¨Ubungen zur Graphentheorie (SS 2010) 4. ¨Ubungsblatt

Übungen zur Graphentheorie (SS 2010)
4. Übungsblatt
29. Wieviele spannende Bäume hat der Graph C3,10 ?
30. Lösen Sie das Chinese Postman Problem für
jazenzmatrix

· 5 ·
 5 · 4

 · 4 ·

 4 · 1

 · 1 ·
6 · 1
einen Graphen mit folgender gewichteter Ad4
·
1
·
6
·
·
1
·
6
·
7
6
·
1
·
7
·








31. Zeigen Sie, dass eine Folge (d1 ,P
d2 , . . . , dn ) von positiven ganzen Zahlen genau dann die Gradfolge eines Baumes ist, wenn ni=1 di = 2(n − 1) gilt.
(Hinweis: Um zu zeigen, dass die obige Bedingung hinreichend ist, betrachten Sie einen
Graphen G = (V, E) mit Gradfolge d = (d1 , d2 , . . . , dn ) und minimaler Anzahl an Zusammenhangskomponenten. Falls G nicht zusammenhängend ist, kann man nun zeigen, dass
sich durch den in der Folge näher beschriebenen Kantentausch ein Graph G′ mit derselben
Gradfolge d und einer kleineren Anzahl von Zusammenhangskomponenten ergibt. Zum Austausch: Seien [u1 , v1 ] und [u2 , v2 ] zwei Kanten in E derart dass [u1 , v2 ] und [u2 , v1 ] nicht in E
liegen. Betrachten Sie dann G′ = (V, E ′ ) mit E ′ = E− {[u1 , v1 ],[u2 , v2 ]} + {[u1 , v2 ], [u2 , v1 ]}.)
32. Seien C1 und C2 zwei Kreise in einem Graph G = (V, E). (Die Kreise werden hierbei als
Kantenmengen betrachtet.) Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden beiden Aussagen nach.
(a) Die symmetrische Differenz C1 ∆C2 kann als Vereinigung von kantendisjunkten Kreisen
aus G dargestellt werden.
(b) Für jede Kante e ∈ E enthält die Kantenmenge (C1 ∪ C2 )\{e} einen Kreis.
33. Sei e eine bel. Kante des vollständigen Graphen Kn . Zeigen Sie, dass τ (Kn −e) = (n−2)nn−3 .
34. Sei G = (V, E) ein einfacher Graph mit n Knoten.
(a) Beweisen Sie: Wenn G Minimalgrad δ ≥ n − 2 hat, dann gilt für die Knotenzusammenhangszahl κ(G) = δ.
(b) Bestimmen Sie einen einfachen Graph G mit Minimalgrad δ = n − 3 und κ(G) < δ.
35. Sei G = (V, E) ein einfacher Graph mit n Knoten.
(a) Beweisen Sie: Wenn G Minimalgrad δ ≥ n/2 hat, dann gilt für die Kantenzusammenhangszahl κ′ (G) = δ.
(b) Bestimmen Sie einen einfachen Graph G mit Minimalgrad δ = ⌊(n/2) − 1⌋ und
κ′ (G) < δ.
36. Geben Sie einen eulerschen Graphen mit gerader Knotenzahl und ungerader Kantenzahl an,
oder weisen Sie nach, dass es einen solchen Graphen nicht geben kann.
37. Ein Hamiltonscher Weg ist ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal besucht. (Entfernt man aus einem Hamiltonschen Kreis eine beliebige Kante, so erhält man stets einen
Hamiltonschen Weg.) Zeigen Sie das folgende Resultat von Chvátal:
Sei G = (V, E) ein einfacher Graph mit Knotengraden d1 ≤ d2 ≤ · · · ≤ dn und n ≥ 2
Knoten. Falls
n
dk ≤ k − 1 ≤ − 1
=⇒
dn+1−k ≥ n − k
2
gilt, dann existiert in G ein Hamiltonscher Weg.
38. Ein Graph G wird hypo-hamiltonsch genannt, wenn G selbst nicht hamiltonsch ist, aber
G −v für jeden beliebigen Knoten v in G hamiltonsch ist. Zeigen Sie, dass der Petersengraph
hypo-hamiltonsch ist.
39. Sei G = (V1 , V2 ; E) ein einfacher bipartiter Graph mit n Knoten und Bipartition (V1 , V2 )
derart, dass |V1| = |V2 | ≥ 2. Sei ferner d1 ≤ d2 · · · ≤ dn die Gradfolge von G. Zeigen Sie, dass
wenn es keinen Wert k ≤ n/4 gibt mit dk ≤ k und dn/2 ≤ n/2 − k, der Graph G hamiltonsch
ist.
40. Sei G = (V1 , V2 ; E) ein einfacher bipartiter Graph mit n Knoten und m Kanten derart dass
|V1 | = |V2 | = r = n/2. Zeigen Sie, dass aus der Beziehung m ≥ r 2 − r + 2 folgt, dass G einen
Hamiltonschen Kreis enthält.