inferenzframes - Institute of Information Sciences and Technology

INFERENZFRAMES
Jens Dietrich
21. November 1995
i
Bibliographische Beschreibung
Dietrich, Jens
Inferenzframes
Universitat Leipzig, Diss.,
150 S., 74 Lit., 7 Abb.
Referat
Gegenstand dieser Arbeit ist die systematische Darstellung nichtmonotoner
Logiken. Dabei werden die drei moglichen Darstellungen (monotoner) deduktiver Operationen, und zwar die abstrakt-algebraische, die semantische
und die beweistheoretische, auf nichtmonotone Logiken verallgemeinert, Zusammenhange zwischen diesen Darstellungen in Form von Reprasentationstheoremen bewiesen und bekannte Resultate in diesem Rahmen eingeordnet. Dabei wird herausgestellt, da nichtmonotone Inferenzoperationen allein
nichtmonotone Inferenz nicht adaquat beschreiben konnen, vielmehr ist eine
nichtmonotone Inferenzoperation stets im Zusammenhang mit einer unterliegenden deduktiven Operation zu betrachten. Das fuhrt zum zentralen Begri
eines Inferenzframes. Fur eine vorgegebene Inferenzoperation wird gezeigt,
da sich unter schwachen Voraussetzungen stets die Existenz einer ausgezeichneten unterliegenden deduktiven Operation zeigen lat. Einen weiteren
Schwerpunkt bildet die Analyse von Kompaktheitseigenschaften nichtmonotoner Logiken. Es wird bewiesen, da die bisher vorgeschlagene Kompaktheitsbegrie bereits auf sehr einfache Logiken nicht mehr zutreen. Es wird
ein schwacher Kompaktheitsbegri vorgeschlagen, der sich an topologischen
Begrien, insbesondere an der Vervollstandigung metrischer Raume, orientiert. Weiter wird eine allgemeine Beweistheorie fur nichtmonotone Logiken
entwickelt, welche eine naturliche Interpretation (Semantik) logischer Programme mit Negation gestattet.
Inhaltsverzeichnis
Bibliographische Beschreibung
i
Inhaltsverzeichnis
ii
Abbildungsverzeichnis
v
Vorwort
1
1 Einleitung
Vereinbarungen hinsichtlich der Notation : : : : : : : : : : : : : : :
2
6
2 Monotone Logik
2.1 Logische Sprachen : : :
2.2 Deduktive Operationen
2.3 Konsequenzrelationen :
2.4 Ableitungsregeln : : :
2.5 Logische Systeme : : :
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7
7
10
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3 Inferenzframes
3.1 Motivation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 Abstrakte nichtmonotone Logiken : : : : : : : :
3.3 Semantische Frames : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.1 Modelloperatoren und Modellselektoren :
3.3.2 KLM-Modellstrukturen : : : : : : : : : :
3.3.3 MAK-Modellstrukturen : : : : : : : : :
3.4 Standardsysteme : : : : : : : : : : : : : : : : :
 berblick : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.4.1 U
3.4.2 Minimales Schlieen : : : : : : : : : : :
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3.4.3 Defaultlogik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42
3.4.4 Poole-Systeme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44
3.4.5 Logische Programme mit Negation : : : : : : : : : : : 47
4 Reprasentationssatze
4.1 Inferenzframes und semantische Frames : : : : : : : :
4.2 Reprasentation kumulativer Frames : : : : : : : : : :
4.2.1 Die Semantik kumulativer Inferenzframes : : :
4.2.2 Die Semantik kumulativer Inferenzoperationen
4.3 Finitare Reprasentationssatze : : : : : : : : : : : : :
4.4 Distributive Frames : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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5 Kompaktheit
5.1 Extensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Starke Kompaktheitsbegrie : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2.1 Die kleinste kumulative Erweiterung : : : : : : : :
5.2.2 Suprakompaktheit und die kanonische Erweiterung
5.3 Co-Kompaktheit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 Schwache Kompaktheitsbegrie : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.1 Schwache Kompaktheit : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.2 14 0Kompaktheit : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5 Vervollstandigung von Modellstrukturen : : : : : : : : : :
5.5.1 L-metrische Raume : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5.2 Verallgemeinerte Modellstrukturen : : : : : : : : :
5.5.3 Topologische Kompaktheit : : : : : : : : : : : : : :
5.6 Extensionsoperatoren im Vergleich : : : : : : : : : : : : :
6 Deduktive Basen
6.1 Die grote deduktive Basis : : : : : : : :
6.2 Die Makinson -Basis : : : : : : : : : : :
6.3 Charakterisierung durch Regeln : : : : :
6.4 Konsistenzerhaltung versus Optimalitat :
6.5 Eigenschaften von Inferenzoperationen :
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91
91
96
99
99
102
7 Nichtmonotone Regelsysteme
108
7.1 Kontextsensitive Ableitungsregeln : : : : : : : : : : : : : : : : 108
7.2 Regelsysteme mit Prioritat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 110
iv
7.3 Anwendung: Logische Programme : : :
7.3.1 Normale Logische Programme :
7.3.2 Erweiterte Logische Programme
7.3.3 Disjunktive Programme : : : :
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118
123
127
Symbolverzeichnis
129
Literaturverzeichnis
132
Index
140
Selbstandigkeitserklarung
144
Lebenslauf
145
Abbildungsverzeichnis
1.1 Darstellung nichtmonotoner Logiken auf der abstrakten Strukturebene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5
3.1 Wahrheitswert-Ordnungen in 3- und 4-wertiger Aussagenlogik
42
5.1 Die symmetrische Dierenz erfullt die Dreiecksungleichung : : 81
6.1 Basen von Inferenzoperationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97
7.1 Berechnung von 5(X ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114
7.2 Abhangigkeitsgraph eines normalen logischen Programmes : : 120
7.3 Abhangigkeitsgraph eines erweiterten normalen logischen Programmes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124
v
Vorwort
Diese Arbeit beschaftigt sich mit theoretischen Aspekten nichtmonotoner
Logik. Angeregt zu dieser Arbeit wurde ich durch Prof. Dr. Heinrich Herre, dem mein besonderer Dank gilt. Er stand mir u
ber drei Jahre
standig zur Seite und sein Anteil am Entstehen dieser Arbeit ist nicht hoch
genug einzuschatzen.
Mein besonderer Dank gilt auerdem Prof. Dr. Kuniaki Mukai und
ur die
Prof. Dr. Kochi Furukawa von der Keio University Tokio f
Einladung an die Keio University und die umfangreiche Betreuung, die
ich dort im Wintersemester 1994/95 von Ihnen erfuhr. Nicht zuletzt mochte
ich Dr. David Pearce, Dr. Ken Satoh und Dr. Gerd Wagner
fur Ihre Ratschlage danken. Weitere wichtige Hinweise verdanke ich den
anonymen Referenten von [Die94].
Nicht moglich gewesen ware die vorliegende Arbeit ohne die verstandnisvolle Unterstutzung meiner Frau Yadira Balmaceda Ramrez, auch Ihr
mochte ich hier meinen Dank aussprechen.
Diese Arbeit ware nicht zustande gekommen ohne die materielle und ideelle Forderung durch die Friedrich-Naumann-Stiftung, in deren Begabtenforderungsprogramm ich im April 93 aufgenommen wurde. Mein Forschungsaufenthalt in Japan wurde unterstutzt vom German-JapaneseCenter Berlin, Special Exchange Program. Beiden Stiftungen gilt mein
ausdrucklicher Dank.
Das vorliegende Dokument wurde in LaTEX erstellt. Ein gewisses Problem
stellte die Anpassung der zunachst in Englisch eingefuhrten Begrie an die
deutsche Sprache dar. An einigen Stellen ist der englische Originalbegri
explizit angegeben. Den zentralen Begri \inferential frame" habe ich, da
 bersetzung recht unpassend erschien, als \Inferenzframe"
mir die direkte U
eingedeutscht.
1
Kapitel 1
Einleitung
Die Analyse logikbasierter Wissensysteme kann auf drei Ebenen angesiedelt
werden [He94]:
Abstrakte Strukturebene Auf dieser Ebene wird von einer konkreten logischen Sprache, Ableitungsrelation, Semantik und Beweistheorie abstrahiert und allgemeine Begrie wie logische Sprache, Inferenzoperation und logisches System und deren Zusammenhange untersucht.
Logische Kalkulebene Es werden konkrete Sprachen, Ableitungsrelationen, Semantiken und Beweiskonzepte untersucht. Logische Sprachen
werden etwa rekursiv mittels konkreter logischer Funktoren aufgebaut,
entsprechend wird eine Ableitungsrelationen und die Semantik rekursiv deniert und die Beweistheorie durch Angabe von Regeln fur die
Funktoren konkretisiert.
Formale Spezikationsebene Unter Hinzunahme pragmatischer Aspekte,
wie Komplexitat der Ableitungsrelation, wird ein auf der logischen
Kalkulebene untersuchtes System weiter ausgestaltet. Ziel ist dabei
die Nutzung des Systems zur Wissensreprasentation.
Anliegen dieser Arbeit ist die Untersuchung nichtmonotoner Logiken auf
der abstrakten Struktur- und der logischen Kalkulebene.
Monotone Logiken besitzten auf der abstrakten Strukturebene drei Darstellungen:
2
3
1. Einleitung
die axiomatische Darstellung durch Angabe der
eine Schlufolgerungsoperation,
die beweistheoretische Darstellung,
-Axiome fur
Tarski
die semantische Darstellung.
Sei Anfang der 80er Jahre1 sind verschiedene nichtmonotone Logiken untersucht wurden. Deren Untersuchung auf der abstrakten Strukturebene geht
auf Gabbay [Gab85, Axiomatik] und Shoham [Sh88, Semantik] zuruck.
Diese Arbeit steht in der Tradition dieser Untersuchungen und versucht aufzuzeigen, wie sich die drei Darstellungen monotoner Logiken auf nichtmono
tone Logiken ubertragen lassen und wie sich deren Aquivalenz
zeigen lat.
Der erste Teil dieser Arbeit (Kapitel 2-4) beschaftigt sich mit dem Aufbau
eines Kalkuls, der zur Analyse nichtmonotoner Logiken geeignet ist.
In Kapitel 2 werden die drei abstrakten Darstellungen monotoner Lo quivalenz dargestellt. Diese ist insbesondere eine
gik deniert und ihre A
Konsequenz aus Lindenbaums Lemma. Es wird bewiesen, da die in der
Reprasentationstheorie nichtmonotoner Logiken oft benutzte Autodistributivitatsbedingung (entspricht \admissibility" bei Freund;Lehmann [FL94] )
eine sehr naturliche topologische Entsprechung auf der semantischen Ebene
hat.
In Kapitel 3 wird kurz auf das Anliegen nichtmonotoner Logiken eingegangen und dann geeignete Axiome im Tarski-Stil fur nichtmonotone Logiken und eine allgemeine Semantik entwickelt. Es zeigt sich dabei, da
nichtmonotone Inferenzoperationen allein nicht zur Beschreibung nichtmonotoner Logiken geeignet sind. Deshalb werden die in [DH94] vorgeschlagenen zentralen Begrie Inferenzframe und semantischer Frame eingefuhrt.
Einige Standardsysteme, die im weiteren Verwendung nden, werden in dem
bereitgestellten begriichen Rahmen deniert.
Kapitel 4 beschaftigt sich mit den Beziehungen zwischen dem axiomatischen und dem semantischen Ansatz. Dabei werden eine Reihe wichtiger
Resultate aus [Mak89],[KLM90],[Li91] und [FL94] in diesem Begrisrahmen
rekonstruiert und verallgemeinert. Fur die allgemeinste Klasse nichtmonotoner Logiken wird ein Reprasentationstheorem bewiesen.
1
Insbesondere seit dem Erscheinen von Band 13 der Articial Intelligence mit den
bahnbrechenden Artikeln von McCarthy [McC80], McDermott;Doyle [McDD80] und
Reiter [Rei80].
1. Einleitung
4
Im zweiten Teil (Kapitel 5-7) werden drei sich unmittelbar aus der Problemstellung ergebende Fragekomplexe behandelt.
Kapitel 5 beschaftigt sich mit Kompaktheitsfragen nichtmonotoner Logiken. Kompaktheit wird als Rekonstruierbarkeit einer Inferenzoperation
aus ihrer Restriktion auf endlichen Mengen mittels eines Extensionsoperators prazisiert. Aufgrund des Nichtvorhandenseins von Monotonie liefert dabei der Endlichkeitssatz keinen kanonischen Extensionsoperator mehr. Die
alternativen Kompaktheitsbegrie von Makinson [Mak93], Freund [Fr93]
und Freund; Lehmann [FL94] werden als Extensionsoperatoren eingefuhrt;
und es wird gezeigt, da sie, obwohl sie technische elegante Konstruktionen
sind, keine geeigneten Kompaktheitsbegrie darstellen, da sie aufgrund ihrer
Starke bereits auf einige der elementarsten nichtmonotonen Logiken nicht anwendbar sind. Es werden zwei schwache Kompaktheitsbegrie deniert und
untersucht. Der erste Begri, 14-Kompaktheit, ist in [DH94] vorgeschlagen.
Der grote Teil von Kapitel 5 widmet sich der topologischen Kompaktheit. In
Analogie zur Vervollstandigung metrischer Raume wird versucht, da Kompaktheitsproblem durch Vervollstandigung sogenannter L-metrischer Raume
zu losen.
In Kapitel 6 wird der Zusammenhang zwischen monotonen und nichtmonotonen Operationen naher untersucht. Die Hauptresultate sind der Beweis
der Existenz einer groten deduktiven Operation unter jeder kumulativen
Inferenzoperation und eine Reihe von Charakterisierungen dieser sogenannten deduktiven Basis. Insbesondere wird ein enger Zusammenhang zwischen
Konsistenzerhaltung und Maximalitat der deduktiven Basis gezeigt. Es werden Beispiele angegeben, die zeigen, da dieses Resultat nicht auf einige
groere Klassen nichtmonotoner Operationen ausdehnbar ist. Weiter wird
die Frage erortert, inwiefern sich Begrie, die fur Inferenzframes deniert
wurden, auf Inferenzoperationen ubertragen lassen. Der Begri der logischen
Inferenzoperation wird eingefuhrt und gezeigt, da gewisse Semantiken logischer Programme nichtlogischen Inferenzoperationen entsprechen.
