TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Ferienkurs Analysis 1

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Ferienkurs Analysis 1
WS 08/09
Lösung 1. Übungsblatt
Elisabeth Brunner
Hannah Jörg
Lösung 1.1.
(i) Ind. Anfang:
n=1→
1
X
xk = 1 + x = (1 + x) ·
k=0
Ind. Schritt:
n+1
X
k
n
X
1 − xn+1
+ xn+1
1−x
k=0
1 − xn+1 + xn+1 (1 − x)
1 − xn+2
=
=
.
1−x
1−x
x =
k=0
1 − x2
1−x
=
.
1−x
1−x
xk + xn+1
(Ind.Vor.)
=
(ii) Ind. Anfang:
0
2
X
1
0
n=0→
= 1 ≥ + 1.
k
2
k=1
Ind. Schritt:
n+1
2X
k=1
Mit: k ≤ 2n+1 ⇒
n
n+1
2
2X
X
1
1
1
=
+
k
k
k
n
k=1
n+1
(Ind.Vor.)
=
k=2 +1
2X
n
1
+1+
.
2
k
n
k=2 +1
1
1
≥ n+1 folgt weiter:
k
2
n+1
2X
k=2n +1
und damit insgesamt:
n+1
2X
k=1
n+1
2X
1
1
2n
1
≥
=
= ,
n+1
n+1
k
2
2
2
n
k=2 +1
1
n
1
n+1
≥ +1+ =
+ 1.
k
2
2
2
Lösung 1.2.
(ii)* Ind. Anfang: Fall r = 0:
n
X
k=1
k0 = n =
n1
erfüllt die Bedingung.
1
Fälle r = 1, 2, 3 siehe Teilaufgabe (i).
Ind. Schritt (r − 1) → r :
Sei die Behauptung erfüllt bis zur Potenz r − 1. Mit
(k −
1)r+1
r+1 X
r+1
=
(−1)r+1−s k s
s
s=0
r−1 X
r+1
r+1
r
= k
− (r + 1)k +
(−1)r+1−s k s
s
s=0
ergibt sich:
nr+1
Pn
− (k − 1)r+1
n
n X
r−1 X
X
r+1
r
(r + 1)
k +
(−1)r−s k s
s
k=1
k=1 s=0
n
r−1 n
X
X
X
r+1
r
r−s
(r + 1)
k +
(−1)
ks
s
s=0
k=1
k=1


s
n
r−1 X
X
X
1
r
+
1
(s)
ns+1 +
aj nj  + (−1)r n
(r + 1)
kr +
(−1)r−s 
s+1
s
s=1
j=1
k=1
|
{z
}
k=1 k
=
=
=
(Ind.Vor.)
=
r+1
bei allen Summanden Faktoren
Lösung 1.3.
Qn
k=1
1+
1
k
ns mit 1≤s≤r vorhanden
=n+1
IA: (n = 0) beachte die Bedeutung des leeren Produktes (= 1)
IS:
Qn+1
k=1
1+
1
k
= 1+
1
n+1
Q
IV n
1 z}|{
· k=1 1 + k = 1 +
1
n+1
· (n + 1) = (n + 1) + 1
Lösung 1.4.
i Betrachte die Folge rationaler Zahlen x1 := 1,
was ja eine reelle Zahl ist.
ii Folgt aus der Denition der reellen Zahlen.
xn+1 :=
xn
2
+ x1n , die gegen
√
2 konvergiert,
Lösung 1.5.
a)
b
3n2 +2n+2
2n2
= 32 + n1 + n12
Daraus: sup(M1 ) = 27 = max(M1 )
inf (M1 ) = 32
min(M1 ) existiert nicht, denn wenn es existierte müsste es gleich dem Inmum sein und
min(M1 ) ∈ M1 sein. Da aber inf (M1 ) ∈
/ M1 , da für alle n ∈ N gilt: 23 + n1 + n12 > 32
3n2 −2n+2
2n2
− n−1
=: bn
n2
Weil für jedes n ∈ N gilt: n−1
≥ 0, ist 23 − n−1
≤ 32 und aus b1 = 32 folgt max(M2 ) =
n2
n2
3
sup(M2 ) = 2 .
Für n ≥ 2 ist die Folge n−1
monoton fallend und da b2 = 14 ist min(M2 ) = inf (M2 ) = 41 .
n2
c) Genauso wie in a) ist inf (M3 ) = 32 und das Minimum existiert nicht. M3 ist nach oben
=
3
2
unbeschränkt, also exisieren auch kein Maximum und kein Supremum.
d) inf (M4 ) = min(M4 ) = − 72
sup(M4 ) = max(M4 ) =
9
4
Lösung 1.6.
|i + i2 + i3 +√i4 | = 0,
| − 1 − i √3| = 2,
| 3+i4 7 | = 1.
Lösung 1.7.
1
2i
1+3i
1−2i
= 0 + i · 32 ,
= −1 + i,
2
(2 − i)(2 + i) − (3 − 2i) + 7 = 14 + i · 7.
2i +
Lösung 1.8.
Sei z = a + ib. Dann gilt:
z+z
(a + ib) + (a − ib)
=
= a = Re(z),
2
2
z−z
(a + ib) − (a − ib)
2ib
=
=
= b = Im(z),
2i
2i
2i
z · z = (a + ib) · (a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 = |z|2 .
Lösung 1.9.
Über Polardarstellung:
√
√
√
2
3, z2,3 = 3 3 · e± 3 πi = 3 3(− 12 ± 23 i);
√
√
√
√
√
√
1
2
= ± 6 6, z3,4 = ± 6 6 · e± 3 πi = 6 6( 12 ± 23 i), z5,6 = 6 6 · e± 3 πi = 6 6(− 21 ±
a) z1 =
b) z1,2
Lösung 1.10.
√
3
2
a = e 3 πi , b =
7
πi
1
4
,
sqrt2 e
c = 3 · eπi , d =
√
π
2 · e± 4
√
3
2 i);