt (an )n∈N −→ a.
k
99
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 21.11.2016
(e) ”=⇒” Sei > 0. Wegen (an )n∈N −→ a existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < für alle
n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann nach §3.Lemma 3.(a) auch
| Re(an ) − Re(a)| = | Re(an − a)| ≤ |an − a| < und ebenso | Im(an ) − Im(a)| = | Im(an − a)| ≤ |an − a| < . Damit ist (Re(an ))n∈N −→
Re(a) und (Im(an ))n∈N −→ Im(a).
”⇐=” Sei > 0. Wegen (Re(an ))n∈N −→
√ Re(a) und (Im(an ))n∈N −→ Im(a) existieren
2 für alle n ∈ N mit n ≥ n1 und | Im(an ) −
n1 , n2 ∈ N mit
|
Re(a
)
−
Re(a)|
<
/
n
√
Im(a)| < / 2 für alle n ∈ N mit n ≥ n2 . Setze n0 := max{n1 , n2 } ∈ N. Für jedes
n ∈ N mit n ≥ n0 gilt dann n ≥ n1 und n ≥ n2 , also nach §3.Lemma 3.(a) auch
|an − a| ≤
√
2 max{| Re(an − a)|, | Im(an − a)|}
√
√
= 2 max{| Re(an ) − Re(a)|, | Im(an ) − Im(a)|} < 2 · √ = .
2
Dies beweist (an )n∈N −→ a.
(f ) Nach (e) gilt (an )n∈N = (Re(an ))n∈N −→ Re(a), und mit (b) folgt a = Re(a) ∈ R.
Die Aussage (f) des Lemmas besagt, dass es für eine reelle Zahlenfolge (an )n∈N egal
ist, ob wir sie als reelle Folge oder als komplexe Folge betrachten, an der Konvergenz
der Folge ändert sich dabei nichts. Insbesondere kann man den komplexen Fall K = C
meist als den allgemeinen Fall behandeln, und sich K = R dann als Spezialfall denken.
Wir wollen uns jetzt einige Beispiele konvergenter Folgen anschauen. Ein triviales aber
wichtiges Beispiel sind die konstanten Folgen, sind K ∈ {R, C} und c ∈ K so konvergiert die konstante Folge (c)n∈N gegen c. Ein etwas komplizierteres Grundbeispiel einer
konvergenten Folge ist die Folge (1/n)n≥1 . Wir behaupten das diese Folge gegen Null
konvergiert
1
−→ 0.
n n≥1
Um dies zu beweisen, folgen wir der Konvergenzdefinition. Sei > 0. Nach der archimedischen Eigenschaft §1.Lemma 5 der reellen Zahlen existiert eine natürliche Zahl
n0 ∈ N mit n0 > 1, also insbesondere n0 ≥ 1. Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist damit
auch
1 1
= ≤ 1 < .
n n
n0
Damit ist diese Behauptung gezeigt. Diese Folge ist natürlich vergleichsweise einfach,
die Bedeutung dieses Grenzwerts sollte man aber nicht unterschätzen. Wir wir sehen werden, werden viele andere Grenzwerte letztlich genau auf 1/n −→ 0 zurückgeführt. Wie sie am Beweis sehen, ist die Konvergenz von (1/n)n∈N gegen Null äquivalent zur archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen. Diese beruhte letztlich auf dem
Vollständigkeitsaxiom, und tatsächlich sind die Axiome eines angeordneten Körpers alleine nicht stark genug zu beweisen das (1/n)n∈N gegen Null konvergiert. Dies wirklich
100
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
einzusehen, bedarf allerdings der Konstruktion eines schon vergleichsweise komplizierten Gegenbeispiels und soll hier nicht vorgeführt werden.
√
√ Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an und behaupten das die Folge ( n + 1 −
n)n∈N gegen Null konvergiert. Sei also ein > 0 gegeben. Nach der archimedischen
Eigenschaft der reellen Zahlen §1.Lemma 5 existiert ein n0 ∈ N mit n0 > 1/(42 ) und
für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 sind damit auch n ≥ n0 > 1/(42 ) und
0<
√
n+1−
√
n= √
1
√ <q
n+1+ n
1
1
42
+
q
= ,
1
42
√
√
√
√
also | n + 1 − n| = n + 1 − n < . Dies zeigt
√
√
( n + 1 − n)n∈N −→ 0.
√
Als letztes Beispiel dieser Sitzung wollen wir die Folge ( n n)n≥1 behandeln. Etwas
später in diesem Abschnitt werden wir den Grenzwert dieser Folge ohne –n0 Rechnungen bestimmen können, an dieser Stelle wollen wir ihn aber einmal ganz direkt auf
Basis der Konvergenzdefinition diskutieren. Wir behaupten das
√
( n n)n≥1 −→ 1
gilt. Sei nämlich > 0 gegeben. Mit der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen
§1.Lemma 5 erhalten wir ein n0 ∈ N mit
n0 > 1 +
2
.
2
Sei nun n ∈ N mit n ≥ n0 gegeben, also insbesondere n ≥ 2. Mit der allgemeinen
binomischen Formel §1.Lemma 7 erhalten wir
n X
n √
n √
k
n
( n − 1) ≥
n = ( n) = (1 + ( n − 1)) =
( n n − 1)2
k
2
k=0
√
n
√
n
n
n
=
n(n − 1) √
( n n − 1)2 .
2
Hieraus folgen weiter
r
r
√
√
2
2
2
n
und 0 < n − 1 ≤
≤
< 2 = ,
( n − 1) ≤
n−1
n−1
n0 − 1
√
√
√
also schließlich | n n − 1| = n n − 1 < . Dies beweist ( n n)n≥1 −→ 1 wie behauptet.
√
n
2
Vorlesung 11, Montag 28.11.2016
101
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
In der letzten Sitzung haben wir den Begriff der Folgenkonvergenz eingeführt und
auch schon einige seiner Grundeigenschaften festgehalten. Insbesondere haben wir in
Lemma 1.(b) bewiesen das eine Folge gegen höchstens eine Zahl konvergieren kann.
Damit können wir nun auch den Grenzwert einer Folge definieren.
Definition 4.6 (Folgengrenzwerte)
Sei K ∈ {R, C}. Dann heißt eine Folge (an )n∈N in K konvergent wenn es ein a ∈ K mit
(an )n∈N −→ a gibt. Nach Lemma 1.(b) ist a ∈ K dann eindeutig bestimmt und heißt
der Grenzwert der Folge (an )n∈N , geschrieben als
a = lim an .
n→∞
Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.
Beachte das der Grenzwert einer reellen oder komplexen Folge eine reelle oder komplexe
Zahl ist, es macht also keinerlei Sinn zu sagen der Grenzwert geht gegen irgendetwas“.
”
Nach Lemma 1.(a) ist jede Teilfolge einer konvergenten Folge wieder konvergent und hat
denselben Grenzwert wie die Originalfolge. Weiter ist eine komplexe Folge (zn )n∈N nach
Lemma 1.(e) genau dann konvergent wenn die Folgen der Real- und der Imaginärteile
beide konvergent sind, und in diesem Fall gelten
Re lim zn = lim Re(zn ) und Im lim zn = lim Im(zn ).
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Schließlich besagt Lemma 1.(f) das es für eine reelle Folge keine Rolle spielt, ob wir sie
in K = R oder in K = C betrachten, sowohl die Konvergenz als auch der notwendig
reelle Grenzwert stimmen in beiden Fällen überein. Daher kann man, wie schon einmal
erwähnt, den komplexen Fall K = C als den allgemeinen Fall“ behandeln.
”
Lemma 4.2 (Grundeigenschaften konvergenter Folgen)
Seien K ∈ {R, C} und (an )n∈N eine konvergente Folge in K. Dann gelten:
(a) Die Folge (an )n∈N ist beschränkt.
(b) Die Folge der Beträge (|an |)n∈N ist wieder konvergent und es gilt
lim |an | = lim an .
n→∞
n→∞
Beweis: Sei a ∈ K der Grenzwert der Folge (an )n∈N .
(a) Wegen (an )n∈N −→ a existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < 1 für alle n ∈ N mit
n ≥ n0 . Weiter setzen wir
c := max{|a| + 1, |a0 |, . . . , |an0 −1 |} ≥ 0.
Dann gilt |an | ≤ c für alle n ∈ N. Sei nämlich n ∈ N gegeben. Ist dann n < n0 , so
haben wir sofort |an | ≤ c nach Definition von c, und ist n ≥ n0 , so ist ebenfalls
|an | = |a + (an − a)| ≤ |a| + |an − a| < |a| + 1 ≤ c.
102
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
Damit ist die Folge (an )n∈N beschränkt.
(b) Sei > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ n0 .
Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann nach §3.Lemma 3.(e) auch
|an | − |a| ≤ |an − a| < .
Dies zeigt (|an |)n∈N −→ |a|.
Wir kennen bereits den Grenzwert
lim
n→∞
1
=0
n
und einige weitere Grenzwerte sind eine unmittelbare Folgerung. Beispielsweise ist
1
= 0,
n→∞ n2 + 1
lim
einfach da (1/(n2 + 1))n∈N eine Teilfolge von (1/n)n∈N ist. Wir wollen uns jetzt noch
einige weitere Beispiele konvergenter Folgen anschauen, diese sind schon etwas komplizierter werden im folgenden aber häufig eine Rolle spielen. Wir beginnen mit der
geometrischen Folge und hierzu sei eine komplexe Zahl q ∈ C gegeben. Wir behaupten
das dann
(q n )n∈N ist konvergent ⇐⇒ |q| < 1 oder q = 1
gilt und im Konvergenzfall ist
(
0, |q| < 1,
lim q n =
n→∞
1, q = 1.
Hier müssen einige Fälle unterschieden werden. Ist |q| > 1 so wissen wir schon das die
Folge (q n )n∈N unbeschränkt ist, also ist sie nach der Kontraposition von Lemma 2.(a)
auch divergent. Ist q = 0, so ist auch für jedes n ∈ N mit q ≥ 1 stets q n = 0, die
Folge (q n )n∈N konvergiert also gegen 0. Nun nehme 0 < |q| < 1 an, und wir behaupten
das (q n )n∈N auch in diesem Fall gegen Null konvergiert. Sei also > 0 gegeben. Wegen
1/|q| > 1 ist die Folge ((1/|q|)n )n∈N nicht nach oben beschränkt, es gibt also ein n0 ∈ N
mit
n0
1
1
1
=
>
n
0
|q|
|q|
und für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist damit auch
|q n | = |q|n ≤ |q|n0 < .
Wir haben also tatsächlich (q n )n∈N −→ 0. Im Fall q = 1 ist auch q n = 1 für jedes n ∈ N
und die Folge (q n )n∈N konvergiert gegen 1. Es verbleibt nur noch der komplizierteste
Fall |q| = 1 und q 6= 1. Wir müssen einsehen das die Folge (q n )n∈N dann divergiert, und
103
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
dies werden wir durch einen Widerspruch beweisen. Nehme also an das es ein a ∈ C
mit (q n )n∈N −→ a gibt. Wegen |q − 1| > 0 gibt es dann ein n ∈ N mit
|q m − a| <
|q − 1|
2
für jedes m ∈ N mit m ≥ n. Dies ergibt den Widerspruch
|q − 1| = |q|n |q − 1| = |q n+1 − q n | ≤ |q n+1 − a| + |q n − a| <
|1 − q| |1 − q|
+
= |1 − q|,
2
2
und die Divergenz von (q n )n∈N ist eingesehen.
Als nächstes Beispiel wollen wir die Folge
n
1
an = 1 +
n
auf Konvergenz untersuchen. Wir wissen bereits, dass diese Folge streng monoton steigend und nach oben beschränkt ist, genauer ist an < 3 für jedes n ∈ N. Der folgende
Satz zeigt, dass diese beiden Eigenschaften bereits die Konvergenz der Folge implizieren.
Satz 4.3 (Konvergenz monotoner Folgen)
Sei (an )n∈N eine reelle Folge.
(a) Ist (an )n∈N monoton steigend und nach oben beschränkt, so ist (an )n∈N auch konvergent mit
lim an = sup{an |n ∈ N}.
n→∞
(b) Ist (an )n∈N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist (an )n∈N auch konvergent mit
lim an = inf{an |n ∈ N}.
n→∞
Beweis: (a) Schreibe s := sup{an |n ∈ N}. Sei > 0. Nach §1.Lemma 3.(a) existiert
ein n0 ∈ N mit an0 > s − . Sei n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann ist
s − < an0 ≤ an ≤ s, also |an − s| = s − an < .
Dies zeigt (an )n∈N −→ s.
(b) Analog.
Dieser Satz ergibt insbesondere die Existenz des Grenzwerts
n
n
1
1
e := lim 1 +
= sup 1 +
.
n→∞
n
n
n∈N
104
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
Die Zahl e ist die Euler-Napiere Konstante e = 2, 71828 . . .. Die ersten Folgenglieder
von an = (1 + 1/n)n sind
9
64
625
7776
117649
5
a1 = 2, a2 = , a3 = , a4 =
, a5 =
, a6 =
> ,
4
27
256
3125
46656
2
und da außerdem 3 eine obere Schranke unserer Folge ist, folgt
5
< e ≤ 3.
2
Für die meisten Zwecke innerhalb der reinen Mathematik ist das schon mehr als genau
genug. Um bessere Abschätzungen von e zu erhalten, ist die definierende Folge nicht
gut geeignet. Will man beispielsweise die untere Abschätzung zu e > 2, 7 = 27/10
verbessern so muss bereits das Folgenglied (1 + 1/72)72 berechnet werden. Im nächsten
Kapitel werden wir e > 27/10 mit einer anderen Methode beweisen und auch eine
bessere obere Schranke als 3 herleiten.
In den bisher behandelten Beispielen und auch den Übungen dieser Woche können
wir sehen das die direkte Verwendung der Konvergenzdefinition zum Rechnen solcher
konkreten Beispiele oftmals recht schwerfällig ist, selbst relativ einfache Folgen bedürfen
zu ihrem Konvergenzbeweis ständiger Anwendungen der archimedischen Eigenschaft
der reellen Zahlen. Wir wollen daher im folgenden einige Rechenregeln für den Umgang mit Grenzwerten entwickeln, durch deren Anwendung man zur Berechnung von
Grenzwerten oftmals nicht mehr auf die Definition der Folgenkonvergenz zurückgehen
muss.
Wir werden beispielsweise
zeigen, dass für jede positive reelle Zahl c ∈ R mit c > 0
√
n
stets die Aussage
√ ( c)n≥1 −→ 1 gilt indem wir dies auf den schon berechneten Grenzwert limn→∞ n n = 1 zurückführen. Je mehr Grenzwerte bereits bekannt sind, desto
mehr Möglichkeiten hat man zur Anwendung der Rechenregeln für Folgengrenzwerte
und um so seltener muss man die –n0 -Definition der Folgenkonvergenz direkt verwenden. Als Startpunkt verwenden wir die sogenannten Nullfolgen, dies sind gerade die
gegen 0 konvergenten Folgen.
Definition 4.7 (Nullfolgen)
Sei K ∈ {R, C}. Eine Folge (an )n∈N in K heißt eine Nullfolge wenn (an )n∈N −→ 0 gilt.
Ausgeschrieben ist (an )n∈N also genau dann eine Nullfolge wenn
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : |an | < gilt. Offenbar ist eine reelle oder komplexe Folge (an )n∈N genau dann eine
Nullfolge
wenn die reelle Folge (|an |)n∈N eine Nullfolge ist, dies liegt daran das |an | = |an | für
jedes n ∈ N gilt.
Lemma 4.4 (Grundeigenschaften von Nullfolgen)
Sei K ∈ {R, C}. Dann gelten:
(a) Sind (an )n∈N und (bn )n∈N zwei Nullfolgen in K, so ist auch (an + bn )n∈N eine
Nullfolge in K.
105
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
(b) Sind (an )n∈N eine Nullfolge in K und c ∈ K, so ist auch (can )n∈N eine Nullfolge
in K.
(c) Sind (an )n∈N eine beschränkte Folge in K und (bn )n∈N eine Nullfolge in K, so ist
auch (an bn )n∈N eine Nullfolge in K.
(d) Sind (an )n∈N eine Folge in K und a ∈ K, so gilt genau dann (an )n∈N −→ a wenn
(an − a)n∈N eine Nullfolge ist.
(e) Sind (an )n∈N eine Folge in K und (bn )n∈N eine Nullfolge in R mit |an | ≤ bn für
alle n ∈ N, so ist auch (an )n∈N eine Nullfolge in K.
(f ) Sind (an )n∈N eine Nullfolge in R mit an > 0 für alle n ∈ N und α ∈ R mit α > 0,
so ist auch (aαn )n∈N eine Nullfolge.
Beweis: (a) Sei > 0. Dann existieren n1 , n2 ∈ N mit |an | < /2 für alle n ∈ N mit
n ≥ n1 und |bn | < /2 für alle n ∈ N mit n ≥ n2 . Setze n0 := max{n1 , n2 }. Für alle
n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann auch
|an + bn | ≤ |an | + |bn | <
+ = .
2 2
Damit ist (an + bn )n∈N eine Nullfolge in K.
(c) Es gibt eine Konstante c ≥ 0 mit |an | ≤ c für alle n ∈ N. Sei > 0. Dann existiert
ein n0 ∈ N mit |bn | < /(c + 1) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Ist n ∈ N mit n ≥ n0 , so ist
damit auch
c
|an bn | = |an | · |bn | ≤ c|bn | ≤
< .
c+1
Damit ist (an bn )n∈N eine Nullfolge in K.
(b) Klar nach (c).
(d,e) Klar.
(f ) Da die Folge (1/q)q≥1 eine Nullfolge ist, gibt es ein q ∈ N mit q ≥ 1 und 1/q < α.
√
Wir zeigen zunächst, dass ( q an )n∈N eine Nullfolge ist. Sei also > 0 gegeben. Dann
q
existiert ein n0 ∈ N mit a√
n < für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0
√
√
q
folgt damit auch q an < q = . Also ist ( q an )n∈N eine Nullfolge. Weiter existiert ein
n0 ∈ N mit 0 < an < 1 für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 , und für n ∈ N mit n ≥ n0 ist somit
auch
√
q
0 < aαn = inf{apn |p ∈ Q, p ≤ α} ≤ a1/q
an ,
n =
und schließlich ist (aαn )n∈N nach (e) eine Nullfolge.
Wir wollen noch ein paar Anmerkungen zum eben bewiesenen Lemma festhalten.
Zunächst beachte das konvergente Folgen nach Lemma 2.(a) auch beschränkt sind,
Aussage (c) des Lemmas ergibt also insbesondere, dass das Produkt einer konvergenten
Folge und einer Nullfolge wieder eine Nullfolge ist. Weiter ist es in Aussage (e) des
106
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Lemmas nicht wirklich nötig das |an | ≤ bn für alle n ∈ N gilt, es reicht aus das es einen
Startindex n0 ∈ N mit |an | ≤ bn für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt. Dies ist implizit bereits
im Lemma enthalten. Erinnern Sie sich daran, dass wir eingehends gesagt hatten, dass
implizit immer auch Folgen mit gemeint sind, die erst ab einem Startindex definiert
sind. Weiter ist es für die Konvergenz und den Grenzwert einer Folge offenbar egal
ob wir die Folge selbst oder dieselbe Folge ab einem anderen Startindex betrachten.
Wenden wir also Aussage (e) des Lemmas auf die Folgen (an )n≥n0 und (bn )n≥n0 an, so
ergibt sich genau die genannte stärkere Aussage. Tatsächlich haben wir (e) im Beweis
von (f) bereits genau in dieser verbesserten Form angewandt.
√
Unser Ziel ist noch immer einen –n0 freien“ Beweis der Aussage n c −→ 1 für
”
jedes c ∈ R mit c > 0 anzugeben. Das eben bewiesene Lemma über Nullfolgen ist ein
erster Schritt hierzu, und der zweite Schritt ist das folgende Lemma über reelle Folgen.
Lemma 4.5 (Anordnungseigenschaften reeller Grenzwerte)
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente, reelle Folgen.
(a) Gilt an ≤ bn für alle n ∈ N, so ist auch
lim an ≤ lim bn .
n→∞
n→∞
(b) Gilt lim an = lim bn und ist (un )n∈N eine weitere reelle Folge mit an ≤ un ≤ bn
n→∞
n→∞
für alle n ∈ N, so ist auch die Folge (un )n∈N konvergent mit
lim un = lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Beweis: (a) Seien a der Grenzwert von (an )n∈N und b der Grenzwert von (bn )n∈N .
Angenommen es wäre a > b. Dann ist := (a − b)/2 > 0 und es gibt n1 , n2 ∈ N mit
|an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ n1 und |bn − b| < für alle n ∈ N mit n ≥ n2 . Setze
n := max{n1 , n2 }. Dann ist
an = a − (a − an ) ≥ a − |an − a| > a − = a −
a+b
a−b
a−b
=
=b+
=b+
2
2
2
> b + |bn − b| ≥ b + bn − b = bn ,
im Widerspruch zu unserer Annahme an ≤ bn . Dies beweist die Behauptung a ≤ b.
(b) Sei a der gemeinsame Grenzwert der Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N . Für jedes n ∈ N
gelten
un − a ≤ bn − a ≤ |bn − a| und − (un − a) = a − un ≤ a − an ≤ |an − a|,
also auch
|un − a| ≤ max{|an − a|, |bn − a|} ≤ |an − a| + |bn − a|.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
Nach Lemma 4.(a,d,e) ist (un − a)n∈N eine Nullfolge, d.h. auch die Folge (un )n∈N konvergiert gegen a.
Die Aussage (b) des Lemmas wird manchmal auch als das Einschnürungslemma“
”
oder Sandwichlemma“ bezeichnet. Beachte das es auch für dieses Lemma reicht die
”
Ungleichungen an ≤ bn beziehungsweise an ≤ un ≤ bn nur für alle n ∈ N mit n ≥ n0
für einen Startindex n0 ∈ N zu fordern. Auch dies liegt daran, dass immer auch Folgen
mit gemeint sind, die erst ab einem gewissen Startindex definiert sind. Zur Illustration
der
√ jetzt bewiesenen Lemmata wollen wir uns noch einmal den Beweis der Aussage
( n n)n∈N −→ 1 anschauen. Wir hatten gezeigt, dass für jedes n ∈ N mit n ≥ 2 die
Ungleichung
r
√
2
n
0< n−1≤
n−1
gilt. Weiter ist die Folge (1/(n − 1))n∈N alspTeilfolge einer Nullfolge wieder eine Nullfolge
und nach Lemma 4.(b,f) ist auch ( 2/(n − 1))n∈N eine Nullfolge. Damit ist
√
n
( n − 1)
√n∈N nach dem Einschnürungslemma Lemma 5.(b) eine Nullfolge, d.h. wir
haben ( n n)n∈N −→ 1. Beachte das wir die Konvergenzaussage diesmal direkt aus der
obigen Ungleichung gefolgert haben, ein Argumentieren über die Konvergenzdefinition
mit und n0 war gar nicht mehr nötig. Diesen Effekt werden wir noch häufiger sehen,
der Nullfolgenbegriff und das unterstützende Lemma 4 erlauben es viele, aber nicht
alle, -Überlegungen“ durch einfacheres Schließen zu ersetzen.
”
Als eine weitere Anwendung des Einschnürungslemmas wollen wir jetzt, wie schon
angekündigt,
√
lim n c = 1
n→∞
für alle c ∈ R mit c ≥ 1 beweisen. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen
Zahlen §1.Lemma 5 gibt es ein n0 ∈ N mit n0 ≥ c. Für alle n ∈ N mit n ≥ n0 ≥ c ist
damit auch
√
√
1 ≤ n c ≤ n n,
√
n
und da wir bereits
(
n)n∈N −→ 1 wissen, folgt mit dem Einschnürungslemma Lemma
√
n
5.(b) auch ( c)n∈N −→ 1.
Wir kommen nun zu den arithmetischen Eigenschaften des Grenzwertbegriffs,
dies
√
wird uns dann beispielsweise erlauben den Grenzwert der Folge ( n c)n≥1 im Fall 0 <
c < 1 auf den schon erledigten Fall c ≥ 1 zurückzuführen.
Satz 4.6 (Rechenregeln für Folgengrenzwerte)
Sei K ∈ {R, C} und seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen in K.
(a) Die Folge (an + bn )n∈N ist konvergent mit
lim (an + bn ) = lim an + lim bn .
n→∞
n→∞
108
n→∞
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
(b) Für jedes c ∈ K ist die Folge (can )n∈N konvergent mit
lim (can ) = c · lim an .
n→∞
n→∞
(c) Die Folge (an bn )n∈N ist konvergent mit
lim (an bn ) = lim an · lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
(d) Ist limn→∞ bn 6= 0 und gilt bn 6= 0 für alle n ∈ N, so ist die Folge (an /bn )n∈N
konvergent mit
lim an
an
n→∞
=
.
lim
n→∞ bn
lim bn
n→∞
Beweis: Seien a der Grenzwert von (an )n∈N und b der Grenzwert von (bn )n∈N .
(a) Die Folge ((an + bn ) − (a + b))n∈N = ((an − a) + (bn − b))n∈N ist nach Lemma 4.(a,d)
eine Nullfolge.
(b) Die Folge (can − ca)n∈N = (c(an − a))n∈N ist nach Lemma 4.(b,d) eine Nullfolge.
(c) Nach Lemma 2.(a) ist die Folge (an )n∈N beschränkt, und damit ist die Folge
(an bn − ab)n∈N = (an bn − an b + an b − ab)n∈N = (an (bn − b) + b(an − a))n∈N
nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge.
(d) Es gibt ein n0 ∈ N mit |bn − b| < |b|/2 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N
mit n ≥ n0 folgen damit auch
1
|b|
|b|
2
1
|bn | = |b − (b − bn )| ≥ |b| − |bn − b| > |b| −
=
und =
< ,
2
2
bn
|bn |
|b|
d.h. die Folge (1/bn )n∈N ist beschränkt. Damit ist die Folge
an a
an b − abn
an b − ab + ab − abn
−
=
=
bn
b n∈N
bn b
bn b
n∈N
n∈N
1
a
=
· (an − a) −
· (bn − b)
bn
bn b
n∈N
nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge.
Die Forderung bn 6= 0 für alle n ∈ N in Aussage (d) ist eigentlich nicht nötig. Im
Beweis von (d) haben wir ja gesehen, dass es ein n0 ∈ N mit |bn | > |b|/2 für alle n ∈ N
mit n ≥ n0 gibt, und damit ist insbesondere auch bn 6= 0 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 .
Betrachten wir also wieder die Folge ab dem Startindex n0 , so ergibt sich (d) auch in
diesem Fall, solange wir uns die Folge (an /bn )n≥n0 als ab dem Startindex n0 definiert
denken. Die Voraussetzung b 6= 0 ist dagegen wirklich nötig. Wir wollen jetzt ein paar
Beispiele zur Anwendung der Grenzwertregeln behandeln.
109
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 28.11.2016
1. Sei eine reelle Zahl c ∈ (0, 1) gegeben. Dann ist 1/c > 1 und somit folgt
lim
√
n
n→∞
1
c = lim q =
n→∞
n
1
c
1
lim
n→∞
q = 1,
n
1
c
da wir den √
Grenzwert im Nenner bereits früher zu 1 berechnet hatten. Insgesamt
ist damit ( n c)n≥1 −→ 1 für überhaupt jedes c ∈ R mit c > 0 gezeigt.
√
2. Tatsächlich erlaubt
uns der Satz auch die Grenzwerte der Folgen ( n c)n≥1 für
√
c ≥ 1 und ( n n)n≥1 zu bestimmen ohne eine explizite Abschätzung herleiten
√
zu müssen. Sei nämlich c ∈ R mit c ≥ 1 gegeben. Dann ist die Folge ( n c)n≥1
monoton fallend und durch 1 nach unten beschränkt, also konvergiert diese Folge
nach Satz 3.(b) gegen ein a ≥ 1. Unsere Rechenregeln liefern damit
√ 2
√
√
a2 = lim 2n c = lim ( 2n c)2 = lim n c = a,
n→∞
n→∞
b→∞
√
und wegen a ≥ 1 folgt a = 1. √
Entsprechend kann man dann für ( n n)n≥1 schließen. Zunächst ist die Folge ( n n)n≥3 monoton fallend und durch 1 nach unten
beschränkt, konvergiert also wieder gegen ein a ≥ 1. Dann rechnen wir
√
√
√
√ n
n
2n
a2 = lim ( 2n)2 = lim 2n = lim 2 · lim n n = a,
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
und haben wieder a = 1.
3. Wir wollen jetzt den schon recht kompliziert aussehenden Grenzwert
2n3 − 2n + 7
n→∞ n3 + 3n + 1
lim
behandeln. Erweitern wir Zähler und Nenner mit 1/n3 und erinnern uns an den
schon bekannten Grenzwert 1/n −→ 0, so rechnen wir mit den Grenzwertregeln
2−
2n3 − 2n + 7
= lim
lim 3
n→∞ n + 3n + 1
n→∞ 1 +
2
n2
3
n2
+
+
7
n3
1
n3
=
lim 2 −
2
n2
+
7
n3
lim 1 +
3
n2
+
1
n3
n→∞
n→∞
= 2.
4. Ein ähnliches, scheinbar noch komplizierteres, Beispiel ist der Grenzwert
2n2 − n cos(n) + 3 sin(n4 + 1)
.
n→∞
3n2 + n + (−1)n
lim
Wir erweitern mit 1/n2 , und erhalten
sin(n4 +1)
2 − cosn n + 3 n2
2n2 − n cos(n) + 3 sin(n4 + 1)
lim
=
lim
n
n→∞
n→∞
3n2 + n + (−1)n
3 + 1 + (−1)2
n
110
n
.
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
Nun ist (1/n)n≥1 eine Nullfolge und (cos n)n∈N eine beschränkte Folge, da der
Cosinus ja nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt, also ist (cos(n)/n)n≥1 nach
Lemma 4.(c) eine Nullfolge. Ebenso sind (3 sin(n4 + 1)/n2 )n≥1 und ((−1)n /n2 )n≥1
Nullfolgen, es gilt also
sin(n4 +1)
2 − cosn n + 3 n2
2n2 − n cos(n) + 3 sin(n4 + 1)
=
lim
lim
n
n→∞
n→∞
3n2 + n + (−1)n
3 + 1 + (−1)2
n
n
2
= .
3
Vorlesung 12, Freitag 2.12.2016
In der letzten Sitzung haben wir die Rechenregeln für Folgengrenzwerte hergeleitet
und mit diesen auch bereits einige Beispiele behandeln können. Als ein weiteres Beispiel zur Anwendung der Grenzwertregeln wollen wir die letzten beiden Beispiele noch
etwas ausweiten, und allgemein den Grenzwert von Folgen berechenen die als rationale
Ausdrücke in n gegeben sind, also als Quotient von Polynomen in n. Zur Vorbereitung
beweisen wir ein kleines Lemma über das Wachstumsverhalten von Polynomen.
Lemma 4.7 (Wachstumsverhalten von Polynomen)
Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N, > 0 und a0 , . . . , an ∈ K mit an 6= 0 gegeben. Dann existiert
eine reelle Zahl r > 0 so, dass für jedes x ∈ K mit |x| ≥ r stets
n
X
n
k
(|an | − )|x| < ak x < (|an | + )|x|n
k=0
gilt.
Beweis: Für n = 0 ist dies klar, wir können also n ≥ 1 annehmen. Setze
M := max{|a0 |, |a1 |, . . . , |an−1 |} und r := 1 +
nM
≥ 1.
Sei x ∈ K mit |x| ≥ r gegeben. Wegen r ≥ 1 ist dann auch |x| ≥ 1 und für jedes
0 ≤ k < n ist damit |xk | = |x|k ≤ |x|n−1 . Damit folgt weiter
n−1
n−1
n−1
n−1
X
X
X
X
nM n
k
k
k
|x|
ak x ≤
|ak x | =
|ak | · |x | ≤
M |x|n−1 = nM |x|n−1 =
|x|
k=0
k=0
k=0
k=0
≤
111
nM n
|x| < |x|n .
r
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
Dies ergibt weiter
n−1
n
X
X
ak xk < |an | · |x|n + |x|n = (|an | + )|x|n ,
ak xk ≤ |an | · |x|n + k=0
k=0
n
n−1
X
X
k
n
k
a
x
≥
|a
|
·
|x|
−
a
x
> |an | · |x|n − |x|n = (|an | − )|x|n .
n
k
k
k=0
k=0
Damit ist das Lemma vollständig bewiesen.
Das Lemma ist eine quantitative Form der Aussage das Polynome wie ihr höchstes
Glied wachsen. Wählen wir insbesondere = |an |/2 > 0, so wird das Lemma zu
n
X
3
|an |
· |x|n < ak xk < |an | · |x|n ≤ 2|an | · |x|n
2
2
k=0
für alle x ∈ K mit |x| ≥ r. Insbesondere gilt für x ∈ K mit |x| ≥ r > 0 damit
an xn + · · · + a0 6= 0, die Nullstellen des Polynoms haben also alle einen Betrag kleiner
als r. Mit diesem Lemma können wir jetzt allgemein die Konvergenz von Folgen behandeln deren n-tes Folgenglied eine rationale Funktion in n ist, also ein Quotient zweier
Polynome in n. Das Konvergenzverhalten derartiger Folgen hängt hauptsächlich vom
Grad der beiden Polynome ab, und es treten drei verschiedene Fälle auf je nachdem
ob der Zählergrad größer ist als der Nennergrad oder der Zählergrad kleiner ist als der
Nennergrad oder ob die beiden gleich sind.
Satz 4.8 (Rationale Folgen in n)
Seien K ∈ {R, C}, r, s ∈ N und a0 , . . . , ar , b0 , . . . , bs ∈ K mit ar 6= 0 und bs 6= 0. Dann
gelten:
(a) Ist r < s, so ist
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0
= 0.
n→∞ bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0
lim
(b) Ist r = s, so ist
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0
ar
= .
r
r−1
n→∞ br n + br−1 n
+ · · · + b0
br
lim
(c) Ist r > s, so ist die Folge
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0
bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0
divergent.
112
n
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
Beweis: Nach Lemma 7 gibt es reelle Konstanten t1 , t2 > 0 mit
r
X
|ar |
ak xk < 2|ar | · |x|r und
· |x|r < ∀(x ∈ K, |x| ≥ t1 ) :
2
k=0
s
X
|bs |
∀(x ∈ K, |x| ≥ t2 ) :
bk xk < 2|bs | · |x|s .
· |x|s < 2
k=0
Nach §1.Lemma 5 existiert weiter ein n0 ∈ N mit n0 ≥ max{t1 , t2 }. Insbesondere ist
|bs ns + · · · + b0 | > 0 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 , die betrachtete rationale Folge ist also
ab dem Startwert n0 überhaupt definiert.
(a) Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 gilt
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 |ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 |
4|ar | 1
bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0 = |bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0 | < |bs | ns−r ,
und die Behauptung folgt mit Lemma 4.(b,e).
(b) Nach Satz 6.(a,b) gelten
lim
n→∞
r
X
ak
k=0
1
nr−k
= ar und lim
n→∞
r
X
k=0
bk
1
nr−k
= br ,
also ist nach Satz 6.(d) auch
ar + ar−1 n1 + · · · + a0 n1r
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0
ar
lim
= lim
= .
1
1
r
r−1
n→∞ br n + br−1 n
n→∞ br + br−1 + · · · + b0 r
+ · · · + b0
br
n
n
(c) Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 gilt
ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 |ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 |
|ar | r−s
|ar |
≥
n,
bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0 = |bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0 | > 4|bs | n
4|bs |
und nach §1.Lemma 5 ist dies nicht nach oben beschränkt. Die Behauptung folgt nun
mit Lemma 2.(a).
Die im Beweis des Satzes hergeleiteten Abschätzungen erlauben es auch noch weitere
Grenzwerte zu berechnen. Übernehmen wir die Bezeichungen des Satzes so haben wir
gesehen das es ein n0 ∈ N mit |bs ns + · · · + b0 | > 0 und
|ar | r−s ar nr + · · · + a0 4|ar | r−s
n
<
<
n
4|bs |
bs n s + · · · + b0 |bs |
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt. Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist damit auch
s
s
s
r
√
√
ar n + · · · + a0 n |ar |
n 4|ar |
n
<
n)r−s
· ( n n)r−s < n ·
(
s
4|bs |
bs n + · · · + b0
|bs |
113
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
√
√
und mit den uns schon bekannten Grenzwerten ( n n)n≥1 −→ 1 und ( n c)n≥1 −→ 1
für jedes c > 0 sowie den Rechenregeln für Folgengrenzwerte folgt das die linke und
rechte Seite dieser Abschätzung beide gegen 1 konvergieren. Das Einschnürungslemma
Lemma 5.(b) liefert schließlich
s
r
n ar n + · · · + a0 lim
bs ns + · · · + b0 = 1.
n→∞
Zum Ende dieses Abschnitts wollen wir noch einen letzten
wichtigen Begriff einführen, der den Grenzwertbegriff etwas
verallgemeinert. Wir schauen uns zunächst einmal das Beispiel
der Folge
an = (−1)n
1
0.5
wie nebenstehend gezeigt an. Diese Folge ist natürlich nicht
konvergent, sie besitzt ja beispielsweise konvergente Teilfolgen,
die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren. Man ist trotzdem versucht zu sagen, dass +1 und −1 zwar keine Grenzwerte aber etwas Grenzwertartiges“ sind. Man spricht hier von
”
Häufungspunkten der Folge (an )n∈N . Es gibt im wesentlichen zwei verschiedene, aber
äquivalente, Arten einen Häufungspunkt zu definieren, einmal über Teilfolgen und einmal über eine –n0 Definition“. Wir wählen hier die erste Möglichkeit und beweisen
”
anschließend, dass sie zur zweiten Version äquivalent ist.
0
5
10
15
20
–0.5
–1
Definition 4.8 (Häufungspunkte einer Folge)
Sei K ∈ {R, C} und sei (an )n∈N eine Folge in K. Ein Element a ∈ K heißt ein Häufungspunkt von (an )n∈N wenn es eine gegen a konvergente Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N gibt.
Einige Beispiele von Häufungspunkten sind wie folgt:
1. Ist (an )n∈N −→ a ∈ K, so konvergiert nach Lemma 1.(a) auch jede Teilfolge von
(an )n∈N gegen a, d.h. a ist der einzige Häufungspunkt von (an )n∈N .
2. Die Folge ((−1)n )n∈N hat genau zwei Häufungspunkte nämlich −1 und 1.
3. Die Folge (sin(n))n∈N hat jede reelle Zahl a ∈ [−1, 1] als Häufungspunkt. Das ist
nicht mehr so offensichtlich, auf einen Beweis wollen wir aber verzichten.
Kommen wir nun zur äquivalenten –n0 Definition von Häufungspunkten. Dass eine
Folge (an )n∈N gegen eine Zahl a konvergiert bedeutet das sie a ab einem gewissen Index
stets bis auf eine beliebig vorgegebene Fehlerschranke > 0 nahe kommt. Dass a ein
Häufungspunkt ist bedeutet dagegen nur das die Folge der Zahl a immer wieder beliebig
nahe kommt.
Lemma 4.9 (Charakterisierung von Häufungspunkten)
Sei K ∈ {R, C} und seien (an )n∈N eine Folge in K und a ∈ K. Dann ist a genau dann
114
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
ein Häufungspunkt der Folge (an )n∈N wenn es für jedes > 0 und jedes n0 ∈ N stets
ein n ∈ N mit n ≥ n0 und |an − a| < gibt.
Beweis: ”=⇒” Es gibt eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit (ank )k∈N −→ a. Seien
> 0 und n0 ∈ N gegeben. Dann existiert ein k0 ∈ N mit |ank − a| < für alle k ∈ N
mit k ≥ k0 . Setze k := max{k0 , n0 } ∈ N. Dann ist nk ∈ N mit nk ≥ k ≥ n0 und
|ank − a| < .
”⇐=” Zunächst existiert ein n0 ∈ N mit |an0 − a| < 1. Ist k ∈ N und ist nk schon
definiert, so wähle ein nk+1 ∈ N mit nk+1 ≥ nk + 1 > nk und |ank+1 − a| < 1/(k + 2).
Induktiv wird so eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit |ank − a| < 1/(k + 1) für
alle k ∈ N definiert. Nach Lemma 4.(d,e) gilt auch (ank )k∈N −→ a. Damit ist a ein
Häufungspunkt der Folge (an )n∈N .
In logischen Quantoren geschrieben, wird die Bedingung des Lemmas zu
∀( > 0)∀(n0 ∈ N)∃(n ≥ n0 ) : |an − a| < .
Während die Konvergenzdefinition fordert, dass die Folge ab einem geeigneten Index
ganz in einem beliebig kleinen vorgegebenen Kreis mit Mittelpunkt a liegt, wird hier
nur gefordert, dass die Folge immer wieder in einen solchen Kreis zurückkehrt. Das
Verhalten von Häufungspunkten bezüglich Addition und Multiplikation von Folgen
kann recht kompliziert sein, es gibt allerdings einen Fall der sich gut behandeln läßt,
wenn nämlich eine der beteiligten Folgen konvergent ist.
Lemma 4.10: Seien K ∈ {R, C}, (an )n∈N eine Folge in K und
H := {a ∈ K |a ist ein Häufungspunkt von (an )n∈N }
die Menge der Häufungspunkte von (an )n∈N in K. Weiter seien b ∈ K und (bn )n∈N eine
konvergente Folge in K mit (bn )n∈N −→ b. Dann gelten
(a) Die Menge M := {a + b|a ∈ H} ist die Menge der Häufungspunkte der Folge
(an + bn )n∈N .
(b) Ist b 6= 0, so ist die Menge N := {ab|a ∈ H} die Menge der Häufungspunkte der
Folge (an bn )n∈N .
Beweis: Sei a ∈ H. Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit (ank )k∈N −→
a, also ist nach Lemma 1.(a) und Satz 6.(a,c) auch (ank + bnk )k∈N −→ a + b und
(ank bnk )k∈N −→ ab, d.h. a + b ist ein Häufungspunkt von (an + bn )n∈N und ab ein
Häufungspunkt von (an bn )n∈N . Dies beweist jeweils eine der beiden Inklusionen in (a)
beziehungsweise (b).
(a) Sei umgekehrt a ∈ K ein Häufungspunkt der Folge (an + bn )n∈N . Da nach Lemma
6.(b) auch (−bn )n∈N −→ −b gilt, ergibt die bereits bewiesene Teilaussage das a0 := a−b
115
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
ein Häufungspunkt der Folge (an )n∈N = ((an + bn ) − bn )n∈N ist, d.h. es gilt a0 ∈ H und
somit a = a0 + b ∈ M .
(b) Sei nun a ∈ K ein Häufungspunkt der Folge (an bn )n∈N . Wegen b 6= 0 ergibt Satz
6.(d) auch (1/bn )n≥n0 −→ 1/b für ein geeignetes n0 ∈ N und somit ist a0 := a/b ∈
K nach der bereits bewiesenen Teilaussage ein Häufungspunkt der Folge (an )n≥n0 =
((an bn )/bn )n≥n0 , also auch ein Häufungspunkt der Folge (an )n∈N , und somit a0 ∈ H.
Damit haben wir auch a = a0 b ∈ N .
Im Fall b = 0 kann die Aussage (b) des Lemmas tatsächlich falsch werden, ist etwa
an = n und bn = 1/n für alle n ∈ N mit n ≥ 1, so ist H = ∅ aber an bn = 1 für alle
n ∈ N mit n ≥ 1 und (an bn )n∈N hat den Häufungspunkt 1.
4.2
Reelle Zahlenfolgen
In diesem Abschnitt wollen wir auf einige spezielle Eigenschaften diskutieren, die nur
den reellen aber nicht den komplexen Fall betreffen. Die Folgen ((−1)n )n∈N und (n)n∈N
sind beide divergent, aber auf sehr verschiedene Weise. Man ist versucht zu sagen,
dass letztere Folge gegen +∞ konvergiert, und eine derartige Verallgemeinerung des
Konvergenzbegriffs stellt sich tatsächlich als sinnvoll heraus. Zur exakten Definition
müssen wir uns nur an die in §1.4 eingeführten erweiterten reellen Zahlen R = R ∪
{−∞, +∞} erinnern. Konvergenz gegen ±∞ kann in R wie folgt definiert werden:
Definition 4.9 (Konvergenz in R)
Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge.
(a) Die Folge (an )n∈N konvergiert in R gegen +∞ wenn es für jedes c ∈ R ein n0 ∈ N
mit an > c für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt.
(b) Die Folge (an )n∈N konvergiert in R gegen −∞ wenn es für jedes c ∈ R ein n0 ∈ N
mit an < c für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt.
Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen §1.Lemma 5 ist beispielsweise
(n)n∈N −→ +∞. In Formeln ausgedrückt ist
(an )n∈N −→ +∞ ⇐⇒ ∀(c ∈ R)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : an > c,
(an )n∈N −→ −∞ ⇐⇒ ∀(c ∈ R)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : an < c.
Weiter sagen wir das eine reelle Zahlenfolge (an )n∈N in R konvergiert, wenn sie entweder
in R konvergiert oder in R gegen ±∞ konvergiert. Der Zusatz in R“ ist hier wichtig,
”
wenn nur von Konvergenz die Rede ist, so ist dies im Sinne der Definition des vorigen
Abschnitts gemeint, also ohne ±∞ als Grenzwerte zuzulassen. In der Literatur finden
Sie oft auch die alternative Bezeichnung bestimmt divergent gegen +∞ beziehungs”
weise −∞“ oder auch divergent gegen ±∞“. Wir sprechen hier von Konvergenz in
”
”
R“ da die formalen Eigenschaften der Konvergenz in R beinahe identisch mit denen
der gewöhnlichen Konvergenz sind.
116
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
Auf zwei Mißverständnisse wollen wir hier gesondert hinweisen. Eine divergente
Folge muss keinesfalls gegen +∞ oder −∞ konvergieren, beispielsweise sind die Folgen
an = (−1)n oder an = (−1)n n beide divergent und auch nicht in R konvergent. Weiter
muss eine gegen +∞ konvergente Folge keinesfalls monoton steigend sein, sie muss nur
schließlich über jeder vorgegebenen Grenze liegen, darf aber ruhig immer mal wieder
kleiner werden. Ein Beispiel hierfür ist etwa die Folge an = n + 2(−1)n .
Die Aussagen des vorigen Abschnitts übertragen sich, soweit sinnvoll, auch auf die
Konvergenz in R. Insbesondere gelten die Rechenregeln für Grenzwerte solange die
rechte Seite überhaupt definiert ist, also beispielsweise nicht von der Form ∞ − ∞ oder
0 · ∞ ist. Für den Quotienten konvergenter Folgen kann man dabei zusätzlich zu den
Regeln aus §1.4 noch
x
x
=
:= 0
+∞
−∞
für alle x ∈ R und
−∞
+∞
:= sign(x) · ∞ sowie
:= − sign(x) · ∞
x
x
für alle x ∈ R\{0} vereinbaren. Auch einen Zusammenhang mit Nullfolgen kann man
leicht herstellen, für eine reelle oder komplexe Zahlenfolge (an )n∈N mit an 6= 0 für alle
n ∈ N ist genau dann |an | −→ +∞ wenn (1/an )n∈N eine Nullfolge ist. Schließlich kann
man im reellen Fall die Divergenzaussage in Satz 8.(c) noch zu
ar n r + · · · + a0
= sign(ar ) · sign(bs ) · ∞
n→∞ bs ns + · · · + b0
lim
für r > s verschärfen. Da all dies sehr den Überlegungen des vorigen Abschnitts ähnelt,
haben wir in der Vorlesung auf den Beweis all dieser Dinge verzichtet, in diesem Skript
wollen wir aber ruhig die vollständigen Beweise angeben.
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei reelle Zahlenfolgen.
1. Ist (an )n∈N −→ +∞, so ist (an )n∈N offenbar nach oben unbeschränkt aber nach
unten beschränkt. Letzteres gilt da es ein n0 ∈ N mit an > 0 für alle n ≥ n0
gibt und setzen wir c := min{0, a0 , . . . , an0 −1 }, so ist an ≥ c für alle n ∈ N. Ist
(an )n∈N −→ −∞, so ist (an )n∈N analog nach unten unbeschränkt und nach oben
beschränkt.
2. Konvergiert (an )n∈N in R gegen ein a ∈ R, so konvergiert auch jede Teilfolge von
(an )n∈N gegen a. Dies ist analog zu Lemma 1.(a).
3. Die Folge (an )n∈N kann auch in R höchstens gegen ein a ∈ R konvergieren. In der
Tat, nach Lemma 1.(b) gibt es höchstens einen reellen Grenzwert. Nach Aussage
(1) und Lemma 2.(a) kann die Folge auch nicht gleichzeitig gegen eine reelle Zahl
und ±∞ konvergieren. Schließlich kann sie nach (1) auch nicht gleichzeitig gegen
+∞ und −∞ konvergieren. Für eine in R konvergente Folge schreiben wir auch
wieder
lim an ∈ R
n→∞
117
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
für den eindeutig bestimmten Grenzwert in R.
4. Setzen wir | + ∞| := | − ∞| := ∞, so überträgt sich auch Lemma 2.(b) auf in
R konvergente Folgen. Für den Fall eines reellen Grenzwerts ist dies das Lemma
2.(b) und für den Grenzwert ±∞ ist die Aussage klar.
5. Der Satz 3 erweitert sich zu der Aussage das überhaupt jede monoton steigende
reelle Zahlenfolge in R gegen ihr Supremum konvergiert und jede monoton fallende reelle Zahlenfolge gegen ihr Infimum konvergiert. Nehme etwa an das (an )n∈N
eine monoton steigende reelle Folge ist. Ist (an )n∈N dann nach oben beschränkt so
konvergiert (an )n∈N nach Satz 3 gegen das Supremum sup{an |n ∈ N}. Ist (an )n∈N
dagegen nach oben unbeschränkt, so ist zunächst sup{an |n ∈ N} = ∞ und wir
müssen (an )n∈N −→ ∞ einsehen. Ist jetzt c ∈ R, so ist c keine obere Schranke der
Folge (an )n∈N , es gibt also ein n0 ∈ N mit an0 > c. Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0
ergibt die vorausgesetzte Monotonie unserer Folge dann auch an ≥ an0 > c. Also
ist tatsächlich (an )n∈N −→ ∞. Für monoton fallende Folgen können wir dann
analog vorgehen.
6. Die beiden Aussagen von Lemma 5 übertragen sich offenbar auf die Konvergenz
in R. Etwas genauer können wir sagen: Sind (an )n∈N und (bn )n∈N zwei reelle
Zahlenfolgen mit an ≤ bn für alle n ∈ N und (an )n∈N −→ +∞, so ist auch
(bn )n∈N −→ +∞. Ist nämlich c ∈ R, so existiert ein n0 ∈ N mit an > c für alle
n ∈ N mit n ≥ n0 , und für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist damit auch bn ≥ an > c.
Analog folgt aus an ≤ bn für alle n ∈ N und (bn )n∈N −→ −∞ auch (an )n∈N −→
−∞. Aus dieser Beobachtung folgen nun alle Aussagen des Lemma 5 wenn einer
der beteiligten Grenzwerte ±∞ ist.
7. Auch die Rechenregeln für Folgengrenzwerte Satz 6 gelten für in R konvergente Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N soweit die rechte Seite überhaupt definiert ist. Seien
nämlich a, b die jeweiligen Grenzwerte der beiden Folgen. Sind a, b ∈ R so wissen
wir bereits alles nach Satz 6, es sind also nur noch die Fälle zu betrachten in denen ±∞ als Grenzwerte vorkommen. Wir gehen dies der Reihe nach für Summen,
Produkte und Quotienten durch.
(a) Wir beginnen mit der Summenfolge. Damit a + b definiert ist, muss {a, b} =
6
{+∞, −∞} gelten. Sei etwa a = ∞. Dann ist b ∈ R ∪ {∞} und auf jeden
Fall ist (bn )n∈N damit nach unten beschränkt, es gibt also ein d ∈ R mit
bn ≥ d für alle n ∈ N. Sei c ∈ R. Dann existiert ein n0 ∈ N mit an > c − d
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 und für n ∈ N mit n ≥ n0 folgt damit auch
an + bn ≥ an + d > c − d + d = c. Folglich ist (an + bn )n∈N −→ +∞ = a + b.
Die anderen Fälle sind analog.
(b) Nun kommen wir zu den Produkten, dies ist etwas komplizierter da wir
diesmal auch die Vorzeichen von a und b berücksichtigen müssen. Damit
a · b definiert ist muss a, b 6= 0 sein, da wir ja a ∈ {+∞, −∞} oder b ∈
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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{+∞, −∞} annehmen. Wir betrachten zunächst den Fall a = +∞. Wir
behaupten das es ein n1 ∈ N und eine Konstante β > 0 gibt so, dass für alle
n ∈ N mit n ≥ n1 im Fall b > 0 stets bn > β ist und im Fall b < 0 stets
bn < −β ist. Hierzu unterscheiden wir drei verschiedene Fälle. Zunächst sei
b ∈ R und setze β := |b|/2 > 0. Es gibt ein n1 ∈ N mit |bn − b| < |b|/2 für
alle n ∈ N mit n ≥ n1 . Ist weiter b > 0, so folgt für alle n ∈ N mit n ≥ n1
auch bn = b − (b − bn ) ≥ b − |bn − b| > b − |b|/2 = |b|/2 = β, und ist b < 0
so ist für alle n ∈ N mit n ≥ n1 analog auch bn < −|b|/2 = −β. Ist dagegen
b ∈ {+∞, −∞}, so setze β := 1 > 0. Im Fall b = +∞ existiert ein n1 ∈ N
mit bn > 1 = β für alle n ∈ N mit n ≥ n1 und im Fall b = −∞ gibt es
ebenso ein n1 ∈ N mit bn < −1 = −β für alle n ∈ N mit n ≥ n1 .
Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Nun sei ein c ∈ R gegeben.
Dann existiert ein n2 ∈ N mit an > |c|/β für alle n ∈ N mit n ≥ n2 . Setze
n0 := max{n1 , n2 }. Sei n ∈ N mit n ≥ n0 gegeben. Im Fall b > 0 haben wir
dann bn > β > 0 und somit
an b n >
|c|
|c|
bn ≥
· β = |c| ≥ c,
β
β
und im Fall b < 0 haben wir wegen bn < −β < 0 analog
an bn <
|c|
|c|
bn ≤ − · β = −|c| ≤ c.
β
β
Dies zeigt (an bn )n∈N −→ +∞ wenn b > 0 ist und (an bn )n∈N −→ −∞ wenn
b < 0 ist, wir haben also
lim (an bn ) = sign(b) · ∞ = (+∞) · b = lim an · lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Dabei interpretieren wir sign(+∞) := 1 und sign(−∞) := −1. Damit ist
alles gezeigt wenn a = +∞ ist. Die anderen drei Fälle, also a = −∞ oder
b = ±∞ folgen analog.
(c) Schließlich kommen wir zu den Quotienten. Wir schicken eine kleine Hilfsbehauptung voraus: Ist K ∈ {R, C} und ist (cn )n∈N eine Folge in K mit
cn 6= 0 für alle n ∈ N so gilt
1
ist eine Nullfolge.
lim |cn | = +∞ ⇐⇒
n→∞
cn n∈N
Dies ist im wesentlichen nur eine Umformulierung.
”=⇒” Nehme also (|cn |)n∈N −→ +∞ an. Sei > 0 gegeben. Dann existiert
ein n0 ∈ N mit |cn | > 1/ für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit
n ≥ n0 ist damit auch
1
= 1 < .
cn |cn |
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Dies zeigt (1/cn )n∈N −→ 0.
”⇐=” Sei c ∈ R. Dann existiert ein n0 ∈ N mit
1
1
1
= <
|cn |
cn
|c| + 1
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist damit auch
|cn | > |c| + 1 > |c| ≥ c,
und wir haben (|cn |)n∈N −→ +∞ eingesehen.
Damit ist diese erste Behauptung bewiesen. Im reellen Fall K = R kann
man die Aussage noch etwas verfeinern. Ist (cn )n∈N eine Nullfolge und haben
alle Folgenglieder dasselbe Vorzeichen σ ∈ {−1, 1}, so ist |cn | = σcn für alle
n ∈ N und es folgt (cn )n∈N −→ σ ·∞. Wir kommen jetzt zur Behandlung der
Quotientenfolge (an /bn )n∈N wobei wieder bn 6= 0 für alle n ∈ N vorausgesetzt
sei. Ist a ∈ R und b ∈ R\{0}, so sind wir in der Situation von Satz 6.(d). Nun
sei a ∈ R und b ∈ {−∞, +∞}. Dann ist insbesondere (|bn |)n∈N −→ +∞, also
ist (1/bn )n∈N eine Nullfolge und da (an )n∈N nach Lemma 2.(a) beschränkt ist,
ist nach Lemma 4.(c) auch der Quotient (an /bn )n∈N eine Nullfolge. Definieren
wir also
x
x
:=
:= 0
+∞
−∞
für jedes x ∈ R, so gilt die Grenzwertformel für Quotienten auch in dieser
Situation. Im nächsten Fall ist a ∈ R\{0}, b = 0 und alle Folgenglieder bn
für n ∈ N haben dasselbe Vorzeichen, d.h. es existiert ein σ ∈ {−1, 1} mit
sign(bn ) = σ für alle n ∈ N. Wie oben bemerkt ist dann (1/bn )n∈N −→ σ · ∞
und mit der schon behandelten Produktformel folgt
an
1
= an ·
−→ (σa) · ∞.
bn n∈N
bn n∈N
Im letzten Fall ist b ∈ R\{0} und a ∈ {−∞, +∞}. Dann ist nach Satz 6.(d)
auch (1/bn )n∈N −→ 1/b. Mit dem schon behandelten Produktfall folgt
an
1
a
= an ·
−→ ,
bn n∈N
bn n∈N
b
wenn wir
+∞
−∞
:= sign(x) · ∞ und
:= − sign(x) · ∞
x
x
für jedes x ∈ R\{0} definieren. Mit den hier gegebenen Interpretationen von
Quotienten mit ±∞ im Zähler oder im Nenner gilt also auch die Quotientenformel für Grenzwerte in R solange die rechte Seite definiert ist.
120
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8. Als letzte Aussage wollen wir uns noch um Satz 8.(c) kümmern. Es seien also
K ∈ {R, C} und r, s ∈ N mit r > s sowie a0 , . . . , ar , b0 , . . . , bs ∈ K mit ar 6= 0
und bs 6= 0 gegeben. Im Beweis von Satz 8.(c) haben wir bereits gesehen, dass es
ein n0 ∈ N mit
ar nr + · · · + a0 |ar |
bs ns + · · · + b0 ≥ 4|bs | · n
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt, und dies liefert
ar nr + · · · + a0 = ∞.
lim
n→∞ bs ns + · · · + b0 Im reellen Fall K = R können wir noch etwas mehr sagen. Nach Satz 8.(b) wissen
wir
1
ar nr + · · · + a0
ar
lim
·
6= 0,
=
n→∞
nr−s bs ns + · · · + b0
bs
und wegen (nr−s )n∈N −→ +∞ ist damit
ar n r + · · · + a0
ar
=
sign
lim
· ∞ = sign(ar ) · sign(bs ) · ∞.
n→∞ bs ns + · · · + b0
bs
Die Definition der Häufungspunkte einer reellen Folge läßt sich wörtlich auf Häufungspunkte in R übertragen. Die neu hinzukommenden Häufungspunkte lassen sich dabei
leicht beschreiben, für jede reelle Zahlenfolge (an )n∈N gelten
+∞ ist Häufungspunkt von (an )n∈N ⇐⇒ (an )n∈N ist nach oben unbeschränkt,
−∞ ist Häufungspunkt von (an )n∈N ⇐⇒ (an )n∈N ist nach unten unbeschränkt.
Ist nämlich +∞ ein Häufungspunkt von (an )n∈N in R, so existiert eine Teilfolge (ank )k∈N
von (an )n∈N mit (ank )k∈N −→ +∞, und damit ist (ank )k∈N und somit auch (an )n∈N nach
oben unbeschränkt. Nun nehme umgekehrt an, dass (an )n∈N nach oben unbeschränkt
ist. Dann existiert insbesondere ein n0 ∈ N mit an0 > 0. Ist jetzt k ∈ N und ist nk
bereits definiert, so existiert auch ein nk+1 ∈ N mit ank+1 > max{a0 , a1 , . . . , ank , k + 1},
also insbesondere ank+1 > k + 1 und nk+1 > nk . Hierdurch wird induktiv eine Teilfolge
(ank )k∈N von (an )n∈N mit ank > k für alle k ∈ N definiert. Damit ist auch limk→∞ ank =
+∞ und wir haben eine gegen +∞ konvergente Teilfolge der Folge (an )n∈N gefunden,
d.h. +∞ ist ein Häufungspunkt dieser Folge. Die Aussage über den Häufungspunkt
−∞ folgt analog.
Weiter gilt auch Lemma 10 für Häufungspunkte in R, sind also (an )n∈N eine reelle
Zahlenfolge, H die Menge ihrer Häufungspunkte in R und (bn )n∈N eine konvergente
reelle Zahlenfolge mit dem Grenzwert b ∈ R, so ist M = {a + b|a ∈ H} die Menge
der Häufungspunkte von (an + bn )n∈N in R und ist b 6= 0 so ist N = {ab|a ∈ H} die
Menge der Häufungspunkte von (an bn )n∈N in R. Beachte dabei das die Folge (bn )n∈N
tatsächlich im gewöhnlichen Sinne konvergent sein soll, also mit reellen Grenzwert, und
nicht etwa nur in den erweiterten reellen Zahlen konvergiert. Dies ist leicht einzusehen.
121
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Sind H, M, N die entsprechenden reellen Mengen, so wissen wir bereits nach Lemma
10 das M die Menge der reellen Häufungspunkte von (an + bn )n∈N und N im Fall b 6= 0
die Menge der reellen Häufungspunkte von (an bn )n∈N ist. Wir müssen uns also nur
noch überlegen was mit den Häufungspunkten ±∞ passiert. Beginnen wir mit dem
Summenfall. Da die Folge (bn )n∈N nach Lemma 2.(a) insbesondere beschränkt ist, ist
(an +bn )n∈N genau dann nach oben unbeschränkt wenn (an )n∈N nach oben unbeschränkt
ist, d.h. genau dann gilt ∞ ∈ H wenn ∞ ein Häufungspunkt von (an + bn )n∈N ist.
Analog ist auch genau dann −∞ ∈ H wenn −∞ ein Häufungspunkt von (an + bn )n∈N
ist, und wegen (∞) + b = ∞ und (−∞) + b = −∞ folgt die Behauptung über die
Häufungspunkte von (an + bn )n∈N . Für die Aussage über die Produktfolge nehme nun
b 6= 0 an. Zunächst sei b > 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N mit b/2 < bn < 2b für
alle n ∈ N mit n ≥ n0 und damit ist die Folge (an bn )n∈N genau dann nach oben
unbeschränkt wenn (an )n∈N nach oben unbeschränkt, d.h. genau dann ist ∞ ∈ H wenn
∞ ein Häufungspunkt von (an bn )n∈N ist. Analog ist genau dann −∞ ∈ H wenn −∞
ein Häufungspunkt von (an bn )n∈N ist, und wegen (∞) · b = ∞ und (−∞) · b = −∞ folgt
unsere Behauptung. Im letzten verbleibenden Fall ist b < 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N
mit 2b < bn < b/2 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 und somit ist (an bn )n∈N genau dann nach
oben unbeschränkt wenn (an )n∈N nach unten unbeschränkt ist, d.h. genau dann gilt
−∞ ∈ H wenn ∞ ein Häufungspunkt von (an bn )n∈N ist. Analog ist auch genau dann
∞ ∈ H wenn −∞ ein Häufungspunkt von (an bn )n∈N ist. Da aber (∞) · b = −∞ und
(−∞) · b = ∞ gelten, folgt die Behauptung auch in diesem Fall.
Wir werden zeigen, dass in den erweiterten reellen Zahlen R jede reelle Zahlenfolge
einen Häufungspunkt besitzt. Wir werden sogar noch mehr einsehen, es gibt immer
einen kleinsten und einen größten Häufungspunkt der Folge, und diese beiden können
wir sogar recht explizit angeben. Sei also (an )n∈N eine völlig beliebige reelle Zahlenfolge.
Für jedes n ∈ N betrachten wir
An := sup ak = sup{ak |k ∈ N, k ≥ n} ∈ R ∪ {∞}.
k≥n
Bevor wir mit der Untersuchung einer allgemeinen Folge fortfahren schauen wir uns
drei kleine Beispiele hierzu an:
1. Zunächst sei an = (−1)n für jedes n ∈ N. Dann haben wir für jedes n ∈ N auch
An = sup{−1, 1} = 1.
2. Ist (an )n∈N nicht nach oben beschränkt, so ist für jedes n ∈ N auch die Menge
{ak |k ∈ N, k ≥ n} nicht nach oben beschränkt und es folgt An = +∞.
3. Ist (an )n∈N monoton fallend so gilt für jedes n ∈ N wegen an = max{ak |k ∈
N, k ≥ n} stets An = an .
Wir kehren nun zur allgemeinen Situation zurück. Sind M, N ⊆ R zwei Teilmengen mit
M ⊆ N , so ist sup N ∈ R eine obere Schranke von M , und somit gilt sup M ≤ sup N .
Haben wir also n ∈ N, so ist wegen {ak |k ∈ N, k ≥ n + 1} ⊆ {ak |k ∈ N, k ≥ n}
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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auch An+1 ≤ An . Damit ist (An )n∈N eine monoton fallende Folge in R und nach der
Erweiterung von Satz 3 auf die erweiterten reellen Zahlen konvergiert diese Folge gegen
ihr Infimum, also existiert der sogenannte Limes Superior
s := lim An = inf An ∈ R.
n→∞
n∈N
Wir wollen zunächst klären wann s eine reelle Zahl ist. Hierzu sind verschiedene Fälle
zu unterscheiden. Ist die Folge (an )n∈N nach oben unbeschränkt, so ist für jedes n ∈ N
stets An = +∞ und somit ist auch der Grenzwert s = +∞. Nun nehme an, dass
(an )n∈N nach oben beschränkt ist, d.h. es gibt ein c ∈ R mit an ≤ c für alle n ∈ N. Für
jedes n ∈ N ist c dann auch eine obere Schranke der Menge {ak |k ∈ N, k ≥ n}, und wir
haben An ≤ c. Als nicht reeller Wert von s kommt also nur noch −∞ in Frage. Hierzu
behaupten wir:
s = −∞ ⇐⇒ lim an = −∞.
n→∞
Ist nämlich s = −∞ so folgt wegen an ≤ An für alle n ∈ N auch limn→∞ an = −∞.
Nun nehme umgekehrt (an )n∈N −→ −∞ an. Sei a ∈ R. Dann existiert ein n0 ∈ N mit
an < a − 1 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Sei jetzt n ∈ N mit n ≥ n0 gegeben. Für jedes
k ∈ N mit k ≥ n ≥ n0 ist dann ak < a − 1, d.h. a − 1 ist eine obere Schranke der Menge
{ak |k ∈ N, k ≥ n}, und somit ist An ≤ a − 1 < a. Dies beweist (An )n∈N −→ −∞, also
s = −∞. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen.
Insgesamt ist s also genau dann eine reelle Zahl wenn die Folge (an )n∈N nach oben
beschränkt ist und nicht in R gegen −∞ konvergiert. Der Limes Superior s ist keine
obere Schranke der Folge, ist beispielsweise
an =
1
1
für n ≥ 1, so ist auch An = für n ≥ 1
n
n
und es folgt s = limn→∞ An = 0, die gesamte Folge ist hier also größer als ihr Limes
Superior. Selbst wenn wir etwas über den Limes Superior hinausgehen, also ein a mit
a > s betrachten, so muss a keine obere Schranke sein, es ist aber zumindest eine
obere Schranke für so gut wie alle Folgenglieder, nämlich für alle Folgenglieder bis auf
höchstens endlich viele Ausnahmen. Dies und einige weitere Eigenschaften des Limes
Superior wollen wir nun in einem Satz zusammenfassen.
Satz 4.11 (Limes Superior und Limes Inferior)
Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge.
(a) Der Limes Superior
lim sup an := lim sup ak ∈ R
n→∞ k≥n
n→∞
ist der größte Häufungspunkt der Folge (an )n∈N in R und der Limes Inferior
lim inf an := lim inf ak ∈ R
n→∞
n→∞ k≥n
ist der kleinste Häufungspunkt der Folge (an )n∈N in R.
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
(b) Ist (an )n∈N in R konvergent mit (an )n∈N −→ a, so ist auch
lim sup an = lim inf an = a = lim an .
n→∞
n→∞
n→∞
(c) Es gilt
lim inf an ≤ lim sup an
n→∞
n→∞
und genau dann ist lim sup an = lim inf an wenn die Folge (an )n∈N in R konvern→∞
n→∞
giert.
(d) Es gelten
lim sup an = +∞ ⇐⇒ (an )n∈N ist nach oben unbeschränkt,
n→∞
lim sup an = −∞ ⇐⇒
n→∞
lim an = −∞,
n→∞
lim inf an = −∞ ⇐⇒ (an )n∈N ist nach unten unbeschränkt,
n→∞
lim inf an = +∞ ⇐⇒
n→∞
lim an = +∞.
n→∞
(e) Für jedes a ∈ R gelten
a > lim sup an ⇐⇒ ∃(b ∈ R)∃(n0 ∈ N) : [b < a ∧ ∀(n ∈ N, n ≥ n0 ) : an < b]
n→∞
und
a < lim inf an ⇐⇒ ∃(b ∈ R)∃(n0 ∈ N) : [b > a ∧ ∀(n ∈ N, n ≥ n0 ) : an > b] .
n→∞
Beweis: (e) Schreibe s := lim supn→∞ an und An := supk≥n ak für jedes n ∈ N.
”=⇒” Sei a ∈ R gegeben. Zunächst nehmen wir a > s an, also insbesondere s 6= +∞
und a 6= −∞. Da a > s = inf{An |n ∈ N} keine untere Schranke der Menge {An |n ∈ N}
ist, existiert ein n0 ∈ N mit An0 < a. Weiter existiert ein b ∈ R mit An0 < b < a,
nämlich b = An0 + 1 falls a = +∞ ist und b := (a + An0 )/2 wenn a ∈ R ist. Für jedes
n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann auch an ≤ An0 < b.
”⇐=” Nun nehme umgekehrt an, dass es ein b ∈ R und eine natürliche Zahl n0 ∈ N
mit b < a und an < b für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gibt. Dann gilt auch
s ≤ An0 = sup{an |n ∈ N, n ≥ n0 } ≤ b < a,
also ist s < a.
Damit ist die Behauptung für den Limes Superior bewiesen und die Aussage über
den Limes Inferior ergibt sich analog.
(d) Die beiden Aussagen über den Limes Superior haben wir bereits eingesehen und
die Aussagen über den Limes Inferior folgen analog.
124
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 2.12.2016
(a) Wir beginnen wieder mit der Aussage über den Limes Superior und zeigen zunächst
das s überhaupt ein Häufungspunkt von (an )n∈N in R ist. Ist dabei s = +∞, so ist
(an )n∈N nach oben unbeschränkt und wir wissen bereits das s = +∞ ein Häufungspunkt
von (an )n∈N ist. Ist s = −∞, so ist (an )n∈N −→ −∞ und s = −∞ ist sogar der
Grenzwert von (an )n∈N , also erst recht ein Häufungspunkt. Nun nehme s ∈ R an und
wir wollen Lemma 9 anwenden. Seien also ein > 0 und ein n1 ∈ N gegeben. Wegen
s + > s existieren nach (e) eine reelle Zahl b ∈ R und ein Index n2 ∈ N mit b < s + und an s − . Insbesondere ist
also n ≥ n1 . Wegen n ≥ n2 ist auch an < b < s + , also haben wir s − < an < s + und dies bedeutet |an − s| < . Nach Lemma 9 ist s damit auch in diesem Fall ein
Häufungspunkt von (an )n∈N .
Nun zeigen wir das s der größte Häufungspunkt der Folge (an )n∈N ist. Sei a ∈ R
ein beliebiger Häufungspunkt von (an )n∈N . Wir müssen zeigen, dass dann a ≤ s gilt.
Andernfalls wäre a > s und nach (e) gibt es b ∈ R und n0 ∈ N mit b < a und an < b für
alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Insbesondere ist die Folge (an )n∈N nach oben beschränkt, also
ist +∞ kein Häufungspunkt von (an )n∈N und wir haben a 6= +∞. Folglich ist a ∈ R
und nach Lemma 9 existiert ein n ∈ N mit n ≥ n0 und |an − a| < a − b. Dies ergibt
aber den Widerspruch
an < b = a − (a − b) < a − |an − a| ≤ a − (a − an ) = an ,
und somit muss a ≤ s sein. Damit ist die Aussage über den Limes Superior bewiesen
und analog folgt auch das der Limes Inferior der kleinste Häufungspunkt unserer Folge
in R ist.
(b) Da der Grenzwert einer in R konvergenten Folge ihr einziger Häufungspunkt ist,
ist dies klar nach (a).
(c) Die Ungleichung lim inf n→∞ an ≤ lim supn→∞ an ist klar nach (a) und ist (an )n∈N in
R konvergent, so stimmen der Limes Superior und der Limes Inferior nach (b) überein.
Wir nehmen nun a := lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an an, und wollen (an )n∈N −→ a
in R zeigen. Ist a ∈ {+∞, −∞}, so ist dies klar nach Teil (d), wir müssen also nur noch
den Fall a ∈ R betrachten. Sei > 0 gegeben. Wegen a − < a < a + existieren nach
(e) zwei reelle Zahlen b1 , b2 ∈ R mit b1 > a − und b2 < a + sowie zwei natürliche
Zahlen n1 , n2 ∈ N mit an > b1 für alle n ∈ N mit n ≥ n1 und an < b2 für alle n ∈ N
mit n ≥ n2 . Setze n0 := max{n1 , n2 }. Ist dann n ∈ N mit n ≥ n0 , so haben wir
a − < b1 < an < b2 < a + , also |an − a| < .
Dies zeigt (an )n∈N −→ a und auch (c) ist vollständig bewiesen.
125
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 5.12.2016
Vorlesung 13, Montag 5.12.2016
In der letzten Sitzung hatten wir den Limes Superior
lim sup an = lim sup{ak |k ∈ N, k ≥ n}
n→∞
n→∞
einer reellen Folge (an )n∈N als den größten Häufungspunkt dieser Folge in R und entsprechend den Limes Inferior
lim inf an = lim inf{ak |k ∈ N, k ≥ n}
n→∞
n→∞
als den kleinsten Häufungspunkt dieser Folge in R eingeführt. Wir gehen jetzt einige
Beispiele durch.
1. Es ist
lim inf (−1)n = −1 und lim sup(−1)n = 1
n→∞
n→∞
da −1 und 1 die beiden Häufungspunkte der Folge sind.
2. Die Folge an = (−1)n n ist nach oben und unten unbeschränkt, hat also +∞ und
−∞ als Häufungspunkte. Da dies die größten und kleinsten Elemente in R sind,
ist damit
lim inf (−1)n n = −∞ und lim sup(−1)n n = +∞.
n→∞
n→∞
3. Diesmal sei
(
n, n ist gerade,
an :=
0, n ist ungerade.
Offenbar sind 0 und +∞ dann zwei Häufungspunkte von (an )n∈N . Wegen an ≥ 0
für alle n ∈ N kann keine Teilfolge von (an )n∈N gegen eine negative Zahl oder
gegen −∞ konvergieren, also ist 0 der kleinste Häufungspunkt der Folge. Es
folgen
lim inf an = 0 und lim sup an = +∞.
n→∞
n→∞
4. Schließlich sei an = sin(n). Wir hatten bereits bemerkt, dass die Menge der
Häufungspunkte von (sin n)n∈N genau das Intervall [−1, 1] ist, und damit folgen
lim inf sin(n) = −1 und lim sup sin(n) = +1.
n→∞
n→∞
Zum Abschluß unserer Überlegungen über den Limes Inferior und den Limes Superior
wollen wir noch einige kleine Rechenregeln für diese zusammenstellen.
Lemma 4.12 (Rechenregeln für Limes Inferior und Limes Superior)
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei reelle Zahlenfolgen. Dann gelten:
126
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(a) Ist an ≤ bn für jedes n ∈ N, so sind auch
lim inf an ≤ lim inf bn und lim sup an ≤ lim sup bn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
(b) Ist (bn )n∈N konvergent, so ist
lim inf (an + bn ) = lim inf an + lim bn und lim sup(an + bn ) = lim sup an + lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
(c) Ist (bn )n∈N konvergent mit von Null verschiedenen Grenzwert b ∈ R\{0}, so sind
lim inf (an · bn ) = lim inf an · lim bn ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim sup(an · bn ) =
lim sup an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
wenn b > 0 ist und
lim inf (an · bn ) =
lim sup an · lim bn ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim sup(an · bn ) = lim inf an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
wenn b < 0 ist.
Beweis: (a) Sei n ∈ N und setze
An := sup{ak |k ∈ N, k ≥ n} und Bn := sup{bk |k ∈ N, k ≥ n}.
Für jedes k ∈ N mit k ≥ n haben wir ak ≤ bk ≤ Bn , also ist Bn eine obere Schranke
der Menge {ak |k ∈ N, k ≥ n} und somit gilt An ≤ Bn . Mit Lemma 5.(a), eventuell in
der Form für die erweiterten reellen Zahlen, folgt
lim sup an = lim An ≤ lim Bn = lim sup bn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Die Aussage über den Limes Inferior ergibt sich analog.
(b,c) Seien b ∈ R der Grenzwert der Folge (bn )n∈N und H die Menge der Häufungspunkte von (an )n∈N in R. Nach Satz 11.(a) ist s := max H der Limes Superior der Folge
(an )n∈N und t := min H der Limes Inferior der Folge (an )n∈N . Weiter ist nach Lemma
10.(a) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen M = {a + b|a ∈ H} die Menge
der Häufungspunkte von (an + bn )n∈N in R. Da für x, y ∈ H stets genau dann x ≤ y
gilt wenn x + b ≤ y + b ist, ist nach Satz 11.(a) auch
lim sup(an + bn ) = max M = s + b = lim sup an + lim bn .
n→∞
n→∞
127
n→∞
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Montag 5.12.2016
Nun kommen wir zum Produkt und nehmen b 6= 0 an. Nach Lemma 10.(b) in der Form
für die erweiterten reellen Zahlen ist N := {ab|a ∈ H} die Menge der Häufungspunkte
von (an bn )n∈N in R. Ist b > 0, so gilt für alle x, y ∈ H genau dann x ≤ y wenn xb ≤ yb
ist, also ist nach Satz 11.(a) auch
lim sup(an · bn ) = max N = sb =
n→∞
lim sup an · lim bn .
n→∞
n→∞
Ist dagegen b < 0, so gilt für x, y ∈ H genau dann x ≤ y wenn yb ≤ xb ist, also ist in
diesem Fall
lim sup(an · bn ) = max N = tb = lim inf an · lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Damit sind alle Aussagen für den Limes Superior bewiesen und die entsprechenden
Aussagen über den Limes Inferior folgen analog.
Der Satz 11 besagt insbesondere das jede reelle Zahlenfolge einen Häufungspunkt
in R hat. Eine direkte Konsequenz dieser Beobachtung ist der sogenannte Satz von
Heine-Borel:
Satz 4.13 (Satz von Heine-Borel)
Sei K ∈ {R, C}. Dann hat jede beschränkte Folge in K einen Häufungspunkt.
Beweis: Zunächst sei K = R. Ist dann (an )n∈N eine beschränkte reelle Zahlenfolge,
so ist nach Satz 11.(d) auch s := lim supn→∞ an ∈ R und nach Satz 11.(a) ist s ein
Häufungspunkt von (an )n∈N . Damit ist die Aussage im reellen Fall bewiesen.
Nun sei K = C und es sei (zn )n∈N eine beschränkte komplexe Zahlenfolge. Wie am
Ende von §3.1 festgehalten sind dann auch die reellen Zahlenfolgen (Re(zn ))n∈N und
(Im(zn ))n∈N beschränkt. Wie bereits gezeigt hat (Re(zn ))n∈N einen Häufungspunkt a ∈
R, und somit gibt es eine gegen a konvergente Teilfolge (Re(znk ))k∈N von (Re(zn ))n∈N .
Ebenso gibt es dann auch eine gegen ein b ∈ R konvergente Teilfolge (Im(znkl ))l∈N von
(Im(znk ))k∈N . Nach Lemma 1.(a) ist auch (Re(znkl ))l∈N −→ a und Lemma 1.(e) ergibt
damit
(znkl )l∈N −→ a + ib ∈ C.
Damit ist a + ib ein Häufungspunkt von (zn )n∈N und der Satz ist auch im komplexen
Fall bewiesen.
Man kann den Satz von Heine-Borel auch direkter, und ohne den Limes Superior zu
verwenden, beweisen. Wie im Beweis gesehen reicht es den reellen Fall einzusehen, und
hierzu kann man zeigen das jede reelle Zahlenfolge immer eine monoton steigende oder
eine monoton fallende Teilfolge enthält. Mit Satz 3 folgt dann die Existenz eines reellen
Häufungspunkts einer jeden beschränkten reellen Zahlenfolge.
128
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4.3
Montag 5.12.2016
Cauchyfolgen
Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (an )n∈N −→ a
immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für
monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz 3 die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit
dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz
einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer
Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die
Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit
ausreichend großen Index einander nahekommen.
Definition 4.10 (Cauchyfolgen)
Sei K ∈ {R, C}. Eine Folge (an )n∈N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes
> 0 ein n0 ∈ N mit |an − am | < für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ n0 gibt.
In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n, m ∈ N, n, m ≥ n0 ) : |an − am | < .
Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das <“ hier auch
”
gegen ein ≤“ ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn
”
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n, m ∈ N, n, m ≥ n0 ) : |an − am | ≤ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist
und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen
wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv
eine reelle Zahlenfolge (an )n∈N indem wir
a0 := 0 und an+1 :=
1 − a2n
für alle n ∈ N
3
setzen. Beispielsweise sind a1 = 1/3, a2 = 8/27 und a3 = 665/2187. Die Folge ist weder
monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen
Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (an )n∈N konvergent ist. Wir
werden im Folgenden einsehen, dass (an )n∈N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit
einer einfachen Beobachtung. Ist x ∈ R mit 0 < x < 1/3, so gelten auch 0 < x2 < 1/9
und 8/9 < 1 − x2 < 1, also insgesamt 8/27 < (1 − x2 )/3 < 1/3, also haben wir
∀(x ∈ R) : 0 < x <
1
8
1 − x2
1
=⇒ 0 <
<
< .
3
27
3
3
Insbesondere bedeutet dies das für jedes n ∈ N aus an ∈ (0, 1/3) auch an+1 = (1 −
a2n )/3 ∈ (0, 1/3) folgt. Da a2 = 8/27 ∈ (0, 1/3) gilt, folgt per vollständiger Induktion
129
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Montag 5.12.2016
auch 0 < an < 1/3 für alle n ∈ N mit n ≥ 2. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 3 ergibt sich
weiter
1 − a2n 1 − a2n−1 1 2
= |an − a2n−1 | = 1 |an + an−1 | · |an − an−1 |
|an+1 − an | = −
3
3
3
3
2
|an | + |an−1 |
|an − an−1 | < |an − an−1 |.
≤
3
9
Ist wieder n ∈ N mit n ≥ 3, so sind damit auch
2
2
|an − an−1 |,
9
3
2
2
|an+3 − an+2 | <
|an+2 − an+1 | <
|an − an−1 |,
9
9
2
|an+2 − an+1 | <
|an+1 − an | <
9
und so fortfahrend folgt auch
k
2
|an+k − an+k−1 | ≤
|an − an−1 |,
9
für alle k ∈ N. Streng genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf
deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Wenden wir dies speziell auf n = 3 an
und schreiben k = n − 2 für ein neues n ∈ N mit n ≥ 2, so wird diese Abschätzung zu
n−2
2
|a3 − a2 |,
|an+1 − an | ≤
9
und wir wollen uns überlegen das (an )n∈N damit eine Cauchyfolge ist. Hierzu schreiben
wir für n, m ∈ N mit m > n
am − an = (am − am−1 ) + (am−1 − am−2 ) + · · · + (an+1 − an ) =
m−1
X
(ak+1 − ak )
k=n
und erhalten für n ≥ 2
m−1
m−1
X
X
|am − an | = (ak+1 − ak ) ≤
|ak+1 − ak | ≤
k=n
k=n
m−1
X
k=n
2
9
k−2 !
|a3 − a2 |.
Die hier rechts stehende Summe ist eine sogenannte geometrische Summe und um
diese weiter auszuwerten, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten
Situation nichts zu tun hat.
Lemma 4.14 (Die geometrische Summe)
Seien q ∈ C und n ∈ N. Dann gilt
n
X
k=0
qk =
n
X
1 − q n+1
für q 6= 1, und
q k = n + 1 für q = 1.
1−q
k=0
130
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Montag 5.12.2016
Beweis:
Die Aussage für q = 1 ist klar, wir nehmen also q 6= 1 an. Schreibe s :=
Pn
k
q
.
Dann ist
k=0
q·s=
n
X
q k+1 = q n+1 +
k=0
n
X
q k − 1 = q n+1 − 1 + s,
k=0
also
(1 − q)s = s − qs = 1 − q n+1 ,
und dies ergibt die Behauptung.
Verwenden wir nun die eben bewiesene Summenformel der geometrischen Summe, so
erhalten wir jetzt für alle n, m ∈ N mit m > n ≥ 2
n−2
m−n−1
X 2 k
2
|am − an | ≤
|a3 − a2 | ·
9
9
k=0
n−2
m−n !
2
9 2
|a3 − a2 | · 1 −
=
7 9
9
n−2
n−2
9 2
17
2
≤
|a3 − a2 | =
=: An .
7 9
1701 9
Damit können wir leicht einsehen, dass (an )n∈N eine Cauchyfolge ist. Wir wissen bereits
das die geometrische Folge (q n )n∈N für jedes q ∈ C mit |q| < 1 eine Nullfolge ist, und
nach den Rechenregeln für Grenzwerte ist somit auch
17
lim
n→∞ 1701
n−2
2
= 0,
9
ist also > 0 gegeben, so existiert ein n0 ∈ N mit n0 ≥ 2 und An < für alle n ∈ N
mit n ≥ n0 . Sind dann n, m ∈ N mit n, m ≥ n0 , so können wir durch eventuelles
Vertauschen von n und m auch m ≥ n annehmen, und haben |am − an | < An < .
Somit ist (an )n∈N tatsächlich eine Cauchyfolge.
Nach diesem Beispiel kommen wir nun zu einigen allgemeinen Aussagen. Die Grundeigenschaften von Cauchyfolgen sind schnell eingesehen.
Lemma 4.15 (Grundeigenschaften von Cauchyfolgen)
Sei K ∈ {R, C} und sei (an )n∈N eine Folge in K.
(a) Ist (an )n∈N konvergent, so ist (an )n∈N auch eine Cauchyfolge.
(b) Ist (an )n∈N eine Cauchyfolge, so ist (an )n∈N auch beschränkt.
131
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(c) Sind (an )n∈N eine Cauchyfolge und (ank )k∈N eine konvergente Teilfolge von (an )n∈N
mit dem Grenzwert a ∈ K, so ist auch (an )n∈N −→ a.
Beweis: (a) Bezeichne a ∈ K den Grenzwert von (an )n∈N . Sei > 0 gegeben. Dann
existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < /2 für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Sind dann n, m ∈ N
mit n, m ≥ n0 so folgt auch
|an − am | = |an − a + a − am | ≤ |an − a| + |am − a| <
+ = .
2 2
Damit ist (an )n∈N eine Cauchyfolge.
(b) Es gibt ein n0 ∈ N mit |an − am | < 1 für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ n0 . Setze
c := max{|a0 |, |a1 |, . . . , |an0 −1 |, |an0 | + 1} > 0.
Ist dann n ∈ N, so gilt im Fall n < n0 sofort |an | ≤ c und im Fall n ≥ n0 haben wir
ebenfalls |an | = |an − an0 + an0 | ≤ |an − an0 | + |an0 | < |an0 | + 1 ≤ c. Damit ist |an | ≤ c
für alle n ∈ N und (an )n∈N ist beschränkt.
(c) Sei > 0 gegeben. Dann existieren ein n0 ∈ N mit |an − am | < /2 für alle n, m ∈ N
mit n, m ≥ n0 und ein k0 ∈ N mit |ank − a| < /2 für alle k ∈ N mit k ≥ k0 . Sei n ∈ N
mit n ≥ n0 . Setzen wir k := max{k0 , n0 }, so ist |ank − a| < /2 und wegen nk ≥ k ≥ n0
ist auch |an − ank | < /2. Insgesamt ist damit
|an − a| = |an − ank + ank − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| <
+ = ,
2 2
und wir haben (an )n∈N −→ a bewiesen.
Damit eine Folge (an )n∈N eine Cauchyfolge ist, reicht es nicht aus, das sich aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher kommen,
die Cauchybedingung ist wesentlich
√
stärker. Beispielsweise ist
Zahlenfolge nicht nach oben
√ die durch an = n gegebene
√
beschränkt, es ist sogar ( n)n∈N −→ +∞, also ist ( n)n∈N insbesondere keine Cauchyfolge. Andererseits hatten wir bereits in einem Beispiel gesehen das
√
√ lim (an+1 − an ) = lim
n+1− n =0
n→∞
n→∞
gilt. Nun sind wir bereit das sogenannte Cauchy-Kriterium zu beweisen, dieses zeigt
das konvergente Folgen und Cauchyfolgen genau dasselbe sind.
Satz 4.16 (Cauchy-Kriterium)
Sei K ∈ {R, C}. Eine Folge (an )n∈N in K ist genau dann konvergent wenn (an )n∈N
eine Cauchyfolge ist.
Beweis: ”=⇒” Dies ist Lemma 15.(a).
132
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”⇐=” Nach Lemma 15.(b) ist (an )n∈N beschränkt, hat also nach dem Satz von HeineBorel Satz 13 einen Häufungspunkt beziehungsweise eine konvergente Teilfolge. Nach
Lemma 15.(c) ist (an )n∈N selbst konvergent.
Wir kommen schließlich wieder zum Beispiel der rekursiv definierten Folge
a0 := 0 und an+1 :=
1 − a2n
für alle n ∈ N
3
zurück. Wir haben bereits eingesehen, dass (an )n∈N eine Cauchyfolge mit 0 < an < 1/3
für alle n ∈ N mit n ≥ 2 ist. Nach dem eben bewiesenen Satz ist (an )n∈N damit
konvergent, und nach Lemma 5.(a) gilt
1
a := lim an ∈ 0,
.
n→∞
3
Wenden wir die Rechenregeln für Grenzwerte Satz 6 an, so folgt weiter
2
1
−
lim
a
n
1 − a2n
1 − a2
n→∞
a = lim an+1 = lim
=
=
,
n→∞
n→∞
3
3
3
also ist
a2 + 3a − 1 = 0.
Fassen wir dies als eine quadratische Gleichung für a auf, so ergibt sich
r
√
√
3
9
13 − 3
−3 ± 13
a=− ±
+1=
=⇒ a =
2
4
2
2
da a ≥ 0 ist. Diese Methode den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge durch
Grenzübergang in der Rekursionsformel zu gewinnen, läßt sich in solchen Beispielen
häufig anwenden, es ist dabei aber entscheidend sich zuerst die Existenz eines Grenzwerts zu überlegen, andernfalls sind die Rechenregeln für Folgengrenzwerte überhaupt
nicht anwendbar.
Wir wollen uns auch hierzu noch ein kleines Beispiel anschauen. Wir betrachten die
durch
a0 := 0 und an+1 := an (1 + an ) − 3 für n ∈ N
definierte Folge (an )n∈N . Führen wir in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang
für einen hypothetischen Grenzwert a ∈ R durch, so ergibt sich
a = a(1 + a) − 3 =⇒ a2 = 3.
Für x ≥ 2 ist x(1 + x) − 3 ≥ 3, erreicht die Folge also einen Wert an ≥ 2, so ist
auch ak ≥ 2 für alle k ≥ n. Nun sind a1 = −3 und √
a2 = 3, also gilt an ≥ 2 für alle
n ≥ 2. Insbesondere ist a ≥ 0 und damit muss a = 3 sein. Andererseits müsste für
133
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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den Grenzwert auch a ≥ 2 gelten, aber dann kann nicht a2 = 3 sein. Damit haben wir
den Grenzwert“ ausgerechnet, aber in Wahrheit existiert er gar nicht, tatsächlich ist
”
der eben aufgetretene Widerspruch ein Beweis der Divergenz der Folge (an )n∈N . Die
Berechnung“ des Grenzwerts alleine reicht also nicht aus und beweist gar nichts, man
”
muss zuerst seine Existenz begründen.
$Id: reihen.tex,v 1.31 2016/12/12 10:44:18 hk Exp $
§5
Reihen
Eine Reihe ist eine unendliche Summe“
”
a0 + a1 + a2 + · · · .
Die Summanden ai können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr
viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen
Interesse. Als ein erstes Beispiel wollen wir uns die sogenannte Zenonsche Paradoxie anschauen. Bei dieser betrachten wir ein Rennen zwischen zwei Läufern sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit, etwa Achilles und eine Schildkröte. Der Einfachheit halber nehmen wir an das die Schildkröte eine konstante Geschwindigkeit v > 0 hat während
Achilles sich konstant mit der hunderfachen Geschwindigkeit bewegt. Um den Anschein
von Fairness zu erwecken startet die Schildkröte mit einem Vorsprung m > 0. Sei etwa
m in Metern und v in Metern pro Sekunde gegeben. Dann hat Achilles den Startpunkt
der Schildkröte nach m/(100v) Sekunden erreicht aber in dieser Zeit ist die Schildkröte
schon etwa weiter gekommen und hat die Strecke (m/(100v))·v = m/100 zurückgelegt.
Achilles braucht jetzt nur noch (m/100)/(100v) = 10−4 m/v Sekunden um auch diese
Strecke zu überwinden, aber dann ist die Schildkröte wieder (10−4 m/v) · v = 10−4 m
vorangekommen. Dies geht jetzt immer so weiter, Achilles braucht nächstes Mal nur
noch 10−6 m/v Sekunden, aber die Schildkröte ist wieder weg, dann dauert es nur noch
10−8 m/v Sekunden und die Schildkröte ist immer noch weiter vorne, und das setzt sich
ewig so fort. Damit kann Achilles die Schildkröte niemals einholen, und so etwas wie
Bewegung“ wäre ein in sich widersprüchliches Konzept. Diese Paradoxie ist eine von
”
vielen in der Antike verwendeten Argumenten die Problematik von Unendlichkeiten“
”
einzusehen, wir denken uns hier ja die Zeit und die Rennstrecke als ins Unendliche teilbar. Wieweit diese Paradoxie ernst genommen wurde kann man heute natürlich nicht
mehr einschätzen, man kann allerdings feststellen das die antike, griechische Mathematik jedliche Unendlichkeiten strikt vermieden hat.
Um den Zusammenhang mit Reihen herzustellen, wollen wir uns überlegen wieviel
Zeit vergeht bis die Schildkröte schließlich eingeholt ist. Dieser Zeitraum setzt sich aus
all den oben beschriebenen Teilabschnitten zusammen, also erst die 10−2 m/v Sekunden,
dann die nächsten 10−4 m/v gefolgt von den nächsten 10−6 m/v Sekunden und so weiter,
134
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also insgesamt
m
m
m
m
+ 10−4 + 10−6 + 10−8 + · · · .
v
v
v
v
Hier werden unendlich viele positive Zahlen aufaddiert und man will das irgendwie
doch eine endliche Summe herauskommt. Wir können auch von vornherein sagen was
herauskommen sollte, denn Achilles ist nach t Sekunden gerade 100vt Meter von seinem
Startpunkt entfernt während die Schildkröte zu diesem Zeitpunkt m + vt Meter weit
von diesem weg ist, Achilles holt die Schildkröte also ein wenn
10−2
100vt = m + vt, d.h. t =
m
99v
ist. Es sollte also in irgendeinem Sinne
10−2
m
m
m
m
1 m
+ 10−4 + 10−6 + 10−8 + · · · =
v
v
v
v
99 v
gelten. Bevor dies allerdings auch nur eine sinnvolle Vermutung ist, muss erst einmal definiert werden was solch eine unendliche Summe denn überhaupt sein soll, wir
benötigen einen Grenzwertbegriff für Reihen.
5.1
Konvergenz von Reihen
Wir hatten in §4.1 gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf
den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden
wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die
Folge (an )n∈N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen
s0 := a0 , s1 := a0 + a1 , s2 := a0 + a1 + a2 , und allgemein sn :=
n
X
ak ,
k=0
also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + 1 Summanden
unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren:
Definition 5.1: Sei K ∈ {R, C} und sei (an )n∈N eine Folge in K. Bezeichne
!
n
X
(sn )n∈N :=
ak
k=0
n∈N
P
die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe ∞
n=0 an konvergent
wenn die Folge (sn )n∈N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall
∞
X
n=0
an := lim sn = lim
n→∞
Andernfalls heißt die Reihe divergent.
135
n→∞
n
X
k=0
ak .
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P∞
Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol
n=0 an auch die
P Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol ∞
n=0 an sowohl die Folge
der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar.
Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach
Sei
”
∞
X
an eine Reihe“,
n=0
dies soll dann bedeuten, dass (an )n∈N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch
Reihen mitPeinem beliebigen Startindex n0 ∈ N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel
2
die Reihe P∞
n=1 1/n mit dem Startindex n0 = 1. Die Partialsummen sind in diesem
n0 +n
Fall sn = k=n0 ak für n ∈ N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die P
Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden,
beispielsweise sn = nk=n0 ak für n ∈ N mit n ≥ n0 . Die hiermit verbundene Willkür
ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle
Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Kapitel formulieren wir
die meisten Aussagen mit dem Startindex 0 oder 1, es sind aber implizit auch immer
alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint.
Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert
sich nichts
der
P∞am Konvergenzverhalten der Reihe aber sehr wohl am Grenzwert.PIn
n
Tat, ist n=0 an eine ReihePund n0 ∈ N, so hängen die Partialsummen sn = k=0 ak
0 +n
der Originalreihe und tn = nk=n
ak der verkürzten Reihe über die Beziehung
0
sn =
n
X
ak =
k=0
nX
0 −1
n
X
ak +
ak =
nX
0 −1
k=n0
k=0
ak + tn−n0
k=0
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (sn )n∈N genau
dann wenn die Folge (tn )n∈N konvergiert und in diesem Fall ist
∞
X
an =
n=0
nX
0 −1
an +
n=0
∞
X
an .
n=n0
Wir wollen jetzt einige Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe
∞
X
n=2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
= +
+
+
+ ··· = + +
+
+ ··· .
n(n − 1)
2 2·3 3·4 4·5
2 6 12 20
In diesem Beispiel können wir die Partialsummen sn explizit berechnen, dies haben wir
bereits am Anfang von §4 getan. Im einleitenden Beispiel (5) von §4 hatten wir
sn =
n
X
k=2
1
1
=1−
k(k − 1)
n
136
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 5.12.2016
für alle n ∈ N mit n ≥ 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr
Grenzwert ist
∞
X
1
1
= lim 1 −
= 1.
n→∞
n(n
−
1)
n
n=2
Das nächste Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q ∈ C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig
herausstellen das wir es in einem Satz festhalten wollen.
Satz 5.1 (Die geometrische Reihe)
P∞ n
Sei q ∈ C. Dann ist die geometrische Reihe
n=0 q genau dann konvergent wenn
|q| < 1 ist, und in diesem Fall gilt
∞
X
n=0
qn =
1
.
1−q
Beweis: Nach §4.Lemma 14 ist die n-te Partialsumme für jedes n ∈ N als
( n+1
n
1−q
X
, q 6= 1,
k
1−q
q =
sn :=
n + 1, q = 1
k=0
gegeben. Für q = 1 ist die Folge der Partialsummen (sn )n∈N = (n + 1)n∈N divergent.
Nun sei q 6= 1. Dann ist die Folge (sn )n∈N nach §4.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent
wenn die Folge (q n+1 )n∈N konvergent ist und wie wir in einem Beispiel in §4.1 gesehen
haben ist dies genau dann der Fall wenn |q| < 1 gilt. Ist |q| < 1, so ist nach dem
erwähnten Beispiel und §4.Satz 6.(a,b) auch
1 − lim q n+1
n+1
1
−
q
1
n→∞
=
=
.
q n = lim
n→∞ 1 − q
1−q
1−q
n=0
∞
X
Wir wollen kurz einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchgehen.
1. Die Reihe
können wir auch als
∞
X
1
1 1 1
= 1 + + + + ···
n
2
2 4 8
n=0
∞
∞ n
X
X
1
1
=
2n
2
n=0
n=0
schreiben, sie ist also eine geometrische Reihe mit q = 1/2. Nach dem eben
bewiesenen Satz ist sie somit konvergent mit der Summe
∞
X
1
1
=
n
2
1−
n=0
137
1
2
= 2.
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
2. Wir berechnen die Zahl 0, 9. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die
wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem
benutzen wollen, ist
1
1
1
1
1
1
+9·
+9·
+ ··· = 9 ·
+
+
+ ··· .
0, 9 = 9 ·
10
100
1000
10 100 1000
In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = 1/10, und
der Satz über die geometrische Reihe ergibt
!
n
n
∞ ∞ X
X
1
1
1
1
=9·
−1 =9·
0, 9 = 9 ·
= 9 · = 1.
1 −1
10
10
9
1 − 10
n=1
n=0
3. Ganz entsprechend können wir das einleitende Beispiel dieses Kapitels behandeln,
es ist in den dort verwendeten Bezeichnungen
−2 m
10
v
−4 m
+ 10
v
−6 m
+ 10
v
n
∞ mX 1
+ ··· =
v
v n=1 100
1
m
m
=
.
=
1 −1
v
99v
1 − 100
−8 m
+ 10
4. Als viertes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe
∞
X
(−1)n
n=0
2n
=1−
1 1 1
+ − + ··· .
2 4 8
Dies ist eine geometrische Reihe mit q = −1/2, also ergibt sich
∞
X
(−1)n
n=0
2n
n
∞ X
1
1
2
= .
=
=
−
1
2
3
1 − −2
n=0
Vorlesung 14, Freitag 9.12.2016
In der letzten hatten wir den Reihenbegriff eingeführt und uns auch schon einige
Beispiele konvergenter Reihen. Wir wollen diese Sitzung mit einem weiteren und etwas
komplizierteren Beispiel beginnen, wir betrachten die Reihe
∞
X
1
1 1
1
1
=1+1+ + +
+
+ ··· .
n!
2
6
24
120
n=0
138
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
Hierzu setzen wir für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
n
n
X
1
1
und an := 1 +
,
sn :=
k!
n
k=0
und wie schon in einem der einleitenden Beispiele des §4 gesehen können wir auch
k
n
X
1 Yn−j+1
an =
·
k! j=1
n
k=0
schreiben und insbesondere ist an ≤ sn . Die Folge (an )n∈N hatten wir bereits in §4.1
zur Definition der eulerschen Konstante
n
1
e = lim 1 +
n→∞
n
verwendet. Sei wieder n ∈ N mit n ≥ 1 gegeben. Für jedes m ∈ N mit m ≥ n ist dann
am =
k
n
k
m
X
1 Ym−j+1 X 1 Ym−j+1
·
≥
·
,
k!
m
k!
m
j=1
j=1
k=0
k=0
also liefern §4.Lemma 5.(a) und die Rechenregeln §4.Satz 6 für Folgengrenzwerte auch
X
k n
n
X
1 Y
m−j+1
1
e = lim am ≥
·
lim
= sn .
=
m→∞
m→∞
k! j=1
m
k!
k=0
k=0
Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 haben wir damit an ≤ sn ≤ e und das Einschnürungslemma
§4.Lemma 5.(b) ergibt schließlich
∞
X
1
= lim sn = e.
n! n→∞
n=0
5.2
Grundeigenschaften von Reihen
Über die Partialsummen sind Reihen vollständig auf den Folgenbegriff zurückgeführt,
und wir können jetzt den ganzen in §4 entwickelten Apperat auf Reihen loslassen. Dies
führt zu einer ganzen Sequenz von grundlegenden Sätzen, Lemmata und Beobachtungen über Reihen und ihre Konvergenz. Wir beginnen mit einer einfachen Feststellung
über den Zusammenhang von reellen und komplexen Reihen.
Lemma 5.2 (Real- und
P∞Imaginärteil komplexer Reihen)
Eine
P∞ n=0 zn ist genau dann konvergent wenn die beiden reellen Reihen
P∞ komplexe Reihe
Re(z
)
und
n
n=0
n=0 Im(zn ) konvergent sind, und in diesem Fall gilt
∞
X
n=0
zn =
∞
X
Re(zn ) + i ·
n=0
∞
X
n=0
139
Im(zn ).
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
Weiter ist eine reelle Reihe genau dann in R konvergent wenn sie in C konvergent ist.
Beweis: Klar nach §4.Lemma 1.(e,f).
Wie bei Folgen ist der komplexe Fall damit auch bei Reihen der allgemeine Fall.
Nun wollen wir einsehen, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge
bilden müssen. Leider stellt sich heraus, dass die Umkehrung dieser Tatsache nicht gilt,
eine Reihe deren Summanden gegen Null konvergieren ist im allgemeinen nicht selbst
konvergent. Ein Beispiel hierfür werden wir bald sehen.
Lemma 5.3 (Summanden
P∞und Partialsummen konvergenter Reihen)
Sei K ∈ {R, C} und sei n=0 an eine konvergente Reihe in K. Dann ist (an )n∈N eine
Nullfolge und die Folge (sn )n∈N der Partialsummen der Reihe ist beschränkt.
Beweis: Nach §4.Lemma 2.(a) ist die Folge (sn )n∈N beschränkt, und nach §4.Satz 6.(a,b)
ist die Folge (an )n≥1 = (sn − sn−1 )n≥1 eine Nullfolge, also ist auch die Folge (an )n∈N
selbst eine Nullfolge.
Im allgemeinen muss eine Reihe mit beschränkten Partialsummen nicht konvergent
sein, ein einfaches solches Beispiel ist die divergente Reihe
∞
X
(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
n=0
und man kann sogar Beispiele konstruieren in denen die Summanden der Reihe eine
Nullfolge bilden. Es gibt aber einen wichtigen Spezialfall in dem die die Beschränktheit
der Partialsummen die Konvergenz der Reihe impliziert, nämlich wenn alle Summanden der Reihe reell und nicht negativ sind. Wir können für reelle Reihen sogar noch
etwas weiter gehen und wie in §4.2 zusätzlich noch den Begriff der Konvergenz in den
erweiterten reellen Zahlen R einführen, und dann können auch ±∞ als Summen von
Reihen auftauchen.
Für Reihen mit konstanten Vorzeichen ergibt sich dann der folgende Satz:
Satz 5.4 (Monotonieeigenschaften reeller Reihen)
Es gelten:
P
P∞
(a) Sind ∞
n=0 an und
n=0 bn zwei in R konvergente reelle Reihen mit an ≤ bn für
alle n ∈ N, so gilt auch
∞
∞
X
X
an ≤
bn .
n=0
n=0
P
(b) Eine reelle Reihe ∞
n=0 an mit an ≥ 0 für alle n ∈ N ist in R konvergent und
ihr Grenzwert ist das Supremum der Menge aller Partialsummen der Reihe. Die
140
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
P∞
Reihe ist genau dann in R konvergent wenn
n=0 an < ∞ ist, wenn also die
Folge der Partialsummen der Reihe beschränkt ist.
Beweis: (a) P
Für jedes nP
∈ N gilt auch für die Partialsummen der beiden Reihen die
n
Ungleichung k=0 ak ≤ nk=0 bk und mit §4.Lemma 5.(a) folgt die Behauptung.
(b) Bezeichnet (sn )n∈N die Folge der Partialsummen unserer Reihe, so gilt
sn+1 =
n+1
X
ak = sn + an+1 ≥ sn
k=0
für jedes n ∈ N da an+1 ≥ 0 ist, die Folge (sn )n∈N ist also monoton steigend. Damit
folgen alle Aussagen mit §4.Satz 3.(a).
Eine (b) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für Reihen mit negativen Summanden. Wie bei Folgen gibt es auch für Reihen Rechenregeln für die Grenzwerte.
Die beiden einfachsten dieser Regeln betreffen Summen und Vielfache von Reihen und
sollen jetzt schon bewiesen werden.
P∞
P
Lemma 5.5: Sei K ∈ {R, C} und seien ∞
n=0 an und
n=0 bn zwei konvergente Reihen
in K.
P
(a) Die Reihe ∞
n=0 (an + bn ) ist konvergent mit
∞
X
(an + bn ) =
n=0
(b) Für jedes c ∈ K ist die Reihe
∞
X
an +
n=0
P∞
n=0
∞
X
∞
X
bn .
n=0
can konvergent mit
(can ) = c ·
n=0
∞
X
an .
n=0
Beweis: Die jeweiligen Partialsummen sind die Summen beziehungsweise Vielfachen
der Partialsummen der gegebenen Reihen, und die Behauptung folgt damit mit §4.Satz
6.(a,b).
Wir wollen diese Sätze nun zur Behandlung einiger weiterer Beispiele verwenden. Wir
kennen bereits die Reihe
∞
X
1
=1
n(n − 1)
n=2
und mit dieser erhalten wir auch
∞
∞
∞
X
X
1
1 X
1
1
1=
=
= +
,
n(n
−
1)
n(n
+
1)
2
n(n
+
1)
n=2
n=1
n=2
141
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
also ist
∞
X
n=2
Freitag 9.12.2016
1
1
= .
n(n + 1)
2
Beachten wir nun das für jedes n ∈ N mit n ≥ 2 stets
1
1
(n + 1) + (n − 1)
2
+
=
= 2
n(n − 1) n(n + 1)
n(n − 1)(n + 1)
n −1
gilt, so ergibt sich mit Lemma 5
∞ ∞
X
X
1
1
1
1
1
1
3
=
+
=
1+
= .
2
n − 1 n=2 2 n(n − 1) n(n + 1)
2
2
4
n=2
Während wir bisher bei all unseren Beispielen nicht nur die Konvergenz beweisen konnten sondern gleich auch den Reihenwert berechnet haben, wollen wir uns jetzt ein Beispiel anschauen bei dem wir nur die Konvergenz der Reihe einsehen
Hierzu
P∞werden.
2
wird Satz 4 verwendet, konkret wollen wir zeigen, dass die Reihe n=1 1/n konvergiert. Nach dem Satz P
ist hierzu zu zeigen, dass ihre Partialsummen beschränkt bleiben,
2
beziehungsweise das ∞
n=1 1/n < ∞ gilt. Nun haben wir für jedes n ∈ N mit n ≥ 2
2
die Abschätzung 1/n ≤ 1/n(n − 1) und damit folgt
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
1
=
1
+
≤
1
+
= 2 < ∞.
2
2
n
n
n(n
−
1)
n=1
n=2
n=2
Dies beweist die Konvergenz der Reihe. Die explizite Berechnung der Summe ist schon
recht schwer, und für uns an dieser Stelle nicht direkt möglich. Das Problem der Berechnung dieser Reihe wurde erstmals im Jahr 1644 von Mensoli gestellt und war rund
90 Jahre offen bis Euler 1735
∞
X
1
1 1
1
π2
=
1
+
+
+
+
·
·
·
=
n2
4 9 16
6
n=1
zeigen konnte. Es gibt über zwanzig verschiedene Beweise dieser Formel, im Rahmen
der Mathematik für Physiker“ Reihe kommen wir aber erst im vierten Semester zu
”
einer Stelle an der ein bequemer Beweis möglich ist. Etwas allgemeiner ist jetzt auch
für jeden Exponenten k ∈ N mit k ≥ 2
∞
∞
X
X
1
1
≤
≤ 2 < ∞,
k
2
n
n
n=1
n=1
P
k
d.h. auch ∞
n=1 1/n konvergiert. Eine explizite Formel für diese Summe ist nur bei
geraden k bekannt, und auch diese wurde bereits von Euler angegeben.
Eine einfache
P∞
3
und explizite Formel selbst für den einfachsten ungeraden Fall n=1 1/n ist bis heute
nicht bekannt, seit den achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts weiss man aber
142
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
zumindest das diese Summe irrational ist. Es verbleibt der Fall k = 1. Man nennt die
Reihe
∞
X
1
1 1 1
= 1 + + + + ···
(Harmonische Reihe)
n
2
3
4
n=1
die harmonische Reihe. Die Summanden der Reihe bilden eine Nullfolge,Pes wird sich
aber herausstellen das die Reihe trotzdem divergiert. Es bezeichne sn := nk=1 1/k für
n ∈ N mit n ≥ 1 die Partialsummen der harmonischen Reihe. Dann gelten
s20 = 1,
1
1
=1+1· ,
2
2
1
1
1
1
= 1+ +
+ >1+2· ,
2 |{z}
3
4
2
s21 = 1 +
s22
>1/4
s23 = s22 +
1 1 1 1
1
+ + + >1+3· ,
6 7} 8
2
|5 {z
jeweils > 1/8
und allgemein ergibt sich
1
für alle n ∈ N mit n ≥ 2.
2
Insbesondere ist die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe nach dem archimedischen Prinzip §1.Lemma 5 nicht nach oben beschränkt, d.h.
s2n > 1 + n ·
∞
X
1
= ∞.
n
n=1
In der Abschätzung wird die harmonische Reihe nur sehr langsam größer, um beispielsweise über 10 = 1+18·(1/2) zu kommen, braucht es bereits 218 = 262144 Summanden.
Man kann zeigen, dass die Partialsummen in Abhängigkeit von n die Größenordnung
sn ≈ γ + ln(n) haben, wobei γ eine Konstante etwas größer als 1/2 ist. Wir hatten die
Divergenz der harmonischen Reihe eingesehen indem wir die Summanden der harmonischen Reihe in Blöcken von Zweierpotenzlänge zusammengefasst hatten und so für
jedes n ∈ N mit n ≥ 2
2n
X
1
n
>1+
k
2
k=1
gezeigt hatten. Dieses Argument kann man auch in einer etwas allgemeineren Situation
verwenden, es ist nicht wirklich wichtig das die Summanden der Reihe die Stammbrüche
sind, sie müssen nur monoton fallend sein. Angenommen wir haben eine monoton
fallende Folge (an )n≥1 positiver reeller Zahlen. Für jedes n ∈ N haben wir dann
n
2
X
ak ≥ 2n−1 a2n und
k=2n−1 +1
n −1
2X
k=2n−1
143
ak ≤ 2n−1 a2n−1 ,
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
P∞
im wesentlichen lassen sich die Partialsummen der Reihe
nach oben
n=1 an also P
∞
n
und unten durch Partialsummen der sogenannten kondensierten Reihe
n=0 2 a2n
abschätzen. Dies führt uns zum folgenden sogenannten Kondensationskriterium“ oder
”
Verdichtungskriterium“.
”
Satz 5.6 (Cauchys Kondensationskriterium)
Sei (an )n≥1 eine monoton fallende, reelle Zahlenfolge mit an ≥ 0 für alle n ∈ N mit
n ≥ 1. Dann ist die Reihe
∞
X
an genau dann konvergent wenn die Reihe
∞
X
2n a2n
n=0
n=1
konvergent ist.
Beweis: Es seien
sn :=
n
X
ak beziehungsweise tn :=
n
X
2k a2k
k=0
k=1
für jedes n ∈ N die Partialsummen
P∞ der Ausgangsreihe beziehungsweise der kondensierten Reihe. Nach Satz 4.(b) ist n=1 an genau dann konvergent
P∞ n wenn die Folge (sn )n≥1
nach oben beschränkt ist und die kondensierte Reihe n=0 2 a2n ist genau dann konvergent wenn die Folge (tn )n∈N nach oben beschränkt ist. Es ist also nur zu zeigen, dass
(sn )n≥1 genau dann nach oben beschränkt ist wenn (tn )n∈N dies ist.
”=⇒” Sei also (sn )n≥1 nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein C ∈ R mit sn ≤ C für
jedes n ∈ N mit n ≥ 1. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 gilt a2n ≤ ak für alle k ∈ N mit
2n−1 < k ≤ 2n , da die Folge (ak )k∈N als monoton fallend vorausgesetzt ist, also auch
n
n−1
2
a2n =
n
2
X
a2n ≤
k=2n−1 +1
2
X
ak .
k=2n−1 +1
Für jedes n ∈ N folgt weiter
tn =
n
X
k=0
2k a2k = a1 + 2 ·
n
X
2k−1 a2k ≤ a1 + 2
n
X
k
2
X
k=1 l=2k−1 +1
k=1
n
al ≤ 2 ·
2
X
ak = 2s2n ≤ 2C,
k=1
d.h. auch die Folge (tn )n∈N ist nach oben beschränkt.
”⇐=” Nun nehme umgekehrt an das (tn )n∈N nach oben beschränkt ist, es gibt also ein
C ∈ R mit tn ≤ C für jedes n ∈ N. Wieder da die Folge (an )n∈N monoton fallend ist
haben wir für jedes n ∈ N und alle k ∈ N mit 2n ≤ k < 2n+1 stets ak ≤ a2n und somit
auch
2n+1
2n+1
X−1
X−1
ak ≤
a2n = 2n a2n .
k=2n
k=2n
144
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
Ist also n ∈ N, so ergibt die Bernoullische Ungleichung §1.Lemma 6 zunächst 2n −1 ≥ n
und damit ist auch
k+1
sn ≤ s2n −1 =
n−1 2 X
−1
X
k=0
al ≤
l=2k
n−1
X
2k a2k = tn−1 ≤ C,
k=0
d.h. die Folge (sn )n≥1 ist nach oben beschränkt.
Wir wollen das Kriterium einmal dazu verwenden, die Konvergenz der Reihe
∞
X
1
nα
n=1
für ein allgemeines α ∈ R zu entscheiden. Ist α ≤ 0, so gilt für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
auch nα ≤ n0 = 1 also 1/nα ≥ 1 und damit ist (1/nα )n≥1 nicht einmal eine Nullfolge,
wir können uns also auf den Fall α > 0 beschränken. Dann ist die Folge (1/nα )n≥1
eine monoton fallende Nullfolge. Nach dem Kondensationskriterium müssen wir also
die Reihe
n
∞
∞ ∞
X
X
X
1
2n
2
n
=
2 n α =
(2 )
(2α )n
2α
n=0
n=0
n=0
untersuchen. Dies ist eine geometrische Reihe und nach Satz 1 genau dann konvergent
wenn 2/2α < 1, also wenn 2α > 2 = 21 , gilt. Dies ist weiter gleichwertig zu α > 1 und
wir haben
∞
X
1
< ∞ ⇐⇒ α > 1.
nα
n=1
Ein Phänomen das die Behandlung der Konvergenz von Reihen deutlich erschwert, ist
das diese nicht nur vom Betrag der Summanden sondern auch von deren Vorzeichen,
beziehungsweise ihrem Argument im komplexen Fall, abhängt. Beispielsweise ist die
harmonische Reihe
∞
X
1
1 1 1
= 1 + + + + ···
n
2 3 4
n=1
wie gesehen divergent, aber die Reihe
∞
X
(−1)n−1
n=1
n
=1−
1 1 1
+ − + ···
2 3 4
wird sich gleich als konvergent herausstellen. Derartige Reihen bei denen das Vorzeichen
ständig hin und her wechselt werden als alternierende Reihen bezeichnet, und das
folgende sogenannte Leibniz-Kriterium wird zeigen, dass eine große Zahl dieser Reihen
konvergent ist.
Satz 5.7 (Leibniz-Kriterium)
Sei (an )n∈N eine monoton fallende, reelle Nullfolge mit an ≥ 0 für alle n ∈ N. Dann
145
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
P
n
ist die alternierende Reihe ∞
n=0 (−1) an konvergent. Ist (sn )n∈N die Folge der Partialsummen dieser Reihe, so gilt
s2n ≥
∞
X
(−1)k ak ≥ s2n+1
k=0
für alle n ∈ N.
Beweis: Für jedes n ∈ N gelten
s2(n+1) = s2n+2 = s2n − a2n+1 + a2n+2 ≤ s2n
da a2n+2 ≤ a2n+1 ist und
s2(n+1)+1 = s2n+3 = s2n+1 + a2n+2 − a2n+3 ≥ s2n+1
da a2n+2 ≥ a2n+3 ist. Damit ist die Folge (s2n )n∈N monoton fallend und die Folge
(s2n+1 )n∈N ist monoton steigend. Für jedes n ∈ N gilt außerdem
s1 ≤ s2n+1 = s2n − a2n+1 ≤ s2n ≤ s0 ,
d.h. (s2n )n∈N ist nach unten und (s2n+1 )n∈N ist nach oben beschränkt. Nach §4.Satz 3
existieren die beiden Grenzwerte
s := lim s2n und t := lim s2n+1 .
n→∞
n→∞
Nach §4.Satz 6.(a,b) ist dabei
t − s = lim s2n+1 − lim s2n = lim (s2n+1 − s2n ) = − lim a2n+1 = 0,
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
also haben wir s = t. Nach §4.Lemma 1.(d) ist auch die Folge
P∞(sn )n∈Nnkonvergent mit
dem Grenzwert s = t. Dies zeigt die Konvergenz der Reihe n=0 (−1) an sowie
s2n ≥ s =
∞
X
(−1)n an = t ≥ s2n+1
n=0
für jedes n ∈ N.
Beispielsweise konvergieren damit die beiden Reihen
∞
X
(−1)n−1
n=1
∞
X
n=0
n
= 1−
1 1 1
+ − + · · · = ln(2),
2 3 4
(−1)n
1 1 1
π
= 1 − + − + ··· = ,
2n + 1
3 5 7
4
146
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
wobei letztere Reihe oft als die Leibniz-Reihe bezeichnet wird. Die Grenzwerte sind
hier nur zur Information angegeben, mit den uns hier zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln können wir diese noch nicht weiter begründen. Man kann sich das Leibniz
Kriterium, zumindest teilweise, auch so erklären das je zwei Summanden der Reihe zusammengefasst werden, man also zu neuen Summanden der Form bn = a2n − a2n+1 ≥ 0
übergeht und so eine Reihe bestehend aus nichtnegativen Summanden erhält. Eine solche KonstruktionP
kann man auch noch etwas allgemeiner betrachten, startend mit einer
beliebigen Reihe ∞
n=0 an , fasst man die Summanden in einzelnen Blöcken zusammen
b0 = a0 + · · · + an1 −1 , b1 = an1 + · · · + an2 −1 , b2 = an2 + · · · + bn3 −1 , . . .
P∞
und erhält so eine geblockte Reihe“
n=0 bn . Setzt man noch n0 := 0 so stehen in
”
der Definition des i-ten Blocks bi stets ni+1 − ni viele Summanden der Ausgangsreihe.
Ist die Ausgangsreihe konvergent so konvergiert auch die geblockte Reihe mit demselben Grenzwert und unter einigen Zusatzbedingungen gilt auch die Umkehrung dieser
Aussage.
Lemma 5.8 (GeblocktePReihen)
Seien K ∈ {R, C} und ∞
n=0 an eine Reihe in K. Weiter seien n0 , n1 , n2 , . . . ∈ N mit
0 = n0 < n1 < n2 < n3 < · · · gegeben und definiere den k-ten Block bk für jedes k ∈ N
als
nk+1 −1
X
bk :=
aj = ank + · · · + ank+1 −1 .
j=nk
Dann gelten:
P
P∞
(a) Konvergiert P
die Reihe P∞
n=0 an , so konvergiert auch die geblockte Reihe
n=0 bn
∞
∞
und es ist n=0 bn = n=0 an .
(b) Es gelte:
1. Die geblockte Reihe
P∞
n=0 bn
konvergiert.
2. Die Folge (an )n∈N ist eine Nullfolge.
3. Die Blocklängen sind nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein m ∈ N mit
nk+1 − nk ≤ m für alle k ∈ N.
Dann ist auch die Reihe
P∞
n=0
an konvergent.
Beweis: Für jedes n ∈ N seien
sn :=
n
X
ak und tn :=
k=0
n
X
k=0
147
bk
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Freitag 9.12.2016
die Partialsummen der ursprünglichen beziehungsweise der geblockten Reihe. Für alle
k ∈ N haben wir dann
tk =
k
X
bj =
j=0
k nj+1
X
X−1
j=0
nk+1 −1
ai =
i=nj
X
ai = snk+1 −1 .
i=0
(a) Wie eben gezeigt ist (tk )k∈N eine Teilfolge von (sn )n∈N , diese Behauptung folgt
damit aus §4.Lemma 1.(a).
P
(b) Sei a := ∞
k=0 bk . Wir zeigen das auch (sn )n∈N −→ a gilt. Sei also > 0 gegeben.
Wegen (aj )j∈N −→ 0 existiert ein j0 ∈ N mit |aj | < /(2m) für alle j ∈ N mit j ≥ j0
und wegen (tk )k∈N −→ a existiert ein k0 ∈ N mit |tk − a| < /2 für alle k ∈ N mit
k ≥ k0 . Setze m0 := max{nk0 +1 , nj0 } ∈ N. Wir zeigen nun das für jedes n ∈ N mit
n ≥ m0 stets |sn − a| < ist. Sei also n ∈ N mit n ≥ m0 gegeben. Sei k ∈ N minimal
mit n < nk+1 , und wegen n ≥ nk0 +1 ≥ n1 sind dann k ≥ 1 und nk ≤ n < nk+1 . Wegen
nk+1 > n ≥ nk0 +1 ist k + 1 > k0 + 1 also k − 1 ≥ k0 und |tk−1 − a| < /2. Ebenso folgt
k ≥ j0 also gilt für jedes j ∈ N mit nk ≤ j ≤ n stets j ≥ nk ≥ nj0 ≥ j0 und somit
|aj | < /(2m). Insgesamt haben wir damit
n
n
X
X
aj aj = tk−1 − a +
|sn − a| = snk −1 − a +
j=nk
j=nk
≤ |tk−1 − a| +
n
X
|aj | <
j=nk
nk+1 − nk + (n − nk + 1)
≤ +
≤ ,
2
2m
2
m
2
und (sn )n∈N −→ a ist bewiesen.
In Teil (b) des Lemmas benötigt man tatsächlich die beiden Voraussetzungen (2) und
(3), und wir wollen uns für jede der beiden ein Beispiel hierzu anschauen. Haben wir
die Folge (an )n∈N = ((−1)n )n∈N und setzen nk := 2k für jedes k ∈ N, so haben wir
(
1, n ist gerade,
1 − (−1)n+1
sn =
=
und bn = (−1)2n + (−1)2n+1 = 0
2
0, n ist ungerade
P
P∞
für jedes n ∈ N, die Reihe ∞
a
divergiert
also,
aber
die
geblockte
Reihe
n
n=0
n=0 bn =
0 konvergiert und die Blocklänge ist konstant nk+1 − nk = 2 für jedes k ∈ N. Dies war
ein Gegenbeispiel in dem Bedingung (2) verletzt ist, ein Gegenbeispiel zu Bedingung
(3) ist etwas schwerer zu konstruieren. Wir wählen die Blockunterteilung (nk )k∈N so,
dass nk+1 − nk = 2(k + 1) für jedes k ∈ N gilt, also
nk :=
k
X
j = k(k + 1)
j=1
148
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für jedes k ∈ N. Die Folge (an )n∈N definieren wir so das im k-ten Block zunächst (k + 1)
viele Folgenglieder gleich 1/(k + 1) sind und die darauf folgenden (k + 1) Folgenglieder
gleich −1/(k + 1) sind, also als Formel
(
1
, wenn k(k + 1) ≤ n < (k + 1)2 für ein k ∈ N,
k+1
an :=
1
− k+1
, wenn (k + 1)2 ≤ n < (k + 1)(k + 2) für ein k ∈ N
P∞
für jedes n ∈ N. Wir wollen uns überlegen das die geblockte
P∞ Reihe n=0 bn konvergiert
und die Folge (an )n∈N eine Nullfolge ist aber die Reihe n=0 an divergiert. Ersteres ist
dabei klar, für jedes k ∈ N summiert sich der k-te Block zu
bk =
nk+1 −1
(k+1)(k+2)−1
(k+1)2 −1
X
X
X
aj =
j=nk
aj =
j=k(k+1)
j=k(k+1)
1
−
k+1
(k+1)(k+2)−1
X
j=(k+1)2
1
= 0,
k+1
P
also konvergiert ∞
k=0 bk = 0. Weiter ist die Folge (|an |)n∈N monoton fallend und für
jedes k ∈ N gilt |ank | = 1/(k+1),
P∞ also ist (|an |)n∈N −→ 0 und somit auch (an )n∈N −→ 0.
Um die Divergenz der Reihe n=0 an einzusehen, blocken wir diese auch noch auf eine
zweite Weise, nämlich durch
n02k := nk = k(k + 1) und n02k+1 := nk + (k + 1) = (k + 1)2
für jedes k ∈ N. Für jedes k ∈ N ergeben sich die zugehörigen Blöcke als
b02k :=
n02k+1 −1
(k+1)2 −1
X
X
j=n02k
aj =
j=k(k+1)
1
= 1 und analog b02k+1 :=
k+1
n02(k+1) −1
X
aj = −1
j=n02k+1
P∞ 0
P∞
n
d.h. b0n = (−1)n für jedes n ∈ N und die geblockte P
Reihe
n=0 bn =
n=0 (−1)
∞
divergiert, also muss nach dem Lemma auch die Reihe n=0 an divergieren.
Wir wollen in diesem Abschnitt noch eine letzte allgemeine Aussage festhalten. Wir
wissen das eine Folge genau dann konvergiert wenn sie eine Cauchyfolge ist, und damit ist es naheliegend zu fragen wann die Folge der Partialsummen einer Reihe eine
Cauchyfolge ist. Dies führt dann zum sogenannten Cauchy-Kriterium für die Konvergenz von Reihen. Tatsächlich ist dieses das ursprüngliche Cauchy-Kriterium, die
Version für Folgen wurde erst später formuliert.
Satz 5.9 (Cauchy Kriterium für Reihen)
P
Sei K ∈ {R, C}. Dann ist eine Reihe ∞
n=0 an in K genau dann konvergent wenn es
für jedes > 0 ein n0 ∈ N mit
m
X
a
k < k=n
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n0 gibt.
149
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Beweis: Ist (sn )n∈N die Folge der Partialsummen der Reihe, so gilt
m
X
ak = |sm − sn−1 |
k=n
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n. Die Behauptung folgt also aus dem Cauchy Kriterium
§4.Satz 16 für Folgen.
Das Cauchy-Kriterium ist eher für theoretische Überlegungen von Bedeutung, bei der
Behandlung konkret gegebener Reihen kommt es nur selten zum Einsatz.
5.3
Absolute Konvergenz
Wir betrachten noch einmal die Leibniz-Reihe
∞
X
1 1 1
(−1)n
= 1 − + − + ··· .
2n + 1
3 5 7
n=0
Es ist beispielsweise nach Satz 7
∞
0, 6 =
1 X (−1)n
1 1
13
2
=1− <
<1− + =
= 0, 86,
3
3 n=0 2n + 1
3 5
15
und um eine bessere Abschätzung zu erhalten, berechnen wir einige weitere Partialsummen sn
n=0
1
n=1
0, 666666
n=2
0, 866666 n = 3
0, 723809
n=4
0, 834920 n = 5
0, 744011
n=6
0, 820934 n = 7
0, 754267
n=8
0, 813091 n = 9
0, 760459
n = 18 0, 798546 n = 19 0, 772905
n = 28 0, 794016 n = 29 0, 777067
n = 98 0, 787923 n = 99 0, 782898
n = 198 0, 786654 n = 199 0, 784148
n = 998 0, 785648 n = 999 0, 785148
P
n
es ist also 0, 785148 < ∞
n=0 (−1) /(2n + 1) < 0, 785648. Die Konvergenz der Leibniz
Reihe ist sehr langsam, wir brauchen bereits 1000 Summanden um nur drei Nachkommastellen der Summe sicher zu kennen.
Wir summieren die Leibniz Reihe jetzt in einer anderen Reihenfolge auf
∞
1+
X
1 1 1
1
1
− + +
− + · · · =:
an
5 3 9 11 7
n=0
150
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 9.12.2016
d.h. es werden je zwei positive gefolgt von nur einem negativen Term genommen. Ist
n ∈ N so stehen in der n-ten Dreiergruppe also der (2n)-te und der (2n + 1)-te positive
Summand der Leibniz-Reihe gefolgt vom n-ten negativen Summanden der LeibnizReihe, d.h.
1
1
1
1
1
=
, a3n+1 =
=
, a3n+2 = −
.
4 · (2n) + 1
8n + 1
4 · (2n + 1) + 1
8n + 5
4n + 3
P
Wir fassen die Summanden der umgeordneten Reihe ∞
n=0 an in Dreierblöcken zusammen und erhalten die geblockte Reihe
∞
X
1 1
1
1
1
1+ −
+
+
−
+ ··· =
bn
5 3
9 11 7
n=0
a3n =
mit
1
1
1
+
−
8n + 1 8n + 5 4n + 3
(8n + 5)(4n + 3) + (8n + 1)(4n + 3) − (8n + 1)(8n + 5)
=
(8n + 1)(8n + 5)(4n + 3)
24n + 13
>0
=
(8n + 1)(8n + 5)(4n + 3)
bn = a3n + a3n+1 + a3n+2 =
für
jedes n ∈ N mit n ≥ 13 haben wir weiter bn ≤
25/n2 also auch
P
Pn jedes n ∈ N.PFür
∞
2
Reihe ∞
k=13 bk ≤ 25 ·
k=1 1/k < ∞, d.h. die Partialsummen der P
n=0 bn sind nach
∞
oben beschränkt und nach Satz 4.(b) konvergiert die Reihe n=0 bn . Nach Lemma 8
konvergiert damit auch die Reihe
∞
X
∞
X
∞
X (−1)k
1 1 1
1
1
3734
an =
bn > 1 + − + +
− =
= 0, 911843 . . . >
.
5
3
9
11
7
4095
2k
+
1
n=0
n=0
k=0
In dieser Reihenfolge aufsummiert erhalten wir also eine andere Summe. Tatsächlich
läßt sich zeigen, dass
1 1 1
1
1
π + ln(2)
− + +
− + ··· =
5 3 9 11 7
4
gilt. Die Summation unendlicher Summen ist also nicht kommutativ“ sondern kann
”
wie in diesem Beispiel von der Reihenfolge der Summanden abhängen. Das ist natürlich
ein eher unerfreuliches Phänomen. Von besonderen Interesse sind jetzt die guten Rei”
hen“, die unabhängig von der Summationsreihenfolge immer gegen denselben Wert
konvergieren. Derartige Reihen nennt man manchmal unbedingt konvergent, es wird
sich aber gleich herausstellen, dass es eine einfache äquivalente Beschreibung gibt, die
sogenannte absolute Konvergenz.
1+
Definition 5.2 (Absolute Konvergenz)
P
Sei K P
∈ {R, C}. Eine Reihe ∞
n=0 an in KPheißt absolut konvergent, wenn die reelle
∞
Reihe n=0 |an | konvergent ist, wenn also ∞
n=0 |an | < ∞ ist.
151
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
Letzteres gilt dabei nach Satz 4.(b). Beispielsweise ist jede konvergente reelle Reihe
mit nur nicht negativen Summanden trivialerweise auch absolut konvergent, was schon
einen großen Teil unserer bisher behandelten Beispiele
P∞ nabdeckt. Nach Satz 1 ist für
jedes q ∈ C mit |q| < 1 die geometrische Reihe n=0 q absolut konvergent denn die
Reihe der Beträge
∞
∞
X
X
n
|q | =
|q|n
n=0
n=0
ist wieder eine konvergente geometrische Reihe. Die geometrische Reihe wird sich als
eines der wichtigsten Beispiele absolut
Reihen herausstellen. Nicht absolut
P∞ konvergenter
n
konvergent ist dagegen die Reihe n=1 (−1) /n.
Vorlesung 15, Montag 12.12.2016
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Begriff einer absolut konvergenten Reihe
eingeführt, dies war eine Reihe bei der die aus den Beträgen der einzelnen Summanden
gebildete Reihe konvergiert. Wir wollen uns überlegen, dass die absolute Konvergenz
einer Reihe eine stärkere Eigenschaft als ihre Konvergenz ist, dies ist zwar anhand der
Definition nicht offensichtlich, läßt sich aber mit dem Cauchy-Kriterium des vorigen
Abschnitts beweisen.
Lemma 5.10 (Absolute Konvergenz
impliziert Konvergenz)
P∞
Sei
n=0 an eine absolut konvergente Reihe in K. Dann ist
P∞ K ∈ {R, C} und sei
a
auch
konvergent
und
es gilt die Dreiecksungleichung
n=0 n
∞
∞
X
X
a
≤
|a |.
n
n=0 n=0 n
Beweis: Für alle n, m ∈ N mit m ≥ n gilt
m
m
X
X
ak ≤
|ak |
k=n
k=n
P∞
und die Konvergenz von n=0 an folgt mit dem Cauchy-Kriterium Satz 9 für Reihen.
Mit §4.Lemma 2.(b) und §4.Lemma 5.(a) folgt auch
∞
n
n
n
∞
X
X
X
X
X
an = lim
ak = lim ak ≤ lim
|ak | =
|an |.
n=0 n→∞
n→∞ n→∞
k=0
k=0
152
k=0
n=0
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
Genau wie die Konvergenz komplexer Reihen läßt sich auch die absolute Konvergenz
dieser Reihen an Real- und Imaginärteil ablesen.
Lemma 5.11 (Absolute
P∞ Konvergenz komplexer Reihen)
Eine komplexe
an ist genau dann absolut konvergent wenn die beiden reellen
P∞ Reihe n=0P
Reihen n=0 Re(an ) und ∞
n=0 Im(an ) absolut konvergent sind.
P∞
P∞
Beweis: ”=⇒” Sei
n=0 an absolut konvergent, d.h. es ist
n=0 |an | < ∞. Nach
§3.Lemma 3.(a) und Satz 4.(a) ist dann auch
∞
X
n=0
∞
X
|Re(an )| ≤
|Im(an )| ≤
n=0
∞
X
n=0
∞
X
|an | < ∞ und
|an | < ∞,
n=0
P
P∞
d.h. die beiden reellen ReihenP ∞
n=0 Re(an ) undP n=0 Im(an ) sind absolut konvergent.
∞
”⇐=” Da die beiden Reihen ∞
n=0 Re(an ) und
n=0 Im(an ) absolut konvergieren sind
A :=
∞
∞
X
X
Re(an ) < ∞ und B :=
Im(an ) < ∞.
n=0
n=0
Nach §3.Lemma 3.(a) gilt für jedes k ∈ N stets
√
√
|ak | ≤ 2 max{| Re(ak )|, | Im(ak )|} ≤ 2(| Re(ak )| + | Im(ak )|),
also folgt für jedes n ∈ N auch
n
X
|ak | ≤
√
k=0
P
Damit ist ∞
n=0 |an | ≤
konvergent.
2
n
X
k=0
√
| Re(ak )| +
n
X
!
| Im(ak )|
≤
√
2(A + B).
k=0
2(A + B) < ∞ und die komplexe Reihe
P∞
n=0
an ist absolut
Insbesondere ist damit eine reelle Reihe genau dann absolut konvergent wenn sie als
komplexe Reihe absolut konvergent ist, wir können uns also erneut den komplexen Fall
als den allgemeinen Fall denken. Wie schon bemerkt sind die absolut konvergenten
Reihen genau diejenigen, deren Wert sich bei beliebiger Umsortierung der Summanden nicht ändert. Wir werden jetzt gleich beweisen, dass die absolut konvergenten
Reihen tatsächlich diese Eigenschaft haben. Zuvor müssen wir aber den Begriff des
Umsortierens“ formal noch etwas genauer fassen. Eine umsortierte Version einer Rei”
he a0 + a1 + a2 + · · · ist eine Reihe in der dieselben Summanden nur in einer anderen Reihenfolge auftreten, also eine Reihe der Form aπ(0) + aπ(1) + aπ(2) + · · · wobei
π(0), π(1), π(2), . . . die entsprechenden Indizes der Originalreihe sind. Dass jeder Index
153
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
n ∈ N unter den π(0), π(1), π(2), . . . an genau einer Stelle auftaucht, bedeutet das es
für jedes n ∈ N genau einen umsortierten Index k ∈ N mit π(k) = n gibt. In anderen Worten soll die Abbildung π : N → N bijektiv sein. Damit können wir unseren
Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen formulieren. Der Beweis wurde in der
Vorlesung nur sehr grob skizziert, hier wollen wir den vollständigen, exakten Beweis
vorführen.
Lemma 5.12 (Umordnungen
P absolut konvergenter Reihen)
Sei K ∈ {R, C} und seien ∞
in K und π : N →
n=0 an eine absolut konvergente Reihe P
N eine bijektive Abbildung. Dann ist auch die umgeordnete Reihe ∞
n=0 aπ(n) absolut
konvergent und es gilt
∞
∞
X
X
aπ(n) =
an .
n=0
n=0
Beweis: Ist n ∈ N, so setzen wir n∗ := max{π(0), π(1), . . . , π(n)}, und haben die
Inklusion {π(0), π(1), . . . , π(n)} ⊆ {0, . . . , n∗ }, also auch
n
X
∗
|aπ(k) | ≤
n
X
|ak | ≤
|ak | < ∞.
k=0
k=0
k=0
∞
X
P
P∞
Nach Satz 4.(b) ist ∞
n=0 |aπ(n) | konvergent, d.h. auch
n=0 aπ(n) ist absolut konvergent.
P∞
P
Damit ist die erste Aussage bewiesen. Insbesondere sind ∞
n=0 aπ(n) und
n=0 an
nach Lemma 10 beide konvergent. Bezeichne
sn :=
n
X
ak und s0n :=
k=0
n
X
aπ(k)
k=0
für jedes n ∈ N die jeweiligen Partialsummen. Wir wollen zeigen, dass die Differenzen
(sn − s0n )n∈N eine Nullfolge bilden. Sei > 0. Nach dem Cauchy Kriterium Satz 9 für
Reihen existiert n1 ∈ N mit
m
X
|ak | < k=n
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n1 . Wir setzen
n0 := max{n1 , π −1 (0), . . . , π −1 (n1 )}.
Sei jetzt n ∈ N mit n ≥ n0 gegeben. Dann sind
0, 1, . . . , n1 − 1, π −1 (0), π −1 (1), . . . , π −1 (n1 − 1) ∈ {0, . . . , n},
also auch
0, 1, . . . , n1 − 1 ∈ {π(0), π(1), . . . , π(n)}.
154
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
Bilden wir also die Differenz
sn −
s0n
=
n
X
ak −
k=0
n
X
aπ(k) ,
k=0
so kommt jeder der Summanden a0 , . . . , an1 −1 sowohl in sn als auch in s0n vor, und
verschwindet in der Differenz. Von sn und s0n verbleiben dann nur noch Summanden
der Form ak mit k ≥ n1 und k ∈ {0, . . . , n, π(0), . . . , π(n)}. Diejenigen davon die in
sn und s0n vorkommen verschwinden in der Differenz, und die anderen bleiben mit
eventuellen Vorzeichen stehen. Setzen wir also
m := max{n, π(0), . . . , π(n)},
so ist m ≥ n1 und es gibt eine Menge M ⊆ {n1 , n1 + 1, . . . , m} und Vorzeichen σk ∈
{−1, 1} für k ∈ M mit
X
sn − s0n =
σk ak .
k∈M
Mit der Dreiecksungleichung folgt
m
X
X
X
|sn − s0n | = |ak | < .
σk ak ≤
|ak | ≤
k∈M
k∈M
k=n1
Damit ist (sn − s0n )n∈N eine Nullfolge. Mit den Grenzwertsätzen §4.Satz 6.(a,b) folgt
schließlich
∞
X
n=0
an −
∞
X
aπ(n) = lim sn − lim s0n = lim (sn − s0n ) = 0.
n→∞
n=0
n→∞
n→∞
Wie schon erwähnt spricht man auch davon das eine absolut konvergente Reihe unbedingt konvergent ist, also unabhängig von der Summationsreihenfolge stets denselben
Wert hat. Tatsächlich handelt es sich bei den absolut konvergenten Reihen auch genau
um die unbedingt konvergenten Reihen. Wir wollen uns jetzt kurz überlegen, dass man
eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihe stets so umordnen
P∞kann das
sie divergiert. Zunächst betrachten wir hierzu den reellen Fall, es sei also n=0 an eine
konvergente reelle Reihe die nicht absolut konvergent ist. Da eine konvergente Reihe
mit nur positiven oder nur negativen Summanden auch absolut konvergent ist, müssen
dann sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Summanden
vorkommen. Damit können wir die Folge (an )n∈N in eine positive Teilfolge (an+ )k∈N
k
und eine negative Teilfolge (an− )k∈N einteilen, es soll also
k
{n+
k |k ∈ N} = {n ∈ N|an ≥ 0} und
−
{nk |k ∈ N} = {n ∈ N|an < 0}
155
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
gelten. Da
P∞
n=0
Montag 12.12.2016
|an | = ∞ ist, müssen
∞
X
an+ = +∞ und
∞
X
k
k=0
an− = −∞
k
k=0
gelten. Dies bedarf
P∞ einer kleinen Begründung, nehme also einmal an, dass etwa der
positive Teil k=0 an+ < ∞ ist. Wir betrachten dann die durch
k
(
an , an ≥ 0,
b+
n :=
0, an < 0
P∞ +
für n ∈ N definierte Folge. Die Partialsummen
P∞ der Reihe n=0 bn sind dann im wesentlichen dieselben wie diejenigen der Reihe k=0 an+ nur das jedes Folgenglied eventuell
k
P
+
endlich oft wiederholt wird. Also ist auch ∞
n=0 bn konvergent. Damit ist aber auch
∞
X
|an | = 2
∞
X
b+
n
n=0
n=0
−
∞
X
an
n=0
P∞
konvergent, im Widerspruch
dazu
das
n=0 an als nicht absolut
P∞ konvergent vorausgeP
+ = +∞ und analog folgt auch
setzt ist. Also ist ∞
a
= −∞. Wegen
k=0 nk
k=0 an−
k
limk→∞ an− = limn→∞ an = 0 gibt es ein p ∈ N mit −1 < an− < 0 für alle k ∈ N mit
k
k
k > p.
P∞Setze q0 := −1. Ist kP∈∞ N und ist qk ∈ N ∪ {−1} bereits definiert, so ist wegen
= +∞ auch
= +∞, und somit existiert ein qk+1 ∈ N mit
l=0 an+
l=qk +1 an+
l
l
Pqk+1
qk+1 > qk und l=qk +1 an+ > 2. Weiter definieren wir die Zahlen
l
mk := p + 1 +
k−1
X
(ql+1 − ql + 1) = k + qk + p + 2
l=0
für alle k ∈ N, also p + 1 = m0 < m1 < m2 < m3 < . . .. Definiere jetzt die Umordnung