Kapitel 7 beschaftigt sich mit der beweistheoretischen Darstellung nichtmonotoner Logiken. Es zeigt sich, da sich nichtmonotone Logiken in Analogie zur Semantik beweistheoretisch darstellen lassen, ein entsprechendes
Reprasentationstheorem fur die Klasse aller stark kumulativen Operationen
wird bewiesen. Dabei handelt es sich um einen nitaren Reprasentations quivalenz zwischen beweistheoretischer und der
satz, das heit, es wird die A
axiomatischer Darstellung fur nitare Operationen bewiesen. Das entspricht
5
1. Einleitung
Inferenzframes
(L; Cn; C )
Axiomatische Darstellung
Restriktion auf 2Lf -
Extensionsoperator 1
6
Kapitel 4
?
Semantische Darstellung
Semantische Frames
(L; M; j=; 8)
Kapitel 5
Finitare
Inferenzframes
(L; Cn; F )
6
Kapitel 7
?
Beweistheoretische
Darstellung
Regelsysteme mit
Auswahl (L; R; )
Abbildung 1.1: Darstellung nichtmonotoner Logiken auf der abstrakten
Strukturebene
genau der Situation in monotoner Logik: In der allgemeinen Axiomatisierung
monotoner Logiken wird nicht etwa die volle Inferenzoperation, sondern nur
deren Restriktion auf endlichen Mengen beschrieben. Erst aus der zusatzli
chen Kompaktheitsforderung folgt die Aquivalenz
von axiomatischer und beweistheoretischer Darstellung. Es wird gezeigt, da sich logische Programme
mit Negation in naturlicher Weise als nichtmonotone Regelsysteme interpretieren lassen. Das fuhrt zur einer Semantik fur logische Programme, die, im
Unterschied zu den etablierten Semantiken wie STABLE und der wohlfundierten Semantik, die Loop-Eigenschaft besitzt.
1. Einleitung
6
Vereinbarungen hinsichtlich der Notation
Die Symbole 81; 91; ,; ) und & werden als metasprachliche Abkurzungen
fur \fur alle 1 gilt", \es existiert ein 1, so da", \genau dann, wenn", \daraus
folgt" und \und" benutzt. Wird der Bereich von 81 und 91 nicht explizit
angegeben, besteht dieser aus !; das heit, 8i steht fur \fur alle naturlichen
Zahlen i gilt, da".
Diese sind von den objektsprachlichen Ausdrucken 8_ ; 9_ ; $; ! und ^ zu
unterscheiden. ! bezeichnet die Menge der naturlichen Zahlen. X Y die
Klasse aller Funktionen von Y in X ; insbesondere ist X ! die Klasse aller
!-Folgen, bestehend aus Elementen von X ; und 2L die Potenzmenge der
Menge L. Mit X <! wird die Klasse aller endlichen Folgen mit Elementen
aus X bezeichnet. 2Lf steht fur die Klasse der endlichen Teilmengen aus L,
die Relation f bedeutet \ist endliche Teilmenge von".
Kleinbuchstaben p; q; r::; auch indiziert, bezeichnen atomare Formeln; die
Grobuchstaben A; B Formeln. X; Y; Z stehen fur Formelmengen, griechische Buchstaben ; ; fur !-Folgen.
Kapitel 2
Monotone Logik
2.1 Logische Sprachen
Alle Betrachtungen in dieser Arbeit basieren auf einer abstrakten Sprache,
die oft nicht weiter speziziert ist. Auf der abstraktesten Ebene versteht man
unter einer logischen Sprache eine nichtleere, hochstens abzahlbare1 Menge
L.
In der Regel ist eine logische Sprache rekursiv deniert. Sei Latom eine
abzahlbare, nichtleere Menge, deren Elemente Atome genannt werden. Weiter sei f#igin eine nichtleere endliche Menge sogenannter logischer Funktoren und : f#igin ! ! eine Funktion, die logischen Funktoren naturliche
Zahlen ki := (#i ) 2 !, genannt Aritat von #i, zuordnet. Dann ist durch
das Tripel (Latom ; f#igin ; ) eine logische Sprache deniert als die kleinste
Menge L, welche die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
Latom L;
2. wenn fA1; ::; Amg L, dann #i (A1; ::; Aki ) 2 L:
Ein Funktor # mit der Aritat n wird n0stellig genannt. Die Funktoren
?; :, _, ^, !, $ , 2 und 3 werden Kontradiktion, Negation, Disjunktion,
1.

, Notwendigkeit und MoglichKonjunktion, Implikation, logische Aquivalenz
keit genannt. Dabei ist Kontradiktion nullstellig; Negation, Notwendigkeit
Die Bedingung der Abzahlbarkeit einer logischen Sprache wurde bereits von Tarski
in [Ta30a] erhoben.
1
7
2. Monotone Logik
8
und Moglichkeit sind einstellig; alle anderen Funktoren zweistellig. Es ist
ublich, anstatt von _(A; B ) die Notation A _ B zu verwenden, entsprechend
fur die anderen zweistelligen Funktoren. Die durch eine abzahlbare Menge
von Atomen und die Funktoren :,_,^ ! und $ denierte Sprache wird mit
LCP L bezeichnet. L(#1; ::; #n) bezeichnet eine logische Sprache, die von einer
abzahlbar unendlichen Menge von Atomen und den Funktoren f#1; ::; #ng
erzeugt wird. Wenn die Funktoren unter den oben erwahnten Standardfunktoren sind, wird ihre Aritat im weiteren nicht explizit erwahnt. Enthalt eine
Sprache einen einstelligen Funktor :, so werden die Elemente der Teilsprache
Llit := Latom [ f:pjp 2 Latomg auch Literale genannt.
Eine logische Sprache L kann als Tragermenge der durch Latom erzeugten
absolut freien Algebra (L; f#i gin ) aufgefat werden, die Funktoren als die
Abbildungen der Algebra #i : L ki ! L. Dann ist die Signatur dieser
Algebra durch die Funktion , also durch die endliche Folge (k1 ; ::; kn) mit
ki := (#i ) gegeben. Eine Algebra (A; ffig) heit ahnlich zu einer logischen
Sprache, wenn ihre Signatur mit der Signatur der Sprache ubereinstimmt.
Logische Sprachen, bei denen die Menge von Atomen eine Menge ohne
weitere Struktur ist, das heit, wo die innere Struktur der Atome unberucksichtigt bleibt, und die mittels einer Menge von Funktoren rekursiv aufgebaut
sind, werden als aussagenlogische Sprachen bezeichnet.
Eine zweite Gruppe von logischen Sprachen sind die pradikatenlogischen
Sprachen. In diesen Sprachen wird die innere Struktur atomarer Formeln
Latom untersucht und und dazu eine unendliche Menge zusatzlicher Funktoren
9_ x; 8_ x, bestehend aus Quantoren 9_ ; 8_ und Variablen x, betrachtet. Pradikatenlogische Sprachen sind bezuglich einer pradikatenlogischen Signatur :=
(Rel; F unct; Const; ) deniert. Dabei sind Rel; F unct und Const paarweise
disjunkten Mengen, die auch leer sein konnen; und : Rel [ F unct ! ! ist
eine Funktion, die den Elementen von Rel [ F unct eine Aritat genannte
naturliche Zahl zuordnet. Elemente aus Rel werden Relationssymbole, Elemente aus F unct Funktionssymbole und Elemente aus Const Konstantensymbole genannt. Weiter sei V ar eine abzahlbare Menge von Variablensymbolen.
Dann ist die Menge aller 0Terme term( ) deniert als die kleinste Menge
t, welche die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
1. V ar [ Const t;
2. ft1; ::; tng t&f
2 F unct&(f ) = n ) f (t1; ::; tn) 2 t:
9
2. Monotone Logik
Denition 2.1.1 Eine pradikatenlogische Sprache LP L1 der (pradikatenlogischen) Signatur ist die kleinste Menge L, welche die folgenden Bedingungen erfullt:
1. ft1; ::; tng term( )&P
2 Rel&(P ) = n ) P (t1 ; ::; tn) 2 L;
2. A 2 L ) :A 2 L;
3. A; B 2 L ) A ^ B; A _ B; A ! B; A $ B 2 L;
4. A 2 L&x 2 V ar ) 8_ x : A 2 L &9_ x : A 2 L .
Wenn von einer pradikatenlogischen Sprache die Rede ist und deren spezielle Signatur unberucksichtigt bleibt, so wird diese im weiteren auch mit
LP L1 bezeichnet.
Trotz des hohen Grades an Allgemeinheit dieser beiden Konzepte logischer Sprachen sind weitere Verallgemeinerungen moglich und in der Literatur diskutiert wurden. So kann man etwa einer pradikatenlogischen Sprache
eine reichere aussagenlogische Signatur zugrunde legen, um etwa pradikatenlogische Modallogiken zu denieren. Zweitens kann man verallgemeinerte
Quantoren betrachten, etwa solche mit der Bedeutung \es existieren abzahlbar viele". Eine weitere Moglichkeit besteht in der Aufgabe des Prinzips der
unbeschrankten Iteration von Funktoren in der Denition aussagenlogischer
Sprachen, etwa bei der Analyse epistemischer Funktoren Ba mit der Bedeutung \das Subjekt a glaubt, da.. ". Dann kann es durchaus sinnvoll sein,
etwa Ba Ba p nicht als zulassige Formel zuzulassen und damit Formulierungen
wie \a glaubt, da er glaubt, da p" als unsinnig von der logischen Analyse
auszuschliessen.
Bezuglich einer logischen Sprache L konnen nun bestimmte Operationen
C : 2L ! 2L betrachtet werden. Wir fuhren einige Grundbegrie fur die
Analyse dieser Operationen ein.
Verknupfung Zwei Operationen C1 ; C2 : 2L ! 2L konnen durch Hintereinanderausfuhren verknupft werden, C1C2 : 2L ! 2L ist deniert vermoge
C1 C2(X ) := C1(C2 (X )).
Identische Abbildung Die identische Abbildung id : 2L ! 2L ist deniert
durch id(X ) := X fur alle X L.
10
2. Monotone Logik
Potenzbildung Potenzen von Operationen C : 2L
vermoge:
!
2L sind deniert
1. C 0 := id;
2. C 1 := C;
3. C k+1 := CC k :
Ordnung Mengeninklusion induziert eine Relation auf der Menge aller
Operationen C : 2L ! 2L: C1 C2 genau dann, wenn 8X L :
C1 (X ) C2 (X ).
Unmittelbar aus der Denition folgt dann, da die Menge aller Operationen C : 2L ! 2L mit Hintereinanderausfuhrung als Operation und der
identischen Abbildung als neutralem Element ein Monoid bildet und da eine partielle Ordnung ist.
Die im folgenden denierte Klasse von Operationen steht im Mittelpunkt
dieser Arbeit.
Denition 2.1.2 Eine Operation C : 2L ! 2L heit Inferenzoperation genau dann, wenn fur alle Mengen X L gilt X C (X ).
2.2 Deduktive Operationen
Die Betrachtung abstrakter logischer Ableitbarkeitsoperationen geht auf Tar[Ta30a] zuruck. Er schlug vor, abstrakte Ableitungsoperationen fur eine
vorgegebene logische Sprache L als Funktionen Cn : 2L ! 2L einzufuhren,
die gewisse strukturelle Bedingungen erfullen. Diese Bedingungen sind:
ski
Reexivitat 8X L : X Cn(X ):
Idempotenz 8X L : Cn2(X ) Cn(X ):
Monotonie 8X; Y
L : X Y ) Cn(X ) Cn(Y ):
S
Cn(Y ):
Kompaktheit 8X L : Cn(X ) =
Y X
f
2. Monotone Logik
11
Der Ausdruck A 2 Cn(X ) ist zu lesen als \A kann logisch aus X geschlufolgert werden". Die Kompaktheitsbedingung ist, Monotonie vorausgesetzt,
gleichwertig mit der folgenden Bedingung:
8X L; A 2 L : A 2 Cn(X ) ) 9Y f X : A 2 Cn(Y ),
die wir im weiteren, also insbesondere auch in Kontexten, in denen die Operation nicht mehr monoton ist, als Kompaktheit bezeichnen werden.
Denition 2.2.1 Sei L eine logische Sprache. Eine Funktion Cn : 2L ! 2L
heit Konsequenzoperation genau dann, wenn sie die Bedingungen Reexivitat, Idempotenz und Monotonie erfullt. Eine kompakte Konsequenzoperation Cn wird deduktive Operation genannt, ein Paar (L; Cn) bestehend aus
einer Sprache und einer deduktiven Operation Cn : 2L ! 2L heit deduktives
System.
Im weiteren werden folgende deduktive Operationen betrachtet, deren Denitionen als bekannt vorausgesetzt werden, sematische Denitionen werden
in den Beispielen am Ende dieses Kapitels angegeben.
CnCP L : 2LCPL ! 2LCPL , die deduktive Operation der klassischen Aussagenlogik.
Cnint : 2LCPL ! 2LCPL , die deduktive Operation der intuitionistischen
Aussagenlogik.
CnP L1 : 2LPL1 ! 2LPL1 , die deduktive Operation der Pradikatenlogik
erster Stufe.
Bei Anwesenheit von Monotonie und Reexivitat ist Idempotenz aquivalent mit der folgenden Schnitt-Eigenschaft2 .
Schnitt 8X; Y
L : X Y Cn(X ) ) Cn(Y ) Cn(X ).
Lemma 2.2.2 Sei L eine logische Sprache. Eine Operation Cn : 2L ! 2L
ist eine deduktive Operation genau dann, wenn sie die Bedingungen Reexivitat, Schnitt, Monotonie und Kompaktheit erfullt.
2
Intuitiv bedeutet diese Eigenschaft, da auf die Verwendung von Lemmata bei Ableitungen verzichtet werden kann; das heit, da diese herausgeschnitten werden konnen.
