biophysik

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BIOPHYSIK
Einleitung
15. Vorlesung
Biomechanik,
Mechanische Eigenschaften von
biologischen Stoffen
•
•
•
•
•
•
Mechanische Grundbegriffe
Newtonsche Axiome
Formstabilität
Schwehrpunkt
Ein- und zweiarmiger Hebel
Belastungen
1
2
3
4
a(t) Frage x(t)
Körper
1
Newtonsche Axiome
• Das erste Gesetz ist das Trägheitsprinzip. Es gilt nur in Inertialsystemen
„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation,
sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands
gezwungen wird.“
• Das zweite newtonsche Gesetz ist das Grundgesetz der Dynamik „Die
Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach
welcher jene Kraft wirkt.“
ein Spezialfall
,
• ,
• Das dritte Prinzip ist das Wechselwirkungsprinzip „Kräfte treten immer
paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus
(actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B
auf Körper A (reactio).“
• Prinzip der ungestörten Überlagerung oder Superpositionsprinzip der
Mechanik „Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte
, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft auf.“
•
5
Kräfte aus der
Aussenwelt,
Belastung
Themen
•
•
•
•
•
Formstabilität
Stehen, Standfestigkeit
Bewegungen
Mechanische Beanspruchungen
Mechanische Eigenschaften von
einigen biologischen Stoffen
(1)
(2)
Wiederholung: (Skalargrössen) Leistung, Energie, Arbeit
(Vektorgrössen) Kraft, Drehmoment (=Kraft mal Kraftarm)
starrer Körper: ein System von Massenpunkten deren
Abstände voneninander zeitlich unverändert bleiben
(keine Deformation)
6
Vergleich des
Skeletts von
einigen Tieren
Formstabilität
Knochen,
Skelett für die
Formstabilität
Lemming
Nilpferd
30
• Knochenanteil im Körper
• Aufbau des Skeletts
• Knochenstruktur
Knochenanteil
bei verschiedenen
Tieren
7
% der Körpermasse
Gravitation
(Körpergewicht,
Last)
Bewegungen
Die Biomechanik befasst sich mit Funktionen und
Strukturen von Bewegungsapparat und Bewegungen von
biologischen Systemen.
25
20
15
10
5
0
8
Spitzmaus
Katze
Hund
Mensch
Nilpferd Elephant
2
Erklärung des wachsenden Knochenanteils
Stehen — mechanisches Gleichgewicht
Im mechanischen Gleichgewicht addieren sich
alle Kräfte und Drehmomente zu Null:
Änderungen der linearen, quadratischen und kubischen
Größen bei einem einfachen Körper, z.B. Kugel:
r
A  4 r
V

