Das ist kein Skript! 1 Erzeugende Funktionen

Das ist kein Skript!
Dennoch kann man hier sehen, welche Begriffe definiert wurden und welche Sätze bewiesen
wurden. Bei vielen Sätzen ist der Beweis skizziert, so dass diese Zusammenfassung ideal
für Studenten sein müsste, die die Vorlesung gründlich nachgearbeitet haben.
1
13.04.16
Erzeugende Funktionen
1.1 Der Polynomring R[X]
Definition des Polynomrings R[X] für einen kommutativen Ring R mit 1 ∈ R.
Wiederholung zu K[X]: Division mit Rest, Grad, . . .
Polynome und Polynomiale Abbildungen ϕ : K[X] → Abb(K, K).
Prop: Das Polynom f ist ein Vielfaches von X − a ⇐⇒ f (a) = 0 gilt.
Satz: Ein Polynom vom Grad d hat höchstens d Nullstellen.
Satz: Ist K ein Körper mit unendliche vielen Elementen, dann ist die obige Abbildung
ϕ : K[X] → Abb(K, K) injektiv aber nicht surjektiv.
Bijektion: { Folgen an ∈ R mit an = 0 für n 0} ←→ R[X]
Übung 1.1 Zeigen Sie, dass R[X] ein kommutativer Ring mit Eins ist.
Übung 1.2 Beweisen Sie die Formel deg(f · g) = deg(f ) + deg(g) für zwei Polynome
f, g ∈ K[X]. (Erinnerung: K ist ein Körper.)
Übung 1.3 Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie dass die Abbildung
ϕ : K[X] → Abb(K, K) surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Übung 1.4 Sei k ∈ N fixiert. Wir betrachten das Polynom
X k fk =
X n ∈ Q[X] .
n
n≥0
(i) Beweisen Sie, dass fk = (1 + X)k ist.
(ii) Folgern Sie aus fk · fm = fk+m eine Formel für k+m
.
n
˜
(iii) Berechnen Sie fk (1) und geben eine Folgerung an!
∂ ˜
(iv) Berechnen Sie ∂X
fk und geben eine Folgerung an!
20.04.16
1.2 Der Ring RJXK
Definition des Ringes RJXK der formalen Potenzreihen. Beispiele
Prop.: Ist f ∈ RJXK und f (0) eine Einheit in R, so ist f eine Einheit in RJXK.
1
1−X−X 2
= 1 + X + 2X 2 + 3X 3 + 5X 4 + 8X 5 + . . .
=
X
fn X n
mit fn+2 = fn+1 + fn
n≥0
Zur Konvergenz formaler Potenzreihen für Ringe R ⊂ C.
Die erzeugenden Funktion von Folgen vom Typ an+1 = Aan+1 + Ban .
Übung 2.1 Wir betrachten die durch a0 = A und P
an+1 = qan gegebene Folge komplexer
g(x)
Zahlen. Geben Sie die erzeugende Funktion f = n≥0 an X n in der Form f = h(x)
für
1
Übung 2.2 Berechnen Sie die Koeffizienten der Potenzreihe f (X) = 1−a·X
. Was ist
der maximale Betrag einer komplexen Zahl z, so dass die obige Potenzreihe von f (z)
konvergiert?
Übung 2.3 Wir betrachten die rekursiv gegebene Folge:
a0 = 2 ,
an+2 = 2an+1 − 2an .
a1 = 3
g(x)
Geben Sie die erzeugende Funktion in der Form f = h(x)
für zwei Polynome g, h ∈ C[X]
an und leiten Sie daraus eine explizite Formel ab!
Übung 2.4 — Herausforderung!
Zeigen Sie, dass sich die erzeugende Funktion f der Folge
a0 = 0 und an =
nicht in der Form f =
27.04.16
g(x)
h(x)
1
für n ≥ 1
n
für zwei Polynome g, h ∈ Q[X] schreiben läßt!