12
2. Monotone Logik
Beweis. Angenommen, es gilt X Y Cn(X ) fur gewisse Mengen X
und Y . Dann folgt Cn(Y ) Cn2(X ) Cn(X ) wegen Kompaktheit und
Idempotenz. Fur die Umkehrung genugt es, fur Y in der Schnittbedingung
Cn(X ) einzusetzen. 2
Denition 2.2.3 Sei (L; Cn) ein deduktives System. Eine Menge X
heit
L
Cn0konsistent genau dann, wenn Cn(X ) 6= L.
Cn0inkonsistent genau dann, wenn Cn(X ) = L.
Cn0deduktiv abgeschlossen genau dann, wenn Cn(X ) = X .
Deduktiv abgeschlossene Mengen werden auch Cn0Theorien genannt.
Wenn Cn aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, wird im weiteren auf den
Vorsatz Cn verzichtet.
Auf Tarski [Ta30a] geht weiterhin die Idee zuruck3, logische Funktoren
durch abstrakte Bedingungen zu denieren, welche die strukturellen Beziehungen zwischen den Funktoren und der deduktiven Operation festlegen4.
Denition 2.2.4 (FL94) Sei (L; Cn) ein deduktives System. Man sagt
(L; Cn) besitzt eine
1. intuitionistische Negation genau dann, wenn es einen einstelligen Funktor : in L gibt, so da
8X L; A 2 L: :A 2 Cn(X ) , Cn(X [ fAg) = L:
2. klassische Negation genau dann, wenn es einen einstelligen Funktor :
in L gibt, so da
8X L; A 2 L:A 2 Cn(X ) , Cn(X [ f:Ag) = L:
3. Konjunktion genau dann, wenn es einen zweistelligen Funktor ^ in
gibt, so da
8X L; A; B 2 L:Cn(X [ fA; B g) = Cn(X [ fA ^ B g):
L
gibt in [Ta30a] diese Bedingungen fur Implikation und Negation an.
Diese Bedingungen konnen umgekehrt dazu verwendet werden, Logiken zu denieren
beziehungsweise zu reprasentieren [Grz72].
3
4
Tarski
13
2. Monotone Logik
4. Disjunktion genau dann, wenn es einen zweistelligen Funktor
gibt, so da
8X L; A; B 2 L:Cn(X [ fAg) \ Cn(X [ fB g) =
Cn(X [ fA _ B g):
_ in L
5. Implikation genau dann, wenn es einen zweistelligen Funktor ! in
gibt, so da
8X L; A; B 2 L : A 2 Cn(X [ fB g) , B ! A 2 Cn(X ):
6. Kontradiktion genau dann, wenn es eine Formel
Cn(f?g) = L:
L
? 2 L gibt, so da
Der folgende Begri der Autodistributivitat wurde von Freund und Lehuhrt und spielt eine gewisse Rolle bei der
mann [FL94] als admissibility eingef
Analyse von Kompaktheitseigenschaften nichtmonotoner Logiken.
Denition 2.2.5 Ein deduktives System heit autodistributiv genau dann,
wenn fur alle Cn0Theorien T1; T2; T3 L gilt Cn(T1 [ T2) \ Cn(T1 [ T3) Cn(T1 [ (T2 \ T3)).
Da die Gegenrichtung stets erfullt ist, kann in der letzten Denition
durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden. Das folgende Lemma, bewiesen ebenfalls von Freund und Lehmann [FL94], formuliert hinreichende
Bedingungen fur Autodistributivitat.
Lemma 2.2.6 (FL94) Ein deduktives System ist autodistributiv, wenn es
Disjunktion oder Implikation besitzt.
Das folgende Beispiel zeigt, da Autodistributivitat keinesfalls von allen
deduktiven Systemen erfullt wird.
Beispiel 2.2.7 Es lat sich leicht verizieren, da die Operation CnK :
2LCPL ! 2LCPL , deniert vermoge
(
CnK (X ) :=
CnCP L (X ) wenn CnCP L (X [ K ) 6= LCP L ,
LCP L
wenn CnCP L (X [ K ) = LCP L
alle Bedingungen fur eine deduktive Operation erfullt. Setze
14
2. Monotone Logik
K := fkg;
Z := CnK (fp ! :k; q ! :kg) = CnCP L (fp ! :k; q ! :kg);
X := CnK (fpg) = CnCP L (fpg);
Y := CnK (fq g) = CnCP L (fq g):
Dann gilt CnK (Z [ X ) \ CnK (Z [ Y ) = LCP L 6 CnK (Z [ (X \ Y )) =
CnCP L (Z [ (X \ Y )) 6= LCP L , da K [ Z [ (X \ Y ) CnCP L 0konsistent ist.
2.3 Konsequenzrelationen
Eine Alternative zur Verwendung von deduktiven Operationen bei der Analyse logischen Folgerns stellt die Verwendung von Konsequenzrelationen zwischen endlichen Formelmengen und Formeln dar. Die Bedeutung einer solchen Relation A1; ::; An ` B ist, da B logisch aus A1; ::; An geschlufolgert
werden kann. Die Begrie Reexivitat, Schnitt und Monotonie lassen sich
dann wie folgt auf Relationen ubertragen.
Reexivitat 8X f L; A 2 L : A 2 X ) X ` A:
Schnitt 8X f L; A; B 2 L : X [ fB g ` A&X ` B ) X ` A:
Monotonie 8X f L; A; B 2 L : X ` A ) X [ fB g ` A:
Denition 2.3.1 Sei L eine logische Sprache. Eine Relationen ` 2Lf 2
L wird Konsequenzrelation genannt genau dann, wenn sie die Bedingungen
Reexivitat, Schnitt und Monotonie erfullt.
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Konsequenzrelationen und
-operationen. Ist eine Konsequenzoperation Cn gegeben, so erzeugt sie eine
Konsequenzrelation `Cn vermoge
A1; ::; An `Cn B genau dann, wenn B 2 Cn(fA1; ::; Ang):
Umgekehrt deniert eine vorgegebene Konsequenzrelation
quenzoperation
` die Konse-
15
2. Monotone Logik
Cn`(X ) :=
S
fA1 ;::;An gX
fB jA1; ::; An ` B g:
Der wesentliche Unterschied zwischen beiden Ansatzen liegt darin, da
eine Konsequenzrelation nur die Ableitung auf endlichen Mengen deniert.
Wenn man diesen Anteil einer Konsequenzoperation selbst zum Gegenstand
der Untersuchung macht, kommt man zum Begri der nitaren Operation
F : 2Lf ! 2L. Tarskis Bedingungen lassen sich dann wie folgt fur solche
nitaren Operationen formulieren5:
L : X F (X ):
Schnitt 8X; Y f L : X Y F (X ) ) F (Y ) F (X ):
Monotonie 8X; Y f L : X Y ) F (X ) F (Y ):
Denition 2.3.2 Eine Funktion F : 2Lf ! 2L heit nitare KonsequenzReexivitat 8X f
operation genau dann, wenn sie die Bedingungen Reexivitat, Schnitt und
Monotonie erfullt.
Dann ergibt sich eine eineindeutige Beziehung zwischen Konsequenzrelationen und nitaren Konsequenzoperationen vermoge
F`(fA1; ::; Ang) := fB jA1; ::; An ` B g und
A1; ::; An `F B genau dann, wenn B 2 F (fA1; ::; Ang):
Das Verbindungsglied zwischen deduktiven Operationen und nitaren
Konsequenzoperationen ist die Kompaktheitsbedingung, mit deren Hilfe sich
auf kanonische Weise die Extension einer nitaren Konsequenzoperation zu
einer auf beliebigen Mengen denierten deduktiven Operation denieren lat:
S
F (Y ).
Cn(X ) := 1F (X ) =
Y f X
Dann gilt oensichtlich Cnf = 1 (Cnf ), wobei Cnf die Restriktion von
Cn auf endlichen Mengen bezeichnet. Hierbei ist die Monotoniebedingung
von Bedeutung. Es stellt sich heraus, da es fur nichtmonotone Logiken
ungleich schwieriger ist, solche Extensionen zu denieren, das heit, passende
Kompaktheitsbegrie zu nden.
5
Da F (X ) im allgemeinen unendlich ist, ist der Ausdruck F (F (X )) nicht deniert.
Dieses Problem kann man umgehen, indem man Schnitt anstatt Idempotenz fur nitare
Operationen formuliert.
2. Monotone Logik
16
2.4 Ableitungsregeln
Der beweistheoretische Ansatz, logisches Schlufolgern zu beschreiben, orientiert sich an der Beschreibung des Ableitungsprozesses. Ableitungsregeln
sind gewissermaen Bruchstucke einer Konsequenzrelation beziehungsweise operation, welche diese dann durch ihre iterative Anwendung erzeugen. Eine
n kann gelesen werden als:
solche n-stellige Ableitungsregel (uber L) A1 ;::;A
B
\wenn A1 ; ::; An bewiesen sind, dann ist auch B bewiesen". Dabei sind
A1; ::; An; B Formeln einer xierten Sprache L. Die Formeln A1 ; ::; An heien
dann Voraussetzungen oder Pramissen, die Formel B heit Schlufolgerung
n
oder Konklusion der Regel A1 ;::;A
B : Regeln mit n = 0 werden auch Axiome
genannt.
Denition 2.4.1 Sei L eine Sprache und R eine Menge von Ableitungsregeln uber L. Dann ist die Operation CnR : 2L ! 2L wie folgt deniert:
Ai1 ;::;Aini
in
B 2 CnR (X ) genau dann, wenn es eine endliche Folge ri := Bi
in
R gibt, so da die folgenden Bedingungen erfullt sind:
n
o
n
o
1. A11; ::; A1n1
X [ fB1; ::; Bi01g;
B 2 X [ fB1 ; ::; Bng.
2. Ai1; ::; Aini
3.
X;
Die Folge (ri )in wird R-Beweis der Lange n von B aus X genannt.
Insbesondere hat B einen R-Beweis der Lange 0 aus X , wenn B
erfullt ist.
2X
Lemma 2.4.2 Sei L eine Sprache und R eine Menge von Ableitungsregeln
uber L. Dann ist CnR(X ) die kleinste Menge (bezuglich Mengeninklusion),
so da die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. X CnR(X );
2.
n 2 R : fA ; ::; A g Cn (X ) ) B 2 Cn (X ):
8 A1;::;A
1
n
R
R
B
2. Monotone Logik
17
Beweis. Die zweite Bedingung bedeutet dabei die Abgeschlossenheit von
CnR(X ) bezuglich R. Sind zwei Mengen bezuglich R abgeschlossen, so
ist auch ihr Durchschnitt gegenuber R abgeschlossen. Jede Menge Y , die
X enthalt und unter R abgeschlossen ist, enthalt alle aus X mittels eines
R0Beweises (ri )in ableitbaren Formeln, da wegen der Abgeschlossenheit
fur alle ri , k n, gilt, da X [ fB1 ; ::; Bkg Y , wobei die Bi deniert sind
wie in Denition 2.4.1.
Andererseits ist CnR(X ), wie in Denition 2.4.1 deniert, abgeschlosk
sen bezuglich R. Angenommen, es gibt eine Regel r0 := A1 ;::;A
B , so da
fA1; ::; Akg CnR(X ) und B 2= CnR (X ). Laut Denition existieren Beweise (rji )jni fur alle Ai 2 fA1; ::; Akg. Dann istPdie Folge von Regeln
(r11 ; ::; rn1 1 ; r12; ::; rnkk ; r0) ein Beweis der Lange 1 + ni aus X und somit
ik
B 2 CnR(X ), im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist der Beweis
vollstandig. 2
Satz 2.4.3 Sei L eine Sprache und R eine Menge von Ableitungsregeln uber
L. Dann ist CnR eine deduktive Operation.
Beweis. Reexivitat Jedes A 2 X hat einen R-Beweis der Lange 0 aus X
und mithin gilt X CnR (X ).
Kompaktheit Gilt A 2 X , so folgt A 2 CnR(fAg) CnR(X ). Angenommen,
A 2 CnR (X )nX . Dann hat A einen R-Beweis der Langen n (n 1)o aus X .
Jede der n Regeln r1; ::; rn hat endlich viele Pramissen Ai1; ::; Aiki . Dann
ist r1 ; ::; rn ein nR-Beweis oder Lange n aus der Menge Xf f X ,
n
S
Xf := X \
Ai1; ::; Aiki , und es folgt A 2 CnR (Xf ).
i=1
Monotonie folgt unmittelbar aus der Denition von CnR . Jeder Beweis von
A aus X ist auch ein Beweis von A aus Y X .
Idempotenz Angenommen, es gilt A 2 Cn2R (X ). Wir konstruieren einen RBeweis endlicher Lange von A aus X wie folgt. Wegen der Kompaktheit von
CnR existiert eine endliche Teilmenge Xf := fA1 ; ::; Amg f CnR (X ), so da
A einen R-Beweis r1 ; ::; rn aus Xf hat. Jede Formel Ai (i m) hat einen RBeweis r1i ; ::; rni i aus X . Wegen der Monotonie ist dann
r1 ; ::; rn1 1 ; ::; r1m; ::; rnmm ;
Pm 1
r1 ; ::; rn ein R-Beweis fur A aus X der Lange n + i=1 ni . 2
Umgekehrt lat sich jede deduktive Operation durch eine Menge von Ableitungsregeln erzeugen:
18
2. Monotone Logik
Satz 2.4.4 Sei (L; Cn) ein deduktives System. Dann existiert eine Menge
von Ableitungsregeln R(Cn), so da CnR(Cn) = Cn:
n
o
Beweis. Deniere R(Cn) := XA jX f L&A 2 Cn(X ) , dann folgt unmittelbar CnR(Cn) = Cn, insbesondere hat jede Formel A 2 Cn(X ) einen
R(Cn)0Beweis der Lange 1 von X . 2
2.5 Logische Systeme
Ein anderer Weg, deduktive Operationen zu denieren, benutzt semantische
Begrie wie Modell, Welt und Interpretation.