−

0 ≤ l ≤ p,
nl ,
+
π : N → N; l 7→ nqk +l−mk +1 , mk ≤ l < mk+1 − 1 für ein k ∈ N,

 −
np+k+1 ,
l = mk+1 − 1 für ein k ∈ N.
Pp
Setze M := k=0 an− . Für jedes k ∈ N gelten
k
mk+1 −2
qk+1
mk+1 −1
X
X
X
l=mk
aπ(l) =
an+ > 2 und
l
l=qk +1
mk+1 −2
aπ(l) =
l=mk
X
p+k+1
l=mk
also ist für alle k ∈ N und alle m ∈ N mit m ≥ mk+1 auch
m
X
aπ(l) ≥ M + k.
l=0
156
aπ(l) + an−
> 1,
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Montag 12.12.2016
P
Dies zeigt ∞
n=0 aπ(n) = +∞ und insbesondere ist die umgeordnete Reihe divergent.
Damit haben wir bewiesen, dass man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, reelle Reihe immer so umordnen kann das die entstehende Reihe
P∞ divergent ist.
Dies kann man jetzt leicht auf den komplexen Fall ausdehnen. Ist n=0 zn eine konvergente, aber nicht absolut
konvergente, komplexe
Reihe, so sind nach Lemma 2 auch
P∞
P∞
die beiden reellen Reihen n=0 Re(zn ) und n=0 Im(zn ) konvergent und nach Lemma
11 ist eine der beiden Reihen nicht absolut konvergent.
P∞ gibt es daP∞ Wie bereits gezeigt
mit eine bijektive Abbildung π : N → N so, dass n=0
π(n) ) oder
n=0 Im(zπ(n) )
PRe(z
∞
divergiert, und wieder nach Lemma 2 ist damit auch n=0 zπ(n) divergent. Insgesamt
haben wir damit den folgenden Satz bewiesen:
Satz 5.13 (Absolute Konvergenz ist unbedingte
Konvergenz)
P∞
Sei K ∈ {R, C}. Dann ist eine Reihe n=0 an in K genau dann absolut P
konvergent
wenn für jede bijektive Abbildung π : N → N auch die umgeordnete Reihe ∞
n=0 aπ(n)
konvergent ist.
Unsere Argumentation im reellen Fall des obigen Satzes kann man noch etwas verfeinern, und erhält dann den sogenannten Riemannschen Umordnungssatz:
SatzP5.14 (Riemanscher Umordnungssatz)
Sei ∞
n=0 an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, reelle
P∞ Reihe. Dann gibt
es für jedes a ∈ R stets eine bijektive Abbildung π : N → N mit n=0 aπ(n) = a.
Beweis: Wir übernehmen die Bezeichungen der obigen Überlegung. Ist a = +∞ so
haben wir bereits alles bewiesen und für a = −∞ kann man alles analog zu oben
beweisen. Wir müssen also nur noch den Fall a ∈ R betrachten. Wir setzen p+
0 := 0.
Pp−0 −1
P∞
−
−
Wegen k=0 an− = −∞ existiert ein p0 ∈ N mit p0 > 0 und k=0 an− < a.
k
k
Pp−k −1
Pp+k −1
+ −
Sei jetzt k ∈ N und pk , pk mit j=0 an+j + j=0 an−j < a seien schon definiert.
P
+
+
Wegen ∞
an+j = +∞ existiert dann ein minimales p+
k+1 ∈ N mit pk+1 > pk und
j=p+
k
Pp+k+1 −1
Pp−k −1
+ +
> a. Die Minimalität von p+
a
j=0 an−
j=0
nj
k+1 ergibt dann
j
p+
k+1 −2
X
p−
k −1
an+j +
X
j=0
also ist
a<
p−
k −1
an+j +
j=0
Da auch
j=0
p+
k+1 −1
X
P∞
j=p−
k
an−j ≤ a,
X
an−j ≤ a + an++
p
j=0
k+1
.
−1
−
an−j = −∞ gilt, gibt es analog ein minimales p−
k+1 > pk mit
p−
k+1 −1
p+
k+1 −1
a + an−−
p
k+1
≤
−1
X
an+j +
X
j=0
j=0
157
an−j < a.
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−
Damit werden induktiv zwei Folgen (p+
k )k∈N , (pk )k∈N in N definiert, und mit diesen
definieren wir die bijektive Abbildung π : N → N durch

−
−
n−−
, wenn n = p+
k + j mit pk−1 ≤ j < pk , k ∈ N,
pk−1 +j
π : N → N; n 7→
+
+
n++ ,
wenn n = p−
k + j mit pk ≤ j < pk+1 , k ∈ N,
p +j
k
wobei p−
−1 := 0 gesetzt ist. In anderen Worten sortiert π die natürlichen Zahlen als
−
+
−
−
+
+
+
n−
0 , . . . , np− −1 , n0 , . . . , np+ −1 , np− , . . . , np− −1 , np+ , . . . , np+ −1 , . . .
0
1
0
1
1
2
P∞
um. Wir behaupten das für diese Umordnung n=0 aπ(n) = a gilt. Bezeichne hierzu
(sn )n∈N die Folge der Partialsummen dieser Reihe. Sei > 0 gegeben. Da (an )n∈N nach
Lemma 3 eine Nullfolge ist, existiert ein n1 ∈ N mit |an | < für alle n ∈ N mit n ≥ n1 .
+
−
−
Wähle k + , k − ∈ N mit n−
k− ≥ n1 und nk+ ≥ n1 . Weiter gibt es k1 , k2 ∈ N mit pk1 ≥ k
+
−
+
und p+
k2 ≥ k . Setze schließlich k0 := 1 + max{k1 , k2 } und n0 := pk0 + pk0 ∈ N. Sei
n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann können zwei verschiedene Fälle auftreten.
−
+
+
−
Fall 1. Es gebe k, j ∈ N mit p−
k−1 ≤ j < pk und n = pk + j. Wegen n ≥ n0 = pk0 + pk0
−
ist dann k − 1 ≥ k0 also k ≥ k0 + 1 und insbesondere k ≥ 1. Weiter sind p−
k > pk 0 ≥
−
+
+
+
−
−
+
+
−
+
pk1 ≥ k und pk > pk0 ≥ pk2 ≥ k also auch np− −1 ≥ nk− ≥ n1 und np+ −1 ≥ nk+ ≥ n1 ,
k
d.h. |an−− | < und |an++ | < . Weiter ist
p
k
−1
p
sn =
n
X
k
−1
p+
k −1
aπ(i) =
i=0
X
an+i +
j
X
an−i ≥
X
sn =
an+i +
an−i ≤
i=0
i=0
X
X
an−i ≥ a + an−−
p
i=0
k
−1
p−
k−1 −1
p+
k −1
j
X
an+i +
i=0
und
p+
k −1
p−
k −1
p+
k −1
i=0
i=0
X
k
an+i +
X
an−i ≤ a + an++ ,
p
i=0
i=0
k
−1
also insgesamt
a + an−−
p
k
−1
≤ sn ≤ a + an++ , also |sn − a| ≤ max{|an−− |, |an++ |} < .
p
k
−1
p
k
−1
p
k
−1
+
−
+
−
Fall 2. Es gebe k, j ∈ N mit p+
k ≤ j < pk+1 und n = pk + j. Wegen n ≥ n0 = pk0 + pk0
−
−
+
+
−
ist k ≥ k0 und insbesondere k ≥ 1. Weiter sind p−
k ≥ pk0 > pk1 ≥ k und pk+1 > pk0 ≥
+
−
−
+
+
pk2 ≥ k + also auch np− −1 ≥ nk− ≥ n1 und np+ −1 ≥ nk+ ≥ n1 , d.h. |an−− | < und
k
|an++
p
k+1
k+1
p
| < . Weiter ergibt sich
k
−1
sn =
j
X
i=0
an+i +
p−
k −1
p+
k+1 −1
X
X
i=0
an−i ≤
p−
k −1
an+i +
i=0
158
X
i=0
an−i ≤ a + an++
p
k+1
−1
−1
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und
sn =
j
X
an+i +
p−
k −1
p+
k −1
X
X
an−i ≥
p−
k −1
an+i +
X
an−i ≥ a + an−− ,
p
i=0
i=0
i=0
i=0
Montag 12.12.2016
k
−1
also ist in diesem Fall
a + an−−
p
k
−1
≤ sn ≤ a + an++
p
k+1
−1
, also erneut |sn − a| ≤ max{|an−− |, |an++
p
k
−1
Damit ist in beiden Fällen |sn −a| < gezeigt. Insgesamt haben wir damit
limn→∞ sn = a eingesehen.
p
|} < .
k+1
−1
P∞
n=0
aπ(n) =
Es verbleibt die Frage wieweit ein analoger Satz auch für komplexe Reihen gilt? Diese
P∞Frage wird durch einen Satz von Steinitz vollständig beantwortet. Angenommen
n=0 an ist eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, komplexe Reihe. Dann
betrachten wir die Menge
)
(
∞
X
aπ(n) = a
L := a ∈ C Es existiert eine bijektive Abbildung π : N → N mit
n=0
aller komplexen Zahlen, die als Summe einer umgeordneten Version der Reihe auftreten
können. Der Satz von Steinitz sagt dann, dass entweder L = C ist oder L ist eine
Gerade. Dies ist schon ein etwas komplizierteres Ergebnis, dessen Beweis wir hier nicht
einmal andeuten wollen.
Wir kommen jetzt zum rechnerischen Problem einer vorgelegten Reihe anzusehen,
ob sie absolut konvergent ist oder nicht. Es gibt hierfür zwar kein allgemein anwendbares immer funktionierendes Verfahren, aber doch einige Kriterien die oft schon ausreichen. In gewissen Sinne ist die absolute Konvergenz einer Reihe besser zu behandeln
als die Konvergenz, da erstere nur von der Größenordnung der Summanden aber nicht
von Vorzeichen oder Argument abhängt. Das Grundkriterium zum Erkennen absoluter
Konvergenz ist das nun zu formulierende Majorantenkriterium.
Satz 5.15 (Majorantenkriterium
für die absolute Konvergenz)
P
P∞
Sei K ∈ {R, C} und sei n=0 anP
eine Reihe in K. Es gebe eine reelle Reihe ∞
n=0 Mn
mit Mn ≥ 0 für alle n ∈ N und ∞
M
<
∞.
Weiter
gebe
es
eine
Konstante
c≥0
n
n=0
in R und einen
P∞ Startindex n0 ∈ N mit |an | ≤ cMn für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann ist
die Reihe n=0 an absolut konvergent.
Beweis: Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist
n
X
k=0
|ak | ≤
nX
0 −1
k=0
|ak | + c ·
n
X
Mk ≤
k=n0
nX
0 −1
k=0
|ak | + c ·
∞
X
Mk < ∞,
k=0
P
also ist die Folge der Partialsummen der Reihe ∞
n | nach oben beschränkt, die
n=0
P|a
∞
Reihe ist also nach Satz 4.(b) konvergent. Damit ist n=0 an absolut konvergent.
159
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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P∞
In diesen
Zusammenhang
nennt
man
die
Reihe
n=0 Mn auch eine Majorante der
P
Reihe ∞
a
.
Wir
wollen
uns
ein
kleines
Beispiel
zur
Anwendung des Majorantenn=0 n
kriteriums anschauen und betrachten die Reihe
∞
X
sin n
n2
n=1
.
Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 haben wir wegen | sin n| ≤ 1 auch
sin n 1
n2 ≤ n2
P
2
und da wir bereits wissen das die Reihe ∞
n=1 1/n
P∞ konvergiert2 liefert das Majorantenkriterium die absolute Konvergenz der Reihe n=1 sin(n)/n . Insbesondere ist diese
Reihe konvergent. Die Kontraposition des Majorantenkriteriums, beziehungsweise eine
kleine Umformulierung dieser, wird gelegentlich als Minorantenkriterium
bezeichnet.
P∞
Dieses kann man beispielsweise
wie
folgt
aussprechen,
sind
a
eine
reelle oder
n=0 n
P∞
komplexe Reihe
P∞und n=0 bn eine divergente reelle Reihe mit |an | ≥ bn ≥ 0 für alle
n ∈P
N, so ist n=0 an nicht absolut konvergent. In der
P∞Tat, dass die nichtnegative Reihe ∞
b
divergiert
bedeutet
nach
Satz
4.(b)
ja
n=0 n
n=0 bn = ∞ und nach Satz 4.(a)
ist damit auch
∞
∞
X
X
|an | ≥
bn = ∞.
n=0
n=0
Da dieses Minorantenkriterium damit nur ein Spezialfall von Satz 4 ist, wollen wir es
hier auch nicht als eigenen Satz festhalten.
Spezialisieren wir das Majorantenkriterium auf eine geometrische Reihe als Majorante, so ergibt sich das sogenannte Wurzelkriterium, und als einen weiteren Spezialfall
werdenPwir das Quotientenkriterium kennen lernen. Wir wissen das die geometrische
n
Reihe ∞
n=0 q für q ∈ C mit |q| < 1 absolut konvergent ist, und insbesondere trifft
dies auf reelle q mit 0 ≤ q < 1 zu. Diese Tatsache führt uns auf das erwähnte Wurzelkriterium.
Korollar 5.16 (Wurzelkriterium
P∞ für die absolute Konvergenz)
Sei K ∈ {R, C} und sei
eine Reihe in K. Dann gibt es
n=1 an P
P∞genau dann ein
∞
n
q ∈ R mit p
0 ≤ q < 1 so, dass
q
eine
Majorante
von
n=1
n=1 an ist, wenn
n
lim supn→∞ |an | < 1 ist. Insbesondere gilt damit die Implikation
∞
X
p
n
lim sup |an | < 1 =⇒
an ist absolut konvergent.
n→∞
n=1
Beweis: Wir beginnen mit der ersten Aussage und zeigen P
in dieser beide Implikationen.
∞
n
”=⇒”
P∞ Es gebe also eine reelle Zahl q ∈ [0, 1) so, dass n=1 q eine Majorante von
n=1 an ist, d.h. es gibt eine weitere Konstante c ≥ 0 und einen Index n0 ∈ N mit
160
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
n0 ≥ 1 und |an | ≤ cq n für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 . Durch eventuelles Vergrößern
von
c können
wir dabei c > 0 annehmen. Für alle n ∈ N mit n ≥ n0 ist dann auch
p
√
n
n
|an | ≤ c · q, d.h. es gilt nach §4.Lemma 12.(a) und §4.Satz 11.(b)
lim sup
n→∞
p
√
√
n
|an | ≤ lim sup( n c · q) = lim ( n c · q) = q < 1.
n→∞
n→∞
p
”⇐=” Sei nun lim supn→∞ n |an | < 1 vorausgesetzt. Nach p
§4.Satz 11.(e) existieren
n
dann eine reelle Zahl q ∈ R und ein n0 ∈ N mit q < 1 und |an | < q für alle n ∈ N
mit nP≥ n0 . Insbesondere ist auch q >P0 und für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 gilt |an | ≤ q n ,
∞
n
d.h. ∞
n=1 q ist eine Majorante von
n=1 an .
p
DamitP
ist die erste Aussage bewiesen. Setzen wir also lim supn→∞ n |an | < 1 voraus,
so besitzt ∞
n=1 an eine konvergente geometrische Reihe als Majorante und ist nach Satz
15 absolut konvergent.
Man kann das Wurzelkriterium auch ohne Verwendung des Limes Superior formulieren.
Nach §4.Satz 11.(e) ist die Bedingung an den Limes Superior äquivalent zu
p
∃(c ∈ R, 0 ≤ c < 1)∃(n0 ∈ N)∀(n ∈ N, n ≥ n0 ) : n |an | < c.
Oftmals wird auch diese äquivalente Formulierung als das Wurzelkriterium bezeichnet.
In den allermeisten Fällen,
zumindest solange man bei den typischen Rechenaufgaben
p
n
bleibt, ist die Folge ( |an |)n≥1 sogar konvergent, und dann stimmt ihr Grenzwert
nach §4.Satz 11.(b) mit dem Limes Superior überein, also ergibt sich in diesem Fall die
Implikation
∞
X
p
n
lim
|an | < 1 =⇒
an ist absolut konvergent.
n→∞
n=1
Als ein einfaches Beispiel wollen wir die Reihe
∞
X
n
2n
n=1
unter Verwendung des Wurzelkriteriums auf absolute Konvergenz untersuchen. Hierzu
berechnen wir für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
r
n
1√
1
1√
n
= n n und beachten lim n n = < 1,
n
n→∞ 2
2
2
2
d.h. die Reihe ist nach dem Wurzelkriterium absolut konvergent. Bald werden wir auch
in der Lage sein, ihren Grenzwert zu berechnen. Das Wurzelkriterium ist nicht dazu in
der Lage die absolute Konvergenz oder ihre Verneinung sicher zu entscheiden, das ist
auch von vornherein nicht zu erwarten, wir hatten ja gesehen das das Wurzelkriterium
nur testet ob sich die Reihe durch eine konvergente geometrische Reihe majorisieren
161
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
läßt. Man kann dem Wurzelkriterium aber zumindest noch einen recht primitiven Divergenztest hinzufügen, nämlich
lim sup
∞
X
p
n
an ist divergent.
|an | > 1 =⇒
n→∞
n=1
p
Um dies nachzuweisen, beachte zunächst das der Limes Superior der Folge ( n |an |)n≥1
nach
Folge ist, es gibt also eine Teilfolge
p §4.Satz 11.(a) ein Häufungspunkt dieser p
n
nk
( |ank |)k∈N , die in R p
gegen s = lim supn→∞ |an | > 1 konvergiert. Folglich gibt
nk
es auch ein k0 ∈ N mit
|ank | > 1 für alle k ≥ k0 und damit ist auch |ank | > 1 für alle
k ≥ k0 , die Folge (ank )k∈N ist also sicher keine Nullfolge. Damit ist aber (an )n∈N
P∞nach
§4.Lemma 1.(a) ebenfalls keine Nullfolge und nach Lemma 3 ist die Reihe n=1 an
divergent.
p
Im verbleibenden Fall lim supn→∞ n |an | = 1 kann man dagegen nichts sagen, die
Reihe kann konvergieren oder auch divergieren. Ist beispielsweise k ∈ N mit k ≥ 1, so
gilt
r
1
1
n
lim
=
k = 1,
√
n→∞
nk
n
lim n
n→∞
aber für k = 1 haben wir die divergente harmonische Reihe während die Reihe für
k ≥ 2 konvergiert.
Aufgrund des Auftauchens der n-ten Wurzel ist das Wurzelkriterium gelegentlich
rechnerisch nur schwer zu überprüfen. Es gibt ein weiteres Kriterium, das sogenannte
Quotientenkriterium, das oftmals zu leichteren Rechnungen führt. Dieses ist ein gewisser Spezialfall des Wurzelkriteriums, und beruht auf einem allgemeinen Lemma über
Folgen des im Wurzelkriterium vorkommenden Typs.
Lemma 5.17: Sei (an )n≥1 eine Folge in R>0 . Dann gelten
(a) Es ist lim sup
√
n
n→∞
(b) Es ist lim inf
n→∞
an ≤ lim sup
n→∞
√
n
an ≥ lim inf
n→∞
an+1
.
an
an+1
.
an
√
(c) Ist die Folge (an+1 /an )n≥1 in R konvergent, so ist auch die Folge ( n an )n≥1 in R
konvergent und es gilt
√
an+1
lim n an = lim
.
n→∞
n→∞ an
Beweis: (a) Angenommen es wäre
lim sup
√
n
an > lim sup
n→∞
n→∞
162
an+1
.
an
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Nach §4.Satz 11.(e) existieren dann eine reelle Zahl q ∈ R und eine natürliche Zahl
√
n0 ∈ N mit q < lim supn→∞ n an , n0 ≥ 1 und an+1 /an < q für alle n ∈ N mit n ≥ n0 .
Insbesondere ist q > 0 und für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist auch an+1 < qan . Für jedes
n ∈ N mit n ≥ n0 ergibt sich mit iterierter Anwendung dieser Ungleichung auch
an < qan−1 < q 2 an−2 < . . . < q n−n0 an0 , d.h. an ≤ q n−n0 · an0 .
Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist folglich
√
n
r
an ≤
n
an0
·q
q n0
und mit §4.Satz 11.(b), §4.Satz 6.(b) und §4.Lemma 12.(a) ergibt sich
r
r
√
√
a
a
n
n
0
0
lim sup n an ≤ lim sup n n0 · q = lim n n0 · q = q < lim sup n an ,
n→∞
q
q
n→∞
n→∞
n→∞
ein Widerspruch. Dieser Widerspruch zeigt (a).
(b) Dies ist völlig analog zu (a). Angenommen es wäre
lim inf
n→∞
√
n
an < lim inf
n→∞
an+1
.
an
Nach §4.Satz 11.(e) existieren eine reelle Zahl q ∈ R und eine natürliche Zahl n0 ∈ N mit
√
q > lim inf n→∞ n an , n0 ≥ 1 und an+1 /an > q für alle n ∈ N mit n ≥ n0 . Insbesondere
ist q > 0 und für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 ist auch an+1 > qan . Wie in (a) ergibt sich
hieraus auch
an ≥ q n−n0 · an0
für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 haben wir damit
r
√
an
n
an ≥ n n00 · q
q
und mit §4.Satz 11.(b), §4.Satz 6.(b) und §4.Lemma 12.(a) folgt
r
r
√
√
a
a
n
n
0
0
lim inf n an ≥ lim inf n n0 · q = lim n n0 · q = q > lim sup n an ,
n→∞
n→∞
n→∞
q
q
n→∞
erneut ein Widerspruch. Dieser Widerspruch zeigt (b).
(c) Nach (a,b) und §4.Satz 11.(b,c) gilt
√
√
an+1
an+1
an+1
an+1
= lim inf
≤ lim inf n an ≤ lim sup n an ≤ lim inf
= lim
,
n→∞ an
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞ an
an
an
n→∞
lim
also ist
lim inf
n→∞
√
n
an = lim sup
n→∞
163
√
n
an+1
n→∞ an
an = lim
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und §4.Satz 11.(b,c) ergibt die Behauptung.
Damit ergibt sich jetzt das angekündigte Quotientenkriterium.
Korollar 5.18 (Quotientenkriterium
für die absolute Konvergenz)
P
Sei K ∈ {R, C} und sei ∞
a
eine
Reihe in K mit an 6= 0 für alle n ∈ N. Dann
n=0 n
besteht die Implikation
∞
X
|an+1 |
an ist absolut konvergent.
lim sup
< 1 =⇒
|an |
n→∞
n=0
Beweis: Nehmen wir lim supn→∞ |an+1 |/|an | < 1 an, so ist nach Lemma 17.(a) auch
lim sup
n→∞
p
|an+1 |
n
|an | ≤ lim sup
<1
|an |
n→∞
und das Wurzelkriterium Korollar 16 liefert die Behauptung.
Genau wie beim Wurzelkriterium wird das Quotientenkriterium oft auch in der Form
∃(c ∈ R, 0 ≤ c < 1)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) :
|an+1 |
<c
|an |
formuliert. In Aufgaben ist (|an+1 |/|an |)n≥1 oft sogar konvergent, und die Bedingung des
Quotientenkriteriums wird dann zu limn→∞ |an+1 |/|an | < 1. Die oben behandelte Reihe
P
∞
n
n=1 n/2 kann man auch mit dem Quotientenkriterium rechnen, für jedes n ∈ N gilt
(n + 1)/2n+1
1 n+1
1
=
·
−→
< 1.
n/2n
2
n
2
Für ein zweites Beispiel sei z ∈ C gegeben und wir wollen die absolute Konvergenz der
Reihe
∞
X
zn
n!
n=0
einsehen. Für z = 0 ist dies klar, wir können also z 6= 0 annehmen und versuchen das
Quotientenkriterium anzuwenden. Für jedes n ∈ N haben wir
zn+1 (n+1)! |z|n+1
n!
|z|
zn =
·
=
−→ 0 < 1,
(n + 1)! |z|n
n+1
n!
also liefert das Quotientenkriterium die absolute Konvergenz unserer Reihe auch für
z 6= 0.
164
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
Das Lemma 17 zeigt, dass das Wurzelkriterium stärker als das Quotientenkriterium
ist, wann immer man die absolute Konvergenz einer Reihe mit dem Quotientenkriterium einsehen kann, so würde auch das Wurzelkriterium funktionieren. Es gibt Reihen
bei denen das Wurzelkriterium anwendbar ist, das Quotientenkriterium aber nicht. Wir
wollen auch hierfür ein Beispiel angeben, die Reihe
1
1
1
1
1
1
1 1
+ + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + ··· ,
2 3 2
3
2
3
2
3
also
P∞
n=1
an mit
(
an =
1
,
2(n+1)/2
1
,
3n/2
n ist ungerade,
n gerade.
Versuchen wir zuerst einmal das Quotientenkriterium. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist
( (n+1)/2
2
, n ist ungerade,
an+1
3
= 1 3 n/2
an
,
n ist gerade,
2 2
und diese Folge hat die beiden Häufungspunkte 0 und +∞, also ist
lim sup
n→∞
an+1
= +∞.
an
Das Quotientenkriterium läßt sich hier also nicht anwenden. Für das Wurzelkriterium
rechnen wir dagegen für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
(
√ 12n
√ , n ist ungerade,
√
n
an = 12 2
√ ,
n ist gerade,
3
√
√
also haben wir diesmal die beiden Häufungspunkte 1/ 2 und 1/ 3 und es folgt
lim sup
√
n
an =
n→∞
1√
2 < 1.
2
Das Wurzelkriterium ist also anwendbar, und liefert die absolute Konvergenz der Reihe.
Beachte das dieses Beispiel insbesondere zeigt, dass aus lim supn→∞ |an+1 |/|an | > 1
nicht die Divergenz der untersuchten Reihe folgt. Die Divergenz folgt dagegen aus
lim inf n→∞ |an+1 |/|an | > 1, denn dann haben wir nach Lemma 17.(b) und §4.Satz
11.(c) auch
p
p
|an+1 |
lim sup n |an | ≥ lim inf n |an | ≥ lim inf
> 1,
n→∞
n→∞
|an |
n→∞
P
und wir hatten bereits gesehen das dies die Divergenz der Reihe ∞
n=0 an impliziert. Ist
die Folge (|an+1 |/|an |)n∈N konvergent mit limn→∞ |an+1 |/|an | > 1, so ist nachP
§4.Satz
11.(b) auch lim inf n→∞ |an+1 |/|an | = limn→∞ |an+1 |/|an | > 1, und die Reihe ∞
n=0 an
ist divergent.
165
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
5.4
Montag 12.12.2016
Das Cauchy Produkt von Reihen
Im letzten Abschnitt haben wir unter anderem gesehen, dass die Summation von Reihen sich mit Addition und Bilden der Vielfachen verträgt, dies war Lemma 5. Nun
wollen wir uns der Frage der Multiplikation von Reihen zuwenden. Diese ist leider
wesentlich komplizierter als die Multiplikation von Folgen. Das Produkt der Summen
zweier Reihen ist natürlich nicht die Summe der Einzelprodukte, dies ist ja nicht einmal
bei endlichen Summen so
(a1 + a2 + a3 ) · (b1 + b2 + b3 ) =
a1 b1 + a1 b2 + a1 b3
+ a2 b1 + a2 b2 + a2 b3
+ a3 b1 + a3 b2 + a3 b3 .
Als eine etwas optimistische Erwartung könnten wir schauen ob eine entsprechende
Rechnung auch für unendliche Summen wahr ist, ob also so etwas wie
∞ ∞ P
P
an ·
bn
=
a0 b0 + a0 b1 + a0 b2 + · · ·
n=0
n=0
+ a1 b0 + a1 b1 + a1 b2 + · · ·
+ a2 b0 + a2 b1 + a2 b2 + · · ·
..
..
..
.
.
.
gilt? Hierzu müssten wir uns zunächst einmal überlegen was die rechte Seite denn überhaupt bedeuten soll, so eine doppelt unendliche“ Summe haben wir bisher nicht be”
handelt und wollen es in diesem Semester auch nicht tun. Eine naheliegende Möglichkeit
dieses Problem zu umgehen, ist es die Summanden einfach in irgendeiner Reihenfolge
nacheinander hinzuschreiben, etwa nach Diagonalen geordnet als
a0 b0 + a0 b1 + a1 b0 + a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 + · · ·
Dass dies möglich ist klingt zunächst nicht sehr glaubhaft, wir hatten doch gesehen,
dass unendliche Summen von der Reihenfolge der Summanden abhängen können, und
nun soll es auf einmal keine Rolle spielen in welcher Reihenfolge wir unsere Summanden durchlaufen. Dies ist aber kein hoffnungsloses Problem, wir haben ja bereits in
Lemma 12 festgehalten, dass wir absolut konvergente Reihen in beliebiger Reihenfolge
aufsummieren können. P
P∞
Sind beide Summen ∞
n=0 an und
n=0 bn absolut konvergent, so kann man sehen,
dass sich die Produkte ak bl in jeder beliebigen Reihenfolge summieren lassen, und sich
stets das Produkt der Summen der beiden einzelnen Reihen ergibt. Aus Gründen die
erst später bei der Behandlung von Potenzreihen klar werden, ist es nützlich jetzt noch
eine kleine Variante dieser Summationstechnik einzuführen. Wir fassen die Summanden
entlang der Diagonalen zusammen, schreiben also
a0 b0 +a0 b1 +a1 b0 +a0 b2 +a1 b1 +a2 b0 +· · · = a0 b0 +(a0 b1 + a1 b0 )+(a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )+· · ·
Die endlichen Summen in den Klammern fassen wir als eine neue Folge (cn )n∈N auf, und
diese Folge, beziehungsweise die zugehörige Reihe, ist das sogenannte Cauchyprodukt
166
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
der beiden Reihen. Der erste Summand a0 b0 hat 0 = 0 + 0 als Summe der auftauchenden Indizes, die beiden Terme a0 b1 , a1 b0 im zweiten Summanden haben beide die
Indexsumme 0 + 1 = 1 + 0 = 1, die drei Terme a0 b2 , a1 b1 , a2 b0 im dritten Summanden
haben alle die Indexsumme 0 + 2 = 1 + 1 = 2 + 0 = 2, und dies geht immer so weiter. Numerieren wir die Diagonalen mit n = 0, 1, 2, 3, . . . durch, so sind die Produkte
ak bl auf der n-ten Diagonalen gerade durch k + l = n beschrieben. Dies führt auf die
folgende Definition.
Definition 5.3 (Cauchyprodukt
P∞ von
PReihen)
Sei K ∈ {R, C} und seien n=0 an , ∞
n=0
Pbn zwei Reihen über K. Das Cauchyprodukt
dieser beiden Reihen ist dann die Reihe ∞
n=0 cn definiert durch
cn :=
n
X
ak bn−k =
k=0
X
ak b l
k+l=n
für jedes n ∈ N.
Die ersten vier Summanden des Cauchyprodukts sind also die Summen der unten
jeweils eingekästelten Produkte:
a0 b0
a1 b0
a2 b0
a3 b0
a0 b1 a0 b2 a0 b3
a1 b1 a1 b2 a1 b3
a2 b1 a2 b2 a2 b3
a3 b1 a3 b2 a3 b3
c0
a0 b 0
a1 b0
a2 b0
a3 b0
a0 b0
a1 b0
a2 b0
a3 b 0
a0 b1 a0 b2 a0 b3
a1 b1 a1 b2 a1 b3
a2 b1 a2 b2 a2 b3
a3 b1 a3 b2 a3 b3
c1
a0 b1 a0 b2
a1 b1 a1 b2
a2 b1 a2 b2
a3 b1 a3 b2
c2
a0 b 3
a1 b3
a2 b3
a3 b 3
a0 b0
a1 b0
a2 b 0
a3 b0
a0 b1 a0 b2
a1 b1 a1 b2
a2 b1 a2 b2
a3 b1 a3 b2
c3
a0 b3
a1 b3
a2 b3
a3 b3
Wir wollen jetzt den Satz über Produkte von Reihen ansteuern. Überraschenderweise
stellt sich heraus, dass es für die Konvergenz des Cauchyprodukts bereits ausreicht,
das eine der beiden Reihen absolut konvergent ist. Aus Zeitgründen hatten wir in der
Vorlesung auf den Beweis des folgenden Satzes verzichtet, in diesem Skript ist er aber
mit aufgeführt. WirPgehen zunächst
P∞ die Beweisstrategie durch. Gegeben seien zwei
∞
konvergente Reihen n=0 an und n=0 bn , deren Partialsummen wir mit (An )n∈N und
(Bn )n∈N bezeichnen. Mit den Rechenregeln für Folgengrenzwerte §4.Satz 6.(c) haben
wir zunächst
!
!
∞
∞
X
X
an ·
bn = lim An · lim Bn = lim (An Bn ).
n=0
n=0
n→∞
n→∞
n→∞
Denken wir uns die Produkte ak bl wie oben quadratisch angeordnet, so ist das Produkt
An Bn diePSumme aller Einträge im n × n Quadrat links oben in diesem Schema. Bezeichnet ∞
n=0 cn das Cauchyprodukt der beiden Reihen und (Cn )n∈N die Folge seiner
Partialsummen, so ist Cn die Summe aller Einträge im unten eingezeichneten Dreieck:
167
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
ak
Montag 12.12.2016
ak
ak
Cn
An Bn
An Bn − Cn
bl
bl
bl
Das Quadrat An Bn
n0
Das Dreieck Cn
Differenz der beiden
Da die Folge (An Bn )n∈N gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert, ist die
Konvergenz von (Cn )n∈N gegen dieses Produkt gleichwertig dazu das (An Bn − Cn )n∈N
eine Nullfolge ist. Diese Differenz ist die Summe über das Dreieck ganz rechts. In
diesem Dreieck hat man sowohl Summanden ak bl mit kleinem k als auch solche mit
kleinem l. Wegen k + l > n können k und l aber nicht beide gleichzeitig klein sein
und zur Abschätzung teilt man die Summe über das Dreieck in zwei Teile auf, einmal
Summanden mit l ≥ n0 für einen Startindex n0 , und zum anderen die restlichen mit
l < n0 .
Satz 5.19 (Cauchyprodukte
P
P∞von Reihen)
Sei K ∈ {R, C} und seien n=0 an , ∞
von denen eine
n=0 bn zwei konvergente Reihen
P
sogar absolut konvergent ist. Dann ist auch das Cauchyprodukt ∞
c
n=0 n dieser beiden
Reihen konvergent, und es gilt
!
!
" n
#
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
X
bn .
ak bn−k =
an ·
cn =
n=0
n=0
P∞
n=0
k=0
n=0
P∞
Sind sogar beide Reihen
a
,
b
absolut
konvergent,
so
ist
auch
n
n
n=0
n=0
n=0 cn
absolut konvergent, und istP
weiter d0 , d1 , d2 , . . . eine Aufzählung der Produkte ak bl (k, l ∈
N), so ist auch die Reihe ∞
n=0 dn absolut konvergent mit
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
dn =
an ·
bn .
n=0
P∞
n=0
n=0
Beweis: Seien An , Bn , Cn wie oben. Da das Cauchyprodukt
P∞ sich bei Vertauschen der
beiden Reihen nicht ändert, können wir annehmen das n=0 an absolut konvergent ist,
also
∞
X
A :=
|an | < ∞.
n=0
Wie bemerkt müssen wir zeigen, dass (An Bn − Cn )n∈N eine Nullfolge ist. Sei P
also >
0 gegeben. Nach dem Cauchy Kriterium für Reihen Satz 9 angewandt auf ∞
n=0 bn
existiert ein n1 ∈ N mit
m
X
bl <
2A + 1
l=n
168
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
Pn1 −1
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n1 . Setze M := l=0
|bl |. Erneut
P nach dem Cauchy
Kriterium für Reihen Satz 9, diesmal angewandt auf die Reihe ∞
n=0 |an |, existiert ein
n2 ∈ N mit
m
X
|ak | <
2M + 1
k=n
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n2 . Setze n0 := n1 + n2 . Sei n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann ist



