Klausur Mathematik I - Fachrichtung Mathematik

Technische Universität Dresden
Fachrichtung Mathematik
Dr. W. Kuhlisch
17. 02. 2017
Klausur Mathematik I
für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie und Lebensmittelchemie sowie der
Fakultät Erziehungswissenschaften
Vorname:
Studiengang:
reduzierter Prüfungsumfang ja/nein:
Name:
Imma-Jahrgang:
Matrikelnummer:
Aufgabe:
erreichbare Punktzahl:
erreichte Punktzahl:
1
24
2
18
3
18
4
11
5
10
6
10
7
10
8
10
Hinweise:
• Die Klausur besteht aus 4 Pflichtaufgaben und 4 Wahlaufgaben. Die Pflichtaufgaben 1 - 4 aus Teil 1 sind von
allen Studierenden zu lösen.
Von den Wahlaufgaben 5 - 8 aus Teil 2 sind von den Studierenden der Fachrichtung Chemie genau zwei Aufgaben
auszuwählen und zu lösen.
, )
(bitte Aufgabennummern angeben
Von den Wahlaufgaben 5 - 8 aus Teil 2 ist von den Studierenden der Fachrichtung Biologie und der Fakultät
Erziehungswissenschaften (d.h. aller Lehramtsstudiengänge) genau eine Aufgabe auszuwählen und zu lösen.
(bitte Aufgabennummer angeben
)
• Der Lösungsweg der Aufgaben ist vollständig darzustellen, d.h., durch die Angabe von Zwischenergebnissen muss
der Algorithmus der Lösungsfindung ersichtlich sein.
√ √
• Angabe aller Ergebnisse als Bruch oder Vielfaches von π oder mit Hilfe von Wurzeln ( 8, 3).
• Verwendet werden dürfen alle schriftlichen Unterlagen, Formelsammlungen, kein Taschenrechner, und keine vergleichbaren elektronischen Hilfsmittel.
Teil 1
Die Aufgaben aus Teil 1 sind von allen Studierenden zu lösen.
1.
√
√
√
a) Bestimmen Sie von den komplexen Zahlen z1 = 2(1 + 3i), z2 = −3 + 3i und z3 = 3 3 + 3i die
trigonometrische Darstellung und berechnen Sie damit
z4 =
z1 · z2 −i π
·e 4
(z 3 )2
Geben Sie Betrag, Argument, Realteil und Imaginärteil von z4 an.
b) (i) Gegeben seien die Mengen
M1 = {z = x + iy ∈ C : |z − 1| ≤ 2 }
und
M2 = {z = x + iy ∈ C : |z + 2z| < |z + 2 i| }.
Charakterisieren Sie diese Mengen jeweils durch eine Ungleichung, die den Realteil x und den Imaginärteil
y enthält, aber nicht mehr z selbst und die imaginäre Einheit i.
(ii) Skizzieren Sie die Mengen M1 und M2 sowie den Durchschnitt M1 ∩ M2 in der komplexen Zahlenebene.
Imz
N
3
2
1
◮
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
2
3
4
5
6
Rez
2.
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Hornerschemas den Funktionswert p4 (−2) für das Polynom
p4 (x) = x4 − 2x3 − 11x2 + 12x + 36.
Zeigen Sie, dass x = 3 doppelte Nullstelle von p4 ist und zerlegen Sie p4 in ein Produkt von Linearfaktoren.
b) Berechnen Sie Nullstellen, Polstellen, Lücken und die Asymptote der Funktion
f (x) =
p4 (x)
,
2
x (x − 3)2
x 6= 0, x 6= 3.
Skizzieren Sie den Graphen von f .
Hinweis: Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a).
c) Zeigen Sie, dass eine Zahl a ∈ R existiert, sodass für alle x ∈
/ {0, 3} gilt: f (x) =
Bestimmen Sie den Wert für a.
(x + a)2
.
x2
d) Untersuchen Sie, ob f lokale bzw. globale Extremwerte besitzt. Bestimmen Sie ggf. deren Lage und Art
(Minimum oder Maximum).
Hinweis: Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben b) bzw. c).
e) Welchen Flächeninhalt hat das Flächenstück, das vollständig von der x-Achse, dem Graph der Funktion f
und den Geraden x = 1 und x = 2 begrenzt wird?
Hinweis: Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe c).
Skizze:
y
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−4
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−3
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N
5
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4
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3
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2
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1
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−1
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−2
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−3
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1
−1
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2
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3
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4
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5
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6
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x
3.
a) Gegeben ist die Differentialgleichung
y ′ − x(2y + 1) = 0.
In welchen Gebieten des R2 sind die Lösungen y = f (x) dieser Differentialgleichung monoton?
b) Bestimmen Sie mit der Methode Trennung der Veränderlichen alle Lösungen der Differentialgleichung aus
Teilaufgabe a). Ermitteln Sie außerdem diejenige Lösung, die zusätzlich die Anfangsbedingung y(0) = 0,5
erfüllt. Zeichnen Sie die Lösungskurve in Abbildung 1 ein.
c) Löst man die Differentialgleichung
′
y =
1
y+
y
cos(x),
0 ≤ x ≤ π,
mit der Methode Trennung der Veränderlichen, so erhält man die Gleichung
Z
Z
y
dy
=
cos(x) dx.
y2 + 1
Bestimmen Sie alle Lösungen y = f (x) der Differentialgleichung und zeichnen Sie den Graphen der speziellen
Lösung mit y(0) = 0,5 in Abbildung 2 ein.
Abbildung 1
Abbildung 2
4. Gegeben seien die von einem Parameter λ
c durch