Denition 2.5.1 Sei L eine Sprache, M eine nichtleere Klasse, deren Elemente Welten oder semantische Entitaten genannt werden, und j= M 2 L
eine Relation zwischen Welten und Formeln. Die Relation j= wird Bewertungsoder Erfullbarkeitsrelation genannt. Dann wird das Tripel (L; M; j=) ein
logisches System genannt genau dann, wenn es kein m 2 M gibt, so da
m j= A fur alle A 2 L.
Die Relation j= M 2 L wird auf 2M 2 L und M 2 2L erweitert vermoge:
M j= A genau dann, wenn fur alle m 2 M gilt m j= A,
m j= X genau dann, wenn fur alle A 2 X gilt m j= A.
Fur ein gegebenes logisches System werden die beiden Funktionen T h : 2M !
2L und Mod : 2L ! 2M dann wie folgt eingefuhrt:
Denition 2.5.2 Sei (L; M; j=) ein logisches System, X
Dann wird
L, M M.
T h(M ) := fA 2 Lj8m 2 M : m j= Ag Theorie von M und
Mod(X ) := fm 2 Mj8A 2 X : m j= Ag Modellklasse von X
genannt.
2. Monotone Logik
19
Lemma 2.5.3 Sei (L; M; j=) ein logisches System. Dann ist durch das Paar
(Mod; T h) eine Galois-Verbindung zwischen (L; ) und (M; ) deniert,
das heit, die folgenden Bedingungen sind erfullt:
1. (a) 8M1; M2 M : M1 M2 ) T h(M1) T h(M2 );
(b) 8X1; X2 L : X1 X2 ) Mod(X1 ) Mod(X2 );
2. (a) 8M M : M Mod(T h(M ));
(b) 8X L : X T h(Mod(X ));
3. (a) 8M M : T h(Mod(T h(M ))) = T h(M ) .
(b) 8X L : Mod(T h(Mod(X ))) = Mod(X ).
Die letzten beiden Bedingungen 3a und 3b sind nicht unabhangig, sie
folgen aus vielmehr aus 1a-2b. Damit folgt unmittelbar, da T hMod : 2L !
2L und ModT h : 2M ! 2M Hullenoperatoren sind. Damit gilt insbesondere
folgender Satz.
Satz 2.5.4 Sei (L; M; j=) ein logisches System. Dann erfullt die Operation
Cn(L;M;j=) : 2L ! 2L, deniert durch Cn(L;M;j=)(X ) := T h(Mod(X )), die
Bedingungen Reexivitat, Monotonie und Idempotenz.
Die in Denition 2.5.1 an das Tripel (L; M; j=) gestellte zusatzliche Bedingung erweist sich als sehr schwach, wurde man sie fallenlassen und Tripel
(L; M; j=) betrachten, so da fur ein m0 gilt T h(m0) = L, konnte es einfach
entfernt werden wegen Cn(L;Mnfm0g;j=) = Cn(L;M;j=) . Durch das Nichtvorhandensein solcher trivialen Welten ergibt sich insbesondere Cn(X ) = L genau
dann, wenn Mod(X ) = ;.
Allgemein lat sich Kompaktheit fur Cn(L;M;j=) nicht zeigen. Um Kompaktheit von Cn(L;M;j=) abzusichern, mu sie als Forderung deshalb mit in
die Denition aufgenommen werden.
Denition 2.5.5 Ein logisches System (L; M; j=) wird kompakt genannt
genau dann, wenn Cn(L;M;j=) kompakt und damit eine deduktive Operation
ist.
Unter bestimmten Umstanden lat sich dieser Kompaktheitsbegri durch
den folgenden semantischen Kompaktheitsbegri ersetzen.
2. Monotone Logik
20
Denition 2.5.6 Ein logisches System (L; M; j=) heit semantisch kompakt genau dann, wenn 8X L : (8Y f X : Mod(Y ) 6= ;) ) Mod(X ) 6=
;.
Die folgenden beiden Lemmata zeigen, da das Vorhandensein gewisser
Funktoren im Sinne von Denition 2.2.4 in engem Zusammenhang mit der
Beziehung zwischen den beiden Kompaktheitsbegrien steht.
Lemma 2.5.7 Sei (L; M; j=) ein kompaktes logisches System mit Kontradiktion. Dann ist (L; M; j=) semantisch kompakt.
Beweis. Sei (L; M; j=) kompakt und gelte Mod(Y ) 6= ; fur alle endlichen Teilmengen Y einer gewissen Menge X , aber Mod(X ) = ;. Dann ist
? 2 Cn(L;M;j=)(X ) und somit existiert eine endliche Teilmenge Y von X , so
da ? 2 Cn(L;M;j=) (Y ) = L. Damit ist, im Widerspruch zur Voraussetzung,
Mod(Y ) leer und mithin (L; M; j=) ist semantisch kompakt. 2
Lemma 2.5.8 Sei (L; M; j=) ein semantisch kompaktes logisches System
mit klassischer Negation. Dann ist (L; M; j=) kompakt.
Beweis. Sei semantische Kompaktheit von (L; M; j=) gegeben und gelte
A 2 Cn(L;M;j=)(X ) fur gewisse X und A. Angenommen, fur alle endlichen
Teilmengen Y von X gilt A 2= Cn(L;M;j=) (Y ). Gema Denition 2.2.4 gilt
dann fur alle endlichen Teilmengen Y von X Mod(Y [f:Ag) 6= ; und damit
Cn(L;M;j=)(X [ f:Ag) 6= L. Dann folgt A 2= Cn(L;M;j=)(X ), im Widerspruch
zur Voraussetzung. 2
Denition 2.5.9 Sei (L; Cn) ein deduktives System und X L eine Menge
von Formeln. Dann heit X
maximal konsistent genau dann, wenn
Cn(X ) 6= L&8Y : X Y ) Cn(Y ) = L.
maximal relativ konsistent genau dann, wenn
9A 2 L:A 2= Cn(X )&8Y : X Y ) A 2 Cn(Y ).
21
2. Monotone Logik
(L; Cn) wird absolut genannt genau dann, wenn jede maximal relativ konsistente Menge maximal konsistent ist.
Theorem 2.5.10 (Lindenbaums Lemma) Sei (L; Cn) ein deduktives System und X L eine konsistente Menge von Formeln, so da A 2= Cn(X ):
Dann existiert eine maximal relativ konsistente Menge Y X , so da
A 2= Cn(Y ):
Beweisidee. Sei A1; A2; :: eine Aufzahlung von L. Dann ist Y wie folgt
deniert:
X0 := X ,
(
k [ fAk+1 g
Xk+1 := X
Xk
Y
:=
S
k 2!
wenn A 2= Cn(Xk [ fAk+1 g) ,
wenn A 2 Cn(Xk [ fAk+1 g)
Xk .
Fur den vollstandigen Beweis sei auf [Rau79] und [Woj88] verwiesen.
2
Denition 2.5.11
Sei (L; Cn) ein
deduktives System. Dann heit das logi
(
L
(
;Cn)
L
;Cn)
sche System L; MLB ; j=LB , deniert vermoge
(L;Cn) :=fmaximal relativ konsistente Mengen des deduktiven Sy MLB
stems (L; Cn)g,
m j=(LBL;Cn) A genau dann, wenn A 2 m;
die
-Semantik von (L; Cn).
Theorem 2.5.12 Sei (L; Cn) ein deduktives System und (L; M; j=) die
-Semantik von (L; Cn). Dann gilt Cn(L;M;j=) = Cn.
Beweis. Sei A 2 Cn(X ): Dann ist A in allen maximalen relativ konsistenten
Erweiterungen von X enthalten und somit ist Mod(X ) Mod(A), also
A 2 Cn(L;M;j=)(X ).
Sei andererseits A 2= Cn(X ): Dann existiert eine maximal relativ konsistente Erweiterung m0 X von X , so da A 2= m0, das heit, m0 j= X und
Lindenbaum
Lindenbaum
2. Monotone Logik
22
m0 6j= A, also A 2= Cn(L;M;j=)(X ). 2
In diesem Begrisrahmen lassen sich autodistributive deduktive Systeme
topologisch charakterisieren. Die von gewissen Formelmengen X erzeugten
Modellmengen M = Mod(X ) werden als elementare Klassen bezeichnet.
Solche Klassen sind oensichtlich abgeschlossen bezuglich beliebigen Durchschnitten: sind Mi elementare Klassen, das heit, Tgibt es Mengen Xi , so
da
S
Mi = Mod(Xi ),Tdann ist leicht zu verizieren, da i Mod(Xi ) = Mod( i Xi )
und da damit i Mi eine elementare Klasse ist. Abgeschlossenheit der Klasse
aller elementaren Klassen bezuglich endlicher Vereinigung kann im allgemeinen nicht bewiesen werden, bei Vorliegen dieser Eigenschaft aber wird durch
(M; E ), wobei E 2M die Klasse elementarer Klassen bezeichnet, eine abgeschlossene Topologie deniert. Das rechtfertigt die folgende Begrisbildung.
Denition 2.5.13 Ein logisches System (L; M; j=) wird topologisch genannt
genau dann, wenn die Klasse aller elementaren Klassen in M abgeschlossen unter endlichen Vereinigung ist, das heit, wenn die folgende Bedingung
erfullt ist: 8X1; X2 L9Z L : Mod(X1 ) [ Mod(X2 ) = Mod(Z ).
Satz 2.5.14 Sei (L; Cn) ein deduktives System und (L; M; j=) die Lindenbaum-Semantik von (L; Cn). Dann sind die folgenden beiden Bedingungen
aquivalent:
1. (L; M; j=) ist topologisch.
2. (L; Cn) ist autodistributiv.
Beweis ()) Sei (L; M; j=) ein topologisches logisches System, M1 = Cn(X1 )
und M2 = Mod(X2 ) beliebige elementare Klassen in 2M und Z eine Formelmenge, so da Mod(X1 ) [ Mod(X2 ) = Mod(Z ) gilt. Wegen Mod(X ) =
Mod(Cn(X )) fur alle Mengen X L konnen Z; X1 und X2 als Theorien
vorausgesetzt werden. Wir zeigen Z = X1 \ X2 . Wegen Mod(Xi ) Mod(Z )
(i = 1; 2) gilt Z Xi und damit Z X1 \ X2 . Andererseits folgt aus
m 2 Mod(Z ) entweder m 2 Mod(X1 ) oder m 2 Mod(X2 ), in jedem Fall
m 2 Mod(X1 \ X2 ) und damit X1 \ X2 = Z .
Um Autodistributivitat zu zeigen, sei A 2 Cn(X1 [ Y ) \ Cn(X2 [ Y )
fur eine Formel A und eine Theorie Y . Voraussetzung und Distributivitat
von (\; [) implizieren Mod(Y [ Xi ) Mod(A), und damit Mod(Y [ Z ) =
23
2. Monotone Logik
Mod
(Y ) \ Mod(Z ) = Mod(Y ) \ ( i Mod(Xi )) = i (Mod(Y ) \ Mod(Xi )) =
S
i=1;2(Mod(Y [ Xi )) Mod(A). Es folgt A 2 Cn(Y [ Z ) = Cn(Y [ (X1 \
X2 )).
(() Sei nun (L;Cn) autodistributiv. Wir zeigen Mod(X1 ) [ Mod(X2 ) =
Mod(X1 \ X2 ). Die -Richtung ist dabei trivial. Angenommen, es existiert
ein m0 2 Mod(X1 \ X2 ), so da m0 2= Mod(X1 ) und m0 2= Mod(X2 ). Da wir
mit der Lindenbaum-Semantik arbeiten, existiert eine konsistente Theorie
Z , so da m0 = Mod(Z ), man setze einfach Z := m0 . Aus der Denition von
m0 folgt X1 \ X2 Z und Cn(Z [ X1 ) = Cn(Z [ X2 ) = L. Autodistributivitat liefert schlielich L = Cn(Z [ X1 ) \ Cn(Z [ X2 ) Cn(Z [ (X1 \ X2 )) =
Z; im Widerspruch zur Konsistenz von Z . 2
S
S
Beispiel 2.5.15 (Algebraische Semantik) Sei L := L(#1 ; ::; #n) eine
aussagenlogische Sprache und Q := fQi g, Qi := (Q; Q0; f1; ::; fn); eine Klasse
von Algebren der selben Signatur wie L, zusatzlich ausgestattet mit einer Untermenge der Tragermenge Q0 Q. Diese Algebren werden L-Algebren genannt, Elemente der Teilmenge Q0 heien ausgezeichnete Elemente. Weiter
werden Homomorphismen6 v : L ! Q von L in solch eine L0Algebra Interpretationen genannt. Dann kann ein logisches System (L; M,j=) wie folgt
deniert werden:
Elemente von M sind Paare (Q; v ), bestehend aus einer L-Algebra
Q := (Q; Q0; f1; ::; fn) und einer Interpretation v : L ! Q.
Die Relation j= ist deniert vermoge (Q; v ) j= A genau dann, wenn
v (A ) 2 Q 0 :
Wenn man etwa L := LCP L und Q := f(f1; 0g; f1g; f: ; f^ )g mit f: (s) :=
j1 0 sj und f^ (s1 ; s2) := min(s1; s2 ) betrachtet7, erhalt man das logische System der klassischen Aussagenlogik. Besteht Q := fQg nur aus einer Alge-
bra mit einer endlichen Tragermenge Q, wird das logische System mehrwertige Aussagenlogik genannt, die Elemente von Q heien dann Quasiwahrheitswerte. LQ bezeichnet eine aussagenlogische Sprache, die funktional vollstandig bezuglich Q ist, das heit, fur alle Funktionen f : Qn ! Q
6
Homomorphismen sind wie ublich durch die Bedingung v(#i (A1 ; ::; Aki ))
7
Die anderen Funktionen sind wie ublich deniert, etwa f_ (s1 ; s2 ) := f: (f^ ( f: (s1 );
fi (v(A1 ); ::; v(Aki )) fur alle i n deniert.
f: (s2 )).
:=
24
2. Monotone Logik
ist durch Iteration der Funktoren von LQ ein #f : LnQ ! LQ denierbar, so da fur alle Interpretationen die Beziehung (#f (A1; ::; An)) =
f (v (A1); ::; v (A2)) erfullt ist. Dabei ist LQ nicht eindeutig bestimmt, was aber
im weiteren unwichtig ist. (Ln ; Cnn) bezeichnet ein von einer n-elementigen
Algebra Q erzeugtes deduktives System.