4
 r
3
2
3
Zunahme:
 2fach
F  0
entsprechende
biol. Grösse z.B.
2
12
 50
 4fach
Querschnitt des
Knochens
4
 34
 8fach
Körpermasse
M  0
Kräftegleichgewicht und Drehmoment-Gleichgewicht
Gleichgewichtstypen:
Körperhöhe
1
und
stabil
labil
indifferent
9
Schwerpunkt
10
Gleichgewicht bei Verdrehung
Schwerpunkt ist der Punkt, in dem der Körper
unterstützt werden muss, damit er in jeder Position im
Gleichgewicht bleibt.
(Bei homogenen Körper: geometrischer Mittelpunkt.)
Gleichgewicht: Die Wirkungslinie der Schwerkraft
geht durch die Unterstützungsfläche:
Der Schwerpunkt S
muss so zwischen m1
und m2 liegen, dass
m1gr1 = m2g r2 ist
Der Schwerpunkt fällt, wenn er nicht über der
Unterstützungsfläche liegt.
Der Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der
Schwerkraft:
11
12
3
Schwerpunktsatz
Schwerpunkt des Menschen
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob
die Gesamtmasse im Schwerpunkt vereinigt wäre und
die Summe aller äusseren Kräfte dort angreifen würde.
Beispiel: Hochsprung: Fosbury Flop
Schwerpunkt bewegt sich unter der Latte (geringere
Hubarbeit)
Der Mensch kann seinen Schwerpunkt
ausserhalb des Körpers verlagern.
13
14
Gleichgewicht bei Verdrehung.
Standfestigkeit
Einteilung der Vierfüßler
Im Durchschnitt die
größte Unterstützungsfläche!
Je grösser die Unterstützungsfläche ist, desto stabiler
ist das Gleichgewicht.
3 Füße +1
15
•
•
•
•
•
•
LH-LV-RH-RV
LH-LV-RV-RH
LH-RH-LV-RV
LH-RH-RV-LV
LH-RV-LV-RH
LH-RV-RH-LV
„vorderlastig”
Rind,
Pferd,
...
„hinterlastig”
Bär,
Känguruh,
Eichhorn,
...
16
4
Bewegung vom Pferd
im Luft
beim Galopp
LH
LV
beim Tritt
am Boden
RF
RV
LV
RV
LH
RH
LH
LV
Traben:
zwei Hufen sind immer am
Boden
RF
RV
18
Hebelfunktion: einarmiger Hebel
F
G
Last und Kraft greifen
auf der gleichen Seite
des Drehpunkts an.
rL
rK
F
rK
Zweiarmiger Hebel
Hebelgesetz
(beim Gleichgewicht):
Kraftarm ist länger als
Lastarm. → F < G
 M  0,
Kraftarm ist kürzer als
Lastarm. → F > G
G
rL
G
rL
Hebelgesetz
(beim Gleichgewicht):
 M  0,
G rL  F rK
19
rK
F
G rL  F rK
Last und Kraft liegen auf
entgegengesetzten Seiten
des Drehpunkts.
Last und Kraft sind
gleichgerichtet.
20
5
elastische Wirbelsaeule wirkt wie ein Feder - hilft beim Rennen
Fortbewegung
• Muskel — „aktive” Feder,
Krafterzeugung
• Sehne
— Feder,
Übertragung der
Kräfte auf Knochen
Gepard
• Skelett
— Bewirkung der
Bewegung des
Körper(teil)s
21
22
Der Arm (Ellenbogengelenk) als einarmiger Hebel
Modell Bizeps bei senkrecht
angreifender Kraft
Oberarm
Unterarm
FB rB = G rL
Modell Bizeps
bei nicht senkrecht angreifender
Kraft
FB* rB* = G rL
FB < FB*
FB = FB* sin
FB
FB

FB rB = G rL
FB*
rB
rB*
(Kraftarm)
rB
rL
G
(Lastarm)
23
G
rL
24
6
Der Arm (Ellenbogengelenk) als zweiarmiger Hebel
Beispiele
(a)
Modell Trizeps
bei senkrecht angreifender Kraft
F  100 N
100 N  340 mm  FB  34 mm
FB  1000 N
(b)
F  100 N
100 N  340 mm  FT  21 mm
FT  1619 N
<
FT rT = G rL
FT
G
rT
rL
G
25
Wirkungsgrad der Bewegungen von Tieren
26
Andere Bewegungen im Körper:
Maus
100
Ratte
Biene
Heuschrecke
10
Grösser,
desto
effektiver
Hase
Papagei
Taube
0,01
Belastungsdiagramm:
z. B.
Bewegungen
Auto
Mensch
Lachs
1
0,0001
Bewegungen bei Atmung
Herztätigkeit
Blutströmung
...
Hubschrauber
Hund
Schaf Kuh
Möwe
•
•
•
•
Belastung
Energieaufwand der Fortbewegung (kJ/(kg km)
1000
1
100
Körpermasse (kg)
Pferd
10000
mechanische
Beanspruchung von
Geweben
Flugzeug
1000000
27
Deformation
Deformationen
28
7
Mechanische Belastungen auf den
Bewegungsapparat
Bewegung,
Krafteinwirkung
Deformationen (einfacher zu lernen)
Deformation
Beanspruchungstypen:
Biegung
Torsion Kompression
unbelastet
• Es gäbe ein Körper bei
gleichgewicht
F  0
und
 M  0,
M  0
aber wirken allegemeine
Kräfte und Drehmomente FScherung
Scherung
Dehnung - Stauchung
FDehnung
Torsion
(Windung)
F
G rL  F rK
MBiegung
MTorsion
M
29
30
Bereiche des Belastungsdiagrammes
Belastungen und Wirkungen
Belastung
Bruch (Riß)
Plastischer
Bereich
(irreversibel)
Elastischer
Bereich
(reversibel)
Deformation
31
32
8
Dehnung — Stauchung
Dehnung — Stauchung: Hookesches Gesetz
  E
Dehnung (Stauchung):