1.3 Lineare Rekursionen und rationale Funktionen
Definition: Lineare Rekursion
Satz: Durch die erzeugende Funktion wird eine Bijektion zwischen rationalen Funktionen
g
f =P
∈ KJXK und Folgen gegeben, die einer linearen Rekursion genügen. Genauer: Sei
h
f = k≥0 ak X k , so gilt
al =
m
X
al−k bk für alle l 0 ⇐⇒ f · h ∈ K[X] mit h = 1 −
m
X
bk X k .
k=1
k=1
Dazu einige Beispiele, wie beispielsweise
a0 = A, a1 = B, an+2 = an+1 + an =⇒ f =
X
ak X k =
k≥0
A + (B − A)X
1 − X − X2
Pm
k
Satz (Hauptsatz der Algebra, ohne
Beweis):
Ist
h
=
1
−
k=1 bk X ∈ C[X], so existieren
Qm
komplexe Zahlen
h = k=1 (1 − αk X) gilt.
Qm αi , so dass m
Satz: Ist h = k=1 (1 − αk X) k ∈ K[X], wobei αi 6= αj für i < j und deg(g) < deg(h), so
existieren Elemente akl ∈ K, so dass
m
m
k
g XX
akl
=
.
h k=1 l=1 (1 − αk X)l
Dazu ein Beispiel:
a0 = 2, a1 = 5, an+2 = 5an+1 −6an =⇒ f =
X
k≥0
f=
X
k≥0
ak X k =
2 − 5X
1
1
=
+
2
1 − 5X + 6X
1 − 2X 1 − 3X
(2k + 3k )X k =⇒ ak = 2k + 3k .
2
1−X+X
Übung 3.1 Wir betrachten die rationale Funktion f = 1−2X−3X
2 −4X 3 geben Sie die ersten
P
k
Koeffizienten der Potenzreihe f = k≥0 ak X an und geben Sie die lineare Rekursion der
Koeffizienten an!
Übung 3.2 Wir betrachten die folgende rekursiv gegebene Folge:
ak = 2 für alle k < 5 und ak = 4ak−1 − 4ak−2 für alle k ≥ 5 .
P
Geben Sie die erzeugende Funktion f = k≥0 ak X k als rationale Funktion an.
Übung 3.3 Wir betrachten die folgende rekursiv gegebene Folge:
a0 = 3, a1 = 1, al = 2al−1 + 3al−2 für alle l ≥ 2 .
P
Geben Sie die erzeugende Funktion f = k≥0 ak X k als rationale Funktion an, führen Sie
die Partialbruchzerlegung durch und geben anschließend eine explizite Formel für die ak
an!
Übung 3.4 Finden Sie eine explizte Formel für die Folge aus Aufgabe 3.2!
04.05.16
1.4 Partialbruchzerlegung und explizite Form für linear rekursiv gegebene Folgen.
Wir begannenQmit einem Beweis des folgenden Satzes:
mk
∈ K[X], wobei αi 6= αj für i < j und deg(g) < deg(h), so
Satz: Ist h = m
k=1 (1 − αk X)
existieren Elemente akl ∈ K, so dass
m
m
k
akl
g XX
=
.
h k=1 l=1 (1 − αk X)l
1 + X + X2
13
7
3
=
−
+
(1 − X)(1 − 2X)(1 − 3X)
2(1 − X) 1 − 2X 2(1 − x)
Z
2
1
1
dX
Beispiel 2:
=
+
=⇒
= arctan(X)
2
1+X
1 + iX 1 − iX
1 + X2
Proposition: Für alle natürlichen Zahlen m ≥ 0 gilt die Formel:
X k + m
1
=
αk X k .
(1 − αX)(1+m)
m
k≥0
Beispiel 1:
Hinweis zu den übungen: Die aufgabe 4.4 ist etwas schwieriger, wer sie aber bearbeitet
kann dann mit sehr wenig Aufwand die drei restlichen Aufgaben bearbeiteten.
Übung 4.1 Geben Sie die explizite Formel der durch
a0 = 2 ,
a1 = 7
und an+2 = 7an+1 − 10an
gegebenen Folge an!
Übung 4.2 Geben Sie die explizite Formel der durch
a0 = −2 ,
a1 = 12 ,
a2 = −4
und an+3 = 12an+1 + 16an
gegebenen Folge an!
