3. Potenzen und Logarithmen

3. Potenzen und Logarithmen
Der lange Weg zu den Potenzgesetzen
Natürliche Exponenten:
1. Schritt: x n , n 2 N, also eine natürliche Zahl (ungleich Null). Wie jeder
weiß, gilt:
106 · 103 = 10
· 10 · 10 · 10} · 10
| · 10 · 10{z
| · 10
{z · 10}
9
= 10
·
10
·
10
·
10
·
10
·
10
·
10
·
10
·
10
=
10
|
{z
}
6+3 = 9 Faktoren
Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x 2 R und natürliche
Zahlen m,n 2 N
n+m
x n · x m = x| · x ...x
·
x
·
x
·
x
...x
·
x
=
x
·
x
...x
·
x
·
x
...x
·
x
=
x
{z } | {z } |
{z
}
n Faktoren
m Faktoren
sowie analog (x m )n = x (mn) und
n+m Faktoren
xm
xn
= x m°n , falls m > n.
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Rationale und reelle Exponenten
1
n
2. Schritt: Wir definieren zunächst x .
1
n (x > 0) ist x n =
Die
Umkehrfunktion
zu
x
≥ 1 ¥n
x n = x.
p
n
x. Sie erfüllt die Gleichung
Wegen der diskutierten Probleme mit der Umkehrfunktion bei geradem
1
Exponenten n definiert man x n nur für nichtnegative x.
Für positive rationale Exponenten definieren wir
x
m
n
≥
= x
1
n
¥m
p
n
= ( x)m ,
x ∏ 0,
n,m 2 N.
3. Schritt: Per Definition ist x 0 = 1 für alle x 2 R.
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4. Schritt: Negative ganze Zahlen °n, n 2 N.
Für x 6= 0 gilt x · x1 = 1 und damit auch
µ ∂n
1
x ·
x
n
xn
1
= 1 = n = xn n .
x
x
Deshalb definiert man x °n := x1n , und es gilt
m
x ·x
°n
xm
= n = x m°n .
x
Ergebnis: Für rationale Zahlen r = m
n ist
x
m
n
p
= ( n x)m .
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Für irrationale Æ 2 R wird x Æ mittels Stetigkeitsargument definiert:
Zu jeder irrationalen Zahl Æ gibt es eine Folge rationaler Zahlen mit
lim rn = Æ, und wir definieren:
n!1
x Æ := lim x rn .
n!1
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Potenzgesetze
Für beliebige reelle Zahlen a, b, c 2 R und natürliche Zahlen n 2 N sowie
m 2 Z gelten die folgenden Potenzgesetze:
(ab )c = a(bc ) ,
ab+c = ab ac ,
a > 0,
a > 0,
(ab)c = ac b c , a, b > 0,
1
a°b = b , a > 0
a
ab
b °c
a
= c,
a>0
a
1
n
p
n
m
n
p
n
a =
a =
a,
am
a ∏ 0.
p
= ( n a)m ,
a ∏ 0.
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Quadrieren und Potenzieren
Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten
Beispiel: Aus x = °3 folgt x 2 = (°3)2 = 9. Wenden wir das Wurzelziehen
als Umkehroperation an, so folgt
p
x 2 = |x | =
p
9 = 3,
und wir erhalten 2 Lösungen x1 = °3 und x2 = 3.
Merke: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!
Trotzdem wird man in vielen Fällen quadrieren, um eine Lösung zu
erhalten. In diesem Fall muss man eine Probe machen, um beim
Quadrieren entstandene Scheinlösungen zu identifizieren.
Das Phänomen tritt analog bei sämtlichen Potenzen mit geradem
Exponenten auf.
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Potenzieren mit ungeradem Exponenten
Beispiel: Die Gleichung x 3 = °8 besitzt die einzige Lösung x = °2.
p
Allerdings darf diese nicht als x = 3 °8 geschrieben werden, denn
Wurzeln sind nur für nichtnegative Zahlen definiert!
