Binomialkoeffizienten und Binomischer Satz 1 Der

Inhaltsverzeichnis
Binomialkoeffizienten und Binomischer Satz
1
Der binomische Lehrsatz
n wird als eine ganze Zahl vorausgesetzt, für die gilt: n ≥ 0.
a und b werden als reelle Zahlen vorausgesetzt, die nicht Null sind.
Bemerkung:
Für die Fälle a = 0 oder b = 0 sind die Potenzen a0 bzw. b0 nicht definiert. Da im binomischen Lehrsatz diese Potenzen verwendet werden, setzt man voraus, dass a 6= 0 und b 6= 0 gilt.
Unter diesen Voraussetzungen lässt sich der Binomische Lehrsatz folgendermaßen angeben:
n
P
n n−k k
n
a b
(a + b) =
k=0 k
k ist der Summationsindex. k ist eine ganze Zahl, für die gilt: 0 ≤ k ≤ n.
Die Summation beginnt bei k = 0 und wird in jedem Summationsschritt um +1 erhöht, bis
k den Wert n erreicht hat.
Im folgenden werden die einzelnen Summanden der Summendarstellung angegeben:
n
P
n n−k k
n n 0
n n−1 1
n n−2 2
n
n 0 n
1 n−1
a b =
a b +
a b +
a b + ··· +
ab
+
ab
0
1
2 n−1
n
k=0 k
n
Die in dieser Darstellung vorkommen Ausdrücke
heißen Binomialkoeffizienten.
k
Sie sind folgendermaßen definiert:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
Bevor ich für den Binomischen Satz ein
Übungsbeispiel angebe, folgen einige Erläuterungen
n
und Beispiele zu den Termen n! und
.
k
1.1
1.1.1
Definition und Übungsbeispiele für den Term n!
Definition von n!
Der Term n! ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n
sind.
Dabei wird vorausgesetzt: 0 ist keine natürliche Zahl. Natürliche Zahlen beginnen bei 1.
1
Beispiele für n!:
1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6
spezielle Definitionen und Vereinbarungen:
0! = 1, (−1)! = 0
Mathematische Schreibweise für n!:
n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 2) · (n − 1) · n
Die drei Punkte besagen, dass nicht alle Faktoren des Produktes aufgelistet sind. Die Anzahl
der Faktoren in der Definition für n! ist bestimmt, wenn n eine natürliche Zahl ist. Es sind
dann genau n Faktoren.
Per Konvention beinhaltet diese Schreibweise auch die Definitionen für 1!, 2!, 3!
Beispiel für n = 6:
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
1.1.2
(n − k)!
Für n, k wird vorausgesetzt, dass sie ganze Zahlen sind, für die gilt: n ≥ k, k ≥ 0.
Aus der Voraussetzung n = 0 folgt k = 0, da n ≥ k ist. (n−k)! wird zu 0!, hierfür gilt: 0! = 1.
Für n = k erhält man (n − k)! = 0! = 1
Im folgenden wird angenommen, dass n > k gilt.
Für den Ausdruck (n − k)! schreibt man dann
(n − k)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − k)
Für bestimmte Problemstellungen ist es sinnvoll, die Produkte mit angeben, die unmittelbar
vor (n − k) stehen:
(n − k)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − k − 2) · (n − k − 1) · (n − k)
Beispiel für diese Schreibweisen:
Es sei n = 10, k = 4
Dann gilt (n − k) = 10 − 4 = 6, (n − k − 1) = 10 − 4 − 1 = 5, (n − k − 2) = 10 − 4 − 2 = 4
Für (10 − 4)! = 6! ergibt sich dann:
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
2
1.1.3
(n − k)!(n − k + 1)
Für n, k wird vorausgesetzt, dass sie ganze Zahlen sind, für die gilt: n ≥ k, k ≥ 0.
Unter diesen Voraussetzungen gilt:
(n − k)!(n − k + 1) = (n − k + 1)!
Der Sonderfall n = k ergibt 0! · 1 = 1! = 1. Für n = 0 folgt k = 0, da n ≥ k und k ≥ 0
vorausgesetzt wurden.
Für den folgenden Beweis wird vorausgesetzt, dass n > k gilt.
Beweis:
(n − k)!(n − k + 1) = 1 · 2 · 3 · ... · (n − k) · (n − k + 1) = (n − k + 1)!
Beispiele:
(1) Sei n = 6, k = 4, es folgt (6 − 4)!(6 − 4 + 1) = 2! · 3 = 3! = 6
(2) Sei n = 13, k = 5, es folgt (13 − 5)!(13 − 4) = 8! · 9 = 9! = 362880
Für k = 0 erhält man: n!(n + 1) = (n + 1)!
Beispiele:
(1) 6! · 7 = 7! = 5040
(2) 3! · 4 = 4! = 24
1.1.4
n!
(n − k)!
n!
1 · 2 · ... · n
=
(n − k)!
1 · 2 · ... · (n − k)
Im Hinblick auf den zu kürzenden Quotienten schreibe ich das ganze noch etwas anders:
n!
1 · 2 · ... · (n − k) · (n − k + 1) · ... · n
=
(n − k)!
1 · 2 · ... · (n − k)
Nach dem Kürzen bleibt übrig:
(n − k + 1) · ... · n
Ergebnis:
n!