Übung 4.3 Geben Sie die explizite Formel der durch
a0 = 2 ,
a1 = 0 ,
a2 = 0
und an+3 = 6an+2 − 12an+1 + 8an
gegebenen Folge an!
11.05.16
Übung 4.4 Seien {bi }i=0,...,m−1
komplexe Zahlen. Geben Sie eine Basis aller Folgen an
Pm−1
mit der Eigenschaft an+m = k=0 bk an+k inPAbhängigkeit von den Nullstellen αi (mit
k
Vielfachheiten mi ) des Polynoms h = X m − m−1
k=0 bk X an!
1.5 Binomialkoeffizienten nk für beliebige n ∈ C
Rechentricks für das direkte Berechnen der expliziten Darstellung linear rekursiv gegebener Folgen.
Beispiel: a0 = 2, a1 = a2 = 0, ak+3 = 12ak+2 − 48ak+1 + 64ak =⇒ ak = (k 2 − 3k + 2)4k .
Qk−1
k−1
Yn−i
(n − i)
n
Definition: Für n ∈ C und k ∈ N setzen wir:
:=
= i=0
.
k
k−i
k!
i=0
Satz: Für alle n ∈ C und x ∈ C mit kxk < 1 haben wir die Identitat
X n
n
(1 + x) =
xk .
k
k≥0
Dazu einige Beispiele:
1
1 3
x
16
−
5
x4
128
+
7
x5
256
−
21
x6
1024
+
33
x7
2048
1
5 3
x
81
−
10 4
x
243
+
22 5
x
729
−
154 6
x
6561
+
374
x7
19683
+ ...
2
4 3
x
81
−
7
x4
243
+
14 5
x
729
−
91
x6
6561
+
208
x7
19683
+ ...
(1 + x) 2 = 1 + 12 x − 81 x2 +
(1 + x) 3 = 1 + 13 x − 91 x2 +
(1 + x) 3 = 1 + 23 x − 91 x2 +
1
(1 + 4x) 2 =
P
k≥0
−
429
x8
32768
+ ...
(−1)k−1 2k k
x
2k−1
k
= 1 + 2 x − 2 x2 + 4 x3 − 10 x4 + 28 x5 − 84 x6 + 264 x7 − 858 x8 + . . .
1
Übung 5.1 Geben Sie die ersten vier Glieder der Potenzreihe von (1 + 9x) 3 an!
1
Übung 5.2 Zeigen Sie, dass (1 + 4x) 2 in ZJxK liegt!
Übung 5.3 Sei n ∈ R. Berechnen Sie das Signum von
Übung 5.4 Beweisen Sie, dass ln(1 − x) = −
P
xk
k≥1 k
n
k
als Funktion von k.
für alle x ∈ C mit kxk < 1 gilt.
18.05.16
1.6 Die Catalan-Zahlen n-te Einheitswurzeln und Münzen
Wir folgern aus der letzten Formel, dass
X xk 2k 1
2
(1 − 4x) = −
2k − 1 k
k≥0
Definition: Die Catalan-Zahl Cn ist defniert als die Anzahl der Triangulierungen eines
(n + 2)-Ecks mittels Diagonalen in n Dreiecke. Dabei setzen wir C0 := 1.
Satz: Die Catalan-Zahlen erfüllen die Rekurisionsformel
Cn :=
n−1
X
Ck Cn−1−k .
k=0
Daraus folgt, dass die zugehörige Potenzreihe f =
erfüllt, was zu f =
√
1± 1−4x
2x
P
k≥0
Ck xk die Gleichung
1 + xf 2 = f
2k
1
und zu Ck = k+1
führt.
k
sind die Nullstellen der
Beobachtung: Die komplexen Zahlen ξk,n = exp 2πki
n
k=0,...,n−1
n
Funktion y − 1.
Münzproblem 1: Auf wieviel Arten an kann man den Betrag vonP
n Cent in 1 und 2 Cent
Münzen bezahlen. Wir betrachten die erzeugende Funktion f = k≥0 ak xk und zeigen:
f=
X 2k + 3 + (−1)k
1
1
·
=
xk .