Die korrekten Schritte beim äquivalenten Umformen lauten hier
x 3 = °8 () °x 3 = 8 () (°x)3 = 8
() °x =
p
3
8 = 2 () x = °2.
Eine Probe ist entbehrlich, da äquivalent umgeformt wurde. Sie schadet
aber auch nicht.
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Vorsicht Falle!
p
Exkurs: Warum nicht einfach 3 °8 = °2?
Ein Grund wäre die Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze: Es gilt für
m 2 Z, n, k 2 N:
m
m ·k
n
x = x n ·k .
p
Würde man fälschlicherweise mit °2 = 3 °8 rechnen, so folgt daraus ein
Widerspruch:
p
1
1· 2
3
3
°2 = °8 = (°8) = (°8) 3·2
q
p
2
6
6
2
= (°8) 6 = (°8) = 64 = 2.
Eine weitere Begründung lernen Sie in HM 1 kennen: in den komplexen
Zahlen hat die Gleichung x 3 = °8 drei verschiedene Lösungen!
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Lösen von Potenzgleichungen
Die Gleichung x n = a mit geradem Exponenten n 2 N besitzt:
p
• genau die beiden Lösungen x1/2 = ± n a, falls a ∏ 0,
• keine Lösung, falls a < 0.
Die Gleichung x n = a mit ungeradem Exponenten n 2 N besitzt:
• die eindeutige Lösung x =
p
n
a, falls a ∏ 0,
p
p
• die eindeutige Lösung x = ° n |a| = ° n °a, falls a < 0.
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Wurzelgleichungen
Lösungsverfahren für Wurzelgleichungen
1. Den maximalen Definitionsbereich bestimmen.
2. Quadrieren bzw. Potenzieren bis keine Wurzeln mehr auftreten.
3. Resultierende Gleichung lösen.
4. Abgleich der erhaltenen Lösungen mit dem Definitionsbereich.
5. Probe.
Lösen Sie die beiden Wurzelgleichungen
p
p
x °1+ x +2 = 1
und
p
4
x3 + 4 =
p
x +2
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Die Gleichung
p
p
x °1+ x +2 = 1
besitzt keine Lösung.
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Die Gleichung
besitzt die Lösungen x0 = 0,
p
4
x3 + 4 =
p
p
x1 = 1° 2 17
x +2
und
p
x2 = 1+ 2 17 .
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Exponential- und Logarithmusfunktion und assoziierte Gleichungen
Die Exponentialfunktion x 7! ax ist für a > 0 und alle x 2 R definiert.
Gebräuchliche Werte für die Basis sind die Zahlen 10, 2 und e º 2.71828.
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Plot von Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen:
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Die Eulersche Zahl e
Ein Startkapital von 1e werde jeweils für ein Jahr angelegt. Auf Leonhard
Euler (1707-1783) geht folgende Überlegung zum Zinseszins zurück:
• Bei jährlicher Verzinsung mit 100% sind am Jahresende 2e fällig.
• Bei halbjährlicher Verzinsung mit 50% sind am Jahresende
(1 + 12 )2 e = 2.25e zu zahlen.
• Bei vierteljährlicher Verzinsung mit 25% sind am Jahresende
(1 + 14 )4 e º 2.44e zu zahlen.
1 -tel des
Frage: Wie wächst die zu zahlende Summe, wenn 100
%
pro
n
n
Jahres zu zahlen sind? Wird diese Zahl beliebig groß?
Euler: Nein, denn
µ
1
e := lim 1 +
n!1
n
∂n
º 2.71828.
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Exponential- und Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion.
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist das offene Intervall
(0; 1). Der Logarithmus ist folglich nur für positive Argumente x
definiert. Für die Basis a gilt a > 0.
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Wozu braucht man den Logarithmus?