 n
−1
n
1
X
X
 X  X X
 bl  +
ak  · bl ak · 
ak bl = |An Bn − Cn | = 
l=1
1≤k≤n
n
≤l≤n
k=1
0≤k,l≤n
1
k+l>n
k+l>n
k+l>n
#
n1 −1 " n
n
n
X
X
X
X
≤
|ak | · |ak | · |bl |
bl +
l=1
k=n−l+1
k=1
l=max{n1 ,n−k+1}
≤
A
M
+
<
2A + 1 2M + 1
da für jedes 1 ≤ l ≤ n1 −1 stets n−l+1 ≥ n0 −n1 +2 > n2 ist. Damit ist (An Bn −Cn )n∈N
eine Nullfolge, und die erste Aussage
des Satzes ist bewiesen.
P∞
Nun nehmen wir an, dass auch n=0 bn absolut konvergent ist und setzen
B :=
∞
X
|bn | < ∞.
n=0
Für jedes n ∈ N gilt dann
n
X
|cn | ≤
k=0
X
0≤k,l≤n
k+l≤n
|ak | · |bl | ≤
n
X
!
|ak |
·
k=0
n
X
!
|bl |
≤ AB,
l=0
P∞
P∞
also ist
|c
|
≤
AB
<
∞
und
auch
n
n=0
n=0 cn ist absolut konvergent. Sei jetzt
d0 , d1 , d2 , . . . eine Aufzählung der Produkte ak bl (k, l ∈ N), also dn = aα(n) bβ(n) für alle
n ∈ N wobei
γ : N → N × N; n 7→ (α(n), β(n))
eine bijektive Abbildung ist. Sei n ∈ N. Dann setzen wir m := max{α(k) + β(k)|k ∈
N, 0 ≤ k ≤ n} und haben
n
X
k=0
|dk | =
n
X
|aα(k) | · |bβ(k) | ≤
k=0
X
|ak | · |bl | ≤ AB.
0≤k,l≤m
k+l≤m
P
P∞
0
Also ist ∞
n=0 |dn | ≤ AB < ∞ und
n=0 dn ist absolut konvergent. Sei jetzt (dn )n∈N die
Aufzählung der Produkte ak bl geordnet nach Diagonalen. Dann ist das Cauchyprodukt
169
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
P∞
P∞ 0
c
eine
geblockte
Form
von
n
n=0
n=0 dn im Sinne von Lemma 8, und nach Lemma
8.(a) sowie der schon bewiesenen Teilaussage ist damit
!
!
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
d0n =
cn =
an ·
bn .
n=0
n=0
n=0
n=0
Schreiben wir wie oben d0n = aα0 (n) bβ 0 (n) für alle n ∈ N mit einer bijektiven Abbildung
γ 0 : N → N × N; n 7→ (α0 (n), β 0 (n)), so ist auch π := γ −1 ◦ γ 0 bijektiv mit γ ◦ π = γ 0 ,
also α0 = α ◦ π und β 0 = β ◦ π. Für jedes n ∈ N ist damit
d0n = aα0 (n) bβ 0 (n) = aα(π(n)) bβ(π(n)) = dπ(n) ,
und mit Lemma 12 folgt schließlich
∞
X
dn =
∞
X
dπ(n) =
n=0
n=0
∞
X
d0n =
n=0
∞
X
n=0
!
an
·
∞
X
!
bn .
n=0
Wir wollen hierzu ein kleines Beispiel rechnen. Sei q ∈ C mit |q| < 1 gegeben. Dann
wissen wir bereits nach Satz 1 das die geometrische Reihe
∞
X
qn =
n=0
1
1−q
absolut konvergiert. Wir bilden jetzt das Cauchyprodukt (cn )n∈N dieser Reihe mit sich
selbst, und erhalten für jedes n ∈ N
cn =
m
X
q k q n−k =
k=0
n
X
q n = (n + 1)q n .
k=0
Der Satz über das Cauchyprodukt Satz 19 ergibt damit die absolute Konvergenz der
Reihe
!2
∞
∞
X
X
1
n
n
.
(n + 1)q =
q
=
(1 − q)2
n=0
n=0
Damit folgt weiter
∞
X
n=1
n
nq =
∞
X
n=0
n
(n + 1)q −
∞
X
qn =
n=0
1
1
q
−
=
.
2
(1 − q)
1−q
(1 − q)2
Auch diese Reihe ist absolut konvergent da Summen und Vielfache absolutP
konvergenter
∞
Reihen wieder absolut konvergent sind. Dies ist leicht zu sehen, sind
n=0 an und
170
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 12.12.2016
P∞
n=0 bn zwei absolut konvergente Reihen über K ∈ {R, C} und c ∈ K eine Konstante,
so gilt für jedes n ∈ N auch
n
X
|ak + bk | ≤
k=0
und
n
X
(|ak | + |bk |) =
k=0
n
X
|cak | =
k=0
n
X
|ak | +
k=0
n
X
(|c| · |ak |) = |c| ·
n
X
|bk | ≤
∞
X
k=0
∞
X
k=0
k=0
|ak | ≤ |c| ·
k=0
|ak | +
∞
X
∞
X
|bk | < ∞
k=0
|ak | < ∞,
k=0
P∞
P
die Folgen der Partialsummen der beiden Reihen n=0 |an + bn | und ∞
n=0 |can | sind
also nach oben beschränkt und
Satz 4.(b) folgt
Konvergenz dieser Reihen, also
Pdie
Pmit
∞
∞
die absolute Konvergenz von n=0 (an + bn ) und n=0 (can ).
Setzen wir in der Reihe
∞
X
q
nq n =
(1 − q)2
n=1
beispielsweise q = 1/2 ein, so ergibt sich
∞
1
X
n
1 2 3
4
5
2
=
+
+
+
+
+
·
·
·
=
= 2.
n
1 2
2
2
4
8
16
32
1
−
n=1
2
P
P∞
a
und
Falls beide Reihen ∞
n
n=0
n=0 bn nur konvergent aber nicht absolut konvergent sind, so kann das Cauchyprodukt der beiden Reihen tatsächlich divergent sein.
Beispielsweise ist die Reihe
∞
X
(−1)n
√
n+1
n=0
nach dem Leibniz Kriterium Satz 7 konvergent. Das Cauchyprodukt dieser Reihe mit
sich selbst ist für n ∈ N gegeben durch
n
n
X
X
1
(−1)k
(−1)n−k
n
√
√
p
= (−1)
·
.
cn :=
n−k+1
k+1
(k + 1)(n − k + 1)
k=0
k=0
Sind n, k ∈ N mit 0 ≤ k ≤ n, so haben wir
(k + 1)(n − k + 1) =
d.h.
|cn | =
n
2
+1−
n
X
2
−k
n
n
·
+1+ −k
2
2
n
2 n
2 n
2
=
+1 −
−k ≤
+1 ,
2
2
2
1
p
k=0
n
(k + 1)(n − k + 1)
171
≥
n
X
n
k=0 2
1
2(n + 1)
=
+1
n+2
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 16.12.2016
und somit ist (cn )n∈N nicht einmal eine Nullfolge. Eine letzte überraschende Tatsache
wollen wir hier noch festhalten, aber nicht beweisen. Wie gesehen kann das Cauchyprodukt zweier konvergenter Reihen divergent sein, wenn es aber konvergent ist, so
muss es immer gegen den richtigen Wert, also das Produkt der beiden Ausgangsreihen,
konvergieren.
$Id: lgs.tex,v 1.20 2016/12/12 10:51:21 hk Exp $
§6
Lineare Gleichungssysteme
Vorlesung 16, Freitag 16.12.2016
In diesem Kapitel beginnen wir mit der sogenannten linearen Algebra, und ein guter
Einstiegspunkt hierfür sind die linearen Gleichungssysteme. Als einen Algorithmus zur
systematischen Lösung derartiger Systeme werden wir das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren vorstellen. Die meisten anderen rechnerischen Aufgabentypen in der
linearen Algebra werden dann auf lineare Gleichungssysteme zurückgeführt oder mit
gewissen Varianten des Gaußalgorithmus behandelt. Ein lineares Gleichungssystem ist
ein Gleichungssystem der Form
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
am1 x1 + am2 x2
+ · · · + a1n xn = b1
+ · · · + a2n xn = b2
..
.
. = ..
+ · · · + amn xn = bm .
Solche linearen Gleichungssysteme kommen in vielen verschiedenen Kontexten vor, und
wir wollen jetzt beispielhaft einige dieser Situationen vorstellen.
1. Angenommen wir haben zwei Geraden g1 , g2 in der Ebene. Für i = 1, 2 sei die
Gerade gi durch einen Aufpunkt pi und einen Richtungsvektor ui gegeben, d.h.
gi = {pi + t · ui |t ∈ R}.
Wir wollen den Schnittpunkt g1 ∩ g2 der beiden Geraden berechnen. Für i = 1, 2
liegt ein Punkt x der Ebene genau dann auf gi wenn es ein t ∈ R mit x = pi + tui
gibt, also ist ein solcher Punkt x genau dann Schnittpunkt der beiden Geraden
wenn es gleichzeitig t, s ∈ R mit x = p1 +tu1 und x = p2 +su2 gibt. Dann ist auch
172
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 16.12.2016
p1 + tu1 = p2 + su2 und in Komponenten ausgeschrieben und etwas umgestellt
bedeutet dies
u11 t − u21 s = p21 − p11
u12 t − u22 s = p22 − p12 .
Dies ist ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen in den beiden Unbekannten t, s. Lösen wir dieses durch t, s so ergibt sich der Schnittpunkt als
x = p1 + tu1 . Es kann durchaus vorkommen das das lineare Gleichungssystem
überhaupt keine Lösung hat, nämlich wenn die beiden Geraden parallel aber verschieden sind, und es kann auch sein das es mehr als eine Lösung gibt, nämlich
wenn die beiden Geraden gleich sind.
2. Angenommen wir haben eine Ebene e und eine Gerade l im dreidimensionalen
Raum. Die Ebene sei durch einen Aufpunkt p und zwei Richtungsvektoren u, v
gegeben, also
e = {p + tu + sv|t, s ∈ R}.
Entsprechend sei die Gerade durch einen Aufpunkt q und einen Richtungsvektor
w gegeben, also
l = {q + tw|t ∈ R}.
Wir wollen den Durchschnitt e ∩ l berechnen. Ein Punkt x liegt genau dann in e
und l wenn es reelle Zahlen t, s, r ∈ R mit x = p + tu + sv und x = q + rw gibt.
zur Bestimmung dieser Punkte x müssen wir also alle Lösungen der Gleichung
p + tu + sv = q + rw
in den Variablen t, s, r ∈ R finden. Schreiben wir die obige Gleichung für die
einzelnen Komponenten hin, und machen eine kleine Umstellung, so ergibt sich
das lineare Gleichungssystem
u1 t + v1 s − w1 r = q1 − p1
u2 t + v2 s − w2 r = q2 − p2
u3 t + v3 s − w3 r = q3 − p3
aus drei Gleichungen in drei Unbekannten. Es gibt natürlich besere Rechenwege
zur Bestimmung von e ∩ l, etwa durch Umformung von e in die Hessesche Normalform, aber uns geht es hier um das lineare Gleichungssystem und nicht um
die konkrete Aufgabe.
3. Als ein ähnliches Problem denken wir uns diesmal gleich zwei Ebenen e1 , e2
im dreidimensionalen Raum gegeben, und für i = 1, 2 sei die Ebene ei durch
einen Aufpunkt pi und zwei Richtungsvektoren ui , vi gegeben. Zur Berechnung
des Schnitts e1 ∩ e2 müssen wir diesmal die Gleichung
p1 + au1 + bv1 = p2 + cu2 + dv2
173
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in den vier Variablen a, b, c, d ∈ R lösen. Ausgeschrieben und etwas umgestellt
ergibt sich das lineare Gleichungssystem
u11 a + v11 b − u21 c − v21 d = p21 − p11
u12 a + v12 b − u22 c − v22 d = p22 − p12
u13 a + v13 b − u23 c − v23 d = p23 − p13
aus drei Gleichungen in vier Unbekannten. Auch hier gibt es bessere Rechenwege.
4. Lineare Gleichungssysteme entstehen auch bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Angenommen wir haben ein zu berechnendes Skalarfeld u
auf dem Würfel [0, 10]3 , also anders gesagt eine Funktion u : [0, 10]3 → R. Dabei
sei u durch eine Differentialgleichung, also durch eine Gleichung in den Ableitungen der Funktion u, und zusätzliche Randbedingungen gegeben. Ein Ansatz zum
numerischen Rechnen ist es den Würfel durch ein diskretes Gitter zu ersetzen,
etwa indem das Intervall [0, 10] in jeder der drei Dimensionen mit einer festen
Schrittweite unterteilt wird. Um die Funktion u auf den Gitterpunkten zu berechnen, nähert man alle Ableitungen durch gewissen Differenzenquotienten in
der gewählten Schrittweite an und ersetzt die Differentialgleichung näherungsweise durch ein lineares Gleichungssystem. Dieses Gleichungssystem hat dann eine
Gleichung und eine Unbekannte für jeden Gitterpunkt. Hierbei kommt man sehr
schnell auf recht große lineare Gleichungssysteme, haben wir etwa die Schrittweite h = 0, 1, so wird das Intervall [0, 10] in 100 Teile zerlegt und wir haben
1003 = 1000000 Gleichungen in ebensovielen Unbekannten.
5. Als ein letztes Beispiel eines linearen Gleichungssystems wollen wir den sogenannten Pagerang einer Seite im WWW besprechen. Der Pagerang ist eine positive
Zahl die die Relevanz der fraglichen Seite messen soll. Wir denken uns alle Seiten
im Netz als S1 , . . . , Sn durchnumeriert, dabei ist n eine recht grosse Zahl. Jeder
Seite Si soll ein Pagerang P (Si ) > 0 zugeordnet werden. Dabei soll sich die Relevanz der Seite daraus ergeben wieviele andere Seiten einen Link auf sie haben.
Schreiben wir für jedes 1 ≤ i ≤ n
Bi := {1 ≤ j ≤ n|j 6= i und es gibt einen Link von Seite Sj nach Seite Si }
für die Menge aller Seiten die einen Link nach Si haben, so soll sich P (Si ) also
aus Bi ergeben. Wir wollen aber nicht einfach die Anzahl aller Links nach Si
zählen, Links die von wichtigen Seiten kommen sollten mehr zählen als solche die
von unwichtigen Seiten kommen. Welche Seite dabei wichtig ist, wird wiederum
durch deren Pagerang beschrieben. Man könnte also daran denken als Pagerang
von Si die Summe alle Ränge der nach Si linkenden Seiten zu nehmen. Das ist
aber auch problematisch, haben wir etwa eine wichtige Seite Sj in Bi die nur auf
wenige andere Seiten verlinkt, so sollte dieser Link mehr zählen als ein Link von
einer ebenso wichtigen Seite Sk ∈ Bi die auf sehr viele andere Seiten verweist.
174
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Hierzu betrachtet man die Bedeutung eines von der Seite Sj ausgehenden Links
relativ zur Gesamtzahl
Lj := Anzahl aller von Sj ausgehenden Links
aller Links von Sj . Dabei werden mehrfache Links auf dieselbe Seite nur einmal
gezählt und Links von Sj auf sich selbst werden ignoriert. Hat Seite Sj dann den
Pagerang P (Sj ), so soll jeder von Sj ausgehende Link die Wichtigkeit“ P (Sj )/Lj
”
auf sein Ziel übertragen. Um dann den Pagerang von Si zu ermitteln summieren
wir diese Wichtigkeiten alle auf, also
P (Si ) =
X P (Sj )
.
Lj
j∈B
i
So weit so gut, nur ist das leider keine Definition. Haben wir etwa kreisförmig
angeordnete Links S1 → S2 → S3 → S4 → S1 , so hängt P (S1 ) von P (S4 ) ab,
was wiederum von P (S3 ) abhängt, dieses hängt von P (S2 ) ab, und P (S2 ) hängt
schließlich wieder von P (S1 ) ab. Trotzdem funktioniert alles, man muss sich die
obige Formel nur nicht als eine Definition sondern als eine Gleichung denken.
Schreiben wir die Formel zu
X 1
P (Sj ) = 0
P (Si ) −
L
j
j∈B
i
um, so haben wir damit ein lineares Gleichungssystem in den n Unbekannten
P (S1 ), . . . , P (Sn ) und ebenso vielen Gleichungen. Das ist noch nicht ganz das
Gleichungssystem das wirklich verwendet wird, aber es kommt nur noch eine
kleine Modifikation hinzu. Das dann entstehende lineare Gleichungssystem hat
eine bis auf eine willkürliche Normierung eindeutige Lösung und in dieser sind
alle P (Si ) tatsächlich positiv.
Definition 6.1: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m linearen Gleichungen


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
(∗)
..
..
..
.

.
.
. = ..


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm 
für die gesuchten n Unbekannten x1 , . . . , xn . Dabei sind die sogenannten Koeffizienten
aij und die rechten Seiten bj reelle oder komplexe Zahlen, und auch die Variablen
x1 , . . . , xn können reell oder komplex sein.
Je nachdem ob reelle oder komplexe Zahlen vorliegen, sprechen wir von einem linearen
Gleichunssystem über R oder über C. Wir wollen noch einige Anmerkungen zur Notation machen. Zunächst beache das aij den Koeffizienten vor xj in der i-ten Gleichung
175
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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meint, der erste Index i“ ist also der Zeilenindex der sagt welche der Einzelgleichungen
”
gemeint ist und der zweite Index j“ ist der Spaltenindex der angibt auf welche Variable
”
wir uns hier beziehen. Dieser Konvention werden wir, soweit sinnvoll, auch bei anderen
Arten solcher doppelt indizierten Größen aij folgen, der erste Index ist der Zeilenindex
und der zweite Index der Spaltenindex. Eine Lösung des obigen Gleichungssystems (*)
gibt für jede der Variablen x1 , . . . , xn einen reellen oder komplexen Wert an unter dem
alle Gleichungen aus (*) erfüllt sind, und um eine solche Lösung hinzuschreiben geben
wir entweder die Zuweisungen explizit an, beispielsweise x1 = 3, . . . , xn = −7“, oder
”
wir notieren sie kompakt als ein Tupel (3, . . . , −7). Oft schreiben wir dieses Tupel dann
auch vertikal“, in Form eines sogenannten Spaltenvektors“, dies dient aber zunächst
”
”
nur der Optik und hat im Kontext dieses Kapitels keine inhaltliche Bedeutung. Die
Menge aller Lösungen von (*) nennen wir dann die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, diese wird immer in der Tupelschreibweise angegeben.
Haben wir ein konkretes lineares Gleichungssystem, also auch einen festen Wert
für die Anzahl n der Unbekannten, so nennen wir die Variablen bei kleinen n oftmals
nicht x1 , . . . , xn sondern geben ihnen eigene Namen. Für die Benennung gibt es dabei keine fixierte Konvention, manchmal ergibt sich eine natürliche Benennung“ aus
”
der sonstigen Aufgabenstellung, manchmal kann man rein willkürlich gewählte Namen
verwenden. In diesem Skript und in den Übungsaufgaben werden wir im Fall n = 2
meist x, y oder s, t nehmen, im Fall n = 3 zumeist x, y, z und für n = 4 in der Regel
x, y, u, v. Bevor wir an die Lösung linearer Gleichungssysteme gehen, ist es hilfreich
eine kompakte Schreibweise für diese einzuführen.
Definition 6.2 (Reelle und komplexe Matrizen)
Eine m × n Matrix A über K ∈ {R, C} ist ein rechteckiges Schema


a11 · · · a1n

.. 
A =  ...
. 
am1 · · · amn
bestehend aus m Zeilen von je n Elementen von K. Ist dabei m = n, so spricht man
auch von einer quadratischen Matrix.
Wir können jetzt ein lineares Gleichungssystem wie unser obiges (∗) als eine Matrix
schreiben, indem nur noch die Koeffizienten und die rechte Seite des Systems hingeschrieben werden. Hierbei gehen die Bezeichungen der Unbekannten verloren, aber
diese spielen innerhalb der Rechnungen sowieso keine Rolle.
Definition 6.3: Sei (∗) das lineare Gleichungssystem aus Definition 1. Dann nennt man
die Matrix


a11 · · · a1n

.. 
A =  ...
. 
am1 · · · amn
176
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die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (∗). Weiter heißt die Matrix


a11 · · · a1n b1

..
.. 
A0 =  ...
.
. 
am1 · · · amn bm
die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (∗).
Gelegentlich wird die rechte Seite des Gleichungssystems in der erweiterten Koeffizientenmatrix durch einen senkrechten Strich von den Koeffizienten getrennt, also


a11 · · · a1n b1
 ..
..  ,
..
 .
.
. 
am1 · · · amn bm
dies hat dann aber keine inhaltliche Bedeutung, sondern dient nur der Optik. Wir wollen uns jetzt auch noch ein erstes konkretes Beispiel eines linearen Gleichungssystems
anschauen, nämlich das folgende System von vier Gleichungen in vier Unbekannten:
x + 2y − u + v = 1
x + 2y + u − v = −3
−x + 2y + 3u − v = 1
3x
− u
= 0
Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix A0 dieses Gleichungssystems
entstehen dann indem wir alle redundanten Symbole, also Plus/Minus-Zeichen, Gleichheitszeichen und Unbekannte weglassen, sie sind also die 4 × 4 beziehungsweise 4 × 5
Matrix




1 2 −1
1
1 2 −1
1
1
 1 2

1 −1 
1 −1 −3 
 , A0 =  1 2
.
A=

 −1 2

3 −1
−1 2
3 −1
1 
3 0 −1
0
3 0 −1
0
0
Auf einige Randfälle wollen wir besonders hinweisen:
1. Einzeln stehende Variablen werden in der Koeffizientenmatrix zu 1“, da bei”
spielsweise das x“ in der ersten Gleichung als 1 · x gelesen werden kann.
”
2. Subtraktionen im Gleichungssystem werden als Addition mit dem entsprechenden
negativen Vielfachen aufgefasst, so wird beispielsweise das −u“ in der ersten
”
Gleichung zu −1“ in der Koeffizientenmatrix.
”
3. Nicht vorkommende Variablen in einer der Gleichungen denken wir uns als Null
mal die entsprechende Variable dazu, beispielsweise führt das fehlende y in der
vierten Gleichung in der Koeffizientenmatrix zu einer 0“ in der zweiten Spalte
”
der vierten Zeile.
177
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Sehr kleine lineare Gleichungssysteme mit n = 2 oder n = 3 Unbekannten kann man
einfach durch schrittweises Eliminieren der Unbekannten lösen, sind die Unbekannten
etwa x, y und haben wir zwei Gleichungen, so nehmen wir eine der beiden Gleichungen um y durch x auszudrücken, setzen das Ergebnis für y in die andere Gleichung
ein, lösen diese nach x auf, und berechnen hieraus schließlich y. Dieses Verfahren wird
aber schon ab n = 4 Unbekannten unpraktisch. Das Gleichungssystem im obigen Beispiel wäre noch gerade ausreichend klein um direkt durch schrittweises Eliminieren der
Unbekannten gelöst zu werden, wir wollen aber lieber ein systematisches, allgemein
verwendbares, Lösungsverfahren haben. Als ein solches werden wir das sogenannte
Gaußsche Eliminationsverfahren“ verwenden. Dieses Verfahren beruht darauf ein ge”
gebenes lineares Gleichungssystem von allgemeiner Form in ein äquivalentes System
von sehr spezieller Gestalt umzuformen. Diese speziellen linearen Gleichungssysteme
sind die linearen Gleichungssysteme die in der sogenannten Stufenform“ vorliegen:
”
a11 x1 + · · · + a1i xi + · · · + a1j xj + · · · = b1
a2i xi + · · · + a2j xj + · · · = b2
a3j xj + · · · = b3
..
.
.
= ..
mit a11 6= 0, a2i 6= 0, a3j 6= 0 und so weiter. In jeder Gleichung kommen also von links
gesehen immer weniger der Unbekannten vor. Ein konkretes Beispiel für ein solches
Gleichungssystem mit m = 2 Gleichungen und n = 4 Unbekannten ist
x+y + u−v = 1
u + v = 2,
hier haben wir die beiden unterstrichenen Stufen der Länge 2. Wir lösen ein System in
Stufenform indem wir von unten nach oben gehend jeweils eine Gleichung benutzen, die
in dieser Gleichung am weitesten links stehende Variable mit von Null verschiedenen
Koeffizienten festzulegen. In anderen Worten benutzen wir für die Systeme in Stufenform eine einfache, schrittweise Elimination von Variablen, bei Systemen in Stufenform
ist diese aber wesentlich einfacher als für ein allgemeines lineares Gleichungssystem, da
von jedem Einsetzungsschritt immer nur Variablen weiter rechts betroffen sind. Im
Beispiel ergibt die zweite Gleichung u = 2 − v und die Variable u ist festgelegt. An
die andere Variable sind keine Bedingungen gestellt. Setzen wir u = 2 − v in die erste
Gleichung ein, so wird diese zu
x + y + 2 − v − v = 1, also x = −1 − y + 2v,
d.h. durch diese Gleichung wird x festgelegt und an y gibt es keine Bedingungen. Für
die Lösungsmenge ist es nun praktisch, die frei gebliebenen Variablen y und v in t und
s umzutaufen. Die Lösungsmenge ist dann



1 − s + 2t 






s

 s, t ∈ R .
 2 − t 






t
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Wie schon angekündigt schreiben wir die einzelnen Lösungen dabei in Tupelform, hier
in vertikaler Form als einen sogenannten Spaltenvektor, also als eine 4 × 1 Matrix
deren vier Einträge von oben nach unten für x, y, u, v stehen. Weiter haben wir das
lineare Gleichungssystem über K = R interpretiert, wollen wir es als ein komplexes
Gleichungssystem auffassen, so muss t, s ∈ R“ durch t, s ∈ C“ ersetzt werden. In
”
”
einem linearen Gleichungssystem aus r Gleichungen in n Variablen das in Stufenform
vorliegt, wird die Lösungsmenge durch n − r freie Variablen beschrieben, die die restlichen r Variablen festlegen. Wenn n = m = r ist, es also keine langen Stufen im System
gibt, so ist die Lösung eindeutig. Lange Stufen sind dabei solche, die zwei oder mehr
Unbekannte umfassen. Nehmen wir beispielsweise
x + 2y − u + v
4y + 2u
2u − 2v
2v
= 1
= 2
= −4
= 10
so liefert die vierte Gleichung v = 5, damit wird die dritte zu 2u − 10 = −4, also u = 3,
die zweite Gleichung ergibt 4y + 6 = 2, also y = −1 und schließlich mit der ersten
Gleichung auch x − 2 − 3 + 5 = 1, also x = 1.
Die Lösung von Systemen in Stufenform ist also völlig unproblematisch und zwar
sowohl wenn die Lösung eindeutig ist als auch wenn es mehrere Lösungen gibt. Ein
allgemeines lineares Gleichungssystem wollen wir lösen, indem wir es in ein äquivalentes
System in Stufenform umwandeln. Hierzu verwenden wir die folgenden drei elementaren
Transformationen eines linearen Gleichungssystems:
1. Vertauschen zweier Gleichungen.
2. Multiplikation einer der Gleichungen mit einer Zahl c 6= 0.
3. Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.
Offenbar verändert keine dieser drei Transformationen die Lösungsmenge des linearen
Gleichungssystems. Die Operation (2) wird dabei nicht wirklich benötigt, wir können
sie beispielsweise dazu benutzen in der Stufenform zusätzlich a11 = a2i = a3j = · · · = 1
anzunehmen, was gelegentlich bequem ist. In Termen der erweiterten Koeffizientenmatrix werden diese drei Operationen zu
1. Vertauschen zweier Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl c 6= 0.
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Diese drei Transformationen einer Matrix werden auch als elementare Zeilenumformungen bezeichnet. Das schon angekündigte Gaußsche Eliminationsverfahren, oft auch als
179
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Gauß-Algorithmus bezeichnet, wendet diese drei elementaren Umformungen systematisch auf ein gegebenes lineares Gleichungssystem an, um es in ein System in Stufenform
zu überführen.
Wir wollen das Eliminationsverfahren zunächst am obigen Beispiel des linearen
Gleichungssystems mit der erweiterten Koeffizientenmatrix


1 2 −1
1
1
 1 2
1 −1 −3 


 −1 2
3 −1
1 
3 0 −1
0
0
durchführen. Das Verfahren startet hier indem wir Vielfache der ersten Zeile zu den
anderen drei Zeilen addieren, und zwar so, dass der neue Eintrag in der ersten Spalte
dieser drei Gleichungen zu Null wird. Ziehen wir die erste Zeile von der zweiten ab,
so erhalten wir ganz links in der zweiten Zeile tatsächlich eine Null. Beachte dabei
das ein Abziehen der ersten Zeile von der zweiten auch als Addition des (−1)-fachen
der ersten Zeile zur zweiten gedeutet werden kann. Entsprechend müssen wir die erste
Zeile zur dritten Zeile addieren, und das dreifache der ersten Zeile von der vierten
Zeile abziehen. Mit diesen drei elementaren Zeilenumformungen wird unsere erweiterte
Koeffizientenmatrix zu




1 2 −1
1
1
1
2 −1
1
1

 1 2
1 −1 −3 
0
2 −2 −4 

 −→  0
.
 −1 2
 0
3 −1
1 
4
2
0
2 
3 0 −1
0
0
0 −6
2 −3 −3
Damit sind wir der Stufenform ein Stück näher gekommen. Nun würden wir gerne mit
der zweiten Zeile so fortfahren, also Vielfache der zweiten Zeile zur dritten und vierten
addieren so, dass wir in der dritten und vierten Zeile zwei führende Nullen bekommen.
Leider geht dies nicht sofort, da der zweite Eintrag der zweiten Zeile ja selbst eine
Null ist. Dies können wir aber leicht beheben, wir benutzen die erste unserer elementaren Zeilenumformungen um die zweite und die dritte Zeile der Matrix miteinander
zu vertauschen




1
2 −1
1
1
1
2 −1
1
1
 0

0
2 −2 −4 
4
2
0
2 

 −→  0
.
 0
 0
4
2
0
2 
0
2 −2 −4 
0 −6
2 −3 −3
0 −6
2 −3 −3
Danach kann es weitergehen, um auch der vierten Zeile eine zweite Null zu geben, muss
nur noch das 3/2-fache der zweiten Zeile zur vierten addiert werden




1
2 −1
1
1
1 2 −1
1
1
 0

4
2
0
2 
2
0
2 

 −→  0 4
.
 0
 0 0
0
2 −2 −4 
2 −2 −4 
0 −6
2 −3 −3
0 0
5 −3
0
180
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Damit ist die Stufenform schon beinahe erreicht. Wir müssen nur noch als letzten
Schritt das 5/2-fache der dritten Zeile von der vierten abziehen und erhalten




1 2 −1
1
1
1 2 −1
1
1

 0 4
2
0
2 
2
0
2 
.
 −→  0 4



 0 0
0 0
2 −2 −4 
2 −2 −4
0 0
0
2 10
0 0
5 −3
0
Damit haben wir unser lineares Gleichungssystem in Stufenform gebracht. Tatsächlich
ist das erhaltene System in Stufenform gerade
x + 2y − u + v
4y + 2u
2u − 2v
2v
= 1
= 2
= −4
= 10
und dies war unser zweites Beispiel eines linearen Gleichungssystems in Stufenform.
Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems hatten wir bereits als
x = 1, y = −1, u = 3, v = 5
berechnet. Wir wollen nun noch ein zweites Beispiel durchrechnen. Wir betrachten das
folgende lineare Gleichungssystem
x + y + z=1
2x − y + 3z = 0
5x − y + 7z = b.
wobei b ∈ R eine Konstante ist. Hier beginnt das Eliminationsverfahren, indem wir das
doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile abziehen und anschließend das fünffache
der ersten Zeile von der dritten Zeile abziehen




1
1 1 1
1
1 1
1
 2 −1 3 0  −→  0 −3 1
−2  .
5 −1 7 1
0 −6 2 b − 5
Jetzt wird das doppelte der zweiten Zeile von der dritten Zeile abgezogen, und es
entsteht




1
1 1
1
1
1 1
1
 0 −3 1
−2  −→  0 −3 1
−2  .
0 −6 2 b − 5
0
0 0 b−1
Die unterste Zeile der Koeffizientenmatrix besteht jetzt nur noch aus Nullen, und die
Elimination ist beendet. Was jetzt passiert hängt von der Konstanten b ab. Ist b −
1 6= 0, also b 6= 1, so ist die unterste Gleichung nicht erfüllbar, denn diese bedeutet
ausgeschrieben ja
0 · x + 0 · y + 0 · z = b − 1 6= 0.
181
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Das lineare Gleichungssystem hat in diesem Fall also keine Lösung. Dass ein lineares
Gleichungssystem nicht lösbar sein muss, sollte keine Überraschung sein, wir hatten als
ein Beispiel zu Beginn dieses Kapitels den Schnitt einer Ebene mit einer Gerade als
lineares Gleichungssystem ausgedrückt, und ist die Gerade zufällig parallel zur Ebene,
so hat dieses System halt keine Lösung. Ist im Beispiel dagegen b = 1, so können wir
die unterste Zeile ignorieren, diese besagt ja nur noch 0 = 0, und haben ein System in
Stufenform. Die untere Zeile des verkleinerten Systems gibt dann
1
2
−3y + z = −2 =⇒ y = z +
3
3
also eingesetzt in die erste Gleichung
x=1−y−z =
1 4
− z.
3 3
In der Beschreibung der Lösungsmenge verwenden wir diesmal z = 3t mit t ∈ R und
haben
 1


 3 − 4t 
 2 + t  t ∈ R
3


3t
als die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Das Gaußsche Eliminationsverfahren für ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen in n Variablen läuft damit
prinzipiell in drei Phasen ab:
1. Bringe das gegebene lineare Gleichungssystem von oben beginnend in Stufenform
indem die Einträge der weiter unten liegenden Zeilen in der gerade betrachteten
Spalte durch Addition geeigneter Vielfacher der oberen Zeile auf Null gebracht
werden.
2. In der Koeffizientenmatrix des so entstandenen linearen Gleichungssystems seien
die ersten r ≤ m Zeilen von Null verschieden. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten:
(a) Ist r < m, sind also unten in der Koeffizientenmatrix nur aus Nullen bestehende Zeilen entstanden, und ist die rechte Seite einer dieser Nullzeilen
von Null verschieden, so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. In
diesem Fall sind wir an dieser Stelle fertig.
(b) Andernfalls ist entweder r = m oder in jeder Nullzeile ist auch die rechte
Seite Null. Dann ignorieren wir die unteren m − r Zeilen und erhalten ein
lineares Gleichungssystem aus r Gleichungen in n Unbekannten das in Stufenform ist. In diesem Fall ist unser Gleichungssystem auf jeden Fall lösbar.
3. Löse das entstandene lineare Gleichungssystem in Stufenform von unter her, indem jede der verbliebenen Gleichungen die am weitesten links stehende Unbekannte mit von Null verschiedenen Koeffizienten festlegt, und eventuell verbleibende Unbekannte als freie Parameter behandelt werden. Für r = n haben wir
182
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eine eindeutige Lösung und für r < n eine Lösungsmenge, die durch n − r Parameter beschrieben wird.
Beachte das bei diesem Verfahren immer nur Vielfache einer oben stehenden Zeile zu
einer weiter unten stehenden Zeile addiert werden, niemals in die andere Richtung.
Auch werden keine Hilfsmultiplikationen“ zur Vermeidung von Brüchen verwendet.
”
Damit liegen die einzelnen Rechenschritte weitgehend fest und es nicht nötig, und
auch nicht üblich, diese zu vermerken. Werden die elementaren Zeilenumformungen
in irgendeiner anderen Reihenfolge verwendet so spricht man nicht vom Gaußschen
”
Eliminationsverfahren“. In dieser Form ist das Eliminationsverfahren für die manuelle Bearbeitung linearer Gleichungssysteme moderater Größe geeignet. Außerdem wird
es sich für die theoretische Untersuchung linearer Gleichungssysteme völlig beliebiger
Größe als günstig erweisen. Zur Implementation auf einem Rechner ist die hier angegebene Form noch etwas ungünstig, da Rundungsfehler sich noch unnötig stark auswirken
können. Wie man dies vermeiden kann, ist ein Thema der Numerik und soll hier nicht
behandelt werden. Ebenfalls nicht geeignet ist das Verfahren für große“ Systeme, wie
”
etwa diejenigen die durch Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen, oder
die Pagerang-Gleichung, für solche Gleichungen verwendet man in der Regel spezialisierte Methoden.
Will man das Eliminationsverfahren tatsächlich implementieren, so sind, abgesehen
von den schon erwähnten numerischen Details, noch zwei weitere Kleinigkeiten zu beachten. Zum einen haben wir den Randfall ignoriert das die erste Unbekannte gar nicht
in der Gleichung vorkommt, dass unser lineares Gleichungssystem in den Unbekannten
x, y, z also beispielsweise
y + z = 1, y − z = 2
ist. Falls dieser Fall vorliegt oder sogar die ersten Variablen x1 , . . . , xs nur mit den
Koeffizienten Null auftreten, so führen wir den Gaußschen Algorithmus zunächst mit
den verbleibenden Variablen durch und falls dieses lösbar ist so fügen wir x1 , . . . , xs
der Beschreibung der Lösungsmenge als freie Parameter hinzu. Andere solche nicht
vorkommenden Variablen die nicht gerade am Anfang stehen bereiten dagegen keine
Probleme, da diese einfach die jeweiligen Stufen des äquivalenten Systems in Stufenform verlängern. Derartige lineare Gleichungssysteme können durchaus vorkommen
wenn das lineare Gleichungssystem als Teilproblem einer größeren Rechnung auftaucht
und selbst als Ergebnis einer Rechnung erzeugt wurde. Das zweite Problem ist das
der Gaußsche Algorithmus in unserer bisherigen Beschreibung kein Algorithmus im
üblichen strikten Sinn ist, da an einigen Stellen willkürliche Wahlen getroffen werden
können. Es ist erlaubt und gelegentlich hilfreich einzelne Zeilen während der Rechnung
mit von Null verschiedenen Konstanten zu multiplizieren oder zwei Zeilen miteinander
zu vertauschen. Auf ersteres kann man dabei verzichten, das Vertauschen von Zeilen
ist aber gelegentlich notwendig wenn der Koeffizient der gerade bearbeiteten Spalte in
der obersten noch nicht festgelegten Zeile gleich Null ist. Wir sagen das wir den Gaußschen Algorithmus in seiner Standardform durchführen wenn auf die Multiplikation von
Zeilen mit Konstanten verzichtet wird und im Falle notwendiger Zeilenvertauschungen
183
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 16.12.2016
immer die oberste bearbeitete Zeile mit der am weitesten oben stehenden Zeile mit
von Null verschiedenen ersten Koeffizienten vertauscht wird. In der Standardform ist
dann jeder Rechenschritt eindeutig festgelegt und es gibt nur einen möglichen Rechenweg. In unserem einführenden Beispiel zum Gaußchen Algorithmus haben wir diese
Standardform verwendet.
$Id: matrix.tex,v 1.27 2016/12/19 11:58:44 hk Exp $
§7
Matrizen über R und C
In §6 hatten wir Matrizen nur als eine kompakte Schreibweise für lineare Gleichungssysteme eingeführt. In diesem Kapitel wollen wir die Matrizen in ihren Status
etwas aufwerten, und diverse Möglichkeiten einführen mit ihnen zu rechnen. Zunächst
brauchen wir eine Bezeichnung für die Menge aller Matrizen einer gegebenen Größe.
Definition 7.1: Seien K ∈ {R, C} und n, m ∈ N mit n, m ≥ 1. Dann bezeichne K m×n
die Menge aller m × n Matrizen über K, also aller Matrizen bestehend aus m Zeilen
und n Spalten mit Einträgen aus K.
Jede reelle Matrix ist natürlich insbesondere eine komplexe Matrix, also Rm×n ⊆ Cm×n
und man kann komplexe Matrizen als den allgemeinen Fall auffassen.
Manchmal ist es technisch bequem auch m = 0 oder n = 0 zuzulassen, dann wird die
Menge K m×n als {0} interpretiert. Weiter nennt man 1 × n Matrizen auch Zeilenvektoren und m × 1 Matrizen werden Spaltenvektoren genannt. Wir werden zwischen diesen
beiden meistens keinen Unterschied machen. Sowohl für die Menge K n := K 1×n aller
Zeilenvektoren der Länge n als auch für die Menge K m := K m×1 aller Spaltenvektoren
der Länge m verwenden wir dasselbe Symbol. Dies ist normalerweise unproblematisch.
7.1
Addition und Multiplikation von Matrizen
Die beiden einfachsten Operationen sind die Addition von Matrizen derselben Größe
und die Multiplikation mit reellen beziehungsweise komplexen Zahlen. In diesem Zusammenhang nennt man letztere oft auch Skalare“.
”
Definition 7.2: Sei K ∈ {R, C} und seien n, m ∈ N\{0}. Sind dann A, B zwei m × n
Matrizen




a11 · · · a1n
b11 · · · b1n

..  , B =  ..
.. 
A =  ...
 .
. 
. 
am1 · · · amn
bm1 · · · bmn
184
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 16.12.2016
so definieren wir die Summe A + B von A und B als


a11 + b11 · · · a1n + b1n


..
..
A + B := 
.
.
.
am1 + bm1 · · · amn + bmn
Sind weiter c ∈ K ein Skalar und A ∈ K m×n wieder die obige Matrix, so definieren wir
das Vielfache c · A durch




ca11 · · · ca1n
a11 · · · a1n

..  .
..  :=  ..
c · A = c ·  ...
 .
. 
. 
cam1 · · · camn
am1 · · · amn
Insbesondere sind die Summen von Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren gleicher
Größe und Produkte von Skalaren mit Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren definiert. Mit dieser Addition beziehungsweise Multiplikation mit Skalaren haben wir dann
die folgenden Rechenregeln:
1. Assoziativgesetz der Addition Für alle m×n Matrizen A, B, C gilt (A+B)+
C = A + (B + C).
2. Kommutativgesetz der Addition Für alle m × n Matrizen A, B gilt A + B =
B + A.
3. Existenz des neutralen Elements der Addition Ist 0 ∈ K m×n die Nullmatrix, deren Einträge alle Null sind, so gilt 0 + A = A für jede m × n Matrix
A.
4. Existenz additiver Inverser Sind A eine m × n Matrix so gilt (−A) + A = 0
wobei −A := (−1) · A ist.
Beachte das wir die Nullmatrix unabhängig von ihrer Größe einfach als 0“ schreiben.
”
Diese vier Rechenregeln entsprechen den sich auf die Addition beziehenden ersten vier
Körperaxiomen (A1) bis (A4) aus §1.1. Es gibt jetzt einige weitere Rechenregeln über
die Multiplikation mit Skalaren und deren Zusammenhang mit der Addition.
1. Assoziativgesetz für die Multiplikation mit Skalaren Für alle Zahlen t, s ∈
K und alle m × n Matrizen A über K gilt (ts) · A = t · (s · A).
2. Eins Für jede m × n Matrix A über K ist 1 · A = A.
3. Distributivgesetze Für alle m × n Matrizen A, B ∈ K m×n und alle Zahlen
t, s ∈ K gelten (t + s) · A = t · A + s · A und t · (A + B) = t · A + t · B.
185
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 16.12.2016
Beachte das wir all diese Regeln insbesondere auch auf Zeilen- und Spaltenvektoren
anwenden können. Auf explizite Beweise dieser Regeln wollen wir hier verzichten, sie
sind allesamt trivial da einfach in jeder Komponente das jeweilige Körperaxiom für R
oder C angewandt wird. Man kann Matrizen passender Größe auch miteinander multiplizieren, allerdings wird hierzu nicht die zunächst naheliegende komponentenweise
Multiplikation verwendet. Warum die Matrixmultiplikation genau wie folgt definiert
ist, und auch genau so definiert werden muss, werden wir erst später in §9.5 im Zusammenhang mit den sogenannten linearen Abbildungen sehen.
Definition 7.3: Seien n, m, l ∈ N\{0}. Sind dann A eine m × l Matrix und B eine l × n
Matrix jeweils über K ∈ {R, C}




b11 · · · b1n
a11 · · · a1l

..  ,
..  , B =  ..
A =  ...
 .
. 
. 
bl1 · · · bln
am1 · · · aml
so ist das Produkt


c11 · · · c1n

.. 
C := A · B =  ...
. 
cm1 · · · cmn
die m×n Matrix C, deren Eintrag cij in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte (1 ≤ i ≤ m,
1 ≤ j ≤ n) durch
l
X
aik bkj = ai1 b1j + · · · + ail blj
cij :=
k=1
definiert ist.
Zwei Matrizen A, B können also nur dann multipliziert werden, wenn die linke Matrix A genausoviele Spalten hat wie die rechte Matrix B Zeilen hat. Die Formel zur
Multiplikation zweier Matrizen sieht zunächst etwas bedrohlich aus, ist in Wahrheit
aber sehr einfach. Wir wollen einmal ein kleines Beispiel anschauen, betrachte etwa die
beiden Matrizen


1 1 0
1
1 −1 1
0 .
A=
, B= 0 0 1
−2
3 1
1 2 0 −1
Hier sind A eine 2 × 3 und B eine 3 × 4 Matrix, d.h. A und B können multipliziert
werden und ihr Produkt ist eine 2 × 4 Matrix. Wie sieht die erste Zeile des Produktes
A · B aus? Die Formel für den allerersten Eintrag dieser Zeile lautet
c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 = 1 · 1 + (−1) · 0 + 1 · 1 = 2.
Übersichtlicher wird dies wenn wir uns die erste Zeile von A zu einer Spalte gedreht
denken und diese der ersten Spalte von B gegenüberstellen
1
−1
1
1
0
1.
186
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
Gegenüberliegende Zahlen werden dann miteinander multipliziert, und anschließend
wird alles aufaddiert. Der zweite Eintrag der ersten Zeile ergibt sich dann ebenso, nur
taucht diesmal auf der rechten Seite die zweite Spalte von B auf, also
1
−1
1
1
0
2,
und wir erhalten c12 = 1 + 0 + 2 = 3. Die restlichen Einträge der ersten Zeile von A · B
ergeben sich analog. Gehen wir dann zur zweiten Zeile des Produkts über, so müssen
wir uns die zweite Zeile der linken Matrix A gedreht denken und stellen diese den
Spalten von B gegenüber, also etwa für den Eintrag in der ersten Spalte der zweiten
Zeile von A · B
−2
1
0
3
1
1.
So fortfahrend haben wir dann insgesamt


1 1 0
1
2 3 −1
0
1 −1 1


0 0 1
0
·
=
.
−1 0
3 −3
−2
3 1
1 2 0 −1
Vorlesung 17, Montag 19.12.2016
In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit der Matrizenrechnung zu beschäftigen und insbesondere haben wir eine Addition und eine Multiplikation von Matrizen
eingeführt. Wir wollen nun einige der Rechenregeln für die Matrixmultiplikation festhalten. Dabei sollen alle vorkommenden Matrizen über den reellen oder den komplexen
Zahlen definiert sein.
Lemma 7.1 (Rechenregeln für Matrizen)
Seien K ∈ {R, C} und n, m, p, q ∈ N\{0}.
(a) Assoziativgesetz Sind A ∈ K m×p eine m×p, B ∈ K p×q eine p×q und C ∈ K q×n
eine q × n Matrix jeweils über K, so gilt (A · B) · C = A · (B · C).
(b) Einheitsmatrizen Ist

0 ···



1
1 ···




.. . .
.
..
En := 
= 
.
.


1
0 0 ···
0 0 ···
{z
|
1
0
..
.
n Spalten
187








 n Zeilen


1 0 


0 1 
}
0
0
..
.
0
0
..
.
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
die sogenannte n × n Einheitsmatrix, so gelten für jede m × n Matrix A ∈ K m×n
über K die Gleichungen A · En = A und Em · A = A.
(c) Distributivgesetze Sind A ∈ K m×p eine m × p Matrix und B, C ∈ K p×n zwei
p × n Matrizen, so gilt A · (B + C) = A · B + A · C. Sind ebenso A, B ∈ K m×p zwei
m×p Matrizen und C ∈ K p×n eine p×n Matrix, so gilt (A+B)·C = A·C +B ·C.
(d) Multiplikation mit Skalaren Sind A ∈ K m×p eine m × p Matrix, B ∈ K p×n
eine p × n Matrix und c ∈ K ein Skalar, so gilt (cA) · B = A · (cB) = c · (A · B).
Beweis: (a) Seien also A, B, C wie in (a) gegeben. Die beiden Produkte (AB)C und
A(BC) sind dann zwei m×n Matrizen. Wir müssen einsehen das diese beiden Matrizen
in allen ihren Einträgen übereinstimmen. Für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n ergibt sich
der Eintrag von (AB)C in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte als
!
q
p
q
X
X
X
X
Ail Blk Ckj
Ail Blk Ckj =
(AB)ik Ckj =
((AB)C)ij =
k=1
k=1
1≤l≤p
1≤k≤q
l=1
und auf der anderen Seite haben wir ebenfalls
(A(BC))ij =
p
X
p
X
Ail (BC)lj =
Ail
l=1
l=1
q
X
!
Blk Ckj
k=1
=
X
Ail Blk Ckj .
1≤l≤p
1≤k≤q
Dies zeigt ((AB)C)ij = (A(BC))ij , und (a) ist bewiesen.
(b) Sei A ∈ K m×n gegeben. Dann ist AEn eine m × n Matrix und für alle 1 ≤ i ≤ m,
1 ≤ j ≤ n haben wir
n
X
Aik (En )kj = Aij
(AEn )ij =
k=1
da (En )kj für k = j gleich 1 ist aber für 1 ≤ k ≤ n mit k 6= j stets Null ist. Damit ist
AEn = A und analog ergibt sich auch Em A = A.
(c) Seien A ∈ K m×p und B, C ∈ K p×n gegeben. Dann sind A(B + C) und AB + AC
beides m × n Matrizen und für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n gilt
(A(B + C))ij =
p
X
Aik (B + C)kj =
k=1
=
p
X
k=1
p
X
Aik (Bkj + Ckj )
k=1
p
Aik Bkj +
X
Aik Ckj = (AB)ij + (AC)ij = (AB + AC)ij .
k=1
Damit ist A(B + C) = AB + AC und das erste der beiden Distributivgesetze ist
bewiesen. Das andere Distributivgesetz folgt analog.
188
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
(d) Seien A ∈ K m×p , B ∈ K p×n und c ∈ K gegeben. Dann sind (cA)B, A(cB) und
c(AB) alles m × n Matrizen über K und für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n haben wir
((cA)B)ij =
p
X
(cA)ik Bkj =
k=1
p
X
cAik Bkj = c ·
k=1
p
X
Aik Bkj = c(AB)ij = (c(AB))ij
k=1
und ebenso
(A(cB))ij =
p
X
k=1
cAik (cB)kj =
p
X
Aik cBkj = c ·
k=1
p
X
Aik Bkj = c(AB)ij = (c(AB))ij .
k=1
Damit ist (cA)B = c(AB) und A(cB) = c(AB).
Wir wollen hier noch auf zwei kleine Konventionen hinweisen. Im Lemma haben wir
die n × n-Einheitsmatrix


1


..
En = 

.
1
definiert und die leeren Einträge“ in dieser Matrix werden dabei per Konvention als
”
Null interpretiert. Genauso wie wir für die Nullmatrix in jeder Größe einfach Null
schreiben, werden wir auch die Einheitsmatrizen En unabhängig von ihrer Größe n
einfach als 1“ schreiben. Etwas weitergehend verwenden wir auch die folgende Kon”
vention, wenn immer an einer Stelle an der eine n × n Matrix stehen sollte ein Skalar
auftaucht, so ist das Produkt dieses Skalars mit der n × n Einheitsmatrix En gemeint,
ist beispielsweise A ∈ K n×n und c ∈ K so steht c + A“ für cEn + A“.
”
”
Wichtiger noch als die in Lemma 1 aufgeführten Rechenregeln für die Multiplikation von Matrizen, ist es welche Rechenregeln dort nicht stehen. Zum einen ist die
Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ. Wir haben zum Beispiel
1 1
1 0
2 1
1 1
1 0
1 1
·
=
6=
=
·
.
0 1
1 1
1 1
1 2
1 1
0 1
Die Multiplikation verhält sich auch in einer anderen Hinsicht ungewöhnlich. Für reelle
oder komplexe Zahlen x, y wissen wir das aus x · y = 0 stets x = 0 oder y = 0 folgt. Für
Matrizen ist dies falsch, es gibt sogar von Null verschiedene Matrizen, deren Quadrat
gleich Null ist. Beispielsweise gilt für
2 0 1
0 1
0 1
0 1
2
A :=
auch A =
=
·
= 0,
0 0
0 0
0 0
0 0
hier haben wir also A2 = 0 aber A 6= 0. Hieraus folgt dann auch das es kein mul”
tiplikatives Inverses“ zu A geben kann, hätten wir nämlich eine 2 × 2-Matrix B mit
BA = E2 so ergibt sich der Widerspruch
0 = B · 0 = B · A2 = (B · A) · A = E2 · A = A 6= 0.
189
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
7.2
Montag 19.12.2016
Transposition von Matrizen
Im letzten Abschnitt hatten wir Addition und Multiplikation von Matrizen passender
Größe, sowie die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren, also mit reellen oder komplexen Zahlen, eingeführt. Es gibt noch eine weitere, etwas weniger wichtige, Grundrechenoperation für Matrizen, die sogenannte Transposition.
Definition 7.4: Sei


a11 · · · a1n

.. 
...
A =  ...
. 
am1 · · · amn
eine m × n Matrix über K ∈ {R, C}. Die Transponierte At von A ist dann die n × m
Matrix


a11 · · · am1

..  ,
At :=  ... . . .
. 
a1n · · · amn
über K deren Zeilen gerade die Spalten von A sind.
Beispielsweise ist

1
1 −1 0 2
 −1
 2
4 7 1  =
 0
−3 −5 7 11
2
t


2 −3
4 −5 
.
7
7 
1 11
Auch die Matrixtransposition erfüllt einige einfache Rechenregeln:
Lemma 7.2 (Rechenregeln für die Transposition)
Seien K ∈ {R, C} und n, m, l ∈ N\{0} drei natürliche Zahlen.
(a) Für jede m × n Matrix A über K gilt (At )t = A.
(b) Sind A, B zwei m × n Matrizen über K, so gilt (A + B)t = At + B t .
(c) Sind A eine m × n Matrix über K und c ∈ K eine Zahl, so gilt (cA)t = cAt .
(d) Sind A eine m × l und B eine l × n Matrix über K, so gilt (AB)t = B t At .
Beweis: (a,b,c) Diese Aussagen sind klar.
(d) Da B t eine n × l und At eine l × m Matrix sind, sind (AB)t und B t At beides n × m
Matrizen. Für alle 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m ergibt sich der Eintrag in der i-ten Zeile und
der j-ten Spalte zu
(B t At )ij =
l
X
k=1
t
Bik
Atkj =
l
X
Ajk Bki = (AB)ji = (AB)tij ,
k=1
190
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
d.h. es gilt tatsächlich (AB)t = B t At .
7.3
Lineare Gleichungssysteme als Matrixgleichung
Was hat die Matrixmultiplikation nun mit linearen Gleichungssystemen zu tun? Um
dies zu sehen, betrachten wir ein lineares Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 


a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 
(∗)
..
..
..
.
.
.
. = .. 


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm 
und schreiben A für seine Koeffizientenmatrix sowie


b1


b :=  ... 
bm
für seine rechte Seite. Ist weiter


x1


x :=  ... 
xn
der Vektor der n Unbekannten, so können wir x auch als eine n×1 Matrix, also als einen
Spaltenvektor, auffassen. Da A eine m × n Matrix ist, ist damit das Matrixprodukt
Ax definiert und ergibt eine m × 1 Matrix, also einen Spaltenvektor mit m Einträgen.
Diesen Vektor können wir auch leicht ausrechnen


 
 
a11 x1 + · · · + a1n xn
a11 · · · a1n
x1


..
..  ·  ..  = 
Ax =  ...
,
.
.   .  
am1 x1 + · · · + amn xn
am1 · · · amn
xn
die m Komponenten des Produkts Ax sind also gerade die linken Seiten unseres linearen Gleichungssystems. Damit kann das gesamte lineare Gleichungssystem (∗) als eine
einzelne Matrixgleichung
Ax = b
interpretiert werden. Wir wollen diese Interpretation nun verwenden, um einige einfache
Beobachtungen über die Menge der Lösungen unseres linearen Gleichungssystems zu
machen. Um diese auszusprechen ist eine weitere kleine Definition hilfreich.
191
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
Definition 7.5: Das lineare Gleichungssystem (∗) heißt homogen, wenn b = 0 ist, d.h.
wenn es die Form
+ · · · + a1n xn
+ · · · + a2n xn
..
.
= 0
= 0
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
= 0
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
hat. Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat offenbar immer die Lösung x = 0,
also x1 = . . . = xn = 0, die man als die triviale Lösung des linearen Gleichungssystems
bezeichnet. Als das zum allgemeinen Gleichungssystem (∗), also Ax = b, gehörige
homogene Gleichungssystem bezeichnet man das homogene lineare Gleichungssystem
Ax = 0.
Ein allgemeines lineares Gleichungssystem Ax = b bezeichnet man dann auch als
inhomogen. Beachte das inhomogen“ nur für nicht notwendig homogen“ steht und
”
”
nicht die Verneinung von homogen“ bedeutet.
”
Satz 7.3 (Homogene und inhomogene Lösungen)
Seien n, m ∈ N\{0} und A ∈ K m×n eine m × n Matrix über K.
(a) Sind u, v ∈ K n zwei Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
und c ∈ K eine Zahl, so sind auch u + v und cu Lösungen von Ax = 0.
(b) Sei weiter b ∈ K m gegeben. Gibt es dann überhaupt eine Lösung x0 ∈ K n des
linearen Gleichungssystems Ax = b, so ist
{x0 + u|u ∈ K n , Au = 0}
die volle Lösungsmenge von Ax = b, d.h. die Lösungen von Ax = b sind genau die
Vektoren der Form x = x0 + u wobei u die Lösungen des zugehörigen homogenen
linearen Gleichungssystems durchläuft.
Beweis: (a) Aus Au = Av = 0 folgen nach Lemma 1.(c,d) auch A·(u+v) = Au+Av = 0
und A · (cu) = cAu = 0, d.h. auch u + v und cu sind Lösungen von Ax = 0.
(b) Ist u eine Lösung des homogenen Systems, gilt also Au = 0, so haben wir nach
Lemma 1.(c) auch A · (x0 + u) = Ax0 + Au = Ax0 = b, d.h. x = x0 + u ist eine
Lösung von Ax = b. Nun sei umgekehrt x ∈ K n mit Ax = b gegeben. Dann setzen wir
u := x − x0 ∈ K n und haben wieder nach Lemma 1.(c,d) auch Au = A · (x − x0 ) =
Ax−Ax0 = b−b = 0. Also ist u eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
und es gilt x = x0 + (x − x0 ) = x0 + u.
Hat also insbesondere das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nur die
triviale Lösung, so ist das allgemeine lineare Gleichungssystem Ax = b für jede rechte
Seite b ∈ K m entweder gar nicht lösbar oder eindeutig lösbar. Oft wird die Aussage (a)
192
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
des Lemmas noch zum Superpositionsprinzip“ verallgemeinert: Sind x1 , . . . , xr ∈ K n
”
Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystem Ax = 0, und λ1 , . . . , λr ∈ K
beliebige Skalare, so ist auch
x = λ1 x 1 + · · · + λr x r
ein Lösung von Ax = 0. Diese Lösung wird dann oft als eine Linearkombination“,
”
beziehungsweise als Superposition“ oder Überlagerung“, der gegebenen Lösungen
”
”
x1 , . . . , xr bezeichnet. Auch für Teil (b) gibt es eine oft zu findende Sprechweise. Die
vorgegebene Lösung x0 von Ax = b bezeichnet man als eine spezielle Lösung, oder auch
als eine Partikularlösung“, des linearen Gleichungssystems Ax = b und damit kann
”
(b) als
Allgemeine Lösung
Spezielle Lösung
Allgemeine Lösung
=
+
von Ax = b
von Ax = b
von Ax = 0
ausgesprochen werden.
7.4
Inverse Matrizen und reguläre lineare Gleichungssysteme
Schreiben wir ein lineares Gleichungssystem in der Form Ax = b, so ist es naheliegend
dieses durch A auf die andere Seite bringen“ zu lösen, also mit so etwas wie 1/A zu
”
multiplizieren, nur gibt es leider keine Quotienten von Matrizen im üblichen Sinne.
So etwas läßt sich nur für eine spezielle Sorte von Matrizen einführen, die wir nun
definieren wollen.
Definition 7.6: Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Eine n × n Matrix A über K ∈ {R, C} heißt
invertierbar, oder auch regulär, wenn es eine n × n Matrix A−1 über K, genannt die
Inverse von A, gibt so, dass A · A−1 = A−1 · A = 1 gelten.
Beachte das wir hier A−1 statt 1/A schreiben. Die Bruchschreibweise ist für Matrizen
in der Tat nicht sinnvoll. Wollten wir A/B definieren, so könnte dies A · B −1 oder
B −1 · A bedeuten, und diese beiden Ausdrücke können durchaus verschieden sein, wir
hatten ja bereits bemerkt das die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist.
Können wir also A/B keine Bedeutung geben, so erscheint auch die Schreibweise 1/A
als nicht sinnvoll.
Für die Invertierbarkeit einer Matrix A ∈ K n×n reicht es bereits aus, dass es eine
Matrix B ∈ K n×n mit AB = 1 oder BA = 1 gibt, eine der beiden Bedingungen in der
Definition der inversen Matrix ist also redundant. Diese Tatsache ist etwas diffiziler als
sie zunächst erscheint, man kann sie nicht einfach aus den Rechenregeln für Matrizen
herleiten. Wir werden dies erst im nächsten Kapitel beweisen können.
Beachte weiter, dass es zunächst sein könnte, das es zu einer invertierbaren Matrix
A mehrere Matrizen A−1 gibt. Dies wollen wir nun ausschließen.
Lemma 7.4 (Grundeigenschaften des Invertierens)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und K ∈ {R, C}.
193
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
(a) Ist A ∈ K n×n invertierbar, so gibt es genau eine Matrix A−1 ∈ K n×n mit AA−1 =
A−1 A = 1.
(b) Ist A ∈ K n×n invertierbar, so ist auch A−1 invertierbar mit (A−1 )−1 = A.
(c) Sind A, B ∈ K n×n invertierbar, so ist auch A · B invertierbar mit (A · B)−1 =
B −1 · A−1 .
(d) Sind A ∈ K n×n invertierbar und c ∈ K\{0}, so ist auch cA invertierbar mit
(cA)−1 =
1
· A−1 .
c
(e) Ist A ∈ K n×n invertierbar, so ist auch At invertierbar mit (At )−1 = (A−1 )t .
(f ) Sind A ∈ K n×n eine beliebige n × n Matrix und B ∈ K n×n invertierbar, so ist A
genau dann invertierbar wenn AB invertierbar ist und auch genau dann invertierbar wenn BA invertierbar ist.
Beweis: (a) Sei B ∈ K n×n eine weitere Matrix mit AB = BA = 1. Dann haben wir
B = 1 · B = (A−1 A)B = A−1 (AB) = A−1 · 1 = A−1 .
(b) Klar.
(c) Es gilt
(AB) · (B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AA−1 = 1,
und analog folgt auch (B −1 A−1 )(AB) = 1. Damit ist AB invertierbar mit (AB)−1 =
B −1 A−1 .
(d) Mit Lemma 1.(d) rechnen wir (cA) · (c−1 A−1 ) = (c−1 cA) · A−1 = AA−1 = 1, und
analog ist auch (c−1 A−1 ) · (cA) = 1. Damit ist cA invertierbar mit (cA)−1 = c−1 A−1 .
(e) Mit Lemma 2.(d) erhalten wir At ((A−1 )t ) = (A−1 A)t = 1t = 1 und analog folgt
auch ((A−1 )t )At = 1. Damit ist At invertierbar mit (At )−1 = (A−1 )t .
(f ) Ist A invertierbar so ist nach (c) auch AB invertierbar. Ist umgekehrt AB invertierbar, so ist nach (c) und (b) auch A = (AB)B −1 invertierbar. Analog ist A auch
genau dann invertierbar wenn BA invertierbar ist.
Die Aussage (e) des Lemmas erlaubt es uns die Kombination aus Transponieren und
Invertieren in einem Symbol
A−t := (At )−1 = (A−1 )t
zusammenzufassen, zumindest wenn A invertierbar ist. Wir wollen schon hier auf eine
weitere kleine Tatsache hinweisen, in Aussage (f) muss die Invertierbarkeit von B gar
nicht vorausgesetzt werden, d.h. ist ein Produkt AB zweier n×n Matrizen invertierbar,
194
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
so sind bereits beide Faktoren A, B einzeln invertierbar. Dies können wir an dieser Stelle
aber noch nicht beweisen, und kommen erst im nächsten Kapitel hierauf zurück.
Wir wenden den Begriff einer invertierbaren Matrix nun auf lineare Gleichungssysteme an und führen hierzu erst einmal den Begriff eines regulären linearen Gleichungssystems ein.
Definition 7.7: Ein quadratisches lineares Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..
..
..
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn
= b1
= b2
..
.
= bn
heißt regulär, wenn seine Koeffizientenmatrix regulär, also invertierbar, ist.
Die regulären linearen Gleichungssystem lassen sich immer eindeutig lösen, und zwar
durch Multiplikation mit der inversen Matrix.
Satz 7.5 (Reguläre lineare Gleichungssysteme)
Ein reguläres lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A und rechter Seite b
hat genau eine Lösung, nämlich x = A−1 b.
Beweis: Wegen A · (A−1 b) = (AA−1 )b = 1 · b = b ist A−1 b eine Lösung des linearen
Gleichungssystems Ax = b. Ist umgekehrt x ∈ K n mit Ax = b, so gilt auch x = 1 · x =
(A−1 A)x = A−1 · (Ax) = A−1 b.
Um diesen Satz zur Lösung linearer Gleichungssysteme zu verwenden, benötigen wir
noch eine Methode die Inverse einer gegebenen Matrix tatsächlich zu berechnen, sofern
sie überhaupt existiert. Wir wollen mit zwei häufig auftretenden Spezialfällen beginnen.
Zunächst betrachten wir sogenannte Diagonalmatrizen, das sind quadratische Matrizen
die außerhalb der Hauptdiagonale keine von Null verschiedenen Einträge haben, also
beispielsweise die Einheitsmatrizen En . Diese Diagonalmatrizen multiplizieren sich auf
sehr einfache Weise

 
 

λ1
µ1
λ 1 µ1

 
 

...
...
...

·
=
.
λn
µn
λ n µn
Sind also insbesondere λ1 , . . . , λn ∈ K\{0} alle von Null verschieden, so ist die zugehörige Diagonalmatrix invertierbar mit



−1
λ1
...




=
λn
195
1
λ1

...
1
λn

.
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Ein weiterer gut
folgende einfache
a
c
Montag 19.12.2016
überschaubarer Fall sind 2 × 2 Matrizen. Wir haben nämlich die
Rechnung
b
d −b
ad − bc
0
·
=
= ad − bc,
d
−c
a
0
ad − bc
und ebenso ergibt sich dieses Ergebnis, wenn wir die beiden Matrizen in der anderen
Reihenfolge multiplizieren. Damit haben wir die Äquivalenz
a b
ist invertierbar ⇐⇒ ad − bc 6= 0,
c d
und in diesem Fall ist
a b
c d
−1
1
=
ad − bc
d −b
−c
a
.
Wie wir in §8.3 einsehen werden gibt es eine solche direkte Formel für die inverse Matrix
auch für n × n-Matrizen bei beliebigen n, allerdings ist diese zum praktischen Rechnen
höchstens noch für n = 3 geeignet. Wir wollen uns daher nun ein Verfahren überlegen
das Invertieren von n × n-Matrizen bei beliebigen n durchzuführen. Angenommen A
ist eine invertierbare n × n-Matrix. Sind dann v1 , . . . , vn die Spalten von A−1 so hat
die Matrix A · A−1 die Spalten Av1 , . . . , Avn diese müssen also die Spalten der n × nEinheitsmatrix sein. Bezeichnen wir letztere mit e1 , . . . , en , so ist die i-te Spalte vi von
A−1 für 1 ≤ i ≤ n also eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = ei , zur
Berechnung von A−1 müssen also n lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Im gleich
beschriebenen Berechnungsverfahren werden diese alle simultan gelöst.
Wir besprechen nun den eben angekündigten Algorithmus zur Berechnung der Inversen einer allgemeinen n × n Matrix, und wollen diesen zugleich am Beispiel der
Matrix


1 2 −1
1
 1 2
1 −1 

A=
 −1 2
3 −1 
3 0 −1
0
durchführen. Dies ist gerade die Koeffizientenmatrix unseres Beispiels zum Gaußschen
Eliminationsverfahren in §6. Das Verfahren zum Invertieren dieser Matrix läuft in zwei
Schritten ab.
1. Zunächst schreibe A und die 4×4 Einheitsmatrix nebeneinander, also im Beispiel
1
1
−1
3
2 −1
1
2
1 −1
2
3 −1
0 −1
0
196
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
Dann führe das Gaußsche Eliminationsverfahren für die linke Matrix (also für
A) durch. Dabei verwende zusätzlich Zeilenumformungen vom Typ 2, also Multiplikation von Zeilen mit Konstanten 6= 0, um den am weitesten links stehenden
von Null verschiedenen Eintrag einer jeder Zeile auf Eins zu bringen. Wende dabei simultan genau dieselben Zeilenumformungen auf die rechte Matrix an. Tritt
während der Elimination eine lange Stufe auf, so ist die Ausgangsmatrix A nicht
invertierbar, und wir können das Verfahren abbrechen. Andernfalls ist die Matrix
invertierbar. Wir führen diesen Schritt jetzt im Beispiel durch. Wir beginnen also
wieder mit der ersten Zeile. In dieser steht ganz links bereits eine Eins, und wir
bringen alle Einträge unterhalb dieser Eins auf Null
1
1
−1
3
2 −1
1
2
1 −1
2
3 −1
0 −1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2 −1
1
0
0
0
0
2 −2
−→
0
4
2
0
0
1
0 −6
2 −3
1
−1
1
−3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Dann müssen wir die zweite und die dritte Zeile vertauschen und die neue zweite
Zeile anschließend durch 4 teilen
1
2 −1
1
0
0
2 −2
0
4
2
0
0 −6
2 −3
1
−1
1
−3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2 −1
1
1
0
0
1
0
2
−→
0
0
0
2 −2
1
0 −6
2 −3
1 0 0 0
1
0 14 0
4
−1 1 0 0
−3 0 0 1
Jetzt bringen wir die untenstehenden Einträge der zweiten Spalte auf Null.
1
2 −1
1
1
0
1
0
2
0
0
2 −2
0 −6
2 −3
1 0 0 0
1 2 −1
1
1
1
1
0 4 0
0 1
0
4
2
−→
−1 1 0 0
0 0
2 −2
−3 0 0 1
0 0
5 −3
1 0 0 0
1
0 41 0
4
−1 1 0 0
− 32 0 23 1
Jetzt bringe die führende Zwei der dritten Zeile auf Eins
1
0
0
0
2 −1
1
1
1
0
2
0
2 −2
0
5 −3
1 0 0 0
1 2 −1
1
1
1
1
0 1
0 4 0
0
4
2
−→
−1 1 0 0
0 0
1 −1
3
3
−2 0 2 1
0 0
5 −3
1 0 0 0
1
0 14 0
4
− 12 21 0 0
− 32 0 32 1
Schließlich bringe die linke Seite endgültig auf Stufenform
1
0
0
0
2 −1
1
1
1
0
2
0
1 −1
0
5 −3
1 0 0 0
1 2 −1
1
1
1
1
0 4 0
0 1
0
4
2
−→
1
1
−2 2 0 0
0 0
1 −1
− 32 0 32 1
0 0
0
2
197
1
0 0 0
0 14 0
1
0 0
2
1 − 52 32 1
1
4
− 12
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 19.12.2016
und teile die unterste Zeile anschließend durch Zwei
2 −1
1
1
1
0
2
0
1 −1
0
0
2
1
0
0
0
0 0 0
1 2 −1
1
1
1
0 4 0
0 1
0
2
−→
1
0 0
0 0
1 −1
2
5
3
1 −2 2 1
0 0
0
1
1
1
1
4
− 12
1
4
− 12
1
2
0 0 0
0 14 0
1
0 0
2
− 54
3
4
1
2
Damit ist Schritt Eins für dieses Beispiel beendet. Insbesondere hat sich herausgestellt, dass unsere Koeffizientenmatrix überhaupt invertierbar ist, da keine
lange Stufe aufgetreten ist. Damit kommen wir zum zweiten Schritt.
2. Jetzt bringen wir analog zum Vorgehen bei der Gauß-Elimination, nur diesmal
von unten nach oben und von rechts nach links gehend, in der linken Matrix alle
Einträge außerhalb der Hauptdiagonale auf Null, und führen wieder simultan in
der rechten Matrix dieselben Zeilenoperationen durch. Nachdem dies getan ist,
steht auf der rechten Seite die gesuchte inverse Matrix. Schauen wir uns auch
diesen Schritt im Beispiel an. Wir müssen also zuerst die Spalte ganz rechts
betrachten
2 −1
1
1
1
0
2
0
1 −1
0
0
1
1
0
0
0
1
0 0 0
1
0 4 0
0
−→
1
0
0 0
2
5
3
1
−4 4 2
0
1
1
4
− 12
1
2
5
4
− 34 − 12
1
0
0
4
1
2
1
4
2 −1 0
1
1
0
2
0
1 0
0
0 1
0 − 34
1
− 54
2
3
4
3
4
1
2
1
2
Nun wird auch die dritte Spalte oben auf Null gebracht
1
0
0
0
2 −1 0
1
1
0
2
0
1 0
0
0 1
1
2
1
4
5
4
− 34 − 21
1
0
0
4
3
4
3
4
0 − 34
1
− 54
2
1
0
−→
0
0
1
2
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
2
1
4
0
1
2
1
2
3
8
− 34
− 54
0
0
− 18
3
4
3
4
− 14
1
2
1
2
Als letzter Schritt wird nun die zweite Spalte bearbeitet
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
2
1
4
0
1
2
1
2
3
8
− 34
− 54
0
0
− 18 − 14
3
4
3
4
1
2
1
2
1
0
−→
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0 − 14
1
4
0
1
2
3
8
− 34
− 54
1
4
− 18
3
4
3
4
1
2
− 14
1
2
1
2
Als inverse Matrix haben wir in diesem Beispiel damit


−1  0 − 1


1
1
1 2 −1
1
0 −2
2
4
4
4
2
 1
3
 1 2
− 18 − 41 
1 −1 
2
3 −1 −2 
 1
4
8

 =
.

= 
3
1
3
 −1 2


3 −1
0 −6
6
4 
8
 0 −4

4
2
3 0 −1
0
4 −10
6
4
1
5
3
1
−
2
4
4
198
2
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Die erste Phase des Verfahrens löst wie angekündigt gleich n lineare Gleichungssysteme simultan indem die n vielen rechten Seiten dort als die rechte Matrix“ verwendet
”
werden. Wir könnten dann die Spalten der inversen Matrix wie beim Gaußschen Eliminationsverfahren durch Einsetzen von unten nach oben berechnen, da man dies aber
gleich n Mal durchführen müsste werden stattdessen in der zweiten Phase weitere Zeilenumformungen verwendet nach denen die Lösung jeweils direkt auf der rechten Seite
steht.
Wollen wir erneut das lineare Gleichungssystem
x + 2y − u + v = 1
x + 2y + u − v = −3
−x + 2y + 3u − v = 1
3x
− u
= 0
aus §6 lösen, so können wir die eben berechnete inverse Matrix verwenden, um mit
Satz 5 direkt die Lösung des Gleichungssystem zu erhalten


 

 

0 −2
2
4
1
8
1



 

1 2
3 −1 −2 
 ·  −3  = 1  −8  =  −1  ,
x= 
6
4   1  8  24   3 
8  0 −6
4 −10
6
4
0
40
5
und dies ist wieder die Lösung, die wir schon damals berechnet hatten. Man sollte allerdings die praktische Bedeutung inverser Matrizen für das Lösen linearer Gleichungssysteme nicht überschätzen. Unser Verfahren zur Berechnung von A−1 erfordert ungefähr
den drei- bis vierfachen Aufwand im Vergleich zum Gaußschen Eliminationsverfahren.
Selbst wenn mehrere Gleichungssysteme mit derselben Koeffizientenmatrix zu lösen
sind, ist das Eliminationsverfahren effektiver, da der Hauptteil des Algorithmus sich
nur auf die Koeffizientenmatrix bezieht, und wir die Wirkung auf die rechte Seite einmal
bestimmen und dann immer wieder anwenden können.
$Id: det.tex,v 1.26 2017/01/13 14:27:14 hk Exp $
§8
Determinanten
Vorlesung 18, Montag 9.1.2017
Wir kommen jetzt zum Begriff der Determinante. Determinanten sind merkwürdigerweise über hundert Jahre älter als Matrizen, und sie wurden auch ursprünglich nicht
199
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen eingeführt, sondern bei der Behandlung von Polynomgleichungen n-ten Grades. Der Name Determinante“ kommt
”
dagegen aus ihrer Verwendung im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen,
und wir wollen erst einmal erwähnen was hier eigentlich determiniert“ wird. Ange”
nommen wir haben eine quadratische Matrix A über den reellen oder den komplexen
Zahlen. Wie wir noch sehen werden können dann zwei verschiedene Fälle auftreten,
entweder ist das lineare Gleichungssystem Ax = b für jede rechte Seite b eindeutig
lösbar oder es ist niemals eindeutig lösbar und es gibt sowohl rechte Seiten b für die
Ax = b nicht lösbar ist als auch rechte Seiten b für die Ax = b mehrere verschiedene
Lösungen hat, man nennt dieses Verhalten linearer Gleichungssysteme manchmal auch
die Fredholm-Alternative“. Ersteres tritt genau dann auf wenn die Determinante von
”
A von Null verschieden ist und letzteres genau dann wenn sie gleich Null ist. In diesem
Sinne bestimmt, also determiniert, die Determinante von A also das Lösbarkeitsverhalten linearer Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A.
Die Determinante einer n × n Matrix A über K = R oder K = C ist eine Zahl
det A ∈ K. Alternativ wird oft auch |A| anstelle von det A geschrieben. Wird dabei A
direkt in Matrixform (...) hingeschrieben, so läßt man die Klammern um die Matrix in
der Schreibweise |A| üblicherweise fort, schreibt also etwa
1 2
1 3
für die Determinante det A der Matrix
A=
1 2
1 3
.
Beachte das die Determinante nur für quadratische Matrizen definiert wird. Bevor
wir zur Definition der allgemeinen Determinante kommen, wollen wir sie zunächst in
den drei kleinen Fällen n = 1, 2, 3 explizit hinschreiben. Für 1 × 1 Matrizen ist die
Determinante einfach der eine Eintrag der Matrix, also det(a) = a für a ∈ K. Die
Determinante einer 2 × 2 Matrix wird durch die Formel
a b c d := ad − bc
definiert. Beachte das uns der Ausdruck ad − bc bereits in §7 in der Formel
a b
c d
−1
1
=
ad − bc
d −b
−c
a
für die Inverse eine 2 × 2 Matrix begegnet ist. Dies ist kein Zufall, wie wir sehen werden
gibt es auch für n × n Matrizen eine direkte Formel für die Einträge der inversen
Matrix A−1 in Termen gewisser Determinanten. Für n > 3 ist diese Formel allerdings
200
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
für praktische Zwecke nur selten hilfreich. Wir kommen nun zur Determinante einer
3 × 3 Matrix, und diese Formel ist bereits merklich komplizierter
a11 a12 a13 a21 a22 a23 := a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
a31 a32 a33 Es ist populär sich diese Formel mit Hilfe der sogenannten Regel von Sarrus zu merken.
Hierzu schreibt man sich die ersten beiden Spalten der 3 × 3 Matrix noch einmal rechts
neben die Matrix. Dann bildet man die drei Dreierprodukte entlang der drei Diagonalen
von links nach rechts und addiert diese. Anschließend bildet man die Dreierprodukte
auf den drei Gegendiagonalen von rechts nach links und zieht diese von der zuvor
gebildeten Summe ab. Die so erhaltene Zahl ist die Determinante der Matrix.
−
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
−
−
+
+
+
Natürlich sind Sie nicht verpflichtet die Regel von Sarrus zu verwenden, mit etwas
Konzentration und ein wenig Übung ist es leicht sich die beiden verdoppelten Spalten
im Kopf zu denken, ohne sie extra hinzuschreiben. Allerdings ist es am besten die Regel
von Sarrus gleich wieder zu vergessen, sie stellt sich als die mit Abstand umständlichste
Methode zur Berechnung der Determinante einer 3 × 3 Matrix heraus.
Für n = 2 und n = 3 hat die Determinante auch eine direkte geometrische Bedeutung. Die Determinante einer 2 × 2 Matrix, beziehungsweise genauer ihr Betrag,
ist die Fläche des von den beiden Spalten, oder Zeilen, aufgespannten Parallelograms.
Entsprechend ist der Betrag der Determinante für n = 3 gleich dem Volumen des
von den drei Spalten aufgespannten Parallelepipeds, dies ist das dreidimensionale Analogon zum Parallelogram und wird oft auch als ein Spat“ bezeichnet. Wir werden
”
diese geometrischen Interpretationen aber erst etwas später in diesem Semester begründen. Entsprechend kann dann auch die Determinante in höheren Dimensionen als
ein n-dimensionales Volumen aufgefasst werden. Bevor wir die exakte Definition dieser
höherdimensionalen Determinanten behandeln, wollen wir hier nur erwähnen das die
Sarrus-Regel sich nicht auf die Determinante von quadratischen Matrizen mit n ≥ 4
Zeilen und Spalten fortsetzt, beispielsweise ist die Determinante einer 4 × 4 Matrix eine
Summe aus 24 Summanden und nicht nur von 8 wie es die Sarrus Regel erwarten ließe.
8.1
Die symmetrische Gruppe
Um die Determinante für größere Matrizen zu definieren, benötigen wir den Begriff
einer Permutation. Ist n ∈ N eine natürliche Zahl, so ist eine Permutation der Zahlen
1, 2, . . . , n definiert als eine bijektive Abbildung π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Bezeichnet
201
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Sn die Menge all dieser Permutationen, so notieren wir ein Element π ∈ Sn als das Tupel
[π(1), . . . , π(n)] seiner Werte, so steht beispielsweise
π = [4, 1, 3, 5, 2] für die Bijektion π(1) = 4, π(2) = 1, π(3) = 3, π(4) = 5, π(5) = 2.
Da die Hintereinanderausführung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist,
können wir für π, η ∈ Sn ein Produkt π · η := π ◦ η als die Hintereinanderausführung
von π und η definieren. Ist zum Beispiel π wie oben und η = [5, 4, 3, 2, 1] so ist das
Produkt τ := π · η durch
τ (1) = π(η(1)) = π(5) = 2, τ (2) = π(η(2)) = π(4) = 5, τ (3) = π(η(3)) = π(3) = 3,
τ (4) = π(η(4)) = π(2) = 1, τ (5) = π(η(5)) = π(1) = 4
gegeben, also τ = [2, 5, 3, 1, 4]. Diese Multiplikation erfüllt dann einige Rechenregeln:
(G1) Das Assoziativgesetz π · (η · τ ) = (π · η) · τ für alle π, η, τ ∈ Sn . Dies ist nur ein
Spezialfall des allgemeinen Assoziativgesetzes der Hintereinanderausführung aus
§2.Lemma 1.
(G2) Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, nämlich die identische Abbildung 1 := idM . Diese erfüllt 1 · π = π · 1 = π für alle π ∈ Sn .
(G3) Jedes π ∈ Sn hat ein multiplikatives Inverses π −1 ∈ Sn mit π −1 · π = π · π −1 = 1.
Nach §2.Lemma 3 ist π −1 nämlich gerade die Umkehrabbildung zu π.
Man bezeichnet diese drei Eigenschaften als die Gruppenaxiome und nennt Sn eine
Gruppe. Wir sind hier nicht abstrakt an den Gruppenaxiomen interessiert, aber drei
Folgerungen aus diesen werden für uns sehr wichtig sein.
1. Ist η ∈ Sn und durchläuft π die Elemente von Sn , so durchläuft das Produkt η · π
ebenfalls genau alle Elemente von Sn . Etwas formaler gesagt, ist die Abbildung
f : Sn → Sn ; π 7→ η · π
bijektiv. In der Tat, um einzusehen das f bijektiv ist, ist einzusehen das es für
jedes τ ∈ Sn genau ein π ∈ Sn mit τ = η · π gibt, und die Gruppenaxiome sagen
uns das π = η −1 · τ dieses eindeutige Element von Sn ist.
2. Analog ist für jedes η ∈ Sn auch die Abbildung
g : Sn → Sn ; π 7→ π · η
bijektiv.
3. Auch die Abbildung
h : Sn → Sn ; π 7→ π −1
ist bijektiv und wegen (π −1 )−1 = π für alle π ∈ Sn gleich ihrer eigenen Umkehrabbildung.
202
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Man kann sich die symmetrische Gruppe Sn alternativ auch als die Menge aller möglichen Anordnungen der Zahlen 1, . . . , n vorstellen. Ist nämlich π ∈ Sn eine Permutation,
so kommt in der Liste
π(1), π(2), . . . , π(n)
jede Zahl zwischen 1 und n genau einmal vor, die Liste ist also eine Anordnung der
Zahlen 1, . . . , n. Haben wir umgekehrt eine solche Liste k1 , . . . , kn in der jede Zahl
zwischen 1 und n genau einmal vorkommt, so können wir durch π(i) := ki für i =
1, . . . , n eine zugehörige Permutation definieren. Schauen wir uns dies einmal an einem
Beispiel mit n = 4 an. Die Anordnung
π:
4, 3, 2, 1
entspricht der durch π(1) = 4, π(2) = 3, π(3) = 2 und π(4) = 1 gegebenen Permutation,
denn 4 ist das erste Element in unserer Aufzählung, 3 ist das zweite Element in der
Aufzählung, und so weiter. Ebenso entspricht
η:
3, 1, 4, 2
der Permutation η(1) = 3, η(2) = 1, η(3) = 4 und η(4) = 2. Für das Produkt τ :=
π · η = π ◦ η ist also
τ (1)
τ (2)
τ (3)
τ (4)
=
=
=
=
π(η(1)) = π(3) = 2,
π(η(2)) = π(1) = 4,
π(η(3)) = π(4) = 1,
π(η(4)) = π(2) = 3,
und als Aufzählung geschrieben ist damit
τ =π·η :
2, 4, 1, 3.
Mit der Interpretation von Permutationen als Auflistungen der Zahlen von 1 bist n ist
es auch leicht die Elemente der symmetrischen Gruppe zu zählen.
Lemma 8.1 (Elementeanzahl der Sn )
Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 hat die symmetrische Gruppe Sn genau n! viele Elemente.
Beweis: Für das erste Element der Aufzählung haben wir n Möglichkeiten, für das
zweite dann nur noch n − 1 Möglichkeiten, für das dritte n − 2 Möglichkeiten, und so
weiter, bis für das letzte Element nur noch eine Möglichkeit verbleibt. Als Anzahl aller
möglichen Permutationen ergibt sich damit
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . 1 = 1 · 2 · . . . · n = n!.
203
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Schreiben wir |M | für die Anzahl aller Elemente einer endlichen Menge M , so sind
also
|S1 | = 1, |S2 | = 2, |S3 | = 6, |S4 | = 24, |S5 | = 120, . . .
Die Elemente der symmetrischen Gruppe Sn können in zwei verschiedene Sorten eingeteilt werden, die geraden und die ungeraden Permutationen. Nehmen wir einmal an
wir haben eine Permutation π ∈ Sn gegeben. Dann sind π(1), π(2), . . . , π(n) genau die
Zahlen zwischen 1 und n nur in einer anderen Reihenfolge. Dies übeträgt sich dann
auch auf Paare von verschiedenen Zahlen zwischen 1 und n, d.h.
(π(1), π(2)), . . . , (π(1), π(n)), (π(2), π(1)), (π(2), π(3)), . . . , (π(2), π(n)),
. . . , (π(n − 1), π(1)), . . . , (π(n − 1), π(n))
sind wieder genau diese Paare, nur erneut in einer anderen Reihenfolge. Dies modifizieren wir noch etwas und betrachten nur noch die nach Größe geordneten Paare (i, j)
mit 1 ≤ i < j ≤ n, bei denen der zweite Eintrag also größer als der erste Eintrag ist.
Wenden wir unsere Permutation auf diese korrekt geordneten Paare an, so erhalten wir
(π(1), π(2)), . . . , (π(1), π(n)), (π(2), π(3)), . . . , (π(2), π(n)), . . . , (π(n − 1), π(n))
nur noch die Hälfte aller möglichen Paare. Diese umgeordneten Paare müssen aber
nicht mehr nach Größe geordnet sein, die Permutation kann ja auch richtig geordnete
Paare auf falsch geordnete Paare abbilden. Jedes Paar bei dem dies vorkommt nennen
wir einen Fehlstand von π, d.h.
(i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n ist Fehlstand von π :⇐⇒ π(i) > π(j).
Bilden wir nun das Produkt der Differenzen aller unserer obigen Paare, so erhalten wir
fast genau das Produkt aller Differenzen nach Größe geordneter Paare, es kommt nur
für jeden Fehlstand ein Minus Zeichen hinzu. Schreiben wir also F (π) für die Menge
aller Fehlstände von π, so ist
Y
Y
Y
(π(j) − π(i)) = (−1)|F (π)|
(j − i) = ±
(j − i).
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
Tritt in der obigen Formel das Pluszeichen auf, ist also |F (π)| gerade, so nennen wir
π eine gerade Permutation, und andernfalls heißt π eine ungerade Permutation. Zur
Verwendung in Rechnungen führen wir noch ein Symbol für das auftretende Vorzeichen
ein.
Definition 8.1 (Vorzeichen einer Permutation)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und π ∈ Sn . Dann heißt
Y
(−1)π := (−1)|F (π)| =
π(j) − π(i)
j−i
1≤i<j≤n
das Vorzeichen von π.
Wir wollen drei Beispiele behandeln.
204
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
1. Wir fangen mit dem konkreten Beispiel n = 4 und der durch 3, 4, 1, 2 gegebenen
Permutation π an. Listen wir die nach Größe geordneten Paare und ihre Bilder
unter π auf, so ergibt sich
(π(i), π(j))
3, 4
3, 1 F
3, 2 F
4, 1 F
4, 2 F
1, 2,
(i, j)
1, 2
1, 3
1, 4
2, 3
2, 4
3, 4
wobei die Fehlstände mit dem Symbol F“ markiert sind. Wir haben in diesem
”
Beispiel also |F (π)| = 4 Fehlstände und somit (−1)π = 1, d.h. π ist eine gerade
Permutation.
2. Sei n ∈ N mit n ≥ 2 und bezeichne τ ∈ Sn die Transposition die zwei verschiedene Zahlen 1 ≤ i < j ≤ n miteinander vertauscht. Fehlstände von τ müssen i
oder j involvieren. Gehen wir die Möglichkeiten durch so ergeben sich genau die
folgenden Fehlstände von τ
F (τ ) = {(i, k)|i < k ≤ j} ∪ {(k, j)|i < k < j}
also |F (τ )| = (j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1 und insbesondere (−1)τ = −1,
d.h. Transpositionen sind immer ungerade.
3. Nun sei π eine Permutation die r ≥ 2 aufeinanderfolgende Ziffern zyklisch nach
rechts schiebt, beispielsweise die Ziffern von i bis i + r − 1 mit 1 ≤ i ≤ n − r + 1.
Es soll also π(k) = k für 1 ≤ k < i und für i + r ≤ k ≤ n, π(k) = k + 1 für
i ≤ k < i + r − 1 und π(i + r − 1) = i sein. Fehlstände von π müssen offenbar zwei
Ziffern zwischen i und i + r − 1 involvieren und i + r − 1 als rechte Komponente
haben, also
F (π) = {(k, i + r − 1)|i ≤ k < i + r − 1}, und somit |F (π)| = r − 1,
und folglich ist auch (−1)π = (−1)r−1 , ist also r gerade so ist π ungerade und ist
r ungerade so ist π gerade.
Lemma 8.2 (Rechenregeln für das Vorzeichen einer Permutation)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann gelten:
(a) Ist id ∈ Sn die identische Permutation, so ist (−1)id = 1.
(b) Für alle π, η ∈ Sn ist (−1)πη = (−1)π (−1)η .
(c) Für jedes π ∈ Sn ist (−1)π
−1
= (−1)π .
205
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Beweis: (a) Klar da die Identität keine Fehlstände hat.
(b) Es gilt
Y
Y
(π(η(j)) − π(η(i))) = (−1)|F (η)|
1≤i<j≤n
(π(j) − π(i))
1≤i<j≤n
= (−1)π (−1)η
Y
(j − i)
1≤i<j≤n
und somit ist
(−1)πη =
π(η(j)) − π(η(i))
= (−1)π (−1)η .
j
−
i
1≤i<j≤n
Y
(c) Nach (a) und (b) gilt
1 = (−1)ππ
8.2
−1
= (−1)π (−1)π
−1
=⇒ (−1)π
−1
=
1
= (−1)π .
(−1)π
Definition und Grundeigenschaften der Determinante
Wir definieren die allgemeine Determinante durch die sogenannte Leibniz-Formel.
Definition 8.2 (Definition der Determinante)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und sei K ∈ {R, C}. Die Determinante einer n × n Matrix über
K wird durch die Formel
a11 · · · a1n .. . .
.. := X (−1)π a
.
. . 1π(1) · . . . · anπ(n)
π∈Sn
an1 · · · ann definiert.
Die Determinante einer n×n Matrix ist also eine Summe mit |Sn | = n! vielen Summanden und jeder Summand ist ein Produkt aus n Matrixeinträgen und einem Vorzeichen.
Für n = 1, 2, 3 stimmt dies mit der schon eingeführten Determinante überein. Schon
für n = 4 ist die Definition aber nicht direkt zum Berechnen der Determinante geeignet, man hat |S4 | = 24 viele Summanden in der Summe. Es gibt im wesentlichen
zwei Methoden Determinanten zu berechnen, zum einen über die sogenannte LaplaceEntwicklung, die wir im nächsten Abschnitt behandeln, und zum anderen über die
Umformung einer Determinante mittels elementarer Zeilen- und Spaltenoperationen.
Um den letzteren Weg zu begründen, müssen wir uns überlegen wie sich die Determinante bei Anwendung von Zeilenoperationen verhält, und hierfür wollen wir das
folgende Lemma formulieren und beweisen.
206
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Lemma 8.3 (Grundeigenschaften der Determinante)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, K ∈ {R, C} und


a11 · · · a1n


A =  ... . . . ...  ∈ K n×n
an1 · · · ann
eine n × n Matrix über K. Dann gelten:
(a) Es ist det At = det A.
(b) Geht A0 aus A durch Multiplikation einer Zeile oder einer Spalte mit einer Konstanten c ∈ K hervor, so ist det A0 = c · det A.
(c) Sei α ∈ Sn eine Permutation und bezeichne A0 die Matrix, die aus A durch Permutation der Zeilen gemäß α hervorgeht, d.h. für 1 ≤ k ≤ n ist die k-te Zeile von
A0 gleich der α(k)-ten Zeile von A. Dann ist det A0 = (−1)α det A. Die analoge
Aussage gilt für Permutationen der Spalten von A.
(d) Geht A0 aus A durch Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten hervor, so ist det A0 =
− det A.
(e) Geht A0 aus A durch Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
hervor, so ist det A0 = det A. Die analoge Aussage gilt auch für Spalten statt
Zeilen.
(f ) Besteht eine Zeile oder eine Spalte von A nur aus Nullen, so ist det A = 0.
(g) Ist eine Zeile von A ein Vielfaches einer anderen Zeile von A, oder eine Spalte
von A ein Vielfaches einer anderen Spalte von A, so ist det A = 0.
Beweis: (a) Es gilt nach Lemma 2.(c)
det At =
X
(−1)π aπ(1)1 · . . . · aπ(n)n =
π∈Sn
=
X
X
(−1)π aπ(1),π−1 (π(1)) · . . . · aπ(n),π−1 (π(n))
π∈Sn
π −1
(−1)
a1,π−1 (1) · . . . · an,π−1 (n) =
π∈Sn
X
(−1)π a1π(1) · . . . · anπ(n) = det A.
π∈Sn
(b) Sei 1 ≤ i ≤ n und die i-te Zeile von A0 sei das c-fache der i-ten Zeile von A. Dann
ist
X
det A0 =
(−1)π a1π(1) · . . . · (caiπ(i) ) · . . . · anπ(n)
π∈Sn
=c
X
π∈Sn
207
(−1)π a1π(1) · . . . · anπ(n) = c · det A.
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spalten.
(c) Es gilt nach Lemma 2.(b)
det A0 =
X
(−1)π aα(1),π(1) · . . . · aα(n),π(n)
π∈Sn
= (−1)α
X
−1
(−1)πα a1,π(α−1 (1)) · . . . · an,π(α−1 (n)) = (−1)α det A.
π∈Sn
Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spaltenpermutationen.
(d) Da Transpositionen ungerade Permutationen sind ist dies ein Spezialfall von (c).
(f ) Ist 1 ≤ i ≤ n und besteht die i-te Zeile von A nur aus Nullen, so ist für jedes
π ∈ Sn stets aiπ(i) = 0, also auch a1π(1) · . . . · anπ(n) = 0. Damit ist det A = 0. Mit (a)
folgt auch die Aussage über Spalten.
(g) Nach (a) reicht es die Aussage für Zeilen einzusehen, und nach (b) können wir
annehmen, dass A sogar zwei identische Zeilen hat. Dann ändert sich die Matrix bei
Vertauschen dieser beiden Zeilen nicht, und (d) ergibt det A = − det A, also det A = 0.
(e) Seien c ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n mit i 6= j und A0 gehe aus A durch Addition des c-fachen
der j-ten Zeile zur i-ten Zeile hervor. Dann ist
det A0 =
X
(−1)π a1π(1) · . . . · (aiπ(i) + cajπ(i) ) · . . . · anπ(n)
π∈Sn
= det A + c
X
(−1)π a1π(1) · . . . · ajπ(i) · . . . · anπ(n) .
π∈Sn
Die hintere Summe ist gerade die Determinante der Matrix A00 , die aus A durch Ersetzen
der i-ten Zeile durch die j-te Zeile entsteht. Da A00 zwei identische Zeilen hat, ist nach
(g) aber det A00 = 0, und dies zeigt det A0 = det A. Mit (a) folgt dann auch die Aussage
über Spaltenunformungen.
Wie schon bemerkt soll uns das Lemma eine Methode zur Berechnung von Determinanten liefern. Wir wissen das wir jede Matrix durch Anwendung der drei elementaren
Zeilenumformungen auf Stufenform bringen können, und das Lemma sagt uns wie sich
die Determinante bei Anwendung dieser Zeilenumformungen verhält. Damit kann die
Berechnung einer allgemeinen Determinante auf die Berechnung der Determinante einer
Matrix in Stufenform zurückgeführt werden. Etwas allgemeiner behandeln wir gleich
Determinanten von Dreiecksmatrizen.
Lemma 8.4 (Determinante von Dreiecksmatrizen)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, K ∈ {R, C} und




a11
∗
a11




...
...
A=
 oder A = 

ann
∗
ann
208
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1.2017
eine obere oder eine untere Dreiecksmatrix. Dann ist
det A = a11 · . . . · ann .
Beweis: Schreibe wieder


a11 · · · a1n


A =  ... . . . ...  .
an1 · · · ann
Zunächst sei A eine obere Dreiecksmatrix, also aij = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n. Sei π ∈
Sn . Gibt es dann ein 1 ≤ i ≤ n mit π(i) < i, so ist ai,π(i) = 0 und somit auch
a1,π(1) · . . . · an,π(n) = 0. Ist dagegen π(i) ≥ i für jedes 1 ≤ i ≤ n, so ist π(n) ≥ n, also
π(n) = n, und weiter π(n − 1) ≥ n − 1 also π(n − 1) = n − 1 oder π(n − 1) = n,
und wegen π(n − 1) 6= π(n) = n sogar π(n − 1) = n − 1. So fortfahrend folgt dann
π(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ n. Es gibt in det A also höchstens einen von Null verschiedenen
Summanden, nämlich derjenige zur identischen Permutation und da diese Permutation
gerade ist, folgt
det A = a11 · . . . · ann .
Ist A eine untere Dreiecksmatrix, so ist At eine obere Dreiecksmatrix und mit Lemma
3.(a) folgt die Behauptung auch in diesem Fall.
Wir rechnen ein Beispiel.
1 2 −1
1
1
1
2
−1
1
2 −1
1 2
0
0
1
−1
0
2
−2
4
2
=
= −
−1 2
3 −1 0
4
2
0 0
2
0
3 0 −1
0
0 −6
2 −3
0 −6
2
1 2 −1
1 1
0 4
0
2
0 = − =
−
0
2 −2 0 0
0 0
0
5 −3
1
0
−2
−3
2 −1
1 4
2
0 = −16.
0
2 −2 0
0
2 Man ist allerdings nicht gezwungen so stur den Gaußschen Algorithmus abzuarbeiten,
oft kann man sich die Arbeit durch Mischen von Zeilen- und Spaltenoperationen erleichtern. Dies geschieht etwa im folgenden Beispiel wo wir zuerst Vielfache der ersten
Zeile von der dritten und vierten Zeile abziehen und anschließend die zweite und dritte
Spalte von der ersten Spalte subtrahieren
1 0 1 −1
1 0
0 0
3
1
−1
3
1
−1
3
4 1 3
7 −5 4 1
3
7 −5 0 1
3
7 −5 2 2 0
1
0 = 0 2 −2
3 −6 = 0 2 −2
3 −6 = 0
4 0 4 −3
6 0 0
0
1 −6 0 0
0
1 −6 1 1 0
8
1
1 1
0
8
1
0 1
0
8
1 209
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
nach Lemma 3.(f). Dies ist schon eine durchaus effektive Methode zur Berechnung von
Determinanten.
Vorlesung 19, Freitag 13.1.2017
In der letzten Sitzung haben wir die Determinante einer allgemeinen n × n-Matrix
definiert und gesehen wie sich diese mit Hilfe elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen berechnen läßt. Bevor wir fortfahren wollen wir noch ein oft nützliches Korollar
aus unserem Lemma über Dreiecksmatrizen festhalten.
Korollar 8.5 (Determinanten von Blockdreiecksmatrizen)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, K ∈ {R, C} und A eine n × n-Matrix über K der Form




∗
D1
D1








D2
D2




A=
oder A = 
..
..