1 − x 1 − x2
4
k≥0
Münzproblem 2: Auf wieviel Arten an kann man den Betrag von 100
P Cent in 1, und 5 Cent
Münzen bezahlen. Wir betrachten die erzeugende Funktion f = k≥0 ak xk und sehen:
f=
1
1
1
·
·
.
2
1 − x 1 − x 1 − x5
Wir erhalten für alle durch 10 teilbare Zahlen k die Formel
ak =
2k 2 + 16k + 40
40
also: a100 = 541 .
Übung 6.1 Finden Sie für das obige Münzproblem 2 (also 1,2, und 5 Cent Münzen) eine
Formel für ak , die für alle durch 5 teilbaren Zahlen k korrekt ist.
Übung 6.2 Finden Sie für das obige Münzproblem 2 (also 1,2, und 5 Cent Münzen) eine
Formel für ak , die für alle Zahlen k korrekt ist.
Übung 6.3 Es gibt in Deutschland 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 und 200 Cent Münzen. Sei ak
die Anzahl der Möglichkeiten einen Betrag von k Cent mittels dieser Münzen zu bezahlen.
Zeigen Sie dass es ein Polynom p gibt, so dass für alle durch 200 teilbaren Zahlen k die
Formel ak = p(k) gilt.
Übung 6.4 Bestimmen sie den Grad d des Polynoms p aus Aufgabe 6.3, sowie den
Leitkoeffizienten.
25.05.16
1.7 Exponentiell erzeugende Funktionen — 1
P
Motivation 1: Proposition ist a : N → C eine Folge, so wird durch ãn = nk=0 (−1)k nk ak
˜ n = an .
eine zweite Folge definiert. Diese Transformation ist selbstinvers, oder ã
Beweis 1 mit Kombinatorik.
Formales Lösen von Differentialgleichungen. Beispiel
P
Definition der exponentiell erzeugenden Funktion zur Folge {an } durch f = k≥0 ak!k xk .
Summen, Produkte, Integrale und Differentiale der exponentiell erzeugenden Funktion(en)
Beweis 2 der obigen Aussage: Es gilt für die exponentiell erzeugenden Funktionen, dass
f˜(x) = exp(x)f (−x). Daraus folgt nun, dass f˜˜ = f .
Definition: Wir definieren nun an als die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n
Elementen. Dann gilt:
Proposition:
Pn DienZahlen an erfüllen die folgenden Eigenschaften:
(i) n! = k=0 k an−k .
.
(ii) Die exponentiell erzeugende Funktion f der Folge ist f (x) = exp(−x)
1−x
P
k
(iii) Es gilt an!n = nk=0 (−1)
.
k!
n
(iv) an = n · an−1 + (−1) .
Speziell a32 = 96800425246141091510518408809597121 und
a32
32!
=
3122594362778744887436077703535391
8488091513990113876361871360000000
≈ 0, 367879441171442321595523770161460867557681.
Übung 7.1 Geben Sie die exponentiell erzeugende Funktion der Folge an = k n an.
Übung 7.2 Geben Sie alle formalen Potenzreihen f ∈ CJXK an, die die Differentialgleichung f 00 = −f erfüllen.
Übung 7.3 Zeigen Sie, dass für eine komplexe Zahl a 6= 0 die Gleichung y m := a genau m
verschiedene komplexe Lösungen {yi }i=1,...,m hat. Zeigen Sie, dass die Funktionen fi (x) =
∂n
exp(yi · x) die Differentialgleichung ∂x
m fi = a · fi erfüllen.
Übung 7.4 Nutzen Sie die beiden vorherigen Aufgaben um die Gleichung
exp(i · x) = cos(x) + i sin(x)
abzuleiten.