0 λ 0
0 − 12



A= 0 0 2 , B= 1 0
1
1 0 1
0
2
∈ R abhängige Matrix A sowie die Matrix B und die Vektoren x und

1
0 ,
0
 
x1
x = x2  ,
x3
 
1
c = 2 .
3
a) Berechnen Sie A + B, A · B, det(A), det(B), det(A · B).
b) Für welchen Wert λ sind die Matrizen A und B zueinander invers?
c) Begründen Sie, dass das Gleichungssystem A · x = 0 für jedes λ ∈ R lösbar ist. Für welches λ existieren
sogar unendlich viele Lösungen? Wie lautet in diesem Fall diejenige Lösung, für die x2 = 1 gilt?
d) Wie lautet die Lösung des Gleichungssystems A · x = c im Fall λ = 1?
Teil 2
Von den Wahlaufgaben 5 - 8 aus Teil 2 sind von den Studierenden der Fachrichtung Chemie genau zwei Aufgaben
auszuwählen und zu lösen.
Von den Studierenden der Fachrichtungen Biologie und der Fakultät Erziehungswissenschaften (d.h. aller Lehramtsstudiengänge) ist von den Wahlaufgaben aus Teil 2 genau eine Aufgabe auszuwählen und zu lösen.
5. (Wahlaufgabe) Zwei Maschinen A und B produzieren Teile gleicher Art mit einem Solldurchmesser von 280 mm
und einer zulässigen Toleranz von ±6 mm. Die Durchmesser der produzierten Teile seien normalverteilt mit den
Erwartungswerten µ1 = 279 für Maschine A und µ2 = 280 für Maschine B sowie den Varianzen σ12 = 4 und
σ22 = 9.
a) Man untersuche, welche Maschine mehr Ausschuss produziert, d.h. Teile, deren Durchmesser die Toleranz
überschreitet.
Hinweis: Geben Sie die Ausschusswahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Funktionswerten der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung an und veranschaulichen Sie die Ausschusswahrscheinlichkeiten in der
Abbildung 3.
0.2
0.1
0.0
j(x)
0.3
0.4
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 20 Teilen, darunter 8 Teile von Maschine A und 12 Teile
von Maschine B, kein Ausschuss befindet?
-3
-2
-1
0
x
Abbildung 3
1
2
3
6. (Wahlaufgabe) Begründen Sie, weshalb die folgenden Grenzwertberechnungen falsch bzw. richtig sind. Korrigieren
Sie die Fehler bei der Grenzwertbestimmung.
Hinweis: Verwenden Sie ggf. die Regel von de l’Hospital zur Berechnung unbestimmter Grenzwerte bei Funktionen.
a)
lim n · sin
n→∞
1
=∞
n
b)
lim
n→∞
1+
ln 2
n
n
=2
c)
lim
n→∞
1
1
+ (− )n = 0
3
3
d)
1
lim (n2 ) n = 1
n→∞
e)
lim an = 100,
n→∞
wobei an+1 = 1,5 an − 50,
a0 = 100
7. (Wahlaufgabe)
a) Bestimmen Sie für die Funktionen f1 : R → R mit
f1 (x) = sinh(x) =
1 x
(e − e−x )
2
(Sinus Hyperbolicus) und f2 : R → R mit
f2 (x) = cosh(x) =
1 x
(e + e−x )
2
(Cosinus Hyperbolicus) sowie f3 : R → R mit
f3 (x) = ecosh(x)
die erste Ableitung.
b) Begründen Sie, weshalb die folgenden Aussagen falsch bzw. richtig sind.
(i) f3 ist gerade.
(ii) f3 ist beschränkt.
(iii) f3 ist streng monoton.
(iv) f3 ist umkehrbar.
(v) f3 hat bei x = 0 ein lokales Minimum.
(vi) f3 hat bei x = 0 ein globales Minimum.
8. (Wahlaufgabe)
a) Gegeben sei die Menge M1 = {z = x + iy ∈ C : |z − i| ≤ Im(z) + 1 }. Charakterisieren Sie diese Menge
durch eine Ungleichung, die den Realteil x und den Imaginärteil y enthält, aber nicht mehr z selbst und die
imaginäre Einheit i. Skizzieren Sie die Menge M1 in der komplexen Zahlenebene.
b) Ermitteln Sie alle Zahlen z ∈ C, welche der Gleichung z 6 = 1 genügen. Es genügt dabei, diese Zahlen in der exponentiellen oder in der trigonometrischen Darstellung anzugeben. Skizzieren Sie die Menge
M2 = {z = x + iy ∈ C : z 6 = 1 } dieser Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
c) Geben Sie die Menge M1 ∩ M2 an und skizzieren Sie sie in der komplexen Zahlenebene.
Imz
N
3
2
1
◮
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
2
3
4
5
6
Rez