.
.




∗
Dr
Dr
mit quadratischen Untermatrizen D1 , . . . , Dr . Dann gilt
det A = det(D1 ) · . . . · det(Dr ).
Beweis: Zunächst sei A eine obere Blockdreiecksmatrix habe also die links stehende
Form. Für jedes 1 ≤ i ≤ r überführe Di durch Vertauschen von Zeilen und Addition
von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile in eine obere Dreiecksmatrix Di0 und
bezeichne si die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen. Lassen wir die
dabei verwendeten elementaren Zeilenumformungen dann auch auf ganz A wirken, so
wird A in eine Matrix A0 der Form


D10
∗


0


D


2
A0 = 

...




0
Dr
P
überführt, und s := ri=1 si ist die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen. Mit Lemma 3.(d,e) folgen
det A = (−1)s det A0 und det Di = (−1)si det Di0
210
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
für alle 1 ≤ i ≤ r. Die Matrix A0 ist eine obere Dreiecksmatrix, und damit gilt nach
Lemma 4
r
Y
det A0 =
det Di0 .
i=1
Insgesamt ist damit
r
r
Y
Y
si
0
det A = (−1) det A =
(−1) det Di =
det Di ,
0
s
i=1
i=1
und die Aussage ist für obere Blockdreiecksmatrizen bewiesen. Mit Lemma 3.(a) folgt
dann auch die Aussage über untere Blockdreiecksmatrizen.
Beispielsweise ist damit
1 −1 0 0 3
7 0 0 1 −1 2 1 =
·
= 10 · (−3) = −30,
−5
3 2 1 3
7 9 3 −9
4 9 3 da es sich hier um eine untere Blockdreiecksmatrix mit den beiden 2 × 2-Kästchen
D1 =
1 −1
3
7
und D2 =
2 1
9 3
handelt. Nachdem die zuletzt bewiesenen Aussagen über Determinanten hauptsächlich
rechnerische Aspekte behandelt haben, wollen wir nun zu einem wichtigen und eher
theoretischen Satz kommen der den Zusammenhang von Determinanten und der Matrixmultiplikation herstellt.
Satz 8.6 (Multiplikationssatz für Determinanten)
Sind n ∈ N mit n ≥ 1 und A, B zwei n × n Matrizen über K ∈ {R, C} so gilt
det(A · B) = det(A) · det(B).
Beweis: Wir schreiben



a11 · · · a1n



A =  ... . . . ...  , B = 
an1 · · · ann


b11 · · · b1n

.. . .
. 
. ..  und AB = 
.
bn1 · · · bnn
211

c11 · · · c1n
.. . .
. 
. ..  .
.
cn1 · · · cnn
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Freitag 13.1.2017
Nach Definition der Matrizenmultiplikation gilt dann cij =
i, j ≤ n. Hiermit rechnen wir
det(AB) =
X
Pn
k=1
aik bkj für alle 1 ≤
(−1)π c1,π(1) · . . . · cn,π(n)
π∈Sn
X
=
(−1)π
=
!
a1,j1 bj1 ,π(1)
(−1)π
n
X
· ... ·
j1 =1
π∈Sn
X
n
X
!
an,jn bjn ,π(n)
jn =1
X
a1,j1 · . . . · an,jn · bj1 ,π(1) · . . . · bjn ,π(n)
1≤j1 ,...,jn ≤n
π∈Sn
"
=
X
a1,j1 · . . . · an,jn ·
1≤j1 ,...,jn ≤n
#
X
π
(−1) bj1 ,π(1) · . . . bjn ,π(n) .
π∈Sn
Nun kümmern wir uns um den Faktor in den eckigen Klammern. Die dort stehende
Summe sieht fast wie eine Determinante aus, nur das dort überall ji statt i steht. Dies
ist aber kein echtes Problem, schreiben wir B(j1 , . . . , jn ) für die n × n Matrix, deren
i-te Zeile gerade die ji -te Zeile von B ist, so ist der Ausdruck in eckigen Klammern
gerade die Determinante von B(j1 , . . . , jn ), also ist
X
a1,j1 · . . . · an,jn · det B(j1 , . . . , jn ).
det(AB) =
1≤j1 ,...,jn ≤n
Wir betrachten nun einen einzelnen Summanden in dieser Summe, seien also 1 ≤
j1 , . . . , jn ≤ n gegeben. Gibt es dann zwei Indizes 1 ≤ i, i0 ≤ n mit i 6= i0 und
ji = ji0 , so hat die Matrix B(j1 , . . . , jn ) zwei identische Zeilen, und somit ist dann
det B(j1 , . . . , jn ) = 0 nach Lemma 3.(g). Also müssen wir in der obigen Summe nur
die Summanden (j1 , . . . , jn ) betrachten in denen j1 , . . . , jn paarweise verschieden sind.
Aber Tupel aus n verschiedenen Zahlen aus {1, . . . , n} sind ja gerade die Ordnungen
von {1, . . . , n}, also folgt mit Lemma 3.(c)
det(AB) =
X
a1,π(1) · . . . · an,π(n) · det B(π(1), . . . , π(n))
π∈Sn
!
=
X
(−1)π a1,π(1) · . . . · an,π(n)
· det(B) = det(A) · det(B).
π∈Sn
Wir wollen uns als Beispiele zwei kleine Anwendungen des Determinantenmultiplikationssatz es anschauen und beginnen mit einer erstaunlichen auf Sylvester zurückgehenden Formel. Angenommen wir haben n, m ≥ 1, eine m × n-Matrix A und eine
n × m-Matrix B. Dann können wir die beiden Produkte AB und BA bilden, dabei
ist AB eine m × m- und BA eine n × n-Matrix, diese beiden können also von sehr
unterschiedlicher Größe sein. Trotzdem gilt nun:
212
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Korollar 8.7 (Sylvestersche Determinantenformel)
Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1, K ∈ {R, C} und A ∈ K m×n eine m×n- sowie B ∈ K n×m
eine n × m-Matrix über K. Dann gilt
det(1 + AB) = det(1 + BA).
Beweis: Wir betrachten die (m + n) × (m + n)-Matrix
Em −A
∈ K (m+n)×(m+n) .
C :=
B En
Dann gelten
Em 0
−A
Em
Em −A
1 + AB 0
·
= C und
·
=C
B En
0 1 + BA
0 En
B
En
und da es sich hier jeweils um Produkte von (m + n) × (m + n)-Matrizen handelt ergibt
der Multiplikationssatz Satz 6 zusammen mit Korollar 5
det(1 + BA) = det C = det(1 + AB).
Als eine zweite Konsequenz des Multiplikationssatzes erhalten wir unmittelbar eine
Formel für die Determinante der Inversen einer regulären Matrix.
Korollar 8.8 (Determinante der inversen Matrix)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und sei A eine invertierbare n × n Matrix über K ∈ {R, C}. Dann
gilt det A 6= 0 und es ist
1
det(A−1 ) =
.
det A
Beweis: Nach dem Multiplikationssatz ist
det(A) · det(A−1 ) = det(A · A−1 ) = det En = 1.
Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden gilt auch die Umkehrung dieses Korollars,
ist det A 6= 0 so ist die Matrix A invertierbar. Damit ist dann auch die zu Beginn dieses
Kapitels erwähnte Eigenschaft der Determinante das Lösungsverhalten quadratischer
linearer Gleichungssysteme zu bestimmen bewiesen. In der Tat, ist det A 6= 0 so ist A
invertierbar und jedes lineare Gleichungssystem Ax = b ist regulär, also nach §7.Satz
213
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
5 auch eindeutig lösbar, und ist det A = 0 so ist A nicht invertierbar also führt das
Gaußsche Eliminationsverfahren auf eine lange Stufe und damit auf eine nur aus Nullen
bestehende Zeile, d.h. lineare Gleichungssysteme Ax = b sind niemals eindeutig lösbar
und es gibt sowohl rechte Seiten b für die Ax = b nicht lösbar ist als auch rechte Seiten
b bei denen Ax = b lösbar ist.
8.3
Laplace Entwicklung
Die Laplace Entwicklung einer Determinante ist ein weiteres Rechenverfahren zur Bestimmung von Determinanten. Bei diesem Verfahren wird die Determinante einer n × n
Matrix als eine Summe von n Termen berechnet die ihrerseits im wesentlichen aus einer
(n−1)×(n−1) Determinante bestehen. Wir wollen dies zunächst an einigen Beispielen
vorführen, bevor wir es als abstrakten Satz formulieren.
Wir beginnen dabei mit der Berechnung einer 3 × 3 Determinante
1 −1
3
2
1 −1 .
5
1
0 Als Entwicklung dieser Determinante nach der ersten Zeile bezeichnet man die folgende
Rechnung
1 −1
3
1 −1 2 −1 2 1 2
− (−1) · +3·
1 −1 = 1 · 5
5 1 = 1 + 5 − 9 = −3.
1
0 0 5
1
0
Diese Summe beginnt mit dem Eintrag 1 in der ersten Zeile und Spalte multipliziert mit
der Determinante, die aus der ursprünglichen Determinante durch Streichen der ersten
Zeile und der ersten Spalte entsteht. Hiervon wird dann der Eintrag −1 in der zweiten
Spalte der ersten Zeile mal die durch Streichen der ersten Zeile und der zweiten Spalte
gebildete Determinante abgezogen. Schließlich wird der Eintrag 3 in der dritten Spalte
der ersten Zeile mit der durch Streichen der ersten Zeile und dritten Spalte erhaltenen
Determinante multipliziert und zur Gesamtsumme addiert:
1 −1
1 −1
1 −1
1 −1
3
3
3
3
2
1 −1 = 1 · 2
1 −1 − (−1) · 2
1 −1 + 3 · 2
1 −1 .
5
5
5
5
1
0 1 0 1
0
1
0 Diese Rechenverfahren ist etwas effizienter als die Rechnung über die Regel von Sarrus.
Bei der Sarrusschen Regel hat man die Summe von sechs Dreierprodukten zu bilden,
benötigt also 12 Multiplikationen und 5 Additionen, wobei wir Subtraktion und Addition nicht unterscheiden. Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile bilden wir dagegen
drei 2 × 2 Determinanten, und jede von diesen erfordert zwei Multiplikationen und
eine Addition, also insgesamt 6 Multiplikationen und drei Additionen. Dann werden
diese 2 × 2 Determinanten jeweils mit einer Zahl multipliziert und dann addiert, dies
214
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Freitag 13.1.2017
sind 3 weiter Multiplikationen und zwei Additionen. Insgesamt erfordert die Entwicklung nach der ersten Zeile also 9 Multiplikationen und 5 Additionen, wir haben also
3 Multiplikationen eingespart, dies sind immerhin 25% des Aufwands der Regel nach
Sarrus.
Ebenso kann die Determinante auch nach der ersten Spalte entwickelt werden, hier
gehen wir entsprechend die Einträge in der ersten Spalte der Matrix durch
1 −1
1 −1
1 −1
1 −1
3
3
3
3
=1· 2
.
2
−2· 2
+5· 2
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
5
5 1
1
0
5
1
0
5 1
0
0 Noch allgemeiner kann die Determinante auch nach einer beliebigen Zeile oder einer
beliebigen Spalte entwickelt werden. Das einzige kleine Detail auf das man dabei achten muss ist die Verteilung der Vorzeichen. Entwickeln wir nach der ersten Zeile oder
Spalte, so beginnt die Entwicklung mit +“ und dann wechseln die Vorzeichen sich ab.
”
Entwickeln wir dagegen nach der zweiten Zeile oder Spalte, so beginnen die Vorzeichen
mit −“ und wechseln sich dann ab. In der dritten Zeile oder Spalte starten wir dann
”
wieder mit +“ und so weiter. Allgemein gehört zum Eintrag (i, j) der Determinan”
te, also dem Eintrag in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte, die Determinante die
durch Entfernen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht und mit dem Vorzeichen
(−1)i+j versehen ist. Diese Vorzeichen beginnen links oben mit (−1)2 = 1 und breiten
sich dann schachbrettartig aus
+
−
+
−
..
.
−
+
−
+
..
.
+
−
+
−
..
.
−
+
−
+
..
.
···
···
···
···
...
Wir haben das Vorzeichenschema hier gleich allgemein für quadratische Matrizen beliebiger Größe angegeben und nicht nur für 3 × 3 Matrizen. Es bietet sich an nach einer
Zeile oder Spalte zu entwickeln die möglichst viele Nullen enthält, denn bei jeder Null
können wir den entsprechenden Summanden in der Entwicklung ignorieren. In unserem
obigen Beispiel ist es daher naheliegend etwa nach der dritten Zeile zu entwickeln
1 −1
1 −1
1 −1
3 3 3 2
1 −1 = 5 · 2
1 −1 − 1 · 2
1 −1 = 5 · (−2) − (−7) = −3
5
5
5
1
0 1
0 1 0 erneut mit demselben Ergebnis. Die Entwicklung einer Determinante nach Zeilen oder
Spalten ist aber nicht auf 3×3 Determinanten beschränkt, sondern ist für jede natürlich
Zahl n ≥ 1 möglich. Wir wollen als ein Beispiel einmal eine 4 × 4 Determinante nach
215
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
der
zweiten Zeile entwickeln:
1 −1
0
2 3
1 −1
0 =
0
2
5 −3 1
2 −1
1 1 −1
0
2
3
1 −1
0 −3·
+
1
·
0
2
5
−3
1 2 −1
1 Freitag 13.1.2017
1 −1
0
2 3
1 −1
0 −
(−1)
·
0
2
5 −3 1
2 −1
1 1 −1
0
2 3
1 −1
0 0
2
5 −3 1
2 −1 1 = (−3) · (−26) + 1 · (−8) + 1 · 7 = 77,
wobei wir die
haben und die
−1
2
2
1
0
1
1
0
1
mit Null zu multiplizierende vierte Determinante gleich weggelassen
Werte der verbleibenden drei 3 × 3 Determinanten
0
2 5 −3 2
5
+ 2
= −2 − 24 = −26,
5 −3 = − −1
1
2 −1 −1
1
0
2 5 −3 0
5 5 −3 = + 2
= 2 − 10 = −8,
−1
1 1 −1 −1
1
−1
2 1 2 1 −1 = −2 + 9 = 7
2 −3 = 2 + 3 1
1
1
2
2
1 gleich eingesetzt haben. Man kann dieses Rechenverfahren durch Entwicklung nach
einer Zeile oder Spalte natürlich auch mit den elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kombinieren. In unserem eben gerechneten Beispiel einer 4 × 4 Determinante
können wir auch zunächst die erste Spalte zur zweiten Spalte addieren. Dann haben
wir auf einmal zwei Nullen in der ersten Zeile, und bei der Entwicklung nach der ersten
Zeile treten nur noch zwei Summanden auf.
1 −1
0
2 1 0
0
2 3
1 −1
0 3 4 −1
0 =
=
0
2
5 −3 0 2
5 −3 1
2 −1
1 1 3 −1
1 4 −1
3 4 −1 4 −1 0 0
3 −1 3 4 2
− 5
5 −3 − 2 0 2
5 = 11
2 0 − 2 · 2 1 3 1 −1 3 −1
1
1 3 −1
3 −1 1
4 −1 − 2 · (−4 − 25) = 19 + 59 = 77.
= 11
2 Wir wollen im folgenden die theoretische Begründung für dieses Rechenverfahren angeben. Die Grundlage für all diese Dinge ist die sogenannte Linearität der Determinante
in Zeilen und Spalten.
216
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
Satz 8.9 (Zeilen- und spaltenweise Linearität der Determinante)
Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und 1 ≤ k ≤ n. Dann gilt für alle Zahlen t, s ∈ K
und alle aij , ai , bi ∈ K (1 ≤ i, j ≤ n) die Gleichung
a11
···
a1n
.
..
..
.
ta1 + sb1 · · · tan + sbn
..
..
.
.
an1
···
ann
=t·
a11 · · · a1n ..
.. .
. a1 · · · an + s · ..
.. .
. an1 · · · ann
a11 · · · a1n ..
.. .
. b1 · · · bn ,
..
.. .
. an1 · · · ann wobei die Summen in der k-ten Zeile dieser Determinante stehen. Die entsprechende
Aussage gilt auch für Summen von Spalten.
Beweis: Nach Lemma 3.(a) reicht es wieder die Aussage über Zeilen zu beweisen. Die
linke Determinante ist dann
X
(−1)π a1,π(1) · . . . · (taπ(k) + sbπ(k) ) · . . . · an,π(n)
π∈Sn
= t·
X
(−1)π a1,π(1) · . . . · aπ(k) · . . . · an,π(n) + s ·
X
(−1)π a1,π(1) · . . . · bπ(k) · . . . · an,π(n)
π∈Sn
π∈Sn
und dies ist gerade die rechts stehende Summe von Determinanten.
Ein direktes Beispiel für die obige Formel ist etwa
1 −1 1 1 −1
1 1 −1 1 2
1 3 + 2 · 0 −1 −1 = 2 −1 1 .
−1
−1
0 2 0
2 −1
0 2 Die erste und die dritte Zeile dieser Matrizen stimmen jeweils überein, Addition und
Multiplikation werden nur in einer Zeile, in diesem Beispiel in der zweiten Zeile, durchgeführt. Nach dieser Vorbemerkung kommen wir zur Entwicklung von Determinanten
zurück. Die Entwicklung einer Determinante nach einer Zeile oder Spalte nennt man
auch den Laplaceschen Entwicklungssatz, und um diesen, und später auch die Cramersche Regel für die Matrixinversion, bequem formulieren zu können, führen wir noch
eine kleine Definition ein.
Definition 8.3: Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und sei A eine n × n Matrix über
K. Sind 1 ≤ i, j ≤ n, so bezeichnet Aij die (n − 1) × (n − 1) Matrix, die aus A durch
Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Die Zahl
b
aij := (−1)i+j det Aji
217
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
wird dann als (i, j)-ter Komplementärwert bezeichnet (das i und j hier vertauscht
werden ist kein Schreibfehler, sondern tatsächlich so gemeint), und die n × n Matrix


b
a11 · · · b
a1n
.
. 
b := 
A
 .. . . . .. 
b
an1 · · · b
ann
heißt die Komplementärmatrix oder Adjunkte zu A.
Für n = 2, 3 können wir die Komplementärmatrix noch direkt
a b b
d −b
=
,
c d
−c
a



a11 a12 a13 b
a22 a33 − a23 a32 a13 a32 − a12 a33
 a21 a22 a23  =  a23 a31 − a21 a33 a11 a33 − a13 a31
a31 a32 a33
a21 a32 − a22 a31 a12 a31 − a11 a32
hinschreiben

a12 a23 − a13 a22
a13 a21 − a11 a23  ,
a11 a22 − a12 a21
aber schon für n ≥ 4 sind die entstehenden Formeln zu gross. Ganz konkret ist beispielsweise die Komplementärmatrix zu




1 −1
2
8
5 −1
 0
2 −3  gleich  −3 −1
3 .
1
2
1
−2 −3
2
Wir wollen jetzt den Laplaceschen Entwicklungssatz explizit formulieren. Die Grundidee zur Herleitung des Entwicklungssatzes ist einfach zu beschreiben. Wir wollen die
Determinante
A nach der i-ten Zeile entwickeln. In der Leibniz-Summe
P einer Matrix
π
det(A) = π∈Sn (−1) a1,π(1) · . . . · an,π(n) fasse für 1 ≤ j ≤ n alle Terme π ∈ Sn mit
π(i) = j zusammen. Dann wird


det A =
n
X
j=1

X
π

(−1)
a
·
.
.
.
a
·
a
·
.
.
.
a
aij · 
1,π(1)
i−1,π(i−1)
i+1,π(i+1)
n,π(n)


π∈Sn
π(i)=j
und die Summe in eckigen Klammern stellt sich als (−1)i+j det Aij heraus, sie ist ja
beinahe bereits eine Leibniz-Summe. Für die exakte Durchführung des Beweises ist
es technisch etwas bequemer zunächst den Sonderfall i = n zu behandeln, und den
allgemeinen Fall darauf zurückzuführen. In der Vorlesung wurde der folgende Beweis
nur skizziert, hier soll er aber vollständig wiedergegeben werden.
Satz 8.10 (Entwicklung nach Zeilen und Spalten)
Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und sei A = (aij )1≤i,j≤n eine n × n Matrix über
K. Dann gelten für jedes 1 ≤ i ≤ n die Gleichungen
det A =
n
X
(−1)i+1 aij det Aij
(Entwicklung nach einer Zeile)
j=1
218
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
und
det A =
n
X
(−1)i+j aji det Aji
Freitag 13.1.2017
(Entwicklung nach einer Spalte).
j=1
Beweis: Wir beginnen mit der Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile.
Schreiben wir die letzte Zeile als
(an1 , . . . , ann ) = a11 · (1, 0, . . . , 0) + · · · + ann · (0, . . . , 0, 1),
so ergibt sich mit der Linearität der Determinante in der letzten Zeile Satz 9 die Formel
a11 · · · a1,j−1
a1j
a1,j+1 · · · a1n n
n
X
..
..
..
X
.
.
.
anj det Bj ,
det A =
anj ·
=
an−1,1 · · · an−1,j−1 an−1j an−1,j+1 · · · an−1,n j=1
j=1
0
···
0
1
0
···
0 wenn wir Bj für die Matrix im j-ten Summanden schreiben. Wir müssen also die
Determinante der Matrix Bj berechnen. Im Fall j = n liegt dabei eine obere Blockdreiecksmatrix
nn
A
∗
Bn =
0 1
vor und Korollar 5 ergibt det Bn = det Ann .
Wir wollen jetzt zeigen, dass für alle 1 ≤ j < n stets det Bj = (−1)n+j det Anj gilt,
für j = n wissen wir dies wegen (−1)2n = 1 bereits. Sei also ein 1 ≤ j < n gegeben.
Bezeichne τ ∈ Sn die Transposition die n und j vertauscht und sei B 0 die Matrix die aus
Bj durch Permutation der Spalten gemäß τ , also durch Vertauschen der j-ten mit der
n-ten Spalte entsteht. Sei weiter α ∈ Sn−1 die Permutation, die die Ziffern j, . . . , n − 1
zyklisch nach rechts verschiebt und sei A0 die (n − 1) × (n − 1) Matrix, die aus Anj
durch Permutation der Spalten gemäß α entsteht. Dann ist


a1j

.. 
0

A
. 
0
B =
,

an−1,j 
1
0 ··· 0
und mit Lemma 3.(c) und der schon bewiesenen Aussage folgt
det Bj = − det B 0 = − det A0 = −(−1)n−j−1 det Anj = (−1)n+j det Anj .
Insgesamt ist damit
det A =
n
X
j=1
anj det Bj =
n
X
j=1
219
(−1)n+j anj det Anj ,
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
und wir haben die Entwicklung nach der letzten Zeile bewiesen. Die Entwicklung nach
anderen Zeilen können wir hierauf zurückführen. Sei 1 ≤ i < n und bezeichne A0
die Matrix die aus A durch Vertauschen der i-ten und der n-ten Spalte entsteht. Mit
Lemma 3.(c) und der schon bewiesenen Teilaussage folgt
0
det A = − det A = −
n
X
nj
(−1)n+j aij det A0 .
j=1
Ist α ∈ Sn−1 die Permutation die die Ziffern i, . . . , n − 1 zyklisch um eine Stelle nach
rechts verschiebt, so geht A0 nj für jedes 1 ≤ j ≤ n aus Aij durch Permutation der
Zeilen gemäß α hervor, also
det A0
nj
= (−1)α det Aij = (−1)n−i−1 det Aij .
Insgesamt ist damit
det A =
n
X
(−1)n+j+1+n−i−1 aij det Aij =
j=1
n
X
(−1)i+j aij det Aij .
j=1
Damit haben wir auch die Entwicklung nach einer beliebigen Zeile bewiesen. Die Entwicklung nach Spalten folgt dann schließlich durch Übergang zur transponierten Matrix
mit Lemma 3.(a).
Eine der Folgerungen der Laplace-Entwicklung sind die sogenannten Cramerschen Regeln. Es gibt zwei derartige Regeln, eine für die Berechnung der Inversen einer n × n
Matrix und eine für das Lösen regulärer linearer Gleichungssysteme. Die Cramersche
Regel für die inverse Matrix wird sich dabei aus dem folgenden Satz über die komplementäre Matrix ergeben.
Satz 8.11 (Satz über die Komplementärmatrix)
Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und A sei eine n × n Matrix über K. Dann gilt


det A

...
b=A
b·A = 
A·A

 = det(A).
det A
b in der i-ten Zeile
Beweis: Seien 1 ≤ i, j ≤ n gegeben. Der Eintrag des Produkts A · A
und j-ten Spalte ist dann gleich
n
X
k=1
bkj =
Aik A
n
X
(−1)j+k Aik det Ajk .
k=1
Im Fall eines Diagonaleintrags, d.h. wenn i = j ist, so steht hier gerade die Entwicklung
von det A nach der i-ten Zeile, und die Summe ist nach dem Entwicklungssatz Satz 10,
220
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 13.1.2017
in seiner Version für Zeilen, gleich der Determinante det A von A. Nun betrachten wir
den Fall i 6= j. Dann ist die Summe ebenfalls nach dem Entwicklungssatz für Zeilen
gleich einer Determinante det A0 , wobei A0 die n × n Matrix über K ist die wir aus
A erhalten indem die j-te Zeile von A durch eine Kopie der i-ten Zeile von A ersetzt
wird. Insbesondere hat A0 zwei identische Zeilen, und damit ist det A0 = 0 nach Lemma
b = det(A). Die andere Gleichung A
b · A = det(A)
3.(g). Dies beweist die Formel A · A
folgt ebenso mit dem Entwicklungssatz nach Spalten.
Damit können wir nun die beiden Cramerschen Regeln einsehen.
Korollar 8.12 (Cramersche Regel für die Matrixinversion)
Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und A sei eine n × n Matrix über K. Dann ist A
genau dann invertierbar wenn det A 6= 0 ist, und in diesem Fall gilt
A−1 =
1 b
A.
det A
Beweis: ”=⇒” Dies gilt nach Korollar 8.
”⇐=” Dies ist klar nach Satz 11.
Wegen
1 −1
2 0
=2· 1 2
2
−3
1 1
1
2
1 1 −1 +3·
= 2 · (−1) + 3 · 3 = 7
1
2 haben wir in unserem obigen Beispiel damit


−1
8
5 −1
1 −1
2
1
 0
3 .
2 −3  =  −3 −1
7
−2 −3
2
1
2
1

Etwas trickreicher könnten wir auch den ersten Eintrag der ersten Zeile des Produkts
b ausrechnen, und wir wissen dann nach Satz 11 das die so erhaltene Zahl die DeA·A
terminante von A ist. Mit Hilfe der Cramerschen Regel für die Matrixinversion können
wir jetzt auch die schon in §7.4 angesprochene Tatsache beweisen, dass ein Produkt
zweier n × n Matrizen genau dann invertierbar ist wenn beide Faktoren invertierbar
sind.
Korollar 8.13: Seien K ∈ {R, C}, n ∈ N mit n ≥ 1 und A, B zwei n × n Matrizen über
K. Dann ist das Produkt AB genau dann invertierbar wenn A und B beide invertierbar
sind.
221
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
Beweis: Nach dem Multiplikationssatz für Determinanten Satz 6 gilt det(AB) =
det(A) · det(B). Damit ist genau dann det(AB) 6= 0 wenn det A 6= 0 und det B 6= 0
gelten. Nach Korollar 12 folgt daraus die Behauptung.
Vorlesung 20, Montag 16.1.2017
In der letzten Sitzung haben wir die Cramersche Regel für die inverse Matrix hergeleitet, dass also die Inverse einen invertierbaren n × n-Matrix als
A−1 =
1 b
A
det A
b die zu A adjunkte Matrix ist Kombinieren wir die Cramersche
gegeben ist, wobei A
Regel für inverse Matrizen mit dem Lösungssatz §7.Satz 5 für reguläre lineare Gleichungssysteme, so ergibt sich die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme.
Korollar 8.14 (Cramersche Regel für reguläre lineare Gleichungssysteme)
Gegeben sei ein reguläres lineares Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..
..
..
.
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
über K ∈ {R, C}, d.h. Ax = b mit einer invertierbaren Koeffizientenmatrix A ∈ K n×n .
Für 1 ≤ i ≤ n sei Ai die n × n Matrix, die aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte von
A durch die rechte Seite b entsteht. Dann ist die Lösung von Ax = b durch
xi =
det Ai
det A
(1 ≤ i ≤ n)
gegeben.
Beweis: Nach §7.Satz 5 und Korollar 12 ist die Lösung von Ax = b durch
x = A−1 b =
1 b
Ab
det A
b gleich
gegeben. Für 1 ≤ i ≤ n ist der i-te Eintrag von Ab
n
X
j=1
b
aij bj =
n
X
(−1)i+j bj det Aji ,
j=1
222
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
und letztere Summe ist nach dem Entwicklungssatz Satz 10 gerade gleich der Determinante det Ai .
Als ein Beispiel zur Cramerschen Regel wollen wir einmal das lineare Gleichungssystem
x −
y + 2z =
1
2y − 3z =
0
x + 2y + z = −1
lösen. Die Koeffizientenmatrix A dieses linearen Gleichungssystem ist gerade die bereits
oben als Beispiel verwendete Matrix


1 −1
2
2 −3 
A= 0
1
2
1
von der wir bereits det A = 7 nachgerechnet haben. Die rechte Seite ist


1
b =  0 ,
−1
und dies müssen wir der Reihe nach als erste, zweite, dritte Spalte von A einsetzen, um
die Lösung mit der Cramerschen Regel zu erhalten. Es ergibt sich damit die Lösung
1 −1
2
1 2 −3 −1
1 2
=
−
= 1 (8 + 1) = 9 ,
0
2
−3
x =
2
1
2
−3
7
7
7
7
−1
2
1 1
1
2 1
3
1 1
= −6,
0
0 −3 = y =
7
7 1 −1 7
1 −1
1 1 −1
1
2 1
1 4
1 0
2
0 = z =
=− .
7
7 1 −1
7
1
2 −1 Obwohl die Cramerschen Regeln sowohl für die inverse Matrix als auch für reguläre
lineare Gleichungssysteme zunächst nach einer guten Rechenmethode aussehen, da sie
eben so schön direkte und explizite Formeln sind, sind sie fürs praktische Rechnen meist
eher ungeeignet. Es ist eine relativ große Zahl von Determinanten zu berechnen, und
da ist es fast immer schneller unseren Gauß-Algorithmus sowohl zum Lösen linearer
Gleichungssysteme als auch zur Berechnung der inversen Matrix heranzuziehen. Der
einzige Fall in dem die Cramerschen Regeln manchmal brauchbar sind ist n = 3, aber
selbst hier fährt man mit der Gaußschen Elimination fast immer besser.
$Id: vektor.tex,v 1.32 2017/01/23 11:03:09 hk Exp $
223
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
§9
Montag 16.1.2017
Vektorräume
Wir kommen jetzt zum wohl abstraktesten Kapitel dieses ganzen Semesters, der
Theorie der sogenannten Vektorräume. Normalerweise ist ein Vektor etwas das eine
Länge und eine Richtung hat, und man unterscheidet zwischen Dingen wie Orts- und
Richtungsvektoren. Im mathematischen Sprachgebrauch wird das Wort Vektor“ al”
lerdings in einem etwas anderen Sinne verwendet. Konzepte wie Orts-“ und Rich”
”
tungsvektoren“ kommen überhaupt nicht explizit vor und unter einem Vektor versteht
man ein Element eines sogenannten Vektorraums. Ein Vektor kann dann alles mögliche sein, etwa ein Vektor im üblichen Sinne, eine Folge, eine Funktion oder etwas noch
ganz anderes. Was Vektor“ gerade konkret bedeutet hängt immer am Kontext des
”
behandelten Vektorraums. Wir werden Vektorräume sowohl mit reellen als auch mit
komplexen Skalaren betrachten, und in diesem ganzen Kapitel bezeichne K ∈ {R, C}
entweder die reellen oder die komplexen Zahlen. Ein allgemeiner Vektorraum ist ein
recht abstrakter Begriff, der nun eingeführt werden soll.
9.1
Der Vektorraumbegriff
Wie gerade eben angekündigt hat das Wort Vektor“ in der linearen Algebra keinen
”
ontologischen Status, es ist ein wesentlicher Punkt das gerade nicht festgelegt wird was
ein Vektor“ denn zu sein hat. Ein Vektorraum wird durch die Dinge definiert die man
”
mit Vektoren machen kann, man kann zwei Vektoren addieren und erhält einen neuen
Vektor und man kann einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren und erhält wieder
einen Vektor. Metrische Konzepte wie beispielsweise die Länge eines Vektors“ oder
”
der Winkel zwischen zwei Vektoren“ werden nicht in den allgemeinen Begriff eines
”
Vektorraums aufgenommen, in einem allgemeinen Vektorraum ist es sinnlos von der
Länge eines Vektors zu sprechen da solch ein Begriff auf dieser Ebene gar nicht definiert
wird. Genau wie wir in §1 für die reellen Zahlen einen Satz von Grundrechenregeln gefordert haben, sollen auch die Addition und die Multiplikation mit Skalaren in einem
Vektorraum gewissen Grundregeln genügen die wir in der Definition eines Vektorraums
alle auflisten. Es gibt allerdings einen wesentlichen Unterschied zur Situation des §1,
während die Axiome der reellen Zahlen selbige vollständig festlegten gibt es viele wesentlich verschiedene Beispiele von Vektorräumen, mit der Vektorraumdefinition wird
also eine ganze Klasse mathematischer Objekte eingeführt.
Definition 9.1 (Die Vektorraumaxiome)
Ein Vektorraum über K besteht aus einer Menge V , deren Elemente Vektoren genannt
werden, und zwei Abbildungen
+ : V × V → V ; (x, y) 7→ x + y
und
· : K × V → V ; (λ, x) 7→ λx,
die die folgenden Vektorraumaxiome erfüllen:
224
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
(A1) Das Assoziativgesetz der Addition: Für alle x, y, z ∈ V gilt
(x + y) + z = x + (y + z).
(A2) Das Kommutativgesetz der Addition: Für alle x, y ∈ V gilt
x + y = y + x.
(A3) Existenz des Nullvektors: Es gibt ein Element 0 ∈ V mit 0 + x = x für alle
x∈V.
(A4) Existenz additiver Inverser: Für jedes x ∈ V existiert ein Vektor −x ∈ V mit
(−x) + x = 0.
(S1) Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle λ, µ ∈ K und alle x ∈ V gilt
λ · (µ · x) = (λµ) · x.
(S2) Multiplikation mit Eins: Für jedes x ∈ V gilt 1 · x = x.
(S3) Distributivgesetz für Vektoren: Für alle λ ∈ K und alle x, y ∈ V gilt
λ · (x + y) = λ · x + λ · y.
(S4) Distributivgesetz für Skalare: Für alle λ, µ ∈ K, x ∈ V gilt
(λ + µ) · x = λ · x + µ · x.
Beachte das die vier additiven Axiome (A1), (A2), (A3), (A4) mit den vier additiven Körperaxiomen aus §1.1 übereinstimmen. Daher gelten auch die Folgerungen
aus diesen, wir wissen also das die Null 0 des Vektorraums eindeutig festgelegt ist,
das die additive Inverse −x jedes Vektors x ∈ V eindeutig bestimmt ist und das
−(x + y) = (−x) + (−y) für alle x, y ∈ V gilt. Außerdem können wir damit auch wieder
die Subtraktion x − y := x + (−y) für Vektoren x, y ∈ V definieren. Schließlich folgen
mit den multiplikativen Axiomen (S1) bis (S4) auch
−x = (−1) · x und λ · x = 0 ⇐⇒ (λ = 0 ∨ x = 0)
für alle x ∈ V , λ ∈ K. Dies kann man ähnlich wie die entsprechenden Aussagen für
die multiplikativen Körperaxiome zeigen, und soll hier nicht vorgeführt werden. Es ist
übrigens tatsächlich nötig 1 · x = x zu fordern, andernfalls wäre es möglich das λ · x = 0
für alle Vektoren x ∈ V und alle λ ∈ K gilt. In allgemeinen Vektorräumen läßt sich
also wie gewohnt rechnen.
Wir wollen jetzt einige Beispiele von Vektorräumen durchgehen. In der Vorlesung
hatten wir dabei auf den expliziten Nachweis der Vektorraumaxiome verzichtet, hier
wollen wir aber ruhig etwas ausführlicher sein.
225
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
1. Das Urbeispiel eines Vektorraums ist der Vektorraum K n der n-Tupel von Zahlen
aus K, also Rn oder Cn . Die Addition derartiger n-Tupel und die Multiplikation
mit Skalaren hatten wir in §7.1 eingeführt, und dort hatten wir auch bereits die
Gültigkeit der verschiedenen Vektorraumaxiome festgehalten.
2. Ein sehr ähnliches Beispiel eines Vektorraums ist die Menge





a
·
·
·
a
11
1n



 ..
.
m×n
.
..
..  a11 , . . . , amn ∈ K
K
:=  .


 a

m1 · · · amn
aller m × n Matrizen über K, erneut mit der in §7.1 eingeführten Addition und
Multiplikation mit Skalaren. Auch hier hatten wir den Nachweis der Vektorraumaxiome bereits in §7.1 erbracht. In Wahrheit kann man diesen Vektorraum
natürlich auch als den K nm auffassen, indem wir einfach die m · n Matrixeinträge
hintereinander in einer Zeile hinschreiben.
3. Ein anderer wichtiger Typ von Vektorräumen sind Funktionsräume, also Mengen
deren Elemente Funktionen sind. Ist M eine beliebige Menge, so betrachten wir
die Menge
K M := {f |f : M → K ist eine Abbildung}
aller Abbildungen von M nach K. Die Elemente von K M können wir addieren,
sind f, g ∈ K M , so sind f und g Abbildungen von M nach K, und wir definieren
die Summe f + g dieser Abbildungen durch
f + g : M → K; x 7→ f (x) + g(x).
Ebenso können wir für eine Funktion f ∈ K M und eine Zahl λ ∈ K eine neue
Funktion λ · f : M → K durch
λ · f : M → K; x 7→ λf (x)
definieren. Wir wollen jetzt nachweisen das V = K M mit dieser Addition und
Multiplikation tatsächlich ein Vektorraum über K ist. Hierzu seien f, g, h ∈ K M
und λ, µ ∈ K gegeben. Für jedes x ∈ M gelten dann
((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x)
= f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x),
und
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)
sowie für die multiplikativen Aussagen
(λ · (µ · f ))(x) = λ · (µ · f )(x) = λ · (µ · f (x)) = (λµ) · f (x) = ((λµ) · f )(x)
226
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
und
(1 · f )(x) = 1 · f (x) = f (x)
sowie
(λ · (f + g))(x) = λ · (f + g)(x) = λ · (f (x) + g(x)) = λ · f (x) + λ · g(x)
= (λf )(x) + (λg)(x) = (λf + λg)(x)
und schließlich
((λ + µ) · f )(x) = (λ + µ) · f (x) = λ · f (x) + µ · f (x)
= (λf )(x) + (µf )(x) = (λf + µf )(x),
d.h. es sind (f + g) + h = f + (g + h), f + g = g + f , λ · (µ · f ) = (λµ) · f , 1 · f = f ,
λ · (f + g) = λ · f + λ · g und (λ + µ) · f = λ · f + µ · f . Damit haben wir die
Axiome (A1), (A2), (S1), (S2), (S3) und (S4) nachgewiesen. Kommen wir zum
Axiom (A3). Hier müssen wir eine Nullfunktion“ als die Null des Vektorraums
”
K M definieren, und wir verwenden die Funktion
0 : M → K; x 7→ 0
die jedes x ∈ M auf den Skalar 0 abbildet. Beachte das hier das Symbol 0“
”
auf ein und derselben Zeile in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird,
dies ist zwar etwas ungenau stellt sich aber als bequem heraus und wird daher
üblicherweise so gemacht. Mit dieser Null ist das Axiom (A3) in K M erfüllt, denn
ist f ∈ K M so gilt für jedes x ∈ M stets
(0 + f )(x) = 0(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x),
d.h. es ist 0 + f = f . Es verbleibt das Axiom (A4), sei also ein f ∈ K M gegeben.
Dann definieren wir das additive Inverse −f ∈ K M durch
−f : M → K; x 7→ −f (x).
Für jedes x ∈ M ist dann
((−f ) + f )(x) = (−f )(x) + f (x) = (−f (x)) + f (x) = 0 = 0(x),
d.h. es gilt (−f ) + f = 0 und alles ist bewiesen.
4. Ist im vorigen Beispiel M = N, so wird
K N = {(an )n∈N | an ∈ K für alle n ∈ N}
beispielsweise zum Vektorraum aller Folgen in K.
227
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
5. Sind V1 , V2 zwei Vektorräume über K so können wir auf dem cartesischen Produkt
V := V1 × V2 durch
(x, y) + (x0 , y 0 ) := (x + x0 , y + y 0 )
für alle x, x0 ∈ V1 , y, y 0 ∈ V2 eine Addition definieren und durch
λ · (x, y) := (λx, λy)
für alle λ ∈ K, x ∈ V1 , y ∈ V2 wird auch eine Multiplikation mit Skalaren
erklärt. Mit diesen Verknüpfungen wird V = V1 × V2 zu einem Vektorraum über
K genannt das Produkt oder das direkte Produkt der beiden Vektorräume V1 und
V2 . Um dies einzusehen, müssen wir auch hier die acht Axiome eines Vektorraums
nachweisen. Seien also x, x0 , x00 ∈ V1 , y, y 0 , y 00 ∈ V2 und λ, µ ∈ K gegeben. Dann
haben wir
(x, y) + (x0 , y 0 ) + (x00 , y 00 ) = (x + x0 , y + y 0 ) + (x00 , y 00 )
= ((x + x0 ) + x00 , (y + y 0 ) + y 00 ) = (x + (x0 + x00 ), y + (y 0 + y 00 ))
= (x, y) + (x0 + x00 , y 0 + y 00 ) = (x, y) + (x0 , y 0 ) + (x00 , y 00 )
und
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) = (x0 + x, y 0 + y) = (x0 , y 0 ) + (x, y)
sowie für die multiplikativen Aussagen
λ · µ · (x, y) = λ · (µx, µy) = (λ(µx), λ(µy)) = ((λµ)x, (λµ)y) = (λµ) · (x, y)
und
1 · (x, y) = (1 · x, 1 · y) = (x, y)
sowie
λ · (x, y) + (x0 , y 0 ) = λ · (x + x0 , y + y 0 ) = (λ(x + x0 ), λ(y + y 0 ))
= (λx + λx0 , λy + λy 0 ) = (λx, λy) + (λx0 , λy 0 ) = λ · (x, y) + λ · (x0 , y 0 )
und schließlich
(λ + µ) · (x, y) = ((λ + µ)x, (λ + µ)y) = (λx + µx, λy + µy)
= (λx, λy) + (µx, µy) = λ · (x, y) + µ · (x, y).
Damit sind alle Vektorraumaxiome bis auf (A3) und (A4) nachgewiesen. Das
Nullelement in V = V1 × V2 definieren wir als 0 := (0, 0), wobei hier alle drei
Nullen etwas unterschiedliches bedeuten, und haben dann für alle x ∈ V1 , y ∈ V2
stets
0 + (x, y) = (0, 0) + (x, y) = (0 + x, 0 + y) = (x, y),
228
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
d.h. (A3) gilt. Für (A4) geben wir uns letztlich x ∈ V1 , y ∈ V2 vor und setzen
−(x, y) := (−x, −y).
Dies ist dann tatsächlich das additive Inverse zu (x, y) denn es gilt
(−(x, y)) + (x, y) = (−x, −y) + (x, y) = ((−x) + x, (−y) + y) = (0, 0) = 0.
Betrachten wir etwa ganz konkret den Fall K = M = R, so ist V := RR die Menge
aller reellen Funktionen f : R → R. Zum Beispiel sind dann die Sinusfunktion sin,
der Cosinus cos, die Exponentialfunktion exp Elemente des Vektorraums V , und wir
können Ausdrücke wie
√
f := sin + 2 · cos − 2 · exp
hinschreiben. Dies ist dann die Funktion
f : R → R; x 7→ sin x + 2 cos x −
√
2ex .
Hieran sieht man insbesondere, dass das Wort Vektor“ hier wirklich nur eine Rollen”
beschreibung der Elemente x ∈ V und keine intrinsische Eigenschaft dieser Elemente
ist. In unserem Vektorraum V = RR ist die Sinusfunktion sin selbst ein Vektor. Ebenso
sprechen wir im Zusammenhang mit Vektorräumen oft von Skalaren statt von Zahlen,
auch dies ist nur eine Rollenbezeichnung, Skalare sind einfach Zahlen, das andere Wort
wird nur verwendet um anzudeuten, dass wir sie an Vektoren heranzumultiplizieren
gedenken.
Ein weiteres Beispiel eines Vektorraums ergibt sich aus den linearen Gleichungssystemen. Angenommen wir haben ein homogenes lineares Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 


a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 
(∗)
..
..
..
..
.
.
.
. 


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 
über K. Dann können wir die Menge





 x1

 .. 
n
V :=  .  ∈ K x1 , . . . , xn ist eine Lösung von (∗)


 x

n
aller Lösungen des Gleichungssystems betrachten. Nach §7.Satz 3.(a) sind Summen
und Vielfache von Elementen aus V wieder Elemente aus V und somit haben wir eine
auf V definierte Addition und eine auf V definierte Multiplikation mit Skalaren. Dass
diese die Vektorraumaxiome erfüllen, V also ein Vektorraum ist, folgt im wesentlichen
daraus das der umgebende K n ein Vektorraum ist. Die Axiome (A1), (A2), (S1), (S2),
(S3) und (S4) fordern die Gültigkeit gewisser Formeln für alle Elemente von V , und
229
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
sind damit automatisch wahr da sie sogar für alle Elemente der größeren Menge K n
gelten. Die verbleibenden Axiome (A3) und (A4) sind ein klein wenig komplizierter,
da sie eine Existenzforderung enthalten. Für Axiom (A3) brauchen wir eine Null in V .
Wir haben eine Null im K n , wir müssen also nur noch wissen das diese in V liegt. Dies
ist glücklicherweise klar da die Null des K n gerade die triviale Lösung des homogenen
linearen Gleichungssystems (∗) ist. Das letzte Axiom (A4) ist die Existenz additiver
Inverser, und genau wie für die Null reicht es zu sehen, dass für jedes x ∈ V auch das
in K n gebildete −x in V liegt. Dies ist wegen −x = (−1) · x klar. Damit ist auch die
Lösungsmenge V ein Beispiel eines Vektorraums.
9.2
Untervektorräume und Erzeugendensysteme
Wir hatten gesehen, dass die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in n Unbekannten einen Vektorraum bildet. Der Nachweis der acht Vektorraumaxiome ergab sich dabei im wesentlichen daraus, das diese alle im größeren Vektorraum K n gelten. Die verwendeten Eigenschaften homogener linearer Gleichungssysteme
waren zum einen das Summen und Vielfache von Lösungen wieder Lösungen sind und
zum anderen das der Nullvektor des K n eine Lösung ist. Diese Eigenschaften führen
uns auf den Begriff eines sogenannten Untervektorraums.
Definition 9.2 (Untervektorräume eines Vektorraums)
Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt ein Untervektorraum von V ,
geschrieben als U ≤ V , wenn sie die folgenden drei Bedingungen erfüllt:
(U1) Es ist 0 ∈ U .
(U2) Für alle x, y ∈ U ist auch x + y ∈ U .
(U3) Für alle x ∈ U und alle λ ∈ K ist auch λx ∈ U .
Anstelle von Untervektorraum“ werden wir oft auch das kürzere Synonym Teil”
”
raum“ verwenden. Manchmal werden für die beiden Bedingungen (U2) und (U3) auch
die Sprechweisen U ist abgeschlossen unter der Addition“ beziehungsweise U ist ab”
”
geschlossen unter der Multiplikation mit Skalaren“ verwendet. Anstelle von (U1) kann
man auch die bei Gültigkeit von (U3) äquivalente Bedingung U 6= ∅ verwenden, gibt
es nämlich überhaupt ein x ∈ U so ist nach (U3) auch 0 = 0 · x ∈ U . Da U 6= ∅
aber eigentlich so gut wie immer bewiesen wird indem 0 ∈ U gezeigt wird, kann man
dies auch gleich als die Bedingung verwenden. Genau wie wir eingesehen haben, dass
die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems einen Vektorraum bildet, ist auch jeder Untervektorraum eines Vektorraums V selbst ein Vektorraum, die
Existenz additiver Inverser (A4) folgt dabei über −x = (−1) · x für jedes x ∈ V aus
(U3).
Ein Beispiel eines Untervektorraums sind natürlich die Lösungsmengen homogener
linearer Gleichungssysteme in n Variablen als Untervektorräume des K n . Als ein etwas
230
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
komplizierteres Beispiel betrachten wir den Vektorraum K N aller Folgen in K. Dieser
enthält die Menge
C := (an )n∈N ∈ K N (an )n∈N ist konvergent ,
aller konvergenten Folgen und wir behaupten, dass C ein Untervektorraum von K N
ist. Dass 0 ∈ C gilt, ist dabei klar, konstante Folgen sind ja insbesondere konvergent.
Die beiden anderen Bedingungen (U2), (U3) besagen, dass Summen und Vielfache von
konvergenten Folgen wieder konvergent sind, und dies ist gerade §4.Satz 6.(a,b). Also
ist C ein Untervektorraum von K N , und somit selbst ein Vektorraum.
Die für uns wichtigste Klasse von Untervektorräumen wird durch das Bilden des sogenannten Aufspanns gegebener Vektoren in einem Vektorraum V definiert. Um dieses
Konzept einzuführen benötigen wir die sogenannten Linearkombinationen von Vektoren in einem Vektorraum.
Definition 9.3 (Linearkombinationen)
Sei V ein Vektorraum über K. Sind v1 , . . . , vn ∈ V , so heißt ein weiterer Vektor v ∈ V
eine Linearkombination von v1 , . . . , vn , wenn es Skalare λ1 , . . . , λn ∈ K mit
v = λ1 v 1 + . . . + λn v n =
n
X
λk v k
k=1
gibt. Die Menge aller Linearkombinationen von v1 , . . . , vn heißt das Erzeugnis, oder
auch der Aufspann, von v1 , . . . , vn , geschrieben als
( n
)
X
hv1 , . . . , vn i = span(v1 , . . . , vn ) :=
λk v k λ1 , . . . , λ n ∈ K .
k=1
Für Vektoren v1 , . . . , vn im Spaltenvektorraum K m ist es uns leicht möglich zu entscheiden, ob ein weiterer Vektor v eine Linearkombination der v1 , . . . , vn ist. Schreiben
wir hierzu






a1n
a12
a11






v1 :=  ...  , v2 :=  ...  , . . . , vn :=  ...  ,
amn
am2
am1
so ist für alle x1 , . . . , xn ∈ K stets
 






a12
a1n
a11 x1 + · · · + a1n xn
a11





 

..
x1 ·  ...  + x2 ·  ...  + · · · + xn ·  ...  = 

.
am2
amn
am1 x1 + · · · + amn xn
am1
also


x1


x1 v1 + · · · + xn vn = A ·  ...  ,
xn
231
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
wobei
Montag 16.1.2017


a11 · · · a1n

..  ,
...
A :=  ...
. 
am1 · · · amn
die Matrix ist, deren Spalten gerade die Vektoren v1 , . . . , vn sind. Damit ist ein Vektor
v ∈ K m genau dann eine Linearkombination der Vektoren v1 , . . . , vn wenn das lineare
Gleichungssystem Ax = v eine Lösung hat. Insbesondere können wir dies mit dem
Gaußschen Eliminationsverfahren effektiv entscheiden. Wir schauen uns dies einmal
am Beispiel der drei Vektoren






3
1
1




 −1 
 , v2 =  0  , v3 =  1 
v1 = 
 −3 
 −1 
 2 
0
1
1
im R4 an und berechnen ihren Aufspann. Wir müssen alle b ∈ R4 bestimmen für die
x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = b lösbar ist und rechnen
1 1
3
b1
1
1
3 b1
1
1
3
b1
0 1
4
b1 + b2
0
1
4 b1 + b2
−1
0
1 b2
−→
−→
0 0
3 b3 + 3b2 + b1
0 −3 −9 b3 − 2b1
2 −1 −3 b3
0 0 −3
b4 − b1
0
0 −3 b4 − b1
1
1
0 b4
1
0
−→
0
0
1
1
0
0
3
b1
4
b1 + b2
3 b3 + 3b2 + b1
0 b4 + b3 + 3b2 .
Die vierte Zeile liefert uns die Lösbarkeitsbedingung und damit ist



b


1





b
2
4
 ∈ R 3b2 + b3 + b4 = 0 .
hv1 , v2 , v3 i = 
 b3 






b4
Ein weiteres solches Beispiel ist Aufgabe (38), diese können wir auch so interpretieren
das der Aufspann der vier Vektoren








1
−4
5
1
 1 






 , v2 =  −2  , v3 =  3  , v4 =  1 
v1 = 
 7 
 −11 
 18 
 7 
−2
3
−5
−2
im R4 berechnet wird. Die rechnerische Bestimmung des Aufspanns von Vektoren im
K m stellt uns also vor keine neuen Probleme. Wir stellen jetzt die Grundeigenschaften
von Untervektorräumen zusammen.
232
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
Lemma 9.1 (Grundeigenschaften von Untervektorräumen)
Sei V ein Vektorraum über K. Dann gelten:
(a) Die Mengen V und {0} sind Untervektorräume von V , genannt die beiden trivialen
Untervektorräume.
(b) Sind U ein Untervektorraum von V und W ein Untervektorraum von U , so ist W
auch ein Untervektorraum von V .
(c) Sind U, W zwei Untervektorräume von V , so ist auch der Durchschnitt U ∩ V ein
Untervektorraum von V .
(d) Sind U, W zwei Untervektorräume von V , so ist auch die Summe
U + W := {x + y|x ∈ U, y ∈ W } ⊆ V
ein Untervektorraum von V .
(e) Sind v1 , . . . , vn ∈ V , so ist der Aufspann hv1 , . . . , vn i der kleinste Untervektorraum
von V der v1 , . . . , vn enthält.
Beweis: Die ersten drei Aussagen (a,b,c) sind alle klar.
(d) Wir kommen daher zum Beweis von (d). Zunächst ist 0 = 0 + 0 ∈ U + W . Sind
u, u0 ∈ U + W , so gibt es x, x0 ∈ U und y, y 0 ∈ W mit u = x + y und u0 = x0 + y 0 ,
also ist auch u + u0 = (x + x0 ) + (y + y 0 ) ∈ U + W . Weiter haben wir für jedes λ ∈ K
dann auch λ · u = λ · (x + y) = λ · x + λ · y ∈ U + W . Damit ist auch U + W ein
Untervektorraum von V und (d) ist bewiesen.
P
(e) Schreibe U := hv1 , . . . , vn i. Zunächst ist 0P= ni=1 0 · vi ∈ UP
. Sind x, y ∈ U , so
n
existieren λ1 , . . . , λn , µ1 , . . . , µn ∈ K mit x = i=1 λi vi und y = ni=1 µi vi . Damit ist
auch
n
n
n
X
X
X
x+y =
λi v i +
µi v i =
(λi + µi )vi ∈ U.
i=1
i=1
i=1
Außerdem ist für jedes λ ∈ K
λ·x=
n
X
(λλi )vi ∈ U.
i=1
P
Damit ist U ein Unterraum von K. Für jedes 1 ≤ i ≤ n gilt dabei vi = nj=1 δij vj ∈ U ,
es ist also v1 , . . . , vn ∈ U . Ist umgekehrt
P W ≤ V ein Teilraum von V mit v1 , . . . , vn ∈ W ,
so gilt für alle λ1 , . . . , λn ∈ K auch ni=1 λi vi ∈ W , d.h. jede Linearkombination von
v1 , . . . , vn liegt wieder in W . Damit ist U ⊆ W .
Das im letzten Beweisteil verwendete Kronecker-Symbol“ ist dabei als
”(
1, α = β,
δαβ :=
0, α 6= β
233
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
definiert. Der Begriff des Aufspanns von Vektoren führt uns im nächsten Schritt zu den
sogenannten Erzeugendensystemen eines Vektorraums.
Definition 9.4 (Erzeugendensysteme eines Vektorraums)
Sei V ein Vektorraum über K. Sind v1 , . . . , vn ∈ V , so heißen v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem von V wenn V = hv1 , . . . , vn i ist, wenn also jeder Vektor v ∈ V Linearkombination von v1 , . . . , vn ist.
Auf einen Randfall wollen wir noch gesondert hinweisen, nämlich den Fall n = 0.
Erinnern wir uns an die Konvention leere Summen“ als Null zu interpretieren, so ha”
ben n = 0 viele Vektoren in V den Nullvektor als einzige Linearkombination und ihr
Aufspann ist damit der triviale Untervektorraum h i = {0}. Insbesondere hat der triviale Vektorraum V = {0} ein aus Null Vektoren bestehendes Erzeugendensystem. Wir
wollen nun noch einige wichtige Grundbeispiele von Erzeugendensystemen besprechen.
1. Das erste Beispiel ist dabei besonders trivial, aber wichtig. Für beliebige Vektoren
v1 , . . . , vn ∈ V in einem Vektorraum V ist v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem des
Aufspanns hv1 , . . . , vn i.
2. Der K n besitzt ein besonders einfaches Erzeugendensystem bestehend aus den
Vektoren
 
 
 
1
0
0
 0 
 1 
 0 
 
 
 
e1 :=  ..  , e2 :=  ..  , . . . , en :=  ..  ,
 . 
 . 
 . 
0
0
1
denn jeder Vektor x ∈ K n



x1

 x2 



x =  ..  = x1 · 
 . 

xn
ist ja eine Linearkombination

 

1
0
 1 

0 

 

..  + x2 ·  ..  + · · · + xn · 
 . 

. 
0
0
0
0
..
.

n
 X

xk ek .
=
 k=1
1
Im dreidimensionalen reellen Fall V = R3 , schreibt man gelegentlich i, j, k für die
drei Vektoren e1 , e2 , e3 .
3. Analog bilden die Basismatrizen
eij := (δik δjl )1≤k≤m,1≤l≤n
für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n ein Erzeugendensystem des Matrixraums K m×n .
Das vorige Beispiel läßt sich als ein Spezialfall dieses Beispiels interpretieren,
schreiben wir K n = K n×1 so wird ek = en1
k1 für jedes 1 ≤ k ≤ n.
4. Angenommen wir haben einen Vektorraum V mit Erzeugendensystem v1 , . . . , vn
und einen weiteren Vektorraum W mit dem Erzeugendensystem w1 , . . . , wm . Im
direkten Produkt V × W definieren wir dann die n + m Vektoren
v i := (vi , 0) für 1 ≤ i ≤ n und wj := (0, wj ) für 1 ≤ j ≤ m
234
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
und behaupten das v 1 , . . . , v n , w1 , . . . , wm ein Erzeugendensystem von V × W ist.
Ist nämlich x ∈ V × W ,P
so ist x = (v, w) mit v ∈ V , w ∈ W undP
es gibt Skalare
n
λ1 , . . . , λn ∈ K mit v = i=1 λi vi sowie µ1 , . . . , µm ∈ K mit w = m
j=1 wj . Damit
ist dann auch
!
n
m
n
m
X
X
X
X
λi v i +
µj w j =
λi v i ,
µj wj = (v, w) = x
i=1
j=1
i=1
j=1
und wir haben x als eine Linearkombination der betrachteten Vektoren dargestellt.
5. Ein weiteres Beispiel von Erzeugendensystemen kennen wir auch bereits aus unserer Diskussion linearer Gleichungssysteme aus §6. Angenommen wir haben ein
homogenes lineares Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 


a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 
(∗)
..
..
..
..
.
.
.
. 


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 
und betrachten die Menge V seiner Lösungen. Wie bereits bemerkt ist V ein
Teilraum des K n , also selbst ein Vektorraum. Wenden wir nun das Gaußsche
Eliminationsverfahren auf das lineare Gleichungssystem (∗) an, so erhalten wir
ein äquivalentes lineares Gleichungssystem
xi1 + c1,i1 +1 xi1 +1 + · · · + c1i2 xi2 + · · · + c1ir xir + · · · = 0
xi2
+ · · · + c2ir xir + · · · = 0
..
..
.
.
xir
+ · · · = 0,
in Stufenform, dessen untere m − r nur aus Nullen bestehende Zeilen hier fortgelassen werden, d.h. r ist die Anzahl der nach Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens verbleibenden nicht trivialen Zeilen. Wir haben hier die Variante
des Eliminationsverfahrens verwendet, die den führenden Eintrag jeder verbleibenden Zeile durch Multiplikation mit einer Konstanten auf Eins bringt. Jede
dieser r Zeilen legt eine der Unbekannten fest, d.h. die Werte von xi1 , . . . , xir
werden festgelegt während die anderen Unbekannten frei bleiben. Dabei haben
wir
xir = −cr,ir +1 xir +1 − · · · − crn xn ,
xir−1 = −cr−1,ir−1 +1 xir−1 +1 − · · · − cr−1,ir xir − cr−1,ir +1 xir +1 − · · · − cr−1,n xn
= −cr−1,ir−1 +1 xir−1 +1 − · · · − (cr−1,ir +1 − cr−1,ir cr,ir +1 )xir +1
− · · · − (cr−1,n − cr−1,ir crn )xn
235
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
und so weiter. Benennen wir die frei bleibenden Unbekannten in t1 , . . . , tn−r um,
so können wir die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
(∗) damit in der Form
 
 
 
∗
∗
∗

. 
 .. 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 . 
 . 
 
 . 
 .. 
 ∗ 
 . 
 
 
 




1
x = t1 ·   + t2 ·  ∗  + · · · + tn−r ·  ... 
 
 1 
 ... 
 .. 
 
 
 . 
 . 
 . 
 
 .. 
 .. 
 ∗ 
0
0
1
schreiben. Damit wird der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems (∗) von diesen n − r Vektoren erzeugt. Der Lösungsraum V hat also ein
aus n − r Vektoren bestehendes Erzeugendensystem.
Dies sollte an einem kleinen Beispiel klarer werden. Wir betrachten das folgende homogene lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x1 , . . . , x6
x1
+ 2x4 − x5
=0
3x4
+ x6 = 0
Die Unbekannten x2 , x3 kommen hier gar nicht vor, aber das ist gewollt. Dieses Gleichungssystem ist bereits in Stufenform, wobei die Unbekannten x1 und x4 festgelegt
sind, während x2 , x3 , x5 und x6 frei bleiben. Wir haben
1
2
x4 = − x6 und x1 = x5 − 2x4 = x5 + x6 ,
3
3
benennen wir also die freien Unbekannten x2 , x3 , x5 , x6 in t1 , t2 , t3 , t4 um, so wird der
Lösungsraum dieses homogenen linearen Gleichungssystems zu



2
t
t
+


4
3
3








t


1







t
2


 − 1 t4  t1 , t2 , t3 , t4 ∈ R

3









t3






t4


 
 
 2 
 
0
1
0


3






 0 
 0 
 0 
 1 














 1 
 0 
 0 
 0 








= t1 ·   + t2 ·   + t3 ·   + t4 ·  1  t1 , t2 , t3 , t4 ∈ R .




 0 
 0 
 − 3 
 0 












0
0
0
1






1
0
0
0
236
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 16.1.2017
Ein Erzeugendensystem des Lösungsraums besteht hier also aus den vier Vektoren
 2 
 
 
 
1
0
0
3
 0 
 0 
 0 
 1 

 
 
 

 0 
 0 
 1 
 0 







u1 =   , u 2 =   , u 3 =   , u 4 =  1 
.
 −3 
 0 
 0 
 0 
 0 
 1 
 0 
 0 
0
0
0
1
Die spezielle Gestalt dieses Erzeugendensystems wird später noch einmal wichtig werden, jeder der Vektoren hat oben einige weitgehend beliebige Einträge, dann folgt eine
1 und der untere Teil des Vektors besteht nur aus Nullen. Gehen wir die Vektoren dabei von links nach rechts durch, so wird der untere aus Nullen bestehende Teil immer
kleiner.
Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir noch die Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen festhalten.
Lemma 9.2 (Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen)
Sei V ein Vektorraum über K.
(a) Sind v1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm ∈ V , so ist
hv1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm i = hv1 , . . . , vn i + hw1 , . . . , wm i.
(b) Sind v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem von V und w1 , . . . , wm ∈ V mit vi ∈
hw1 , . . . , wm i für alle 1 ≤ i ≤ n, so ist auch w1 , . . . , wm ein Erzeugendensystem
von V .
Beweis: (a) Es ist
hv1 , . . . , vn i + hw1 , . . . , wm i
( n
) ( m
)
X
X
λi v i λ1 , . . . , λ n ∈ K +
µi wi µ1 , . . . , µm ∈ K
=
i=1
(i=1
)
n
m
X
X
λ , . . . , λn ∈ K,
=
λi v i +
µj wj 1
= hv1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm i.
µ1 , . . . , µ m ∈ K
i=1
j=1
(b) Nach Lemma 1.(e) gilt
V = hv1 , . . . , vn i ⊆ hw1 , . . . , wm i ⊆ V,
also ist auch V = hw1 , . . . , wm i, d.h. w1 , . . . , wm ist ein Erzeugendensystem von V .
Aussage (b) des Lemmas ist oft nützlich um bei gegebenen Vektoren nachzuweisen,
dass sie ein Erzeugendensystem bilden. Anstatt einzusehen, dass man jeden anderen
Vektor als Linearkombination dieser Vektoren schreiben kann, reicht es dies für die
Vektoren eines bereits bekannten Erzeugendensystems zu tun.
237
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
9.3
Freitag 20.1.2017
Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimension
Haben wir ein Erzeugendensystem v1 , . . . , vn des Vektorraums V , so können wir jeden
Vektor v ∈ V als eine Linearkombination
v = λ1 v 1 + · · · + λn v n
schreiben, aber leider ist diese Darstellung im Allgemeinen nicht eindeutig. Betrachten
wir zum Beispiel einmal im R2 die drei Vektoren
1
1
1
v1 =
, v2 =
und v3 =
.
1
−1
2
Wegen e1 = (1/2)(v1 + v2 ) und e2 = v3 − v1 sind v1 , v2 , v3 nach Lemma 2.(b) ein
Erzeugendensystem des R2 . In diesem Erzeugendensystem können wir andere Vektoren
auf mehrere verschiedene Arten als Linearkombinationen schreiben, zum Beispiel ist
1
1
e2 = v3 − v1 = v1 − v2 .
2
2
Von besonderem Interesse sind nun natürlich diejenigen Erzeugendensysteme für die die
Darstellung anderer Vektoren als Linearkombination eindeutig ist. Die hierfür zuständige Bedingung ist die sogenannte lineare Unabhängigkeit.
Definition 9.5 (Lineare Unabhängigkeit)
Sei V ein Vektorraum. Dann heißen die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V linear unabhängig,
wenn für alle Skalare λ1 , . . . , λn ∈ K aus λ1 v1 +· · ·+λn vn = 0 bereits λ1 = · · · = λn = 0
folgt. Andernfalls nennt man v1 , . . . , vn linear abhängig.
Die Vektoren v1 , v2 , v3 des obigen Beispiels sind dann nicht linear unabhängig, da ja
etwa
3
1
v1 − v2 − v3 = 0
2
2
gilt. Beachte das die lineare Unabhängigkeit auch die Eindeutigkeit der Koeffizienten
in einer Linearkombination bedeutet, sind nämlich λ1 , . . . , λn , µ1 , . . . , µn ∈ K mit
λ 1 v 1 + · · · + λ n v n = µ1 v 1 + · · · + µn v n
so folgt auch
(λ1 − µ1 )v1 + · · · + (λn − µn )vn = 0,
und damit ist λk − µk = 0, also λk = µk , für alle k = 1, . . . , n.
Vorlesung 21, Freitag 20.1.2017
238
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 20.1.2017
Am Ende hatten wir den Begriff der linearen Unabhängigkeit von Vektoren eingeführt,
Vektoren v1 , . . . , vn in einem Vektorraum V hießen linear unabhängig wenn sich der
Nullvektor nur auf triviale Weise als Linearkombination dieser Vektoren schreiben läßt,
aus λ1 v1 +· · ·+λn vn = 0 soll also λ1 · · · = λn = 0 folgen. Wir wollen uns jetzt kurz klarmachen wie man die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem Spaltenvektorraum
K m rechnerisch nachweist. Seien also v1 , . . . , vn Vektoren im K m , und schreibe






a1n
a12
a11






v1 =  ...  , v2 =  ...  , . . . , vn =  ...  .
amn
am2
am1
Die Linearkombinationen dieser Vektoren sind dann

 
a11 λ1 + · · · + a1n λn

 ! 
..
λ1 v 1 + · · · + λn v n = 
=
.
am1 λ1 + · · · + amn λn

0
..  ,
. 
0
und da die Vektoren v1 , . . . , vn nach Definition genau dann linear unabhängig sind,
wenn diese Gleichung nur durch λ1 = · · · = λn = 0 lösbar ist, sind sie auch genau dann
linear unabhängig wenn das homogene lineare Gleichungssystem
+ · · · + a1n xn
..
.
= 0
..
.
am1 x1 + · · · + amn xn
= 0
a11 x1
..
.
nur die triviale Lösung hat. Diese Bedingung können wir rechnerisch noch etwas weiter
auswerten. Nehme hierzu wieder an, dass wir das Gaußsche Eliminationsverfahren mit
dem obigen homogenen linearen Gleichungssystem laufen lassen, und das dieses mit
einen System in Stufenform das aus r Gleichungen 6= 0 besteht endet. Dann sind r der
n Unbekannten durch das Gleichungssystem festgelegt, es hat also genau dann nur die
triviale Lösung wenn r = n ist. Damit gilt auch

Das Gaußssche Eliminationsverfahren



angewandt auf die Matrix deren Spalten
v1 , . . . , vn sind linear unabhängig ⇐⇒
die Vektoren v1 , . . . , vn sind endet mit



n von Null verschiedenen Zeilen.
Insbesondere stellt der Nachweis der linearen Unabhängigkeit im K m uns vor keine
neuen rechnerischen Probleme. Wir wollen jetzt unsere Beispiele von Erzeugendensystemen aus dem vorigen Abschnitt auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
1. Starten wir für n ∈ N mit n ≥ 1 mit den Vektoren e1 , . . . , en ∈ K n . Für alle
λ1 , . . . , λn ∈ K haben wir dann
 
 
  

1
0
0
λ1
n
 0 
 1 
 0   λ2 
X
 
 
  

λk ek = λ1  ..  + λ2  ..  + · · · + λn  ..  =  ..  ,
 . 
 . 
 .   . 
k=1
0
0
1
λn
239
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 20.1.2017
und damit folgt aus λ1 e1 + · · · + λn en = 0 sofort λ1 = · · · = λn = 0. Folglich sind
e1 , . . . , en linear unabhängig.
2. Etwas allgemeiner sind auch die Basismatrizen zu gegebener Größe linear unabhängig, d.h. sind n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 so sind die Matrizen enm
kl für 1 ≤ k ≤
m×n
m, 1 ≤ l ≤ n im Vektorraum K
linear unabhängig. Dies folgt genau wie im
vorigen Beispiel, sind λklP∈ K für 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n gegeben, so ist die
Linearkombination A = 1≤k≤m,1≤l≤n λkl enm
kl die m × n-Matrix deren Eintrag für
1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n in der k-ten Zeile und l-ten Spalte gleich Akl = λkl ist,
also folgt aus A = 0 wieder λkl = 0 für alle 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n.
3. Nun seien V, W zwei Vektorräume über K und v1 , . . . , vn ∈ V im Vektorraum
V linear unabhängig und w1 , . . . , wm ∈ W im Vektorraum W linear unabhängig.
Wir bilden das direkte Produkt V × W und betrachten in diesem für 1 ≤ i ≤ n,
1 ≤ j ≤ m die Vektoren
v i := (vi , 0) und wj := (0, wj ).
Dann sind die Vektoren v 1 , . . . , v n , w1 , . . . , wm in V ×WPlinear unabhängig.
In der
Pm
n
Tat, haben wir Skalare λ1 , . . . , λn , µ1 , . . . , µm ∈ K mit i=1 λi v i + j=1 µj wj = 0,
so ist
!
n
m
m
n
X
X
X
X
λi v i +
µj w j =
µj wj ,
0=
λi v i ,
i=1
j=1
i=0
j=1
Pn
also haben
P wir zum einen i=1 λi vi = 0 und somit λ1 = · · · = λn = 0 und zum
anderen m
j=1 µj wj = 0 und somit µ1 = · · · = µm = 0.
4. Kommen wir nun zu den n − r Vektoren u1 , . . . , un−r , die den Lösungsraum
des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 aufspannen. Diese Vektoren
hatten die spezielle Form
 

 
∗
∗
∗
 .. 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 . 
 . 
 
 . 
 . 
 ∗ 
 .. 
 . 
 
 
 




1
u1 =   , u2 =  ∗  , . . . , un−r =  ...  ,
 
 ... 
 1 
 .. 
 
 
 . 
 . 
 . 
 