25.05.16
1.8 Exponentiell erzeugende Funktionen — 2
Beispiele exponentiell erzeugende Funktionen zu einigen Folgen:
Name Beschreibung
explizite Form exp. erzeugende Fkt
an = 1n
an
Wörter der Länge n aus {A}
bn
Wörter der Länge n aus bn =
{B} mit einer geraden Anzahl von Bs
cn
Wörter der Länge n aus cn =
{C} mit einer ungeraden
Anzahl von Cs
fa (x) = exp(x)
1n +(−1)n
2
fb (x) =
exp(x)+exp(−x)
2
1n −(−1)n
2
fc (x) =
exp(x)−exp(−x)
2
Name Beschreibung
dn
explizite Form exp. erzeugende Fkt
Wörter der Länge n aus dn =
{A, B, C} mit einer geraden
Anzahl von Bs und ungeraden Anzahl von Cs
3n −(−1)n
4
fd (x) = fa · fb · fc
Proposition: Ist L ∈ N eine natürliche Zahl und ξ = exp
en :=
L−1
X
ξ
n·k
=
k=0
2πi
L
, so gilt
L , wenn L|n
0 , wenn L 6 |n .
Proposition: (Zick-Zack-Permutationen) Sei ak die Anzahl der Permuationen σ ∈ Sk mit
σ(1) < σ(2) > σ(3) < . . . > σ(k − 2) < σ(k − 1) > σ(k) ,
so gilt die Rekursion
an+1 =
n−1 X
n−1
k=0
k
ak an−1−k .
P
Die exponentiell erzeugende Funktion f (x) = k ak!k xk erfüllt daher die Funktionalgleichung
∂
f (x) = 1 + f 2 (x)
∂x
und daher gilt f (x) = tan(x).
Übung 8.1 Wir definieren ak als die Anzahl der Möglichkeiten eine k-elementige Menge
in zweielementige disjunkte Teilmengen zu zerlegen. Wir hatten bereits:
a0 = 1 a1 = 0 a2 = 1 a3 = 0 a4 = 3
Finden Sie die nächsten vier Folgenglieder!
Übung 8.2 Versuchen Sie eine Rekursionsformel zu finden, die an durch an−2 ausdrückt.
Ansatz: Wählen Sie ein Element. Wieviele Möglichkeiten gibt es zu diesem einen Partner
zu wählen? Wieviele Möglichkeiten
P ak k gibt es den Rest zu gruppieren?
Übung 8.3 Sei f (x) = k k! x die exponentiell erzeugende Funktion. Finden Sie die
∂
Folgen zu ∂x
f (x) und zu x · f (x). Vergleichen Sie! Finden Sie eine Gleichung für f (x).
Übung 8.4 Es gibt ein Polynom p(x), so dass die Funktion g(x) = exp(p(x)) die Funktionalgleichung auf der vorherigen Aufgabe erfüllt.
Finden Sie p(x)!
Geben Sie f (x) an und leiten daraus eine Formel für ak ab!
2
08.06.16
Algebraische Graphentheorie
2.1 Definitionen und erste Beispiele
Definition: Adjazenzmatrizen A(Γ) einfacher
 Graphen,
 das Spektrum eines Graphen.
0 1 0
√
√
u
u , A(Γ) =  1 0 1 , Spec(Γ) = {− 2, 0, 2}.
Beispiel 1: Γ = u
0 1 0
Proposition: Ist Γ = Kn der vollständige Graph mit n Ecken und n2 Kanten, so gilt
Spec(Γ) = {−1, −1, . . . , −1, n − 1}.
Proposition: Ist Γ ein einfacher Graph mit n Ecken, so gilt für alle λ ∈ Spec(Γ), dass
λ ≤ n − 1. Ferner impliziert λ = n − 1, dass Γ isomorph zu Kn ist.
Satz: Ist Γ ein einfacher Graph mit Adjazenzmatrix A = A(Γ), so gilt für alle k ∈ N und
B = Ak , dass
bi,j = #{ alle Wege der Länge k von vi nach vj } .
Folgerung 1: Ist Γ ein einfacher GraphP
mit Adjazenzmatrix A = A(Γ), so gilt für B = A2 ,
dass bi,i = deg(vi ) und somit tr(B) = ni=1 deg(vi ) = 2 · #(E).
Folgerung 2: (Dreiecksformel) Ist Γ ein einfacher Graph mit Adjazenzmatrix A = A(Γ),
so gilt 61 tr(A3 ) = #{C3 ⊂ Γ}.