Beispiel 2.5.16 (Kripke-Semantik) Ein Paar (W; R) wird Kripke-Frame
genannt genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
W 6= ; ist eine Menge von Welten.
R W 2 W ist eine Erreichbarkeitsrelation.
Ein Kripke-Modell (W; R; v ) besteht aus einem Kripke-Frame (W; R) und
einer Funktion v : W 2 L ! f1; 0g. Dann kann ein logisches System wie
folgt deniert werden:
M ist eine Klasse von
-Modellen.
Die Relation j= ist deniert vermoge (W; R; v ) j= A genau dann, wenn
v (w; A) = 1 fur alle w 2 W .
Kripke
Intuitionistische Aussagenlogik etwa kann auf diese Art und Weise wie
folgt semantisch deniert werden [Fi69]: M besteht genau aus den KripkeModellen, so da R reexiv und transitiv ist, und v respektiert die folgenden
Regeln:
(w; p) = 1&wRw0 ) v (w0; p) = 1 fur alle Atome p 2 Latom .
v (w; :A) = 1 , 8w0 : wRw0 ) v (w0 ; A) = 0:
v (w; A ^ B ) = 1 , v (w; A) = v (w; B ) = 1:
v (w; A _ B ) = 1 , v (w; A) = 1 oder v (w; B ) = 1:
v (w; A ! B ) = 1 , 8w0 : wRw0 ) (v (w0; A) = 1 ) v (w0; B ) = 1):
Beispiel 2.5.17 (Pradikatenlogik 1.Stufe) Sei LP L1 eine pradikatenlogische Sprache der Signatur := (Rel; F unct; Const; ). Ein pradikatenlogisches Modell ist eine Struktur m := (U; C; F; R; I ), die die folgenden
Bedingungen erfullt:
25
2. Monotone Logik
1. U ist eine Menge, die Universum genannt wird;
2. C U ist eine Menge von Elementen in U, so da fur alle c 2 Const
ein cU 2 C existiert;
3. F ist eine Menge von Funktionen auf U, so da fur alle f
(f ) = n eine Funktion fU : Un ! U, fU 2 F existiert;
2 F unct mit
4. R ist eine Menge von Relationen auf U, so da fur alle R 2 Rel mit
(R) = n eine Relation RU Un, RU 2 R existiert;
5. I : V ar ! U ist eine Funktion, welche die Variablen in U interpretiert
und vermoge der Regeln
I (c) := cU;
I (f (t1; ::; tn)) := fU(I (t1); ::; I (tn));
auf term( ) erweitert wird.
Erfullbarkeit einer Formel in einem Modell (U; C; F; R; I ) j= A ist dann wie
ublich deniert, fur die ausfuhrliche Denition sei auf [CK90] verwiesen.
Folgende Arten von Modellen (U; C; F; R; I ) sind von besonderem Interesse:
Endliche Modelle (U; C; F; R; I ) heit endlich genau dann, wenn U endlich ist.
Herbrand-Modelle (U; C; F; R; I ) heit Herbrand-Modell genau dann,
wenn die folgende Bedingungen erfullt sind:
1. U ist die kleinste Menge, so da Const U und wenn f
und ft1; ::; tng U, dann f (t1 ; ::; tn) 2 U,
2. fU := f;
3. cU := c:
2 F unct
U wird auch Herbrand-Universum genannt. Werden alle Variablen
einer pradikatenlogischen Formel durch Elemente des Herbrand-Universums ersetzt, so erhalt man eine variablenfreie Grundformel.
Kapitel 3
Inferenzframes
3.1 Motivation
Deduktive Operationen erweisen sich als ungeeignet, naturlichsprachliches
Schlieen zu beschreiben. Insbesondere wird dabei Monotonie verletzt, wie
folgendes klassisches Beispiel zeigt.
Beispiel 3.1.1 (Tweety) Betrachte folgende Schluregeln:
1. Vogel konnen normalerweise iegen.
2. Pinguine konnen nicht iegen.
Formal liegt hier also folgende Situation vor:
F liegt(a) 2 C (V ogel (a)),
F liegt(a) 2= C (V ogel (a); P inguin(a)).
Da es nicht Ziel dieser Arbeit ist, nichtmonotones Schlieen an sich zu verteidigen, sondern da uns vielmehr an der Analyse etablierter nichtmonotoner
Logiken gelegen ist, wird nur kurz und exemplarisch auf die Motivation und
Begrundung nichtmonotoner Logiken eingegangen. Die nachsten beiden Beispiele veranschaulichen, wie aus der Analyse naturlichsprachlichen Schlieens
Bedingungen gewonnen werden, die eine nichtmonotone Logik erfullen sollte.
Diese konnen dann umgekehrt dazu benutzt werden, Logiken im Baukastenprinzip durch Kombination solcher Bedingungen im Tarski-Stil zu denieren.
26
27
3. Inferenzframes
Beispiel 3.1.2 (Nixons diamond) Betrachte folgende Schluregeln:
1. Quaker sind normalerweise Pazisten.
2. Republikaner sind normalerweise keine Pazisten.
3.
Nixon
ist Republikaner und Quaker.
Hier scheint eine inkonsistente Situation vorzuliegen: Nixon ist, da Republikaner, kein Pazist und, da Quaker, gleichzeitig Pazist. Intuitiv ist
die Situation jedoch konsistent: die Gefahr der Inkonsistenz bedeutet gerade,
da keine normale Situation vorliegt, in der 1. und 2. gultige Schlufolgerungen sind. Das lat sich formal so fassen: eine Formelmenge ist inkonsistent
bezuglich nichtmonotonen Folgerns (C ist der nichtmonotone Operator), nur
dann wenn sie inkonsistent bezuglich streng logischen, also deduktiven, Folgerns (Cn steht fur die deduktive Operation, etwa klassische Aussagenlogik)
ist:
C (X ) = L impliziert Cn(X ) = L.
Das nachste Beispiel stammt von
[KLM90].
,
Kraus
Lehmann
und
Magidor
Beispiel 3.1.3 (Party) Betrachte folgende Schluregeln:
1. Wenn John an der Party teilnimmt, wird die Party gut sein.
2. Wenn Cathy an der Party teilnimmt, wird die Party gut sein.
3. Wenn John oder Cathy an der Party teilnehmen, wird die Party gut
sein.
Hier soll die Akzeptanz von 1. und 2. die Akzeptanz von 3. nach sich ziehen,
also es soll gelten:
C (A) \ C (B ) C (A _ B ).
3. Inferenzframes
28
3.2 Abstrakte nichtmonotone Logiken
Die Denition abstrakter nichtmonotoner Logiken durch Angabe einiger Axiome geht, nach Vorarbeiten von Gabbay [Gab85] und Makinson [Mak89],
auf Kraus, Lehmann und Magidor [KLM90] zuruck. Dieser Ansatz
berucksichtigt allerdings nur Inferenzrelationen und keine auf allen Formelmengen denierten Operationen, und bleibt damit auf nitare Operationen
beschrankt. Eine weitere Einschrankung besteht in der ausschlielichen Verwendung klassischer Logik als Basis der nichtmonotonen Systeme. Kraus,
Lehmann und Magidor haben in [KLM90] folgende Eigenschaften untersucht1:
Reexivitat A jA:

Linke logische Aquivalenz
` A1 $ A2&A1 jA3 ) A2 jA3:
Deduktive Abgeschlossenheit ` A1 ! A2&A3 jA1 ) A3 jA2:
Schnitt A1 ^ A2 jA3&A1 jA2 ) A1 jA3:
Schwache Monotonie A1 jA2&A1 jA3 ) A1 ^ A2 jA3:
Loop-Regel 2 A1 jA2 &::&An01 jAn&An jA1 ) A1 jAn:
Oder-Regel p jr&q jr ) p _ q jr:
S-Regel A1 ^ A2 jA3 ) A1 jA2 ! A3 :
Rationalitat A1j
=:A2 &A1j A3 ) A1 ^ A2j A3:
Mittels dieser Axiome konnen die Systeme C,CL und P wie folgt deniert
werden.

Schnitt, Deduktive AbgeschlosC Reexivitat, Linke logische Aquivalenz,
senheit, Schwache Monotonie.
CL C+Loop-Regel.
1
j ist das nichtmonotone Gegenstuck zu ` :
Hierbei ist Regel nicht etwa als Ableitungsregel zu verstehen, vielmehr handelt es sich
bei der Loop-, ebenso wie bei der Oder- und der S-Regel, um metasprachliche Regeln.
2
3. Inferenzframes
29
P C+Oder-Regel.
und Lehmann [FL94] haben die in [KLM90] eingefuhrten Begrie auf nichtnitare Operationen ubertragen und dabei die Denitionen von
Bezugen auf die Eigenschaften spezieller Logiken, wie etwa gewisser Funktoren, befreit. Wir demonstrieren dieses Verfahren am Beispiel der Oder-Regel.
Mittels Tarskis Denition (Denition 2.2.4) aussagenlogischer Funktoren lat sich die Oder-Regel wie folgt verallgemeinern:
Freund
1. p jr&q jr ) p _ q jr
Oder-Regel.
2. F (X [ fpg) \ F (X [ fq g) F (X [ fp _ q g)
Ersetzen der Inferenzrelation durch eine nitare Inferenzoperation.
3. C (X [ fpg) \ C (X [ fq g) C (X [ fp _ q g)
Ersetzen der nitaren durch eine auf allen Mengen denierte Inferenzoperation.
4. C (X [ fpg) \ C (X [ fq g) CCn(X [ fp _ q g)
Rechtsabsorption3.
5. C (X [ fpg) \ C (X [ fq g) C (Cn(X [ fpg) \ Cn(X [ fq g))
_ -Eigenschaft (Denition 2.2.4).
6. C (X [ Y ) \ C (X [ Z ) C (Cn(X [ Y ) \ Cn(X [ Z ))
Distributivitat.
Tabelle 3.1 gibt die Verallgemeinerungen der in [KLM90] eingefuhrten
Bedingungen gema Freund und Lehmann [FL94] wieder.
Dabei beziehen sich die meisten dieser Bedingungen sowohl auf eine Inferenzoperation C als auch auf eine deduktive Operation Cn. Deshalb sind,
sollen nichtmonotone Logiken auf der Basis beliebiger deduktiver Systeme
untersucht werden, stets Paare (Cn; C ), oder allgemeiner, Tripel (L; Cn; C )
zu betrachten.
3
Freund und Lehmann betrachten Rechtsabsorption als Minimalbedingung, die stets
erfullt sein mu. Dieses Vorgehen ist insbesondere bei der Betrachtung kumulativer Operationen gerechtfertigt, da Kumulativitat Rechtsabsorption impliziert.
30
3. Inferenzframes
Bedingung in [KLM90]
Reexivitat
Deduktive Abgeschlossenheit
Linke logische
Kongruenz
 quivalenz
A
Schwache Monotonie Schwache Monotonie
Bedingung
Reexivitat
Linksabsorption
Schnitt
Schnitt
Starke Kumulativitat
Starke Kumulativitat
Distributivitat
Oder-Regel
Rationalitat
Rationalitat
Konsistenzerhaltung
Deduktivitat
Konsistenzerhaltung
S-Regel
Allgemeine Denition
X C (X )
CnC (X ) C (X )
Cn(X ) = Cn(Y )
) C (X ) = C (Y )
X Y C (X )
) C (X ) C (Y )
X Y C (X )
) C (Y ) C (X )
X1 C (X2)&::&
XN C (X1) )
C (X1 ) = :: = C (XN )
C (X [ Y ) \ C (X [ Z ) C (Cn(X [ Y ) \ Cn(X [ Z ))
Cn(C (X ) [ Y ) 6= L
) C (X ) C (X [ Y )
C (X ) = L
) Cn(X ) = L
C (X [ Y ) Cn(X [ C (Y ))
Tabelle 3.1: Eigenschaften klassischer nichtmonotoner Logiken und ihre Verallgemeinerungen
3. Inferenzframes
31
Denition 3.2.1 (DH94) Ein Tripel (L; Cn; C ) wird Inferenzframe (engl.
inferential frame) genannt genau dann, wenn die folgenden Bedingungen
erfullt sind:
1. (L; Cn) ist ein deduktives System,
2. C : 2L ! 2L ist eine Inferenzoperation,
3. Cn C Supradeduktivitat.
C wird Inferenzoperation, Cn die Basis von C genannt. Gilt uberdies CnC =
CCn = C , so heit Cn deduktive Basis von C .
Denition 3.2.2 Ein Tripel (L; Cn; F ) wird nitarer Inferenzframe (engl.
nitary inferential frame) genannt genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. (L; Cn) ist ein deduktives System,
2. F : 2Lf ! 2L ist eine nitare Inferenzoperation,
3. 8X f
L : Cn(X ) F (X ) (endliche Supradeduktivitat).
Cn wird die Basis von F genannt. Gilt uberdies CnF = F und 8X; Y f
L : Cn(X ) = Cn(Y ) ) F (X ) = F (Y ), so heit Cn deduktive Basis von F .