A

F

F
,
A
  
N
 Pa
m2
Dehnung — Stauchung: Elastizitätsmodul
E2
E 2  E1
E1
  E

E: Elastizitätsmodul
(Youngsches Modul), [E] = Pa

   0
33

F

E

A
Zug  Dehnung
Zugspannung
(Druckspannung):
  
F

,



Gültigkeitsbereich für das
Hooksche Gesetz (innerhalb
des elastischen Bereiches)
34
Biegung
Dehnung
„Biegung = Dehnung + Stauchung”
E — „Widerstand” gegen Dehnung
oder Stauchung
neutrale Fläche
Stoff
E (MPa)
Stoff
E (MPa)
Stahl
200 000
Knochen
10 000
Gold
78 000
Kollagen
1 500
Glas
50 000
Bandscheibe
5
Gummi
1
Elastin
0,5
„Elastisch” in der Umgangssprache bedeutet:
— breiteren elastischen Bereich,
— kleineres E
vgl: Kompressibilitätsmodul = 1/Kompressibilität
Widerstand = 1/Leitfähigkeit
Druck  Stauchung
Stauchung
 — Formfaktor
s
F
3
1 l
s
 F
3E 
35

R
R1
R2
 R 4
4


4

für volle Stange
 R24  R14

für Röhre
36
9
Mechanische
Eigenschaften
von
biologischen
Stoffen
Einleitung
•
•
•
•
Elastin
Kollagen
Struktur von Kollagen
Struktur von Elastin
Elastizität von Adern
Elastizität von Knochen
KAD 2007.02.26
38
Struktur von Kollagen
Kollagen
Kollagen ist in allen Tieren von Schwämmen bis zu Wirbeltieren zu
finden. In Wirbeltieren macht es etwa die Hälfte (im Gewicht) der
Proteine im Körper aus.
Es spielt wichtige Rolle in
• Sehnen,
• der Haut,
• Knochen,
• dem Glaskörper,
• den Blutgefäßwänden,
• …..
• 1400 Aminosäure/Kette
• 300 nm lang
• 3 Ketten  Tripelhelix
• Glycin, Prolin, Hydroxiprolin,...
39
40
10
Kollagene Fasern
Anordnung der
Kollagenmoleküle
wie Seil
Faserbündel
Fasern, Ø 4-12 m
Faser
Fibrillen, Ø 0.3-0.5 m
Mikrofibrillen, Ø 20-40 nm
Fibrillen
Tropokollagen,
Ø 1.5 nmLänge 300 nm
Kollagenmoleküle
Tripelhelix
41
Dehnung von Kollagenfasern

F
,
A
  
Elastin
N
 Pa
m2
Nicht wasserlöslich, einzelne
Moleküle bilden durch
Kreuzbindungen einen Netz.
Verhärtung:

Struktur ist wenig bekannt.
E = 300 MPa … 2 500 MPa
Max. Belastung:
  E
 R  60 MPa


,

   0
(Luftdruck: 0,1 MPa)
42

 R  0,08
Sehnen, Bänder
43
44
11
Vergleich von Elastin und Kollagen
Elastin vs. Kollagen
Verhärtung:
(MPa)
E = 0,1 MPa
…. 0,4 MPa
60
Kollagen
• Beide verhärten sich bei
wachsender Belastung, jedoch
Kollagen stärker;
Max. Belastung:
 R  0,6 MPa
0,6
E = 300 MPa
… 2 500 MPa
Elastin
R 