Folgerung 3: (Vierecksformel) Ist Γ ein einfacher Graph mit
PAdjazenzmatrix A = A(Γ)
und den Graden di = deg(vi ), so gilt 18 (tr(A4 ) + tr(A2 ) − 2 ni=1 d2i ) = #{C4 ⊂ Γ}.
Übung 9.1 Sei Γ = Kn der vollständige Graph mit n Ecken und n2 Kanten, und
A = A(Γ) seine Adjazenzmatrix. Berechnen Sie für alle k ∈ N die Potzenz Ak .
Übung 9.2 Berechnen Sie das Spektrum der Graphen
Γ1 =
u
u
A
A u
Au
u
u
u
u
u
Γ2 =
u
Übung 9.3 Kann man am Spektrum eines Graphen erkennen, ob er zusammenhängend
ist?
Übung 9.4 Erläutern Sie, wie man aus dem Spektrum eines Graphen Γ die Anzahl der
Dreiecke {C3 ⊂ Γ} bestimmen kann. Erläutern Sie ferner, warum sich die Anzahl der
Vierecke {C4 ⊂ Γ} nicht aus dem Spektrum ablesen läßt!
15.06.16
2.2 Der Satz von Perron-Frobenius
Definition: Für ein A ∈ Mat(n × n, R) definieren wir A > 0 und A ≥ 0 elementweise.
Ebenso v > 0 nd v ≥ 0 für v ∈ Rn .
Definition: A heißt unzerlegbar, wenn es keine echte Zerlegung der Menge {1, . . . n} = I ∪J
gibt, so dass ai,j = 0 für alle i ∈ I und j ∈ J.
Lemma: Sei Γ ein Graph und A = A(Γ) seine Adjazenzmatrix. Dann gilt Γ ist zusammenhängend ⇐⇒ A ist unzerlegbar.
Lemma: Ist A ∈ Mat(n × n, R) gegeben mit A ≥ 0 und A unzerlegbar, so gilt die Ungleichung (En + A)n−1 > 0.
Satz (Perron-Frobenius): Ist A ∈ Mat(n × n, R) gegeben mit A ≥ 0 und A unzerlegbar,
so gibt es ein reelles r > 0 mit:
(1) r is Eigenwert mit einem positiven Eigenvektor v > 0.
(2) Der Eigenraum Eig(r, A) ist von der Dimension eins.
(3) Alle anderen Eigenwerte λ erfüllen kλk ≤ r.
Übung 10.1 Die folgenden Mengen (mit Vielfachheiten) sind keine Spektren einfacher
zusammenhängender Graphen. Begründen Sie warum nicht!
S1 = {4, 3, 2, −2, −2, −2, −2, −2}
S2 = {4, 4, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1}
S3 = {10, −2, −2, −2, −2, −2}
, −1
, −1
, −1
, −1
, −1
, −1
, −1
}
S4 = {4, −1
2
2
2
2
2
2
2
2
Übung 10.2 Wir betrachten den folgenden Graphen
Γ= u
u
u
u
u
u
u
u
Für welche natürlichen Zahlen k gilt die Ungleichung (I8 + A)k > 0.
Begründen Sie Ihre Antwort!
Übung 10.3 Wir betrachten den folgenden Graphen
Γ=
u
u
u
u
u
u
u
u
Für welche natürlichen Zahlen k gilt die Ungleichung (I8 + A)k > 0.
Begründen Sie Ihre Antwort!
Übung 10.4 Wir betrachten den folgenden Graphen
Γ=
u
u
u
u
u
u
u
u
Für welche natürlichen Zahlen k gilt die Ungleichung (I8 + A)k > 0.
Begründen Sie Ihre Antwort!
22.06.16
2.3 Der Satz von Hermite-Biehler
Proposition: Sei Γ ein Graph mit maximalen Abstand d = d(Γ) zwischen zwei Ecken. Die
Anzahl der verschiedenen Eigenwerte von A(Γ) sei t. Dann gilt: t − 1 ≥ d.