 .. 
 .. 
 ∗ 
0
0
1

und wir behaupten, dass sie linear unabhängig sind. Seien nämlich λ1 , . . . , λn−r ∈
K mit λ1 u1 + · · · + λn−r un−r = 0 gegeben. Beachten wir nun, dass nur der letzte
Vektor un−r in der untersten Zeile eine Eins hat, während die restlichen Vektoren
240
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 20.1.2017
u1 , . . . , un−r−1 an dieser Stelle eine Null haben, so

∗
n−r
 ..
X

0=
λk u k =  .
 ∗
k=1
λn−r
haben wir



,

also ist zumindest λn−r = 0. Damit ist aber auch λ1 u1 + · · · + λn−r−1 un−r−1 = 0.
Schauen wir uns dann beim jetzt letzten Vektor un−r−1 die unterste von Null
verschiedene Zeile an, so haben alle anderen Vektoren u1 , . . . , un−r−2 dort eine
Null, und es folgt wieder λn−r−1 = 0. So fortfahrend erhalten wir schließlich
λn−r = λn−r−1 = · · · = λ1 = 0. Damit sind u1 , . . . , un−r tatsächlich linear
unabhängig, und somit wird der Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems von n − r linear unabhängigen Vektoren erzeugt, wobei r wieder
die Anzahl der nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren verbleibenden von
Null verschiedenen Zeilen bezeichnet.
Nach diesen Beispielen kommen wir jetzt zu einer ganzen Sequenz eher theoretischer
Aussagen über lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme in einem abstrakten
Vektorraum. In der Vorlesung wurden diese Tatsachen nur übersichtsweise vorgestellt
und nicht weitergehend begründet. In diesem Skript wollen wir die vollständigen Beweise mit angeben.
Lemma 9.3 (Grundeigenschaften der linearen Unabhängigkeit)
Seien V ein Vektorraum über K und v1 , . . . , vn ∈ V .
(a) Ist v ∈ V , so sind v1 , . . . , vn , v genau dann linear unabhängig wenn v1 , . . . , vn linear
unabhängig sind und v ∈
/ hv1 , . . . , vn i gilt.
(b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1. Die Vektoren v1 , . . . , vn sind linear unabhängig.
2. Kein vi ist eine Linearkombination der anderen, d.h. für jedes 1 ≤ i ≤ n
ist vi ∈
/ hv1 , . . . , vbi , . . . , vn i (dabei ist b das sogenannte Auslassungssymbol,
d.h. die so bezeichneten Terme sollen weggelassen werden).
3. Für jedes 1 ≤ i ≤ n ist vi ∈
/ hv1 , . . . , vi−1 i.
Beweis: (a) ”=⇒” Dass die Vektoren v1 , . . . , vn linear
Pnunabhängig sind ist klar. Wäre
v ∈ hv1 , . . . , vn i, so gäbe es λ1 , . . . , λn ∈ K mit v = i=1 λi vi , und dann ist auch
1·v+
n
X
(−λi )vi = v −
i=1
n
X
λi vi = 0,
i=1
im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vn , v.
241
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
”⇐=” Seien λ, λ1 , . . . , λn ∈ K mit λv +
Pn
i=1
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λi vi = 0. Wäre λ 6= 0, so hätten wir
n
n X
1X
λi
λi v i =
−
vi ∈ hv1 , . . . , vn i,
v=−
λ i=1
λ
i=1
P
also muss λ = 0 sein. Wegen ni=1 λi vi = 0 ist damit auch λ1 = · · · = λn = 0, d.h.
v1 , . . . , vn , v sind linear unabhängig.
(b) (1)=⇒(2). Klar nach (a).
(2)=⇒(3). Klar.
(3)=⇒(1). Wir zeigen durch vollständige Induktion nach k ∈ N das v1 , . . . , vk für
jedes 0 ≤ k ≤ n linear unabhängig sind. Für k = 0 ist dies klar. Nun sei k ∈ N mit
1 ≤ k ≤ n gegeben und nehme an das v1 , . . . , vk−1 linear unabhängig sind. Wegen
vk ∈
/ hv1 , . . . , vk−1 i sind dann auch v1 , . . . , vk nach (a) linear unabhängig. Damit ist
diese Aussage durch vollständige Induktion bewiesen und insbesondere sind v1 , . . . , vn
linear unabhängig.
Wir hatten die Vektoren v1 , . . . , vn linear abhängig genannt wenn sie nicht linear
unabhängig sind, und damit besagt der Satz, dass v1 , . . . , vn genau dann linear abhängig
sind, wenn für einen der Vektoren vi die Bedingung vi ∈ hv1 , . . . , vbi , . . . , vn i erfüllt ist,
d.h. wenn sich ein vi als Linearkombination der anderen vj schreiben läßt. Entsprechend
sagt man häufig auch anstelle von v ist eine Linearkombination von v1 , . . . , vn“ das
”
v von v1 , . . . , vn linear abhängt“.
”
Ist v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem des Vektorraums V , so läßt sich jedes v ∈ V
als eine Linearkombination v = λ1 v1 + · · · + λn vn schreiben, und sind die v1 , . . . , vn
zusätzlich linear unabhängig, so sind die Koeffizienten λ1 , . . . , λn in dieser Linearkombination eindeutig bestimmt. In dieser Situation sprechen wir dann von einer Basis des
Vektorraums V .
Definition 9.6 (Basen eines Vektorraums)
Sei V ein Vektorraum über K. Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem v1 , . . . , vn von V .
Wir wollen einsehen, dass jeder nicht zu große“ Vektorraum eine Basis hat. Was dabei
”
nicht zu groß“ bedeutet werden wir bald genau sagen. Es gibt durchaus Vektorräume
”
die überhaupt kein (endliches) Erzeugendensystem, und damit auch keines Basis, haben, beispielsweise der reelle Vektorraum aller Funktionen f : R → R. Die Existenz
von Basen in den anderen Fällen ergibt sich leicht durch eine kleine Umformulierung
des Begriffs einer Basis, die wir in unserem nächsten Lemma beweisen werden.
Lemma 9.4 (Charakterisierung der Basen eines Vektorraums)
Seien V ein Vektorraum über K und v1 , . . . , vn ∈ V . Dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent:
(a) Die Vektoren v1 , . . . , vn sind eine Basis von V .
242
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(b) Die Vektoren v1 , . . . , vn sind maximal linear unabhängig, also linear unabhängig
und es kann kein weiterer Vektor zu ihnen hinzugefügt werden so, dass das vergrößerte System linear unabhängig bleibt.
(c) Die Vektoren v1 , . . . , vn sind ein minimales Erzeugendensystem von V , d.h. sie
bilden ein Erzeugendensystem von V und läßt man auch nur einen Vektor weg,
so bilden die restlichen Vektoren kein Erzeugendensystem.
Beweis: (a)=⇒(b). Jedes v ∈ V ist eine Linearkombination von v1 , . . . , vn , also sind
v1 , . . . , vn , v nach Lemma 3.(a) nicht linear unabhängig.
(b)=⇒(a). Ist v ∈ V , so sind v1 , . . . , vn , v nicht linear unabhängig, also ist nach Lemma
3.(a) auch v ∈ hv1 , . . . , vn i. Damit ist v1 , . . . , vn auch ein Erzeugendensystem von V ,
also eine Basis von V .
(a)=⇒(c). Für 1 ≤ i ≤ n ist nach Lemma 3.(b) stets vi ∈
/ hv1 , . . . , vbi , . . . , vn i und
insbesondere sind v1 , . . . , vbi , . . . , vn kein Erzeugendensystem von V .
(c)=⇒(a). Wäre vi ∈ hv1 , . . . , vbi , . . . , vn i für ein 1 ≤ i ≤ n, so wären auch die Vektoren
v1 , . . . , vbi , . . . , vn nach Lemma 2.(b) ein Erzeugendensystem von V , im Widerspruch zur
vorausgesetzten Minimalität von v1 , . . . , vn . Also ist vi ∈
/ hv1 , . . . , vbi , . . . , vn i für jedes
1 ≤ i ≤ n, und nach Lemma 3.(b) sind v1 , . . . , vn linear unabhängig, also eine Basis
von V .
Gibt es also überhaupt ein Erzeugendensystem v1 , . . . , vn von V , so können wir aus
diesem solange Vektoren rauswerfen bis wir zu einem minimalen Erzeugendensystem
kommen, und dieses ist dann eine Basis von V . Man kann also jedes Erzeugendensystem
eines Vektorraums zu einer Basis ausdünnen. Das eben bewiesene Lemma scheint auch
zu zeigen, dass man linear unabhängige Vektoren immer zu einer Basis ergänzen kann.
Angenommen wir starten mit linear unabhängigen Vektoren v1 , . . . , vn in V . Sind diese
maximal, so sind sie bereits eine Basis von V . Andernfalls kann man sie durch einen
Vektor vn+1 ∈ V zu einem linear unabhängigen System v1 , . . . , vn , vn+1 ergänzen. Ist
dieses System maximal, so haben wir wieder eine Basis von V . Andernfalls können
wir einen weiteren Vektor vn+2 ∈ V hinzufügen. Führen wir dies immer so weiter, so
sollten wir schließlich auf eine Basis von V stossen. Leider muss das nicht so sein, es
kann passieren das wir immer wieder einen neuen Vektor hinzufügen können, ohne je
zu einem Ende zu kommen. Wir werden zeigen, dass dies nur passieren kann wenn der
Vektorraum V zu groß“ ist. Sobald sich V von Vektoren w1 , . . . , wm erzeugen läßt,
”
muss das Verfahren zu einem Ende kommen. Zunächst führen wir einen Namen für
solche Vektorräume ein.
Definition 9.7: Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt wenn er ein Erzeugendensystem v1 , . . . , vn ∈ V besitzt.
Wie bereits gezeigt muss jedes solche eine Basis enthalten, und insbesondere hat jeder
endlich erzeugte Vektorraum eine Basis. Es wäre aber immer noch denkbar das es
unendlich lange Ketten linear unabhängiger Vektoren gibt, selbst wenn der Vektorraum
243
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endlich erzeugt ist. Um einzusehen, dass dies nicht passieren kann beweisen wir gleich
den sogenannten Steinitzschen Austauchsatz. Die Hauptaussage dieses Satz ist ihnen
wohlbekannt, in den R2 passen nur zwei linear unabhängige Vektoren rein, in den R3
nur drei Stück und der Steinitzsche Austauschsatz verallgemeinert diese Tatsachen und
sagt unter anderem, dass in einem Vektorraum mit einer Basis aus n Vektoren auch
höchstens n linear unabhängige Vektoren hineinpassen.
Lemma 9.5 (Steinitzsches Austauschlemma für Vektorräume)
Seien V ein Vektorraum über K, w1 , . . . , wm ∈ V linear unabhängig und weiter seien
auch v1 , . . . , vn ∈ hw1 , . . . , wm i linear unabhängig. Dann ist n ≤ m und wir können n
der m Vektoren w1 , . . . , wm durch v1 , . . . , vn ersetzen so, dass das entstehende System
0
0
w10 , . . . , wm
linear unabhängig mit hw1 , . . . , wm i = hw10 , . . . , wm
i ist.
Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach n. Für n = 0 ist die Behauptung
dabei klar. Nun sei n ∈ N und die Behauptung gelte für n linear unabhängige Vektoren v1 , . . . , vn ∈ hw1 , . . . , wm i. Wir kommen zum Induktionsschluß, seien also n + 1
linear unabhängige Vektoren v1 , . . . , vn+1 ∈ hw1 , . . . , wm i gegeben. Nach der Induktionsannahme ist n ≤ m und nach eventuellen Umnumerieren der w1 , . . . , wm können
wir annehmen, dass v1 , . . . , vn , wn+1 , . . . , wm linear unabhängig mit
hv1 , . . . , vn , wn+1 , . . . , wm i = hw1 , . . . , wm i
sind. Insbesondere ist
vn+1 ∈ hw1 , . . . , wm i = hv1 , . . . , vn , wn+1 , . . . , wm i,
also existieren Skalare λ1 , . . . , λm ∈ K mit
vn+1 =
n
X
λi v i +
i=1
m
X
λi wi .
i=n+1
Da v1 , . . . , vn+1 linear unabhängig sind, ist nach Lemma 3.(b) aber vn+1 ∈
/ hv1 , . . . , vn i
und damit kann nicht λn+1 = · · · = λm = 0 sein, d.h. es ist n + 1 ≤ m und es gibt
ein n < i ≤ m mit λi 6= 0. Durch ein weiteres eventuelles Umnumerieren der Vektoren wn+1 , . . . , wm können wir i = n + 1, also λn+1 6= 0 annehmen. Da die Vektoren
v1 , . . . , vn , wn+1 , . . . , wm linear unabhängig sind, ergibt die Eindeutigkeit der Darstellung von vn+1 als Linearkombination auch vn+1 ∈
/ hv1 , . . . , vn , wn+2 , . . . , wm i, also sind
v1 , . . . , vn , vn+1 , wn+2 , . . . , wm nach Lemma 3.(a) linear unabhängig. Wegen
!
n
m
X
X
1
wn+1 =
−
λi vi + vn+1 −
λi wi ∈ hv1 , . . . , vn+1 , wn+2 , . . . , wm i
λn+1
i=1
i=n+2
ist nach Lemma 2.(b) auch
hv1 , . . . , vn+1 , wn+2 , . . . , wm i = hv1 , . . . , vn , wn+1 , . . . , wm i = hw1 , . . . , wm i.
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Damit ist die Behauptung auch für n + 1 bewiesen, und per vollständiger Induktion ist
damit alles gezeigt.
In einem endlich erzeugten Vektorraum V hatten wir bereits gesehen, dass es stets eine
Basis gibt, und nach dem Steinitzschen Austauschlemma kann es in V keine beliebig
großen Systeme linear unabhängiger Vektoren geben. Damit liefert die weiter oben
beschriebene Konstruktion, dass sich linear unabhängige Vektoren in V stets zu einer
Basis von V ergänzen lassen und es ist bereits der Hauptteil des nun folgenden Satzes
bewiesen.
Satz 9.6 (Existenz von Basen und Dimension)
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über K.
(a) Es gibt eine Basis v1 , . . . , vn von V .
(b) Jedes Erzeugendensystem von V enthält eine Basis von V .
(c) Sind v1 , . . . , vn ∈ V linear unabhängig, so lassen sich diese Vektoren zu einer Basis
v1 , . . . , vm von V ergänzen.
(d) Sind v1 , . . . , vn und w1 , . . . , wm zwei Basen von V , so ist n = m.
Beweis: (b,c) Dies haben wir bereits eingesehen.
(a) Klar nach (b).
(d) Nach Lemma 5 sind n ≤ m und m ≤ n, also n = m.
Die nach dem Satz eindeutig bestimmte Länge einer Basis von V wird als die Dimension
des Vektorraums V bezeichnet.
Definition 9.8: Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Die Dimension dim V von V
ist dann die nach Satz 6 eindeutig bestimmte Länge einer Basis von V .
Wir schauen uns jetzt wieder einige Beispiele zu den eben bewiesenen Sätzen an.
1. Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und betrachte die schon oben eingeführten Vektoren
e1 , . . . , en ∈ K n im Spaltenvektorraum K n . Wir haben bereits eingesehen das
diese ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des K n , also eine Basis, sind.
Diese Basis wird auch als die kanonische Basis oder die Standardbasis des K n
bezeichnet. Da die kanonische Basis aus n Elementen besteht ist der K n insbesondere endlich erzeugt mit dim K n = n.
2. Etwas allgemeiner seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 gegeben und betrachte den
Vektorraum K m×n der m × n-Matrizen über K. Wir haben bereits gesehen das
die Basismatrizen emn
kl für 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n ein linear unabhängiges
Erzeugendensystem von K m×n bilden, d.h. K m×n ist endlich erzeugt und die
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Basismatrizen bilden eine Basis dieses Vektorraums, genannt die kanonische Basis
oder die Standardbasis von K m×n . Dies erklärt auch weshalb wir diese Matrizen
als Basismatrizen“ bezeichnet haben. Die Standardbasis hat m·n Elemente, also
”
gilt dim K m×n = mn.
3. Nun seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K. Dann wissen wir
bereits das es eine Basis v1 , . . . , vn von V und eine Basis w1 , . . . , wm von W gibt,
insbesondere sind also n = dim V und m = dim W . Im direkten Produkt V × W
bilden wir jetzt für 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m die Vektoren
v i := (vi , 0) und wj := (0, wj ).
In zwei früher behandelten Beispielen hatten wir bereits nachgerechnet, dass
v 1 , . . . , v n , w1 , . . . , wm ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V × W ,
also eine Basis von V × W , ist. Damit ist das direkte Produkt V × W endlich
erzeugt und es gilt
dim(V × W ) = n + m = dim V + dim W .
4. Ist
+ · · · + a1n xn
+ · · · + a2n xn
..
.
= 0
= 0
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
= 0
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
ein homogenes lineares Gleichungssystem, und verbleiben nach Ablauf des Gaußschen Eliminationsverfahrens r von Null verschiedene Zeilen, so haben wir oben
eingesehen, dass das Eliminationsverfahren uns dann ein Erzeugendensystem des
Lösungsraums U des Gleichungssystems liefert, das aus n − r linear unabhängigen Vektoren besteht. Dieses Erzeugendensystem ist dann eine Basis von U , und
insbesondere ist dim U = n − r. Hieraus folgt insbesondere, dass das Gaußsche
Eliminationsverfahren unabhängig von den konkret gewählten Zeilenoperationen
am Ende immer auf dieselbe Anzahl von Null verschiedener Zeilen führt.
Ist die Dimension des endlich erzeugten Vektorraums V bereits bekannt, so läßt sich
die explizite Bestimmung von Basen rechnerisch noch etwas vereinfachen. Wollen wir
n Vektoren v1 , . . . , vn aus V ansehen ob sie eine Basis bilden, so muss man eigentlich
zeigen das sie zugleich linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind. Wenn allerdings die Zahl n bereits die Dimension von V ist, also n = dim V , so reicht es eine
der beiden Bedingungen zu überprüfen, d.h. ein aus n = dim V Vektoren bestehendes
Erzeugendensystem ist automatisch auch linear unabhängig und n = dim V viele linear unabhängige Vektoren bilden automatisch ein Erzeugendensystem. Diese Tatsachen
lassen sich leicht beweisen.
Korollar 9.7: Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien v1 , . . . , vn ∈ V .
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(a) Sind v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem von V , so ist n ≥ dim V und v1 , . . . , vn ist
genau dann eine Basis von V wenn n = dim V ist.
(b) Sind v1 , . . . , vn linear unabhängig so ist n ≤ dim V und genau dann ist v1 , . . . , vn
eine Basis von V wenn n = dim V gilt.
Beweis: (a) Nach Satz 6.(b) bilden m ≤ n viele der Vektoren v1 , . . . , vn eine Basis von
V . Insbesondere ist n ≥ m = dim V und gilt n = dim V , so ist n = m und unsere
Vektoren bilden selbst eine Basis von V . Sind umgekehrt v1 , . . . , vn eine Basis von V ,
so ist n = dim V .
(b) Nach Satz 6.(c) lassen sich v1 , . . . , vn zu einer Basis v1 , . . . , vm von V ergänzen,
und insbesondere ist n ≤ m = dim V . Ist dabei n = dim V = m, so sind v1 , . . . , vn
selbst eine Basis von V . Ist umgekehrt v1 , . . . , vn als Basis von V vorausgesetzt, so ist
auch n = dim V .
Sind also insbesondere



a11



v1 =  ...  , v2 = 
an1


a12
..  , . . . , v = 

n
. 
an2

a1n
..  ,
. 
ann
n Vektoren im K n , so ist v1 , . . . , vn genau dann eine Basis des K n , wenn sie linear
unabhängig sind also wenn das homogene lineare Gleichungssystem
+ · · · + a1n xn
..
.
= 0
..
.
am1 x1 + · · · + amn xn
= 0
a11 x1
..
.
nur die triviale Lösung hat, und wie bereits gezeigt ist dies weiter genau dann der Fall
wenn das Gaußsche Eliminationsverfahren angewendet auf die n × n Matrix A mit
den Spalten v1 , . . . , vn bis zur untersten Zeile durchläuft, also n von Null verschiedene
Zeilen liefert. Wir wollen dies an einem kleinen Beispiel im R3 illustrieren. Betrachte
etwa die drei Vektoren






1
−1
0
v1 :=  −1  , v2 :=  −1  , v3 :=  3  .
1
−1
0
Um zu überprüfen, ob diese eine Basis sind können wir also die Matrix A mit Spalten v1 , v2 , v3 hinschreiben, und lassen dann das Gaußsche Eliminationsverfahren auf A
laufen. Kommt dieses bei der untersten Zeile an, tritt also vorher keine nur aus Nullen bestehende Zeile auf, so sind die drei Vektoren eine Basis des R3 und sonst nicht.
Führen wir dies einmal durch
1 −1
0
1 −1
0
1 −1 0
−1 −1
3 → 0 −2
3 → 0 −2 3
0
1 −1
0
1 −1
0
0 12 .
247
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Die Stufenform hat also drei von Null verschiedene Zeilen, und somit bilden v1 , v2 , v3
eine Basis des R3 .
9.4
Koordinatentransformationen
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und bezeichne n = dim V seine Dimension.
Weiter sei v1 , . . . , vn eine Basis von V . Dann können wir jeden Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise als eine Linearkombination v = λ1 v1 + · · · + λn vn schreiben, man nennt
λ1 , . . . , λn ∈ K dann die Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis v1 , . . . , vn .
Diese Koordinaten hängen natürlich von der gewählten Basis ab, verwenden wir eine andere Basis, so ergeben sich auch andere Koordinaten. Wir wollen uns überlegen
wie die Koordinaten eines Vektors bezüglich verschiedener Basen miteinander zusammenhängen. Zu diesem Zweck ist es hilfreich die sogenannten Koordinatenabbildungen
einzuführen, diese ordnen den Koordinaten λ1 , . . . , λn ihren zugehörigen Vektor zu. In
anderen Worten ist die Koordinatenabbildung Ψ bezüglich der Basis v = (v1 , . . . , vn )
die bijektive Abbildung
n
Ψ : K → V ; (λ1 , . . . , λn ) 7→
n
X
λi v i .
i=1
Wir schreiben Ψ = Ψv für die Koordinatenabbildung von V bezüglich der Basis v =
(v1 , . . . , vn ) wenn wir die betrachtete Basis in der Notation hervorheben wollen. Ist
beispielsweise V = K n und e := (e1 , . . . , en ) die kanonische Basis des K n , so ist die
zugehörige Koordinatenabbildung durch


x1


Ψ(x) = x1 e1 + · · · + xn en =  ... 
xn
gegeben, d.h. Ψe = idK n ist die identische Abbildung. Ist dagegen






1
−1
0
v1 :=  −1  , v2 :=  −1  , v3 :=  3 
0
1
−1
die schon im vorigen Abschnitt als Beispiel verwendete Basis des R3 , so ist die zugehörige Koordinatenabbildung gegeben als





 

1
−1
0
x−y
Ψ(x, y, z) = x ·  −1  + y ·  −1  + z ·  3  =  3z − x − y  .
0
1
−1
y−z
Die Koordinatenabbildung Ψ einer Basis v1 , . . . , vn verträgt sich mit Addition und
Multiplikation in V , d.h. werden die Koordinaten addiert so addieren sich auch die
zugehörigen Vektoren und werden die Koordinaten mit einem Skalar multipliziert so
248
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 20.1.2017
wird auch der zugehörige Vektor mit demselben Skalar multipliziert. Dies kann man
leicht nachrechnen, sind x, y ∈ K n so haben wir
Ψ(x + y) =
n
X
(xi + yi )vi =
i=1
n
X
xi vi +
i=1
n
X
yi vi = Ψ(x) + Ψ(y)
i=1
n
und für alle x ∈ K , λ ∈ K ist auch
Ψ(λx) =
n
X
(λxi )vi = λ
i=1
n
X
xi vi = λΨ(x).
i=1
Die Koordinatenabbildung Ψ ist damit eine lineare Abbildung im Sinne der folgenden
Definition.
Definition 9.9 (Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen)
Seien V, W zwei Vektorräume über K. Eine Abbildung f : V → W heißt linear, wenn
sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
(L1) Für alle x, y ∈ V ist f (x + y) = f (x) + f (y).
(L2) Für alle x ∈ V , λ ∈ K ist f (λx) = λf (x).
Wir werden diese Abbildungen im nächsten Abschnitt noch etwas weiter untersuchen.
Zu verschiedenen Basen eines Vektorraums gehören auch verschiedene Koordinatenabbildungen, und wir wollen uns jetzt überlegen wie genau sich diese Koordinatenabbildungen unterscheiden.
Definition 9.10 (Transformationsmatrizen)
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien v1 , . . . , vn sowie w1 , . . . , wn zwei
Basen von
. Für jedes 1 ≤ i ≤ n können wir dann vi bezüglich der Basis w1 , . . . , wn
PV
n
als vi = j=1 aji wj mit a1i , . . . , ani ∈ K schreiben, und mit diesen Zahlen bilden wir
die Matrix


a11 · · · a1n


A :=  ... . . . ...  .
an1 · · · ann
Diese Matrix ist dann die Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix von der Basis
v1 , . . . , vn zur Basis w1 , . . . , wn von V .
Die Transformationsmatrix A überführt die Koordinaten bezüglich der ersten Basis
v = (v1 , . . . , vn ) in diejenigen bezüglich der anderen Basis w = (w1 , . . . , wn ). Damit
ist die folgende Beobachtung gemeint. Angenommen wir haben einen Vektor u ∈ V ,
der bezüglich der Basis v1 , . . . , vn die Koordinaten x1 , . . . , xn hat, also u = Ψv (x),
beziehungsweise u = x1 v1 + · · · + xn vn . Setzen wir hier die Darstellung von vi für
i = 1, . . . , n bezüglich der Basis w ein, so ergibt sich
!
n
n X
n
n
n
n
X
X
X
X
X
u=
xi vi =
aji xi wj =
aji xi wj =
(Ax)j wj ,
i=1
i=1 j=1
j=1
249
i=1
j=1
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d.h. der Koordinatenvektor y ∈ K n von u bezüglich der Basis w ist gerade y = Ax. In
anderen Worten haben wir
Ψv (x) = Ψw (Ax)
für jedes x ∈ K n . Die Transformation von v- auf w-Koordinaten erfolgt also durch
Multiplikation mit der Transformationsmatrix zwischen v und w. Auf einen besonders
wichtigen Spezialfall wollen wir hier gesondert hinweisen. Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und sei




vn1
v11




v1 =  ...  , . . . , vn =  ... 
vnn
v1n
eine Basis des K n . Wir wollen die Transformationsmatrix A von v1 , . . . , vn zur Standardbasis e1 , . . . , en des K n bestimmen. Für jedes 1 ≤ i ≤ n haben wir


vi1
n

 X
vij ej ,
vi =  ...  =
j=1
vin
also ist A = (vji )1≤i,j≤n , d.h. für jedes 1 ≤ j ≤ n steht in der j-ten Spalte von A der
Spaltenvektor vj . Die Übergangsmatrix A entsteht also einfach indem die Basisvektoren
v1 , . . . , vn als die Spalten einer n × n-Matrix hintereinandergeschrieben werden. Haben
wir also beispielsweise die obige Basis v1 , v2 , v3 des R3 so ist die Transformationsmatrix
A von der Basis v1 , v2 , v3 zur Standardbasis des R3 gegeben als


1 −1
0
3 .
A =  −1 −1
0
1 −1
Auch die Transformationsmatrix zwischen zwei beliebigen Basen des K n läßt sich mit
den uns schon bekannten Techniken berechnen. Angenommen wir haben zwei Basen v1 , . . . , vn und w1 , . . . , wn und wollen die Transformationsmatrix T von der Basis
v1 , . . . , vn zur Basis w1 , . . . , wn berechnen.
Für jedes 1 ≤ i ≤ n suchen wir dann Skalare
P
tji ∈ K für 1 ≤ j ≤ n mit vi = nj=1 tji wj . Schreiben wir




b1i
a1j




vi =  ...  und wj =  ...  für 1 ≤ j ≤ n
bni
anj
so wird


a11 t1i + · · · + a1n tni



..
tji wj = 
 = A
.
j=1
an1 t1i + · · · + ann tni
n
X


t1i
.. 
. 
tni
wobei A die n × n-Matrix ist deren Spalten die Vektoren w1 , . . . , wn sind. Zur Bestimmung der tji für 1 ≤ j ≤ n müssen wir also das lineare Gleichungssystem At = vi
250
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lösen. Dies gibt uns dann die i-te Spalte der Transformationsmatrix T und um ganz T
zu berechnen müssen wir i = 1, . . . , n durchgehen. Es sind also gleich n viele lineare
Gleichungssysteme zu lösen. Diese haben allerdings alle dieselbe Koeffizientenmatrix A
was die Rechnung deutlich vereinfacht. Man kann das lineare Gleichungssystem Ax = b
für eine allgemeine rechte Seite b lösen und dann der Reihe nach b = v1 , b = v2 und
so weiter einsetzen. Alternativ kann man die n linearen Gleichungssysteme simultan
lösen, indem man das Gaußsche Eliminationsverfahren gleich mit allen rechten Seiten
v1 , . . . , vn rechnet, also mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix“ (A|B) wobei B die
”
n×n-Matrix ist deren Spalten die Vektoren v1 , . . . , vn sind. Die Rechnung beginnt dann
dem Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix zu ähneln, und tatsächlich gibt es
hier einen Zusammenhang den wir gleich besprechen werden. Zunächst behandeln wir
aber ein Beispiel und betrachten die folgenden beiden Basen des R2
1
3
−1
7
v1 =
, v2 =
und w1 =
, w2 =
.
2
−5
3
1
Wir wollen die Transformationsmatrix T von der Basis v1 , v2 zur Basis w1 , w2 berechnen. Wählen wir den Weg über die allgemeine Lösung des eben beschriebenen linearen
Gleichungssystems, so wird
−1 7
b1
−1 7 b1
−→
0 22 b2 + 3b1
3 1 b2
also
y=
1
1
1
(3b1 + b2 ), x = −(b1 − 7y) = − (22b1 − 7(3b1 + b2 )) = − (b1 − 7b2 ).
22
22
22
Einsetzen von
b = v1 gibt x =
13
5
19
2
, y=
und von b = v2 ergibt x = − , y = .
22
22
11
11
Die Transformationsmatrix T von v1 , v2 nach w1 , w2 ist damit
1
13 −38
T =
.
5
4
22
Wir kommen nun zur allgemeinen Situation zurück und behaupten das die Transformationsmatrix A immer invertierbar ist und ihre Inverse A−1 ist gerade die Transformationsmatrix in der anderen Richtung, also in der obigen Notation von der Basis
w1 , . . . , wn von V zur Basis v1 , . . . , vn von V .
Satz 9.8 (Invertierbarkeit der Transformationsmatrix)
Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum, v1 , . . . , vn sowie w1 , . . . , wn zwei Basen von
V und bezeichne A ∈ K n×n die Transformationsmatrix von der Basis v1 , . . . , vn zur
Basis w1 , . . . , wn . Dann ist A invertierbar und die Inverse A−1 ist die Transformationsmatrix von der Basis w1 , . . . , wn zur Basis v1 , . . . , vn .
251
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Beweis: Sei B die Transformationsmatrix von der Basis w = (w1 , . . . , wn ) zur Basis
v = (v1 , . . . , vn ). Für jedes x ∈ K n gilt
Ψv (x) = Ψw (Ax) = Ψv (BAx),
also BAx = x da Ψv bijektiv ist. Für jedes 1 ≤ i ≤ n ist die i-te Spalte von BA gleich
dem Vektor BAei = ei , also haben wir BA = 1. Analog folgt AB = 1 und damit ist A
invertierbar mit A−1 = B.
Sei v1 , . . . , vn wieder eine Basis des K n und bezeichne B die n×n-Matrix mit den Spalten v1 , . . . , vn . Wir haben uns bereits überlegt das B die Transformationsmatrix von
v1 , . . . , vn zur Standardbasis e1 , . . . , en des K n ist und nach dem Satz ist B invertierbar und B −1 ist die Transformationsmatrix von der Standardbasis e1 , . . . , en zur Basis
v = (v1 , . . . , vn ). Sei jetzt w = (w1 , . . . , wn ) eine weitere Basis des K n und bezeichne
A die n × n-Matrix mit den Spalten w1 , . . . , wn . Sei u ∈ K n und bezeichne x ∈ K n
den Koordinatenvektor von u bezüglich der Basis v1 , . . . , vn , d.h. u = Ψv (x). Nun ist
u sein eigener Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis, es gilt also u = Bx da
B die Transformationsmatrix von v1 , . . . , vn zur Standardbasis ist. Weiter ist A−1 die
Transformationsmatrix von der Standardbasis zur Basis w, d.h. der Koordinatenvektor
von u bezüglich w1 , . . . , wn ist y = A−1 u = A−1 Bx. Die Transformation von der Basis
v1 , . . . , vn zur Basis w1 , . . . , wn wird also durch Multiplikation mit A−1 B bewirkt, d.h.
die Transformationsmatrix von der Basis v1 , . . . , vn zur Basis w1 , . . . , wn ist A−1 B.
Will man diese Formel zur Berechnung der Transformationsmatrix verwenden, so
müsste A invertiert werden und anschließend muss B an das Ergebnis heranmultipliziert
werden. Man kann diese beiden Schritte kombinieren indem wir wie oben das Gaußche
Eliminationsverfahren mit einer vergrößerten erweiterten Koeffizientenmatrix rechnen.
Die Berechnung von T = A−1 B erfolgt dann genau wie die Berechnung von A−1 nur das
wir auf der rechten Seite mit B und nicht mit der Einheitsmatrix starten. Am Ende der
Elimination steht dann links die Einheitsmatrix und rechts die Matrix A−1 B. Dies gibt
uns auch eine weitere Begründung der Korrektheit des Verfahrens zur Matrixinversion.
Wir wollen uns dies einmal am obigen Beispiel der beiden Basen
1
3
−1
7
v1 =
, v2 =
und w1 =
, w2 =
2
−5
3
1
des R2 anschauen. In der obigen Matrixschreibweise wird
−1 7
1
3
A=
und B =
3 1
2 −5
und damit rechnen wir
1 0
−1 7 1
3
1 −7 −1 −3
−→
−→
3 1 2 −5
0 22
5
4
0 1
252
13
22
5
22
− 19
11
2
11
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und die Transformationsmatrix von der Basis v1 , v2 zur Basis w1 , w2 ergibt sich erneut
als
1
13 −38
−1
T =A B=
.
5
4
22
9.5
Lineare Abbildungen
Wir wollen jetzt einen der wichtigsten Begriffe der linearen Algebra behandeln, die
sogenannten linearen Abbildungen. Definiert haben wir diese bereits im vorigen Abschnitt im Zusammenhang mit den Koordinatenabbildungen und zum Beginn dieses
Abschnitts schauen wir uns einige weitere Beispiele an. Beachte für diese Beispiele das
wir den Skalarenbereich K selbst als einen Vektorraum über K interpretieren können
da die Körperaxiome aus §1.1 die Vektorraumaxiome umfassen.
1. Die Abbildung


x
f : R3 → R;  y  →
7 x+y+z
z
ist linear. Für alle x, y ∈ R3 , λ ∈ R gelten nämlich



 
x1 + y1
y1
x1
f (x + y) = f  x2  +  y2  = f  x2 + y2 
x3 + y3
y3
x3

= (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = (x1 + x2 + x3 ) + (y1 + y2 + y3 )
= f (x) + f (y)
und



λx1
x1
f (λx) = f λ ·  x2  = f  λx2  = λx1 + λx2 + λx3
λx3
x3


= λ · (x1 + x2 + x3 ) = λf (x).
Im nächsten Kapitel werden wir lineare Abbildungen f : K n → K m etwas näher
untersuchen.
2. Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 und betrachte den Vektorraum V = K m×n aller
m × n-Matrizen über K. Weiter seien 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n gegeben. Dann
ist die Abbildung


a11 · · · a1n

..  7→ a
...
φij : K m×n → K;  ...
ij
. 
am1 · · · amn
253
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 20.1.2017
die jeder Matrix ihren Eintrag in der j-ten Spalte der i-ten Zeile zuordnet linear.
Dies ist klar da wir die Addition von Matrizen und die Multiplikation von Skalaren
mit Matrizen komponentenweise definiert haben.
3. Sind n ∈ N mit n ≥ 1 und 1 ≤ i ≤ n gegeben, so ist die Abbildung


x1


φi : K n → K;  ...  7→ xi
xn
die jedem Spaltenvektor seinen i-ten Eintrag zuordnet linear. Dies ist gerade der
Spezialfall des vorigen Beispiels für Matrizen mit nur einer Spalte.
4. Sei M eine Menge und bezeichne V := K M den Vektorraum aller Funktionen
von M nach K. Weiter sei x ∈ M ein Element von M . Dann ist die Abbildung
ωx : V → K; f 7→ f (x)
linear. In der Tat, sind f, g ∈ V und λ ∈ K, so gelten
ωx (f + g) = (f + g)(x) = f (x) + g(x) = ωx (f ) + ωx (g)
und
ωx (λf ) = (λf )(x) = λf (x) = λωx (f ).
5. Ist V der Vektorraum aller konvergenten Folgen in K, so ist die Abbildung
lim : V → K; (an )n∈N 7→ lim an
n→∞
linear. Dies ist gerade eine Umformulierung von §4.Satz 6.(a,b).
6. Seien V, W zwei Vektorräume über K. Sind dann f, g : V → W zwei lineare
Abbildungen, so behaupten wir das auch die Summe
f + g : V → W ; x 7→ f (x) + g(x)
wieder linear ist. Für alle x, y ∈ V und jedes λ ∈ K haben wir nämlich
(f + g)(x + y) = f (x + y) + g(x + y) = f (x) + f (y) + g(x) + g(y)
= f (x) + g(x) + f (y) + g(y) = (f + g)(x) + (f + g)(y)
und
(f + g)(λx) = f (λx) + g(λx) = λf (x) + λg(x) = λ(f (x) + g(x)) = λ(f + g)(x).
Ebenso ist für jeden Skalar µ ∈ K auch das Vielfache
µf : V → W ; x 7→ µf (x)
254
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
wieder eine lineare Abbildung, denn für alle x, y ∈ V gilt
(µf )(x + y) = µf (x + y) = µ(f (x) + f (y))
= µf (x) + µf (y) = (µf )(x) + (µf )(y)
und für alle x ∈ V und jedes λ ∈ K haben wir ebenfalls
(µf )(λx) = µf (λx) = µ(λf (x)) = (µλ)f (x) = (λµ)f (x) = λ(µf (x)) = λ(µf )(x).
7. Sind U, V, W drei Vektorräume über K und f : V → W , g : W → U zwei lineare
Abbildungen, so ist auch die Hintereinanderausführung g ◦f : V → U eine lineare
Abbildung. Sind nämlich x, y ∈ V und λ ∈ K, so haben wir
(g ◦ f )(x + y) = g(f (x + y)) = g(f (x) + f (y)) = g(f (x)) + g(f (y))
= (g ◦ f )(x) + (g ◦ f )(y)
und
(g ◦ f )(λx) = g(f (λx)) = g(λf (x)) = λg(f (x)) = λ · (g ◦ f )(x).
Vorlesung 22, Montag 23.1.2017
In der letzten Sitzung haben wir den Begriff einer linearen Abbildung zwischen zwei
Vektorräumen eingeführt und auch schon einige Beispiele zu diesem betrachtet. Im
folgenden wollen wir einige wichtige Aussagen über lineare Abbildungen herleiten und
starten mit der Auflistung einiger unmittelbar aus der Definition folgender Tatsachen
über lineare Abbildungen.
Lemma 9.9 (Grundeigenschaften linearer Abbildungen)
Seien V, W zwei Vektorräume über K und f : V → W eine lineare Abbildung. Dann
gelten:
(a) Es ist f (0) = 0.
(b) Das Bild Bild(f ) = {f (x)|x ∈ V } von V ist ein Untervektorraum von W .
(c) Ist v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem von V , so ist f (v1 ), . . . , f (vn ) ein Erzeugendensystem von Bild(f ).
(d) Ist V endlich erzeugt, so ist auch Bild(f ) endlich erzeugt mit dim Bild(f ) ≤ dim V .
(e) Die Menge Kern(f ) := f −1 ({0}) = {x ∈ V |f (x) = 0} ist ein Untervektorraum von
V.
255
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
(f ) Genau dann ist die Abbildung f : V → W injektiv wenn Kern(f ) = {0} ist.
Beweis: (a) Es ist f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), also f (0) = 0.
(b) Nach (a) ist 0 ∈ Bild(f ). Sind u, v ∈ Bild(f ) und λ ∈ K, so existieren x, y ∈ V
mit f (x) = u und f (y) = v, also ist auch u + v = f (x) + f (y) = f (x + y) ∈ Bild(f )
und λu = λf (x) = f (λx) ∈ Bild(f ). Damit ist Bild(f ) ein Untervektorraum von W .
(c) Sei u ∈ Bild(f ). Dann existiert ein v ∈ V mit u = f (v) und da v1 , . . . , vn ein
Erzeugendensyszem von V ist, existieren weiter λ1 , . . . , λn ∈ K mit v = λ1 v1 + · · · +
λn vn . Damit ist auch
u = f (v) = f (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 f (v1 ) + · · · + λn f (vn ).
Dies zeigt das f (v1 ), . . . , f (vn ) ein Erzeugendensystems des Bilds von f ist.
(d) Klar nach (c) und Korollar 7.(a).
(e) Nach (a) ist 0 ∈ Kern(f ). Sind x, y ∈ Kern(f ) und λ ∈ K, so haben wir auch
f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 und f (λx) = λf (x) = 0, also x + y ∈ Kern(f ) und
λx ∈ Kern(f ). Damit ist Kern(f ) ein Untervektorraum von V .
(f ) ”=⇒” Klar nach (a).
”⇐=” Seien x, y ∈ V mit f (x) = f (y). Dann ist auch f (x − y) = f (x) − f (y) = 0, also
x − y ∈ Kern(f ) = {0}, und es folgt x = y. Also ist f : V → W injektiv.
Als letztes Ziel in diesem Kapitel wollen wir die sogenannten Dimensionsformeln der
linearen Algebra behandeln. Es gibt eine solche Formel für lineare Abbildungen und
eine weitere für Untervektorräume. Die Formel für Untervektorräume werden wir dabei
auf diejenige für lineare Abbildungen zurückführen. Als eine wichtige Folgerung der
Dimensionsformel werden wir weiter einsehen, dass für eine lineare Abbildung f : V →
W zwischen endlich erzeugten Vektorräumen gleicher Dimension die Eigenschaften
injektiv und surjektiv gleichwertig sind, dass also f genau dann injektiv ist wenn f
surjektiv ist. Zum Beweis der Dimensionsformel für lineare Abbildungen benötigen wir
eine auch sonst oft wichtige Hilfsaussage über Untervektorräume.
Lemma 9.10 (Dimension von Untervektorräumen)
Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und U ≤ V ein Untervektorraum
von V . Dann ist auch U endlich erzeugt mit m := dim U ≤ dim V =: n und es gibt eine
Basis v1 , . . . , vn von V mit U = hv1 , . . . , vm i. Weiter ist genau dann dim U = dim V
wenn U = V gilt.
Beweis: Nach Korollar 7.(b) ist für jedes System v1 , . . . , vr linear unabhängiger Vektoren aus U stets r ≤ n. Damit existiert ein System v1 , . . . , vm linear unabhängiger
Vektoren in U der maximal möglichen Länge m ≤ n. Insbesondere sind diese Vektoren
maximal linear unabhängig in U , also ist v1 , . . . , vm nach Lemma 4 eine Basis von U .
Insbesondere ist U endlich erzeugt mit dim U = m ≤ n = dim V . Nach Satz 6.(c)
lassen sich die Vektoren v1 , . . . , vm zu einer Basis v1 , . . . , vn von V ergänzen, und für
256
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
diese ergänzte Basis gilt U = hv1 , . . . , vm i. Im Fall dim U = dim V , also m = n, haben
wir damit sogar U = hv1 , . . . , vn i = V .
Damit ist jetzt möglich die schon angekündigte Dimensionsformel zu beweisen.
Satz 9.11 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen)
Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K und f : V → W eine lineare
Abbildung. Dann gilt
dim Bild(f ) + dim Kern(f ) = dim V .
Beweis: Nach Lemma 9.(e) und Lemma 10 existiert eine Basis v1 , . . . , vn von V mit
Kern(f ) = hv1 , . . . , vm i wobei m = dim Kern(f ) und n = dim V sind. Wir behaupten,
dass die Vektoren f (vm+1 ), . . . , f (vn ) eine Basis des Bilds von f sind. Nach Lemma
9.(c) sind die Vektoren f (v1 ), . . . , f (vn ) ein Erzeugendensystem von Bild(f ), und wegen
f (v1 ) = · · · = f (vm ) = 0 ist auch f (vm+1 ), . . . , f (vn ) ein Erzeugendensystem von
Bild(f ). Es bleibt also nur noch dieP
lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren zu zeigen.
Seien hierzu λm+1 , . . . , λn ∈ K mit ni=m+1 λi f (vi ) = 0 gegeben. Dann ist auch
!
n
n
X
X
λi f (vi ) = 0,
f
λi v i =
i=m+1
also
n
X
i=m+1
λi vi ∈ Kern(f ) = hv1 , . . . , vm i
i=m+1
P
Pn
P
und es existieren λ1 , . . . , λm ∈ K mit ni=m+1 λi vi = − m
i=1 λi vi , also auch
i=1 λi vi =
0. Da die Vektoren v1 , . . . , vn linear unabhängig sind, bedeutet dies λ1 = · · · = λn = 0,
also insbesondere λm+1 = · · · = λn = 0. Damit sind die Vektoren f (vm+1 ), . . . , f (vn )
linear unabhängig, und bilden somit eine Basis von Bild(f ). Es folgt
dim Bild(f ) = n − m = dim V − dim Kern(f )
und die Dimensionsformel ist bewiesen.
Einen besonders wichtigen Spezialfall dieses Satz wollen wir gesondert hervorheben.
Korollar 9.12: Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und f : V → K eine
lineare Abbildung mit f 6= 0. Dann gilt
dim Kern(f ) = dim V − 1.
257
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
Beweis: Wegen f 6= 0 existiert ein u ∈ V mit f (u) 6= 0. Für jedes c ∈ K ist damit
auch
c
c
c
u ∈ V mit f
u =
· f (u) = c,
f (u)
f (u)
f (u)
d.h. es gelten Bild(f ) = K und dim Bild(f ) = 1. Mit der Dimensionsformel Satz 11
folgt
dim Kern(f ) = dim V − dim Bild(f ) = dim V − 1,
und das Korollar ist bewiesen.
Eine weitere wichtige Konsequenz der Dimensionsformel betrifft die schon angekündigte Aussage über lineare Abbildungen zwischen zwei endlich erzeugten Vektorräumen
derselben Dimension, dass bei diesen die Begriffe injektiv“ und surjektiv“ gleichwer”
”
tig sind. Ist eine solche lineare Abbildung also injektiv oder surjektiv, so ist sie bereits
bijektiv und man spricht von einem Isomorphismus im Sinne der folgenden Definition.
Definition 9.11 (Isomorphismen von Vektorräumen)
Seien V, W zwei Vektorräume über K. Ein Isomorphismus von V nach W ist eine
bijektive lineare Abbildung f : V → W . Weiter nennen wir die Vektorräume V und W
isomorph, geschrieben als V ' W , wenn es einen Isomorphismus von V nach W gibt.
Zur Verwendung im folgenden Beweis wollen wir zunächst auf einen kleinen Randfall
des Dimensionsbegriffs explizit hinweisen. Ist V ein endlich erzeugter Vektorraum über
K so ist genau dann dim V = 0 wenn V eine aus n = 0 Vektoren bestehende Basis hat,
wenn also V = {0} ist.
Korollar 9.13: Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K mit dim V =
dim W und sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent:
(a) Die Abbildung f ist ein Isomorphismus.
(b) Die Abbildung f ist surjektiv.
(c) Die Abbildung f ist injektiv.
Beweis: Es reicht die Äquivalenz von (b) und (c) zu zeigen. Nach Satz 11 gilt
dim Kern(f ) = dim V − dim Bild(f ),
258
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also bestehen nach Lemma 9.(f) und Lemma 10 die Äquivalenzen
f ist injektiv ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Kern(f ) = {0}
dim Kern(f ) = 0
dim V = dim Bild(f )
dim W = dim Bild(f )
W = Bild(f )
f ist surjektiv,
und damit ist alles gezeigt.
Wir kennen bereits einige Beispiele von Isomorphismen, nur dass wir diese bisher nicht
so genannt haben. Ist etwa v1 , . . . , vn eine Basis von V , so ist die Koordinatenabbildung
n
X
n
Ψ : K → V ; x 7→
xi vi
i=1
bijektiv und linear, also ein Isomorphismus. An diesem Beispiel kann man schön sehen,
dass Isomorphismen im wesentlichen ein Übersetzungsmechanismus“ sind. Wollen wir
”
irgendetwas im Vektorraum V untersuchen, so können wir dies entweder in V selbst
tun, oder alles in Termen der Koordinaten bezüglich der Basis v1 , . . . , vn rechnen. Beide
Sichtweisen sind völlig gleichwertig und der Isomorphismus Ψ stellt die Übersetzung
zwischen ihnen her. Isomorphe Vektorräume sind also im wesentlichen gleich, und ein
Isomorphismus beschreibt in welchem Sinne sie gleich sind.
Wir wollen auch noch ein etwas komplizierteres Beispiel eines Isomorphismus besprechen. Bei unserer Untersuchung von Reihen in §5 hatten wir den Reihenbegriff
über den Begriff der Partialsummen wieder auf Folgen zurückgeführt. Wir können uns
das Bilden der Partialsummen also als eine Übersetzung zwischen Folgen und Reihen
vorstellen, und dies ist in Wahrheit ein Beispiel eines Isomorphismus von Vektorräumen. Sei hierzu K ∈ {R, C} und betrachte den Vektorraum V := K N aller Folgen in
K.
P∞Einen eigenen ”Reihenvektorraum“ führen wir nicht ein, wir denken uns die Reihe
n=0 an als die Folge (an )n∈N ihrer Summanden. Die Partialsummen sind dann die
Abbildung
!
n
X
Σ : V → V ; (an )n∈N 7→
ak
,
k=0
n∈N
die jede Reihe auf die Folge ihrer Partialsummen abbildet. Sind (an )n∈N , (bn )n∈N zwei
Folgen über K und c ∈ K eine Konstante, so sind
!
n
X
Σ ((an )n∈N + (bn )n∈N ) = Σ ((an + bn )n∈N ) =
(ak + bk )
k=0
=
n
X
k=0
!
ak
+
n
X
k=0
n∈N
259
n∈N
!
bk
= Σ ((an )n∈N ) + Σ ((bn )n∈N )
n∈N
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und
Σ (c · (an )n∈N ) = Σ ((can )n∈N ) =
n
X
k=0
!
=c·
cak
n∈N
n
X
k=0
!
= c · Σ ((an )n∈N ) ,
ak
n∈N
die Abbildung Σ ist also linear. Weiter ist Σ auch bijektiv, die Umkehrfunktion ∆ : V →
V von Σ ist die Differenzenabbildung, die jede Folge (an )n∈N auf die Differenzenfolge
(a0n )n∈N definiert duch
(
an − an−1 , n ≥ 1,
a0n :=
a0 ,
n=0
für jedes n ∈ N abbildet. Um dies zu zeigen, müssen wir nach §2.Lemma 3 nur zeigen
das ∆ ◦ Σ = Σ ◦ ∆ = idV gelten. Dies können wir einfach nachrechnen, ist (an )n∈N eine
Folge in K und (a0n )n∈N die zugehörige Differenzenfolge, so haben wir
!
n
X
0
Σ (∆ ((an )n∈N )) = Σ ((an )n∈N ) = a0 +
(ak − ak−1 )
= (an )n∈N ,
k=1
n∈N
P∞
und ist andererseits (sn )n∈N die Folge der Partialsummen der Reihe
n=0 an und
0
0
0
(sn )n∈N deren Differenzenfolge, so sind s0 = s0 = a0 und sn = sn − sn−1 = an für
jedes n ∈ N mit n ≥ 1, also
∆ (Σ ((an )n∈N )) = ∆ ((sn )n∈N ) = (s0n )n∈N = (an )n∈N .
Damit ist Σ bijektiv und somit ein Isomorphismus von Vektorräumen. Nach diesen
Beispielen kommen wir nun zu einem allgemeinen Satz über das Verhalten von Basen
und Dimension unter Isomorphismen.
Lemma 9.14 (Grundeigenschaften von Isomorphismen)
Seien V, W zwei Vektorräume über K und f : V → W eine lineare Abbildung.
(a) Ist f ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung f −1 : W → V ein
Isomorphismus.
(b) Sei v1 , . . . , vn eine Basis von V . Dann ist f genau dann ein Isomorphismus wenn
f (v1 ), . . . , f (vn ) eine Basis von W ist. Insbesondere ist dann auch W endlich
erzeugt mit dim V = dim W .
Beweis: (a) Es ist nur zu zeigen, dass f −1 : W → V wieder eine lineare Abbildung ist.
Seien also x, y ∈ W und λ ∈ K gegeben. Dann ist
f −1 (x+y) = f −1 (f (f −1 (x))+f (f −1 (y))) = f −1 (f (f −1 (x)+f −1 (y))) = f −1 (x)+f −1 (y)
und
f −1 (λx) = f −1 (λf (f −1 (x))) = f −1 (f (λf −1 (x))) = λf −1 (x),
260
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und damit ist f −1 eine lineare Abbildung.
(b) Die zweite Aussage ist eine unmittelbare Folgerung der ersten Aussage, es reicht
also letztere zu beweisen.
”=⇒” Sei also f ein Isomorphismus. Nach Lemma 9.(c) ist f (v1 ), . . . , f (vn ) ein Erzeugendensystem von Bild(f ) = W , es ist also nur noch zu zeigen,
Pndass diese Vektoren
auch linear unabhängig sind. Hierzu seien λ1 , . . . , λn ∈ K mit i=1 λi f (vi ) = 0 gegeben. Dann ist auch
!
n
n
X
X
f
λi v i =
λi f (vi ) = 0 = f (0)
i=1
i=1
Pn
nach Lemma 9.(a), also ist auch
i=1 λi vi = 0. Da die Vektoren v1 , . . . , vn linear
unabhängig sind, folgt λ1 = · · · = λn = 0. Damit sind auch f (v1 ), . . . , f (vn ) in W
linear unabhängig.
”⇐=” Nun nehmen wir an, dass die Vektoren f (v1 ), . . . , f (vn ) eine Basis von W bilden.
Nach Lemma 9.(c) ist dann
Bild(f ) = hf (v1 ), . . . , f (vn )i = W,
d.h. f : V → W ist zumindest surjektiv. Nun sei vP∈ Kern(f ) ein Vektor im Kern von
f , also f (v) = 0. Es gibt λ1 , . . . , λn ∈ K mit v = ni=1 λi vi . Wegen
!
n
n
X
X
λi f (vi ) = f
λi vi = f (v) = 0,
i=1
i=1
ergibt
Pdie lineare Unabhängigkeit von f (v1 ), . . . , f (vn ) auch λ1 = · · · = λn = 0, also
v = ni=1 λi vi = 0. Dies zeigt Kern(f ) = {0} und nach Lemma 9.(f) ist f auch injektiv.
Insgesamt ist f damit bijektiv, also ein Isomorphismus.
Damit ist beispielsweise auch die obige Differenzenabbildung ∆ : K N → K N als
Umkehrabbildung eines Isomorphismus selbst ein Isomorphismus. Als ein wichtiges
Korollar des Lemmas ergibt sich weiter das die endlich erzeugten Vektorräume über K
bis auf Isomorphie genau die Spaltenvektorräume K n sind.
Satz 9.15 (Klassifikation der endlich erzeugten Vektorräume)
Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K.
(a) Ist n := dim V so ist V ' K n .
(b) Genau dann gilt V ' W wenn dim V = dim W ist.
Beweis: (a) Nach Definition der Dimension von V gibt es eine Basis v = (v1 , . . . , vn )
von V und damit ist die Koordinatenabbildung Ψv : K n → V ein Isomorphismus, d.h.
wir haben V ' K n .
(b) ”=⇒” Dies gilt nach Lemma 14.(b).
261
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”⇐=” Setze n := dim V = dim W . Nach (a) sind dann V ' K n und W ' K n , es
gibt also Isomorphismen ϕ : V → K n und ψ : W → K n . Nach Lemma 14.(a) ist dann
auch ψ −1 : K n → W ein Isomorphismus, also ist ψ −1 ◦ ϕ : V → W linear und nach
§2.Lemma 4 auch bijektiv und somit ein Isomorphismus. Dies zeigt V ' W .
Damit kommen wir schließlich zur Dimensionsformel für Untervektorräume. Angenommen wir haben einen Vektorraum V über K und zwei Untervektorräume U, W ≤ V .
Dann sind U und W selbst Vektorräume über K und wir können das direkte Produkt
U × W dieser beiden Vektorräume bilden. Weiter haben wir dann eine Abbildung
f : U × W → V ; (u, w) 7→ u + w
und behaupten das diese linear ist. Für alle u, u0 ∈ U , w, w0 ∈ W und jedes λ ∈ K
haben wir nämlich
f (u, w) + (u0 , w0 ) = f (u + u0 , w + w0 ) = u + u0 + w + w0
= u + w + u0 + w0 = f (u, w) + f (u0 , w0 )
und
f λ · (u, w) = f (λu, λw) = λu + λw = λ(u + w) = λ · f (u, w).
Damit ist f tatsächlich eine lineare Abbildung. Wir wollen jetzt Kern und Bild von f
bestimmen, wobei sich das Bild sofort als
Bild(f ) = f (U × W ) = {f (u, w)|u ∈ U, w ∈ W } = {u + w|u ∈ U, w ∈ W } = U + W
ergibt. Der Kern von f ist etwas komplizierter, zunächst ist
Kern(f ) = {(u, w) ∈ U × W |f (u, w) = 0} = {(u, w) ∈ U × W |u + w = 0},
ist also (u, w) ∈ Kern(f ) so ist u = −w ∈ U ∩ W und (u, w) = (u, −u). Umgekehrt ist
für jedes u ∈ U ∩ W auch (u, −u) ∈ Kern(f ), also insgesamt
Kern(f ) = {(u, −u)|u ∈ U ∩ W }.
Damit ist der Kern von f im wesentlichen der Durchschnitt U ∩ W , genauer ist
Kern(f ) ' U ∩ V da die Abbildung
g : Kern(f ) → U ∩ W ; (u, w) 7→ u
offenbar linear und bijektiv also ein Isomorphismus ist. Mit dieser Beobachtung können
wir jetzt die angekündigte Dimensionsformel beweisen.
Satz 9.16 (Dimensionsformel für Untervektorräume)
Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und U, W ≤ V zwei Untervektorräume von V . Dann gilt
dim(U + W ) + dim(U ∩ W ) = dim U + dim W .
262
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Beweis: Nach Lemma 10 sind auch U und W endlich erzeugt, und damit ist auch das
direkte Produkt U × W endlich erzeugt. Somit ist die Dimensionsformel Satz 11 auf
die lineare Abbildung f : U × W → V ; (u, w) 7→ u + w anwendbar und liefert
dim U + dim W = dim(U × W ) = dim Bild(f ) + dim Kern(f ).
Wir haben bereits Bild(f ) = U + W und Kern(f ) ' U ∩ W eingesehen, also ist
dim Bild(f ) = dim(U +W ) und Lemma 14.(b) ergibt auch dim Kern(f ) = dim(U ∩W ).
Damit haben wir
dim U + dim W = dim Bild(f ) + dim Kern(f ) = dim(U + W ) + dim(U ∩ W )
eingesehen.
$Id: cartesisch.tex,v 1.21 2017/01/27 14:33:38 hk Exp $
§10
Der Vektorraum K n
Wir haben bereits gezeigt das je zwei endlich erzeugte Vektorräume über K ∈
{R, C} genau dann isomorph sind, wenn sie dieselbe Dimension haben und das ein
beliebiger n-dimensionaler Vektorraum V über K isomorph zum Vektorraum K n der
Spaltenvektoren mit n Einträgen ist. In gewissen Sinne ist der K n damit der allge”
meine“ n-dimensionale Vektorraum über K. Eine besondere Bedeutung hat natürlich
der R3 zur Beschreibung des gewöhnlichen“ Raums. Aber auch der Rn für andere
”
Werte von n spielt oftmals eine Rolle bei der Beschreibung räumlicher Vorgänge. Will
man beispielsweise den vollständigen Zustand eines sich bewegenden Massepunktes beschreiben, so brauchen wir sowohl drei Koordinaten zur Beschreibung seiner Position
als auch drei Koordinaten für seinen Geschwindigkeitsvektor, insgesamt hat man dann
einen Vektor im R6 .
10.1
Affine Teilräume des K n
Wir beginnen mit der Definition der üblichen geometrischen Objekte, wie Geraden
und Ebenen. Wie wir sehen werden könnte man diese auf exakt dieselbe Weise auch in
einem allgemeinen Vektorraum definieren, wir wollen uns hier aber auf den Spezialfall
des Vektorraums K n beschränken. Als Startpunkt behandeln wir Ursprungsgeraden
im K n , also Geraden die durch den Nullpunkt gehen. Eine solche Gerade l ist durch
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einen von Null verschiedenen Richtungsvektor v ∈ K n \{0} bestimmt, und die Gerade
l besteht dann gerade aus den Vielfachen von v, also
l = {tv|t ∈ K} = hvi.
In anderen Worten sind die Ursprungsgeraden genau die eindimensionalen Untervektorräume des K n . Für Ebenen e durch den Ursprung erhalten wir ein ähnliches Ergebis, solche Mengen werden von zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren u, v
aufgespannt
e = {tu + sv|t, s ∈ K} = hu, vi,
es handelt sich also genau um die zweidimensionalen Untervektorräume des K n . Allgemeine Geraden beziehungsweise Ebenen erhalten wir durch Verschieben der Ursprungsgeraden beziehungsweise Ebenen. Die entstehenden Teilmengen des K n sind die sogenannten affinen Teilräume eines Vektorraums.
Definition 10.1 (Affine Teilräume eines Vektorraums)
Sei V ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge A ⊆ V heißt ein affiner Teilraum von
V , wenn A = ∅ ist oder es einen Vektor v ∈ V und einen Teilraum U ≤ V von V mit
A = v + U = {v + u|u ∈ U }
gibt.
Ob man die leere Menge als einen affinen Teilraum betrachten will, ist weitgehend eine
Geschmacksfrage und wird nicht einheitlich gehandhabt. Wir wollen die eben definierten affinen Teilräume eines Vektorraums jetzt noch etwas weitergehend untersuchen,
dies wurde in der Vorlesung nicht so ausführlich vorgeführt. Einen nichtleeren affinen
Teilraum A eines Vektorraums V kann man definitionsgemäß in der Form A = v + U
mit einem Vektor v ∈ V und einem Untervektorraum U ≤ V schreiben. Den Vektor v
nennt man in diesem Zusammenhang auch einen Aufpunkt des affinen Teilraums A. Der
Teilraum U in der Definition eines nichtleeren affinen Teilraums A eines Vektorraums
V ist eindeutig bestimmt. Nehme nämlich an, wir hätten zwei Teilräume U1 , U2 ≤ V
und zwei Aufpunkte v1 , v2 ∈ V mit A = v1 + U1 = v2 + U2 . Wegen
v2 = v2 + 0 ∈ v2 + U2 = v1 + U1
ist dann v2 − v1 ∈ U1 und für jedes u ∈ U2 gibt es wegen v2 + u ∈ v2 + U2 = v1 + U1
ein u0 ∈ U1 mit v2 + u = v1 + u0 , also auch u = u0 − (v2 − v1 ) ∈ U1 . Dies zeigt U2 ⊆ U1 .
Analog folgt auch U1 ⊆ U2 , es ist also U1 = U2 . Man nennt den eindeutig bestimmten
Teilraum U ≤ V die Richtung des affinen Teilraums A von V . Insbesondere können wir
damit die Dimension eines affinen Teilraums A eines endlich erzeugten Vektorraums V
als
(
dim U, wenn A = v + U mit v ∈ V , U ≤ V ,
dim A :=
−1,
wenn A = ∅
definieren. Ausgerüstet mit diesem Dimensionsbegriff kann man dann die üblichen geometrischen Grundbegriffe im K n einführen.
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(a) Eine Gerade im K n ist ein eindimensionaler affiner Teilraum des K n ,
(b) eine Ebene im K n ist ein zweidimensionaler affiner Teilraum des K n ,
(c) und eine Hyperebene im K n ist ein (n − 1)-dimensionaler affiner Teilraum des K n .
Im K 2 sind also Hyperebenen und Geraden dasselbe und im K 3 sind Ebenen und Hyperebenen dasselbe. Die übliche Verwendung dieser Begriffe ist leider sehr vom Kontext
abhängig, die drei obigen Definitionen werden im Zusammenhang mit affinen Teilräumen verwendet, meist ist man aber nur an Untervektorräumen interessiert und dann sind
in der Regel mit Geraden“ eindimensionale Untervektorräume, mit Ebenen“ zwei”
”
dimensionale Untervektorräume und mit Hyperebenen“ die (n − 1)-dimensionalen
”
Untervektorräume gemeint.
Wir gewohnt kann man eine Gerade durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor angeben, und eine Ebene durch einen Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren.
Die Richtungsvektoren sind dabei nicht eindeutig festgelegt, aber der von ihnen aufgespannte Untervektorraum ist eindeutig bestimmt, er ist ja gerade die Richtung des
affinen Teilraums. Als Aufpunkt kann man dagegen einen beliebigen Punkt des affinen
Teilraums nehmen, d.h. ist A 6= ∅ ein affiner Teilraum von V mit Richtung U ≤ V
und v ∈ A ein beliebiger Punkt von A, so ist A = v + U . Nach Definition eines affinen
Teilraums gibt es nämlich überhaupt einen Vektor w ∈ V mit A = w +U . Wegen v ∈ A
gibt es weiter einen Vektor u ∈ U mit v = w + u. Da U ein Untervektorraum von V
ist, gilt u + U ⊆ U und wegen −u ∈ U auch −u + U ⊆ U und somit U ⊆ u + U . Dies
zeigt u + U = U , und schließlich folgt auch
A = w + U = w + u + U = v + U.
Wir nennen zwei affine Teilräume A, B eines Vektorraums V über K parallel, in Zeichen A k B, wenn entweder A = B = ∅ ist oder A, B 6= ∅ sind und A, B dieselbe
Richtung haben. Insbesondere haben parallele affine Teilräume eines endlich erzeugten
Vektorraums stets dieselbe Dimension. Weiter sollen zwei affine Teilräume A, B von V
mit A ∩ B = ∅ windschief heißen wenn entweder einer der beiden Teilräume leer ist
oder beide nicht leer sind und ihre Richtungen nur den Nullvektor gemeinsam haben.
Im R3 ist der Schnitt einer Ebene und einer Geraden normalerweise ein Punkt und
der Schnitt zweier Ebenen normalerweise eine Gerade. Es gibt natürlich auch Ausnahmefälle wie parallele Ebenen, was die allgemeine Situation etwas verkompliziert. Um
dies genauer zu untersuchen, wollen wir eine Dimensionsformel für affine Teilräume herleiten, diese folgt im wesentlichen aus der Dimensionsformel für Untervektorräume nur
das die affine Formel etwas komplizierter ist, da die Summe“ affiner Teilräume von ih”
rer Lage zueinander abhängt. Beispielsweise können sich nicht schneidende Geraden im
R3 entweder parallel oder windschief sein, also dieselbe oder verschiedene Richtungen
haben, im ersten Fall erzeugen sie eine Ebene und im zweiten Fall den ganzen R3 . Im
oben erwähnte Normalfall“ haben die Richtungen der beiden Teilräume eine Summe
”
größtmöglicher Dimension, beziehungsweise gleichwertig einen Schnitt kleinstmöglicher
Dimension.
265
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Seien also V ein Vektorraum über K und A, B ⊆ V zwei affine Teilräume von V .
Wir wollen uns überlegen das es einen kleinsten affinen Teilraum AB von V gibt der
A und B umfasst. Man nennt den affinen Teilraum AB dann gelegentlich auch die
Summe der affinen Teilräume A, B. Die Existenz von AB ist klar wenn A = ∅ oder
B = ∅ ist, dann ist AB einfach der andere affine Teilraum, wir können also A 6= ∅
und B 6= ∅ annehmen. Seien U dann die Richtung von A, W die Richtung von B und
wähle a ∈ A und b ∈ B. Sei C ⊆ V ein affiner Teilraum mit A ∪ B ⊆ C. Dann ist
insbesondere a, b ∈ C also C 6= ∅ und es bezeichne S die Richtung von C. Weiter ist
a + U = A ⊆ C = a + S, also auch U ⊆ S und analog ist W ⊆ S und somit U + W ⊆ S.
Außerdem haben wir b ∈ C = a + S, also b − a ∈ S und somit ist insgesamt
R := U + W + hb − ai ⊆ S.
Weiter ergibt sich hieraus auch a + R ⊆ a + S = C. Umgekehrt ist a + R ein affiner
Teilraum von V mit A = a + U ⊆ a + R und B = b + W = a + (b − a) + W ⊆ a + R, d.h.
AB := a+R ist der kleinste A und B umfassende affine Teilraum von V . Ist A∩B 6= ∅,
so können wir a = b wählen und die Richtung R von AB ist dann R = U + W . Ist
andererseits A ∩ B = ∅ so muss b − a ∈
/ U + W sein, denn andernfalls gäbe es u ∈ U ,
w ∈ W mit b − a = u + w und wir hätten den Schnittpunkt a + u = b − w ∈ A ∩ B,
also ist in diesem Fall R 6= U + W . Damit können wir die Dimensionsformel für affine
Teilräume formulieren und beweisen.
Satz 10.1 (Schnitte affiner Teilräume)
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und seien A, B ⊆ V zwei affine
Teilräume von V .
(a) Die Menge A ∩ B ist wieder ein affiner Teilraum von V und ist A ∩ B 6= ∅ so ist
die Richtung von A ∩ B gleich dem Durchschnitt der Richtungen von A und B.
(b) Ist A ∩ B 6= ∅ oder sind A, B windschief, so gilt die affine Dimensionsformel
dim(A ∩ B) + dim(AB) = dim A + dim B.
Beweis: Ist A = ∅ oder B = ∅ so sind beide Aussagen klar, wir können also A 6= ∅ und
B 6= ∅ annehmen. Sei U ≤ V die Richtung von A und W ≤ V die Richtung von B.
(a) Ist A ∩ B = ∅, so ist A ∩ B trivialerweise ein affiner Teilraum von V , wir können
also A ∩ B 6= ∅ annehmen. Wähle v ∈ A ∩ B und wir behaupten das dann
A ∩ B = v + (U ∩ W )
gilt. Es ist v + (U ∩ W ) ⊆ v + U = A und ebenso v + (U ∩ W ) ⊆ B, also v + (U ∩ W ) ⊆
A ∩ B. Nun sei umgekehrt x ∈ A ∩ B = (v + U ) ∩ (v + W ). Dann existieren u ∈ U ,
w ∈ W mit x = v + u und x = v + w. Insbesondere ist u = x − v = w ∈ U ∩ W ,
also x = v + u ∈ v + (U ∩ W ). Damit ist diese Aussage bewiesen, und insbesondere ist
A ∩ B ein affiner Teilraum von V mit Richtung U ∩ W .
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(b) Wähle a ∈ A und b ∈ B und wie bereits oben gezeigt ist R = U + W + hb − ai
dann die Richtung von AB. Wir unterscheiden zwei verschiedene Fälle.
Fall 1. Zunächst nehmen wir A ∩ B 6= ∅ an. Dann ist R = U + W und A ∩ B hat die
Richtung U ∩ W , also ergibt die Dimensionsformel §9.Satz 16 für Untervektorräume
auch
dim(A∩B)+dim(AB) = dim(U ∩W )+dim(U +W ) = dim U +dim W = dim A+dim B.
Fall 2. Nun nehme A ∩ B = ∅ an. Nach unserer Voraussetzung sind A und B dann
windschief, also U ∩ W = {0} und die Dimensionsformel für Teilräume liefert
dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) = dim U + dim W.
Weiter haben wir bereits eingesehen das b−a ∈
/ U +W , also auch (U +W )∩hb−ai = {0}
ist, und eine erneute Anwendung der Dimensionsformel für Teilräume ergibt
dim R = dim((U + W ) + hb − ai) = dim(U + W ) + dimhb − ai − dim((U + W ) ∩ hb − ai)
= dim(U + W ) + 1 = dim U + dim W + 1.
Insgesamt ist damit
dim(A ∩ B) + dim(AB) = dim R − 1 = dim U + dim W = dim A + dim B.
Damit ist die affine Dimensionsformel in beiden Fällen bewiesen.
Angenommen wir wollen wissen was normalerweise der Durchschnitt zweier dreidimensionaler affiner Teilräume A, B des R5 ist. Im Regelfall ist AB = R5 und A ∩ B 6= ∅,
und die Dimensionsformel besagt damit dim(A ∩ B) = 2 · 3 − 5 = 1, d.h. zwei solche
Räume schneiden sich in normalerweise in einer Geraden. Dies ist natürlich kein Satz
da wir hier nicht definieren was in der Regel“ und normalerweise“ bedeuten sollen.
”
”
Die affine Dimensionsformel ist tatsächlich falsch wenn zwar A ∩ B = ∅ ist aber A, B
nicht windschief sind. Sind beispielsweise A, B zwei verschiedene, parallele Geraden im
R3 , so ist AB eine Ebene und dim(A ∩ B) + dim(AB) = 1 6= 2 = dim A + dim B.
Wir können unsere bisher erzielten Ergebnisse über lineare Gleichungssysteme jetzt
in der Sprache affiner Teilräume formulieren, und erhalten den folgenden Satz.
Satz 10.2 (Lösungsräume linearer Gleichungssysteme)
Seien K ∈ {R, C}, n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 und betrachte ein lineares Gleichungssystem
Ax = b aus m Gleichungen in n Unbekannten mit Koeffizientenmatrix A ∈ K m×n und
rechter Seite b ∈ K m . Weiter sei r die Anzahl von Null verschiedener Zeilen nach
Anwendung des Gaußsschen Eliminationsverfahrens auf A. Dann hat Ax = b entweder
keine Lösung oder die Menge L := {x ∈ K n |Ax = b} ist ein (n − r)-dimensionaler affiner Teilraum des K n , dessen Richtung die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen
linearen Gleichungssystems Ax = 0 ist.
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Beweis: Dies ist klar nach §7.Satz 3 und unseren Überlegungen zur Dimension des
Lösungsraums eines homogenen linearen Gleichungssystems in §9.3.
Umgekehrt ist jeder affine Teilraum des K n als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten darstellbar. Für den leeren affinen Teilraum ist dies klar,
wir betrachten also einen affinen Teilraum T ⊆ K n der Dimension m mit 0 ≤ m ≤ n.
Sei U ≤ K n die Richtung von T und wähle einen Aufpunkt a ∈ T . Nach §9.Lemma 10
existiert eine Basis v1 , . . . , vn des K n mit U = hv1 , . . . , vm i. Sei C die Transformationsmatrix von der kanonischen Basis e1 , . . . , en des K n zur Basis v1 , . . . , vn . Ein Vektor
v ∈ K n liegt genau dann in U wenn die hinteren n − m Koordinaten von v bezüglich
der Basis v1 , . . . , vn gleich Null sind. Ist also A die aus den unteren m − n Zeilen von C
bestehende (n−m)×n Matrix über K, so ist U genau der Lösungsraum des homogenen
linearen Gleichungssystems Ax = 0. Verwenden wir dann b := Aa ∈ K n−m als rechte
Seite, so ist T genau der Lösungsraum von Ax = b.
Das beschriebene Verfahren ist effektiv leicht durchführbar. Wir nehmen an die
Richtung U des affinen Teilraums ist gegeben. Dann bestimmt man eine Basis v1 , . . . , vm
von U . Ist U beispielsweise durch ein Erzeugendensystem gegeben, so wissen wir das wir
nur linear abhängige Vektoren entfernen müssen bis eine Basis übrig bleibt. Im nächsten
Schritt muss v1 , . . . , vm dann zu einer Basis v1 , . . . , vn des K n ergänzt werden, und nach
dem Steinitzschen Austauschsatz §9.Lemma 5 wissen wir das wir hierbei mit Ergänzen
geeigneter der e1 , . . . , en auskommen. Die Übergangsmatrix von der Basis v1 , . . . , vn zur
kanonischen Basis e1 , . . . , en ist dann einfach die Matrix C deren Spalten die Vektoren
v1 , . . . , vn sind, und die gesuchte Übergangsmatrix von der Basis e1 , . . . , en zur Basis
v1 , . . . , vn ist die inverse Matrix C −1 .
Als ein konkretes Beispiel betrachten wir den zweidimensionalen affinen Teilraum



 

1
1
0 +
*
 −1 

 

 +  2 , 1 
T =
 0 
 −1   2 
1
1
−2
des R4 . Richtung und Aufpunkt sind hier direkt angegeben. Wegen
1
0
1
0
2
1
0
2
2
1 0 0 1 2 1 = −
= −1
= 5 6= 0
−1
2 0 1 1 −2 1 −2 0
1 −2 0 0 ist v1 , v2 , e1 , e3 eine Basis des R4 wobei v1 , v2 die beiden Erzeuger der Richtung von T
sind. Die gesuchte Übergangsmatrix erhalten wir durch Invertieren

−1


1
0 1 0
0
2 0
1
 2

1 0 0 
1 0 −2 

 = 1 0
.
 −1
2 0 1 
5  5 −2 0 −1 
1 −2 0 0
0
0 5
5
268
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
Die Koeffizientenmatrix unseres linearen Gleichungssystems besteht aus den unteren
beiden Zeilen dieser Matrix, also
1 5 −2 0 −1
A=
0 5
5
5 0
und die rechte Seite ist

1
 −1  1 6

·
 0 = 5 5 .
1

b=
1
5
5 −2 0 −1
0
0 5
5
Multiplizieren wir noch die erste Gleichung mit 5, so ergibt sich das lineare Gleichungssystem
5x − 2y
− v=6
u + v=1
dessen Lösungsmenge genau der affine Teilraum T ist.
10.2
Lineare Abbildungen und Matrizen
Wir wollen jetzt alle linearen Abbildungen f : K n → K m explizit bestimmen. Sei
A ∈ K m×n eine m × n Matrix über K. Für jeden Spaltenvektor x ∈ K n können wir
dann das Produkt Ax ∈ K m bilden, und erhalten auf diese Weise eine Abbildung
fA : K n → K m ; x 7→ Ax.
Diese Abbildung ist linear, denn sind x, y ∈ K n und λ ∈ K so haben wir nach den
Rechenregeln der Matrixmultiplikation
fA (x+y) = A·(x+y) = Ax+Ay = fA (x)+fA (y) und fA (λx) = A·λx = λ·Ax = λfA (x).
Damit gehört zu jeder m × n Matrix A über K eine lineare Abbildung fA : K n → K m .
Umgekehrt hat überhaupt jede lineare Abbildung f : K n → K m diese Form. Sei
nämlich f : K n → K m eine lineare Abbildung. Für jedes 1 ≤ i ≤ n schreiben wir dann


a1i


f (ei ) =  ...  ∈ K m
ami
und bilden die m × n Matrix


a11 · · · a1n

..  ,
...
A :=  ...
. 
am1 · · · amn
269
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
deren Spalten die Vektoren f (e1 ), . . . , f (en ) sind. Für jedes x ∈ K n rechnen wir dann
f (x) = f (x1 e1 + · · · + xn en ) = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (xn )


 


a11 x1 + · · · + a1n xn
a1n
a11


 


..
= x1 ·  ...  + · · · + xn ·  ...  = 

.
am1 x1 + · · · + amn xn
amn
am1
= Ax = fA (x),
d.h. wir haben f = fA . Damit kann überhaupt jede lineare Abbildung f : K n →
K m durch eine m × n Matrix beschrieben werden, und zwar so, dass die Spalten der
Matrix genau die Bilder der kanonischen Basisvektoren e1 , . . . , en sind. Umgekehrt ist
fA (ei ) = Aei für jedes 1 ≤ i ≤ n gerade die i-te Spalte von A, wir haben also eine
bijektive Entsprechung
Lineare Abbildungen f : K n → K m = m × n-Matrizen über K.
Wir wollen die nebenstehend gezeigten Beispiele linearer Abbildungen R2 → R2 behandeln. Dabei
ist jeweils abgebildet wie die lineare Abbildung auf
die links unten stehende Figur wirkt. Wir beginnen
mit den Skalierungen, bei diesen werden x- und yAchse mit Faktoren a, b ∈ R gestreckt. Ist dabei a
oder b negativ, so treten auch noch Spiegelungen an
den Koordinatenachsen auf. Um die Matrix dieser
linearen Abbildung zu sehen, müssen wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren e1 , e2 als Spalten verwenden. Dabei liegt e1 auf der x-Achse, wird
also um den Faktor a gestreckt und hat das Bild
ae1 . Für e2 ergibt sich analog das Bild be2 , und wir
erhalten die Matrix
a
Sa,b =
.
b
Wir kommen zu den Scherungen längs der xAchse. Diese lassen jede zur x-Achse parallele Gerade fest, und bewirken auf diesen eine Verschiebung
um einen zur Höhe y proportionalen Wert. Die Proportionalitätskonstante sei dabei t ∈ R. Auf der xAchse selbst ist die Höhe 0 und es liegt überhaupt
keine Verschiebung vor, d.h. e1 wird auf e1 abgebildet. Dagegen liegt e2 in der Höhe 1, wird also um
t in x-Richtung verschoben und somit auf te1 + e2
abgebildet. Die Scherungsmatrix ist damit
1 t
St =
.
1
270
Phy I
Phy I
Skaliert
Scherung
y
Ph
Phy I
Identisch
v2
I
Rotiert
e2
v1
e1
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 23.1.2017
Der letzte zu untersuchende Abbildungstyp ist die Drehung um den Nullpunkt mit dem
Winkel φ ∈ R. Dies ist eine lineare Abbildung, was klar ist wenn sie etwa an die Interpretation der Addition von Vektoren in einem Parallelogram denken. Zur Bestimmung
der Drehmatrix Dφ müssen wir uns wieder die Bilder der beiden Einheitsvektoren anschauen. Für das Bild von e1 erhalten wir das oben gezeigte rechtwinklige Dreieck mit
Hypothenuse 1 dessen Ankathete und Gegenkathete zum Winkel φ gerade die x- und
y-Koordinaten des Bildes von e1 sind, d.h. e1 wird auf cos(φ)e1 + sin(φ)e2 abgebildet.
Für das Bild von e2 liegt eine ähnliche Situation vor, nur das Ankathete und Gegenkathete diesmal die y- beziehungsweise die negative x-Koordinate des Bildes sind, das
Bild von e2 ist also − sin(φ)e1 + cos(φ)e2 . Insgesamt ergibt sich die Drehmatrix
cos φ − sin φ
Dφ =
.
sin φ
cos φ
Kommen wir zur allgemeinen Situation der Gleichheit von Matrizen und linearen Abbildungen K n → K m zurück. Im Lichte dieser Korrespondenz ist es dann natürlich zu
fragen wie sich Eigenschaften der linearen Abbildung in Eigenschaften der zugehörigen
Matrix übersetzen. Wir wollen einige dieser Entsprechungen kurz durchgehen.
1. Sind A, B ∈ K m×n zwei m × n-Matrizen über K, so können wir ihre Summe
A + B bilden. Die zugehörige lineare Abbildung ist für x ∈ K n gegeben als
fA+B (x) = (A + B) · x = Ax + Bx = fA (x) + fB (x),
also ist fA+B = fA + fB die Summe der zugehörigen linearen Abbildungen. Entsprechend ergibt sich für jeden Skalar λ ∈ K auch fλA = λfA .
2. Nun sei zusätzlich r ≥ 1 und betrachte Matrizen A ∈ K m×n und B ∈ K n×r .
Dann können wir das Produkt AB dieser beiden Matrizen bilden, und erhalten
eine m × r-Matrix. Für die zugehörige lineare Abbildung rechnen wir
fAB (x) = (AB)x = A(Bx) = fA (fB (x))
für jedes x ∈ K n , es ist also fAB = fA ◦ fB die Hintereinanderausführung der
zugehörigen linearen Abbildungen. Dies zeigt
Hintereinanderausführung linearer Abbildungen = Multiplikation von Matrizen.
Tatsächlich ist diese Beobachtung der Grund dafür das die Multiplikation von
Matrizen überhaupt so definiert wird, wie wir sie definiert haben.
3. Zur Einheitsmatrix gehört offenbar die identische Abbildung idK n . Kombinieren
wir dies mit der Kennzeichnung der Bijektivität gemäß §2.Lemma 3 so folgt für
eine quadratische Matrix A ∈ K n×n
fA ist Isomorphismus ⇐⇒ A ist invertierbar
und in diesem Fall gilt dann fA−1 = fA−1 .
271
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
4. Sei A ∈ K m×n . Was sind dann Kern und Bild der linearen Abbildung fA ? Für
das Bild erhalten wir mit §9.Lemma 9.(c)
Bild(fA ) = hfA (e1 ), . . . , fA (en )i = hAe1 , . . . , Aen i,
d.h. das Bild von fA ist der von den Spalten von A aufgespannte Untervektorraum des K m . Kombinieren wir dies mit der Tatsache §9.Satz 6.(b) das wir jedes
Erzeugendensystem zu einer Basis ausdünnen können, so folgt
dim Bild(fA ) = Dimension des Aufspanns der Spalten von A
= Maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A.
Auch den Kern können wir mit bekannten Objekten in Zusammenhang bringen.
Der Kern von fA ist die Menge aller x ∈ K n mit fA (x) = 0, also aller x ∈ K n
mit Ax = 0. Dies bedeutet
Kern(fA ) = Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0.
Auch die Dimension des Kerns können wir damit berechnen. Führen wir das
Gaußsche Eliminationsverfahren mit der Matrix A durch und bezeichnen die
Anzahl der am Ende übrig bleibenden, von Null verschiedenen, Zeilen wieder
mit r, so wissen wir schon dass der Lösungsraum von Ax = 0 die Dimension
n − r hat. Damit ist auch
dim Kern(fA ) = n − r.
Vorlesung 23, Freitag 27.1.2017
In der letzten Sitzung haben wir gesehen, dass lineare Abbildungen f : K n → K m
im wesentlichen dasselbe wie m × n Matrizen A ∈ K m×n sind. Wir hatten auch Eigenschaften linearer Abbildungen in die Sprache der Matrizen übersetzt. Insbesondere
hatten wir gesehen, dass die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix A genau gleich der Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung ist.
Dies legt die folgende Definition des Rangs einer Matrix nahe.
Definition 10.2 (Der Rang einer Matrix)
Sei K ∈ {R, C} und sei A ∈ K m×n eine Matrix über K. Dann heißt die Zahl
rang(A) := dim Bild(fA )
der Rang der Matrix A.
272
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
Es stellt sich jetzt heraus, dass wir den Rang einer Matrix bereits ausrechnen können
und zwar wieder einmal mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Geht es uns dabei nur um die Berechnung des Ranges, so können wir während der Elimination auch
Spaltenumformungen verwenden, wenn diese die Rechnung vereinfachen. All diese Tatsachen sind Konsequenzen des folgenden Satzes über den Rang einer Matrix.
Satz 10.3 (Grundeigenschaften des Rangs)
Seien K ∈ {R, C}, n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 und A ∈ K m×n eine m × n-Matrix über K.
Dann gelten
(a) Es ist rang(At ) = rang(A).
(b) Der Rang von A ist gleich der Dimension des Aufspanns der Spalten von A und
auch gleich der Dimension des Aufspanns der Zeilen von A.
(c) Der Rang von A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A und
auch gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A.
(d) Geht A0 aus A durch eine elementare Zeilenumformung oder durch eine elementare
Spaltenumformung hervor, so ist rang(A0 ) = rang(A).
(e) Verbleiben nach Ausführung des Gaußschen Eliminationsverfahrens mit der Matrix
A genau r von Null verschiedene Zeilen, so ist rang(A) = r.
Beweis: Nach dem obigen Punkt (4) wissen wir bereits, dass der Rang von A sowohl
gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von A als auch gleich der
Dimension des von den Spalten von A aufgespannten Teilraums des K m ist. Wir wollen nun einsehen das sich der Rang von A bei elementaren Spaltenumformungen nicht
ändert. Um dies zu begründen müssen wir die drei verschiedenen Sorten von Spaltenumformungen durchgehen.
1. Die erste Spaltenoperation ist das Vertauschen zweier Spalten von A, und hierbei
ändert sich der Aufspann der Spalten nicht.
2. Die zweite Spaltenoperation ist die Multiplikation einer Spalte mit einem von
Null verschiedenen Skalar 0 6= c ∈ K. Auch dies ändert den Aufspann der Spalten
nicht.
3. Als die letzten Spaltenoperation haben wir die Addition eines Vielfachen der iten Spalte zur j-ten Spalte. Sind v1 , . . . , vn die Spalten von A, so sind die Spalten
der neuen Matrix
v1 , . . . , vj−1 , vj + λvi , vj+1 , . . . , vn
mit einem λ ∈ K. Wegen vj = (vj + λvi ) − λvi spannen diese Vektoren nach
§9.Lemma 2.(b) denselben Teilraum des K m auf wie die Vektoren v1 , . . . , vn . Der
von den Spalten der Matrix erzeugte Teilraum ändert sich also auch in diesem
Fall nicht.
273
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
In allen drei Fällen hat sich der Aufspann der Spalten nicht geändert, und damit bleibt
auch seine Dimension, d.h. der Rang der Matrix, erhalten.
Nun bezeichne r die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen nach Durchführung
des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Mit der Dimensionsformel für lineare Abbildungen §9.Satz 11 erhalten wir dann
n = dim K n = dim Bild(fA ) + dim Kern(fA ) = rang(A) + n − r =⇒ rang(A) = r.
Damit ist Aussage (e) bewiesen, und da wir aus §9.3 bereits wissen das sich die Zahl
r bei Anwendung elementarer Zeilenumformungen auf A nicht ändert, bleibt auch der
Rang von A bei elementaren Zeilenumformungen erhalten, d.h. Aussage (d) ist bewiesen. Genau wie bei den Spaltenumformungen ändert sich die Dimension s des von Zeilen
von A erzeugten Teilraums nicht bei Anwendung elementarer Zeilenumformungen, insbesondere ist diese Zahl gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen in
der aus dem Gaußschen Eliminationsverfahren aus A gewonnenen Matrix A0 in Stufenform. Die r von Null verschiedenen Zeilen in A0 sind aber linear unabhängig, also
ist s = r = rang(A). Damit haben wir auch die Aussagen (b) und (c) vollständig
eingesehen. Aussage (a) ist klar nach (c).
Insbesondere impliziert der Satz, dass wir bei gegebenen Vektoren v1 , . . . , vn im K m
mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren entscheiden können ob die Vektoren linear
unabhängig, ein Erzeugendensystem oder eine Basis sind. Für alle drei Aufgaben wird
dasselbe Rechenverfahren verwendet, wir bilden die m × n Matrix A deren Spalten
die Vektoren v1 , . . . , vn sind und führen mit ihr das Gaußsche Eliminationsverfahren
durch. An der Zahl r = rang(A) der von Null verschiedenen Zeilen nach Abschluß der
Elimination lassen sich alle Fragen entscheiden:
Aufgabe
Sind v1 , . . . , vn linear unabhängig?
Sind v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem des K m ?
Ist v1 , . . . , vn eine Basis des K m ?
Kriterium
r=n
r=m
m=n=r
Für eine quadratische n × n Matrix A ∈ K n×n betrachten wir die zugehörige lineare
Abbildung fA : K n → K n . Wir wissen bereits, dass die Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn die lineare Abbildung fA ein Isomorphismus ist, und letzteres ist nach
§9.Korollar 13 zur Surjektivität von fA äquivalent. Weiter ist nach §9.Lemma 10 auch
genau dann Bild(fA ) = K n wenn rang(A) = dim Bild(fA ) = n ist, d.h.
A ∈ K n×n ist invertierbar ⇐⇒ rang(A) = n.
Kombinieren wir diese Beobachtung mit der Beschreibung der Invertierbarkeit einer
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Matrix über ihre Determinante §8.Korollar 12, so folgt weiter
det A 6= 0 ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Die
Die
Die
Die
Spalten von A sind linear unabhängig
Spalten von A sind eine Basis des K n
Zeilen von A sind linear unabhängig
Zeilen von A sind eine Basis des K n
Schließlich können wir auch den Satz 2 in Termen des Rangs einer Matrix umformulieren.
Satz 10.4 (Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme)
Seien K ∈ {R, C} und Ax = b ein lineares Gleichungsystem in m Gleichungen und
n Unbekannten mit Koeffizentenmatrix A ∈ K m×n und rechter Seite b ∈ K m . Dann
ist Ax = b genau dann lösbar wenn der Rang von A gleich dem Rang der erweiterten
Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems ist, also
Ax = b lösbar ⇐⇒ rang(A|b) = rang(A).
In diesem Fall ist der Lösungsraum L := {x ∈ K n |Ax = b} ein affiner Teilraum des
K n mit
dim L = n − rang(A).
Beweis: Bezeichne B die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems
Ax = b, also B = (A|b). Führen wir das Gaußsche Eliminationsverfahren durch, so
entstehe aus B die Matrix B 0 = (A0 |b0 ). Sind r die Anzahl von Null verschiedener
Zeilen in A0 und s die Anzahl von Null verschiedener Zeilen in B 0 , so ist nach Satz 3.(e)
auch rang(A) = r und rang(B) = s. Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau
dann lösbar wenn auch die rechte Seite jeder Nullzeile in A0 gleich Null ist, wenn also
b0i = 0 für jedes r < i ≤ m gilt. Letzteres bedeutet das A0 und B 0 dieselben von Null
verschiedenen Zeilen haben, dass also r = s ist. Damit ist die erste Aussage des Satzes
bewiesen, und die zweite folgt aus Satz 2.
10.3
Linearformen und das Skalarprodukt
Unter einer Linearform auf dem K n verstehen wir eine lineare Abbildung
f : K n → K.
Dies ist der Fall m = 1 im vorigen Abschnitt, d.h. die Linearformen sind die 1 × nMatrizen, beziehungsweise die Zeilenvektoren. Definieren wir also für Vektoren u, v ∈
275
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
K n das Skalarprodukt

v1


hu|vi := ut v = (u1 . . . un ) ·  ...  = u1 v1 + · · · + un vn ,
vn

so haben alle Linearformen f : K n → K die Gestalt
f = fu : K n → K; x 7→ hu|xi
für ein geeignetes u ∈ K n . Es gibt eine Vielzahl alternativer Schreibweisen für das
Skalarprodukt, einige häufiger anzutreffende Schreibweisen sind
hu|vi = u · v = (u, v) = (u|v) = hu, vi.
Nennen wir zwei Vektoren u, v ∈ K n senkrecht aufeinander, geschrieben als u ⊥ v,
wenn hu|vi = 0 ist, so haben wir
Kern(fu ) = u⊥ := {v ∈ K n |u ⊥ v}.
Das ist alles sowohl im Fall K = R als auch im Fall K = C wahr, allerdings verhält sich
das Senkrechtstehen im komplexen Fall ein wenig merkwürdig. Ist etwa u der Vektor
1
u :=
∈ C2 ,
i
so haben wir hu|ui = 12 + i2 = 0, der Vektor u 6= 0 steht also auf sich selbst senkrecht. Da wir so etwas nicht betrachten wollen, beschränken wir uns im Rest dieses
Abschnitts auf den reellen Fall K = R. Tatsächlich verwendet man im komplexen Fall
normalerweise ein leicht modifiziertes, sogenanntes hermitesches, Skalarprodukt, das
wir in diesem Semester aber nicht behandeln wollen.
Wir kommen nun zur geometrischen Bedeutung des Skalarprodukts. Die Länge eines
Spaltenvektors u ∈ Rn definieren wir als die Zahl
p
||u|| := |u| := hu|ui.
p
Die Bezeichnung Länge von u“ für ||u|| = hu|ui bedarf natürlich noch einer Be”
gründung. Diese wollen wir hier für n = 2 vorführen, der allgemeine Fall folgt hieraus,
da jeder Vektor im Rn in einem zweidimensionalen Teilraum, also in einem R2 , liegt.
Dies ist zumindest für n ≥ 2 so, aber für den Fall n = 1 ist sowieso nichts zu zeigen.
Gegeben sei ein Vektor
u
u=
x
y
∈ R2
l
0
276
x
y
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
und betrachte das nebenstehende rechtwinklige Dreieck. Die Komponenten x, y, beziehungsweise eigentlich ihre Beträge, sind dann die beiden Kathetenlängen im diesem
Dreieck. Nach dem Satz von Pythagoras addieren sich ihre Quadrate damit zum Quadrat l2 der Länge der Hypotenuse des Dreiecks. Aber diese wird gerade vom
p Vektor
u gebildet, ihre Länge ist also gerade die Länge
des
Vektors
u,
d.h.
l
=
x2 + y 2 .
p
p
Andererseits ist aber auch hu|ui = x2 + y 2 , d.h. hu|ui = x2 + y 2 ist tatsächlich die
Länge von u.
Wir wollen jetzt die übliche geometrische Interpretation des Skalarprodukts herleiten. Hierzu ist es sehr nützlich zunächst zu zeigen, daß unser oben definiertes Senkrechtstehen genau das übliche geometrische Senkrechtstehen ist. Auch dies wollen wir
wieder im ebenen Fall n = 2 nachweisen, da auch je zwei Vektoren in einer Ebene liegen
folgt hieraus wieder der allgemeine Fall. Gegeben seien also zwei Vektoren
0 x
x
u=
,v=
,
y
y0
deren Skalarprodukt sich als hu|vi = xx0 + yy 0 ergibt. Wir können uns auf den Fall
u 6= 0 beschränken. Dass u und v senkrecht aufeinander stehen, bedeutet das v ein
Vielfaches des um π/2 (also 90◦ ) gedrehten Vektors u ist, der wie im vorigen Abschnitt
gesehen als
cos π2 − sin π2
x
0 −1
x
−y
0
u =
·
=
·
=
sin π2
cos π2
y
1
0
y
x
gegeben ist, also als Anwendung der Drehmatrix zum Winkel φ = π/2 auf u. Dass
u und v senkrecht aufeinander stehen bedeutet nun also das v ein Vielfaches dieses
Vektors ist, also x0 = −cy, y 0 = cx für eine reelle Zahl c, und damit xx0 + yy 0 = 0.
Die Rückrichtung folgt dann ebenso. Damit ist das Senkrechtstehen wirklich genau das
geometrischen Senkrechtstehen.
Diese kleine geometrische Tatsache läßt sich nun leicht zur geometrischen Beschreibung des allgemeinen Skalarprodukts erweitern. Wieder können wir uns auf den ebenen
Fall n = 2 beschränken. Gegeben seien also wieder zwei Vektoren u und v im R2 .
Wir betrachten dann den von u und v eingev
schlossenen Winkel φ. Weiter fällen wir das Lot von
v auf die Gerade durch 0 und u. Der Lotfußpunkt
werde mit p bezeichnet, und den Vektor von p nach
w
v nennen wir w, d.h. es ist v = p + w wobei u und
w senkrecht aufeinander stehen. Wie bereits gezeigt
u
ist damit hu|wi = 0. Weiter ist p ein Vielfaches von
u, wir können also p = λu mit einer reellen Zahl
p
λ ∈ R schreiben. Im obigen Bild ist der Winkel φ 0
kleiner als π/2, und damit liegt p auf derselben Seite wie u und wir haben λ ≥ 0. Ist φ größer als π/2, so liegt p links von 0 und es wird
λ < 0, aber diesen Fall wollen wir nicht gesondert ausführen da er zu keinem anderen
277
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
Ergebnis führt. Es ist v = p + w = λu + w und wir rechnen
hu|vi = hu|λu + wi = λhu|ui + hu|wi = λ||u||2 .
Dabei haben wir die aus der Definition des Skalarprodukts offensichtlichen Formeln
hx|y+zi = hx|yi+hx|zi, hx|λyi = λhx|yi verwendet. Um nun den Winkel φ ins Geschäft
zu bringen betrachten wir noch das von 0, p und v gebildete rechtwinklige Dreieck. Die
Ankathete bezüglich des Winkels φ hat in diesem Dreieck die Länge ||p|| = λ||u||,
und die Hypotenuse wird vom Vektor v gebildet, hat also die Länge ||v||. Also ist
cos φ = λ||u||/||v||. Damit rechnen wir nun
||u|| · ||v|| · cos φ = ||u|| · ||v|| ·
λ||u||
= λ||u||2 = hu|vi.
||v||
Diese Formel ist die übliche geometrische Beschreibung des Skalarprodukts als
hu|vi = Produkt der Längen mal Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
Streng genommen haben wir einen Winkel“ gar nicht definiert, und tatsächlich wird
”
in der Mathematik die Formel hu|vi = ||u|| · ||v|| · cos φ oft als Definition des Winkels
φ zwischen den Vektoren u und v interpretiert. Wir wollen noch ein weiteres Ergebnis
der eben durchgeführten Überlegung festhalten. Den oben verwendeten Lotfußpunkt p
nennt man auch die Projektion des Vektors v in Richtung von u, oder auf u. Unsere
obige Formel besagt dann
p = λu =
hu|vi
|hu|vi|
·
u
und
||p||
=
λ
·
||u||
=
.
||u||2
||u||
Insbesondere ist damit
hp|ui =
hu|vi
· hu|ui = hu|vi.
||u||2
Diese Beobachtungen bilden auch die Grundlage für die Bedeutung des Skalarprodukts
in der Mechanik. Dort treten Vektoren beispielsweise bei der Beschreibung wirkender
Kräfte auf. Denken wir uns, dass der Vektor v eine Kraft beschreibt, so interessiert man
sich hier für den in Richtung von u wirkenden Teil der Kraft. Um diesen zu ermitteln
zerlegt man v in einen zu u parallelen und einen zu u senkrechten Teil, und dies ist
gerade unsere oben verwendet Zerlegung v = p + w. Der in Richtung u wirkende Teil
der Kraft ist dann also p = λu = (hu|vi/||u||2 )u. In der Regel wird die Richtung dann
durch einen Einheitsvektor beschrieben, d.h. wir haben ||u|| = 1 und somit p = hu|viu.
Der Betrag der in Richtung u wirkenden Kraft ist dann ||p|| = |hu|vi|.
In §8 hatten wir bemerkt, dass die Determinante, beziehungsweise ihr Betrag, das
Volumen des von den Spalten der Determinante aufgespannten Parallelepipeds angibt.
An dieser Stellen wollen wir dies für den ebenen Fall n = 2 auch einmal nachweisen.
Hierzu betrachten wir die Fläche F des durch u und v gegebenen Parallelogramms:
278
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
v
w
u
p
0
Dann haben wir F = ||u|| · ||w||, da wir etwa das rechts abgetrennte Teildreieck links
wieder anhängen können und ein Rechteck mit den Seitenlängen ||u|| und ||w|| erhalten.
Betrachten wir erneut unser rechtwinkliges Dreieck von oben, so können wir aus diesem
die Länge ||w|| als ||w|| = ||v|| sin φ gewinnen, und somit wird die Fläche des von u
und v aufgespannten Parallelogramms zu
F = ||u|| · ||w|| = ||u|| · ||v|| · sin φ.
Dabei betrachten wir hier den Fall, dass u und v sich wie im obigen Bild verhalten,
der Punkt v also oberhalb von u liegt und der Winkel φ von u nach v kleiner als π ist,
denn dann ist sin φ > 0. Quadrieren wir die Gleichung, so wird
F 2 = (||u|| · ||w||)2 = ||u||2 ||v||2 sin2 φ = ||u||2 ||v||2 (1 − cos2 φ) = ||u||2 ||v||2 − hu|vi2 .
Setzen wir hier u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ein, so wird dieser Ausdruck zu
F 2 = (u21 + u22 ) · (v12 + v22 ) − (u1 v1 + u2 v2 )2
= u21 v12 + u21 v22 + u22 v12 + u22 v22 − u21 v12 − u22 v22 − 2u1 u2 v1 v2
=
u21 v22
+
u22 v12
u1 v 1 2
,
− 2u1 u2 v1 v2 = (u1 v2 − u2 v1 ) = u2 v 2 2
d.h. es ist tatsächlich F = | det(u, v)|. Auch das Vorzeichen der Determinante det(u, v)
hat eine geometrische Bedeutung. Um diese zu sehen betrachten wir die beiden möglichen Konstellationen von u und v
v
0
u
0
Positive Basis, det(u,v) > 0 u
Negative Basis, det(u,v) < 0
v
279
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Wir drehen den Vektor u, beziehungsweise genauer die von ihm erzeugte Halbgerade,
gegen den Uhrzeigersinn zum Vektor v. Im linken Bild ist der dabei auftretende Drehwinkel φ kleiner als π, und wir nennen die Basis u, v positiv. Im rechten Bild ist der
Winkel φ größer als π und wir haben eine negative Basis. Welcher der beiden Fälle
vorliegt läßt sich an der Determinante det(u, v) ablesen, ist diese positiv, so ist die
Basis positiv, und ist sie negativ, so ist die Basis negativ.
Als ein Beispiel zur Verwendung des Skalarprodukts wollen wir die sogenannte
Hessesche Normalform einer Hyperebene im Rn herleiten. Eine Hyperebene h im Rn
ist ein m = n − 1 dimensionaler affiner Teilraum des Rn . Wir wir im ersten Abschnitt
gesehen haben, können wir h als die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
in n Unbekannten mit n − m = 1 Gleichungen beschreiben, d.h. es gibt einen Vektor
u0 ∈ Rn und eine rechte Seite b ∈ Rn−m = R mit





x
1


 .. 
0
n 0
h =  .  ∈ R u1 x1 + · · · + un xn = b = {x ∈ Rn |hu0 |xi = b}.