3

<  R  60 MPa
>
 R  0,08
• E von Elastin ist cca. 4000x
kleiner;
•
R von Kollagen ist cca. 100x
größer;
Kollagen schützt
besser vor
Überdehnung.
Elastin ist wesentlich
dehnbarer.
Kollagen besitzt
wesentlich höhere
Rißfestigkeit.
45
46
Zusammensetzung der Aderwände bei
verschiedenen Adern
Physiologische Funktionen von Kollagen
und Elastin
Kollagen gibt dem Gewebe Festigkeit und Widerstand
gegen Deformationen, schützt vor Überdehnung und Riß.
Elastin gibt dem Gewebe Dehnbarkeit und Elastizität.
elastische-
z. B. Blutgefäßwände:
Bei physiologischen Druckschwankungen
müssen sie leicht dehnbar und elastisch
sein um die Druckwellen dämpfen zu
können;
muskulös
ekollageneFasern
Sie dürfen nicht
übergedehnt werden und
reißen.
Aorta
Kollagen und Elastin in anderen Geweben: Haut, Bandscheibe, Knorpel
47
Arterie
Arteriole
48
12
Mechanische Funktion der Aderwände
Volumenänderung von Blutgefäßen
1. Schritt:
Blut aufzunehmen, zu speichern, überzuleiten,
Druckwellen zu dämpfen.
Druckänderungen (p) bedeuten starke mechanische Belastung
für Blutgefäße und für Organe.
Umfang des Kreises: U = 2r
r
r+r
Volumenänderungen (V )
t 
U 2 r  r   2 r r
[Gl.1]


U
2 r
r
t 
1
t
E
[Gl.2]
t
Durchmesseränderungen
Frage: Was ist der Zusammenhang zw. p und V ?
49
2. Schritt:
im Gleichgewicht für die
obere Hälfte des
Zylinders:
50
Konsequenzen der Laplace-Franck Gleichung
Aorta
r=
Fw  F
1,2 cm
Arterie
0,2 cm
15 m
2  t    l  p  2  r  l
t 
r

p
Arteriole
[Gl.3]
Laplace-Frank Gleichung
51
20 m
 =
relative
Zugspannung:
2 mm
8
1 mm
2,7
1
Aneurysma
52
13
3. Schritt:
Volumenänderung der Aorta
V  r  r     l 
2
Volumenänderung: V  r    l
2
Erwartung:
 (r 2  2  r  r  r 2 )    l
Messungen:
p
V 2  r  r  r

V
r2
2
r
2
r
 2 t
Gl.2
Gl.1
V
 Dp
V
D
genauer: D 
1
 2 t
E
2 r
E
Gl.3
Distensibilität
(Dehnbarkeit)
p
3 r
2E 
D
53
Erklärung der gemessenen Belastungsdiagrammes
p
p
p
2 r

p
E
2 r
,
E
1 V
D V
V
V
V
V
1 E

D 2 r
54
Mechanische Funktionen der Knochen
• Stützfunktion
fest, hart,
• Schützfunktion
gleichzeitig
• Bewegungen
• Speicherung von Mineralien (Ca, P)
leicht, elastisch,
adaptationsfähig
V
V
V
V
Elastin
Kollagen
Zusammensetzung,
Struktur des Knochens
55
56
14
Hydroxiapatite
Zusammensetzung von Knochen
Ca10(PO4)6(OH)2
hexagonale Kristalle
Fett
Wasser
organische Faser (Kollagen)
Mineralien (Hydroxiapatite)
Knochen
-gewebe
Verbundmaterial !
Im Knochen: 20-60 nm lange, 6 nm dicke Kristallchen.
(Ihre Gesamtfläche bei Menschen beträgt 60-70 Ha!)
57
Verteilung der Apatitekristalle im Knochen
58
Belastungsdiagramm bei Dehnung
(Stauchung)
„Fließen”
Bruch