Definition: Zwei reelle Polynome f und g heißen verflochten, wenn sie nur reelle Nullstellen
{λ1 , . . . , λn } bzw. {µ1 , . . . , µn−1 } haben und die Ungleichung
λ1 ≤ µ1 ≤ λ2 ≤ µ2 ≤ . . . ≤ µn−1 ≤ λn
erfüllen. Die Polynome heißen streng verflochten, wenn alle ≤ in der obigen Ungleichung
< sind.
Satz von Hermite-Biehler: f und g sind streng verflochten ⇐⇒ F = f + i · g hat alle
Nullstellen in der oberen oder unteren Halbebene.
Übung 11.1 Sei f (x) = x2 − 1 und g(x) = x − a mit a ∈ R. Berechnen Sie die Nullstellen
von f +i·g in Abhängigkeit von a und entscheiden Sie, wann beide in der selben Halbebene
liegen! Wann sind f und g verflochten?
Übung 11.2 Wir betrachten den Graphen C5
u
C5 =
u
u
u
u



Sei ξ eine Lösung der Gleichung x5 − 1 = 0. Zeige, dass der Vektor 


ξ0
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4



 ein


Eigenvektor von A(C5 ) ist.
Übung 11.3 Wir betrachten weiterhin den Graphen C5 . Geben Sie eine Basis von Eigenvektoren des C5 bezüglich A(C5 ) an und geben Sie das Spektrum von C5 an!
Übung 11.4 Was ist das Spektrum von Cn ?
29.06.16
2.4 Das Spektrum von Untergraphen
Zweiter Teil des Beweises des Satzes von Hermite-Biehler.
Folgerung: Sind f und g reelle Polynome, so sind f und g streng verflochten ⇐⇒ für
alle (λ, µ) ∈ R2 \ 0 hat das Polynom λ · f + µ · g nur reelle und einfache Nullstellen.
Verallgemeinerung: Sind f und g reelle Polynome vom Grad n und n − 1, so sind f und
g verflochten ⇐⇒ für alle α ∈ R hat das Polynom f + α · g nur reelle Nullstellen.
Satz: Ist Γ ein Graph und Γ0 der durch Entfernen einer Ecke (samt Kanten zu dieser)
entstehenden Graph, so sind die
von Γ und Γ0 verflochten.
Spektren
2πk
Beispiel: Spektrum von Cn ist 2 cos n
.
k=0,...,n−1
πk
Beispiel: Spektrum von Pn ist 2 cos n+1 k=1,...,n .
Definition: Bipartiter Graph.
Beispiel: Pn ist stets bipartit. Cn ist bipartit ⇐⇒ n ist gerade.
Satz: Ist Γ bipartit, so ist sein Spektrum 0-symmetrisch.
Letzte Übungsserie Wir betrachten in dieser Übung den Graphen
Γ=
u
H
P
HP
@P
P
@HHPPP
u
u
u
u @u HHu PPu
Ihre Aufgabe ist es, das Spektrum und die Eigenräume dieses Graphen anzugeben. Ferner sollen Sie das charakterische sowie das Minimalpolynom der Adjazenzmatrix A(Γ)
bestimmen.
Dabei könnten Sie die folgenden Hinweise nutzen:
- Ist Γ bipartit?
- Welche Automorphismen hat Γ, was machen diese mit Eigenvektoren?
06.07.16
2.5 Reguläre Graphen
Satz: Γ ist bipartit ⇐⇒ sein Spektrum ist 0-symmetrisch.
Lemma: Sei Γ = (V, E) ein Graph und gilt für zwei nicht benachbarte Ecken vi und vj ,
dass sie dieselben Nachbarn haben, so gilt für jeden Eigenvektor x zum Eigenwert λ: λ = 0
oder xi = xj .
√
√
Folgerung: Der maximal bipartite Graph Kn,m hat das Spektrum nm, − nm, 0 mit den
Vielfachheiten 1, 1 und n + m − 2.
Definition: k-regulärer Graph.
Proposition: Ist Γ ein zusammenhängender k-regulärer Graph, so ist k der maximale
Eigenwert. Wenn Γ auch den Eigenwert −k besitzt, so ist Γ bipartit.
Satz vom Freundschaftsgraphen.