Denition 3.2.3 Eine Inferenzoperation C : 2L ! 2L heit
schwach monoton genau dann, wenn
8X; Y L : X Y C (X ) ) C (X ) C (Y ):
kumulativ genau dann, wenn
8X; Y L : X Y C (X ) ) C (X ) = C (Y ):
stark kumulativ genau dann, wenn
8X1; ::; Xn L :X1 C (X2 )&::&Xn01 C (Xn )&
Xn C (X1 ) ) C (X1 ) = :: = C (Xn ):
Eine nitare Inferenzoperation F : 2Lf ! 2L heit
3. Inferenzframes
schwach monoton genau dann, wenn
8X; Y f L : X Y F (X ) ) F (X ) F (Y ):
kumulativ genau dann, wenn
8X; Y f L : X Y F (X ) ) F (X ) = F (Y ):
stark kumulativ genau dann, wenn
8X1; ::; Xn f L : X1 F (X2)&::&Xn01 F (Xn)&
Xn F (X1 ) ) F (X1 ) = :: = F (Xn):
32
Denition 3.2.4 Ein Inferenzframe (L; Cn; C ) heit
schwach monoton genau dann, wenn C schwach monoton ist.
kumulativ genau dann, wenn C kumulativ ist.
stark kumulativ genau dann, wenn C stark kumulativ ist.
linksabsorbierend genau dann, wenn 8X L : CnC (X ) C (X ):
rechtsabsorbierend genau dann, wenn
8X L : CCn(X ) = C (X ):
kongruent genau dann, wenn
8X; Y L : Cn(X ) = Cn(Y ) ) C (X ) = C (Y ):
vollabsorbierend genau dann, wenn (L; Cn; C ) kongruent und linksabsorbierend ist.
distributiv genau dann, wenn
8X; Y; Z L : C (X [ Y ) \ C (X [ Z ) C (X [ (Cn(Y ) \ Cn(Z )):
rational genau dann, wenn
8X; Y L : Cn(C (X ) [ Y ) 6= L ) C (X ) C (X [ Y ):
konsistenzerhaltend genau dann, wenn
8X L : C (X ) = L ) Cn(X ) = L:
3. Inferenzframes
33
deduktiv4 genau dann, wenn
8X; Y L : C (X [ Y ) Cn(X [ C (Y )):
Ein nitarer Inferenzframe (L; Cn; F ) heit
schwach monoton genau dann, wenn F schwach monoton ist.
kumulativ genau dann, wenn F kumulativ ist.
stark kumulativ genau dann, wenn F stark kumulativ ist.
linksabsorbierend genau dann, wenn
8X f L : CnF (X ) F (X ):
kongruent genau dann, wenn
8X; Y f L : Cn(X ) = Cn(Y ) ) F (X ) = F (Y ):
vollabsorbierend genau dann, wenn (L; Cn; F ) kongruent und
linksabsorbierend ist.
rational genau dann, wenn
8X; Y f L : Cn(F (X ) [ Y ) 6= L ) F (X ) F (X [ Y ):
konsistenzerhaltend genau dann, wenn
8X f L : F (X ) = L ) Cn(X ) = L:
deduktiv genau dann, wenn
8X; Y f L : F (X [ Y ) Cn(X [ F (Y )):
Die Bedingungen fur nitare Inferenzframes werden also einfach durch
Einschrankung der Quantikation auf endliche Mengen aus den entsprechenden Bedingungen fur Inferenzframes gewohnen. Im Falle von Rechtsabsorption und Distributivitat ist das allerdings unmoglich, da Cn(X ) beziehungsweise Cn(X [ Y ) \ Cn(X [ Z ) auch fur endliche Mengen X; Y; Z in der Regel
unendlich sind, und mithin F (Cn(X )) und F (Cn(X [ Y ) \ Cn(X [ Z )) nicht
deniert sind.
Zwischen diesen Bedingungen sind eine Reihe von Zusammenhangen bekannt:
4
Deduktiv, da die S-Regel besagt, da das Deduktionstheorem fur ! gilt.
3. Inferenzframes
34
Theorem 3.2.5 (FL94) Sei F := (L; Cn; C ) ein Inferenzframe. Dann gilt:
1. Kongruenz und Rechtsabsorption sind aquivalent.
2. Kumulativitat impliziert Links- und Rechtsabsorption.
3. Starke Kumulativititat impliziert Kumulativititat.
4. Distributivitat impliziert starke Kumulativititat.
5. Wenn (L; Cn) autodistributiv ist, dann impliziert Deduktivitat Distributivitat.
Das folgende Lemma wurde zuerst von Makinson [Mak89] angemerkt
und gibt eine zu Kumulativitat aquivalente Bedingung an.
Lemma 3.2.6 (Mak89) Eine Inferenzoperation C ist kumulativ genau dann,
wenn die folgende Bedingung erfullt ist: 8X; Y L : X C (Y )&Y C (X ) ) C (X ) = C (Y ).
3.3 Semantische Frames
3.3.1 Modelloperatoren und Modellselektoren
Die semantische Analyse nichtmonotonen Schlieens geht auf McCarthy
[McC80] zuruck, der vorschlug, fur den Inferenzproze nur (pradikatenlogische) Modelle zu betrachten, in denen gewisse Pradikate minimal interpretiert werden. So wird V ogel (x) so versucht zu interpretieren, da das Pradikat Abnormaler V ogel () auf kein Objekt (Element des Universums) zutrit.
Erst wenn solche Modelle nicht existieren, etwa wenn der Fakt :F liegt(a) in
der Datenbank enthalten ist, werden Modelle, in denen Abnormaler V ogel (a)
aufgewisse Objekte zutrit, betrachtet.
McCarthy's Ansatz der Auswahl intendierter Modelle durch eine Relation wurde von Shoham [Sh88], Makinson [Mak89] und Kraus, Lehmann und Magidor [KLM90] weiter ausgebaut. Weitere Verallgemeinerungen wurden von Lindstrom [Li91] und Herre [He91a] vorgeschlagen.
Modelle werden in diesen Ansatzen von Funktionen ausgewahlt, die nicht
unbedingt von Relationen erzeugt werden mussen. Dabei mu der Begri
3. Inferenzframes
35
des Modells einer Formelmenge vorliegen, das heit, da diese Auswahl auf
der Basis eines logischen Systems stattndet. Allerdings mu es sich nicht
um das logische System klassischer Aussagen- oder Pradikatenlogik handeln.
Das fuhrt auf die folgende allgemeine Denition.
Denition 3.3.1 (DH94) Eine Struktur (L; M; j=; 8) wird semantischer
Frame genannt genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt
sind:
1. (L; M; j=) ist ein kompaktes logisches System,
2. 8 : 2L ! 2M ist eine Funktion, welche die Bedingung 8(X ) Mod(X )
erfullt, 8 wird Modelloperator genannt.
Fur einen semantischen Frame SF := (L; M; j=; 8) werden die zwei Operationen CnSF ; CSF : 2L ! 2L wie folgt eingefuhrt:
CnSF (X ) := T h(Mod(X )):
CSF (X ) := T h(8(X )):
Lemma 3.3.2 Sei SF := (L; M; j=; 8) ein semantischer Frame. Dann ist
(L; CnSF ; CSF ) ein Inferenzframe.
Beweis. Trivial, 8(X ) Mod(X ) impliziert sofort Supradeduktivitat. 2
Beispiel 3.3.3 Die Auswahl gewisser intendierter Modelle tritt nicht nur im
alltaglichen Schlieen auf. So war man in der ersten Halfte des Jahrhunderts
der Ansicht, mit der Peano-Axiomatik (erster Stufe5 ) genau die naturlichen
Zahlen beschreiben zu konnen. Godels Unvollstandigkeitssatz impliziert die
Existenz von Formeln A, so da sich weder A noch :A aus den PeanoAxiomen ableiten lassen. Damit verfugen die Peano-Axiome uber Modelle,
die sich vom intendierten Modell, den naturlichen Zahlen m0 := (!; 0; N; =),
unterscheiden (nicht mit diesem isomorph sind). Insofern entspricht (semantisch deniertes) Schlieen uber naturlichen Zahlen genau dem Schlieen
mittels intendierter Modelle uber der durch die Peano-Axiome denierten
5
Das Induktionsaxiom sei durch ein Schema von Axiomen erster Stufe ersetzt.
3. Inferenzframes
36
deduktiven Operation6. Das
des folgenden seman
entspricht der Betrachtung
(0
;N;=)
tischen Frames SF ! := LP L1 ; M; j=; 8 :
L(0P L;N;1 =); M; j=
ist die Pradikatenlogik 1. Stufe mit Identitat. Die
Sprache enthalt zusatzlich ein Konstantensymbol 0 (\Null"), ein einstelliges Pradikatensymbol N (\Nachfolger"). M besteht aus allen
pradikatenlogischen Modellen, welche die Peano-Axiome erfullen.
8(X ) := Mod(X ) \ fm0 g.
Dabei ist m0 selbst keine elementare Klasse, das heit ModT h(m0 ) 6= m0.
Die Existenz solcher nicht mit m0 isomorphen Nichtstandardmodelle [Sk34]
folgt aus dem Satz von Lowenheim -Skolem (aufwarts). Der Unvollstandigkeitssatz von Godel kann dann wie folgt formuliert werden: fur SF ! gilt
CnSF ! < CSF ! , das heit, der durch SF ! erzeugt Inferenzframe ist nichttrivial. Zum Beweis setze X := ; und A eine der Godel-Formeln. Dann gilt
fA; :Ag \ CnSF ! (;) = ;, aber entweder A 2 CSF ! (;) oder :A 2 CSF ! (;).
Denition 3.3.4 Sei (L; M; j=) ein kompaktes logisches System. Eine Funktion 6 : Im(Mod) ! 2M , Im(Mod) := fM Mj9X L : M = Mod(X )g,
heit Modellselektor genau dann, wenn 6(M ) M fur alle M M gilt.
Aus 6(M ) M folgt dann sofort das folgende Lemma:
Lemma 3.3.5 Sei (L; M; j=) ein logisches System und 6 : Im(Mod) ! 2M
ein Modellselektor. Dann ist 86 (X ) := 6(Mod(X )) ein Modelloperator.
Denition 3.3.6 Ein semantischer Frame (L; M; j=; 8) heit distributiv
genau dann, wenn 8 vermoge 8(X ) := 6(Mod(X )) von einem Modellselektor 6 erzeugt ist und dieser fur alle M1 ; M2 2 Im(Mod) die Bedingung
6(M1 [ M2 ) 6(M1 ) [ 6(M2 ) erfullt.
6
In [CK90] \complete number theory" genannt im Unterschied zur Theorie der PeanoAxiome, die als \number theory" bezeichnet wird.
3. Inferenzframes
37
3.3.2 KLM-Modellstrukturen
Die KLM-Modellstrukturen7 bilden die wichtigste Teilklasse semantischer Frames. Die Untersuchung dieser Strukturen geht auf einen Ansatz von Shouck und wurde insbesondere durch Kraus, Lehmann und
ham [Sh88] zur
Magidor [KLM90] und Freund und Lehmann [FL94] weiter ausgebaut.
Denition 3.3.7 Sei M eine Menge, m 2 M eine Element aus M und
eine irreexive binare Relation auf M . m heit -minimal
genau dann, wenn 8m0 2 M : m0 6 m. Min (M ) M bezeichnet die
Menge aller -minimalen Element von M . Eine Teilmenge M 0 M heit
dicht in M bezuglich genau dann, wenn fur alle m 2 M ein m0 2 M 0
existiert, so da m0 m. M heit dicht bezuglich genau dann, wenn
Min (M ) dicht in M bezuglich ist.
M 2 M
Denition 3.3.8 Eine Struktur (L; M; j=; S ; l; ) heit KLM- Modellstruktur genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. (L; M; j=) ist ein kompaktes logisches System,
2.
S ist eine Menge, die Elemente von S werden Zustande (engl. states)
genannt,
3. l : S ! 2M ist eine Markierungsfunktion (engl. labeling function)
genannte Funktion, so da l(s) 6= ; fur alle s 2 S gilt,
4.
5.
S 2 S ist eine irreexive und antisymmetrische Relation auf S ;
die Mengen X^ := fs 2 Sj8m 2 l(s); A 2 X : m j= Ag sind dicht
bezuglich fur alle Mengen von Formeln X .
Gilt anstatt der letzten Bedingung Dichtheit nur fur X^f , wobei Xf eine endliche Menge ist, dann heit (L; M; j=; S ; l; ) nitare KLM-Modellstruktur.
In [KLM90] und [FL94] werden KLM-Modellstrukturen kumulative Modelle (cumulative models) genannt. In [DM92] wird der Begri KLM-model verwendet. Wir verwenden
den Begri KLM-Modellstruktur, um den Unterschied zu Modellen im Sinne von Kapitel
2 hervorzuheben.
7
38
3. Inferenzframes
, Lehmann und Magidor [KLM90] benutzen die Abkurzung
sjA fur 8m 2 l(s) : m j= A. Die Zustande entsprechen dabei etwa den Welten in modallogischen Kripke-Modellen. Mittels einer KLM-Modellstruktur
W lat sich folgende Inferenzoperation CW denieren:
Kraus
CW (X ) := fAjs jA fur jedes minimale s 2 X^ g:
Das entspricht der Betrachtung des folgenden Modelloperators (dabei bezeichnet min(X^ ) die Menge der 0minimalen Elemente in X^ ):
8W (X ) :=
S
s2min(X^ )
l (s)
Oensichtlich gilt dann CW (X ) = C8 (X ).
Im Hinblick auf die hinter der Begrisbildung stehenden Intuition sind
KLM-Modellstrukturen immer noch recht allgemein. Insbesondere erscheint
es sinnvoll zu fordern, da eine partielle Ordnung ist. Zwei weitere Klassen
von Modellstrukturen, die vollen und modularen Modellstrukturen, wurden
von Freund und Lehmann zur sematischen Analyse gewisser Klassen kumulativer Inferenzframes eingefuhrt.
W
Denition 3.3.9 (FL94) Eine KLM-Modellstrutur (L; M; j=; S ; l; ) heit
geordnet genau dann, wenn irreexiv und transitiv ist.
voll genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. (L; M; j=; S ; l; ) ist geordnet,
2. l(s) enthalt genau ein Element,
3. 8X L; m 2 M : m j= CW (X )&m 6j=
minimal in X^ und l(s) = m:
L ) 9s 2 S : s ist
modular genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. (L; M; j=; S ; l; ) ist voll,
2. 6 ist transitiv (Modularitatsbedingung).
3. Inferenzframes
39
3.3.3 MAK-Modellstrukturen
[Mak89] hat ahnliche Strukturen8 (L; S ; ; j) betrachtet, hier
wird j explizit angegeben und nicht uber das logische System (L; M; j=)
und eine Markierungsfunktion l deniert. Dabei bleibt die deduktive Basis unberucksichtigt, was dem Anliegen Makinson s in [Mak89] entspricht,
kumulative Inferenzoperationen semantisch zu charakterisieren - kumulative
Operationen konnen ohne Bezuge auf unterliegende deduktive Operationen
deniert werden. Entsprechend sind MAK-Modellstrukturen keine semantischen Frames, da kein logisches System9 mitbetrachtet wird.