= (n − k + 1) · ... · n
(n − k)!
Beispiel:
3
49!
, hier ist n = 49,k = 6
43!
Man erhält: (n − k + 1) = 49 − 6 + 1 = 44
Die Darstellung (n − k + 1) · ... · n ergibt
44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49
Ergebnis:
49!
= 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49
43!
49!
noch einmal ausführlich hingeschrieben:
43!
1 · 2 · 3 · ... · 43 · 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49
1 · 2 · 3 · ... · 43
= 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49
2
Aufgabe 1:
n X
n
k=0
k
= 2n
Man verwende den Binomischen Lehrsatz in der Form:
n X
n n−k k
a b = (a + b)n
k
k=0
und spezialisiere:
a = 1, b = 1
Es folgt:
n X
n
k=0
3
k
= (1 + 1)n = 2n
n
n
n+1
Aufgabe 2:
+
=
k
k+1
k+1
Für diese Aufgabe werden 2 Lösungswege angegeben.
Lösungsweg 1 setzt die Definitionen ein und vereinfacht die entstehenden Ausdrücke durch
algebraische Umformungen.
Lösungsweg 2 löst die Aufgabe durch geeignetes Ausklammern.
4
3.1
Lösungsweg 1
Einsetzen der Definition für die Binomialkoeffizienten ergibt folgende Gleichung:
n!
n!
(n + 1)!
+
=
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
(k + 1)!(n + 1 − k − 1)!
Dabei gilt:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
n
n!
=
(k + 1)!(n − k − 1)!
k+1
n+1
(n + 1)!
=
k+1
(k + 1)!(n + 1 − k − 1)!
(n + 1)!
lässt sich folgendermaßen vereinfachen:
(k + 1)!(n + 1 − k − 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
=
(k + 1)!(n + 1 − k − 1)!
(k + 1)!(n − k)!
Der Ausdruck
Damit erhält man aus der ursprünglichen Gleichung folgende, zu beweisende Gleichung:
n!
n!
(n + 1)!
+
=
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
(k + 1)!(n − k)!
Die Beweisstrategie ist nun folgende:
Man versucht die beiden Nenner des Ausdrucks
n!
n!
+
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
gleichnamig zu machen, um die Terme dann zusammenfassen zu können.
Multipliziert man k!(n − k)! mit k + 1, so erhält man (k + 1)!(n − k)!
Multipliziert man (k + 1)!(n − k − 1)! mit n − k, so erhält man (k + 1)!(n − k)!
Man hat also bereits eine Möglichkeit gefunden, die beiden Nenner gleichnamig zu machen.
Die folgende, allgemein gültige Aussage wird jetzt benutzt:
Multipliziert man Zähler und Nenner eines Bruches mit dem gleichen Ausdruck, so ändert
sich der Wert des Bruches nicht.
Man multipliziert jetzt den Term
n!
k+1
mit
k!(n − k)!
k+1
5
und den Term
n!
n−k
mit
(k + 1)!(n − k − 1)!
n−k
k+1
n!(k + 1)
n!
=
k!(n − k)!
k+1
(k + 1)!(n − k)!
n!
n−k
n!(n − k)
=
(k + 1)!(n − k − 1)!
n−k
(k + 1)!(n − k)!
Addieren der beiden zuletzt berechneten Terme ergibt
n!(n − k)
n!k + n! + n!n − n!k
n!(k + 1)
+
=
(k + 1)!(n − k)! (k + 1)!(n − k)!
(k + 1)!(n − k)!
n!(n + 1)
(n + 1)!
n!k + n! + n!n − n!k
=
=
(k + 1)!(n − k)!
(k + 1)!(n − k)!
(k + 1)!(n − k)!
n+1
Der zuletzt berechnete Term ist aber gerade
.
k+1
n
n
n+1
Damit ist die Gleichung
+
=
bewiesen.
k
k+1
k+1
3.2
Lösungsweg 2
wie weiter oben in den Lösungen beschrieben
Durch geeignetes Ausklammern wird die Aufgabe gelöst.
n
n
n!
n!
+
=
+
k
k+1
k!(n − k)! (k + 1)!(n − (k + 1))!
n!
1
1
=
+
k!(n − (k + 1))! n − k k + 1
n!
k+1+n−k
·
=
k!(n − (k + 1))! (n − k)(k + 1)
(n + 1)!
n+1
=
=
(k + 1)!(n − k)!
k+1
Es werden folgende Zwischenschritte verwendet:
(1) (n − (k + 1)!)(n − k) = (n − k − 1)!(n − k) = (n − k)!
(2) k!(k + 1) = (k + 1)!
(3) n!(n + 1) = (n + 1)!
6
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Der binomische Lehrsatz
1.1 Definition und Übungsbeispiele für den Term
1.1.1 Definition von n! . . . . . . . . . . .
1.1.2 (n − k)! . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 (n − k)!(n − k + 1) . . . . . . . . . .
n!
1.1.4
. . . . . . . . . . . . . . . .
(n − k)!
2 Aufgabe 1:
n X
n
k=0
k
.
.
.
.
1
1
1
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
n!
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
= 2n
4
n
n
n+1
3 Aufgabe 2:
+
=
k
k+1
k+1
3.1 Lösungsweg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lösungsweg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4
5
6