Schallpegel
(dB)
120
90
60
30
0
Schallintensität
(W/m2)
Düsenjet in 500m Entfernung
Rock-Konzert
U-Bahn
PKW
leise Unterhaltung
ruhiges Zimmer
Blätterrauschen
Hörbarkeitsgrenze
1
10-3
Wie laut ist laut?
10-6
10-9
10-12
W
W
0
Die Schallintensität I läuft von I0 = 10°12 m
2 bis über 10 = 1 m2 , deshalb
ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser:
I
P = 10log10 .
I0
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Rechnen mit Logarithmen
Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen.
Für x,y > 0 und a > 0, a 6= 1 sowie r ,b > 0 gilt
• b = loga c () ab = c,
• ab = e b ln a ,
• loga (xy ) = loga x + loga y ,
• loga x r = r loga x,
loga
≥ ¥
x
y
= loga x ° loga y ,
loga x °r = loga x1r = ° loga x r = °r loga x,
• wichtige Beziehungen: loga 1 = ln1 = 0,loga a = lne = 1.
log x
x
• Umrechnungsformel: loga x = logb a und loga x = ln
ln a .
b
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Logarithmen- und Exponentialgleichungen
• Maximalen Definitionsbereich bestimmen.
• Logarithmen- und Potenzgesetze anwenden und Gleichung lösen.
• Liegt die Lösung im Definitionsbereich? (Betrifft vor allem
Logarithmen.)
Beispiel:
log10 (x ° 2) = 1
( () log10 (x ° 2) = log10 10)
=) x ° 2 = 10
() x = 12
Da x = 12 im Definitionsbereich liegt, ist x = 12 Lösung der Gleichung.
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Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
1
lnx ° ln(3x ° 2) = 0.
2
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Beispiel zur Exponentialgleichung:
9x °1 = 36 · 3x
Maximaler Definitionsbereich: x 2 R.
Anwenden von Potenzgesetzen:
9x °1 = (32 )x °1 = 32(x °1)
und 36 · 3x = 36+x
ergibt
32(x °1) = 36+x
() 2(x ° 1) = 6 + x
| log3
() x = 8.
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Plot zum Beispiel 9x °1 = 36 · 3x mit x = 8 als Lösung:
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Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
3x +3 ° 2 · 5x = 5x +1 + 2(3x + 5x ).
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Wozu braucht man den Logarithmus?
Schallpegel
(dB)
120
90
60
30
0
Schallintensität
(W/m2)
Düsenjet in 500m Entfernung
Rock-Konzert
U-Bahn
1
10-3
PKW
leise Unterhaltung
ruhiges Zimmer
Blätterrauschen
Hörbarkeitsgrenze
Wie laut ist laut?
10-6
10-9
10-12
W
W
0
Die Schallintensität I läuft von I0 = 10°12 m
2 bis über 10 = 1 m2 , deshalb
ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser:
P = 10log10
I
.
I0
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Logarithmische Darstellung, Logarithmenpapier
Schalldruckpegel Lp = 20log10 PP0 mit P0 = 2 · 10°5 Pa.
Wegen der über weite Strecken extrem flachen Kurve ist eine Darstellung
mit den üblichen linear skalierten Achsen wenig aussagekräftig.
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Viel besser ist eine halblogarithmische Darstellung (Logarithmenpapier):
Schalldruckpegel Lp = 20log10 PP0 mit P0 = 2 · 10°5 Pa.
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Rechnen mit Logarithmen
Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen.
Für x,y > 0 und a > 0, a 6= 1 sowie r ,b > 0 gilt
• b = loga c () ab = c,
• ab = e b ln a ,
• loga (xy ) = loga x + loga y ,
• loga x r = r loga x,
loga
≥ ¥
x
y
= loga x ° loga y ,
loga x °r = loga x1r = ° loga x r = °r loga x,
• wichtige Beziehungen: loga 1 = ln1 = 0,loga a = lne = 1.
log x
x
• Umrechnungsformel: loga x = logb a und loga x = ln
ln a .
b
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