Makinson
Denition 3.3.10 Eine Struktur W := (L; S ; ; j) heit MAK-Modellstruktur genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1.
2.
3.
4.
L ist eine logische Sprache,
S ist eine Menge von Zustanden,
S 2 S ist eine irreexive, antisymmetrische Relation auf S ;
die Mengen X^ := fs 2 SjsjAg sind dicht bezuglich :
Gilt anstatt der letzten Bedingung Dichtheit nur fur X^f , wobei Xf eine endliche Menge ist, dann heit W nitare MAK-Modellstruktur.
3.4 Standardsysteme

3.4.1 Uberblick
Um Schlufolgerungen der Form \Normalerweise konnen Vogel iegen" zu
beschreiben, sind seit den 80er Jahren eine Vielzahl nichtmonotoner Logiken
entwickelt wurden, die sich in zwei Typen einordnen lassen:
8
Dort praferentielle Modellstrukturen genannt. Zustande werden in [Mak89] als Welten,
j als j= bezeichnet.
In Kapitel 7 wird jedoch gezeigt, da eine MAK-Modellstruktur stets implizit ein
ausgezeichnetes, nichttriviales logisches System (die Semantik der groten deduktiven Basis der mit der MAK-Modellstruktur assoziierten Inferenzoperation) deniert. Insofern
konnen MAK-Modellstrukturen durchaus als semantische Frames angesehen werden.
9
3. Inferenzframes
40
Semantische Ansatze Es werden von allen Modellen einer Formelmenge
nur gewisse Teilmengen betrachtet und zur (semantischen) Schlufolgerung verwendet. Beispiel 3.1.1 etwa wird wie folgt behandelt: normalerweise wird semantisch als \gultig in allen normalen Modellen"
angesehen, Pinguine etwa verkorpern dann keine normalen Modelle.
Syntaktische Ansatze \Normalerweise" wird versucht, in der Objektsprache zu analysieren, etwa in folgender Form: \wenn es konsistent ist
anzunehmen, da Vogel iegen konnen, dann kann aus V ogel (a) geschlufolgert werden, da Fliegt (a ):".
Dabei wird \normalerweise" mittel des Konsistenzbegries prazisiert.
In der Theorie logischer Programme wird versucht, Beweisbarkeit (oder
genauer: Nichtbeweisbarkeit-negation as failure) als Funktor zu behandeln, Konsistenz und Beweisbarkeit sind dabei uber klassische Negation
verbunden; \nicht beweisbar, da p" entspricht \es ist konsistent anzunehmen, da :p".
Im weiteren rekonstruieren wir die Denitionen einiger Standardsysteme
als Inferenz- beziehungsweise semantische Frames.
3.4.2 Minimales Schlieen
Die Betrachtung semantisch denierter nichtmonotoner Logiken geht auf
uck. Er betrachtete zunachst minimales Schlieen
McCarthey [McC80] zur
in der Pradikatenlogik 1. Stufe. Das Prinzip der Betrachtung gewisser minimaler Modelle lat sich jedoch problemlos auf den aussagenlogischen Fall
ubertragen und fuhrt in letzter Konsequenz auf die kumulativen Modellstrukturen, welche eine allgemeine Semantik fur kumulative Logiken darstellen.
Diese Verallgemeinerungen wurden insbesondere von Shoham [Sh88] und
Kraus, Lehmann und Magidor [KLM90] vorgenommen.
Denition 3.4.1 Sei (LCP L ; M; j=) das logische System klassischer Aussagenlogik in seiner mengentheoretischen Reprasentation, das heit, Interpretationen v : Latom ! f1; 0g werden als Mengen v 01 (1) Latom betrachtet.
Dann konnen die Elemente von M mittels Mengeninklusion geordnet werden.
Sei Min(X ) die Menge aller minimalen Elemente in Mod(X ) bezuglich Mengeninklusion. Dann heit (LCP L ; CnCP L ; Cmin ), mit Cmin (X ) := T h(Min(X ));
minimales Schlieen uber klassischer Aussagenlogik.
3. Inferenzframes
41
Diese Denition lat sich leicht auf gewisse mehrwertige Logiken ubertragen.
Denition 3.4.2 Sei (LQ ; f(Q; v )g; j=) ein semantischer Frame mehrwertiger Aussagenlogik im Sinne von Denition 2.5.15, deniert durch die endliche
Algebra Q. Sei weiter R 2Q2Q eine Menge transitiver und antisymmetrischer Relationen auf der Tragermenge Q von Q und : Latom ! R eine
Funktion, die Atomen solche Relationen zuordnet. Dann ist die vermoge
(Q; v1) (Q; v2) genau dann, wenn
8p 2 Latom : (v1 (p); v2(p)) 2 (p):
(Q; v1) (Q; v2) genau dann, wenn
(Q; v1) (Q; v2) und v1 =
6 v2 :
denierte Relation f(Q; v )g 2 f(Q; v )g irreexiv, antisymmetrisch und
transitiv. Sei Min(X ) die Menge aller minimalen Elemente in Mod(X )
bezuglich , (LQ ; CnQ ) das durch (LQ ; f(Q; v )g; j=) erzeugte deduktive System und C die vermoge C(X ) := T h(Min(X )) denierte Operation.
Dann wird (LQ ; CnQ ; C) verallgemeinertes minimales Schlieen in mehrwertiger Logik genannt.
Diese Denition umfat einige interessante nichtmonotone Logiken.
Beispiel 3.4.3 Sei (LT HREE ; CnT HREE ) das deduktive System dreiwertiger
Aussagenlogik, Q := f1; 0; ug ist die Menge der Quasiwahrheitswerte, welche als \wahr", \falsch" und \unbestimmt" zu lesen sind, 1 ist der einzige
ausgezeichnete Wahrheitswert. Die Wahrheitswerte f1; 0; ug konnen dann
entweder nach ihrem Wahrheitsgehalt (truth order) geordnet werden, <t:=
f(0; u); (0; 1); (u; 1)g, oder aber nach ihrem Informationsgehalt (knowledge
order), <k := f(u; 0); (u; 1)g. Entsprechend lassen sich zwei Arten minimalen
Schlieens in 3-wertiger Logik unterscheiden, die von den minimalen Modellen bezuglich der jeweiligen Ordnung erzeugt werden, die entsprechenden
t
Frames
sind (LT HREE ; CnT HREE ; Cn
T HREE ) mit Ct (X ) := T h(Min<t (X ))
und LT HREE ; CnT HREE ; CnkT HREE mit Ck (X ) := T h(Min<k (X )).
Ein weiteres Beispiel liefert der Doppelverband (engl. bilattice) FOUR.
Q besteht aus den vier Quasiwahrheitswerten 1; 0; ?; >; einziger ausgezeichneter Wahrheitswert ist 1. Sei (LFOUR ,CnFOUR ) das durch (f1; 0; ?; >g; f1g)
42
3. Inferenzframes
<k
6
0
T HREE
AA
A
AA 11
A1
<k
1
11 1
FOUR
>
6
0
u
00@@
0
@@ @
0
0
@0
-
<t
?
1
-
<t
Abbildung 3.1: Wahrheitswert-Ordnungen in 3- und 4-wertiger Aussagenlogik
denierte deduktive System, wobei LFOUR eine aussagenlogische Sprache ist,
ausdrucksreich genug, um funktionale Vollstandigkeit von (LFOUR ,CnFOUR )
abzusichern. Dann lassen sich wieder die zwei Ordnungen <t und <k denieren vermoge
<t:= f(0; ?); (0; >); (0; 1); (?; 1); (>; 1)g.
<k := f(?; 0); (?; 1); (?; >); (0; >); (1; >)g :
Damit lassen sich, in Analogie zur dreiwertigen Logik, die beiden Inferenzk
t
) denieren.
) und (LFOUR ,CnFOUR ; CFOUR
frames (LFOUR ,CnFOUR ; CFOUR
Abbildung 3.1 zeigt die beiden Wahrheitswertstrukturen.
3.4.3 Defaultlogik
Eine der prominentesten nichtmonotonen Logiken geht auf Reiter [Rei80]
zuruck. Reiters Ansatz basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Ableitungsregeln, sogenannter Default-Regeln A:J1B;::;Jn ; bestehend aus:
einer Pramisse A,
einer Menge von Rechtfertigungen (engl. justications) fJ1 ; ::; Jng und
einer Konklusion B .
43
3. Inferenzframes
Wir denieren Defaultlogik hier quasi-induktiv, ein Theorem
[Rei80, Theorem 2.1] ausnutzend.
Reiter
s
Denition 3.4.4 Sei (L; Cn) ein deduktives System mit klassischer Negation : und D eine Menge von Default-Regeln. Dann heit eineMenge
E
L ! exiReiter-Extension von X genau dann, wenn eine Folge fEi g 2 2
stiert, so da die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. E1 = X;
2. Ek+1 := Cn(Ek ) [ fB j9 A:J1B;::;Jn
3. E :=
S
2 D : A 2 Ek &8j n : :Jj 2= E g;
i2! Ei :
Mittels der Menge aller Reiter-Extensionen e(X ) lassen sich die zwei
Inferenzoperationen CDskept und CDchoice wie folgt denieren:
CDskept(X ) := T e(X ):
CDchoice(X ) := S e(X ):
Diese zwei Denitionen spiegeln zwei mogliche Interpretationen von Reiters Extensionen wider:
1. In der skeptischen Interpretation entsprechen die Extensionen gewissen
Mengen von intendierten Modellen von X . A 2 E wirdSals E j= A gelesen, ein Modellselektor ist vermoge 6D (Mod(X )) := E 2e(X ) Mod(E )
deniert. Damit gilt:
S
C6 (X ) := T h(6D (Mod(X ))) = T h E 2e(X ) Mod(E ) =
D
T
E 2e(X ) (T h (Mod(E )))
=
T
E 2e(X ) Cn(E ) =
CDskept (X ).
2. In der zweiten Interpretation werden Extensionen als mogliche Ableitungen angesehen. Die zur Erzeugung einer Extension E verwendeten
Regeln R bilden R0Beweise der Formeln A 2 E , eine Formel ist in
CDchoice(X ), wenn sie solch einen Beweis besitzt, also in einer Extension
enthalten ist.
44
3. Inferenzframes
Die Beschrankung auf eine Pramisse in der Denition der Default-Regeln
spiegelt die Abhangigkeit von Reiters Denition von speziellen Eigenschaften klassischer Logik wider: Default-Regeln der Form A1 ;::;AmB:J1;::;Jn mit mehreren Pramissen werden einfach mittels Konjunktion in A1^::^ABm:J1;::;Jn umgeformt.
Denition 3.4.4 lat sich einfach so modizieren, da Defaultlogik uber
beliebigen deduktiven Systemen denierbar sind: verallgemeinerte DefaultRegeln konnen im Unterschied zu Default-Regeln mehrere (aber endlich viele)
Pramissen enthalten, haben also die Form A1 ;::;AmB:J1 ;::;Jn . Der Bezug auf die
Negation kann entfernt werden, wenn in Denition 3.4.4 Punkt 2. durch die
Bedingung
Ek+1 := Cn(Ek )[fB j9 A1;::;AmB:J1 ;::;Jn
n : Cn(fJi g [ E ) 6= Lg
2 D : fA1 ; ::; Amg Ek &8i ersetzt wird. Fur den Fall, da (L; Cn) uber Konjunktion und intuitionistische Negation10 verfugt, entspricht diese Verallgemeinerung oensichtlich der
ursprunglichen Denition 3.4.4, da dann gema Denition 2.2.4 insbesondere
Cn(fJj g [ E ) 6= L genau dann, wenn :Jj 2= Cn(E ) gilt.
Makinson [Mak89] hat gezeigt, da sich Defaultlogik relativ schwach
bezuglich wunschenswerter abstrakter Eigenschaften verhalt: CDchoice erfullt
weder schwache Kumulativitat noch Schnitt, CDskept (X ) erfullt nur Schnitt,
aber nicht schwache Kumulativitat.
Die Idee, nichtmonotone Inferenzoperationen als Durchschnitt gewisser
Mengen zu denieren, ist weit verbreitet11. Diese Mengen konnen als Glaubensmengen (engl. belief sets) interpretiert werden. Marek, Treur und
ski [MTT95] haben eine Reihe von Resultaten bewiesen, die
Truszczyn
zeigen, da sich Defaultlogik zur Modellierung recht allgemeiner Glaubensmengen eignet.
3.4.4
Poole-Systeme
Ein alternativer Ansatz, Defaults zu behandeln und dabei einige in der Defaultlogik auftretende Probleme wie Nichtkumulativitat zu beseitigen, geht
Die Negation klassischer Aussagenlogik ist insbesondere auch eine intuitionistische
Negation im Sinne von Denition 2.2.4.
11
Makinson [Mak93] nennt diese Mengenfamilien extension families .
10
45
3. Inferenzframes
auf Poole [Po88] zuruck. Es zeigt sich insbesondere, da die von ihm eingefuhrten Systeme sich wesentlich regularer im Bezug auf abstrakten Eigenschaften wie Kumulativitat verhalten.
Denition 3.4.5 Sei (L; Cn) ein deduktives System, D; K L Mengen von
Formeln, deren Elemente
Defaults beziehungsweise Constraints genannt werT Cn
L
Cn
den, und C(K;D)(X ) := e(K;D)(X ), wobei die Elemente von eCn
(K;D)(X ) 2
Cn
Poole -Extensionen von X heien und wie folgt deniert ist: E 2 e(K;D ) (X )
genau dann, wenn E = Cn(X [ ) und D ist maximal (bezuglich Mengeninklusion) in D, so da die Menge X [ [ K konsistent ist. Dann heit
das Tripel (L; Cn; C(Cn
ber (L; Cn). Ein Poole-System
K;D)) Poole -System u
heit endlich genau dann, wenn D endlich ist.
Wenn Cn aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, werden wir kurz C(K;D)
fur C(Cn
K;D) schreiben. Die folgenden Resultate beschreiben das Verhalten von
uglich abstrakter Eigenschaften.