 x
n
Indem wir eventuell u0 durch −u0 ersetzen können wir dabei auch b ≥ 0 annehmen. Da
h weder die leere Menge noch der ganze Rn ist, muss u0 6= 0 sein. Wir können also den
Einheitsvektor
u0
b
u := 0 der Länge 1 und c := 0 ∈ R≥0
||u ||
||u ||
bilden und haben
h = {x ∈ Rn |hu|xi = c}.
Diese Beschreibung ist die sogenannte Hessesche Normalform der Hyperebene h. Der
Vektor u steht dabei senkrecht auf der Richtung H ≤ Rn von h. Wähle nämlich einen
Punkt p ∈ h. Für jeden Vektor v ∈ H ist dann auch p + v ∈ h und wir haben
c = hu|p + vi = hu|pi + hu|vi = c + hu|vi =⇒ hu|vi = 0.
Hieraus sehen wir insbesondere, dass der Vektor u bis auf ein Vorzeichen eindeutig bestimmt ist, es ist der sogenannte Normalenvektor auf der Richtung H von h. Auch die
Zahl c hat eine geometrische Bedeutung, sie ist gerade gleich dem Abstand der Hyperebene h zum Nullpunkt. Dies wollen wir an dieser Stelle aber nicht mehr begründen.
Ist die Hyperebene h als h = u+hv1 , . . . , vn−1 i gegeben und soll ihre Hessesche Normalform berechnet werden, so kann man sich zunächst wie in Aufgabe (38) einen Vektor
u0 ∈ Rn mit H := hv1 , . . . , vn−1 i = {x ∈ Rn |hu0 |xi = 0} verschaffen. Setzt man dann
b := hu0 |ui, so wird h = {x ∈ Rn |hu0 |xi = b} und wir müssen nur noch die oben
beschriebene Normierung durchführen.
10.4
Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt ist ein spezifisch dreidimensionales Phänomen, es ordnet zwei Vektoren u, v ∈ R3 einen weiteren Vektor u × v ∈ R3 zu, genannt das Vektorprodukt oder
280
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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auch das Kreuzprodukt von u und v. Wie für das bereits behandelte Skalarprodukt
gibt es zwei mögliche Arten das Vektorprodukt einzuführen, eine algebraische und eine
mehr geometrische Methode. Wir werden die algebraische Form als Definition verwenden, wollen aber erst mal die geometrische Beschreibung des Vektorprodukts angeben.
Zunächst soll u × v senkrecht auf u und auf v stehen. Sind insbesondere u und v linear
unabhängig, so wird u × v senkrecht auf der von u und v aufgespannten Ebene sein.
Hierdurch ist das Vektorprodukt aber noch nicht festgelegt, die auf u und v senkrechten Vektoren bilden einen eindimensionalen Teilraum des R3 , zumindest wenn u und v
linear unabhängig sind.
Als nächste Einschränkung soll die Länge des Vektorprodukts gerade die Fläche
des von u und v aufgespannten Parallelograms sein. Dadurch ist das Vektorprodukt
fast vollständig festgelegt, es gibt gerade zwei auf u, v senkrechte Vektoren einer vorgeschriebenen Länge. Welcher dieser beiden Vektoren als Vektorprodukt verwendet wird,
ist durch die dritte Eigenschaft des Vektorprodukts festgelegt, die drei Vektoren u, v
und u × v sollen eine positive Basis des R3 bilden, also eine deren Determinante positiv ist. Dies beschreibt zumindest den Fall wenn u und v linear unabhängig sind,
andernfalls wird einfach u × v = 0 sein.
Wie im zweidimensionalen Fall läßt sich auch wieder sagen was die Positivität einer
Basis geometrisch bedeutet. Eine Basis u, v, w des R3 ist positiv, wenn sie ein Rechtssystem bildet, also wie die x-, y- und z-Achse im R3 angeordnet ist. Eine populäre andere
Formulierung dieser Bedingung ist die Rechte Hand Regel“. Halten Sie den Daumen
”
der rechten Hand in Richtung des ersten Basisvektors u, und den Finger daneben in
Richtung des zweiten Basisvektors v, so richtet sich der Mittelfinger in Richtung des
dritten Basisvektors w aus. Algebraisch erkennt man dies, wie bereits bemerkt, einfach daran das det(u, v, w) > 0 ist. Wir kommen nun zur algebraischen Definition
des Vektorprodukts, und werden dann im folgenden nachweisen, dass diese Definition
tatsächlich die obige geometrische Beschreibung verwirklicht.
Definition 10.3: Seien u, v ∈ R3 . Das Vektorprodukt von u und v ist dann der Vektor
u1 v1 e1 u × v := u2 v2 e2 ∈ R3 .
u3 v3 e3 Dabei stehen e1 , e2 , e3 wieder für die drei kanonischen Basisvektoren des R3 .
Eine etwas direktere Beschreibung des Vektorprodukts u × v erhalten wir, indem wir
die obige Determinante nach der dritten Spalte entwickeln. Das Vektorprodukt wird
dann zu
u1 v1 e1 u1 v 1 u1 v 1 u2 v 2 ·e −
·e +
·e
u × v = u2 v2 e2 = u3 v 3 1 u3 v 3 2 u2 v 2 3
u3 v3 e3 281
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
und in Komponenten ausgeschrieben
 u2
 u3

  u1
u×v =
 − u3

  u1
u2
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ergibt sich

v2 v3 
 


u2 v 3 − u3 v 2

v1  
u3 v 1 − u1 v 3  .
=
v3 

u1 v 2 − u2 v 1


v1 v2 Insbesondere ist das tatsächliche Berechnen von Kreuzprodukten einfach möglich

 
 
 

1
3
2 − 10
−8
 −1  ×  5  =  −(−2 − 6)  =  8  .
2
−2
5+3
8
Einige der algebraischen Grundeigenschaften des Vektorprodukts folgen sofort aus der
algebraischen Definition. Da eine Determinante genau dann Null ist, wenn ihre Spalten
linear abhängig sind, erhalten wir
u × v = 0 ⇐⇒ u und v sind linear abhängig.
Vertauschen wir in einer Determinante zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen der
Determinante, also
u × v = −v × u.
Da die Determinante in jeder ihrer Spalten linear ist, haben wir ebenfalls
(u1 +u2 )×v = u1 ×v +u2 ×v, u×(v1 +v2 ) = u×v1 +u×v2 , λ·u×v = (λu)×v = u×(λv)
für u, v, u1 , u2 , v1 , v2 ∈ R3 , λ ∈ R. Wir wollen nun beginnen uns die eingangs gegebene
geometrische Beschreibung des Vektorprodukts herzuleiten. Es stellt sich als nützlich
heraus, zunächst einmal für u, v, w ∈ R3 die folgende Kombination von Skalarprodukt
und Vektorprodukt zu berechnen
u1 v1 w1 u2 v 2 u1 v 1 u1 v 1 w1 − w2 + w3 = u2 v2 w2 = det(u, v, w).
hu×v|wi = u3 v 3 u2 v 2 u3 v 3 u3 v3 w3 Man bezeichnet
hu × v|wi = det(u, v, w)
auch als das Spatprodukt der drei Vektoren u, v, w. Insbesondere haben wir nun
hu × v|ui = det(u, v, u) = 0
da die Determinante det(u, v, u) zwei identische Spalten hat. Ebenso ist hu × v|vi = 0.
Andererseits haben wir bereits eingesehen, dass hu × v|ui = 0 gerade bedeutet, dass
282
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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u × v senkrecht auf u steht, und ebenso steht dann u × v senkrecht auf v. Damit
haben wir die erste der obigen drei Bedingungen an das Vektorprodukt eingesehen.
Wir kommen nun zur Länge von u × v
2
||u × v||
u2 v 2 2 u1 v 1 2 u1 v 1 2
+
+
= u2 v 2 u3 v 3 u3 v 3 = (u2 v3 − u3 v2 )2 + (u1 v3 − u3 v1 )2 + (u1 v2 − u2 v1 )2
= u22 v32 + u23 v22 + u21 v32 + u23 v12 + u21 v22 + u22 v12
−2(u2 u3 v2 v3 + u1 u3 v1 v3 + u1 u2 v1 v2 )
2
= (u1 + u22 + u23 ) · (v12 + v22 + v32 ) − (u21 v12 + u22 v22 + u23 v32
+2(u2 u3 v2 v3 + u1 u3 v1 v3 + u1 u2 v1 v2 ))
2
= (u1 + u22 + u23 ) · (v12 + v22 + v32 ) − (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2
= ||u||2 ||v||2 − hu|vi2 .
Andererseits haben wir bereits bei der Diskussion des Skalarprodukts festgehalten, dass
||u||2 ||v||2 −hu|vi2 gerade das Quadrat der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelograms ist. Folglich ist die Länge ||u×v|| gerade die Fläche dieses Parallelograms. Es
verbleibt nur noch zu zeigen, dass u, v, u×v eine positive Basis des R3 ist, wenn u und v
linear unabhängig sind. Dies ist aber mit unserer obigen Formel hu×v|wi = det(u, v, w)
klar
det(u, v, u × v) = hu × v|u × vi = ||u × v||2 > 0.
Damit haben wir auch die geometrische Beschreibung des Vektorprodukts verifiziert.
Wir wollen uns nun noch über die geometrische Bedeutung des Spatprodukts klar
werden.
w
uxv
v
F
0
u
Wir wollen uns überlegen, dass hu × v|wi gerade das Volumen des von u, v, w aufgespannten Spats ist, wie im obigen Bild angedeutet. Beachte dazu, das sich das Volumen
einer Teilmenge des R3 unter Scherungen nicht ändert, das Volumen V des Spats ergibt sich also als das Produkt F · l, wobei F die Fläche des von u und v aufgespannten
283
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Parallelograms ist, und l die Länge der Projektion von w auf eine zu diesem Parallelogram senkrechte Gerade ist. Wie bereits gesehen steht das Vektorprodukt u × v
senkrecht auf u und v, also auch auf unserem Parallelogram. Wie bei der Diskussion
des Skalarprodukts gezeigt, ist die Länge der Projektion von w auf u × v gegeben als
l=
hu × v|wi
.
||u × v||
Andererseits haben wir auch bereits eingesehen, dass die Fläche F unseres Parallelograms gerade die Länge des Vektorprodukts u × v ist, d.h. wir haben
V = F · l = ||u × v|| ·
hu × v|wi
= hu × v|wi.
||u × v||
Das Spatprodukt ist also das Volumen unseres Spats versehen mit einem Vorzeichen.
Insbesondere ist dieses Volumen auch gleich V = hu × v|wi = det(u, v, w). Damit
haben wir die in §8 angemerkte Bedeutung der Determinante als Volumen auch für
n = 3 eingesehen. Das Vorzeichen des Spatprodukts zeigt wieder an, ob u, v, w eine
positive Basis bilden oder nicht, ist also positiv für ein Rechtssystem und negativ für
ein Linkssystem.
Die algebraischen Eigenschaften des Vektorprodukts sind ganz anders als diejenigen
der gewöhnlichen Multiplikation. Wir hatten beispielsweise schon gesehen, dass für alle
u, v ∈ R3 stets u × v = −v × u ist, und das u × v = 0 sein kann selbst wenn u, v 6= 0
beide nicht Null sind. Das Vektorprodukt ist auch nicht assoziativ, man kann also
nicht einfach Klammern weglassen. Zum Abschluß wollen wir noch zwei Formeln über
doppelte Vektorprodukte herleiten.
Satz 10.5 (Graßman- und Jacobi-Identität)
Seien u, v, w ∈ R3 . Dann gelten
u × (v × w) = hu|wiv − hu|viw
(Graßman Identität)
und
u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0
(Jacobi Identität).
Beweis: Wir zeigen zunächst, dass die Graßman Identität gilt wenn v und w linear
abhängig sind. Im Fall v = 0 sind dabei beide Seiten sofort gleich Null, und im Fall
v 6= 0 gibt es ein λ ∈ R mit w = λv und wir haben ebenfalls
hu|wiv − hu|viw = λhu|viv − hu|viλv = 0 = u × (v × w).
Zum Beweis der Graßman Identität im allgemeinen Fall beginnen wir mit dem Spezialfall
u × (u × v) = hu|viu − ||u||2 v.
284
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Da der linear abhängige Fall schon erledigt ist, können wir annehmen das u und v
linear unabhängig sind. Dann spannen u und v den zweidimensionalen Teilraum hu, vi
auf, und u × v steht senkrecht auf diesem, also ist
(u × v)⊥ = {x ∈ R3 |u × v ⊥ x} = hu, vi.
Da u × (u × v) senkrecht auf u × v ist, folgt u × (u × v) ∈ hu, vi, es gibt also α, β ∈ R
mit
u × (u × v) = αu + βv.
Wir haben
0 = hu|u × (u × v)i = α||u||2 + βhu|vi
und wegen
hu × (u × v)|vi = det(u, u × v, v) = − det(u, v, u × v) = −||u × v||2 = hu|vi2 − ||u||2 ||v||2
ist auch
hu|vi2 − ||u||2 ||v||2 = αhu|vi + β||v||2 .
Damit haben wir zwei Gleichungen für α und β. Die erste Gleichung liefert
α=−
hu|vi
β,
||u||2
und eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt dies
hu|vi2 − ||u||2 ||v||2 = β||v||2 −
hu|vi2
||u||2 ||v||2 − hu|vi2
β
=
β,
||u||2
||u||2
d.h.
β = −||u||2 und α = −
hu|vi
β = hu|vi.
||u||2
Insgesamt haben wir damit die zu beweisende Gleichung
u × (u × v) = αu + βv = hu|vi u − ||u||2 v.
Wir kommen jetzt zum Beweis der Graßman Identität im allgemeinen Fall. Wie schon
bemerkt können wir v und w als linear unabhängig annehmen. Dann ist v, w, v × w
eine Basis des R3 , wir können also
u = αv + βw + γ(v × w)
mit geeigneten α, β, γ ∈ R schreiben. Es folgen
hu|wi = α hv|wi + β||w||2 und hu|vi = α||v||2 + β hv|wi
285
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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und mit dem bereits bewiesenen Spezialfall der Graßman Identität ist damit
u × (v × w) = α v × (v × w) + β w × (v × w) + γ (v × w) × (v × w)
= α v × (v × w) − β w × (w × v) = α(hv|wiv − ||v||2 w) − β(hv|wiw − ||w||2 v)
= (αhv|wi + β||w||2 )v − (α||v||2 + βhv|wi)w = hu|wiv − hu|viw.
Damit ist die Graßman Identität bewiesen. Die Jacobi Identität ist eine Folgerung, wir
haben
u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v)
= hu|wiv − hu|viw + hu|viw − hv|wiu + hv|wiu − hu|wiv = 0.
$Id: stetig.tex,v 1.31 2017/02/03 13:56:29 hk Exp $
§11
Stetige Funktionen
In diesem Kapitel kommen wir zur Analysis zurück, und wollen den Stetigkeitsbegriff behandeln. Die Bedeutung des Wortes stetig“ hat sich in der Mathematik einige
”
Male geändert, noch im neunzehnten Jahrhundert waren damit Funktionen gemeint
die sich lokal als analytische Ausdrücke“ schreiben lassen, solche Funktionen nennt
”
man inzwischen holomorph. In der aktuell verwendeten Definition bedeutet stetig“ in
”
der Mathematik wesentlich weniger, stetige Funktionen können sich hochgradig irregulär verhalten. Beispielsweise gibt es stetige Funktionen f : R → R die in keinem
einzigen Punkt eine Ableitung besitzen. In gewissen Sinne sind diese sogar der Regelfall, man kann sagen was es bedeutet zufällig eine stetige Funktion zu wählen, und
dann ist die Wahrscheinlichkeit das eine zufällig gewählte stetige Funktion in auch nur
einen einzigen Punkt differenzierbar ist, gleich Null. Als Vorstufe zum Stetigkeitsbegriff benötigen wir die sogenannten Funktionsgrenzwerte“ die wir erst einmal in einem
”
eigenen Abschnitt behandeln wollen.
11.1
Funktionsgrenzwerte
In diesem Abschnitt wollen wir die sogenannten Funktionsgrenzwerte limx→x0 f (x)
einführen. Wie wir sehen werden, gibt es eine ganze Reihe verschiedener Varianten
dieses Begriffs, was die folgenden Definitionen komplizierter erscheinen läßt als sie
wirklich sind. Wir wollen sowohl Funktionen von R nach R, von R nach C, von C
286
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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nach R als auch von C nach C behandeln können. Dies sind für sich genommen schon
vier Fälle. Weiterhin wollen wir bei einem Grenzwert limx→a f (x) für reelle Argumente
auch a = ±∞ zulassen und bei reellen Werten auch ±∞ als Grenzwert erlauben. Dies
ergibt neun mögliche Kombinationen von ∈ R“, +∞“ und −∞“. Um die Fallunter”
”
”
scheidungen nicht allzu sehr ausufern zu lassen, erfassen wir alle möglichen Fälle von
Argument–Wert Kombinationen indem wir f : K → L schreiben und K, L stehen dabei
jeweils für R oder C. Im reellen Fall soll ±∞ erlaubt werden, und schon in §1 hatten
wir für solche Zwecke die erweiterten reellen Zahlen R = R ∪ {−∞, +∞} eingeführt.
Wenn wir nun bei f : K → L einfach K und L schreiben wollen, müssen wir sagen was
dies im komplexen Fall K = C oder L = C bedeuten soll, und zu diesem Zweck setzen
wir
C := C.
Wie schon im Kapitel §4 über Folgen angekündigt, werden wir all die Grenzwertbegriffe
für Funktionen auf die Konvergenz von Folgen zurückführen, hierzu brauchen wir aber
noch einen Hilfsbegriff, wenn ein Limes von f (x) für x gegen x0 irgendeinen Sinn haben
soll darf der Punkt x0 nicht allzu weit weg vom Definitionsbereich der Funktion f liegen,
haben wir zum Beispiel eine für x > 0 definierte Funktion f (x), so wird es sicher keinen
Sinn haben einen Grenzwert für x gegen −1 definieren zu wollen. Einen Grenzwert für x
gegen Null sollte es aber geben, obwohl x = 0 nicht im Definitionsbereich der Funktion
liegt. Dieses nicht allzu weit weg sein“ wird durch den Hilfsbegriff der Häufungspunkte
”
eine Menge exakt eingeführt.
Definition 11.1 (Häufungspunkte von Teilmengen von R und C)
Seien K ∈ {R, C} und M ⊆ K eine Teilmenge. Ein Punkt p ∈ K heißt ein Häufungspunkt von M , wenn es eine in K gegen p konvergente Folge in M \{p} gibt. Wir
schreiben
M 0 := {p ∈ K|p ist ein Häufungspunkt von M }
für die Menge aller Häufungspunkte von M in K.
Beachte das ±∞ zwar Häufungspunkte einer Menge M ⊆ R sein können, aber trotzdem nicht in die Menge M 0 aufgenommen werden. Machen sie sich außerdem klar
des es einen Unterschied zwischen den Häufungspunkten einer Folge (xn )n∈N und den
Häufungspunkten der Menge {xn |n ∈ N} gibt. Analog zu unserem Vorgehen bei Folgen
folgen für eine Menge M ⊆ R
+∞ ist Häufungspunkt von M ⇐⇒ M ist nach oben unbeschränkt,
−∞ ist Häufungspunkt von M ⇐⇒ M ist nach unten unbeschränkt.
Uns werden hauptsächlich zwei Beispieltypen interessieren:
1. Sind a, b ∈ R mit a < b und (a, b) ⊆ M ⊆ [a, b], so ist M 0 = [a, b], und entsprechendes gilt für unbeschränkte Intervalle. Um dies zu beweisen sei I ⊆ R ein
Intervall mit mindestens zwei Punkten. Sei x ∈ I oder sei x ∈ R ein Randpunkt
von I. Dann gibt es ein > 0 mit |x − y| > für jeden von x verschiedenen
287
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Randpunkt y von I. Da I ein Intervall mit mindestens zwei Punkten ist, ist
(x, x + ) ⊆ I und wir setzen σ := 1 oder (x − , x) ⊆ I und wir setzen σ := −1.
Für jedes n ∈ N haben wir dann xn := x + σ/(n + 2) ∈ I\{x} und es gilt
(xn )n∈N −→ x, d.h. x ∈ I 0 ist ein Häufungspunkt von I. Nun sei x ∈ R umgekehrt ein Häufungspunkt von I. Dann gibt es eine gegen x konvergente Folge
(xn )n∈N in I. Ist a ∈ R linker Randpunkt von I, so ist xn ≥ a für jedes n ∈ N,
also auch x = limn→∞ xn ≥ a. Ist b ∈ R rechter Randpunkt von I so folgt analog
x ≤ b. Damit ist x ∈ I oder x ist ein Randpunkt von I.
2. Im komplexen Fall betrachten wir einen sogenannten offenen Kreis
M := Br (z) := {u ∈ C : |u − z| < r} ⊆ C,
mit Mittelpunkt z ∈ C und Radius r > 0, und dann ist
M 0 = B r (z) := {u ∈ C : |u − z| ≤ r}
der entsprechende, sogenannte, abgeschlossene Kreis mit Mittelpunkt z und Radius r. Um dies einzusehen zeigen wir die beiden Inklusionen M 0 ⊆ B r (z) und
B r (z) ⊆ M 0 . Sei zunächst w ∈ M 0 ein Häufungspunkt von M . Dann existiert eine
gegen w konvergente Folge (wn )n∈N in M \{w}, also ist insbesondere |wn − z| < r
für jedes n ∈ N und somit haben wir |w − z| = limn→∞ |wn − z| ≤ r, also w ∈ B r (z). Damit haben wir M 0 ⊆ B r (z) gezeigt. Nun nehme umgekehrt
w ∈ B r (z) an. Im Fall w 6= z setzen wir dann u := (w − z)/|w − z| ∈ C und im
Fall w = z sei u := 1 ∈ C. In beiden Fällen sind dann |u| = 1 und w = z+|w−z|·u.
Es ist |w − z| ∈ [0, r] und wir wissen bereits das (0, r)0 = [0, r] ist, also existiert
eine gegen |w − z| konvergente Folge (rn )n∈N in (0, r)\{|w − z|}. Für jedes n ∈ N
haben wir dann wn := z + rn u ∈ C mit |wn − z| = rn |u| = rn 6= |w − z| also
wn ∈ Br (z)\{w}, und es gilt (wn )n∈N −→ z + |w − z|u = w, d.h. w ∈ M 0 . Dies
zeigt B r (z) ⊆ M 0 und insgesamt haben wir M 0 = B r (z) bewiesen.
In Beweisen brauchen wir gelegentlich eine besser handhabbare Bedingung für Punkte
a die keine Häufungspunkte sind. Seien also K ∈ {R, C}, eine Teilmenge D ⊆ K und
ein Punkt a ∈ K gegeben. Dann behaupten wir
a∈
/ D0 ⇐⇒ ∃( > 0) : B (a) ∩ D ⊆ {a},
d.h. ist a kein Häufungspunkt von D, so existiert ein > 0 so das kein von a verschiedenes Element von D näher als bei a liegt. Dies ist leicht zu beweisen. Ist a
nämlich ein Häufungspunkt von D, so gibt es eine gegen a konvergente Folge (xn )n∈N
in D\{a}, und für jedes > 0 gibt es dann insbesondere ein Folgenglied xn ∈ D\{a}
mit |xn − a| < , d.h. die rechte Seite unserer Äquivalenz ist dann nicht erfüllt. Ist
umgekehrt die rechte als falsch vorausgesetzt, so existiert für jedes > 0 ein x ∈ D mit
x 6= a und |x − a| < . Insbesondere gibt es für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ein xn ∈ D\{a}
mit |xn − a| < 1/n. Nach dem Einschnürungslemma §4.Lemma 5.(b) für Folgen ist
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 27.1.2017
damit (xn )n≥1 −→ a, und a ist ein Häufungspunkt von D. Damit ist diese Behauptung
bewiesen.
Wir kommen jetzt zur Definition der Funktionsgrenzwerte und pressen alle überhaupt möglichen Fälle in eine einzige Definition.
Definition 11.2 (Funktionsgrenzwerte)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K und f : D → L eine Funktion. Weiter sei a ∈ K ein
Häufungspunkt von D. Dann ist die Funktion f an der Stelle a konvergent gegen ein
b ∈ L, wenn für jede in K gegen a konvergente Folge (xn )n∈N in D\{a} stets auch
(f (xn ))n∈N −→ b gilt. Wir schreiben dann
b = lim f (x)
x→a
und nennen b den Grenzwert von f an der Stelle a. Weiter heißt f an der Stelle a
konvergent, wenn es ein b ∈ L gibt so, dass f an der Stelle a gegen b konvergiert.
Andernfalls nennen wir die Funktion f an der Stelle a divergent.
Die Verwendung von K und L ist leider nötig um alle möglichen Konfigurationen abzudecken, wie schon gesagt will man sowohl auf R definierte Funktionen mit reellen oder
komplexen Werten als auch auf C definierte Funktionen mit reellen oder komplexen
Werten betrachten und wann immer man reelle Argumente oder Werte verwendet will
man auch ±∞ zulassen können. Die mit ±∞ verbundene Sprechweise bei reellwertigen
Funktionen ist wie bei den Folgen, man spricht von Konvergenz in R, aber wenn nur
von Konvergenz“ die Rede ist, ist damit immer ein reeller Grenzwert, also nicht ±∞
”
gemeint.
Oft, und vor allem wenn die Funktion f durch eine explizite Formel gegeben ist,
sprechen wir auch von der Konvergenz von f (x) für x gegen a beziehungsweise vom
Grenzwert von f (x) für x gegen a. Streng genommen sind diese Sprechweisen eigentlich unsinnig, da es in der Mathematik wie schon am Anfang des Semesters bemerkt,
keine nicht in Quantoren gebundenen freien Variablen gibt, und x somit einen festen
Wert hat und gegen nichts gehen“ kann. Da diese Formulierung aber so schön sug”
gestiv ist und sich leicht in die genauere Version übersetzen läßt, wird sie trotzdem
verwendet. Beachte aber das dieses x“ dann einen rein formalen Charakter hat, und
”
nur im Kontext des betrachteten Funktionsgrenzwerts verwendet werden kann. Weiterhin unterstellt unsere Verwendung des bestimmten Artikels in der obigen Definition,
dass der Grenzwert b eindeutig ist, dies werden wir aber erst in der nächsten Sitzung
beweisen. Auf den ersten Blick sieht die Definition eines Funktionsgrenzwerts durch
die Verwendung beliebiger“ Folgen recht unhandlich aus, dies stellt sich aber schnell
”
als eine Täuschung heraus. Wir wollen jetzt erst einmal vier einfache Beispiele von
Funktionsgrenzwerten besprechen. Zunächst sei
f : R → R; x 7→ x3 + 2x2 − 7x + 1,
und wir wollen den Funktionsgrenzwert limx→1 f (x) berechnen. Hierzu müssen wir
Folgen (xn )n∈N in R mit xn 6= 1 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = 1 betrachten. Erstere
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Bedingung wird dabei keine Rolle spielen. Die Grenzwertsätze für Folgen §4.Satz 6
ergeben
lim f (xn ) = lim (x3n + 2x2n − 7xn + 1)
n→∞
3
2
= lim xn + 2 lim xn − 7 · lim xn + 1
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
= 1 + 2 − 7 + 1 = f (1) = −3.
Für jede solche Folge hat man also immer denselben Grenzwert −3 und dies bedeutet
lim f (x) = −3 = f (1).
x→1
Für das zweite Beispiel wollen wir den Grenzwertbegriff noch etwas erweitern und auch
links- und rechtsseitige Grenzwerte betrachten. Links- und rechtsseitige Grenzwerte
lassen sich nur im Fall K = R reeller Argumente definieren. Weiterhin ist der Begriff
nur sinnvoll wenn es überhaupt links und rechts gibt“, also nur wenn a ∈ R, und nicht
”
etwa ±∞, ist. Sind D ⊆ R eine Teilmenge und a ∈ R, so betrachten wir die beiden
Teilmengen
D≥a := {x ∈ D|x ≥ a} und D≤a := {x ∈ D|x ≤ a},
und nennen a einen rechtsseitigen Häufungspunkt von D wenn a ein Häufungspunkt
von D≥a ist, und einen linksseitigen Häufungspunkt von D wenn a ein Häufungspunkt
von D≤a ist. Offenbar ist a genau dann ein Häufungspunkt von D, wenn a ein links- oder
ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D ist. Sei jetzt weiter eine Funktion f : D → L
gegeben, wobei wieder L ∈ {R, C} ist, und sei b ∈ L. Ist dann a ein rechtsseitiger
Häufungspunkt von D, so sagen wir das die Funktion f an der Stelle a von rechts
gegen b konvergiert, und schreiben
lim f (x) = b
x↓a
wenn die Einschränkung f |D≥a an der Stelle a gegen b konvergiert. Wir nennen b dann
auch den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion f an der Stelle a. Die Einschränkung
einer Funktion f : M → N auf eine Teilmenge D ⊆ M hatten wir dabei in §2 als die
Funktion
f |D : D → N ; x 7→ f (x),
definiert bei der der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion zur Menge D verkleinert
wird. Ausgeschrieben bedeutet die Aussage limx↓a f (x) = b dann dass für jede gegen a
konvergente Folge (xn )n∈N in D mit xn > a für alle n ∈ N auch (f (xn ))n∈N −→ b gilt.
Ist a ein linksseitiger Häufungspunkt von D, so wird die linksseitige Konvergenz von f
an der Stelle a analog definiert, und man schreibt dann
lim f (x).
x↑a
In diesem Fall nennen wir b den linksseitigen Grenzwert der Funktion f an der Stelle
a. Beachte das die links- und rechtsseitigen Grenzwerte einer Funktion f spezielle
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Beispiele gewöhnlicher Funktionsgrenzwerte sind, und insbesondere sind alle Sätze über
Funktionsgrenzwerte auch auf links- und rechtsseitige Funktionsgrenzwerte anwendbar.
Als zweites Beispiel betrachten wir jetzt die schon früher einmal in §2 als Beispiel
verwendete Heaviside-Funktion
(
1, x ≥ 0,
H : R → R; x 7→
0, x < 0.
Um den rechtsseitigen Grenzwert der Heaviside-Funktion im Nullpunkt zu untersuchen,
müssen wir uns eine beliebige Nullfolge (xn )n∈N in (0, ∞), also mit xn > 0 für jedes n ∈
N, vorgeben. Für jedes n ∈ N ist dann aber auch H(xn ) = 1, die Folge (H(xn ))n∈N ist
also konstant 1 und konvergiert damit auch gegen 1. Da dieser Grenzwert unabhängig
von der speziellen Folge ist, haben wir damit
lim H(x) = 1
x↓0
eingesehen. Analog ergibt sich der linksseitige Grenzwert
lim H(x) = 0.
x↑0
Da es insbesondere sowohl Nullfolgen (xn )n∈N in R\{0} gibt bei denen (H(xn ))n∈N
gegen 0 konvergiert als auch welche bei denen (H(xn ))n∈N gegen 1 konvergiert, ist
die Heaviside-Funktion H in x = 0 divergent, es gibt also keinen Funktionsgrenzwert
für x → 0. Analog zu unserer Rechnung für f (x) = x3 + 2x2 − 7x + 1 ergeben die
Rechenregeln für Folgengrenzwerte das für jedes Polynom f : K → K über K ∈ {R, C}
und jedes x0 ∈ K stets
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ist. Kommen wir zu einem etwas komplizierteren Beispiel, der rationalen Funktion
f : R\{1, −2} → R; x 7→
x3 − x2 + x + 1
x3 − 3x + 2
mit dem nebenstehend gezeigten Graphen. Betrachten wir zunächst einmal den Grenzwert x → 0. Hier können wir unsere obige Überlegung für Polynome und erneut den
Grenzwertsatz für Folgen zum Einsatz bringen, und rechnen für jede Nullfolge (xn )n∈N
lim (x3n − x2n + xn + 1)
lim f (xn ) =
n→∞
n→∞
d.h. es ist
lim (x3n
n→∞
− 3xn + 2)
1
lim f (x) = f (0) = .
2
x→0
291
1
= ,
2
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Ebenso können wir natürlich für jede rationale Funktion f und jeden Punkt x0 ∈ R argumentieren, der nicht
gerade eine Nullstelle des Nenners ist, und erhalten in
diesen Fällen limx→x0 f (x) = f (x0 ). Wie sieht es nun
aus, wenn x0 doch eine Nullstelle des Nenners ist? Im
Beispiel haben wir
Freitag 27.1.2017
10
8
6
y
4
2
–3
–2
–1
x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2)
0
1
2
–2
–4
mit den beiden Nullstellen −2 und 1. Betrachten wir erst
einmal den Grenzwert für x → 1. Zu diesem Zweck schreiben wir
1
x3 − x2 + x + 1
f (x) =
·
,
(x − 1)2
x+2
–6
–8
–10
und wissen bereits
x3 − x2 + x + 1
1−1+1+1
2
=
= .
x→1
x+2
1+2
3
lim
Ist nun (xn )n∈N eine Folge mit limn→∞ xn = 1 und xn 6= 1, −2 für alle n ∈ N, so ist
1
= ∞,
n→∞ (xn − 1)2
2
x3 − x2n + xn + 1
=
,
lim n
n→∞
xn − 2
3
lim
wobei letzterer Grenzwert aus unseren Überlegungen in §4.2 folgt, es handelt sich um
den Kehrwert einer Nullfolge mit positiven Vorzeichen, und solche Folgen konvergieren
gegen +∞. Also folgt erneut mit den Rechenregeln für Folgengrenzwerte
x3n − x2n + xn + 1
= ∞ d.h. lim f (x) = ∞.
n→∞ (xn − 1)2 (xn + 2)
x→1
lim
Wie sieht es mit dem Grenzwert für x → −2 aus? Gehen wir wie bei x = 1 vor, so ist
1
x3 − x2 + x + 1
·
,
x+2
(x − 1)2
x3 − x2 + x + 1
(−2)3 − (−2)2 − 2 + 1
13
lim
=
=− .
2
2
x→−2
(x − 1)
(−2 − 1)
9
f (x) =
Aber der Grenzwert von 1/(x + 2) für x → −2 existiert nicht, da dieser Quotient
zwar im Betrag beliebig groß wird wenn x nahe an 2 ist, aber für x < −2 negativ
und für x > −2 positiv ist. Was allerdings existiert sind die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte für x → −2. Ist (xn )n∈N eine gegen −2 konvergente Folge mit xn > −2 und
xn 6= 1 für alle n ∈ N, so ist (xn + 2)n∈N eine Nullfolge mit positiven Vorzeichen, also
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
konvergiert (1/(xn + 2))n∈N gegen +∞. Der rechte Term konvergierte gegen −13/9,
und damit konvergiert (f (xn ))n∈N insgesamt gegen −∞. Dies zeigt
lim f (x) = −∞ und analog ist auch
x↓−2
lim f (x) = ∞.
x↑−2
Wir wollen auch noch ein Beispiel behandeln in dem der Funktionsgrenzwert nicht
existiert. Hierzu schauen wir uns die folgende Funktion an:
1
0.5
1
f : (0, ∞) → R; x 7→ sin
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–0.5
–1
Wenn x näher zu Null rückt wird 1/x immer größer und sin(1/x) durchläuft immer
schneller seine Perioden. Dies führt dann zu dem im Graphen sichtbaren Oszillationseffekt bei Null. In diesen Beispiel gibt es überhaupt keinen Grenzwert von f (x) für
x → 0. Wir haben beispielsweise die Folge
xn =
π
2
1
+ nπ
mit limn→∞ xn = 0 und f (xn ) = (−1)n für alle n ∈ N. Anschaulich ist dies die Folge,
die gerade die abwechselnden Maxima und Minima von f (x) abläuft. Es gibt also eine
Nullfolge (xn )n∈N in (0, ∞) bei der die Folge (f (xn ))n∈N divergiert, und damit gibt es
insbesondere keinen Grenzwert der Funktion f an der Stelle 0.
Vorlesung 24, Montag 30.1.2017
In der letzten Sitzung haben wir den Begriff eines Funktionsgrenzwerts eingeführt
und wollen jetzt die allgemeinen Eigenschaften von Funktionsgrenzwerten herleiten.
All diese sind vollkommen analog zu den entsprechenden Eigenschaften von Folgen
293
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
und werden auch mittels dieser Aussagen über Folgen bewiesen. Wir geben in diesem
Skript auch die vollständigen Beweise an, in der Vorlesung wurden diese weitgehend
weggelassen.
Lemma 11.1 (Grundeigenschaften von Funktionsgrenzwerten)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K, a ∈ K ein Häufungspunkt von D und f : D → L eine
Funktion. Dann gelten:
(a) Es gibt höchstens einen Grenzwert von f an der Stelle a.
(b) Genau dann konvergiert f an der Stelle a nicht gegen b ∈ L, wenn es ein > 0
und eine Folge (xn )n∈N in D\{a} mit (xn )n∈N −→ a und |f (xn ) − b| ≥ für alle
n ∈ N gibt.
(c) Ist L = C, so konvergiert f genau dann an der Stelle a gegen b ∈ C wenn die
reellwertige Funktion Re ◦f an der Stelle a gegen Re(b) konvergiert und die reellwertige Funktion Im ◦f an der Stelle a gegen Im(b) konvergiert.
(d) Sind L = C sowie f (D) ⊆ R und konvergiert f an der Stelle a gegen b ∈ C, so ist
auch b ∈ R.
(e) Konvergiert f an der Stelle a gegen b ∈ L, so konvergiert auch |f | an der Stelle a
gegen |b|.
(f ) Sind a ∈ K und b ∈ L, so konvergiert f genau dann an der Stelle a gegen b, wenn
es für jedes ∈ R mit > 0 stets ein δ ∈ R mit δ > 0 gibt so, dass für alle x ∈ D
mit 0 < |x − a| < δ stets auch |f (x) − b| < ist.
(g) Sei M ⊆ D so das a auch ein Häufungspunkt von M ist. Konvergiert dann f an
der Stelle a gegen ein b ∈ L, so konvergiert auch die eingeschränkte Funktion
f |M : M → L; x 7→ f (x)
an der Stelle a gegen b.
Beweis: (a) Da es überhaupt eine gegen a konvergente Folge in D\{a} gibt, folgt dies
aus §4.Lemma 1.(b).
(b) ”=⇒” Es gibt eine in K gegen a konvergente Folge (xn )n∈N in D\{a} so, dass
die Bildfolge (f (xn ))n∈N nicht gegen b konvergiert. Nach §4.Lemma 1.(c) existieren ein
> 0 und eine Teilfolge (xnk )k∈N von (xn )n∈N mit |f (xnk ) − b| ≥ für alle k ∈ N. Nach
§4.Lemma 1.(a) ist auch (xnk ) eine in K gegen a konvergente Folge in D\{a} (im Fall
a ∈ {−∞, +∞} werden dabei die Ergänzungen aus §4.2 verwendet).
”⇐=” Gibt es ein > 0 und eine in K gegen a konvergente Folge in D\{a} mit
|f (xn ) − b| ≥ für alle n ∈ N, so kann die Folge (f (xn ))n∈N nicht in L gegen b
konvergieren, und damit konvergiert auch f an der Stelle a nicht gegen b.
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(c) ”=⇒” Sei (xn )n∈N eine in K gegen a konvergente Folge in D\{a}. Dann konvergiert
die Folge (f (xn ))n∈N in C gegen b, und nach §4.Lemma 1.(d) konvergiert die Folge
(Re(f (xn )))n∈N in R gegen Re(b) und die Folge (Im(f (xn )))n∈N konvergiert in R gegen
Im(b). Damit konvergiert die Funktion Re ◦f an der Stelle a gegen Re(b) und die
Funktion Im ◦f konvergiert an der Stelle a gegen Im(b).
”⇐=” Sei (xn )n∈N eine in K gegen a konvergente Folge in D\{x}. Nach unserer Annahme gelten dann (Re(f (xn )))n∈N −→ Re(b) und (Im(f (xn )))n∈N −→ Im(b), also ist
nach §4.Lemma 1.(d) auch (f (xn ))n∈N −→ b. Damit konvergiert f an der Stelle a gegen
b.
(d) Wähle eine gegen a konvergente Folge (xn )n∈N in D\{a}. Dann konvergiert die
Folge (f (xn ))n∈N gegen b und für alle n ∈ N gilt f (xn ) ∈ f (D) ⊆ R, also ist nach
§4.Lemma 1.(e) auch b ∈ R.
(e) Sei (xn )n∈N eine in K gegen a konvergente Folge in D\{a}. Dann ist (f (xn ))n∈N −→
b und mit §4.Lemma 2.(b) folgt auch (|f (xn )|)n∈N −→ |b|. Damit konvergiert die Funktion |f | an der Stelle a gegen |b|.
(f ) ”=⇒” Wir zeigen die Kontraposition, nehme also an die Aussage
∀( > 0)∃(δ > 0)∀(x ∈ D) : 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − b| < ist falsch. Dann existiert ein > 0 so, dass es für jedes δ > 0 stets ein x ∈ D mit
0 < |x − a| < δ und |f (x) − b| ≥ gibt. Insbesondere gibt es dann für jedes n ∈ N mit
n ≥ 1 ein xn ∈ D mit 0 < |xn − a| < 1/n und |f (xn ) − b| ≥ . Für jedes n ∈ N\{0} ist
dann insbesondere xn 6= a also xn ∈ D\{a}. Nach §4.Lemma 4.(e) ist (xn − a)n≥1 eine
Nullfolge und nach §4.Lemma 4.(d) ist (xn )n≥1 −→ a. Nach (b) konvergiert f damit
an der Stelle a nicht gegen b.
”⇐=” Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D\{a}. Wir müssen zeigen, dass die
Folge (f (xn ))n∈N gegen b konvergiert. Sei also > 0 gegeben. Nach unserer Annahme
existiert dann ein δ > 0 mit |f (x) − b| < für alle x ∈ D mit 0 < |x − a| < δ. Da
(xn )n∈N gegen a konvergiert, existiert ein n0 ∈ N mit |xn − a| < δ für alle n ∈ N mit
n ≥ n0 . Sei jetzt n ∈ N mit n ≥ n0 gegeben. Wegen xn 6= a ist dann xn ∈ D mit
0 < |xn − a| < δ, also ist auch |f (xn ) − b| < . Damit ist (f (xn ))n∈N −→ b bewiesen.
Dies zeigt limx→a f (x) = b.
(g) Dies ist klar.
Die Aussagen (c) und (d) des Lemmas klären den Zusammenhang zwischen reellwertigen und komplexwertigen Funktionen, für reellwertige Funktionen spielt es keine Rolle
ob wir L = R oder L = C verwenden, man kann sich dann den komplexen Fall als den
allgemeinen Fall denken. In der Limes Notation kann man (c) als
Re lim f (z) = lim Re(f (z)) und Im lim f (z) = lim Im(f (z))
z→a
z→a
z→a
z→a
beziehungsweise als
lim f (z) = lim Re(f (z)) + i · lim Im(f (z))
z→a
z→a
z→a
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lesen, entsprechend wird Teil (e) zu
lim |f (x)| = lim f (x) .
x→a
x→a
Die Bedingung in Teil (f), also
∀( > 0)∃(δ > 0)∀(x ∈ D) : 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − b| < wird als die –δ Definition der Funktionskonvergenz bezeichnet, ob man diese oder die
bei uns verwendete Folgendefinition als Definition verwendet, ist recht beliebig und
wird in der Literatur unterschiedlich gehandhabt. Wenden wir Teil (f) des Lemmas auf
rechtsseitige Grenzwerte an, so ergibt sich
lim f (x) = b ⇐⇒ ∀( > 0)∃(δ > 0)∀(x ∈ D) : a < x < a + δ =⇒ |f (x) − b| < ,
x↓a
und für linksseitige Grenzwerte ergibt sich ein analoges –δ Kriterium. Auch wenn a
oder b einer der Werte ±∞ ist, kann man eine zu (f) analoge Aussage zeigen, dies
ist völlig analog zum Beweis von (f), aber durch die große Anzahl möglicher Fälle
etwas umfangreich. Für eine reellwertige Funktion f : D → R mit D ⊆ C und einem
Häufungspunkt a ∈ D0 gelten
lim f (z) = +∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(δ > 0)∀(z ∈ D) : 0 < |z − a| < δ =⇒ f (z) > t,
z→a
lim f (z) = −∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(δ > 0)∀(z ∈ D) : 0 < |z − a| < δ =⇒ f (z) < t,
z→a
für eine Funktion f : D → C definiert auf einer nach oben unbeschränkten Menge
D ⊆ R und jedes b ∈ C ist
lim f (x) = b ⇐⇒ ∀( > 0)∃(t ∈ R)∀(x ∈ D) : x > t =⇒ |f (x) − b| < ,
x→∞
und ist D nach unten unbeschränkt, so haben wir analog
lim f (x) = b ⇐⇒ ∀( > 0)∃(t ∈ R)∀(x ∈ D) : x < t =⇒ |f (x) − b| < .
x→−∞
Sind schließlich D ⊆ R und f : D → R eine reellwertige Funktion, so ergeben sich für
nach oben unbeschränktes D die Äquivalenzen
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(s ∈ R)∀(x ∈ D) : x > s =⇒ f (x) > t,
x→∞
lim f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(s ∈ R)∀(x ∈ D) : x > s =⇒ f (x) < t
x→∞
und für nach unten unbeschränktes D ist ebenso
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(s ∈ R)∀(x ∈ D) : x < s =⇒ f (x) > t,
x→−∞
lim f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀(t ∈ R)∃(s ∈ R)∀(x ∈ D) : x < s =⇒ f (x) < t.
x→−∞
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Für links- und rechtsseitige Grenzwerte erhält man analoge äquivalente Beschreibungen. In §4 hatten wir gesehen das die Anordnung der reellen Zahlen uns auch spezielle
Eigenschaften reeller Folgen liefert. Diese können wir jetzt auch leicht auf Grenzwerte
reellwertiger Funktionen übertragen. Dabei kommt es nur darauf an, dass die Funktionswerte reell sind, die Funktionen dürfen aber durchaus auch auf C definiert sein.
Lemma 11.2 (Anordnungseigenschaften reeller Funktionsgrenzwerte)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K und a ∈ K ein Häufungspunkt von D. Weiter seien
f, g : D → R zwei Funktionen, die beide in R an der Stelle a konvergieren.
(a) Gilt f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ D\{a}, so ist auch
lim f (x) ≤ lim g(x).
x→a
x→a
(b) Gilt lim f (x) = lim g(x) und ist h : D → R eine weitere Funktion mit f (x) ≤
x→a
x→a
h(x) ≤ g(x) für alle x ∈ D\{a}, so ist auch die Funktion h in R an der Stelle a
konvergent mit dem Grenzwert
lim h(x) = lim f (x) = lim g(x).
x→a
x→a
x→a
Beweis: (a) Wähle eine gegen a konvergente Folge (xn )n∈N in D\{a}. Dann ist für alle
n ∈ N stets f (xn ) ≤ g(xn ) und mit §4.Lemma 5.(a) folgt
lim f (x) = lim f (xn ) ≤ lim g(xn ) = lim g(x).
x→a
n→∞
n→∞
x→a
(b) Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D\{a}. Dann gelten auch
lim f (xn ) = lim f (x) = lim g(x) = lim g(xn )
n→∞
x→a
x→a
n→∞
und für alle n ∈ N ist f (xn ) ≤ h(xn ) ≤ g(xn ). Nach §4.Lemma 6.(b) ist damit auch die
Folge (h(xn ))n∈N in R konvergent mit dem Grenzwert
lim h(xn ) = lim f (xn ) = lim f (x).
n→∞
n→∞
x→a
Dies beweist das die Funktion h in R an der Stelle a gegen den angegebenen Wert
konvergiert.
In Teil (a) dieses Lemmas muss man die Ungleichung nicht für alle x ∈ D\{a} fordern,
sondern es reicht aus wenn diese für alle x ∈ D\{a} nahe bei a gelten. Man sagt das
Funktionsgrenzwerte lokal sind, d.h. der Grenzwert von f (x) für x gegen a hängt nicht
vom Verhalten der Funktion für weit von a entfernte Argument ab. Ändern wir zum
Beispiel eine auf R definierte Funktion f für Argumente x > 1 ab, so wird sich der
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Grenzwert der Funktion in x = 0 nicht ändern. Das folgende Lemma gibt uns eine
exakte Formulierung dieser Lokalität von Grenzwerten.
Lemma 11.3 (Funktionsgrenzwerte sind lokal)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K, a ∈ K ein Häufungspunkt von D und f : D → L eine
Funktion. Im Fall a ∈ K sei > 0 und betrachte die Teilmenge
e := {x ∈ D : |x − a| < } ⊆ D
D
von D und im Fall a ∈ {−∞, +∞} sei t ∈ R und betrachte die Teilmenge
(
e := {x ∈ D|x > t}, a = +∞,
D
{x ∈ D|x < t}, a = −∞
e und genau dann konvergiert die
von D. Dann ist a auch ein Häufungspunkt von D
e an der Stelle
Funktion f an der Stelle a gegen ein b ∈ L, wenn die Einschränkung f |D
a gegen b konvergiert.
Beweis: Da a ein Häufungspunkt von D ist, gibt es eine in K gegen a konvergente
Folge (xn )n∈N in D\{a}. Im Fall a 6= ±∞ gibt es ein n0 ∈ N mit |xn − a| < für alle
n ∈ N mit n ≥ n0 , im Fall a = +∞ gibt es ein n0 ∈ N mit xn > t für alle n ≥ n0 und
im letzten Fall a = −∞ gibt es ein n0 ∈ N mit xn < t für alle n ≥ n0 . In allen drei
e für alle n ∈ N mit n ≥ n0 und somit ist (xn )n≥n0 eine gegen
Fällen ist damit xn ∈ D
e
e
a konvergente Folge in D\{a},
d.h. a ist ein Häufungspunkt der Menge D\{a}.
Damit
ist die erste Aussage bewiesen.
Wir kommen zur Äquivalenzaussage für die Funktionskonvergenz.
”=⇒” Dies ist klar nach Lemma 1.(g).
”⇐=” Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D\{a}. Wie oben gesehen, gibt es
e für alle n ≥ n0 , d.h. (xn )n≥n0 ist eine gegen a konvergente
dann ein n0 ∈ N mit xn ∈ D
e
e an der Stelle a gegen b konvergiert, ist auch (f (xn ))n≥n0 −→ b
Folge in D\{a}.
Da f |D
in L. Dann ist aber auch (f (xn ))n∈N −→ b in L und damit konvergiert auch f an der
Stelle a gegen b.
Dieses Lemma erlaubt es uns in vielen Aussagen über Funktionsgrenzwerte Bedingungen an alle x im Definitionsbereich der betrachteten Funktion durch die entsprechenden
Bedingungen nur noch an die x aus dem Definitionsbereich nahe an der betrachteten
Stelle zu ersetzen. Dies werden wir oft verwenden auch ohne jedesmal explizit auf dieses Lemma hinzuweisen. Wir wollen unser Lemma über Anordnungseigenschaften von
Funktionsgrenzwerten jetzt einmal dazu verwenden, die folgende Funktion zu behan298
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Montag 30.1.2017
deln:
1
0.5
1
f : (0, ∞) → R; x 7→ x · sin
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–0.5
–1
Diese ist rein formal ähnlich zur schon früher diskutierten Funktion g(x) = sin(1/x),
und die Funktion g war in x = 0 divergent, da sie zu Null hin immer schneller oszillierte. Zwar oszilliert jetzt auch die Funktion f immer schneller zwischen positiven und
negativen Werten hin und her, aber durch die Multiplikation mit x wird diese Oszillation immer kleiner, was zur Existenz des Grenzwerts führt. Zur Begründung müssen
wir nicht mehr auf Folgen zurückgehen, sondern können unseren Einschnürungssatz
Lemma 2.(b) verwenden. Für jedes x > 0 gilt
1 |f (x)| = x sin
≤ |x|, also − x ≤ f (x) ≤ x,
x und da wir bereits wissen, dass die linke und rechte Seite dieser Ungleichung für x
gegen 0 beide gegen Null konvergieren, ist damit auch limx→0 f (x) = 0.
Ein oftmals vorkommender Funktionstyp sind Funktionen die sozusagen aus meh”
reren Stücken“ zusammengesetzt sind, wie zum Beispiel die beiden Funktionen
H(x)
xH(x)
x
x
Funktion x · H(x)
Heaviside Funktion H(x)
wobei H die schon zu Beginn dieser Sitzung als Beispiel verwendete Heaviside Funktion
ist, also H(x) = 0 für x < 0 und H(x) = 1 für x ≥ 0. Die Heaviside Funktion hat in
Null die links- und rechtsseitigen Grenzwerte
lim H(x) = 1 und lim H(x) = 0,
x↓0
x↑0
299
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während die Funktion xH(x) sich als
(
0, x ≤ 0,
xH(x) =
x, x ≥ 0
schreiben läßt und die links- und rechtsseitigen Grenzwerte
lim xH(x) = lim xH(x) = 0
x↓0
x↑0
hat. Das folgende Lemma sagt uns, dass dann auch der Grenzwert in x = 0 existiert
und gleich Null ist. In diesem konkreten Fall kann man das natürlich auch leicht direkt
einsehen, aber darauf kommt es uns hier nicht an.
Lemma 11.4 (Grenzwerte zusammengesetzter Funktionen)
Seien D ⊆ R eine Menge, a ∈ R ein Häufungspunkt von D und f : D → K mit
K ∈ {R, C} eine Funktion. Dann ist die Funktion f genau dann an der Stelle a gegen
ein b ∈ K konvergent wenn die folgenden beiden Bedingungen gelten:
1. Entweder ist a kein rechtsseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D und es gilt
lim f (x) = b.
x↓a
2. Entweder ist a kein linksseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein linksseitiger
Häufungspunkt von D und es gilt
lim f (x) = b.
x↑a
Beweis: ”=⇒” Dies ist klar nach Lemma 1.(g).
”⇐=” Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D\{a} und betrachte
I + := {n ∈ N|xn > a} und I − := {n ∈ N|xn < a}.
Dann können drei verschiedene Fälle auftreten.
Fall 1. Die Menge I − ist endlich. Dann gibt es ein n0 ∈ N mit xn > a, also xn ∈
D≥a \{a} für alle n ≥ n0 . Damit ist insbesondere a ein rechtsseitiger Häufungspunkt
von D und es folgt
lim f (xn ) = lim f (x) = b.
n→∞
x↓a
Fall 2. Die Menge I + ist endlich. Dann haben wir analog zu Fall 1
lim f (xn ) = lim f (x) = b.
n→∞
x↑a
300
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Fall 3. Die Mengen I + und I − sind beide unendlich. Dann haben wir zwei Teilfolgen
−
−
(xn+ )k∈N und (xn− )k∈N der Folge (xn )n∈N mit I + = {n+
k |k ∈ N} und I = {nk |k ∈ N}.
k
k
Nach §4.Lemma 1.(a) gelten auch (xn+ )k∈N −→ a und (xn− )k∈N −→ a, also ist a ein
k
k
links- und rechtsseitiger Häufungspunkt von D und es gelten
lim f (xn+ ) = lim f (x) = b sowie lim f (xn− ) = lim f (x) = b.
k→∞
k
x↓a
k→∞
k
x↑a
Nach §4.Lemma 1.(d) ist damit auch (f (xn ))n∈N −→ b.
In allen drei Fällen haben wir damit (f (xn ))n∈N −→ b eingesehen, und somit ist
limx→a f (x) = b bewiesen.
Als ein weiteres Beispiel betrachten wir den Grenzwert der Funktion
(
0, x ≤ 0,
f : R → R; x 7→
x2 , x ≥ 0,
also f (x) = x2 H(x), für x → 0. Diese Funktion ist aus den beiden Stücken“ f − (x) =
”
0 für x ≤ 0 und f + (x) = x2 für x ≥ 0 zusammengesetzt. Aus unseren bisherigen
Beispielen wissen wir schon limx→0 f − (x) = limx→0 f + (x) = 0, also auch
lim f (x) = lim f (x) = 0,
x↑0
x↓0
und das eben bewiesene Lemma ergibt limx→0 f (x) = 0. Wir kehren jetzt wieder zur
Theorie zurück. Die Rechenregeln für Folgengrenzwerte übertragen sich sofort zu den
folgenden Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte.
Satz 11.5 (Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K und a ∈ K ein Häufungspunkt von D. Weiter seien
f, g : D → L zwei Funktionen deren Grenzwerte an der Stelle a in L existieren.
(a) Ist {limx→a f (x), limx→a g(x)} =
6 {−∞, +∞}, so existiert der Grenzwert
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) .
x→a
x→a
x→a
(b) Ist c ∈ L, so existiert der Grenzwert
lim (cf (x)) = c · lim f (x),
x→a
x→a
solange nicht c = 0 und limx→a f (x) ∈ {−∞, ∞} ist.
(c) Ist {limx→a f (x), limx→a g(x)} =
6 {0, +∞}, {0, −∞}, so existiert der Grenzwert
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) .
x→a
x→a
301
x→a
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(d) Gelten g(x) 6= 0 für alle x ∈ D\{a} und auch limx→a g(x) 6= 0 und ist auch nicht
zugleich limx→a f (x) ∈ {−∞, ∞} und limx→∞ g(x) ∈ {−∞, ∞}, so existiert der
Grenzwert
lim f (x)
f (x)
x→a
lim
.
=
x→a g(x)
lim g(x)
x→a
Beweis: Klar nach §4.Satz 6 sowie den Erweiterungen dieser Regeln in §4.2.
Wie bei Folgengrenzwerten kann man all die Einschränkungen so zusammenfassen,
dass die rechte Seite der jeweiligen Gleichung überhaupt definiert sein muss. Für Quotienten reellwertiger Funktionen können wir auch noch eine Grenzwertregel erhalten
wenn der Nenner aber nicht der Zähler gegen Null geht, zumindest solange das Vorzeichen des Nenners konstant ist. Ist also unter den Voraussetzungen des Satzes und
den zusätzlichen Annahmen L = R, sign(g(x)) = σ für alle x ∈ D\{a} und ein festes
Vorzeichen σ ∈ {−1, 1} der Grenzwert limx→a g(x) = 0 aber limx→a f (x) 6= 0, so ist
f (x)
= σ · sign lim f (x) · ∞.
x→a g(x)
x→a
lim
Auch dies folgt aus den in §4.2 behandelten Rechenregeln für Grenzwerte reeller Folgen. Als ein Beispiel zur Anwendung dieser Rechenregeln können wir die Grenzwerte rationaler Funktionen vollständig behandeln. Seien hierzu K ∈ {R, C} und seien
p(x) = an xn + · · · + a0 , q(x) = bm xm + · · · + b0 mit n, m ∈ N, a0 , . . . , an , b0 , . . . , bm ∈ K,
an 6= 0, bm 6= 0 zwei Polynomfunktionen. Weiter nehme an, dass p und q keine gemeinsame Nullstelle in K haben, und betrachte die rationale Funktion
p(x)
an x n + · · · + a0
f : K\q ({0}) → K; x 7→
=
.
q(x)
bm x m + · · · + b0
−1
Wir gehen nun alle möglichen Situationen durch die bei der Bestimmung von Funktionsgrenzwerten der rationalen Funktion f auftreten können.
1. Ist a ∈ K mit q(a) 6= 0, so wissen wir bereits das limx→a f (x) = f (a) gilt.
2. Nun sei a ∈ K eine Nullstelle von q, also q(a) = 0. Bezeichne r die Vielfachheit
dieser Nullstelle, d.h. es ist q(x) = (x − a)r qe(x) mit einem Polynom qe das a nicht
als Nullstelle hat, d.h. qe(a) 6= 0. Für jedes x ∈ K\q −1 ({0}) haben wir dann
r
p(x)
1
f (x) =
x − a qe(x)
und wissen bereits
p(x)
p(a)
=
6= 0.
x→a q
e(x)
qe(a)
lim
302
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Da für alle x ∈ K\q −1 ({0}) stets |x − a| > 0 ist und nach Lemma 1.(e) auch
limx→a |x − a| = 0 und limx→a |p(x)/e
q (x)| = |p(a)|/|e
q (a)| > 0 gelten, folgt mit
den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte auch
lim |f (x)| = +∞.
x→a
3. Im komplexen Fall haben wir damit alles gesagt, nun nehmen wir speziell K = R
an und wollen die eben behandelte Situation noch weiter untersuchen. Übernehmen wir die obigen Bezeichnungen, so ist für x ∈ R\q −1 ({0}) stets x − a > 0 für
x > a und x − a < 0 für x < a, also ergeben die Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte auch
lim f (x) = sign(p(a)) · sign(e
q (a)) · ∞
x↓a
und
lim f (x) = sign(p(a)) sign(e
q (a)) · (−∞)r = (−1)r sign(p(a)) sign(e
q (a)) · ∞.
x↑a
Ist die Vielfachheit r also gerade, so gilt
lim f (x) = sign(p(a)) · sign(e
q (a)) · ∞,
x→a
und ist die Vielfachheit r ungerade, so gelten
lim f (x) = sign(p(a)) · sign(e
q (a)) · ∞ und lim f (x) = − sign(p(a)) · sign(e
q (a)) · ∞.
x↓a
x↑a
4. Jetzt nehmen wir K = R und m = n an und wollen die Grenzwerte von f gegen
±∞ bestimmen. Für jedes x ∈ R\(q −1 ({0}) ∪ {0}) können wir
f (x) =
an +
bn +
an−1
x
bn−1
x
+ ··· +
+ ··· +
a0
xn
b0
xn
schreiben und mit Satz 5 ergibt sich weiter
lim f (x) = lim
x→∞
x→∞
an +
bn +
an−1
x
bn−1
x
+ ··· +
+ ··· +
a0
xn
b0
xn
=
an
.
bn
Analog ist auch limx→−∞ f (x) = an /bn .
5. Nun nehmen wir K = R und m > n an. Dann ist m − n > 0 und für jedes
x ∈ R\(q −1 ({0}) ∪ {0}) haben wir
f (x) =
1
xm−n
303
·
xm−n p(x)
q(x)
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Montag 30.1.2017
wobei die rechts stehende rationale Funktion gleichen Zähler- und Nennergrad
hat. Damit können wir den eben behandelten Fall und die Satz 5 anwenden und
erhalten
1
xm−n p(x)
·
lim f (x) = lim
=0
x→∞
x→∞ xm−n
q(x)
und analog ist auch limx→−∞ f (x) = 0. Dies zeigt
lim f (x) = lim f (x) = 0.
x→∞
x→−∞
6. Im verbleibenden Fall ist K = R und m < n. Dann ist n − m > 0 und analog zur
Argumentation im vorigen Fall folgt mit Satz 5 diesmal
p(x)
an
n−m
lim f (x) = lim x
· n−m
=
· ∞ = sign(an ) sign(bm ) · ∞
x→∞
x→∞
x
q(x)
bm
und eine analoge Rechnung ergibt auch
lim f (x) =
x→−∞
an
(−∞)n−m = (−1)n+m sign(an ) sign(bm ) · ∞.
bm
Damit haben wir
lim f (x) = sign(an )·sign(bm )·∞ und lim f (x) = (−1)n+m sign(an )·sign(bm )·∞.
x→∞
x→−∞
bewiesen und die Grenzwerte rationaler Funktionen sind vollständig behandelt.
11.2
Potenzreihen
Bisher haben wir noch nicht allzu viele Beispielklassen von Funktionen bei denen
wir Funktionsgrenzwerte berechnen können, die rationalen Funktionen konnten wir
vollständig behandeln und ansonsten kennen wir nur einige Einzelbeispiele. Wir wollen
jetzt eine große Klasse von Funktionen einführen, die sich zum einen gut behandeln
lassen und zum anderen erlauben alle direkt definierten Typen von Grundfunktionen
exakt zu begründen, die sogenannten Potenzreihen. Eine Potenzreihe über K ∈ {R, C}
ist eine Reihe der Form
∞
X
f (z) =
an (z − z0 )n
n=0
mit Koeffizienten an ∈ K für n ∈ N. Etwas genauer spricht man von einer Potenzreihe
mit dem Entwicklungspunkt z0 ∈ K. Solange diese Reihe konvergiert kann man sie als
eine Funktion in z ∈ K auffassen, die manchmal ebenfalls als Potenzreihe bezeichnet
wird. Beispielsweise ist die geometrische Reihe
f (z) =
∞
X
n=0
304
zn
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
eine für |z| < 1 definierte Funktion. Wir wissen auch schon, dass einfach
f (z) =
∞
X
zn =
n=0
1
1−z
für |z| < 1 gilt. Die Reihe konvergiert hier auf einem Kreis dessen Mittelpunkt der
Entwicklungspunkt z0 = 0 der Potenzreihe ist. Es stellt sich heraus, dass dies das
normale Konvergenzverhalten von Potenzreihen ist. Auch den Radius dieses Kreises
kann man explizit hinschreiben.
Definition 11.3 (Der Konvergenzradius einer P
Potenzreihe)
n
Der Konvergenzradius einer Potenzreihe f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) über K ∈ {R, C} ist
die Zahl
r := sup {q ∈ R≥0 |Die Folge (|an |q n )n∈N ist beschränkt } ∈ R≥0 ∪ {∞}.
Es wird sich herausstellen, dass sich Potenzreihen in einem gewissen Sinne wie Polynome vom Grad ∞ verhalten. Diese Analogie kann man tatsächlich sehr weit treiben,
aber dies werden wir in diesem Semester noch nicht tun. Wir werden jetzt nur einige
Grundeigenschaften von Potenzreihen herleiten. Auf die Beweise all der folgenden Aussagen über Potenzreihen musste in der Vorlesung leider verzichtet werden, aber hier
werden wir die Beweise mit aufführen.
Lemma 11.6 (Konvergenzverhalten
P∞ von Potenzreihen)
Sei K ∈ {R, C} und sei f (z) = n=0 an (z − z0 )n eine Potenzreihe über K mit Entwicklungspunkt z0 ∈ K und Konvergenzradius r. Dann gelten:
(a) Für jedes z ∈ K mit |z − z0 | > r ist die Potenzreihe f (z) divergent.
(b) Sei s ∈ R mit 0 < s < r. Dann existieren Konstanten q, C ∈ R mit s < q ≤ r und
C > 0 mit den folgenden Eigenschaften:
1. Für jedes n ∈ N ist |an | ≤
C
.
qn
2. P
Für jedes z ∈ K mit |z − z0 | ≤ s ist die Reihe f (z) absolut konvergent und
∞
n
n=0 (s/q) ist eine konvergente Majorante von f (z).
3. Für jedes z ∈ K mit |z − z0 | ≤ s gilt |f (z)| ≤
Cq
.
q−s
P
n
Beweis: (a) Angenommen die Reihe ∞
n=0 an (z − z0 ) ist konvergent. Nach §5.Lemma
3 ist (an (z−z0 )n )n∈N eine Nullfolge, und damit ist auch (|an |·|z−z0 |n )n∈N eine Nullfolge,
also nach §4.Lemma 2.(a) insbesondere beschränkt. Es folgt |z − z0 | ≤ r.
(b) Wegen s < r existiert ein q ∈ R mit q > s so, dass die Folge (|an |q n )n∈N beschränkt
ist, d.h. es gibt ein C ∈ R mit C > 0 und |an |q n ≤ C für alle n ∈ N. Insbesondere
haben wir Eigenschaft (1). Für jedes z ∈ K mit |z − z0 | ≤ s folgt weiter
n
n
s
n
n
n |z − z0 |
|an (z − z0 ) | = |an | · |z − z0 | = |an |q ·
≤C
,
n
q
q
305
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
P
n
für alle n ∈ N und wegen s/q < 1 ist ∞
n=0 (s/q) eine konvergente Majorante von f (z).
Nach dem Majorantenkriterium §5.Satz 15 ist damit f (z) absolut konvergent, und wir
haben (2). Schließlich gilt nach §5.Lemma 10 auch
∞
∞
∞ n
X
X
X
s
Cq
n
n
|f (z)| = |an (z − z0 ) | ≤ C
an (z − z0 ) ≤
=
,
n=0
n=0
q
q−s
n=0
und auch (3) ist bewiesen.
Innerhalb des Kreises mit Mittelpunkt z0 und
Radius r ist f (z) also absolut konvergent und außerhalb dieses Kreises ist f (z) divergent, man beDivergenz
zeichnet den Kreis Br (z0 ) mit Radius r und Mittelr
punkt z0 daher auch als den Konvergenzkreis der
x0
Potenzreihe. Für r = +∞ wird der Kreis dabei als
ganz K interpretiert. Im reellen Fall K = R hat
(absolute) Konvergenz
man natürlich eigentlich nur ein Intervall, aber der
Einheitlichkeit halber spricht man weiter von einem
Konvergenzkreis. Was auf dem Rand des Kreises,
also im Fall |z − z0 | = r, passiert, hängt ganz von
der speziellen Potenzreihe ab. Beachte weiter das der Konvergenzradius nur von den
Beträgen der Koeffizienten an abhängt, d.h. die reelle Potenzreihe
F (x) :=
∞
X
|an |xn
n=0
hat denselben Konvergenzradius r, und ist nach Lemma 6 für |x| < r konvergent. Nach
§5.Lemma 10 ist für jedes z ∈ K mit |z − z0 | < r auch
∞
∞
X
X
n
|f (z)| = an (z − z0 ) ≤
|an | · |z − z0 |n = F (|z − z0 |).
n=0
n=0
Es gibt auch eine explizite Formel für den Konvergenzradius, die wir nun herleiten
wollen.
Satz 11.7 (Hadamardsche Formel
P für den Konvergenzradius)
n
Sei K ∈ {R, C} und sei f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) eine Potenzreihe über K mit Entwicklungspunkt z0 und Konvergenzradius r. Dann gilt
r=
1
lim sup
n→∞
306
p
n
|an |
,
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Montag 30.1.2017
wobei 1/0 als +∞ zu interpretieren ist. Gibt es ein n0 ∈ N mit an 6= 0 für alle n ≥ n0
und ist die Folge (|an |/|an+1 |)n≥n0 in R konvergent, so ist auch
r = lim
n→∞
|an |
.
|an+1 |
p
Beweis: Wir schreiben s := lim supn→∞ n |an | ∈ R≥0 ∪ {+∞}. Sei q ∈ R>0 so, dass die
Folge (|an |q n )n∈N beschränkt ist, d.h. es gibt
ein C >√
0 mit |an |q n ≤ C für alle n ∈ N.
p
n
n
Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist damit auch |an |q ≤ C, und es folgt
p
p
√
√
n
n
qs = q · lim sup n |an | = lim sup( n |an |q) ≤ lim sup C = lim C = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Insbesondere ist s 6= +∞ und q ≤ 1/s. Im Fall s = +∞ ist die Folge (|an |q n )n∈N also
nur für q = 0 beschränkt, und somit ist r = 0 = 1/s. Wir können jetzt also s < +∞
annehmen, und haben dann q ≤ 1/s für jedes q ∈ R≥0 für das (|an |q n )n∈N beschränkt
ist, wobei für s = 0 der Quotient 1/s = +∞ interpretiert wird. Dies zeigt r ≤ 1/s. Sei
jetzt q ∈ R mit 0 ≤ q < 1/s, also sq < 1. Dann ist
p
p
lim sup n |an q n | = q · lim sup n |an | = sq < 1,
n→∞
n→∞
und nach dem Wurzelkriterium §5.Korollar 16 ist f (z0 + q) absolut konvergent. Mit
Lemma 6.(a) folgt q ≤ r. Da dies für jedes q ∈ [0, 1/s) gilt, folgt auch 1/s ≤ r, d.h.
insgesamt ist r = 1/s auch im Fall s < +∞.
Damit ist die erste Aussage bewiesen, und wir kommen zur zweiten Behauptung.
Nehme nun also an 6= 0 für alle n ≥ n0 sowie die Existenz des Grenzwertes t :=
limn→∞ |an |/|an+1 | ∈ R≥0 ∪ {+∞} an. Nach den Rechenregeln für Folgengrenzwerte
zusammen mit den Ergänzungen für Grenzwerte in R folgt auch die Existenz von
limn→∞ |an+1 |/|an | = 1/t in R wenn wir wieder 1/t = +∞ für t = 0 setzen. Mit
§5.Lemma 17.(c) folgt auch
lim sup
p
n
|an | = lim
p
n
n→∞
n→∞
und somit ist
r=
|an+1 |
1
= ,
n→∞ |an |
t
|an | = lim
1
lim sup
p
n
|an |
= t.
n→∞
Damit ist auch die Quotientenformel für den Konvergenzradius bewiesen.
Mit dieser Formel können
jetzt beispielsweise den Konvergenzradius jeder PoPwir
∞
tenzreihe der Form f (z) = n=n0 an (z − z0 )n berechnen in der die Koeffizienten die
Form
br n r + · · · + b0
an =
cs ns + · · · + c0
307
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
für n ≥ n0 haben. Dabei soll br , cs 6= 0 sein und der Nenner werde für n ≥ n0 nicht Null.
In einem Beispiel in §4.1 hatten
wir nämlich eingesehen, dass für jede Folge (an )n≥n0
p
n
dieser Form stets limn→∞ |an | = 1 gilt und damit hat die Potenzreihe
∞
X
f (z) =
an z n
n=n0
den Konvergenzradius 1.
Wir hatten behauptet das sich Potenzreihen gut behandeln lassen, und als eine erste
Illustration dieser Tatsache wollen wir jetzt den Funktionsgrenzwert einer Potenzreihe
in ihrem Entwicklungspunkt berechnen. Sei also eine Potenzreihe
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
über K ∈ {R, C} mit dem Entwicklungspunkt z0 ∈ K und einem positiven Konvergenzradius r > 0 gegeben. Für jedes z ∈ K mit 0 < |z − z0 | < r konvergiert dann
∞
X
an+1 (z − z0 )n =
n=0
∞
1 X
f (z) − a0
an (z − z0 )n =
,
z − z0 n=1
z − z0
also hat die Potenzreihe
g(z) :=
∞
X
an+1 (z − z0 )n
n=0
nach Lemma 6.(a) einen Konvergenzradius r0 ≥ r. Außerdem zeigt unsere Rechnung
auch f (z) = a0 + (z − z0 )g(z) für jedes z ∈ K mit 0 < |z − z0 | < r. Wählen wir nun
ein 0 < s < r so gibt es nach Lemma 6.(b) eine Konstante C > 0 mit |g(z)| ≤ C für
alle z ∈ K mit |z − z0 | ≤ s. Sei schließlich (zn )n∈N eine gegen z0 konvergente Folge in
K mit 0 < |zn − z0 | < r für jedes n ∈ N. Dann gibt es ein n0 ∈ N mit 0 < |z − z0 | < s
für alle n ∈ N mit n ≥ n0 , und somit auch
|f (zn ) − a0 | = |zn − z0 | · |g(zn )| ≤ C|zn − z0 |
für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 . Das Einschnürungslemma §4.Lemma 5.(b) ergibt schließlich
(f (zn ) − a0 )n∈N −→ 0, d.h. lim f (zn ) = a0 .
n→∞
Damit haben wir den Funktionsgrenzwert
lim f (z) = a0 = f (z0 )
z→z0
unserer Potenzreihe im Entwicklungspunkt berechnet. Um auch die Grenzwerte in anderen Punkten des Konvergenzkreises zu bestimmen, wollen wir uns überlegen das
sich jeder Punkt im Konvergenzkreis als Entwicklungspunkt verwenden läßt. Hierzu
308
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
benötigen wir noch eine weitere kleine Konsequenz
P der Formelnfür den Konvergenzradius. Angenommen wir haben eine Potenzreihe ∞
n=0 an (z −z0 ) mit Konvergenzradius
r. Dann ist auch für jeden Index n0 ∈ N und jedes z ∈ K\{z0 }
∞
X
an0 +n (z − z0 )n =
n=0
∞
X
1
an +n (z − z0 )n0 +n
(z − z0 )n0 n=0 0
1
=
(z − z0 )n0
∞
X
an (z − z0 )n −
n=0
P∞
nX
0 −1
!
an (z − z0 )n ,
n=0
P∞
n
d.h. genau dann ist n=0 an0 +n (z −z0 )n konvergent
P∞ wenn n=0nan (z −z0 ) konvergiert.
Mit Lemma 6 folgt das auch die Potenzreihe n=0 an0 +n (z −z0 ) den Konvergenzradius
r hat, und damit folgt auch
p
p
lim sup n |an0 +n | = lim sup n |an |.
n→∞
n→∞
Dies kann man sich natürlich auch direkt überlegen, aber so ist es einfacher.
Lemma 11.8 (Wechsel des Entwicklungspunktes)
P
n
Sei K ∈ {R, C} und sei f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) eine Potenzreihe über K mit Entwicklungspunkt z0 und Konvergenzradius r > 0. Weiter sei z1 ∈ K mit |z1 − z0 | < r.
Für jedes n ∈ N ist die Reihe
∞ X
n+k
bn :=
an+k (z1 − z0 )k
n
k=0
P
n
absolut konvergent und die Potenzreihe g(z) = ∞
n=0 bn (z − z1 ) hat einen Konvergenzradius r0 ≥ r − |z1 − z0 | > 0. Für jedes z ∈ K mit |z − z1 | < r − |z1 − z0 | ist f (z) = g(z).
Beweis: Sei n ∈ N. Für jedes k ∈ N ist dann
(k + 1) · . . . · (k + n)
n+k
(n + k)!
=
=
,
n
k!n!
n!
d.h. dieser Binomialkoeffizient ist ein Polynom von Grad n in k und wie wir schon in
einem Beispiel in §4.1 gesehen haben ist damit
s
n+k
k
lim
= 1.
k→∞
n
Mit §4.Lemma 12.(c) folgt jetzt auch
s
p
|z1 − z0 |
k n + k
an+k (z1 − z0 )k = |z1 − z0 | lim sup k |an+k | =
< 1,
lim sup n
r
k→∞
k→∞
309
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
und nach dem Wurzelkriterium §5.Korollar 16 ist
bn :=
∞ X
n+k
k=0
n
an+k (z1 − z0 )k
absolut konvergent. Setze s := r − |z1 − z0 | > 0 und sei z ∈ K mit |z − z1 | < s. Dann ist
auch |z −
Pz0 | ≤ |z − z1 | +n |z1 − z0 | < s + |z1 − z0 | = r und nach Lemma 6 ist die Reihe
f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) absolut konvergent. Wir zeigen, dass auch g(z) konvergent
mit demselben Grenzwert ist.
P
Sei also > 0 gegeben. Wegen |z −z1 |+|z1 −z0 | < r ist die Reihe ∞
n=0 |an |(|z −z1 |+
n
Reihen §5.Satz 9 existiert
|z1 − z0 |) konvergent, und nach dem Cauchy-Kriterium fürP
m
ein n0 ∈ N so, dass für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n0 stets
k=n |ak | · (|z − z1 | + |z1 −
P
n
k
z0 |) < /3 gilt. Weiter existiert ein n1 ∈ N mit |f (z) − k=0 ak (z − z0 )k | < /3 für alle
n ∈ N mit n ≥ n1 . Setze k0 := max{n0 , n1 }. Sei k ∈ N mit k ≥ k0 . Für jedes 0 ≤ i ≤ k
ist dann
i
bi (z − z1 ) =
∞ X
i+j
j=0
i
j
i
ai+j (z1 − z0 ) (z − z1 ) =
∞ X
j
j=i
i
aj (z1 − z0 )j−i (z − z1 )i ,
und somit existiert ein mi ∈ N mit mi ≥ i und
m X
j
j−i
i
i
aj (z1 − z0 ) (z − z1 ) <
bi (z − z1 ) −
i
3(k + 1)
j=i
für alle m ∈ N mit m ≥ mi . Setze schließlich n∗ := max{m0 , . . . , mk , k + 1} ∈ N. Dann
ist
k
X n X
n−i
i
i
b
(z
−
z
)
−
a
(z
−
z
)
(z
−
z
)
i
1
n
1
0
1
i
i=0
0≤i≤n≤n∗
i≤k
∗
n k
k X
X
X
n
i
n−i
i
= .
≤
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) <
bi (z − z1 ) −
3(k + 1)
3
i
i=0
i=0
n=i
310
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
Weiter haben wir nach der binomischen Formel §1.Lemma 7
n
an (z1 − z0 )n−i (z − z1 )i
i
0≤i≤n≤n∗
X
i≤k
n∗ X
k X
n
n−i
i
=
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) +
an (z1 − z0 )n−i (z − z1 )i
i
i
n=0 i=0
n=k+1 i=0
∗
k
n
k X
X
X
n
n
=
an (z1 − z0 + z − z1 ) +
an (z1 − z0 )n−i (z − z1 )i
i
n=0
n=k+1 i=0
n∗ X
k k
X
X
n
n
an (z − z0 ) +
an (z1 − z0 )n−i (z − z1 )i
=
i
n=0
n=k+1 i=0
k X
n X
n
und ebenfalls nach der binomischen Formel §1.Lemma 7 sowie der Annahme k ≥ k0 ≥
n0 ist dabei
∗
n∗ X
k n
k X
X
X
n
n
n−i
i
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) ≤
|an | · |z1 − z0 |n−i |z − z1 |i
i
i
n=k+1 i=0
n=k+1 i=0
∗
n
n
n∗
X
X
X
n
n−i
i
≤
|an |
|z1 − z0 | |z − z1 | =
|an |(|z1 − z0 | + |z − z1 |)n < .
i
3
i=0
n=k+1
n=k+1
Dies zeigt
k
X
X
n
n−i
i
n
a
(z
−
z
)
(z
−
z
)
−
a
(z
−
z
)
n
1
0
1
n
0
i
0≤i≤n≤n∗
n=0
i≤k
∗
n
k X
X
n
n−i
i
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) < .
=
3
i
n=k+1 i=0
311
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
Wegen k ≥ k0 ≥ n1 ist andererseits auch |f (z) −
haben insgesamt die Abschätzung
Pk
n=0
an (z − z0 )n | < /3, und wir
k
k
X
X
an (z − z0 )n bi (z − z1 )i ≤ f (z) −
f (z) −
n=0
i=0
X
X
k
n
n
n−i
i
an (z − z0 ) −
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) + i
n=0
0≤i≤n≤n∗
i≤k
k
X
X
n
n−i
i
i
an (z1 − z0 ) (z − z1 ) −
bi (z − z1 ) +
0≤i≤n≤n∗ i
i=0
i≤k
<
+ + = .
3 3 3
Damit haben wir
∞
X
n=0
n
bn (z − z1 ) = lim
k→∞
k
X
bn (z − z1 )n = f (z)
n=0
P
n
eingesehen, d.h. die Potenzreihe g(z) = ∞
n=0 bn (z − z1 ) konvergiert in z mit g(z) =
f (z). Nach Lemma 6 ist insbesondere r0 ≥ |z − z1 |. Da dies für jedes z ∈ K mit
|z − z1 | < r − |z1 − z0 | gilt, ist damit auch r0 ≥ r − |z1 − z0 |.
Wir können also tatsächlich jeden Punkt im Konvergenzkreis einer Potenzreihe als Entwicklungspunkt verwenden, und dies erlaubt es uns jetzt beliebige Funktionsgrenzwerte
P
n
von Potenzreihen zu berechnen. Seien erneut K ∈ {R, C} und f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 )
eine Potenzreihe über K mit einem Entwicklungspunkt z0 ∈ K und positiven Konvergenzradius r > 0. Weiter sei w ∈ K mit |w − z0 | < r im Konvergenzkreis von f .
Wählen wir dann ein > 0 mit |w − z0 | + < r so gibt es nach dem eben bewiesenen
Lemma eine Potenzreihe g mit Entwicklungspunkt w und Konvergenzradius r0 ≥ für
die g|B (w) = f |B (w) gilt, nämlich
#
"∞ ∞
X
X n + k
g(z) =
an+k (w − z0 )k · (z − w)n .
k
n=0 k=0
Wir wissen bereits limz→w g(z) = g(w) = f (w), also ergibt die Lokalität Lemma 3 von
Funktionsgrenzwerten auch
lim f (z) = lim (f |Br (w))(z) = lim (g|Br (w))(z) = lim g(z) = f (w).
z→w
z→w
z→w
312
z→w
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
11.3
Montag 30.1.2017
Stetige Funktionen
Im letzten Abschitt hatten wir gesehen, dass bei einer Potenzreihe f über K = R oder
K = C in jedem Punkt a im Konvergenzkreis von f die Gleichung limx→a f (x) = f (a)
gilt. Man bezeichnet dies als die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle a. Dies ist
natürlich nur dann sinnvoll wenn wir überhaupt von einem Grenzwert der Funktion f
in x = a sprechen können, wenn also a ein Häufungspunkt des Definitionsbereich der
Funktion f ist. In allen anderen Punkten wollen wir die Funktion ebenfalls als stetig
bezeichnen. Dies ist kein wesentlicher Punkt, es ist ein Randfall der normalerweise gar
nicht auftritt, wir müssen ihn hier nur der Vollständigkeit halber mit erfassen.
Definition 11.4 (Stetigkeit in einem Punkt)
Seien K, L ∈ {R, C} und D ⊆ K. Dann heißt eine Funktion f : D → L stetig in einem
Punkt a ∈ D, wenn entweder a ∈
/ D0 kein Häufungspunkt von D ist oder a ∈ D0 und
limx→a f (x) = f (a) gelten.
Beachte das wir überhaupt nur in Punkten in denen die Funktion f definiert ist, von
Stetigkeit sprechen, das weicht etwas von der in der Schule manchmal verwendeten
Terminologie ab. Beispielsweise ist die Frage ob eine der Funktionen f : R\{0} →
R; x 7→ 1/x oder g : R\{0} → R; x 7→ sin x/x in x = 0 stetig ist, völlig sinnlos. Was
man fragen kann, ist ob der Grenzwert in x = 0 existiert, aber das ist eine andere Frage.
Sind K ∈ {R, C} und f : K → K ein Polynom, so haben wir bereits gesehen das für
jeden Punkt a ∈ K stets limx→a f (x) = f (a) gilt, d.h. Polynome sind in jedem Punkt
stetig. Entsprechendes gilt dann für rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen
ihres Nenners.
Man kann die Stetigkeitsdefinition auf verschiedene Weisen umformulieren, und
damit insbesondere die etwas störende Fallunterscheidung zum Verschwinden bringen.
Lemma 11.9 (Charakterisierung der Stetigkeit in einem Punkt)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K, a ∈ D und f : D → L eine Funktion. Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Funktion f ist in a stetig.
(b) Für jede Folge (xn )n∈N in D mit (xn )n∈N −→ a gilt auch (f (xn ))n∈N −→ f (a).
(c) Für jedes ∈ R mit > 0 existiert ein δ ∈ R mit δ > 0 so, dass für jedes x ∈ D
mit |x − a| < δ stets |f (x) − f (a)| < ist.
Beweis: (a)=⇒(b). Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D. Wir betrachten
dann die beiden Mengen
I1 := {n ∈ N|xn 6= a} und I2 := {n ∈ N|xn = a},
und unterscheiden drei verschiedene Fälle.
313
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
Fall 1. Sei die Menge I1 endlich, d.h. es gibt ein n0 ∈ N mit xn = a für alle n ≥ n0 .
Dann ist auch f (xn ) = f (a) für alle n ≥ n0 und somit gilt (f (xn ))n∈N −→ f (a).
Fall 2. Sei die Menge I2 endlich, d.h. es gibt ein n0 ∈ N mit xn 6= a für alle n ≥ n0 .
Dann ist (xn )n≥n0 eine gegen a konvergente Folge in D\{a} und insbesondere ist a ∈ D0
ein Häufungspunkt von D. Da die Funktion f in a stetig ist, folgt
lim f (xn ) = lim f (x) = f (a).
n→∞
x→a
Fall 3. Seien I1 und I2 beide unendlich. Wir definieren die Teilfolgen (xn(1) )k∈N und
k
(j)
(xn(2) )k∈N von (xn )n∈N durch Ij = {nk |k ∈ N} für j = 1, 2. Nach §4.Lemma 1.(a) gilt
k
auch (xn(j) )k∈N −→ a für j = 1, 2, und analog zu den beiden bereits behandelten Fällen
k
haben wir auch (f (xn(j) ))k∈N −→ f (a) für j = 1, 2. Nach §4.Lemma 1.(d) ist damit
k
auch (f (xn ))n∈N −→ f (a).
(b)=⇒(a). Ist a kein Häufungspunkt von D, so ist die Aussage klar, wir können also
a ∈ D0 annehmen. Für jede gegen a konvergente Folge (xn )n∈N in D\{a} ⊆ D ist dann
nach unserer Annahme auch (f (xn ))n∈N −→ f (a), d.h. wir haben limx→a f (x) = f (a),
und somit ist f auch in diesem Fall stetig in a.
(a)=⇒(c). Ist a ∈
/ D0 kein Häufungspunkt von D, so existiert ein δ > 0 mit {x ∈ D :
|x − a| < δ} = {a}, und dann ist für jedes x ∈ D mit |x − a| < δ wegen x = a auch
f (x) = f (a) und |f (x) − f (a)| = 0. Wir können also annehmen das a ∈ D0 ist, und
dann ist auch limx→a f (x) = f (a). Sei > 0. Nach Lemma 1.(f) existiert ein δ > 0 mit
|f (x) − f (a)| < für alle x ∈ D mit 0 < |x − a| < δ. Ist also x ∈ D mit |x − a| < δ, so
ist im Fall x 6= a sofort |f (x) − f (a)| < und im Fall x = a haben wir trivialerweise
ebenfalls |f (x) − f (a)| = 0 < .
(c)=⇒(a). Ist a ∈
/ D0 so sind wir bereits fertig. Nun sei a ∈ D0 . Dann gilt nach Lemma
1.(f) auch limx→a f (x) = f (a) und f ist auch in diesem Fall in a stetig.
Die Bedingung in (c) kann man als
∀( > 0)∃(δ > 0)∀(x ∈ D) : |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (x)| < schreiben, und bezeichnet dies als die –δ Definition der Stetigkeit in a. Oftmals wird
auch diese Bedingung als die Definition der Stetigkeit in a verwendet, wie bei den
Funktionsgrenzwerten ist dies im wesentlichen eine Geschmacksfrage. Eine Interpretation der –δ Bedingung ist es sich diese als eine Bedingung an Fehlerschranken zu
denken. Geben wir uns eine Fehlerschranke für die Werte der Funktion vor, so finden
wir eine passende Fehlerschranke δ für die Argumente der Funktion so, dass wann immer x eine Näherung an a mit Fehler höchstens δ ist, also wenn |x − a| < δ gilt, der
Wert f (x) eine Näherung an f (a) mit dem Fehler höchstens ist, also |f (x)−f (a)| < .
Nachdem wir bisher nur die Stetigkeit in einem einzelnen Punkt des Definitionsbereichs
betrachtet haben, kommen wir nun zur Stetigkeit der gesamten Funktion.
Definition 11.5 (Stetige Funktionen)
Seien K, L ∈ {R, C} und D ⊆ K eine Teilmenge. Dann heißt eine Funktion f : D → L
stetig wenn sie in jedem Punkt a ∈ D stetig ist.
314
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 30.1.2017
Nach den Beispielen im ersten Abschnitt dieses Kapitels sind beispielsweise Polynome
p : R → R beziehungsweise p : C → C stetige Funktionen und ebenso sind rationale
Funktionen stetig. Jede der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Eigenschaften von Funktionsgrenzwerten ergibt auch eine entsprechende Eigenschaft des Stetigkeitsbegriffs in
einem Punkt. Das folgende Lemma fasst einen Großteil der sich so ergebenden Eigenschaften und ihre Implikationen für die Stetigkeit der gesamten Funktion zusammen.
Lemma 11.10 (Grundeigenschaften der Stetigkeit in einem Punkt)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K und f : D → L eine Funktion.
(a) Ist f stetig beziehungsweise in einem Punkt a ∈ D stetig, so ist auch die Funktion
|f | stetig beziehungsweise in a stetig.
(b) Ist L = C, so ist f genau dann stetig beziehungsweise in einem Punkt a ∈ D
stetig, wenn die beiden Funktionen Re ◦f und Im ◦f stetig beziehungsweise in a
stetig sind.
(c) Ist M ⊆ D eine Teilmenge und ist f stetig beziehungsweise in einem Punkt a ∈ M
stetig, so ist auch f |M stetig beziehungsweise in a stetig.
e := {x ∈ D : |x − a| < }. Dann ist f genau dann
(d) Seien a ∈ D, > 0 und setze D
e in a stetig ist.
in a stetig wenn f |D
(e) Ist K = R und a ∈ D, so ist f genau dann in a stetig, wenn die folgenden beiden
Aussagen gelten:
1. Entweder ist a kein rechtsseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D und es gilt lim f (x) = f (a).
x↓a
2. Entweder ist a kein linksseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein linksseitiger Häufungspunkt von D und es gilt lim f (x) = f (a).
x↑a
Beweis: (a) Sei f stetig in einem Punkt a ∈ D. Ist a ∈
/ D0 so ist |f | in a stetig und ist
0
a ∈ D so gilt nach Lemma 1.(e) auch
lim |f (x)| = lim f (x) = |f (a)|,
x→a
x→a
d.h. |f | ist auch in diesem Fall in a stetig. Insbesondere impliziert die Stetigkeit von f
auch die von |f |.
(b) Sei a ∈ D gegeben und wir wollen die Aussage über Stetigkeit in a beweisen. Ist
dabei a ∈
/ D0 , so sind f , Re ◦f und Im ◦f alle stetig in a und die Behauptung ist klar,
wir können also a ∈ D0 annehmen. Nach Lemma 1.(c) existiert der Funktionsgrenzwert
315
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
von f in a genau dann wenn die beiden Funktionsgrenzwerte von Re ◦f und Im ◦f in
a existieren und in diesem Fall ist
lim f (x) = lim Re(f (x)) + i · lim Im(f (x)),
x→a
x→a
x→a
also ist weiter auch genau dann limx→a f (x) = f (a) wenn limx→a Re(f (x)) = Re(f (a))
und limx→a Im(f (x)) = Im(f (a)) gelten. Insgesamt ist f damit auch genau dann in
a stetig wenn Re ◦f und Im ◦f dies sind. Dies beweist die Aussage über Stetigkeit in
einem Punkt, und damit ist f auch genau dann stetig wenn Re ◦f und Im ◦f dies sind.
(c) Nehme zunächst an das f in einem Punkt a ∈ M stetig ist. Ist a ∈
/ M 0 , so ist auch
0
die Einschränkung f |M in a stetig und ist a ∈ M so ist zunächst auch a ∈ D0 und
Lemma 1.(g) ergibt die Existenz des Funktionsgrenzwerts
lim (f |M )(x) = lim f (x) = f (a) = (f |M )(a),
x→a
x→a
d.h. f |M ist auch in diesem Fall in a stetig. Insbesondere impliziert die Stetigkeit von
f auch die von f |M .
(d) ”=⇒” Dies ist klar nach (c).
”⇐=” Ist a ∈
/ D0 so ist f in a stetig und ist a ∈ D0 so existiert nach Lemma 3 der
Funktionsgrenzwert
e
e
lim f (x) = lim (f |D)(x)
= (f |D)(a)
= f (a),
x→a
x→a
d.h. f ist auch in diesem Fall in a stetig.
(e) Ist a ∈
/ D0 so ist a auch kein rechts- oder linksseitiger Häufungspunkt von D und
dann ist f stetig in a und die beiden Aussagen (1), (2) gelten. Ist dagegen a ∈ D0 , so
ist f genau dann in a stetig wenn limx→a f (x) = f (a) gilt und nach Lemma 4 ist dies
genau dann der Fall wenn die beiden Aussagen (1) und (2) zutreffen.
Vorlesung 25, Freitag 3.2.2017
In der letzten Sitzung haben wir eine Funktion f in einem Punkt a ihres Definitionsbereichs stetig genannt wenn ihr Funktionsgrenzwert in a mit dem Funktionswert
in a übereinstimmt, wenn also limx→a f (x) = f (a) gilt. Dies ist so nur sinnvoll wenn a
überhaupt ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f ist und in allen anderen
Fällen wird f ebenfalls als in a stetig bezeichnet. Die Funktion heißt wenn sie in jedem
Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist. Wir hatten auch erste Aussagen über diesen
Stetigkeitsbegriff bewiesen, und wollen diese verwenden um nun einige Beispiele zu
diskutieren.
316
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
1. Sei K ∈ {R, C}. Dann ist die identische Funktion idK : K → K als Polynom
stetig, und nach Teil (a) des Lemmas ist damit die Betragsfunktion
| | : K → R; x 7→ |x|
stetig.
2. Starten wir erneut mit der stetigen Funktion idC : C → C, so sind nach Teil (b)
des Lemmas auch die beiden Funktionen
Re : C → R; z 7→ Re(z) und Im : C → R; z 7→ Im(z)
stetig.
3. Als ein letztes Beispiel zeigen wir das die Funktion f : R → R definiert durch
f (x) = xH(x) für jedes x ∈ R stetig ist. In einem früheren Beispiel hatten wir
bereits eingesehen, dass zumindest
lim f (x) = lim xH(x) = 0 = f (0)
x→0
x→0
gilt, die Funktion f ist also im Nullpunkt stetig. Wir müssen somit nur noch
die Stetigkeit in von Null verschiedenen Punkten nachweisen, sei also a ∈ R\{0}
gegeben. Ist a < 0, so setzen wir := −a > 0 und haben D := {x ∈ R : |x − a| <
} = (2a, 0) und für jedes x ∈ D gelten damit x < 0 und f (x) = 0, also ist die
Einschränkung f |D konstant gleich Null und damit in a stetig. Nach Teil (d) des
Lemmas ist auch f in a stetig. Nun sei a > 0. Dann betrachten wir := a > 0
und haben D := {x ∈ R : |x − a| < } = (0, 2a) und für jedes x ∈ D gelten
x > 0 und f (x) = x, also ist die Einschränkung f |D ein Polynom und somit in
a stetig. Damit ist wieder nach Teil (d) des Lemmas auch die Funktion f in a
stetig. Damit haben wir die Stetigkeit von f in jedem Punkt a ∈ R eingesehen
und f ist eine stetige Funktion.
Einige der bisher behandelten Aussagen über die Stetigkeit in einem Punkt lassen sich
für stetige Funktionen noch etwas günstiger formulieren.
Lemma 11.11 (Charakterisierung der Stetigkeit)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K und f : D → L eine Funktion.
(a) Die Funktion f ist genau dann stetig wenn für jede konvergente Folge (xn )n∈N in
D mit limn→∞ xn ∈ D auch die Folge (f (xn ))n∈N konvergent ist mit
lim f (xn ) = f lim xn .
n→∞
n→∞
(b) Sind K = R und a ∈ R, so ist f genau dann stetig wenn die beiden Einschränkungen f |D≥a und f |D≤a stetig sind.
317
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
Beweis: (a) Die Funktion f ist genau dann stetig wenn sie in jedem Punkt a ∈ D
stetig ist, und nach Lemma 9 ist dies genau dann der Fall wenn für jedes a ∈ D und
jede Folge (xn )n∈N in D mit (xn )n∈N −→ a stets (f (xn ))n∈N −→ f (a) gilt. Dies ist
gerade die angegebene Bedingung.
(b) ”=⇒” Klar nach Lemma 10.(c).
e := {x ∈ D : |x − p| <
”⇐=” Sei p ∈ D. Ist p > a, so setzen wir := p − a > 0 und D
e = (f |D≥a )|D
e in p stetig und nach Lemma 10.(d)
} ⊆ D≥a . Nach Lemma 10.(c) ist f |D
ist damit auch f in p stetig. Ist p < a so folgt die Stetigkeit von f in p analog. Wir
müssen also nur noch im Fall a ∈ D die Stetigkeit von f in a zeigen, und diese ist klar
nach Lemma 10.(e).
Wir wollen uns auch zu diesem Lemma ein Beispiel
anschauen und die Stetigkeit der rechts gezeigten
Funktion