Kollagenfasern  Matrix
Bruchspannung  B
+
Apatitekristalle, verteilt
zw. Kollagenfasern
E (GPa)
Fließgrenze
Mehr Kristalle, wo die
Belastung größer ist.
Kollagen
Apatite
0,3 –2,5
165
Knochen

59
10
60
15
Elastizität und Festigkeit von Knochen bei
Stauchung
Elastizität und Festigkeit von Knochen
bei Dehnung
z.B:
z.B.:
E (GPa)
B (MPa)
max (%)
Pferd
25,5
121
0,75
Rind
25
113
0,88
E (GPa)
B (MPa)
max (%)
Beton
16,5
2,1
0,01
Granit
52
4,8
0,001
Knochen
sind
fester
als
Beton
oder
Granit!
E (GPa)
B (MPa)
max (%)
Pferd
9,4
145
2,4
Rind
8,7
147
1,7
B (MPa)
Beton
21
Granit
145
Knochen
sind
fester
als
Beton
oder
Granit!
61
Optimale Struktur für Biegung
62
Vorteil der Röhrenstruktur
„Biegung = Dehnung + Stauchung”
volle
Stange
Dehnung
Stauchung
neutrale
Fläche
(„Optimale”:
höchste Festigkeit
bei niedrigsten
Stoffaufwand.)
Röhre
R1 innere, R2 äussere
Radius
R
m und  und l
sind gleich
V gleich

A gleich

R 2    R22  R12  
Röhrenstruktur!
63
64
16


2
R 2    R22  R12  
Optimale Wanddicke
R 4  R24  2  R22  R12  R14
R 
4
R24

R2  R1
R22
R14
 voll  Röhre
Biegung:s 
svoll  sRöhre
R2 R1  1,4
1 l3
 F
3E 


s
Aus ausführlichen Rechnungen:
 R12  R12  R12  R14

4

4
 R4

 R24  R14

Gleiche Masse:
Festigkeit
100 %
310 %
Gleiche
Festigkeit:
Masse
100
%
57
%
F
Bei dergleichen Stoffaufwand
ist die Röhre fester!
65
– –
+ +
– –
elektrische Signalquelle
(Sinusoszillator)+
Wandler
(Piezoelektrischer Kristall) a
+
–
elektr.
Feldstärke
 0,5
Wiederholung Ultraschal Fol. 27
Piezoelektrischer Effekt
Piezoelektrizität von Knochen
+
+ +
66
V
cm
Erzeugung von US: reziproker ~
Detektierung von US: direkter ~
(a) Die Schwerpunkte der
negativen und positiven
b
Ladungen
zusammenfallen.
Selbstregulation:
bei lang
andauernden
Deformation
Elektrotherapie?
67
(b) und (c) Wegen des
Druckes die
Schwerpunkte wird
getrennt, entsteht eine
Spannung.
c
zu Hause:
Gasanzünder
Hochtöner
68
17
Muskel: Aktive Elastizität
Elektrotherapie
die
mechanische
Spannung
bleibt
die Länge
bleibt
isometrisch
(„gleichen Maßes“)
Die Kraft erhöht sich bei
gleicher Länge des Muskels.
isotonisch
(„gleichgespannt“)
Der Muskel verkürzt sich
ohne Kraftänderung.
69
Kraftentwicklung (Belastungsdiagramm)

70
„Gleitende” Filamente
totale Spannung
aktive Spannung
Muskeln sind
immer leicht
angespannt.
passive Spannung
Ruhelänge
l
71
Molekularer
Mechanismus
der aktiven
Kraftentwicklun
g
Aktin
Myosin
72
18
Aufbau von Muskeln
(Ähnlich wie beim Kollagene
Fasern „wie Seil“)
73
Sarkomer
74
75
Fragen, Bemerkungen, Kommentare?…
19
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