0,
x ≤ −2,




2 + x, −2 ≤ x ≤ −1,

f : R → R; x 7→ 1,
−1 ≤ x ≤ 1,


2 − x, 1 ≤ x ≤ 2,



0,
x≥2
f(x)
−2
−1
1
2
x
beweisen. Zunächst sind die konstante Funktion
f |(−∞, −2] und die Funktion f |[−2, −1] als Einschränkung eines Polynoms stetig,
und damit ist nach Teil (b) des obigen Lemmas auch f |(−∞, −1] stetig. Weiter ist
dann die konstante Funktion f |[−1, 1] stetig, und wieder nach Teil (b) des Lemmas
ist f |(−∞, 1] stetig. Fahren wir noch zweimal so fort, so erhalten wir schließlich die
Stetigkeit der Funktion f : R → R. Diese Argumentation läßt sich auf alle ähnlichen Situationen übertragen so, dass man nur noch überprüfen muss das die einzelnen Stücke
zusammenpassen.
Die Aussage (a) des eben bewiesenen Lemmas besagt, dass die Stetigkeit einer
Funktion f : D → L gleichwertig zur Gültigkeit der Formel
lim f (xn ) = f lim xn
n→∞
n→∞
ist, genauer das wann immer eine Folge (xn )n∈N in D gegeben ist für die die rechte
Seite sinnvoll ist, die also gegen einen Punkt aus dem Definitionsbereich D von f
konvergiert, auch die linke Seite der Gleichung existiert und gleich der rechten Seite
ist. Diese Bedingung können wir nun von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten
übertragen.
Lemma 11.12 (Stetigkeit und Hintereinanderausführungen)
e ⊆ K 0, g : D
e → K 00 eine in einem Punkt b ∈ D
e
Seien K, K 0 , K 00 ∈ {R, C}, D ⊆ K, D
e sei eine weitere Funktion.
stetige Funktion und f : D → D
318
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
(a) Sei a ∈ K ein Häufungspunkt von D mit limx→a f (x) = b. Dann gilt auch
lim g(f (x)) = g(b).
x→a
(b) Ist a ∈ D und ist f in a stetig mit f (a) = b, so ist auch g ◦ f : D → K 00 in a
stetig.
Beweis: (a) Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in D\{a}. Dann ist auch
(f (xn ))n∈N −→ b und nach Lemma 9 ist damit (g(f (xn )))n∈N −→ g(b). Somit konvergiert die Funktion g ◦ f an der Stelle a gegen g(b).
(b) Ist a ∈
/ D0 so ist dies klar und ist a ∈ D0 , so gilt limx→a f (x) = f (a) = b und nach
(a) ist auch limx→a g(f (x)) = g(b) = g(f (a)), d.h. g ◦ f ist auch in diesem Fall in a
stetig.
Zum Abschluß dieser allgemeinen Aussagen über stetige Funktionen wollen wir auch
noch die arithmetischen Rechenregeln für diese Funktionen festhalten.
Satz 11.13 (Rechenregeln für die Stetigkeit)
Seien K, L ∈ {R, C}, D ⊆ K und f, g : D → L zwei stetige beziehungsweise in einem
Punkt a ∈ D stetige Funktionen. Dann gelten:
(a) Die Funktion f + g : D → L ist stetig beziehungsweise in a stetig.
(b) Für jedes c ∈ L ist die Funktion cf : D → L stetig beziehungsweise in a stetig.
(c) Die Funktion f · g : D → L ist stetig beziehungsweise in a stetig.
(d) Ist g(x) 6= 0 für alle x ∈ D, so ist die Funktion f /g : D → L stetig beziehungsweise
in a stetig.
e ∈ {R, C}, D
e ⊆K
e und h : D
e → D stetig beziehungsweise in einem
(e) Sind auch K
e mit h(e
Punkt e
a ∈ D
a) = a stetig, so ist auch die Hintereinanderausführung
e → L stetig beziehungsweise in e
g◦h:D
a stetig.
Beweis: (a,b,c,d) Die Aussagen über die Stetigkeit in einem Punkt a ∈ D sind im
Fall a ∈
/ D0 klar, und im Fall a ∈ D0 gelten sie nach den entsprechenden Aussagen in
Satz 5. Hieraus folgen dann auch die Stetigkeitsaussagen auf ganz D.
(e) Die Aussage über die Stetigkeit in einem Punkt gilt nach Lemma 12.(b) und hieraus
e
folgt die Aussage über die Stetigkeit auf ganz D.
Können wir also eine Funktion als eine Formel in schon als stetig bekannten Funktionen
hinschreiben, so ist sie ebenfalls stetig. Beispielsweise ist damit die Funktion
f : R → R; x 7→
|x3 − 7x + 1| + |x| + x
1 + |x − 5|
319
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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stetig, wie wir einmal im Detail vorführen wollen. Zunächst ist g1 : R → R; x 7→
x3 − 7x + 1 als ein Polynom stetig und wir wissen auch das die Betragsfunktion g2 =
| | : R → R stetig ist. Damit ist auch die Hintereinanderausführung g3 := g2 ◦ g1 stetig,
und diese ist für jedes x ∈ R gegeben als g3 (x) = g2 (g1 (x)) = |x3 − 7x + 1|. Weiter ist
dann auch der Zähler g4 : R → R; x 7→ |x3 − 7x + 1| + |x| + x als Summe dreier stetiger
Funktionen stetig. Analog folgt die Stetigkeit des Nenners g5 : R → R; x 7→ 1 + |x − 5|
und wegen g5 (x) ≥ 1 > 0 für jedes x ∈ R ist schließlich auch der Quotient f = g4 /g5
stetig.
Als nächstes Beispiel betrachten wir die komplexe Konjugation
: C → C; z 7→ z.
Die Stetigkeit von Real- und Imaginärteil hatten wir bereits in einem früheren Beispiel
eingesehen. Damit ist die Funktion Re ◦ = Re stetig und die Funktion Im ◦ = − Im
ist als Vielfaches einer stetigen Funktion ebenfalls stetig. Nach Lemma 10.(b) ist damit
auch die komplexe Konjugation stetig.
Wir wollen uns auch noch ein weiteres Beispiel anschauen. Zunächst seien a, b ∈ R
zwei reelle Zahlen und schreibe M := max{a, b} und m := min{a, b}. Dann gelten
M + m = a + b und M − m = |a − b|, also ist
min{a, b} =
a + b + |a − b|
a + b − |a − b|
und max{a, b} =
.
2
2
Nun seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K und f, g : D → R zwei Funktionen. Dann definiere die
Funktionen
min(f, g) : D → R; x 7→ min{f (x), g(x)}, max(f, g) : D → R; x 7→ max{f (x), g(x)}.
Die obige Formel besagt dann das min(f, g) und max(f, g) beide stetig sind wenn f
und g stetig sind, und ebenso gilt dies für die Stetigkeit in einem Punkt. Dies gibt uns
beispielsweise einen zweiten Beweis für die Stetigkeit der Funktion
xH(x) = max{x, 0}.
11.4
Eigenschaften reeller stetiger Funktionen
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit auf R definierten, reellwertigen stetigen
Funktionen. Für derartige Funktionen werden wir zwei grundlegende Sätze herleiten,
zum einen den Satz über die Beschränktheit solcher Funktionen und zum anderen
den sogenannten Zwischenwertsatz. Letzterer ist dabei nur eine etwas exaktere Version
der anschaulichen Beobachtung das stetige Funktionen keine Sprünge haben. Bisher
haben wir nur beschränkte Mengen und Folgen definiert, aber noch keine beschränkten
Funktionen, was wir nun nachholen müssen.
Definition 11.6 (Beschränkte Funktionen)
Seien K ∈ {R, C} und D eine Menge. Eine Funktion f : D → K heißt beschränkt wenn
320
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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ihre Bildmenge f (D) = {f (x)|x ∈ D} ⊆ K beschränkt ist, wenn es also ein C ≥ 0 mit
|f (x)| ≤ C für alle x ∈ D gibt.
Ist K = R, so nennen wir f entsprechend nach oben beschränkt wenn die Menge
f (D) nach oben beschränkt ist und nach unten beschränkt wenn die Menge f (D) nach
unten beschränkt ist.
Eine reellwertige Funktion ist natürlich genau dann beschränkt wenn sie nach oben
und nach unten beschränkt ist. Genau wie wir es für Mengen in §3.2 eingesehen haben,
ist eine komplexwertige Funktion f : D → C genau dann beschränkt wenn die beiden
reellwertigen Funktionen Re ◦f und Im ◦f beide beschränkt sind. Wir kommen nun
zum angekündigten Satz über die Beschränktheit stetiger Funktionen. Für die Gültigkeit dieses Satzes ist nicht nur die Stetigkeit der Funktion wichtig, sondern auch die
Form des Definitionsbereichs der Funktion. Es gibt ja offenbar unbeschränkte stetige
Funktionen wie etwa f (x) = x definiert auf ganz R.
Satz 11.14 (Existenz von Maximum und Minimum)
Seien a, b ∈ R mit a ≤ b und sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann ist f
beschränkt und nimmt ihr Supremum und Infimum an, d.h. es gibt x1 , x2 ∈ [a, b] mit
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) für alle x ∈ [a, b].
Beweis: Setze s := sup f ([a, b]) ∈ R ∪ {+∞}. Weiter wähle eine gegen s konvergente
Folge (sn )n∈N in R mit sn < s für alle n ∈ N, also beispielsweise sn = s − 1/(n + 1)
für jedes n ∈ N im Fall s ∈ R und sn = n für jedes n ∈ N im Fall s = ∞. Für jedes
n ∈ N existiert dann wegen sn < s ein xn ∈ [a, b] mit f (xn ) > sn . Nach dem Satz von
Heine-Borel §4.Satz 13 existiert eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N von (xn )n∈N . Wir
setzen x := limk→∞ xnk und wegen a ≤ xnk ≤ b für alle k ∈ N ist auch a ≤ x ≤ b, d.h.
x ∈ [a, b]. Mit §4.Lemma 5.(a) folgt
s = lim sn = lim snk ≤ lim f (xnk ) = f lim xnk = f (x) ≤ s,
n→∞
k→∞
k→∞
k→∞
d.h. es ist f (x) = s. Insbesondere ist s < +∞, d.h. die Funktion f ist nach oben
beschränkt. Die Aussage über das Minimum folgt analog.
Damit kommen wir zum Zwischenwertsatz. Das wesentliche Beweisprinzip haben wir
schon einmal gesehen, nämlich beim Beweis der Existenz reeller Wurzeln in §1.Lemma
8. Die Details werden sich natürlich unterscheiden, bei der Behandlung der Wurzeln
konnten wir spezifische Abschätzungen über Potenzen verwenden, bei einer allgemeinen
stetigen Funktion muss man dagegen etwas abstrakter vorgehen. Tatsächlich liefert uns
der Zwischenwertsatz auch einen zweiten Beweis der Existenz von Wurzeln.
Satz 11.15 (Zwischenwertsatz)
Seien a, b ∈ R mit a ≤ b und sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Weiter sei y ∈ R
zwischen f (a) und f (b), also f (a) ≤ y ≤ f (b) oder f (b) ≤ y ≤ f (a). Dann existiert
ein x ∈ [a, b] mit f (x) = y.
321
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Beweis: Wir behandeln den Fall f (a) ≤ y ≤ f (b), der andere Fall ist dann analog. Ist
y = f (a) oder y = f (b), so sind wir bereits fertig, d.h. wir können sogar f (a) < y < f (b)
annehmen. Wir betrachten die Menge
M := {x ∈ [a, b]|f (x) ≥ y} ⊆ [a, b].
Wegen b ∈ M ist M nicht leer und durch a nach unten beschränkt, also existiert
x := inf M und es ist a ≤ x ≤ b,
d.h. x ∈ [a, b]. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 ist x + 1/n > x = inf M , also existiert ein
xn ∈ M ⊆ [a, b] mit x ≤ xn < x + 1/n. Nach dem Einschnürungslemma für Folgen
§4.Lemma 5.(b) ist damit limn→∞ xn = x, und wegen f (xn ) ≥ y für alle n ∈ N ist auch
f (x) = f lim xn = lim f (xn ) ≥ y.
n→∞
n→∞
Wegen f (a) < y ist x > a. Insbesondere existiert ein n0 ∈ N mit x − 1/n0 > a, und für
jedes n ≥ n0 haben wir damit auch
a<x−
1
1
≤ x − < x = inf M,
n0
n
also auch x − 1/n ∈
/ M aber x − 1/n ∈ [a, b], also f (x − 1/n) < y. Es folgt
1
1
f (x) = f lim x −
= lim f x −
≤ y.
n→∞
n→∞
n
n
Insgesamt ist somit f (x) = y.
Als ein Beispiel wollen wir einmal die Lösbarkeit von Gleichungen f (x) = y mit stetiger
linker Seite herleiten. Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → R mit limx→−∞ f (x) =
−∞ und limx→∞ f (x) = +∞ und wir wollen zeigen, dass f (x) = y immer lösbar ist, die
Abbildung f also surjektiv ist. Sei nämlich ein y ∈ R gegeben. Wegen limx→−∞ f (x) =
−∞ gibt es dann ein a ∈ R mit f (a) < y und wegen limx→∞ f (x) = +∞ gibt es weiter
ein b ∈ R mit b > a und f (b) > y. Der Zwischenwertsatz liefert dann ein x ∈ [a, b]
mit f (x) = y. Eine Verallgemeinerung dieses Arguments werden wir im folgenden Satz
festhalten. Die Hauptaussage wird dabei sein, dass für auf Intervallen definierte stetige
Funktionen die Begriffe injektiv und streng monoton äquivalent sind. Da wir bisher
Monotonieeigenschaften nur bei Folgen definiert haben, müssen wir diese aber erst
einmal auf reelle Funktionen übertragen.
Definition 11.7: Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. Dann heißt f
1. monoton steigend wenn f (x) ≤ f (y) für alle x, y ∈ I mit x ≤ y gilt,
2. streng monoton steigend wenn f (x) < f (y) für alle x, y ∈ I mit x < y gilt,
322
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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3. monoton fallend wenn f (x) ≥ f (y) für alle x, y ∈ I mit x ≤ y gilt,
4. streng monoton fallend wenn f (x) > f (y) für alle x, y ∈ I mit x < y gilt,
5. monoton wenn f monoton steigend oder monoton fallend ist,
6. streng monoton wenn f streng monoton steigend oder streng monoton fallend
ist.
Beachte das eine streng monotone Funktion f : I → R immer injektiv ist, sind x, y im
Definitionsbereich der Funktion mit x 6= y, so können wir nach eventuellen Vertauschen
von x und y auch x < y annehmen, und haben dann f (x) < f (y) oder f (y) < f (x),
also auf jeden Fall f (x) 6= f (y). Weiter ist die Umkehrfunktion f −1 : f (I) → I wieder
streng monoton von derselben Sorte wie f . Sei f streng monoton steigend. Sind dann
x, y ∈ f (I) mit x < y, so folgte aus f −1 (y) ≤ f −1 (x) auch der Widerspruch y =
f (f −1 (y)) ≤ f (f −1 (x)) = x, es muss also f −1 (x) < f −1 (y) sein und f −1 ist wieder
streng monoton steigend.
Analog folgt das f −1 streng monoton fallend ist wenn f streng
monoton fallend ist. Wie schon bemerkt wollen wir einsehen,
dass eine injektive stetige Funktion streng monoton steigend oder
streng monoton fallend ist. Der Beweis wurde in der Vorlesung
y
nicht vorgeführt, man kann sich aber schnell an einem Bild klarmachen warum die Funktion monoton sein muss. Wenn f irgenda
wann seine Richtung ändert“, also etwa zunächst steigt und dann
”
wieder fällt, so haben wir die nebenstehend abgebildete Situation. Wenden wir dann den Zwischenwertsatz in den links und rechts vom Umkehrpunkt
liegenden Intervallen an, so erhalten wir das ein geeignetes y ∈ R links und rechts von a
von der Funktion als Wert angenommen wird. Dies wiederspricht dann der Injektivität
der Funktion f , da eine injektive Funktion jeden Wert an höchstens einer Stelle annimmt. Dies ersetzt natürlich keinen exakten Beweis, der Vollständigkeit halber werden
wir auch einen solchen angeben.
Satz 11.16 (Monotonie stetiger Funktionen)
Seien ∅ =
6 I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine stetige Funktion.
(a) Das Bild J := f (I) ⊆ R ist wieder ein Intervall.
(b) Genau dann ist f injektiv wenn f streng monoton ist.
(c) Ist f streng monoton, so ist auch die Umkehrfunktion f −1 : J → I stetig.
Beweis: (a) Setze a := inf J ∈ R ∪ {−∞} und b := sup J ∈ R ∪ {+∞}. Dann ist a ≤ b.
Ist sogar a = b, so haben wir J = {a} und sind bereits fertig, wir können also a < b
annehmen. Sei y ∈ R mit inf J = a < x < b = sup J. Dann existieren u, v ∈ I mit
f (u) < x < f (v), und nach dem Zwischenwertsatz Satz 15 existiert ein x zwischen u
323
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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und v, also auch x ∈ I, mit y = f (x) ∈ J. Dies zeigt (a, b) ⊆ J, und damit ist J eines
der höchstens vier möglichen Intervalle mit Grenzen a und b.
(b) Es ist nur die Implikation von links nach rechts zu zeigen, wir nehmen also an,
dass die Funktion f injektiv ist. Wir teilen den Beweis in drei Schritte auf.
(1) Seien a, b ∈ I mit a < b und f (a) < f (b). Dann ist für alle x ∈ (a, b) auch
f (x) ∈ (f (a), f (b)). Andernfalls wäre nämlich f (x) ≤ f (a) oder f (x) ≥ f (b). Ist
f (x) ≤ f (a), so hätten wir f (x) ≤ f (a) < f (b) also liegt f (a) zwischen f (x) und f (b),
d.h. nach Satz 15 existiert ein x0 ∈ [x, b] mit f (x0 ) = f (a). Wegen a < x ≤ x0 ist x0 6= a,
im Widerspruch zur Injektivität von f . Der zweite Fall f (x) ≥ f (b) führt analog zu
einem Widerspruch.
Damit ist Schritt (1) eingesehen. Analog ergibt sich das für a, b ∈ I mit a f (b) auch f (x) ∈ (f (b), f (a)) für alle x ∈ (a, b) ist.
(2) Sind a, b ∈ I mit a < b und f (a) < f (b), so ist f |[a, b] streng monoton steigend.
Seien nämlich x, y ∈ [a, b] mit x < y gegeben. Nach Schritt (1) ist dann f (x) < f (b)
und wegen y ∈ (x, b) ergibt eine weitere Anwendung von Schritt (1) auch f (x) < f (y).
Damit ist auch Schritt (2) eingesehen. Analog folgt das für a, b ∈ I mit a f (b) die Funktion f |[a, b] streng monoton fallend ist.
(3) Jetzt zeigen wir, dass f streng monoton ist. Gilt für alle x, y ∈ I mit x < y
stets f (y) ≤ f (x), so ist sogar f (y) < f (x) für alle x, y ∈ I mit x < y da f injektiv
ist, d.h. die Funktion f ist streng monoton fallend. Andernfalls existieren a, b ∈ I
mit a < b und f (a) < f (b). Seien x, y ∈ I mit x < y. Setze u := min{a, x} ∈ I
und v := max{y, b} ∈ I. Dann ist u ≤ a < b ≤ v und u ≤ x < y ≤ v, also
u < v und a, b, x, y ∈ [u, v]. Wäre f (v) < f (u), so wäre f |[a, b] nach Schritt (2) streng
monoton fallend, im Widerspruch zu f (a) < f (b). Da f injektiv ist, kann auch nicht
f (u) = f (v) sein, d.h. es ist f (u) < f (v). Erneut nach Schritt (2) ist f |[u, v] streng
monoton steigend, und damit haben wir f (x) < f (y). Dies zeigt, das f streng monoton
steigend ist.
(c) Angenommen die Umkehrabbildung f −1 : J → R wäre nicht stetig. Dann existiert
ein Punkt y ∈ J in dem f −1 nicht stetig ist, und dies bedeutet das f −1 (y) nicht der
Grenzwert von f −1 an der Stelle y ist. Nach Lemma 1.(b) existieren ein > 0 und eine
gegen y konvergente Folge (yn )n∈N in J mit |f −1 (yn ) − f −1 (y)| ≥ für alle n ∈ N. Da
J ein Intervall ist, existieren u, v ∈ J mit u ≤ v und ein δ > 0 mit
J ∩ (y − δ, y + δ) ⊆ [u, v].
Wegen u, v ∈ J = f (I) können wir {u, v} = {f (a), f (b)} mit a, b ∈ I, a ≤ b schreiben.
Wegen (yn )n∈N −→ y existiert ein n0 ∈ N mit |yn − y| < δ für alle n ∈ N mit n ≥ n0 ,
und für diese n ist damit auch yn ∈ J ∩ (y − δ, y + δ) ⊆ [u, v], d.h. u ≤ yn ≤ v. Da
auch f −1 wieder monoton ist, gilt damit auch a ≤ f −1 (yn ) ≤ b für alle n ≥ n0 , und
insbesondere ist die Folge (f −1 (yn ))n∈N beschränkt. Nach dem Satz von Heine Borel
§4.Satz 13 existiert eine konvergente Teilfolge (f −1 (ynk ))k∈N von (f −1 (yn ))n∈N , und es
bezeichne x ∈ R ihren Grenzwert. Wegen a ≤ f −1 (ynk ) ≤ b für alle k ∈ N ist auch
a ≤ x ≤ b, also x ∈ [a, b] ⊆ I. Die Stetigkeit von f impliziert nun
f (x) = lim f (f −1 (ynk )) = lim ynk = y,
k→∞
k→∞
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d.h. es ist x = f −1 (y), und somit haben wir |f −1 (ynk ) − x| = |f −1 (ynk ) − f −1 (y)| ≥ für alle k ∈ N, im Widerspruch zu (f −1 (ynk ))k∈N −→ x. Dieser Widerspruch beweist
die Stetigkeit von f −1 .
Als eine erste Anwendung können wir die Stetigkeit der Wurzelfunktionen nachweisen. Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann ist die Funktion f : R≥0 → R≥0 ; x 7→ xn stetig, streng
monoton steigend und nach §1.Lemma 8 auch surjektiv, und ihre Umkehrfunktion ist
die Wurzelfunktion
√
n
: R≥0 → R≥0 .
Der eben bewiesene Satz sagt dann, dass auch diese Wurzelfunktion stetig ist. Damit
wissen wir dann zum
√ Beispiel, das für eine konvergente Folge (xk )k∈N −→ a in R≥0
√
auch ( n xk )k∈N −→ n a ist, für konvergente Folgen (xk )k∈N in R≥0 gilt also
lim
k→∞
11.5
√
n
xk =
q
n
lim xk .
k→∞
Einführung der Grundfunktionen
In diesem Abschnitt wollen wir exakte Begründungen der meisten der sogenannten
Grundfunktionen behandeln. Als Grundfunktionen bezeichnet man dabei die folgenden
Funktionen:
1. Polynome und rationale Funktionen.
2. Die Potenzfunktionen als Funktionen der Basis und als Funktionen des Exponenten. Insbesondere also die Exponentialfunktion und die Wurzelfunktionen.
3. Der natürliche Logarithmus und die anderen Logarithmen.
4. Die trigonometrischen Funktionen, also Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens
und ihre Umkehrfunktionen, die sogenannten Arcusfunktionen.
5. Die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus, Cosinus hyperbolicus und Tangens
hyperbolicus. und ihre Umkehrfunktionen, die sogenannten Areafunktionen.
Die direkt“, also nicht als Umkehrfunktionen, definierten Grundfunktionen lassen sich
”
alle mittels geeigneter Potenzreihen einführen und daher halten wir erst einmal die
Stetigkeit von Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises fest.
Satz 11.17 (Stetigkeit von Potenzreihen)
P
n
Sei K ∈ {R, C} und sei f (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) eine Potenzreihe über K mit Entwicklungspunkt z0 und Konvergenzradius r > 0. Dann ist die Funktion f : Br (z0 ) → K
stetig.
325
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Beweis: Bereits in der letzten Sitzung hatten wir limz→a f (z) = f (a) für jedes a ∈
Br (z0 ) bewiesen, d.h. f : Br (z0 ) → K ist stetig.
Die direkt definierten Grundfunktionen ergeben sich alle aus der komplexen Exponentialfunktion, und daher wollen wir mit dieser beginnen. Wir betrachten die Potenzreihe
mit den Koeffizienten an = 1/n!. Zur Berechnung des Konvergenzradius wollen wir über
Satz 7 vorgehen und haben
(n + 1)!
1/n!
= lim
= lim (n + 1) = +∞,
n→∞
n→∞
n→∞ 1/(n + 1)!
n!
lim
d.h. die komplexe Potenzreihe
exp(z) :=
∞
X
zn
n=0
n!
hat den Konvergenzradius r = +∞. Das folgende Lemma stellt einige Eigenschaften
der hierdurch definierten Funktion exp : C → C zusammen.
Satz 11.18 (Grundeigenschaften der Exponentialfunktion)
Die Exponentialfunktion exp : C → C hat die folgenden Eigenschaften:
(a) Die Funktion exp : C → C ist stetig.
(b) Es sind exp(0) = 1 und exp(1) = e.
(c) Für alle z, w ∈ C gilt die Funktionalgleichung exp(z + w) = exp(z) · exp(w).
(d) Für jedes z ∈ C ist exp(z) 6= 0 und 1/ exp(z) = exp(−z).
(e) Für jedes z ∈ C ist exp(z) = exp(z).
(f ) Für jedes x ∈ R ist exp(x) ∈ R mit exp(x) > 0.
(g) Für jedes z ∈ C gilt | exp(z)| = exp(Re(z)).
Beweis: (a) Klar nach Satz 17.
(b) Die Aussage exp(0) = 1 ist klar und nach einem Beispiel in §5.1 ist auch
∞
X
1
exp(1) =
= e.
n!
n=0
(c) Seien z, w ∈ C. Nach Lemma 6.(b) sind die Reihen für exp(z) und exp(w) absolut
konvergent, also ist nach §5.Satz 19 und der binomischen Formel §1.Satz 7
!
!
!
∞
∞
∞
n
X
X
X
X
zn
wn
z k wn−k
exp(z) · exp(w) =
·
=
n!
n!
k!(n − k)!
n=0
n=0
n=0
k=0
!
∞
n ∞
X
X
1 X n k n−k
(z + w)n
=
z w
=
= exp(z + w).
n! k=0 k
n!
n=0
n=0
326
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Freitag 3.2.2017
(d) Nach (c) und (d) gilt für z ∈ C
exp(z) · exp(−z) = exp(z − z) = exp(0) = 1,
also exp(z) 6= 0 und 1/ exp(z) = exp(−z).
(e) Da wir bereits wissen das die komplexe Konjugation stetig ist folgt für jedes z ∈ C
exp(z) =
∞
X
zn
n=0
=
n!
P∞
∞
X
zn
n=0
n!
= exp(z).
(f ) Sei x ∈ R. Da die Reihe exp(x) = n=0 xn /n! reell ist, ist zumindest exp(x) ∈ R
und nach (d) ist auch exp(x) 6= 0. Ebenso ist exp(x/2) ∈ R und mit (c) folgt exp(x) =
exp(x/2)2 ≥ 0, d.h. es ist exp(x) > 0.
(g) Sei z ∈ C. Nach (e) und (c) ist
| exp(z)|2 = exp(z)·exp(z) = exp(z)·exp(z) = exp(z+z) = exp(2 Re(z)) = exp(Re(z))2 ,
und mit (f) ergibt sich schließlich | exp(z)| = exp(Re(z)).
Man verwendet für die Exponentialfunktion auch die Schreibweise ez := exp(z) für
jedes z ∈ C, dass es sich hierbei wirklich um Potenzen handelt werden wir auch bald
einsehen können. Wir rechnen noch etwas weiter mit der Exponentialfunktion herum.
Für jedes z ∈ C haben wir
∞
∞
X
(−z)n X
zn
−z
e =
=
(−1)n ,
n!
n!
n=0
n=0
und mit §5.Lemma 5 folgt
z
−z
e +e
∞
X
∞
X
zn
z 2n
=
(1 + (−1) ) = 2
.
n!
(2n)!
n=0
n=0
n
Analog ergibt sich auch
z
−z
e −e
=2
∞
X
n=0
z 2n+1
.
(2n + 1)!
Diese Formeln führen uns auf die Definition der sogenannten Hyperbelfuktionen.
Definition 11.8 (Hyperbelfunktionen)
Für jedes z ∈ C definieren wir die Hyperbelfunktionen durch
∞
ez − e−z X z 2n+1
sinh z :=
=
(Sinus Hyperbolicus),
2
(2n
+
1)!
n=0
∞
ez + e−z X z 2n
cosh z :=
=
2
(2n)!
n=0
sinh z
cosh z
cosh z
coth z :=
sinh z
tanh z :=
(Cosinus Hyperbolicus),
(Tangens Hyperbolicus),
(Cotangens Hyperbolicus),
327
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
wobei die letzteren beiden nur definiert werden wenn der jeweilige Nenner von Null
verschieden ist.
Wegen ex ∈ R für x ∈ R haben auch die vier Hyperbelfunktionen für reelle Argumente
stets reelle Werte. Die reellen Graphen dieser Funktionen sowie der Exponentialfunktion sehen wie folgt aus
4
4
3
y
3
y
2
1
–3
–2
–1
0
4
3
y
2
1
1
2
3
–3
–2
–1
0
4
3
y
2
1
1
x
2
3
–3
–2
–1
0
4
3
y
2
1
1
x
2
3
–3
–2
–1
0
2
1
1
x
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–1
–2
–2
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–3
–3
–4
–4
–4
–4
–4
sinh x
cosh x
tanh x
2
3
x
–1
ex
1
x
–1
coth x
Für jedes z ∈ C gelten sinh z + cosh z = ez und sinh z − cosh z = −e−z . Die Hyperbelfunktionen erfüllen fast dieselben Formeln wie die trigonometrischen Funktionen. In
der Vorlesung wurde dies nur erwähnt aber nicht weiter vorgeführt, an dieser Stelle wollen wir die Rechnungen aber ruhig einmal durchgehen. Das Analogon zum Pythagoras
sin2 + cos2 = 1 ist
cosh2 z − sinh2 z = (cosh z + sinh z) · (cosh z − sinh z) = ez e−z = e0 = 1
für jedes z ∈ C, und die Additionstheoreme berechnen sich für z, w ∈ C als
1 z+w
(e
− e−(z+w) )
2
1 z w
(e e + ez e−w − e−z ew − e−z e−w + ez ew − ez e−w + e−z ew − e−z e−w )
=
4
1 z
=
((e − e−z ) · (ew + e−w ) + (ez + e−z ) · (ew − e−w ))
4
= sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w)
sinh(z + w) =
und analog folgt
cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w).
Bis auf Vorzeichen sind das genau die vertrauten Formeln für die trigonometrischen
Funktionen. Die trigonometrischen Funktionen kann man für z ∈ C jetzt durch Rück328
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
griff auf die Hyperbelfunktionen definieren:
∞
eiz − e−iz X
z 2n+1
sin z := −i sinh(iz) =
=
(−1)n
,
2i
(2n
+
1)!
n=0
∞
eiz + e−iz X
z 2n
cos z := cosh(iz) =
=
(−1)n
,
2
(2n)!
n=0
sin z
tan z := −i tanh(iz) =
,
cos z
cos z
cot z := i coth(iz) =
sin z
letztere wieder solange dies definiert ist. Aufbauend auf diesen Definitionen können nun
die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen begründet werden. Beispielsweise
ergeben sich die grundlegenden Additionstheoreme durch
sin2 z + cos2 z = cosh2 z − sinh2 z = 1,
sin(z + w) = −i sinh(iz + iw) = −i sinh(iz) cosh(iz) + cosh(iz) · (−i sinh(iw))
= sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w),
cos(z + w) = cosh(iz + iw) = cosh(iz) cosh(iw) + sinh(iz) sinh(iw)
= cosh(iz) cosh(iw) − (−i sinh(iz))(−i sinh(iw))
= cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)
für z, w ∈ C. Etwas raffinierter ist dann der Nachweis der Periodizitätseigenschaften
der trigonometrischen Funktionen, für diese muss man sich erst einmal eine geeignete
Definition der Kreiszahl π verschaffen. Hierzu betrachten wir für x ∈ R die Reihe
cos x =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n
und wollen §5.Satz 7 anwenden. Die Reihe ist alternierend aber die Folge ihrer Summanden ist im allgemeinen
erst ab einem geeigneten Startindex monoton fallend. Sind
√
x ∈ R mit 0 < |x| ≤ 2 3 und n ∈ N mit n ≥ 1 gegeben so ist
x2(n+1) /(2(n + 1))!
x2
x2
x2(n+1)
x2n
=
≤
≤
1,
und
≤
.
x2n /(2n)!
(2n + 1)(2n + 2)
12
(2(n + 1))!
(2n)!
√
Ist also x ∈ R mit |x| ≤ 2 3, so ist die Folge (x2n /(2n)!)n≥1 monoton fallend und
§5.Satz 7 ergibt
∞
x2 x4 X (−1)n−1 2n x2
−
≤
x ≤ ,
2
24 n=1 (2n)!
2
also schließlich
1−
x2 x4
x2
≤ cos x ≤ 1 −
+ .
2
2
24
329
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Beachten wir
√
3>
p
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√
289/100 = 17/10 und 2 3 > 17/5, so ist damit für 0 ≤ x ≤ 7/5
cos x ≥ 1 −
x2
49
1
≥1−
=
>0
2
50
50
und andererseits
cos
32
512
1875 − 2400 + 512
13
8
≤1−
+
=
=−
< 0,
5
25 1875
1875
1875
also gibt es nach dem Zwischenwertsatz Satz 15 ein x ∈ (7/5, 8/5) mit cos x = 0. Damit
können wir π/2 als die kleinste positive Nullstelle des Cosinus definieren, also
π
:= inf{x ∈ R≥0 | cos x = 0}.
2
Dies ist tatsächlich eine Nullstelle des Cosinus, denn für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
existiert ein xn ∈ R≥0 mit π/2 ≤ xn < π/2 + 1/n und cos xn = 0, also insbesondere
(xn )n∈N −→ π/2 und die Stetigkeit des Cosinus liefert
cos
π
= lim cos xn = 0.
2 n→∞
Damit haben wir
cos
π
7
π
8
14
16
= 0 und < < , also
<π< ,
2
5
2
5
5
5
beziehungsweise 2, 8 < π < 3, 2. Das ist genau genug um einzusehen das π > e ist,
im nächsten Kapitel werden dies in einem weiteren Beispiel noch etwas verbessern.
Verwenden wir jetzt die aus dem Additionstheorem folgenden und für alle z ∈ C
gültigen Verdopplungsformeln
cos(2z) = cos(z + z) = cos2 z − sin2 z = cos2 z − (1 − cos2 z) = 2 cos2 z − 1
und
sin(2z) = sin(z + z) = 2 sin z cos z,
so erhalten wir
π
π
π
π
sin π = sin 2 ·
= 2 sin cos = 0 und ebenso cos π = 2 cos2 − 1 = −1.
2
2
2
2
Eine erneute Anwendung der Additionstheoreme liefert uns dann für alle z ∈ C die
Periodizitätseigenschaften
sin(z + π)
cos(z + π)
sin(z + 2π)
cos(z + 2π)
=
=
=
=
sin z cos π + cos z sin π = − sin z,
cos z cos π − sin z sin π = − cos z,
sin((z + π) + π) = −(− sin z) = sin z und ebenso
cos z.
330
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Damit haben wir ausgehend von der komplexen Exponentialfunktion die Hyperbelund die trigonometrischen Funktionen eingeführt. Umgekehrt wollen wir jetzt einsehen das sich die komplexe Exponentialfunktion auch in Termen der trigonometrischen
Funktionen schreiben läßt, dies ergibt sich aus der sogenannte Eulerschen Formel. Wir
starten für z ∈ C mit der Formel
cos z + i · sin z = cosh(iz) + sinh(iz) = eiz ,
und für reelles t ∈ R wird dies zu
eit = cos t + i sin t.
Speziell für t = π ist eiπ = −1. Für eine allgemeine komplexe Zahl z = s + it wird
ez = es+it = es eit = es cos t + ies sin t,
und die komplexe Exponentialfunktion ist auf die reelle Exponentialfunktion sowie den
Sinus und den Cosinus zurückgeführt. Man kann noch ein klein wenig weiter mit diesen
Formeln herumspielen. Es ist
e2πi = (eiπ )2 = (−1)2 = 1,
also auch
ez+2πi = ez e2πi = ez
für alle z ∈ C, die komplexe Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode
2πi.
Als nächsten Schritt wollen wir die als Umkehrfunktionen definierten Grundfunktionen behandeln, also den Logarithmus, die Area- und die Arcusfunktionen. Genau
wie die Hyperbel- und die trigonometrischen Funktionen sich auf die komplexe Exponentialfunktion zurückführen lassen, kann man die Area- und die Arcusfunktionen über
den komplexen Logarithmus begründen, dies ist allerdings erst ein Thema des vierten
Semesters. Wir beschränken uns in diesem Semester auf den reellen Logarithmus, der
uns zum einen die Areafunktionen und zum anderen die endgültige Begründung der Potenzrechnung erlauben wird. Die Arcusfunktionen werden wir dagegen erst im nächsten
Kapitel bequem untersuchen können, daher stellen wir diese erst einmal zurück. Wir
beginnen indem wir die bekannten Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion herleiten.
Satz 11.19 (Grundeigenschaften der reellen Exponentialfunktion)
Die reelle Exponentialfunktion exp : R → R>0 hat die folgenden Eigenschaften:
(a) Die Funktion exp ist stetig und streng monoton steigend.
(b) Es gelten lim ex = ∞ und lim ex = 0.
x→∞
x→−∞
331
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(c) Für jede reelle, rationale Funktion f und jedes a ∈ R mit a > 0 sind
lim f (x)e−ax = 0 und
x→∞
lim f (x)eax = 0.
x→−∞
(d) Für alle a, α ∈ R mit a > 0 gilt
lim xα e−ax = 0.
x→∞
Beweis: (a) Die Stetigkeit ist klar nach Satz 18.(a). Für jedes x ∈ R mit x > 0 ist
x
e =
∞
X
xn
n=0
n!
> 1,
und für x, y ∈ R mit x < y folgt weiter
ey = ex+(y−x) = ey−x ex > ex ,
d.h. die reelle Exponentialfunktion ist streng monoton steigend.
(b,c) Seien p(x) = an xn + · · · + a0 und q(x) = bm xm + · · · + b0 mit an , bm 6= 0 zwei reelle
Polynome. Wir betrachten die rationale Funktion f (x) = p(x)/q(x). Nach §4.Lemma
7 gibt es ein x0 > 0 mit |p(x)| < 2|an |xn und |q(x)| > (|bm |/2)xm für alle x > x0 . Für
jedes x ∈ R mit x > x0 ist damit auch
|f (x)| =
4|an | n−m
|p(x)|
<
x
.
|q(x)|
|bm |
Setzen wir also
4|an |
, x1 := max{x0 , 1} und k :=
A :=
|bm |
(
n − m, n > m,
0,
n ≤ m,
so ist für alle x ∈ R mit x > x1 auch |f (x)| < Axk . Weiter sei a ∈ R mit a > 0 gegeben.
Für jedes x ∈ R mit x > x1 /a > 0 haben wir dann
ax
e
=
∞
X
aj x j
j=0
ak+1 xk+1
>
,
j!
(k + 1)!
also auch
|f (x)|
A(k + 1)! 1
<
· .
eax
ak+1
x
Mit dem Einschnürungslemma Lemma 2.(b) folgt limx→∞ f (x)e−ax = 0. Weiter folgt
damit
lim f (x)eax = lim f (−x)e−ax = 0,
|f (x)e−ax | =
x→−∞
x→∞
332
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
wobei diese Umparametrisierung“ des Limes eine kleine Übungsaufgabe ist. Wenden
”
wir dies speziell auf die rationale Funktion f (x) = 1 und a = 1 an, so ergeben sich
limx→∞ e−x = limx→−∞ ex = 0, also auch
lim ex = lim
x→∞
1
x→∞ e−x
= +∞,
da das Vorzeichen konstant +1 ist.
(d) Seien a, α ∈ R mit a > 0. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen
§1.Lemma 5 existiert eine natürliche Zahl n ∈ N mit α ≤ n. Ist dann x ∈ R mit
x ≥ 1, so gilt für jedes rationale q ∈ Q mit q ≤ α ≤ n auch xq ≤ xn und somit xα =
sup{xq |q ∈ Q, q ≤ α} ≤ xn . Nach dem bereits bewiesenen (c) gilt limx→∞ xn e−ax = 0
und nach dem Einschnürungslemma Lemma 2.(b) ist auch limx→∞ xα e−ax = 0.
Wenden wir jetzt den Monotoniesatz Satz 16 für stetige Funktionen an, so folgt das
die reelle Exponentialfunktion exp : R → R>0 bijektiv mit einer stetigen und ebenfalls
streng monoton steigenden Umkehrfunktion
ln : R>0 → R
ist, genannt der Logarithmus, oder auch der natürliche Logarithmus. Da in der reinen
Mathematik keine anderen Logarithmen vorkommen, läßt man den Zusatz natürlich“
”
meistens weg. Oft wird der Logarithmus auch als log geschrieben, dies meint dann weiterhin den natürlichen Logarithmus, andere Logarithmen kommen wie gesagt nicht vor.
Die Eigenschaften der Exponentialfunktion ergeben sofort die folgenden Eigenschaften
des Logarithmus
x
ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln
= ln(x) − ln(y)
y
jeweils für alle x, y > 0, sowie
lim ln(x) = −∞ und lim ln(x) = +∞.
x→0
x→∞
All diese Formeln lassen sich schnell beweisen, zunächst ist wegen exp(0) = 1 und
exp(1) = e auch ln(1) = 0 und ln(e) = 1. Nun seien x, y ∈ R mit x, y > 0 gegeben.
Dann haben wir zunächst
eln(x)+ln(y) = eln x eln y = xy, also ln(xy) = ln x + ln y,
die sogenannte Funktionalgleichung des Logarithmus, und weiter ist
x
x
x
ln x = ln
· y = ln
+ ln y, d.h. ln
= ln x − ln y.
y
y
y
Die beiden Grenzwertaussagen folgen im Wesentlichen aus der Monotonie des natürlichen Logarithmus. Ist a ∈ R so gilt für alle x ∈ R mit x > ea stets ln x > ln(ea ) = a
und für alle x ∈ R mit 0 < x < ea ist ln x < ln(ea ) = a.
333
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
Mit dem Logarithmus ist man schließlich auch in der Lage die in §1.5 begonnene Begründung der Potenzrechnung mit beliebigen reellen Exponenten zu vervollständigen.
Zunächst drücken wir Potenzen in Termen der Exponentialfunktion und des Logarithmus aus.
Lemma 11.20: Für alle reellen Zahlen a, x ∈ R mit a > 0 gilt
ax = exp(x · ln a).
Beweis: Sei a ∈ R mit a > 0 gegeben und betrachte die stetige Funktion f : R →
R>0 ; x 7→ exp(x · ln a). Dann müssen wir ax = f (x) für jedes x ∈ R einsehen. Für alle
x, y ∈ R gilt zunächst
f (x + y) = exp((x + y) · ln a) = exp(x · ln a) · exp(y · ln a) = f (x) · f (y)
und wir haben f (0) = exp(0) = 1 sowie f (1) = exp(ln a) = a. Für jedes n ∈ N mit
n ≥ 1 und jedes x ∈ R folgt hieraus weiter
f (nx) = f (x
· · + x}) = f (x) · . . . · · · f (x) = f (x)n ,
| + ·{z
|
{z
}
n mal
n mal
und
f (x)n · f (−nx) = f (nx) · f (−nx) = f (nx + (−nx)) = f (0) = 1,
d.h.
f (−nx) =
1
= f (x)−n
n
f (x)
es ist also f (nx) = f (x)n für jedes n ∈ Z und alle x ∈ R. Insbesondere haben wir
damit f (n) = an für jedes n ∈ Z. Für n ∈ N mit n ≥ 1 ist weiter
n
√
1
1
1
1
f
=f n·
> 0 und f
= f (1) = a, d.h. f
= n a.
n
n
n
n
Ist also x ∈ Q so schreiben wir x = p/q mit p, q ∈ Z, q ≥ 1 und haben
p
√ p
1
1
f (x) = f p ·
=f
= q a = ax .
q
q
Schließlich sei ein beliebiges x ∈ R gegeben und wir wollen zeigen, dass auch in diesem
Fall f (x) = ax ist. Letztere Potenz hatten wir dabei als ax = sup M im Fall a ≥ 1 und
ax = inf M im Fall a < 1 definiert wobei M die Menge M := {aq |q ∈ Q, q ≤ x} ist.
Wir müssen nun die beiden Fälle a ≥ 1 und a < 1 unterscheiden.
Fall 1. Zunächst nehmen wir a ≥ 1 an. Dann ist ln a ≥ ln 1 = 0, für jedes q ∈ Q mit
q ≤ x ist also auch q ln a ≤ x ln a und somit
aq = f (q) = exp(q ln a) ≤ exp(x ln a) = f (x),
334
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
d.h. f (x) ist eine obere Schranke von M . Nun sei b ∈ R mit b < f (x) gegeben. Da f
stetig ist existiert nach §11.Lemma 9 ein δ > 0 mit |f (y) − f (x)| < f (x) − b für alle
y ∈ R mit |y − x| < δ. Weiter existiert nach Aufgabe (10.g) eine rationale Zahl q ∈ Q
mit x − δ < q < x, also insbesondere |q − x| = x − q < δ, und wir haben aq ∈ M mit
aq = f (q) = f (x) − (f (x) − f (q)) ≥ f (x) − |f (q) − f (x)| > f (x) − (f (x) − b) = b.
Damit ist f (x) die kleinste obere Schranke von M und wir haben f (x) = sup M = ax
eingesehen.
Fall 2. Nun nehmen wir a < 1 an. Dann ist ln a < ln 1 = 0 und für jedes q ∈ Q mit
q ≤ x folgen damit auch q ln a ≥ x ln a und
aq = f (q) = exp(q ln a) ≥ exp(x ln a) = f (x),
also ist f (x) in diesem Fall eine untere Schranke von M . Ist nun b ∈ R mit b > f (x)
gegeben, so existieren wie in Fall 1 ein δ > 0 mit |f (y) − f (x)| < b − f (x) für alle y ∈ R
mit |y − x| < δ und eine rationale Zahl q ∈ Q mit x − δ < q < x, also ist aq ∈ M mit
aq = f (q) = f (x) + (f (q) − f (x)) ≤ f (x) + |f (q) − f (x)| < f (x) + (b − f (x)) = b,
d.h. f (x) ist die größte untere Schranke von M und somit ax = inf M = f (x).
Nach diesem Lemma können wir nun
az := exp(z · ln a)
für alle a ∈ R>0 , z ∈ C definieren und dies stimmt für reelle Exponenten x ∈ R mit
den in §1.5 definierten Potenzen überein. Wegen ln(e) = 1 wird dann exp(z) = ez
für jedes z ∈ C tatsächlich zu einer Potenz von e und auch diese Notation ist damit
gerechtfertigt.
Die eben gegebene Definition erlaubt uns auch den Nachweis der Potenzrechenregeln, bisher haben wir diese erst für rationale Exponenten bewiesen. Wir beginnen mit
den Abbildungseigenschaften. Da die Exponentialfunktion und der Logarithmus beide
stetig sind, sind auch die Funktionen
C → C; z 7→ az
für jedes a ∈ R mit a > 0 und
(0, ∞) → C; a 7→ az
für jedes z ∈ C stetig. Kommen wir nun zu den Monotonieeigenschaften bezüglich der
Basis, es sei also ein reelle Zahl α ∈ R gegeben. Zunächst nehmen wir α > 0 an. Sind
dann x, y ∈ (0, ∞) mit x < y so ist ln x < ln y da der Logarithmus streng monoton
steigend ist, also auch α ln x < α ln y und xα = exp(α ln x) < exp(α ln y) = y α da die
335
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
Exponentialfunktion streng monoton steigend ist. Damit ist die Funktion (0, ∞) →
R; x 7→ xα streng monoton steigend, für alle x, y ∈ (0, ∞) gelten also
x < y ⇐⇒ xα < y α und x ≤ y ⇐⇒ xα ≤ y α .
Ist dagegen α < 0 so folgt analog das die Funktion (0, ∞) → R; x 7→ xα streng monoton
fallend ist, und damit ist in diesem Fall für alle x, y ∈ (0, ∞)
x < y ⇐⇒ xα > y α und x ≤ y ⇐⇒ xα ≥ y α .
Für den Exponenten α = 0 ist dagegen xα = 1 für jedes x ∈ (0, ∞). Kommen wir
nun zur Monotonie im Exponenten. Sei hierzu eine Basis a ∈ R mit a > 0 gegeben.
Zunächst betrachten wir den Fall a > 1, also ln a > ln 1 = 0. Sind dann x, y ∈ R mit
x < y, so ist auch x ln a < y ln a und wie oben folgt ax < ay , bezüglich des Exponenten
sind unsere Potenzen also streng monoton steigend. In anderen Worten ist die Funktion
R → R; x 7→ ax streng monoton steigend und für alle x, y ∈ R gelten
x < y ⇐⇒ ax < ay und x ≤ y ⇐⇒ ax ≤ ay .
Ist dagegen 0 < a < 1 so haben wir ln a < ln 1 = 0 und analog zur obigen Überlegung
ist die Funktion R → R; x 7→ ax streng monoton fallend, d.h. für alle x, y ∈ R gilt
x < y ⇐⇒ ax > ay und x ≤ y ⇐⇒ ax ≥ ay .
Im verbleibenden Fall der Basis a = 1 ist dagegen ax = 1 für jedes x ∈ R.
Nun kommen wir zu den arithmetischen Regeln und hierzu seien reelle Zahlen
a, b, x ∈ R mit a, b > 0 und komplexe Zahlen z, w ∈ C gegeben. Die Funktionalgleichung Lemma 18.(c) ergibt
az · aw = ez ln a ew ln a = e(z+w) ln a = az+w
und mit der Funktionalgleichung ln(ab) = ln a + ln b des Logarithmus ist auch
az · bz = ez ln a ez ln b = ez(ln a+ln b) = ez ln(ab) = (ab)z .
Eine Anwendung dieser Formel liefert dann
a z a z
a z az
az =
·b =
bz und somit
= z,
b
b
b
b
und wegen 1z = exp(z ln(1)) = exp(0) = 1 ergibt sich als Spezialfall die Formel für die
Potenzen von Kehrwerten
z
1
1
= z.
a
a
Weiter haben wir die Logarithmenregel
ln(ax ) = ln ex ln a = x ln a
336
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
und somit auch
x
(ax )z = ez ln(a ) = exz ln a = axz .
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion also der Potenzfunktion zur Basis e. Gelegentlich sind auch die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen
zu anderen Basen 1 6= a ∈ R von Interesse, diese werden dann als Logarithmus zur
Basis a bezeichnet. Ist solch eine Basis 1 6= a ∈ R gegeben so haben wir ax = ex ln a
für jedes x ∈ R, diese Potenzfunktion ist also die Hintereinanderausführung der wegen
ln a 6= 0 bijektiven Funktion R → R; x 7→ x ln a mit der Exponentialfunktion und nach
§2.Lemma 4 ist sie bijektiv mit der Umkehrfunktion
loga : R>0 → R; x 7→
ln x
.
ln a
Die letzte Klasse von Grundfunktionen die wir in diesem Kapitel noch einführen wollen
sind die Areafunktionen, also die Umkehrfunktionen der reellen Hyperbelfunktionen.
Wir wollen einsehen das diese uns die drei stetigen Funktionen
arsinh : R → R
(Area Sinus Hyperbolicus)
arcosh : [1, ∞) → [0, ∞) (Area Cosinus Hyperbolicus)
artanh : (−1, 1) → R
(Area Tangens Hyperbolicus)
geben. Um die Existenz und Stetigkeit der Areafunktionen einzusehen kann man wie
bei der Konstruktion des natürlichen Logarithmus über Satz 16 vorgehen, wir wollen
hier aber ein rechnerisches Vorgehen verwenden das uns die expliziten Formeln
√
arsinh x = ln(x + x2 + 1),
√
arcosh x = ln(x + x2 − 1),
1
1+x
ln
artanh x =
2
1−x
für die x aus dem jeweiligen Definitionsbereich, gibt. Zum Nachweis dieser Formeln
starten wir mit dem Sinus Hyperbolicus. Seien x, y ∈ R. Setzen wir dann u = ex > 0,
so ist
ex − e−x
1
1
sinh x =
=
u−
,
2
2
u
2
2
also
= 0. Wegen
p= y gleichwertig zu 2yu = u −1 beziehungsweise u −2yu−1
p
p ist sinh x
2
2
y + 1 > y = |y| ≥ y ist p
dies weiter äquivalent zu u = y + y 2 + 1. Für jedes
y ∈ R gibt es damit p
wegen y + y 2 + 1 > y + |y| ≥ 0 genau ein x ∈ R mit sinh x = y
nämlich x = ln(y + y 2 + 1). Damit ist sinh : R → R bijektiv mit der angegebenen
Umkehrfunktion arsinh = sinh−1 . Insbesondere ist der Sinus Hyperbolicus nach Satz
16 streng monoton und der Area Sinus Hyperbolicus ist stetig, was sich natürlich auch
aus der expliziten Formel ergibt. Da für alle x ≥ 0 stets sinh x = (ex − e−x )/2 ≥ 0 ist
muss der Sinus Hyperbolicus daher streng monoton steigend sein.
337
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
Kommen wir zum Cosinus Hyperbolicus. Für jedes x ∈ R ist cosh(−x) = cosh(x)
und damit kann der Cosinus Hyperbolicus auf ganz R nicht injektiv sein, wir wollen
einsehen das seine Einschränkung auf [0, ∞) injektiv ist. Weiter gilt für jedes x ∈ R
auch cosh2 x = 1 + sinh2 x ≥ 1, also cosh x ≥ 1 und wir wollen einsehen das sogar
cosh([0, ∞)) = [1, ∞) ist. Haben wir x, y ∈ R mit x ≥ 0 und y ≥ 1, so ist wegen
cosh x ≥ 1 genau dann cosh x = y wenn 1 + sinh2 x = p
cosh2 x = y 2 gilt und wegen
y 2 − 1 ≥ 0 und sinh x ≥ 0 ist dies weiter zu sinh x = y 2 − 1 äquivalent. Wenden
wir die schon bewiesene Formel für den Area Sinus Hyperbolicus an, so ist cosh x = y
weiter gleichwertig zu
p
p
p
x = ln
y 2 − 1 + (y 2 − 1) + 1 = ln(y + y 2 − 1),
also ist cosh : [0, ∞) → [1, ∞) bijektiv mit der obigen Umkehrfunktion arcosh =
(cosh |[0, ∞))−1 . Wie beim Sinus Hyperbolicus ergibt sich weiter das der Area Cosinus
Hyperbolicus stetig ist und das der Cosinus Hyperbolicus auf [0, ∞) streng monoton
steigend ist.
Kommen wir schließlich zum Tangens Hyperbolicus. Für jedes x ∈ R gilt
tanh x =
sinh x
e−x
2
ex − e−x
=
1
−
2
=1−
∈ (−1, 1)
= x
−x
x
−x
cosh x
e +e
e +e
1 + e2x
und für y ∈ (−1, 1) ist damit genau dann tanh x = y wenn
e2x =
2
1+y
−1=
>0
1−y
1−y
gilt, wenn also
x=
1 1+y
ln
2 1−y
ist. Damit ist tanh : R → (−1, 1) bijektiv und der Area Tangens Hyperbolicus ist durch
die obige Formel gegeben. Für jedes x ∈ R mit x ≥ 0 ist tanh x ≥ 0 also folgt wie
beim Sinus Hyperbolicus das artanh = tanh−1 stetig ist und der Tangens Hyperbolicus
streng monoton steigend ist.
$Id: diffb.tex,v 1.20 2017/02/06 15:16:09 hk Exp $
§12
Differenzierbare Funktionen
Wir kommen jetzt zum letzten Thema dieses Semesters, den differenzierbaren Funktionen in einer Variablen. In diesem Semester sind wir nur am reellen Fall interessiert,
nur die Definition und die ersten Eigenschaften werden wir noch allgemein halten, da
es für diese keinen Unterschied macht ob wir reelle oder komplexe Zahlen verwenden.
338
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Freitag 3.2.2017
Schon bei der Besprechung der Folgenkonvergenz in §4.1 hatten wir die Interpretation
der Ableitung als eine Änderungsrate besprochen. Es gibt noch mindestens zwei weitere
alternative Sichtweisen der Ableitung, einmal geometrisch über den Begriff der Tangentensteigung, und zum anderen als lineare Näherung. Alle drei Möglichkeiten haben
ihren Platz. Die geometrische Interpretation dient bei uns hauptsächlich zur anschaulichen Interpretation einiger Aussagen, und der Zugang als lineare Näherung wird erst
im nächsten Semester wirklich wichtig werden.
12.1
Differenzierbarkeit und Differenzenquotienten
Wir wollen jetzt die formale Definition der Ableitung f 0 (x) einer Funktion f in einem
Punkt x ihres Definitionsbereichs angeben. Wie schon bemerkt gibt es mindestens drei
verschiedene, aber natürlich gleichwertige, Methoden f 0 (x) einzuführen. Alle diese verschiedenen Definitionen involvieren einen Funktionsgrenzwert im Punkt x, und daher
müssen wir fordern das x ein Häufungspunkt des Definitionsbereich der Funktion f ist.
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K eine Teilmenge, f : D → K eine Funktion und x ∈ D ein
Häufungspunkt von D. Wir beginnen mit der geometrischen Beschreibung der Ableitung. Hier betrachten wir Punkte y ∈ D verschieden von x, also y 6= x, und bilden die
Verbindungsgerade der beiden Punkte (x, f (x)) und (y, f (y)), dies ist sozusagen eine
Sekante der Kurve y = f (x). Die Steigung dieser Sekante ist durch den sogenannten
Differenzenquotienten
f (y) − f (x)
y−x
gegeben. Lassen wir jetzt y gegen x konvergieren, so sollte die Steigung dieser Sekanten
gegen die Steigung der Tangente an y = f (x) im Punkte x konvergieren, und diesen
Grenzwert, sofern er existiert nennen wir dann die Ableitung von f in x
f 0 (x) := lim
y→x
f (y) − f (x)
.
y−x
Im komplexen Fall K = C hat man natürlich keine so direkte Anschauung, aber die
formale Definition ist ohne Probleme auch in der komplexen Situation sinnvoll. In
einer etwas exakteren Formulierung definieren wir dann nachträglich die Tangente von
y = f (x) im Punkte x als die Gerade der Steigung f 0 (x) durch den Punkt (x, f (x)).
Die zweite Beschreibung ist die Definition der Ableitung als Änderungsrate in einem
Punkt. Da wir diese schon in §4.1 diskutiert haben, wollen wir uns hier kurz fassen,
und kommen gleich zur Definition der Ableitung als
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
f 0 (x) := lim
Der Definitionsbereich der Funktion bezüglich derer der Grenzwert gebildet wird, ist
dabei die um x verschobene Menge D − x, und 0 ist wieder ein Häufungspunkt dieser
Menge, der Grenzwert ist also überhaupt sinnvoll. Die Ableitung tritt in dieser Formel
339
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
als Änderungsrate auf. Mathematisch ist dies genau dasselbe wie die geometrische
Interpretation, man muss ja nur y = x + h schreiben, und sich die einfache Tatsache
klarmachen, dass diese Umparametrisierung auf den Grenzwert keinen Einfluss hat. Sie
sollten sich dies ruhig als eine kleine Übungsaufgabe einmal hinschreiben. Die dritte
Interpretation ist die Auffassung der Ableitung als eine lineare Approximation. Hier
denken wir uns die Funktion f in der Nähe des Punktes x durch eine lineare Funktion
angenähert, wir schreiben also
f (x + h) = f (x) + mh + fehler(h)
mit einem m ∈ K wobei dann üblicherweise τ (h) = fehler(h) gesetzt wird. Dabei ist die
Störung h ein Element der Menge D −x. Beachte das wir diesen Ausdruck als Funktion
in h auffassen, der Punkt x ist hier fest gewählt und ändert sich nicht. Damit dies
eine sinnvolle Approximation ist, muss der Fehler dabei natürlich einigen Bedingungen
genügen. Die Minimalbedingung ist, dass der Fehler klein wird, wenn h klein wird,
es sollte also limh→0 τ (h) = 0 gelten. Für die Ableitung ist dies noch nicht genug. Der
Fehler soll nicht nur klein werden, er soll dies schlimmstenfalls proportional zu h tun, es
soll also eine Abschätzung |τ (h)| ≤ A|h| mit einer Proportionalitätskonstanten A > 0
gelten. Auch dies ist für die Differenzierbarkeit noch nicht gut genug. Differenzierbarkeit
bedeutet, dass man auch die Proportionalitätskonstante A beliebig klein machen kann,
wenn h nur klein genug ist. Es soll also für jede vorgegebene Proportionalitätskonstante
> 0 stets |τ (h)| ≤ |h| für ausreichend kleine h sein, beziehungsweise etwas exakter
soll es ein δ > 0 mit |τ (h)| ≤ |h| für alle h ∈ D − x mit |h| ≤ δ geben. Da wir dies
zu |τ (h)/h| ≤ für 0 6= h ∈ D − x mit |h| ≤ δ umformen können, sehen wir das
die Bedingung an den Fehler gemäß der –δ Definition von Funktionsgrenzwerten aus
§11.Lemma 1.(f) gerade
τ (h)
lim
=0
h→0 h
ist. Auch diese Interpretation ist zu den anderen beiden Differenzierbarkeitsdefinitionen
äquivalent, wobei die Steigung m der approximierenden linearen Funktion gerade m =
f 0 (x) sein muss. Dies ist leicht zu sehen, wir können die Gleichung f (x + h) = f (x) +
mh + τ (h) ja zu
f (x + h) − f (x)
τ (h)
−m=
h
h
umschreiben. Interpretieren wir die lineare Näherung als Gerade in K 2 , so wird diese
gerade zur Tangente aus dem geometrischen Standpunkt.
Vorlesung 26, Montag 6.2.2017
Am Ende der letzten Sitzung haben wir die drei verschiedenen Interpretationen der
Ableitung einer Funktion in einem Punkt besprochen, einmal als Änderungsrate, oder
340
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
als Tangentensteigung und schließlich als lineare Näherung. Als Definition müssen wir
uns für eine dieser drei Varianten entscheiden, und wählen hierfür die zweite Methode.
Definition 12.1 (Differenzierbarkeit in einem Punkt)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K und f : D → K eine Abbildung. Weiter sei x ∈ D ein
Häufungspunkt von D. Wir nennen f in x differenzierbar, wenn der Grenzwert
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
existiert, welcher dann als die Ableitung von f in x bezeichnet wird.
Wie schon bemerkt kann man auch die äquivalente Form
f (y) − f (x)
y→x
y−x
f 0 (x) = lim
verwenden, was wir auch gelegentlich tun werden. Aus der Interpretation der Ableitung
als lineare Approximation ist klar, dass für eine lineare Funktion f : K → K; x 7→ ax+b
mit a, b ∈ K auch f 0 (x) = a für alle x ∈ K ist. Insbesondere ist die Ableitung konstanter
Funktionen in jedem Punkt gleich Null. Als ein weiteres Beispiel wollen wir die Funktion
f (x) = x2 definiert auf D = K behandeln. Hier rechnen wir für jedes h ∈ K
(x + h)2 = x2 + 2xh + h2
und haben f (x + h) = (x + h)2 geschrieben als die Summe des linearen Teils x2 + 2xh
und dem Fehler τ (h) = h2 . Dann ist limh→0 τ (h)/h = limh→0 h = 0, d.h. f ist in x
differenzierbar. Die Ableitung in x ist die Steigung des linearen Teils, also
f 0 (x) = 2x.
Als letztes Beispiel schauen wir uns die Funktion f : K\{0} → K; x 7→ 1/x an. Sei
x ∈ K\{0}. Als Differenzenquotient ergibt sich für h ∈ K\{0, −x}
1
x+h
−
h
1
x
=−
1
,
x(x + h)
und mit den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte §11.Satz 5 folgt
f (x + h) − f (x)
1
= − 2.
h→0
h
x
f 0 (x) = lim
Aus der Lokalität von Funktionsgrenzwerten folgt, dass auch der Ableitungsbegriff
lokal ist, also nicht von der ganzen Funktion abhängt, sondern nur von den Werten der
Funktion in der Nähe des Punktes in dem abgeleitet wird.
Lemma 12.1 (Ableitungen sind lokal)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K eine Teilmenge, a ∈ D ein Häufungspunkt von D und
f : D → K eine Funktion.
341
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
(a) Sei f in a differenzierbar. Ist dann M ⊆ D eine Teilmenge mit a ∈ M und
ist a auch ein Häufungspunkt von M , so ist auch f |M in a differenzierbar mit
(f |M )0 (a) = f 0 (a).
e := B (a) ∩ D = {x ∈ D : |x − a| < }. Dann ist f genau
(b) Sei > 0 und setze D
e in a differenzierbar ist, und in diesem Fall
dann in a differenzierbar wenn f |D
0
0
e (a) = f (a).
gilt (f |D)
Beweis: (a) Klar nach §11.Lemma 1.(g).
(b) Klar nach §11.Lemma 3.
12.2
Die Ableitungsregeln
Wir wollen jetzt die Rechenregeln für Ableitungen herleiten. Zusammen mit den Regeln
für die Ableitungen der Grundfunktionen erhält man einen Kalkül der die Ableitung aller als Formeln in den Grundfunktionen gegebenen Funktionen erlaubt. Beweistechnisch
ist es bequem zuvor eine weitere Umformulierung der Ableitungsdefinition herzuleiten.
Lemma 12.2 (Ableitungsdefinition nach Caratheodory)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K, f : D → K eine Funktion und x ∈ D ein Häufungspunkt
von D. Dann ist die Funktion f genau dann differenzierbar in x, wenn es eine in x
stetige Funktion φ : D → K mit
f (t) = f (x) + (t − x)φ(t)
für alle t ∈ D gibt. In diesem Fall ist f 0 (x) = φ(x).
Beweis: ”=⇒” Sei
(
φ : D → K; t 7→
f (t)−f (x)
,
t−x
0
f (x),
t 6= x,
t = x,
und dann gilt f (x) + (t − x)φ(t) = f (t) für alle t ∈ D. Außerdem ist
lim φ(t) = lim
t→x
t→x
f (t) − f (x)
f (x + h) − f (x)
= lim
= f 0 (x) = φ(x),
h→0
t−x
h
d.h. φ ist stetig in x. Die hier vorgenommene Umparametrisierung des Grenzwerts ist
dabei mit der –δ Beschreibung des Funktionsgrenzwerts nach §11.Lemma 1.(f) klar.
”⇐=” Es gilt
f (x + h) − f (x)
lim
= lim φ(x + h) = φ(x)
h→0
h→0
h
342
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
da φ in x stetig ist, also ist f in x differenzierbar mit f 0 (x) = φ(x).
Als ein direktes Korollar sehen wir das Differenzierbarkeit in einem Punkt auch die
Stetigkeit in diesem Punkt impliziert.
Lemma 12.3 (Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K, x ∈ D ein Häufungspunkt von D und f : D → K eine in
x differenzierbare Funktion. Dann ist f an der Stelle x auch stetig.
Beweis: Klar nach Lemma 2 und §11.Satz 13.(a,c).
Jetzt sind wir in der Lage die meisten der Ableitungsregeln zu beweisen. Diese Regeln
sind Formeln die es erlauben die Ableitung einer Funktion aus den bereits als bekannt
angenommenen Ableitungen ihrer Bestandteile zu berechnen. Im einzelnen sind dies die
Summenregel für die Ableitung von Summen, die Vielfachenregel für die Ableitungen
von Vielfachen, die Produktregel für die Ableitung von Produkten, Quotientenregel für
die Ableitung von Brüchen und schließlich die Kettenregel für die Ableitung von Hintereinanderausführungen. Die Quotientenregel ist dabei eigentlich keine eigenständige
Regel da sie aus der Kettenregel und der Produktregel folgt.
Satz 12.4 (Ableitungsregeln)
Seien K ∈ {R, C}, D ⊆ K, x ∈ D ein Häufungspunkt von D und f, g : D → K zwei
in x differenzierbare Funktionen.
(a) Die Funktion f +g : D → K ist in x differenzierbar mit (f +g)0 (x) = f 0 (x)+g 0 (x).
(b) Für jedes c ∈ K ist die Funktion cf : D → K in x differenzierbar mit (cf )0 (x) =
cf 0 (x).
(c) Die Funktion f · g : D → K ist in x differenzierbar mit
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
(d) Ist g(t) 6= 0 für alle t ∈ D, so ist die Funktion f /g in x differenzierbar mit
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
.
(x) =
g
g(x)2
e ⊆ K eine weitere Menge, y ∈ D
e ein Häufungspunkt von D
e und h : D
e →D
(e) Sind D
e → K in y
eine in y differenzierbare Funktion mit h(y) = x, so ist auch f ◦ h : D
differenzierbar mit
(f ◦ h)0 (y) = f 0 (x)h0 (y) = f 0 (h(y)) · h0 (y).
343
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
Beweis: Nach Lemma 2 gibt es in x stetige Funktionen φ, ψ : D → K mit f (t) =
f (x) + (t − x)φ(t) und g(t) = g(x) + (t − x)ψ(t) für alle t ∈ D, und es sind f 0 (x) = φ(x)
und g 0 (x) = ψ(x).
(a) Nach §11.Satz 13.(a) ist θ := φ + ψ in x stetig und für alle t ∈ D gilt
f (t) + g(t) = f (x) + g(x) + (t − x)θ(t),
d.h. nach Lemma 2 ist f + g in x differenzierbar mit (f + g)0 (x) = θ(x) = φ(x) + ψ(x) =
f 0 (x) + g 0 (x).
(b) Nach §11.Satz 13.(b) ist θ := cφ in x stetig und für alle t ∈ D gilt
cf (t) = cf (x) + (t − x)θ(t),
d.h. nach Lemma 2 ist cf in x differenzierbar mit (cf )0 (x) = θ(x) = cφ(x) = cf 0 (x).
(c) Nach §11.Satz 13.(a,b,c) ist die Funktion
θ : D → K; t 7→ φ(t)g(x) + f (x)ψ(t) + (t − x)φ(t)ψ(t)
in x stetig, und für alle t ∈ D gilt
f (t)g(t) = (f (x) + (t − x)φ(t)) · (g(x) + (t − x)ψ(t))
= f (x)g(x) + (t − x)(φ(t)g(x) + f (x)ψ(t)) + (t − x)2 φ(t)ψ(t)
= f (x)g(x) + (t − x)θ(t).
Nach Lemma 2 ist f g in x differenzierbar mit (f g)0 (x) = θ(x) = φ(x)g(x)+f (x)ψ(x) =
f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
e → K mit h(t) = h(y) +
(e) Nach Lemma 2 existiert eine in y stetige Funktion θ : D
e und es ist θ(y) = h0 (y). Nach §11.Lemma 12.(b) und §11.Satz
(t − y)θ(t) für alle t ∈ D
13.(c) ist die Funktion
e → K; t 7→ θ(t)φ(h(t))
%:D
e ist auch
in y stetig und für jedes t ∈ D
f (h(t)) = f (x) + (h(t) − x)φ(h(t)) = f (x) + (h(y) + (t − y)θ(t) − x)φ(h(t))
= f (h(y)) + (t − y)θ(t)φ(h(t)) = f (h(y)) + (t − y)%(t).
Nach Lemma 2 ist f ◦ h in y differenzierbar mit (f ◦ h)0 (y) = %(y) = θ(y)φ(x) =
f 0 (x)h0 (y).
(d) Wir haben bereits eingesehen, dass die Funktion
h : K\{0} → K; t 7→
1
t
für jedes t ∈ K\{0} differenzierbar mit h0 (t) = −1/t2 ist. Nach (e) ist die Funktion
1/g = h ◦ g in x differenzierbar mit
0
g 0 (x)
1
(x) = (h ◦ g)0 (x) = h0 (g(x)) · g 0 (x) = −
.
g
g(x)2
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
Nach (c) ist damit auch f /g = f · (1/g) in x differenzierbar mit
0
0
0
1
f 0 (x)
1
f 0 (x) f (x)g 0 (x)
f
(x) = f ·
(x) =
− f (x)
(x) =
−
g
g
g(x)
g
g(x)
g(x)2
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
.
=
g(x)2
Damit ist auch die Quotientenregel bewiesen.
Per Induktion folgt mit der Produktregel die Formel für die Ableitung von Funktionen
f : K → K; x 7→ xn für jedes n ∈ N, es gilt f 0 (x) = nxn−1 für jedes x ∈ K. Für
n = 0 müssen wir die rechte Seite dabei als Null interpretieren, auch wenn x = 0 ist.
An dieser Stelle ist es nützlich eine kleine symbolische Schreibweise einzuführen. Es ist
gelegentlich lästig einer Funktion wie x 7→ xn extra einen Namen f geben zu müssen,
nur um die Ableitung als f 0 (x) hinschreiben zu können. Etwas verkürzend schreibt man
daher so etwas wie
d n dxn
x =
= nxn−1
dx
dx
für diese Ableitung. Das x“ ist hier eine der in §1.1 diskutierten formalen Variablen und
”
sollte außerhalb der Formel nicht auftreten. Gelegentlich wenn der Definitionsbereich
des angegebenen Terms nicht ganz klar ist, kann man diesen mit einem Satz der Form
für x ∈ D“ oder ähnlich, hinzufügen. Will man die Ableitung in einem konkreten
”
Punkt a angeben, so schreibt man entsprechend
dxn d n
x =
= nan−1 .
dx x=a
dx x=a
Wenden wir noch die Quotientenregel an, so gilt diese Formel für alle n ∈ Z wenn
x 6= 0 ist. Damit können wir weiter die Ableitungen von Polynomen und die Ableitungen rationaler Funktionen berechnen. Um noch mehr Ableitungen berechnen zu
können, wollen wir jetzt zeigen, dass Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzkreises
differenzierbar sind und das die Ableitung durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe entsteht, d.h.
∞
∞
X
d X
n
an (z − z0 ) =
nan (z − z0 )n−1 ,
dz n=0
n=1
und ersetzen wir in der rechts stehenden Reihe noch n ≥ 1 durch n + 1 mit n ∈ N, so
entsteht die Ableitung in der Form des folgenden Satzes.
Satz 12.5 (Ableitungen von P
Potenzreihen)
n
Seien K ∈ {R, C} und f (z) = ∞
n=0 an (z −z0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
r > 0. Dann ist f für jedes z ∈ K mit |z − z0 | < r differenzierbar mit
f 0 (z) =
∞
X
(n + 1)an+1 (z − z0 )n ,
n=0
345
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
und diese Potenzreihe hat wieder den Konvergenzradius r.
√
√
√
√
√
n
n
n
n
n
Beweis:
Für
alle
n
∈
N
mit
n
≥
1
gilt
n
≤
n
+
1
≤
2n
=
2
n und wegen
√
√
n
n
( √n)n≥1 −→ 1 und ( 2)n≥1 −→ 1 ist nach §4.Lemma 6.(c) und §4.Lemma 5.(b) auch
( n n + 1)n≥1 −→ 1. Nach §4.Lemma 12.(c) gilt
p
p
p
√
lim sup n |(n + 1)an+1 | = lim n n + 1 · lim sup n |an+1 | = lim sup n |an |,
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
P
n
und nach §11.Satz 7 hat auch die Potenzreihe g(z) := ∞
n=0 (n + 1)an+1 (z − z0 ) den
Konvergenzradius r. Wir beweisen die Differenzierbarkeitsaussage
zunächst im EntP
n
wicklungspunkt. Die Potenzreihe φ(z) := ∞
a
(z
−
z
)
hat
wieder
den Konver0
n=0 n+1
genzradius r, und ist nach §11.Satz 17 eine stetige Funktion φ : Br (z0 ) → K. Für jedes
z ∈ K mit |z − z0 | < r gilt
f (z) = a0 +
∞
X
an (z − z0 )n = f (z0 ) + (z − z0 )φ(z),
n=1
und nach Lemma 2 ist f in z0 differenzierbar mit f 0 (z0 ) = φ(z0 ) = a1 = g(z0 ). Jetzt
sei z1 ∈ K mit |z1 − z0 | < r ein beliebiger Punkt im Konvergenzkreis von f , und setze
s := r − |z1 − z0 | > 0. Nach §11.Lemma 8 ist
bn :=
∞ X
n+k
n
k=0
an+k (z1 − z0 )k
P
n
für jedes n ∈ N absolut konvergent, die Potenzreihe f ∗ (z) := ∞
n=0 bn (z − z1 ) hat
∗
einen Konvergenzradius r ≥ s und für jedes z ∈ K mit |z − z1 | < s gilt f (z) = f ∗ (z).
Wie bereits gezeigt ist f ∗ in z1 differenzierbar mit
∞ ∞
X
X
n+1
∗ 0
n
(f ) (z1 ) = b1 =
an+1 (z1 − z0 ) =
(n + 1)an+1 (z1 − z0 )n = g(z1 ).
1
n=0
n=0
Nach Lemma 1.(b) ist damit auch f in z1 differenzierbar mit f 0 (z1 ) = (f ∗ )0 (z1 ) = g(z1 ).
Dieser Satz ermöglicht uns nun die Ableitungen der Grundfunktionen zu bestimmen.
Wenden wir den Satz speziell auf die Exponentialfunktion
z
e =
∞
X
zn
n=0
n!
an, so ergibt sich die Ableitung
∞
∞
X
X zn
dez
zn
= exp0 (z) =
(n + 1)
=
= ez
dz
(n
+
1)!
n!
n=0
n=0
346
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
für alle z ∈ C. Damit kann man dann weiter die Ableitungen der Hyperbelfunktionen
als
d
d ez − e−z
ez + e−z
sinh z =
=
= cosh z,
dz
dz
2
2
d ez + e−z
ez − e−z
d
cosh z =
=
= sinh z,
dz
dz
2
2
d
d sinh z
cosh2 z − sinh2 z
1
tanh z =
=
=
= 1 − tanh2 z
2
dz
dz cosh z
cosh z
cosh2 z
berechnen. Für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen ergibt sich schließlich
d
d
sin z =
(−i sinh(iz)) = −i2 cosh(iz) = cosh(iz) = cos z,
dz
dz
d
d
cos z =
cosh(iz) = i sinh(iz) = − sin z,
dz
dz
d
d
1
tan z =
(−i tanh(iz)) =
= 1 + tan2 z.
dz
dz
cos2 z
Die Ableitung des reellen Logarithmus können wir nicht so direkt bestimmen. Dieser ist als Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert und um derartige
Funktionen abzuleiten, brauchen wir noch eine Ableitungsregel für die Ableitung von
Umkehrfunktionen. Wir formulieren und beweisen diese Formel nur im reellen Fall da
wir im Beweis die Stetigkeit von Umkehrfunktionen verwenden werden. Tatsächlich
ist der wörtlich auf den Fall K = C übertragene Satz falsch. Man kann einen entsprechenden Satz auch im komplexen Fall beweisen, allerdings muss man zusätzliche
Voraussetzungen an den Definitionsbereich der betrachteten Funktion stellen. Dieses
durchzuführen ist zum einen etwas komplizierter und zum anderen gehört es auch nicht
mehr zu den Themen dieses Semesters. Wir werden im Rest dieses Kapitels nur noch
reelle Funktionen betrachten.
Satz 12.6 (Umkehrregel)
Seien I, J ⊆ R zwei Intervalle und sei f : I → J eine bijektive stetige Funktion, die
im Punkt x ∈ I differenzierbar ist mit f 0 (x) 6= 0. Dann ist auch die Umkehrfunktion
f −1 : J → I im Punkt y := f (x) ∈ J differenzierbar mit
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (f −1 (y))
.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass der Grenzwert
f −1 (u) − f −1 (y)
u→y
u−y
(f −1 )0 (y) = lim
existiert und gleich dem angegebenen Wert ist. Hierzu ist es am bequemsten direkt auf
die Definition dieses Funktionsgrenzwerts durch Folgen zurückzugehen. Sei also (yn )n∈N
347
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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eine gegen y konvergente Folge in J\{y}. Nach §11.Satz 16.(c) ist die Umkehrfunktion
f −1 : J → I stetig, und damit ist (f −1 (yn ))n∈N eine gegen f −1 (y) = x konvergente
Folge in I\{x}. Mit den Rechenregeln für Folgengrenzwerte §4.Satz 6.(d) folgt
−1
f −1 (yn ) − f −1 (y)
f −1 (yn ) − x
f (f −1 (yn )) − f (x)
lim
= lim
= lim
n→∞
n→∞ f (f −1 (yn )) − f (x)
n→∞
yn − y
f −1 (yn ) − x
−1
−1
f (f −1 (yn )) − f (x)
1
f (u) − f (x)
= lim
= lim
= 0 .
−1
n→∞
u→x
f (yn ) − x
u−x
f (x)
Dies ergibt
1
f −1 (u) − f −1 (y)
= 0 .
u→y
u−y
f (x)
(f −1 )0 (y) = lim
Die Voraussetzung f 0 (x) 6= 0 ist tatsächlich nötig. Beispielsweise ist die Funktion
f : R → R; x 7→ x3
√
stetig, bijektiv und überall differenzierbar, aber die Umkehrfunktion f −1 (x) = 3 x ist
in x = 0 nicht differenzierbar. Der Satz ist wegen f 0 (0) = 0 hier auch nicht anwendbar.
Ausgerüstet mit der Umkehrregel können wir jetzt die Ableitungen der noch ausstehenden Grundfunktionen berechnen. Wir beginnen dabei mit dem Logarithmus, und
erhalten für jedes x > 0
1
1
d
ln x = ln x = .
dx
e
x
Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich hieraus die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion
d α
d α·ln x α α·ln x
x =
e
= e
= αxα−1
dx
dx
x
für alle x, α ∈ R mit x > 0. Dagegen wird die Ableitung der Potenzfunktion nach dem
Exponenten für a, x ∈ R mit a > 0 zu
d x
d ln(a)·x
a =
e
= ln(a)eln(a)·x = ln(a)ax .
dx
dx
Weiter sind wir jetzt auch in der Lage die Ableitungen der Area Funktionen
arsinh : R → R
(Area Sinus Hyperbolicus)
arcosh : [1, ∞) → [0, ∞) (Area Cosinus Hyperbolicus)
artanh : (−1, 1) → R
(Area Tangens Hyperbolicus)
zu berechnen. Wir wissen bereits das der Sinus Hyperbolicus eine bijektive und überall
differenzierbare Funktion mit der Ableitung sinh0 x = cosh x ≥ 1 für jedes x ∈ R ist,
die Umkehrregel ergibt folglich für jedes x ∈ R
d
1
1
1
arsinh x =
=q
=√
.
2
dx
cosh(arsinh x)
x +1
1 + sinh2 (arsinh x)
348
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Weiter ist der Cosinus Hyperbolicus als Abbildung von [0, ∞) nach [1, ∞) bijektiv und
für jedes x ∈ R mit x > 0 ist auch cosh0 x = sinh x > 0, die Umkehrregel liefert somit
für jedes x ∈ R mit x > 1 auch
d
1
1
1
.
=√
arcosh x =
=q
2−1
dx
sinh(arcosh x)
2
x
cosh (arcosh x) − 1
Schließlich ist der Tangens Hyperbolicus tanh : R → (−1, 1) eine bijektive differenzierbare Abbildung mit tanh0 x = 1 − tanh2 x > 0 für jedes x ∈ R und die Umkehrregel
ergibt für jedes x ∈ (−1, 1) auch
d
1
1
artanh x =
=
.
2
dx
1 − x2
1 − tanh (artanh x)
Als letzte Ableitungsregel wollen wir noch kurz auf die Ableitungen von aus mehreren
Stücken zusammengesetzten Funktionen eingehen. Zunächst können wir dabei die sogenannten links- und rechtsseitigen Ableitungen einer Funktion definieren. Seien also
D ⊆ R eine Menge, a ∈ D und f : D → R eine Funktion. Ist dann a ein rechtsseitiger
Häufungspunkt von D, so nennen wir f in a rechtsseitig differenzierbar, wenn f |D≥a
in a differenzierbar ist, und die Ableitung
f+0 (a) := (f |D≥a )0 (a) = lim
x↓a
f (x) − f (a)
x−a
heißt die rechtsseitige Ableitung von f in a. Analog wird die linksseitige Ableitung von
f in a
f (x) − f (a)
f−0 (a) := (f |D≤a )0 (a) = lim
x↑a
x−a
einer von links differenzierbaren Funktion im Punkt a definiert, wenn a ein linksseitiger
Häufungspunkt von D ist. Ist beispielsweise f : R → R; x 7→ |x| die Betragsfunktion,
so existieren die links- und rechtsseitigen Ableitungen von f in 0 und es gelten
f−0 (0) = −1 und f+0 (0) = 1.
Dagegen ist die Betragsfunktion in 0 nicht differenzierbar, wie zum Beispiel das folgende
Lemma zeigt.
Lemma 12.7 (Ableitungen stückweise definierter Funktionen)
Seien D ⊆ R eine Menge, a ∈ D ein Häufungspunkt von D und f : D → R eine
Funktion. Dann ist die Funktion f genau dann in a differenzierbar mit der Ableitung
f 0 (a) = b ∈ R wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
1. Entweder ist a kein rechtsseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D und f ist in a rechtsseitig differenzierbar mit f+0 (a) = b.
2. Entweder ist a kein linksseitiger Häufungspunkt von D oder a ist ein linksseitiger
Häufungspunkt von D und f ist in a linksseitig differenzierbar mit f−0 (a) = b.
349
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Beweis: Klar nach §11.Lemma 4.
Als ein Beispiel betrachten wir die Funktion f : R → R gegeben durch
(
x2 , x ≥ 0,
f (x) = x2 H(x) =
0, x ≤ 0
für jedes x ∈ R. Dabei ist H wieder die Heaviside Funktion. Für x < 0 ist f 0 (x) = 0
und für x > 0 haben wir f 0 (x) = 2x. In x = 0 ergeben sich die links- und rechtsseitigen
Ableitungen f−0 (0) = 0 und f+0 (0) = 0, also ist f auch in 0 differenzierbar mit f 0 (0) = 0.
Insgesamt zeigt diese Rechnung
d 2
x H(x) = 2xH(x).
dx
12.3
Grundeigenschaften differenzierbarer reeller Funktionen
In diesem Abschnitt wollen wir einige der wichtigsten Eigenschaften von auf R definierten, differenzierbaren Funktionen zusammenstellen. Insbesondere werden wir damit
die Grundlagen der sogenannten Kurvendiskussion“ legen. Wir beginnen mit einigen
”
vorbereitenden Definitionen.
Definition 12.2 (Differenzierbarkeit und höhere Differenzierbarkeit)
Sei K ∈ {R, C} und sei D ⊆ K eine Teilmenge mit D ⊆ D0 , d.h. jeder Punkt von
D ist auch ein Häufungspunkt von D. Dann nennen wir eine Funktion f : D → K
differenzierbar in einer Teilmenge M ⊆ D wenn f in jedem Punkt x ∈ M differenzierbar
ist. Weiter nennen wir f differenzierbar wenn f in ganz D differenzierbar ist, und in
diesem Fall bezeichnen wir die Funktion
f 0 : D → K; x 7→ f 0 (x)
als die Ableitung von f . Alternativ sagen wir auch, dass die Funktion f einfach differenzierbar ist und schreiben f (1) := f 0 . Die höheren Ableitungen von f werden rekursiv
definiert, d.h. ist n ∈ N mit n ≥ 2, so nennen wir f n-fach differenzierbar wenn f
(n − 1)-fach differenzierbar ist und die (n − 1)-te Ableitung f (n−1) von f wieder differenzierbar ist. Die n-te Ableitung von f wird dann als f (n) := (f (n−1) )0 definiert. Die
Funktion f selbst nennen wir die nullte Ableitung und schreiben f (0) := f .
Für jedes n ∈ N nennen wir f n-fach stetig differenzierbar wenn f n-fach differenzierbar ist und die n-te Ableitung f (n) : D → K stetig ist. Schließlich heißt f unendlich
oft differenzierbar, wenn f für jedes n ∈ N stets n-fach differenzierbar ist.
Nach Lemma 3 ist eine n-fach differenzierbare Funktion für jedes n ≥ 1 auch (n − 1)fach stetig differenzierbar. Insbesondere ist eine unendlich oft differenzierbare Funktion für jedes n ∈ N stets n-fach stetig differenzierbar. Die Bedingung D ⊆ D0 an den
Definitionsbereich der betrachteten Funktion f ist für uns unproblematisch, sie ist beispielsweise erfüllt wenn D ein Kreis D = Br (z) in C oder ein Intervall mit mindestens
350
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
zwei Punkten in R ist. Die meisten der in diesem Abschnitt behandelten Aussagen
handeln von stetigen Funktionen f : [a, b] → R, die auf dem offenen Intervall (a, b)
differenzierbar sind und auch in dieser Situation ist die Bedingung an den Definitionsbereich erfüllt. Dabei sind a, b ∈ R mit a < b gegeben. Für durch Formeln gegebene
Funktionen verwendet man auch gelegentlich die Schreibweise
dn
f (n) (x) = n f (x)
dx
für die höheren Ableitungen einer Funktion.
Eine der Aufgaben bei der sogenannten Kurvendiskussion ist die Bestimmung der
lokalen Extrema einer gegebenen Funktion f : [a, b] → R. Wir beschränken uns bei der
Definition lokaler Extrema auf den reellen Fall.
Definition 12.3 (Lokale Extrema)
Seien D ⊆ R und f : D → R eine Funktion. Ein Punkt x ∈ D heißt ein lokales
Maximum der Funktion f , wenn es ein > 0 mit (x − , x + ) ⊆ D und f (x) ≥ f (t)
für alle t ∈ D mit |t − x| < gibt. Analog heißt x ein lokales Minimum von f wenn es
ein > 0 mit (x − , x + ) ⊆ D und f (x) ≤ f (t) für alle t ∈ D mit |t − x| < gibt.
Schließlich heißt x ein lokales Extremum von f wenn x ein lokales Maximum oder ein
lokales Minimum von f ist.
Damit x etwa ein lokales Maximum ist, wird nur gefordert, dass der Funktionswert x maximal unter den f(x)
Funktionswerten nahe bei x ist, also für alle Stellen in
einem Intervall (x − , x + ) um x. Weiter von x entfernt kann die Funktion durchaus noch größere Werte
annehmen. Ein globales Maximum x ∈ [a, b] von f ist
x
x−ε
x x+ ε
eine Stelle an der das Maximum der Funktionswerte angenommen wird, also f (x) ≥ f (t) für alle x ∈ [a, b]. Ist
x 6= a, b, so ist x dann offenbar auch ein lokales Maximum. Analog gilt dies auch für
globale Minima der Funktion.
Das folgende Lemma erlaubt in vielen Fällen die Bestimmung aller potentiellen
lokalen Extrema einer Funktion f .
Lemma 12.8 (Notwendige Bedingung für lokale Extrema)
Seien I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine Funktion und a ∈ I ein lokales Extremum
von f in dem die Funktion f differenzierbar ist. Dann gilt f 0 (a) = 0.
Beweis: Wir zeigen dies wenn a ein lokales Maximum ist, der Fall eines lokalen Minimums ist dann analog. Es gibt ein > 0 mit (a − , a + ) ⊆ I und f (a) ≥ f (x) für alle
x ∈ (a − , a + ). Mit Lemma 7 und §11.Lemma 2.(a) folgen
f (x) − f (a)
≤ 0,
x↓a
x−a
f (x) − f (a)
f 0 (a) = f−0 (a) = lim
≥ 0,
x↑a
x−a
f 0 (a) = f+0 (a) = lim
351
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es ist also f 0 (a) = 0.
Dieses Lemma erlaubt es bereits das Maximum und Minimum der betrachteten Funktion zu berechnen. Angenommen wir haben eine stetige Funktion f : [a, b] → R, die in
(a, b) differenzierbar ist. Dann bilden wir die Menge
M := {x ∈ (a, b)|f 0 (x) = 0} ∪ {a, b}
also alle Nullstellen der Ableitung im Inneren des Intervalls plus die beiden Randpunkte. In vielen Aufgabenstellungen ist die Menge M endlich und sogar recht klein. Der
maximale Wert den die Funktion annimmt ist dann
m := max f (x) = max f (x),
x∈M
x∈[a,b]
man muss die Funktion also nur an den Punkten aus M auswerten und den größten
auftretenden Wert heraussuchen. Weiter ist auch
{x ∈ [a, b]|f (x) = m} = {x ∈ M |f (x) = m},
wir finden also auch alle Werte in denen das Maximum angenommen wird, d.h. die
globalen Maxima der Funktion. Dies ist leicht zu sehen. Zunächst wissen wir nach
§11.Satz 14 das f überhaupt sein Maximum annimmt, es gibt also überhaupt ein globales Maximum von f . Damit muss man nur zeigen, dass jedes globale Maximum von
f in der Menge M liegt. Ist x ein globales Maximum, so ist x entweder einer der beiden
Randpunkte a, b, und dann ist x ∈ M , oder x ist auch lokales Maximum, und dann
ist nach dem eben bewiesenen Lemma f 0 (x) = 0, und wir haben wieder x ∈ M . Beachte das wir nicht wissen müssen welche der Nullstellen der Ableitung lokale Maxima
oder überhaupt lokale Extrema sind, das spielt keinerlei Rolle. Für das Minimum der
Funktion f kann man analog vorgehen.
Wir wollen jetzt ein Beispiel rechnen, und betrachten die Funktion
f : [0, 2] → R; x 7→ x3 − 4x2 + 4x − 5.
Wir suchen den maximalen und den minimalen Wert von f . Folgen wir dem obigen
Verfahren, so berechnen wir zunächst die Ableitung von f
f 0 (x) = 3x2 − 8x + 4,
und bestimmen ihre Nullstellen
8
4 !
4
x − x + = 0 =⇒ x = ±
3
3
3
r
2
also
x1 =
16 4
4
− = ±
9
3
3
2
und x2 = 2.
3
352
r
4
4 2
= ± ,
9
3 3
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Die relevanten Funktionswerte sind also
103
135
2
=−
>−
= −5.
f (0) = −5, f (2) = −5 und f
3
27
27
Also hat f ein globales Maximum in x = 2/3 mit Wert max = −103/27 und ein
globales Minimum in x = 0 (und x = 2) mit Wert min = −5.
Wir wollen noch ein zweites und etwas komplizierteres Beispiel rechnen. Bisher
haben wir uns auf Funktionen beschränkt die auf Intervallen der Form [a, b] definiert
sind. In diesem Fall garantiert uns §11.Satz 14 die Existenz von globalen Maximum
und Minimum. Man kann natürlich auch andere Intervalle behandeln, benötigt dann
aber zusätzliche Argumente. Als ein solches Beispiel wollen wir jetzt das Minimum der
Funktion
f : R → R; x 7→ 2x − x
berechnen, und insbesondere einsehen das es ein solches überhaupt gibt. Hier schauen
wir uns als ersten Schritt das Verhalten von f (x) für x gegen ±∞ an. Zunächst ist
lim 2x = lim eln(2)x = 0 =⇒ lim (2x − x) = ∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
nach §11.Satz 19.(c) und §11.Satz 5.(a). Etwas komplizierter ist der Grenzwert gegen
+∞, da hier sowohl 2x als auch x gegen +∞ konvergieren. Intuitiv ist klar das als
Grenzwert +∞ herauskommt, da 2x wesentlich schneller wächst als x. Mit den uns
inzwischen zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln können wir dies auch leicht formal
beweisen, nach §11.Satz 19.(c) gilt
x
= lim xe− ln(2)x = 0,
x→∞ 2x
x→∞
lim
und insbesondere existiert ein a ∈ R mit x/2x < 1/2 für alle x ∈ R mit x > a. Für
jedes x > a ist dann auch 2x > 2x also 2x − x > x und §11.Lemma 2.(b) ergibt
lim (2x − x) = ∞.
x→∞
Es ist f (0) = 1 und wegen limx→±∞ f (x) = ∞ existiert ein a > 0 mit f (x) ≥ 2 für alle
x ∈ R mit |x| > a. Damit folgt
inf f (x) =
x∈R
inf
f (x),
x∈[−a,a]
und auf das Intervall [−a, a] ist unsere obige Überlegung anwendbar. Für jedes x ∈ R
gilt jetzt
f 0 (x) = ln(2) · 2x − 1,
also
1
=⇒ x = log2
f (x) = 0 =⇒ 2 =
ln 2
0
x
353
1
ln 2
=
ln
1
ln 2
ln 2
=−
ln(ln 2)
,
ln 2
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und somit hat f sein globales Minimum in x0 = − ln(ln 2)/ ln(2). Der Funktionswert
in diesem Punkt ist
f (x0 ) = 2x0 − x0 =
1
ln(ln 2)
1 + ln(ln 2)
+
=
.
ln 2
ln 2
ln 2
Insgesamt haben wir damit
min(2x − x) =
x∈R
1 + ln(ln 2)
.
ln 2
Wir wollen jetzt die Theorie etwas fortsetzen
und steuern als nächstes Ergebis den sogenannten
Mittelwertsatz an. Bei diesem betrachten wir eine
differenzierbare Funktion f : [a, b] → R und schauen uns die Steigung des Geradenstücks an, das die
beiden Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) miteinander
verbindet. Diese Strecke ist sozusagen eine Sekante
an den Graphen der Funktion f . Der Mittelwerta
ξ
b
satz besagt das es zwischen a und b immer einen
Punkt ξ gibt so, dass die Steigung der Tangente an
den Graphen im Punkt (ξ, f (ξ)) gleich der Sekantensteigung zwischen a und b ist, oder
geometrisch formuliert das es zwischen a und b eine zur gegebenen Sekante parallele
Tangente an den Graphen gibt. Die Steigung der Tangente bei x = ξ ist dabei die
Ableitung f 0 (ξ).
Der Mittelwertsatz spielt eine recht kuriose Rolle. Für rechnerische Zwecke und
die meisten Anwendungen der Differentialrechnung außerhalb der Mathematik spielt
der Mittelwertsatz keinerlei Rolle. Für den Aufbau der Theorie ist der Mittelwertsatz
dagegen das Herzstück von allen. Alle weiteren Ergebnisse bauen direkt oder indirekt
auf ihm auf, der Mittelwertsatz ist der Dreh- und Angelpunkt aller weiteren Beweise. Um den Mittelwertsatz zu beweisen, behandelt man zuvor einen Spezialfall den
sogenannten Satz von Rolle.
Satz 12.9 (Satz von Rolle)
Seien a, b ∈ R mit a < b und sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit f (a) = f (b)
die in (a, b) differenzierbar ist. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0.
Beweis: Ist f konstant so ist f 0 (ξ) = 0 für jedes ξ ∈ (a, b) und die Behauptung ist
klar. Wir können also annehmen, dass f nicht konstant ist. Insbesondere kann nicht
gleichzeitig f (a) ≥ f (x) für alle x ∈ [a, b] und f (a) ≤ f (x) für alle x ∈ [a, b] gelten, und
wir nehmen zunächst an das es x ∈ [a, b] mit f (a) = f (b) < f (x) gibt. Nach §11.Satz
14 nimmt f in [a, b] sein Maximum an, es gibt also ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) ≥ f (x) für
alle x ∈ [a, b]. Nach unserer Annahme ist ξ 6= a, b, also ist sogar ξ ∈ (a, b). Dann ist
ξ auch ein lokales Maximum von f . Da f in ξ differenzierbar ist, ergibt Satz 8 auch
f 0 (ξ) = 0.
354
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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Damit ist die Aussage bewiesen wenn f in a nicht sein Maximum annimmt. Im
anderen Fall nimmt f in a nicht sein Minimum an, und wir können den obigen Beweis
analog mit einem globalen Minimum ξ führen.
Eigentlich hatten wir den Satz von Rolle schon implizit bei unseren Überlegungen zur
Berechnung des globalen Maximums beziehungsweise Minimums erhalten. Aus dem
Satz von Rolle wird jetzt der allgemeine Mittelwertsatz folgen. Der Beweis erfolgt im
wesentlichen durch Neigen des Kopfes“, der Satz von Rolle deckt den Fall einer waa”
gerechten Sekante ab, und der allgemeine Fall wird hierauf durch eine Scherung zurückgeführt. Bei dieser Gelegenheit wollen wir auch noch gleich eine leicht verallgemeinerte
Form des Mittelwertsatzes formulieren und beweisen.
Satz 12.10 (Mittelwertsatz)
Seien a, b ∈ R mit a < b und seien f, g : [a, b] → R zwei stetige Funktion die in (a, b)
differenzierbar sind.
(a) Es existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
f 0 (ξ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
(b) Es existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
f 0 (ξ) · (g(b) − g(a)) = g 0 (ξ) · (f (b) − f (a)).
Beweis: (b) Nach §11.Satz 13.(a,b) und Satz 4.(a,b) ist die Funktion
h : [a, b] → R; x 7→ f (x) · (g(b) − g(a)) − g(x) · (f (b) − f (a))
stetig und in (a, b) differenzierbar. Es gelten
h(a) = f (a)(g(b) − g(a)) − g(a)(f (b) − f (a)) = f (a)g(b) − g(a)f (b),
h(b) = f (b)(g(b) − g(a)) − g(b)(f (b) − f (a)) = g(b)f (a) − f (b)g(a),
also ist h(a) = h(b) und nach dem Satz von Rolle Satz 9 existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
h0 (ξ) = 0. Mit Satz 4.(a,b) folgt
f 0 (ξ) · (g(b) − g(a)) − g 0 (ξ) · (f (b) − f (a)) = h0 (ξ) = 0,
und dies ergibt die Behauptung.
(a) Das Polynom h(x) = x ist auf ganz R stetig und differenzierbar mit h0 (x) = 1 für
alle x ∈ R. Nach (b) existiert also ein ξ ∈ (a, b) mit
f 0 (ξ) · (b − a) = f 0 (ξ) · (h(b) − h(a)) = h0 (ξ) · (f (b) − f (a)) = f (b) − f (a),
355
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und hieraus folgt der Mittelwertsatz.
Als eine erste Anwendung des Mittelwertsatzes wollen wir die Kennzeichnung monotoner Funktionen durch Ableitungen herleiten. Die vollständige Aussage ist etwas
länglich da diverse Fälle zu unterscheiden sind. Da wir diesen Satz nicht nur auf Intervallen der Form [a, b] formulieren wollen, brauchen wir noch einen kleinen zusätzlichen
Begriff. Ist I ⊆ R ein Intervall, so nennen wir die Menge I ◦ aller von den Randpunkten
von I verschiedenen Elemente von I das Innere von I, d.h. für a, b ∈ R mit a < b sind
[a, b]◦ = [a, b)◦ = (a, b]◦ = (a, b)◦ = (a, b)
und
[a, ∞)◦ = (a, ∞)◦ = (a, ∞), (−∞, a]◦ = (−∞, a)◦ = (−∞, a)
sowie {a}◦ = ∅◦ = ∅ und R◦ = R.
Korollar 12.11 (Charakterisierung differenzierbarer monotoner Funktionen)
Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine stetige, in jedem Punkt von I ◦ differenzierbare Funktion. Dann gelten:
(a) Gilt f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈ I ◦ , so ist f monoton steigend.
(b) Gilt f 0 (x) ≤ 0 für alle x ∈ I ◦ , so ist f monoton fallend.
(c) Ist f monoton steigend so gilt f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈ I ◦ .
(d) Ist f monoton fallend so gilt f 0 (x) ≤ 0 für alle x ∈ I ◦ .
(e) Gilt f 0 (x) > 0 für alle x ∈ I ◦ , so ist f streng monoton steigend.
(f ) Gilt f 0 (x) < 0 für alle x ∈ I ◦ , so ist f streng monoton fallend.
Beweis: (a) Seien x, y ∈ I mit x < y gegeben. Dann ist f in jedem Punkt von (x, y) ⊆
I ◦ differenzierbar, also existiert nach dem Mittelwertsatz Satz 10.(a) ein ξ ∈ (x, y) mit
f (y) − f (x) = f 0 (ξ)(y − x) ≥ 0, also f (x) ≤ f (y).
Damit ist f monoton steigend.
(e) Gehen wir wie im Beweis von (a) vor, so haben wir diesmal
f (y) − f (x) = f 0 (ξ)(y − x) > 0, also f (x) < f (y).
Damit ist f streng monoton steigend.
(c) Sei x ∈ I ◦ . Ist y ∈ I\{x}, so gilt im Fall y > x stets f (y) ≥ f (x) also (f (y) −
f (x))/(y − x) ≥ 0 und im Fall y < x ist f (y) ≤ f (x) und wir haben ebenfalls (f (y) −
f (x))/(y − x) ≥ 0. Nach §11.Lemma 2.(a) ist damit
f (y) − f (x)
≥ 0.
y→x
y−x
f 0 (x) = lim
356
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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(b,d,f ) Analog zum monoton steigenden Fall.
Man kann die Aussagen (e) und (f) des Korollars noch etwas verbessern, einzelne
isolierte Nullstellen der Ableitung können auch noch erlaubt werden. Gibt es etwa
x1 , . . . , xn ∈ I so, dass für alle x ∈ I ◦ \{x1 , . . . , xn } stets f 0 (x) > 0 ist, so ist f auch in
diesem Fall streng monoton steigend. Diese Behauptung läßt sich leicht durch Betrachtung der Teilintervalle zwischen den Ausnahmepunkten auf (e) zurückführen. Noch
allgemeiner reicht es f 0 (x) > 0 für alle x ∈ I ◦ \N zu fordern, wenn N ⊆ I ◦ eine
Teilmenge ist, die keine Häufungspunkte in I ◦ hat. Dies nachzuweisen ist eine kleine
Übungsaufgabe.
In §11.5 hatten wir die analytische Begründung der Grundfunktionen begonnen und
mit Hilfe des eben bewiesenen Korollars können wir jetzt die Theorie der trigonometrischen Funktionen noch etwas fortsetzen. In §11.4 hatten wir Sinus und Cosinus über
die komplexe Exponentialfunktion als
∞
eix − e−ix X (−1)n 2n+1
sin x =
=
x
,
2i
(2n + 1)!
n=0
∞
eix + e−ix X (−1)n 2n
cos x =
=
x
2
(2n)!
n=0
eingeführt und auf der Basis dieser Definitionen die verschiedenen Additionstheoreme
hergeleitet. Dann hatten wir π als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des
Cosinus definiert und die Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen
bewiesen. Was wir noch nicht exakt begründet haben sind die Monotonieeigenschaften
dieser Funktionen und insbesondere hat unsere Einführung der Arcusfunktionen in §2
damit noch eine Lücke. Dabei bezieht Lücke“ sich nur auf die Begründung über die
”
obige Definition, akzeptiert man die geometrischen Definitionen der trigonometrischen
Funktionen so liegt hier kein Problem vor. Da π/2 definitionsgemäß die kleinste positive
Nullstelle des Cosinus ist, haben wir cos x 6= 0 für alle 0 < x < π/2. Da auch cos 0 =
1 > 0 gilt, liefert der Zwischenwertsatz §11.Satz 15 sogar cos x > 0 für alle 0 ≤ x < π/2.
Beachten wir noch cos(−x) = cos(x) für alle x ∈ R, so ist damit cos x > 0 für alle
x ∈ (−π/2, π/2). Für x ∈ (−π/2, π/2) ist somit auch
d
sin x = cos x > 0,
dx
d.h. der Sinus ist auf dem Intervall [−π/2, π/2] streng monoton steigend. Insbesondere
ist sin(π/2) > sin 0 = 0 und wegen 1 = sin2 (π/2) + cos2 (π/2) = sin2 (π/2) ist damit
π
π
π
sin = 1 und sin −
= − sin = −1.
2
2
2
Folglich ist sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1] bijektiv und der Arcussinus
h π πi
arcsin : [−1, 1] → − ,
2 2
357
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ist exakt begründet und stetig. Da für jedes x ∈ (−π/2, π/2) stets sin0 x = cos x > 0
gilt, ist der Arcussinus nach der Umkehrregel Satz 6 für alle x ∈ (−1, 1) differenzierbar
mit
1
1
d
1
√
arcsin x =
=p
=
.
dx
cos(arcsin x)
1 − x2
1 − sin2 (arcsin x)
Den Arcuscosinus können wir auf den Arcussinus zurückführen. Für alle x ∈ R ergibt
das Additionstheorem des Cosinus
π
π
π
cos x +
= cos x cos − sin x sin = − sin x,
2
2
2
also auch
π
cos x = − sin x −
.
2
Damit ist der Cosinus auf [0, π] streng monoton fallend und wegen cos π = −1 ist
cos : [0, π] → [−1, 1] bijektiv und auch der Arcuscosinus
arccos : [−1, 1] → [0, π]
ist exakt eingeführt und stetig. Unsere Formel liefert auch
arccos x =
π
− arcsin x
2
für alle x ∈ [−1, 1] und damit ist der Arcuscosinus für alle x ∈ (−1, 1) differenzierbar
mit
1
d
arccos x = − √
.
dx
1 − x2
Wir hatten bereits gesehen das der Cosinus auf [0, π] streng monoton fallend ist und
wegen cos(−x) = cos x für alle x ∈ R ist der Cosinus auf [−π, 0] dagegen streng
monoton steigend. Für π/2 < x < π ist nun cos x < cos(π/2) = 0, also auch
d
sin x = cos x < 0
dx
und der Sinus ist auf [π/2, π] streng monoton fallend. Wegen sin(−x) = − sin x für alle
x ∈ R ist er auf [−π, −π/2] dann ebenfalls streng monoton fallend. Für π/2 ≤ x < π
ist sin x > sin π = 0 und für −π < x < −π/2 haben wir sin x < 0 und cos x < 0. Damit
haben wir das Monotonieverhalten von Sinus und Cosinus zwischen −π und π geklärt,
und da beide Funktionen die Periode 2π haben kennen wir ihr Verhalten auf ganz R.
Im nächsten Schritt lassen sich dann die Nullstellen von Sinus und Cosinus bestimmen. Für 0 ≤ x < π wissen wir bereits das genau dann sin x = 0 gilt wenn x = 0 ist.
Ist jetzt x ∈ R beliebig, so schreibe x = nπ + y mit n ∈ Z und y ∈ [0, π) und erhalte
sin x = sin(nπ + y) = (−1)n sin y, also ist genau dann sin x = 0 wenn sin y = 0 ist und
dies ist zu y = 0 also x = nπ gleichwertig. Damit haben wir
{x ∈ R| sin x = 0} = {nπ|n ∈ Z} =: Zπ.
358
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Weiter ist cos x = − sin(x − π/2), also haben wir genau dann cos x = 0 wenn x − π/2 =
nπ für ein n ∈ Z ist, d.h.
nπ
o
π
{x ∈ R| cos x = 0} =
+ nπ n ∈ Z =: + Zπ.
2
2
Insbesondere haben wir damit die Definitionsbereiche der reellen Tangens- und Cotangensfunktionen bestimmt. Auch die Begründung des Arcustangens ist jetzt gut möglich.
Zunächst gilt für alle x ∈ (−π/2, π/2)
d
tan x = 1 + tan2 x ≥ 1 > 0,
dx
der Tangens ist also auf (−π/2, π/2) streng monoton steigend. Wegen cos x > 0 für
alle x ∈ (−π/2, π/2) und
limπ cos x = cos
x→ 2
π
π
= 0 und limπ sin x = sin = 1 ist limπ tan x = ∞
x→ 2
x→ 2
2
2
und analog limx→−π/2 tan x = −∞. Damit ist tan : (−π/2, π/2) → R bijektiv und wir
haben den stetigen Arcustangens
π π
.
arctan : R → − ,
2 2
Die Umkehrregel Satz 6 ergibt das der Arcustanges differenzierbar mit
1
1
d
arctan x =
=
2
dx
1 + tan (arctan x)
1 + x2
für alle x ∈ R ist. Mit diesen Ergebnissen können wir jetzt auch die in §3.3 angegebenen speziellen Werte der trigonometrischen Funktionen exakt herleiten. Mit der
Verdopplungsformel cos(2x) = 2 cos2 x − 1 erhalten wir
π
π
π
0 = cos = cos 2 ·
= 2 cos2 − 1,
2
4
4
also sind
π
1
π
π
1
= und sin2 = 1 − cos2 = .
4
2
4
4
2
Wegen π/4 ∈ (0, π/2) wissen wir auch sin(π/4) > 0 und cos(π/4) > 0, also wird
cos2
sin
π
π
1
= cos = √ .
4
4
2
Die Werte von Sinus und Cosinus bei x = π/3 und x = π/6 berechnen wir gemeinsam.
Zunächst ergibt das Additionstheorem des Cosinus
π π π
π
π
π
π
π
cos = cos
−
= cos cos + sin sin = sin ,
6
2
3
2
3
2
3
3
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und mit der Verdopplungsformel sin(2x) = 2 sin x cos x des Sinus folgt weiter
π
π
π
π
π
cos = sin = sin 2 ·
= 2 sin cos .
6
3
6
6
6
Andererseits ist wegen π/6 ∈ (0, π/2) auch cos(π/6) > 0, also insbesondere cos(π/6) 6=
0 und somit wird
√
r
π
3
1
π
2 π
=
.
sin = und cos = 1 − sin
6
2
6
6
2
Nun ist auch π/3 ∈ (0, π/2), also cos(π/3) > 0 und es ergeben sich
√
r
π
3
π
π
1
π
und cos = 1 − sin2 = .
sin = cos =
3
6
2
3
3
2
Für die Werte des Tangens ergeben sich
√
π
1
π √
π
3
.
tan = 3, tan = 1 und tan = √ =
3
4
6
3
3
Die Berechnung der trigonometrischen Funktionen bei x = π/5 ist etwas komplizierter.
Hier ist es bequem mit t := tan(π/5) zu beginnen. Für jedes x ∈ R mit cos(x) 6= 0 und
cos(2x) 6= 0 ergibt sich mit den Verdopplungsformeln für Sinus und Cosinus
tan(2x) =
sin(2x)
2 sin x cos x
2 tan x
=
=
2
cos(2x)
1 − tan2 x
cos2 x − sin x
und ist zusätzlich cos(4x) 6= 0 so auch
tan(4x) =
2 tan(2x)
4 tan x(1 − tan2 x)
.
=
1 − tan2 (2x)
(1 − tan2 x)2 − 4 tan2 x
Wenden wir diese Formel mit x = π/5 an so haben wir
π
π
4t(1 − t2 )
−t = tan π −
= tan 4 ·
=
5
5
(1 − t2 )2 − 4t2
also wegen t > 0
4(1 − t2 )
(1 − t2 )2 + 4(1 − t2 ) − 4t2
t4 − 10t2 + 5
=
=
,
(1 − t2 )2 − 4t2
(1 − t2 )2 − 4t2
(1 − t2 )2 − 4t2
√
√
beziehungsweise t4 − 10t2 + 5 = 0. Dies liefert t2 = 5 ± 20 = 5 ± 2 5 und wegen
q
√
√
π
2
2 π
2 π
2
t = tan
< tan
= 1 sogar t = 5 − 2 5 und tan = 5 − 2 5.
5
4
5
0=1+
360
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Für den Cosinus folgt
π
1
cos2 =
5
1 + tan2
π
5
√
√
1
3+ 5
5+2 5+1
√ =
=
=
=
8
16
2(3 − 5)
d.h.
√ !2
1+ 5
4
√
π
1+ 5
.
cos =
5
4
Schließlich ist
√
√
q
√
π
3+ 5
5− 5
π
1
2 π
2(5 − 5).
sin
= 1 − cos
=1−
=
und sin =
5
5
8
8
5
4
2
Zum Abschluß dieser Überlegungen wollen wir unsere Abschätzung für π noch etwas
verbessern, aus §11.5 wissen wir das 14/5 <√π < 16/5, also 2, 8 < π < 3, 2, ist. Dies
hatten wir aus der für alle x ∈ R mit |x| ≤ 2 3 gültigen Abschätzung
cos x ≥ 1 −
x2
2
√
hergeleitet. Speziell mit x = π/6 < 8/15 < 2 3 wird
√
π
π2
3
= cos ≥ 1 − ,
2
6
72
d.h.
v
u
u
π ≥ t72 ·
s √
√ !
√
q
√
√
√
3
( 6 − 2)2
1−
=6 2− 3=6
= 3( 6 − 2) ≈ 3, 1058.
2
4
Dies gibt uns also π > 3, 1, und wollen wir dies ohne Einsatz einer Näherung nachweisen, so rechnen wir etwa
√
√
(50 2)2 = 5000 < 5041 = 712 und (20 6)2 = 2400 < 2401 = 492
also
√
√
71
49
sowie 6 <
50
20
und wegen 129 · 31 = 3999 < 4000 = 40 · 100 ist 129/100 < 40/31 also auch 387/100 <
120/31 und folglich
√
√
49 71
387
120
6+ 2<
+
=
<
20 50
100
31
sowie
√
√
4
31
√ >
6− 2= √
30
6+ 2
2<
361
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und es folgt
√
√
31
π ≥ 3( 6 − 2) > .
10
Insgesamt haben wir damit 31/10 < π < 32/10, beziehungsweise 3, 1 < π < 3, 2
bewiesen.
Wir werden das Korollar 11 nun verwenden eine weitere Grundtatsache herzuleiten,
die Kennzeichnung lokaler Maxima und Minima über die zweite Ableitung. Wir wissen
bereits aus Satz 8 das die Ableitung einer differenzierbaren Funktion in einem lokalen
Extremum stets Null ist, aber umgekehrt muss eine Nullstelle der Ableitung nicht
unbedingt ein lokales Extremum sein. Ist die Funktion sogar zweimal differenzierbar,
so werden wir zeigen das aus f 0 (x) = 0 und f 00 (x) 6= 0 folgt das die Funktion im Punkt
x ein lokales Extremum hat. Etwas genauer liegt ein lokales Maximum vor wenn die
zweite Ableitung in x negativ ist und ein lokales Minimum wenn sie positiv ist.
Korollar 12.12 (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema)
Seien a, b ∈ R mit a < b und f : [a, b] → R sei in (a, b) differenzierbar. Weiter sei
x ∈ (a, b) mit f 0 (x) = 0 und f sei in x zweifach differenzierbar mit f 00 (x) 6= 0. Dann hat
f in x ein lokales Extremum. Genauer hat f in x ein lokales Minimum wenn f 00 (x) > 0
ist und ein lokales Maximum wenn f 00 (x) < 0 ist.
Beweis: Wir betrachten den Fall f 00 (x) > 0, der Beweis des anderen Falls ist dann
analog. Nach Lemma 2 existiert eine in x stetige Funktion φ : [a, b] → R mit
f 0 (y) = f 0 (x) + (y − x)φ(y) = (y − x)φ(y)
für alle y ∈ [a, b], und es ist φ(x) = f 00 (x) > 0. Nach §11.Lemma 9 existiert ein > 0
mit [x − , x + ] ⊆ (a, b) und |φ(y) − f 00 (x)| < f 00 (x)/2 für alle y ∈ [a, b] mit |y − x| < .
Für jedes y ∈ [a, b] mit |y − x| < ist damit
φ(y) = f 00 (x) + φ(y) − f 00 (x) ≥ f 00 (x) − |φ(y) − f 00 (x)| >
f 00 (x)
> 0,
2
und folglich ist auch sign(f 0 (y)) = sign(y − x). Für jedes y ∈ (x − , x) ist damit
f 0 (y) < 0 und für y ∈ (x, x + ) haben wir f 0 (y) > 0. Nach Korollar 11.(e,f) sind
f |[x − , x] streng monoton fallend und f |[x, x + ] streng monoton steigend. Ist also
y ∈ [a, b] mit |y − x| < , so ist im Fall y ≤ x stets f (y) ≥ f (x) und im Fall y ≥ x
haben wir ebenfalls f (x) ≤ f (y). Dies zeigt, dass f in x ein lokales Minimum hat.
Man sollte die praktische Bedeutung dieses Korollars nicht überschätzen. Welche der
Nullstellen von f 0 lokale Maxima beziehungsweise lokale Minima sind, ist in den meisten
Fällen sowieso klar. Ist beispielsweise x1 kleinste Nullstelle von f 0 und limx→−∞ f (x) =
+∞, so kann f in x1 nur ein lokales Minimum oder gar kein lokales Extremum haben.
Kennen wir dann auch die zweitkleinste Nullstelle x2 von f 0 , so müssen wir nur die
Werte f (x1 ) und f (x2 ) vergleichen. Ist f (x2 ) < f (x1 ), so hatte f in x1 kein lokales
362
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Extremum, und in x2 ist entweder auch kein lokales Extremum oder ein lokales Minimum. Ist dagegen f (x2 ) > f (x1 ), so hatte f in x1 ein lokales Minimum und in x2
ist entweder ein lokales Maximum oder gar kein lokales Extremum. Mit Überlegungen
dieser Art lassen sich die meisten in Aufgaben vorkommenden Funktionen behandeln,
d.h. man kommt in der Regel alleine mit dem Vergleichen von Funktionswerten durch
und benötigt keine zweite Ableitung. Sucht man nach den globalen Minima und Maxima, so ist es wie bereits früher bemerkt völlig egal welche der Nullstellen von f 0 lokale
Extrema sind. Zusammengefasst stellt man sich meistens ungeschickt an, wenn man
sich beim Berechnen der zweiten Ableitung ertappt.
12.4
Die Regel von Hospital
Die sogenannten Hospitalschen Regeln sind Formeln zur Berechnung von Funktionsgrenzwerten unter Verwendung gewisser Ableitungen. Diese gehen ursprünglich auf
einen Brief von Hospital an Johann Bernoulli aus dem Jahr 1693 zurück, dort fragt
Hospital nach einer Berechnung des Grenzwerts
√
lim
x→a
√
3
2a3 x − x4 − a a2 x
√
4
a − ax3
für reelles a > 0. In seiner Antwort entwickelt Bernoulli die Hospitalschen Regeln,
die dann später von Hospital in ein Lehrbuch zur Analysis aufgenommen wurden. Es
handelt sich eigentlich um zwei verschiedene Regeln, einmal für Grenzwerte der Form
0/0“, und ein anderes Mal für Grenzwerte der Form ∞/∞“. Im obigen Problem
”
”
können wir die Grenzwerte von Zähler und Nenner leicht berechnen
lim
√
x→a
√
√
3
4
2a3 x − x4 − a a2 x = a2 − a2 = 0 und lim a − a3 x = a − a = 0,
x→a
da wir bereits die Stetigkeit von Wurzelfunktionen bewiesen haben, und damit liegt
ein 0/0“-Problem vor.
”
Am häufigsten angewandt wird ein trivialer Spezialfall der Hospitalschen Regeln,
mit dem wir hier auch beginnen wollen. Als ein konkretes Beispiel wollen wir den
Grenzwert limn→∞ (1 + x/n)n für beliebiges x ∈ R berechnen. Für x = 1 hatten wir
diesen Grenzwert in §4.1 als Definition von e verwendet, und die Fälle x = 2 und
x = −1 wurden bereits in Übungsaufgaben behandelt. Für x = 0 ist die betrachtete
Folge konstant gleich Eins, und auch der Grenzwert ist damit 1, wir können also x 6= 0
annehmen. Wir bestimmen zunächst den Grenzwert des Logarithmus unserer Folge als
lim ln
n→∞
h
ln 1 + nx − ln(1)
x n i
x
1+
= lim n ln 1 +
= lim x ·
x
n→∞
n→∞
n
n
n
ln(1 + h) − ln(1)
= x · lim
=x
h→0
h
363
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da es sich um einen Differenzenquotienten der Ableitung des Logarithmus in 1 handelt.
Mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt weiter
h
x n
x n i
lim 1 +
= exp lim ln 1 +
= exp(x) = ex .
n→∞
n→∞
n
n
Für x = 0 gilt diese Formel ebenfalls. Die eigentliche Grundidee der Hospitalschen
Regel haben wir damit schon gesehen, der Grenzwert wurde berechnet, indem wir ihn
als Grenzwert eines Differenzenquotienten interpretiert haben. Etwas allgemeiner kann
man die folgende Situation betrachten. Gegeben seien zwei auf dem Intervall I definierte, differenzierbare Funktionen f, g : I → R, und wir haben einen Punkt a ∈ I mit
f (a) = g(a) = 0 und g 0 (a) 6= 0. Dann berechnen wir den Grenzwert limx→a f (x)/g(x)
indem wir ihn als einen Quotienten zweier Differenzenquotienten auffassen
h
i
(a)
f (x)−f (a)
lim f (x)−f
x−a
x−a
f (x)
f 0 (a)
x→a
h
i
lim
= 0 .
= lim
=
x→a g(x)
x→a g(x)−g(a)
g (a)
lim g(x)−g(a)
x−a
x→a
x−a
Wie man sieht ist dies eigentlich keine neue Aussage, sondern nur die Definition der
Ableitung. Ein beliebtes, wenn auch eigentlich ziemlich unsinniges, Beispiel ist der
Grenzwert
sin x
= 1.
lim
x→0 x
Die Rechnung über die Hospitalsche Regel wäre
sin x
sin0 x
= lim
= cos 0 = 1.
x→0 x
x→0
1
lim
Einfacher kann man auch sagen, dass dieser Grenzwert gerade der Grenzwert des Differenzenquotienten für sin x bei 0 ist, also gleich sin0 0 = cos 0 = 1 sein muss. Die
nicht triviale Hospitalsche Regel wird erstaunlich selten wirklich benötigt, in dieser
wird auch noch der Fall erfasst das die Ableitungen von Zähler und Nenner in a gar
nicht existieren sowie die Situation von Grenzwerten der Form ∞/∞“.
”
Satz 12.13 (Die Hospitalschen Regeln)
Seien a, b ∈ R mit a < b und seien f, g : (a, b) → R zwei differenzierbare Funktionen
mit g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b). Weiter nehme an, dass in R die beiden
Grenzwerte lim f (x) und lim g(x) existieren und das
x→a
x→a
lim f (x) = lim g(x) = 0 oder lim f (x), lim g(x) ∈ {−∞, +∞}
x→a
x→a
x→a
x→a
gelten. Existiert dann der Grenzwert limx→a f 0 (x)/g 0 (x) in R, so ist auch
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
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Beweis: Wir schreiben c := limx→a f 0 (x)/g 0 (x) ∈ R. Zunächst sei limx→a f (x) =
limx→a g(x) = 0. Durch f (a) := 0 und g(a) := 0 können wir f und g zu, der Einfachheit
halber wieder mit f und g bezeichneten, stetigen Funktionen auf [a, b) fortsetzen. Sei
(xn )n∈N eine Folge in (a, b) mit (xn )n∈N −→ a. Sei n ∈ N. Nach Satz 10.(b) existiert
ein ξn ∈ (a, xn ) mit
f 0 (ξn ) · g(xn ) = f 0 (ξn ) · (g(xn ) − g(a)) = g 0 (ξn ) · (f (xn ) − f (a)) = g 0 (ξn ) · f (xn ),
also ist wegen g(xn ) 6= 0 und g 0 (ξn ) 6= 0 auch
f 0 (ξn )
f (xn )
= 0
.
g(xn )
g (ξn )
Wegen a < ξn < xn für alle n ∈ N gilt nach dem Einschnürungslemma §4.Lemma 5.(b)
auch (ξn )n∈N −→ a. Es folgt
f (xn )
f 0 (ξn )
f 0 (x)
= lim 0
= lim 0
= c.
n→∞ g(xn )
n→∞ g (ξn )
x→a g (x)
lim
Dies zeigt limx→a f (x)/g(x) = c, und die Aussage ist in diesem Fall bewiesen.
Nun kommen wir zum Fall limx→a f (x), limx→a g(x) ∈ {−∞, +∞}. Durch eventuellen Übergang von f zu −f beziehungsweise von g zu −g können wir limx→∞ f (x) =
limx→∞ g(x) = ∞ annehmen. Sei (xn )n∈N wieder eine gegen a konvergente Folge in
(a, b). Dann ist limn→∞ f (xn ) = limn→∞ g(xn ) = ∞. Wir behaupten zunächst, dass
es ein n0 ∈ N und eine gegen a konvergente Folge (bn )n≥n0 in (a, b) mit bn > xn und
f (xn ) > f (bn ) > 0, g(xn ) > g(bn ) > 0 für alle n ≥ n0 und
f (bn )
g(bn )
= lim
=0
n→∞ f (xn )
n→∞ g(xn )
lim
gibt. Zunächst wähle ein m0 ∈ N mit f (xn ), g(xn ) > 0 für alle n ≥ m0 . Nun sei
k ≥ 1 und mk−1 ∈ N sei schon gewählt. Dann existiert ein mk ∈ N mit mk > mk−1 ,
xn < xmk−1 für alle n ≥ mk und f (xn ) > kf (xmk−1 ), g(xn ) > kg(xmk−1 ) für alle n ≥ mk .
Damit haben wir induktiv eine streng monoton steigende Folge (mk )k∈N in N definiert.
Setze n0 := m1 ∈ N und definiere die Folge (bn )n≥n0 wie folgt: Ist n ∈ N mit n ≥ n0 =
m1 , so existiert ein k ≥ 1 mit mk ≤ n < mk+1 und wir setzen bn := xmk−1 ∈ (a, b). Wir
zeigen nun, dass diese Folge alle verlangten Eigenschaften hat. Sei n ∈ N mit n ≥ n0
und sei k ≥ 1 mit mk ≤ n < mk+1 . Wegen n ≥ mk > mk−1 ≥ m0 sind f (xn ) >
kf (xmk−1 ) ≥ f (xmk−1 ) = f (bn ) > 0 und g(xn ) > kg(xmk−1 ) ≥ g(xmk−1 ) = g(bn ) > 0.
Außerdem ist xn < xmk−1 = bn . Wir kommen nun zu den Konvergenzbehauptungen,
zunächst zeigen wir das die Folge (bn )n≥n0 gegen a konvergiert. Sei > 0. Dann existiert
ein n1 ∈ N mit a < xn < a + für alle n ≥ n1 . Sei nun n ∈ N mit n ≥ mn1 +1 . Dann
existiert ein k ≥ n1 + 1 mit mk ≤ n < mk+1 und wegen mk−1 ≥ mn1 ≥ n1 ist |bn − a| =
|xmk−1 − a| < . Damit haben wir (bn )n≥n0 −→ a eingesehen. Es verbleiben nur noch
die beiden Aussagen über die Quotientenfolgen. Sei wieder ein > 0 gegeben. Dann
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existiert ein k0 ≥ 1 mit 1/k0 < . Sei n ∈ N mit n ≥ mk0 . Dann existiert ein k ≥ k0 mit
mk ≤ n < mk+1 und wegen f (xn ) > kf (xmk−1 ) = kf (bn ), g(xn ) > kg(xmk−1 ) = kg(bn )
sowie f (xn ), g(xn ), f (bn ), g(bn ) > 0 folgen auch
0<
1
1
g(bn )
1
1
f (bn )
< ≤
< und 0 <
< ≤
< ,
f (xn )
k
k0
g(xn )
k
k0
und auch diese Konvergenzaussagen sind bewiesen.
Damit haben wir diese Zwischenbehauptung eingesehen, und kommen zur eigentlichen Aussage. Nach Satz 10.(b) existiert für jedes n ≥ n0 ein ξn ∈ (xn , bn ) mit
f 0 (ξn ) · (g(xn ) − g(bn )) = g 0 (ξn ) · (f (xn ) − f (bn )).
Wegen g(xn ) − g(bn ) > 0 und g 0 (ξn ) 6= 0 ist damit
f 0 (ξn )
f (xn ) − f (bn )
= 0
.
g(xn ) − g(bn )
g (ξn )
Für jedes n ≥ n0 ist wegen f (xn ) > f (bn ) > 0
f (xn ) − f (bn )
f (xn )
g(xn ) − g(bn )
f (xn )
=
·
·
g(xn )
g(xn ) − g(bn ) f (xn ) − f (bn )
g(xn )
f 0 (ξn )
g(bn )
1
= 0
· 1−
·
.
g (ξn ) 1 − f (bn )
g(xn )
f (xn )
Wegen xn < ξn < bn für alle n ≥ n0 gilt nach dem Einschnürungslemma §4.Lemma
5.(b) auch (ξn )n≥n0 −→ a. Mit den Grenzwertsätzen für Folgen §4.Satz 6 folgt
f (xn )
f 0 (ξn )
g(bn )
f 0 (x)
1
·
1
−
lim
lim
= lim 0
=
lim
= c.
·
n→∞ g(xn )
n→∞ g(xn )
n→∞ g (ξn )
x→a g 0 (x)
1 − lim f (bn )
n→∞ f (xn )
Dies zeigt limx→a f (x)/g(x) = c, und die Aussage ist auch in diesem Fall bewiesen.
Wir haben die Regel hier nur für rechtsseitige Grenzwerte x → a von auf (a, b) definierten Funktionen formuliert, analog gilt dies dann natürlich auch für linksseitige
Grenzwerte x → b, und auch für beidseitige Grenzwerte x → c mit c ∈ (a, b). Für letzteres müssen wir uns nur auf §11.Lemma 4 berufen. Im ursprünglichen Anwendungsfall
haben wir
√
d √ 3
a3 − 2x3
a3
3
( 2a x − x4 − a a2 x) = √
− √
,
dx
2a3 x − x4 3 3 a4 x2
√
3ax2
d
4
(a − ax3 ) = − √
.
4
dx
4 a3 x 9
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Für x → a konvergieren die Ableitung des Zählers gegen −a − a/3 = −4a/3 und die
Ableitung des Nenners gegen −3/4, nach der Hospitalschen Regel gilt also
√
√
3
− 43 a
16
2a3 x − x4 − a a2 x
√
lim
=
= a.
3
4
3
x→a
9
−4
a − ax
Wir wollen noch ein zweites Beispiel rechnen in dem Satz 13 gleich doppelt angewandt
wird
1
1
x − sin x
1 − cos x
sin x
lim
−
= lim
= lim
= lim
= 0.
x→0
x→0 x sin x
x→0 sin x + x cos x
x→0 2 cos x − x sin x
sin x x
Streng genommen, ist diese Rechnung so falsch, da wir mit einem Grenzwert beginnen
von dem wir noch nicht wissen das er überhaupt existiert. Dies ist allerdings so verbreitet das wir uns dieser Unsitte hier anschließen wollen, man muss sich immer nur
dazudenken das diese Gleichungskette eigentlich von rechts nach links zu lesen ist. Wir
wollen auch noch ein Beispiel für die ∞/∞“ Situation rechnen
”
ln x
x−1
= lim (−x) = 0.
lim x ln x = lim −1 = lim
x→0 −x−2
x→0
x→0
x→0 x
Als nächste Aufgabe wollen wir die Hospitalsche Regel auch auf Grenzwerte x → ∞
ausdehnen. Zu diesem Zweck führen wir derartige Grenzwerte auf den schon behandelten Grenzwerttyp zurück, indem x durch 1/x ersetzt wird. Hierfür benötigen wir
ein kleines Lemma, das derartige Umparametrisierungen von Grenzwerten untersucht.
Dabei sind wir nicht an die Substitution von 1/x gebunden, sondern können je nach
den aktuellen Erfordernissen auch andere Funktionen h(x) substituieren. Eine analoge
Aussage gilt natürlich auch für Grenzwerte gegen −∞.
Lemma 12.14 (Umparametrisierung von Funktionsgrenzwerten in ∞)
Seien a, b, c ∈ R mit a c für alle x ∈ (a, b]. Weiter seien f : (c, ∞) → R eine
Funktion und m ∈ R. Dann gilt
lim f (x) = m ⇐⇒ lim f (h(x)) = m.
x→∞
x→a
Beweis: ”=⇒” Sei (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge in (a, b]. Dann ist
lim h(xn ) = lim h(x) = +∞,
n→∞
x→a
also auch
lim f (h(xn )) = lim f (x) = m.
n→∞
x→∞
”⇐=” Wegen limx→a h(x) = +∞ und da das Bild h((a, b]) ⊆ R nach §11.Lemma
16.(a) ein Intervall ist, gilt [h(b), ∞) ⊆ h((a, b]). Sei jetzt (xn )n∈N eine Folge in (c, ∞)
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mit (xn )n∈N −→ +∞. Dann existiert ein n0 ∈ N mit xn > h(b) für alle n ∈ N mit
n ≥ n0 , d.h. für jedes n ≥ n0 existiert ein tn ∈ (a, b] mit xn = h(tn ). Wir behaupten,
dass die Folge (tn )n≥n0 gegen a konvergiert. Angenommen (tn )n≥n0 konvergiert nicht
gegen a. Nach §4.Lemma 1.(c) existieren ein > 0 und eine Teilfolge (tnk )k∈N von
(tn )n≥n0 mit |tnk − a| ≥ für alle k ∈ N. Für alle k ∈ N ist dann a + ≤ tnk ≤ b, und
nach dem Satz von Heine Borel §4.Satz 13 existiert eine konvergente Teilfolge (tnkl )l∈N
von (tnk )k∈N . Für den Grenzwert t dieser Teilfolge gilt dann nach §4.Lemma 5.(a) auch
a + ≤ t ≤ b, und die Stetigkeit von h liefert den Widerspruch
h(t) = lim h(tnkl ) = lim xnkl = lim xn = +∞.
l→∞
l→∞
n→∞
Dies zeigt (tn )n≥n0 −→ a, und somit gilt auch
lim f (xn ) = lim f (h(tn )) = lim f (h(x)) = m.
n→∞
n→∞
x→a
Damit ist dieses Lemma bewiesen.
Ausgerüstet mit diesem Lemma ist es leicht, die Hospitalsche Regel auch für Grenzwerte x → ±∞ zu beweisen. Wir formulieren und beweisen den folgenden Satz nur
für Grenzwerte gegen +∞, aber für Grenzwerte gegen −∞ gilt natürlich die analoge
Aussage.
Satz 12.15 (Regel von Hospital für x → ∞)
Sei a ∈ R und seien f, g : [a, ∞) → R zwei differenzierbare Funktionen mit g(x) 6= 0
und g 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ [a, ∞). Weiter nehme an, dass in R die beiden Grenzwerte
lim f (x) und lim g(x) existieren und das
x→∞
x→∞
lim f (x) = lim g(x) = 0 oder lim f (x), lim g(x) ∈ {−∞, +∞}
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
gelten. Existiert dann der Grenzwert limx→∞ f 0 (x)/g 0 (x) in R, so ist auch
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→∞ g(x)
x→∞ g (x)
lim
Beweis: Durch eventuelles Vergrößern von a können wir a > 0 annehmen. Die Funktion
1
1
h : 0,
→ [a, ∞); x 7→
a
x
ist differenzierbar mit limx→0 h(x) = +∞, und wir betrachten die beiden differenzierbaren Funktionen F := f ◦h : (0, 1/a] → R und G := g ◦h : (0, 1/a] → R. Nach Lemma
14 gelten limx→0 F (x) = limx→∞ f (x) und limx→0 G(x) = limx→∞ g(x). Weiter ist für
alle x ∈ (0, 1/a) nach der Kettenregel Satz 4.(e) auch
1 0 1
1 0 1
0
0
F (x) = − 2 f
und G (x) = − 2 g
x
x
x
x
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also insbesondere G(x) 6= 0 und G0 (x) 6= 0 für alle x ∈ (0, 1/a). Wieder nach Lemma
14 ist auch
f 0 x1
− x12 f 0 x1
f 0 (x)
F 0 (x)
= lim 0 1 = lim 1 0 1 = lim 0 ,
m := lim 0
x→0 g
x→0 − 2 g
x→0 G (x)
x→∞ g (x)
x
x
x
und nach Satz 13 ist damit auch
lim
x→0
F (x)
= m.
G(x)
Eine erneute Anwendung von Lemma 14 liefert schließlich
F (x)
f (x)
= lim
= m.
x→0 G(x)
x→∞ g(x)
lim
Auch hierfür wollen wir ein kleines, in der Vorlesung leider weggelassenes, Beispiel
besprechen. Sei a ∈ R mit a > 0. Dann haben wir
1
1
ln x
x
= lim
= lim
= 0.
lim
x→∞ axa−1
x→∞ axa
x→∞ xa
Die Voraussetzungen g(x) 6= 0, g 0 (x) 6= 0 in den Hospitalschen Regeln sind tatsächlich
wichtig. Dies wurde in der Vorlesung nur mündlich erwähnt, hier wollen auch ein Beispiel angeben. Nehmen wir etwa die Funktionen
f (x) = x + cos(x) sin(x), g(x) = esin x f (x),
so ist limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = +∞, jeweils da Sinus und Cosinus nur Werte
zwischen −1 und 1 annehmen, und der Grenzwert von f (x)/g(x) = e− sin x für x → ∞
existiert nicht. Dagegen haben wir
f 0 (x) = 1 + cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x
und
g 0 (x) = cos(x)esin x f (x) + esin x f 0 (x) = esin x (x cos x + sin(x) cos2 x + 2 cos2 x)
= esin x cos(x) · (x + sin(x) cos(x) + 2 cos x),
also ist
f 0 (x)
2 cos x
1
lim
= lim
·
= 0.
x→∞ g 0 (x)
x→∞
esin x x + sin(x) cos(x) + 2 cos x
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
12.5
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Die Taylor Entwicklung
Wir kommen nun zum allerletzten Thema dieser Vorlesung, der sogenannten Taylor
Entwicklung einer Funktion. Hierzu ist es sinnvoll sich zunächst an die Approximationsinterpretation der Ableitung zu erinnern. Bei dieser schrieben wir bei einem gegebenen
Punkt x0
f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h + fehler(h),
wobei der Fehler mit limh→0 fehler(h)/h = 0 klein wurde. Diese Formel können wir in
der Form
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + fehler(x − x0 )
umschreiben. Dies ist eine Approximation von f durch eine lineare Funktion, also durch
ein Polynom von Grad 1. Die Taylor Approximation ist nun die Approximation von f
durch Polynome höheren Grades.
Definition 12.4 (Das n-te Taylorpolynom)
Seien I ⊆ R ein Intervall, n ∈ N, x0 ∈ I und f : I → R eine n-fach differenzierbare Funktion. Das n-te Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt x0 ist dann das
Polynom
n
X
f (k) (x0 )
Tn,x0 (x) :=
(x − x0 )k .
k!
k=0
Das Taylorpolynom Tn,x0 ist nicht so willkürlich wie es zunächst ausschaut, es handelt
sich genau um dasjenige Polynom von Grad höchstens n, dessen Funktionswert und
erste n Ableitungen im Punkt x0 mit denjenigen von f übereinstimmen. Zur Berechnung des Taylorpolynoms reicht es aus Ableitungen berechnen zu können, es stellt sich
also kein neues rechnerisches Problem. Wir wollen uns einige einfache Beispiele von
Taylorpolynomen anschauen.
1. Zunächst betrachten wir die Sinusfunktion f (x) = sin x. Dann sind f 0 (x) =
cos x, f 00 (x) = − sin x, f 000 (x) = − cos x und f 0000 (x) = sin x, die ersten vier
Taylorpolynome zum Entwicklungspunkt Null sind also
T1 (x) = T2 (x) = x, T3 (x) = T4 (x) = x −
x3
.
6
Verwenden wir dagegen x = π/2 als Entwicklungspunkt, so ergeben sich die
Taylorpolynome
1
π 2
T1 (x) = 1, T2 (x) = T3 (x) = 1 −
x−
2
2
und
1
π 2
1 π 4
T4 (x) = 1 −
x−
+
x−
.
2
2
24
2
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2. Nun sei f (x) = ex . Dann ist auch f (k) (x) = ex für jedes k ∈ N,P
also ist das n-te
Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 gleich Tn (x) = nk=0 xk /k!.
3. Als drittes Beispiel behandeln wir ein etwas unangenehmeres Beispiel, die Funktion
sin x
f (x) =
.
1 + x2
Die ersten Ableitungen dieser Funktion sind
(1 + x2 ) cos x − 2x sin x
,
(1 + x2 )2
(x4 − 4x2 + 3) sin x + 4x(x2 + 1) cos x
.
f 00 (x) = −
(1 + x2 )3
f 0 (x) =
Damit haben wir f (0) = 0, f 0 (0) = 1 und f 00 (0) = 0, das quadratische Taylorpolynom ist also
T2 (x) = x.
In diesen Beispielen sieht man auch, dass es durchaus passieren kann, dass der Grad des
n-ten Taylorpolynoms echt kleiner als n ist. Ist der Entwicklungspunkt beispielsweise
ein Wendepunkt, also f 00 (x0 ) = 0, so stimmen lineares und quadratisches Taylorpolynom überein. Dies passiert etwa für f (x) = sin x beim Entwicklungspunkt x0 = 0. Das
so entstehende quadratische Taylorpolynom T2 (x) = x ist dann die sogenannte Sinus”
Approximation für kleine Auslenkungen“. Wir wollen jetzt quantitativ möglichst genau
wissen, wie gut die Approximation einer Funktion durch ihr Taylorpolynom ist, also
wie gross der Näherungsfehler f (x) − Tn (x) sein kann. Der nächste Satz gibt uns eine Formel für diesen Fehler, wir müssen aber noch kurz die verwendete Terminologie
einführen. Sind a, b ∈ R so sagen wir das ein ξ ∈ R zwischen a und b liegt wenn
a = b = ξ, a < ξ < b oder b < ξ < a gilt.
Satz 12.16 (Taylorpolynom mit Lagrangeschen Fehlerterm)
Seien I ⊆ R ein Intervall, x0 ∈ I, n ∈ N, f : I → R eine (n + 1)-fach differenzierbare
Funktion und bezeichne Tn das n-te Taylorpolynom von f zum Entwicklungspunkt x0 .
Dann gibt es für jedes x ∈ I ein ξ ∈ I zwischen x0 und x mit
n
X f (k) (x0 )
f (n+1) (ξ)
f (n+1) (ξ)
f (x) = Tn (x) +
(x − x0 )n+1 =
(x − x0 )k +
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
k!
(n
+
1)!
k=0
Beweis: Sei x ∈ I. Im Fall x = x0 ist die Aussage klar, wir können also x 6= x0
annehmen. Wir setzen
f (x) − Tn (x)
m :=
(n + 1)!
(x − x0 )n+1
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Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
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und definieren die Hilfsfunktion
g : I → R; t 7→
n
X
f (k) (t)
k=0
k!
(x − t)k + m
(x − t)n+1
.
(n + 1)!
Dann ist g differenzierbar mit g(x) = f (x) und
g(x0 ) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x−x0 )k +m
(x − x0 )n+1
f (x) − Tn (x)
= Tn (x)+
(x−x0 )n+1 = f (x),
(n + 1)!
(x − x0 )n+1
d.h. wir haben g(x) = g(x0 ). Nach dem Satz von Rolle Satz 9 existiert ein ξ zwischen
x und x0 mit g 0 (ξ) = 0. Für jedes t ∈ I ist
0
0
n (k+1)
X
f
(t)
0
k=1
n
X
g (t) = f (t) +
= f (t) +
k=1
k!
f (k) (t)
(x − t) −
(x − t)k−1
(k − 1)!
k
−m
(x − t)n
n!
n−1 (k+1)
X
f (k+1) (t)
f
(t)
(x − t)n
k
(x − t) −
(x − t)k − m
k!
k!
n!
k=0
f (n+1) (t)
(x − t)n
n
= f (t) − f (t) +
(x − t) − m
n!
n!
n
(x
−
t)
f (n+1) (t)
(x − t)n − m
,
=
n!
n!
0
also haben wir
0
(x − ξ)n
f (n+1) (ξ)
n
(x − ξ) − m
= g 0 (ξ) = 0,
n!
n!
und damit ist auch m = f (n+1) (ξ). Es folgt
f (x) − Tn (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
und der Satz ist bewiesen.
Der Approximationsfehler ist also gleich
Approximationsfehler =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
für eine geeignete Zwischenstelle ξ, was zunächst nicht sehr hilfreich aussieht. Glücklicherweise täuscht dieser Eindruck, man kann den Satz meistens recht explizit auswerten. Angenommen wir interessieren uns für Argumente x aus dem Intervall [x0 −a, x0 +a]
mit a > 0. Ist dann
M :=
sup
|f (n+1) (x)|,
x∈[x0 −a,x0 +a]
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der größte Wert den die (n + 1)-Ableitung überhaupt annehmen kann, so können wir
den Fehler für x ∈ R mit |x − x0 | ≤ a durch
(n+1)
f
|f (n+1) (ξ)|
(ξ)
M
n+1
n+1
=
(x
−
x
)
|x
−
x
|
≤
|x − x0 |n+1
0
0
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
abschätzen. Schauen wir uns beispielsweise einmal das quadratische Taylorpolynom
T2 (x) = x für f (x) = sin x an. Die dritte Ableitung ist f 000 (x) = − cos x, also wird die
Taylorformel zu
cos ξ 3
sin x − x = −
x
6
für ein ξ zwischen 0 und x. Wegen | cos ξ| ≤ 1 für überhaupt jedes ξ ∈ R folgt
1
| sin x − x| ≤ |x|3
6
für alle x ∈ R. Die Näherung ist nur in der Nähe des Entwicklungspunktes x0 = 0
sinnvoll, wir interessieren uns also für kleine x, und dann wird x3 sogar noch viel
kleiner. Merkwürdigerweise gibt uns die Taylorformel auch eine untere Schranke für
den Fehler.
√ Beschränken wir uns auf |x| ≤ π/4, so ist auch |ξ| ≤ π/4 und somit
cos ξ ≥ 2/2, für 0 < x < π/4 gilt also
√
2 3
1
x < x − sin x < x3 .
12
6
Als ein weiteres Beispiel betrachten wir
f (x) =
√
1+x
für |x| < 1. Es sind
1
1
3
f 0 (x) = √
, f 00 (x) = −
, f 000 (x) =
,
3/2
4(1 + x)
8(1 + x)5/2
2 1+x
also f (0) = 1, f 0 (0) = 1/2 und f 00 (0) = −1/4. Das quadratische Taylorpolynom ist
x x2
T2 (x) = 1 + − .
2
8
Dies ist eine klassische Approximation der Quadratwurzel, die bereits von Newton
verwendet wurde. Die dritte Ableitung f 000 ist positiv und monoton fallend. Für x > 0
ergibt sich damit
√
x3
| 1 + x − T2 (x)| ≤
16
und für 0 < x < 0.1 ist der Approximationsfehler höchstens 0.0000625. Für −0.1 <
x < 0 haben wir dagegen f 000 (−0.1)/6 = 0.0813.. < 0.0814, also
√
| 1 + x − T2 (x)| < 0.0814 · |x|3 < 0.0000813... < 0.0000814.
373
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
Wir wollen noch eine Anmerkung zur Wahl der Ordnung n der Taylor-Approximation
machen. Auf der einen Seite wird die Approximation in der Regel besser wenn n größer
wird, man will n also eher groß wählen. Auf der anderen Seite ist es der Sinn einer
Approximation die gegebene Funktion f durch etwas einfacheres zu ersetzen. Ein Polynom ist umso einfacher je kleiner sein Grad ist, man möchte n also eigentlich auch
möglichst klein wählen. Was der ideale Kompromiss zwischen diesen beiden Forderungen ist, hängt natürlich immer an der speziellen Situation. Sehr oft stellt sich die
quadratische Taylor Approximation, also n = 2, als die geeigneteste Wahl von n heraus.
374
Index
b 218
A,
A−1 , 193
A−t , 194
(an )n∈N −→ a, 97
At , 190
\, 19
|x|, 27, 78, 276
|M|, 204
n
, 44
k
∩, 19
◦, 67
d
, 345
dxn
d
, 351
dxn
:=, 7
∈, 12
>, 25
<, 24
∅, 16
∈,
/ 12
ez , 327
f | A, 63
f −1 , 64
f −1 (B), 61
≥, 25
b, siehe Auslassungssymbol
=⇒, 10
IdM , 70
⇐⇒, 11
∞, 36
', 258
z, 78
≤, 23
7→, 58
(−1)π , 204
M 0 , 287
¬, 8
n!, 43
||x||, 276
k, 265
⊥, 276
π, 330, 361–362
Π, siehe Produktzeichen
∀, 21
∃, 21
h | i, 276
h. . .i, 231
Σ, siehe Summenzeichen
⊆, 17
(, 18
×, 55, 280
6⊆, 17
∪, 19
∨, 9
∧, 8
√
n
a, 50
Abbildung, siehe Funktion
linear, siehe Lineare Abbildung
Ableitung, 96, 339–341, 350
der Arcusfunktionen, 358, 359
der Areafunktionen, 348–349
der Exponentialfunktion, 346
der Hyperbelfunktionen, 347
der trigonometrischen Funktionen, 347
des Logarithmus, 348
höhere, 350
n-te, 350
von Potenzen, 348
von Potenzreihen, 345
Ableitungsregeln, 343–344
Absolut konvergent, siehe Reihe, absolut
konvergent
Addition
von Matrizen, 185
von Vektoren, 185
Additionstheoreme, 86, 88, 328–329, 359
Additives Inverses, 2, 76, 225, 227, 229
375
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Adjunkte, 220, 221
Adjunkte Matrix, 218
Äquivalenz, 11
Affiner Teilraum, 264, 266–267, 275, 280
als Lösungsraum, 268–269
Allaussage, 4, 12, 21
Allquantor, 21
Anordnung, siehe Ordnung
Antisymmetrie, 23
Approximation, 370, 371
linear, 340
Approximationsfehler, 372
Archimedische Eigenschaft, 34, 100, 101,
108, 116
Arcus
Cosinus, 66, 84, 358
Sinus, 65, 84, 357
Tangens, 66, 85, 359
Arcusfunktionen, siehe Funktion, arcus
Area
Cosinus Hyperbolicus, 337, 348
Sinus Hyperbolicus, 337, 348
Tangens Hyperbolicus, 337, 348
Areafunktionen, siehe Funktion, area, siehe Funktion, area
arg z, 83
Argument, 83, 85, 86
Hauptwert, 83, 84
Hauptzweig, 83
Assoziativgesetz, 5, 202
der Addition, 2, 185, 225
der Hintereinanderausführung, 68
der Multiplikation, 2, 185, 187, 225
Aufpunkt, 173, 264–265
Aufspann, 231–233, 272, 273
Auslassungssymbol, 241
Aussage, 8
Austauschlemma, 244
Axiome, 2
der reellen Zahlen, 2–3, 23–24, 26, 32
einer Anordnung, 23–24
einer Gruppe, 202
eines angeordneten Körpers, 26, 78, 100
Montag 6.2.2017
eines Körpers, 2–3, 76, 78
eines Vektorraums, 224–225
Basis, 242–243, 245, 247, 248, 251, 256,
260, 274
negativ, 280
positiv, 280–281, 283, 284
Basismatrix, 234, 240, 245
Bedingung
hinreichend, 10
notwendig, 10
Bernoulli Ungleichung, 41, 46, 93
beschränkt, 30, 81–82, 91, 287, 320
nach oben, 29, 32, 91
nach unten, 30, 91
Beschränktheitssatz, 321
bestimmt divergent, 116
Betrag, 27–28, 30, 78, 80–81, 102, 317, 349
Beweis, 1
direkt, 2, 34
durch Kontraposition, 12
durch Widerspruch, 34–35
einer Implikation, 10
indirekt, siehe Beweis, durch Widerspruch
von Allaussagen, 22
von Existenzaussagen, 22
von Mengengleichheiten, 19
Bijektiv, siehe Funktion, bijektiv
Bild, 272
einer Funktion, 58, 60, 62
einer Teilmenge, 58
linearer Abbildungen, 255
Binomialkoeffizient, 43, 44
Binomische Formel, 45, 46, 93, 101
Blockdreiecksmatrix, 210
Br (z), 288
B r (z), 288
C, siehe Komplexe Zahlen
Cm×n , 184
Cantor, 12, 54
Caratheodory, 342
Cardano Formel, 72–75
376
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Cartesisches Produkt, 55
Cauchy Kriterium
für Folgen, 132
für Reihen, 149, 168
Cauchyfolge, 129–133
Cauchyprodukt, 167, 168, 170, 171
C− , 83
Cn , 184, 226
Cosinus, 66, 329
Hyperbolicus, 327
Cotangens, 329
Hyperbolicus, 327
Cramersche Regel, 221–223
Montag 6.2.2017
Division, 7
dom(f), 54, 56
Drehmatrix, 271, 277
Drehung, 271
Dreiecksmatrix, 209
Dreiecksungleichung, 28, 80, 81, 152
Durchschnitt, 19, 233, 262, 266
De Morgansche Regeln
für Aussagen, 9
für Mengen, 19
Definition, siehe Mathematische Definition
Definitionsbereich, 54, 56–58
Determinante, 200, 201, 206–207, 209, 210,
217, 278–280, 282, 284
Diagonalmatrix, 195
Differenzenquotient, 339, 341, 364
Differenzierbarkeit, siehe Funktion, differenzierbar
Differenzmenge, 19
Dimension, 56, 245–247, 255, 256, 258, 260,
261, 263, 264, 267, 272, 273, 275
des direkten Produkts, 246
des K m×n , 246
des K n , 245
Dimensionsformel
für affine Teilräume, 266
für lineare Abbildungen, 257
für Untervektorräume, 262
Direkter Beweis, siehe Beweis, direkt
Direktes Produkt, 228, 234, 240, 246, 262
Disjunktion, 9
Distributivgesetz, 3, 19, 185, 188, 225
divergent, 102, 112, 135, 160, 162, 165, 171,
289, 305
gegen ±∞, 116
e, 364
Ebene, 56, 173, 264, 265
Einheitsmatrix, 188, 189, 271
Einheitswurzel, 87, 88
Eins, 2, 76, 225
Einschnürungslemma, 107–108
Einschränkung, 63, 290, 294, 298, 315, 342
einseitige
Ableitung, 349
Differenzierbarkeit, 349
Grenzwerte, 290
Häufungspunkte, 290
Konvergenz, 290, 315
Element, 12
maximales, siehe Maximum
minimales, siehe Minimum
elementare
Spaltenumformungen, siehe Spaltenumformungen
Zeilenumformungen, siehe Zeilenumformungen
Eliminationsverfahren, 178–183, 197, 198,
232, 239, 246, 247, 251, 267, 272–
274
zum Invertieren, 196–198
endlich erzeugt, siehe Vektorraum, endlich
erzeugt
Entwicklungspunkt, 304, 309, 370, 371
–δ Definition, 296–297, 314, 340
Erweiterte Koeffizientenmatrix, siehe Koeffizientenmatrix, erweitert
Erzeugendensystem, 234–237, 243, 245, 247,
255, 274
Erzeugnis, siehe Aufspann
Eulersche Formel, 331
377
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Eulersche Konstante, 105, 139
Existenz, 35
Existenzaussage, 21
Existenzquantor, 22
exp(z), 326
Exponentialfunktion, 326–328, 331–332, 346,
364
Extremum
global, siehe globales Extremum
lokales, siehe lokales Extremum
Montag 6.2.2017
differenzierbar, 341–345, 347, 349, 350,
356, 362, 364, 368
einfach differenzierbar, 350
identisch, 70, 202, 271
injektiv, 62, 69, 256, 258, 323
Komposition, siehe Hintereinanderausführung
konvergent, 289, 298
monoton, 322–323, 356
n-fach differenzierbar, 350
nach oben beschränkt, 321
f (A), 58
nach unten beschränkt, 321
Fakultät, 44
rational, 291, 292, 302, 332
Fallunterscheidung, 6
stückweise definierte, 54
Faser, 61
stetig, 313–315, 317–319, 321–323, 325,
f | D, 290
343
Fehlstand, 204
stetig differenzierbar, 350
Folge, 90, 91, 227
streng monoton, 322, 323
beschränkt, 91–94, 102, 106, 117, 124,
surjektiv, 62, 69, 258, 322
128, 131, 140
trigonometrisch, 57, 65–67, 88, 328, 331,
konvergent, 97–99, 102, 104, 107, 108,
347, 357–359
114, 115, 124, 131, 132, 162, 231,
zusammengesetzt, 300, 317, 349
254, 317
Funktionalgleichung, 326, 333, 336
gegen ±∞, 116
Funktionsgraph, siehe Graph
mit Startwert, 90
Funktionsgrenzwert, siehe Grenzwert, von
monoton, 91–93, 104, 118
Funktionen
rational, 112
Funktionsraum, 226, 254
rekursiv, 94, 129, 133
Ganze Zahlen, 13
Folgenglied, 90
Folgengrenzwert, siehe Grenzwert, einer Fol- Gaußsche Zahlenebene, 75
ge
Gauß Algorithmus, siehe Eliminationsverfahren
Formel von Sylvester, 213
Geblockte Reihe, siehe Reihe, geblockt
Fredholm Alternative, 200
Geometrische
Freiheitsgrade, 56
Folge, 92, 103
f 0 (x), 341
0
Reihe, siehe Reihe, geometrisch
f− (x), 349
(n)
Summe, 130
f , 350
Gerade, 172, 173, 263, 265
f+0 (x), 349
Geschlitzte Ebene, 83
Funktion, 54–57, 226, 229
globales
arcus, 65, 66, 84
Extremum, 351
area, 337–338, 348–349
Maximum, 351–352
beschränkt, 320–321
Minimum, 351–354
bijektiv, 62, 70, 71, 154, 258, 271
378
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
Induktionsschluß, 40
Graph, 54–56
Induktionsschritt, 40
graph(f), 54
inf M , 31
Graßman Identität, 284
Infimum, 31–33, 37, 104, 321
Grenzwert, 97
Infinitesimale Grössen, 96, 97
einer Folge, 102, 118
Infinitesimalrechnung, 95–97
einer Reihe, 135
von Funktionen, 289, 294, 297, 300– Injektiv, siehe Funktion, injektiv
Inneres eines Intervalls, 356
304, 319, 367
Intervalle, 25, 28, 59, 323
Grundbegriff, 16
abgeschlossen, 25, 59
Grundfunktionen, 325
beschränkt, 25
Grundrechenarten, 1, 78
halboffen, 25
Gruppe, 202
offen, 25, 59
Häufungspunkt, 114–115, 121–122, 128, 287–
unbeschränkt, 59
290, 298
Inverse Matrix, 193, 195–198, 213, 221
größter, 123
Inverse Permutation, 202
kleinster, 123
isomorph, 258, 261, 263
Hadamardsche Formel, 306
Isomorphismus, 258–260, 271
Halbierungsformeln, 88–89
Harmonische Reihe, siehe Reihe, harmo- Jacobi Identität, 284
Junktoren, 8
nisch
Heaviside Funktion, 55, 291, 299, 350
K M , 226
Hessesche Normalform, 173, 280
K m×n , 184, 226
Hinreichende Bedingung, 10
n
Hintereinanderausführung, 67, 68, 70, 71, K , 184, 226, 263
Kanonische Basis, 245, 246
255, 271, 318, 319
Kern, 255, 256, 272
Hospitalsche Regel, 364, 366–369
Kettenregel, 343
Hyperbelfunktionen, 327–328, 347
Koeffizienten, 175, 304
Hyperebene, 265, 280
Koeffizientenmatrix, 177, 191, 195, 275
◦
erweitert, 177, 251, 275
I , 356
Kommutativgesetz
Identität, siehe Funktion, identisch
der Addition, 2, 185, 225
Im z, 78
der Multiplikation, 2
imaginäre
Komplement, siehe Differenzmenge
Einheit, 75, 76
Komplementärmatrix, 218, 220
Zahl, 75
Imaginärteil, 78, 79, 81, 99, 139, 153, 294, Komplementärwert, 218
komplex Konjugierte, siehe Konjugierte
315, 317, 321
Komplexe Multiplikation, 85–86
Implikation, 4, 10–11
Indirekter Beweis, siehe Beweis, durch Wi- Komplexe Zahlen, 13, 75
Kondensationskriterium, 144, 145
derspruch
Kondensierte Reihe, siehe Reihe, kondenInduktion, siehe Vollständige Induktion
siert
Induktionsanfang, 40
Konjugierte, 78–79, 320, 326
Induktionsannahme, 40
379
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
Lineare Abbildung, 249, 255–258, 260, 269–
270, 275
Lineare Approximation, siehe Approximation, linear
Lineares Gleichungssystem, 173–176, 179,
191–193, 199, 200, 213, 232, 267,
268, 275
homogen, 192, 193, 229, 230, 235–237,
239, 240, 246, 247, 272
inhomogen, 192
regulär, 195, 222
Linearform, 275
Linearkombination, 193, 231, 232, 234, 238,
242, 248
linksseitige
Ableitung, siehe einseitige Ableitung
Differenzierbarkeit, siehe einseitige Differenzierbarkeit
Grenzwerte, siehe einseitige GrenzwerLänge, 276, 283
te
Lagrangescher Fehlerterm, 371
Konvergenz, siehe einseitige KonverLaplace Entwicklung, 214–216, 218
genz
Leere
linksseitiger Häufungspunkt, siehe einseiMenge, siehe Menge, leere
tige Häufungspunkte
Produkte, 43
ln, 333
Summen, 43
Lösungsmenge, 176
Leibniz
log, 333
Formel, 206, 218
Logarithmus, 57, 333, 348, 363, 367
Kriterium, 145, 171
natürlich, siehe Logarithmus
Reihe, 147, 150–151
zu einer Basis, 337
lim, siehe Grenzwert
lokal, 298, 315, 341
Limes Inferior, 123–127, 162, 165
lokales
Limes Superior, 123–127, 160, 162, 164,
Extremum, 351, 362
165
Maximum, 351, 362
lim inf n→∞ an , 123
Minimum, 351, 362
lim f (x), 290
x↑a
Majorante, 160
lim f (x), 290
x↓a
Majorantenkriterium, 159
lim supn→∞ an , 123
Mathematische Definition, 16–17
lim , siehe Grenzwert, von Funktionen
Matrix, 176, 184–190, 269
x→a
linear abhängig, 238, 242
invertierbar, 193, 221, 271, 274
quadratisch, 176
linear unabhängig, 238–241, 243–245, 247,
regulär, 193
273, 274
Konjungtion, 8
Kontrapositionsprinzip, 11–12
Konvergenz
in R, 116, 140, 289
linksseitig, siehe einseitige Konvergenz
rechtsseitig, siehe einseitige Konvergenz
von Folgen, siehe Folge, konvergent
von Funktionen, siehe Funktion, konvergent
von Reihen, siehe Reihe, konvergent
Konvergenzkreis, 306, 325
Konvergenzradius, 305–309, 346
Koordinaten, 248
Koordinatenabbildung, 248, 259
Kreuzprodukt, 281
Kronecker Symbol, 233
Kurvendiskussion, 350, 351
380
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
max M , 29
Maximum, 29, 31, 321
globales, siehe globales Maximum
lokales, siehe lokales Maximum
zweier Funktionen, 320
Menge, 12
leere, 16
Liste der Elemente, 12
Parametrisierung, 13
min M , 30
Minimum, 30, 31, 321
globales, siehe globales Minimum
lokales, siehe lokales Minimum
zweier Funktionen, 320
Minorantenkriterium, 160
Mittelwertsatz, 354–355
Monoton, 91
streng, 91
Multiplikation
mit Skalaren, 185
von Matrizen, 186, 271
Multiplikatives Inverses, 3, 76, 78
N, siehe Natürliche Zahlen
Näherungsfehler, 371
Natürliche Zahlen, 13
Normalenvektor, 280
Notwendige Bedingung, 10
Null, 2, 76, 227, 228
Nullfolge, 105–106, 117, 119, 140
Nullfunktion, 227
Nullmatrix, 185
Nullteilerfreiheit, 6
Nullvektor, 225
Ordnung, 23–25, 29, 36
linear, 23
total, 23
Ortsvektor, 224
Pagerang, 174
parallel, 265
Parallelepiped, 201
Parallelogram, 201, 278, 283
Montag 6.2.2017
Partialsummen, 135, 136, 140, 150, 259
Partikularlösung, 193
Pascalsches Dreieck, 44
Periodizitätseigenschaften, 330, 331
Permutation, 203, 207
gerade, 204
ungerade, 204
zyklisch, 205
Polarkoordinaten, 82–86
Polynom, 111, 112, 291
Popcorn-Funktion, 59
Potenzen, 37–39, 46–48, 51–53, 106
mit ganzzahligen Exponenten, 46
mit komplexen Exponenten, 335
mit natürliche Exponenten, 37
mit rationalen Exponenten, 51
mit reellen Exponenten, 53, 334, 348
Potenzrechenregeln, 38, 46, 51–52, 335–337
Potenzreihe, 304–306, 309, 325, 345
Problem von Mensoli, 142
Produkt, 1
von Mengen, siehe Cartesisches Produkt
von Vektorräumen, siehe Direktes Produkt
Produktregel, 343
für Determinanten, 211
Produktzeichen, 43
Projektion, 278
Punkt, 54
Q, siehe Rationale Zahlen
Quotientenkriterium, 164–165
Quotientenregel, 343
R, siehe Reelle Zahlen
Rm×n , 184
R, 36
Rang, 272–275
Rationale Zahlen, 13
Re z, 78
Realteil, 78, 79, 81, 99, 139, 153, 294, 315,
317, 321
Rechenregeln
381
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 6.2.2017
für Ableitungen, siehe Ableitungsregeln, Riemanscher Umordnungssatz, siehe Um347
ordnungssatz
n
R , 184, 226
für das Vorzeichen, 205
Russelsche Antinomie, 15
für die Inverse, 193–194
für die Transposition, 190
für Folgengrenzwerte, 108, 117–120, 133 Sandwichlemma, siehe Einschnürungslemma
Sarrus Regel, 201, 214
für Funktionsgrenzwerte, 301
Satz von
für Logarithmen, 333, 336
Heine–Borel, 128
für Matrizen, 185–188
Rolle, 354, 355
für Permutationen, 202
Scherung, 270, 283
für Reihen, 141
Schranke
für Stetigkeit, 319
obere, 29, 31
für Wurzeln, 50–51
untere, 30, 31
rechtsseitige
Sekante, 339, 354
Ableitung, siehe einseitige Ableitung
senkrecht, 276–277, 280, 281
Differenzierbarkeit, siehe einseitige Difsign(x), 27
ferenzierbarkeit
Sinus, 65–66, 329
Grenzwerte, siehe einseitige GrenzwerHyperbolicus, 327
te
Sinusapproximation, 371, 373
Konvergenz, siehe einseitige KonverSkalar, 184, 188, 229
genz
Skalarprodukt, 276–278
rechtsseitiger Häufungspunkt, siehe einseiSkalierung, 270
tige Häufungspunkte
Spaltenindex, 176
Reelle Zahlen, 1, 13
Spaltenpermutation, 207
erweitert, 36, 116
Spaltenumformungen, 207, 216, 273
Reflexivitätsgesetz, 23
Spaltenunformungen, 209
Reihe, 134, 136–139
Spaltenvektor, 176, 179, 184, 191
absolut konvergent, 151–154, 157, 159, span(. . .), 231
160, 164, 168
Spat, 201, 283, 284
alternierend, 145
Spatprodukt, 282–284
geblockt, 147, 151
spezielle Lösung, 193
geometrisch, 130, 137–138, 152, 160, Standardbasis, 234, 239, 245, 246, 270
170
Startindex, 107, 108, 136
harmonisch, 143, 162
Steinitzscher Austauschsatz, siehe Austaukondensiert, 144
schlemma
konvergent, 135, 139–141, 144, 145, 147, Steinitzscher Umordnungssatz, siehe Um149, 152, 168
ordnungssatz
unbedingt konvergent, 151, 155, 157
Stetigkeit, siehe Funktion, stetig
Rekursion, 94
Stufenform, 178–181, 208, 235, 239
rang( ), 272
Subtraktion, 7, 225
Richtung, 264–267
Summationsindex, 42
Richtungsvektor, 173, 224, 264–265
Summe, 1
382
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
affiner Teilräume, 266
linearer Abbildungen, 271
von Funktionen, 226
von Untervektorräumen, 233, 262
Summenregel, 343
Summenzeichen, 42–43, 135, 136
sup M , 31
Superpositionsprinzip, 193
Supremum, 31–32, 37, 104, 321
Surjektiv, siehe Funktion, surjektiv
Sylvester, 212
Symmetrische Gruppe, 203
Tangens, 66–67, 329
Hyperbolicus, 327
Tangente, 339, 340, 354
Taylorpolynom, 370–371
Teilfolge, 91, 98, 99, 114, 117, 132
induktiv, 115
Teilmenge, 17
echte, 18
Teilraum, siehe Untervektorraum
Transformationsmatrix, 249–252, 268
Berechnung, 250, 252–253
Transitivitätsgesetz, 23
Transponierte, 190, 194, 207, 273
Transposition, 205
Trichotomieprinzip, 25
triviale Lösung, 192
Montag 6.2.2017
Urbild, 61
Ursprungsgerade, 263
Variable, 3–5, 24, 54, 57
abhängig, 54
formale, 4, 42, 58, 345
Vektor, 224, 229
Vektorprodukt, 280, 281, 284
Vektorraum, 224, 233, 237, 241, 242, 244,
249, 255, 260
endlich erzeugt, 243, 245, 246, 248, 249,
251, 255–258, 260–263, 266
Verdichtungskriterium, siehe Kondensationskriterium
Verdopplungsformeln, 330, 359, 360
Vereinigung, 19
Verneinung, 8
von Quantoren, 22
Vielfachenregel, 343
Vollständige Induktion, 40–41
Vollständigkeitsaxiom, 29, 32, 37, 100
Vorzeichen, 27, 28, 88
einer Permutation, 204
Wahrheitstabelle, 9
Widerspruchsbeweis, siehe Beweis, durch
Widerspruch
windschief, 265, 266
Winkel, 278
Wurzel, 62, 65, 325
Übergangsmatrix, siehe Transformationskomplexer Zahlen, 86, 87
matrix
reeller Zahlen, 49, 50
Umkehrfunktion, 60, 61, 64, 69–70, 260, Wurzelapproximation, 373
323, 347
Wurzelkriterium, 160–162, 165
Umkehrregel, 347
Z, siehe Ganze Zahlen
Umordnung, 153–155, 157
Zeilenindex, 176
Umordnungssatz, 157, 159
Zeilenpermutation, 207
Umparametrisierung, 367
Unbedingt konvergent, siehe Reihe, unbe- Zeilenumformungen, 179, 207, 208, 216, 273
Zeilenvektor, 184, 275
dingt konvergent
Zuordnungsvorschrift, 54, 58, 59, 67
Ungleichungskette, 24, 25
Untervektorraum, 230, 233, 255, 256, 262, Zusammengesetzte Funktion, siehe Funktion, zusammengesetzt
264, 272
zweifach differenzierbar, 362
trivial, 233
383
Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Zwischenwertsatz, 321–323
384
Montag 6.2.2017