Poole -Systemen bez
Theorem 3.4.6 (Mak94) Sei P := (L; Cn; C(K;D)) ein Poole-System.
1. Wenn (L; Cn) eine Kontradiktion hat, dann ist
P stark kumulativ.
2. Wenn K = ; gilt, dann ist P konsistenzerhaltend.
3. Wenn K = ; gilt, (L; Cn) eine Kontradiktion hat und autodistributiv
ist, dann ist P distributiv.
Theorem 3.4.7 (FL94) Sei P := (L; Cn; C(;;D)) ein endliches PooleSystem ohne Constraints. Wenn (L; Cn) eine Kontradiktion hat und autodistributiv ist, dann ist P deduktiv.
Dix [Dix92] hat gezeigt, da sich Poole -Systeme in Defaultlogik u
bersetzen lassen, einem Poole-System (L; Cn; C(K;D)) wird dabei die Menge
von Defaults
D :=
:d^
V
A2K A
d
3. Inferenzframes
46
zugeordnet. Dann gilt C(K;D) = CD . Dabei ist zu beachten, da in Reiters
Denition nur endlich viele Rechtfertigungen in Default-Regeln zugelassen
 bersetzung nur fur Poole-Systeme mit einer endlisind. Damit ist diese U
chen Menge von Constraints moglich.
Weiterhin besteht ein enger Zusammenhang zwischen verallgemeinertem
minimalen Schlieen und Poole-Systemen. Sei (LCP L ; CnCP L ,C(;;L)) ein
Poole -System ohne Constraints und mit einer Menge L Llit von Literalen
als Defaults. Dann lat sich eine Funktion L : Latom ! f<; >; =g wie folgt
denieren: 8
>
< < wenn :p 2 L
L (p) := > > wenn p 2 L :
:
= sonst
Satz 3.4.8 Sei (LCP L ; CnCP L ; C(;;L)) ein Poole-System ohne Constraints
und mit einer Menge von Literalen als Defaults. Dann gilt C(;;L) = CL .
Beweis ()) Sei A 2 C(;;L)(X ) gegeben. Angenommen, A 2= CL (X ). Dann
existiert ein minimales Modell m0 2 Min(X ), so da m0 6j= A. Damit ist
CnCP L (X [ 0) 6= LCP L , 0 := fpjm0 (p) = 1g [ f:pjm0 (p) = 0g : Wegen
A 2 C(;;L)(X ) ist CnCP L (X [ 0) keine Poole-Extension von X , also existiert
eine Menge 1, so da 0 1 L und CnCP L (X [ 1) 6= LCP L gilt. Damit
existiert ein m1 2 Mod(X ), das die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
1. p 2 1 ) m1(p) = 1;
2. :p 2 1 ) m1 (p) = 0:
Laut Denition von L gilt dann allerdings m1 m0, im Widerspruch zur
Minimalitat von m0.
(() Sei A 2 CL (X ) vorausgesetzt. Angenommen, A 2= C(;;L)(X ). Dann existiert eine Poole-Extension CnCP L (X [ 0 ) 6= LCP L , so da A 2= CnCP L (X [
0). Damit existiert eine Modell m0 2 Mod(X ), so da die folgenden beiden
Bedingungen erfullt sind:
1. p 2 0 ) m0 (p) = 1;
2. :p 2 0 ) m0 (p) = 0;
3. m0 6j= A:
47
3. Inferenzframes
Wegen A 2 CL (X ) ist m0 nicht minimal, das heit, es existiert ein
m1 L m0, so da m1 2 MinL (X ) und m1 j= A. Laut Denition von
L ist dann 1 := fp 2 Ljm1(p) = 1g [ f:p 2 Ljm1(p) = 0g eine PooleExtension von X , so da 1 0, im Widerspruch zur Maximalitat von 0.
2
3.4.5 Logische Programme mit Negation
Denition 3.4.9 Sei L eine Sprache. Eine L0Klausel h p1 ; ::; pm; 0q1; ::;
0qn ist ein Element aus L2 2Lf 2 2Lf . h wird Kopf und (p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn)
Korper der Klausel genannt.
Eine L0Klausel heit denit genau dann, wenn n = 0. Ein normales
logisches Programm uber L (kurz Programm genannt) ist eine Menge von
L0Klauseln. Ein Programm heit denit genau dann, wenn es nur aus deniten L0Klauseln besteht.
Dabei wird L meistens als die Menge oener (das heit, quantorenfreier)
pradikatenlogischer Formeln gesetzt. Ersetzt man die Variablen durch Elemente des Herbrand-Universums, konnen die entstehenden Klauseln als
(aussagenlogische) Latom 0Klauseln angesehen werden. So wird etwa aus dem
(endlichen) pradikatenlogischen Programm (die Signatur von L enthalt eine
Konstante c und je ein ein- und zweistelliges Funktionensymbol f; g):
R(x; y )
S (x )
S (z );
0R(y; z )
durch Ersetzen der Variablen das (unendliche) aussagenlogische Programm
R(c; c) S (c);
R(c; f (c)) S (g(f (c); c));
..
.
S (c) 0R(c; c);
S (f (g(f (c); c)))
..
.
0R(f (c); f (f (c)))
3. Inferenzframes
48
Im weiteren werden wir stets aussagenlogische Programme betrachten.
Eine Programmklausel h p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn ist zu lesen als: \Wenn
p1 ; ::; pm bewiesen sind und q1 ; ::; qn konnen nicht bewiesen werden, dann gilt
h als bewiesen.". Damit lat sich Beispiel 3.1.1 wie folgt formulieren:
F liegt(a) V ogel (a); 0P inguin(a).
Im Fall X := fV ogel (a)g, ist P inguin(a) nicht beweisbar und damit
kann F liegt(a) abgeleitet werden, F liegt(a) 2 C (V ogel (a)). Wird X um
P inguin(a) erweitert, kann die Klausel nicht mehr angewendet werden und
Nichtmonotonie tritt in Erscheinung:
F liegt(a) 2= C (V ogel (a); P inguin(a)).
Denite Klauseln konnen als normale Ableitungsregeln betrachtet werden
und sollten von jeder Interpretation eines logischen Programmes so behandelt werden. P + P bezeichnet die Menge aller deniten Klauseln eines
logischen Programmes P und CnP + die von P + denierte deduktive Operation.
Denition 3.4.10 Sei P (L) eine Klasse logischer Programme uber L und
IF (L) die Klasse aller Inferenzframes (L; Cn; C ). Eine Funktion I : P (L) !
IF (L) wird dann Interpretation genannt genau dann, wenn fur alle P 2
P (L); I (P ) = (L; Cn; C ); gilt CnP + Cn. Wenn Condition eine Eigenschaft von Inferenzframes ist, sagt man, da I Condition erfullt genau dann,
wenn I (P ) Condition erfullt fur alle P 2 P (L).
Normale Programme lassen zwei grundsatzlich unterschiedliche Sichtweisen zu:
Klauseln als Formeln Klauseln werden als Formeln p1 ^ :: ^ pm ^:q1 ^ :: ^
:qn ! h interpretiert. Eine Interpetation entspricht dann einer Inferenzoperation, die Programmen gewisse Mengen von Formeln zuordnet.
Damit wird insbesondere versucht, den metalogischen Charakter von logisch zu beschreiben.
m mit einem gewisKlauseln als Regeln Klauseln werden als Regeln p1 ;::;p
h
sen Zusatz fq1; ::; qng, der ihre Anwendbarkeit einschrankt, behandelt.
Dabei wird - streng metalogisch aufgefat. Jedes einzelne Programm
enthalt eine Inferenzoperation, die ihm durch eine Interpretation (oft
Semantik genannt) zugewiesen wird.
3. Inferenzframes
49
Wir favorisieren hier die zweite Auassung, einige Argumente gegen die
erste Sichtweise nden sich am Ende von Kapitel 6. In Kapitel 7 wird dargestellt, da sich in der zweiten Betrachtungsart logische Programme als Spezialfall von Regelsystemen erweisen, die eine Art allgemeine Axiomatisierung
nichtmonotoner Logiken darstellen.
Die wichtigsten Interpretationen bilden die stabile Modelle-Semantik STABLE (engl. stable model semantics) von Gelfond und Lifschitz [GL88]
und die wohlfundierte Semantik WF von van Gelder, Ross und Schlipf
[vGRS91]. Dabei wird versucht, die kanonische Denition von CnR in monotoner Logik auf Klauselmengen zu ubertragen. Dabei kann man von verschiedenen aquivalenten Denitionen von CnR ausgehen und gelangt dann zu
unterschiedlichen Interpretationen logischer Programme. STABLE kann etwa
als Verallgemeinerung von 2.4.2 angesehen werden, wahrend sich WF mehr an
Denition 2.4.1 orientiert.
Dix [Dix91] hat diese und verwandte Interpretationen hinsichtlich abstrakter Eigenschaften nichtmonotoner Inferenzoperationen analysiert und
dabei etwa die Kumulativitat der wohlfundierten Semantik bewiesen. Der
von Dix dabei benutzte Begri der lokalen Kumulativitat entspricht dabei in
der hier vorgestellten Betrachtungsweise Kumulativitat: logische Programme
werden nicht etwa als Formeln betrachtet, denen durch eine Semantik eine andere Formelmenge zugeordnet wird, vielmehr wird dem Programm eine Inferenzoperation zugeordnet, die dann auf Mengen von Atomen operiert. Diese
Menge ist allerdings auch im Programm enthalten: Klauseln ohne Korper
(m = n = 0) konnen als Formeln gelesen werden. Mit anderen Worten, ein
logisches Programm besteht aus zwei Komponenten12, aus Daten XP (gewisse Mengen von Klauseln ohne Korper) und aus einer Inferenzkomponente
R(P )(alle anderen Klauseln, eventuell auch Klauseln ohne Korper). Die Interpretation liefert dann CR(P )(XP ) und Kumulativitat ist deniert vermoge
XP Y CR(P )(XP ) ) CR(P ) (XP ) = CR(P ) (Y ).
Denition 3.4.11 (vGRS91) Sei P ein logisches Programm uber Latom
und eine partielle Interpretation : Latom ! f1; u; 0g. Eine Menge X Latom heit unfundiert bezuglich genau dann, wenn fur jede Klausel h
p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn 2 P , deren Kopf in X enthalten ist, mindestens eine
der folgenden Bedingungen erfullt ist:
12
Reiter
database.
[Rei78] nennt diese zwei Komponenten extensional database und intensional
50
3. Inferenzframes
1. 9i m : (pi ) = 0;
2. 9j n : (qj ) = 1;
3. 9i m : pi 2 X:
Sei U () die Menge aller bezuglich unfundierten Mengen. Dann sind die
Mengen UP (),TP () Latom und der Operator WP , der partiellen Interpretationen partielle Interpretationen zuordnet, deniert vermoge:
UP () := S U ():
TP () := fhj9h p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn : 8i m : (pi ) = 1&8j n :
(qj ) = 0g:
8
>
< 1 wenn p 2TP ()
WP ()(p) := >: 0 wenn p 2UP () :
u sonst
Dann ist das wohlfundierte Modell WF von P wie folgt deniert:
o(p) := u fur alle p 2 Latom:
+1 := WP () fur Nachfolgerzahlen .
8
>
< 1 wenn 9 < : (p) = 1
:= >: 0 wenn 9 < : (p) = 0
u sonst
8
>
<
WF := >:
1 wenn
0 wenn
u sonst
fur Limeszahlen :
9 : (p) = 1
9 : (p) = 0 :
CRWF(P )(XP ) := fpjWF (p) = 1g:
Denition 3.4.12 (GL88) Sei P ein logisches Programm uber Latom und
S Latom eine Menge von Atomen. Dann ist das Programm P S wie folgt
deniert: P S entsteht aus P durch
1. Streichen aller Klauseln h
existiert mit qj 2 S;
p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn, so da ein j
n
3. Inferenzframes
51
2. Ersetzen aller verbleibenden Klauseln h p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn durch
h p1 ; ::; pm:
Dann ist P S ein denites Programm und mithin ist CnR(P S ) wohldeniert.
S heit Antwortmenge (engl. answer set) von P genau dann, wenn S =
CnR(P S )(XP S ) gilt. A(P ) bezeichnet die Menge aller Antwortmengen von P .
Latom ! 2Latom ist dann wie folgt deniert:
Die Inferenzoperation CRSTABLE
(P ) : 2
CRSTABLE
(P ) (XP ) := fpj8 S 2 A(P ) : p 2 S g.
Dabei gibt es Programme, fur die keine Antwortmengen existieren 13, in
STABLE
diesem Fall ist XP inkonsistent bezuglich CRSTABLE
(P ) , also CR(P ) (XP ) = Latom .
Insbesondere im Hinblick auf die Verwendung logischer Programme fur
die Wissensreprasentation sind eine Reihe von Erweiterungen normaler logischer Programme untersucht wurden. Eine dieser Verallgemeinerungen14
betrit die Ersetzung von Atomen durch Literale15, solche Programme werden erweiterte logische Programme genannt. Entsprechend ordnet dann eine
Interpretation einem logischen Programm eine Inferenzoperation C : 2Llit !
2Llit zu. Die Denition von STABLE lat sich unmittelbar auf diese Klasse
von Programmen ubertragen, wenn man einfach Atome in der Denition von
STABLE durch Literale ersetzt. Da sich die Antwortmengen fur logische Programme als Mengen von Atomen als Modelle klassischer Aussagenlogik interpretiert werden konnen, betrachtet man die Mengen von Literalen, welche als
die Antwortmengen eines erweiterten Programmes bilden, oft als 3-wertige
Modelle, indem man wie folgt deniert:
8
>
< 1 wenn p 2 S
vS (p) := > 0 wenn :p 2 S
:
u wenn fp; :pg \ S = ;
 hnlichkeiten zu Reiters DeDie Denition von STABLE weit auallige A
faultlogik auf, tatsachlich kann man leicht zeigen (fur einen ausfuhrlichen
Beweis siehe Marek und Truszczynski [MT93]), da die Antwortmengen
genau denn Reiter-Extensionen der Menge von Defaults
o
dl(P ) := p1;::;pn::hq1;::;:qm jh p1 ; ::; pn; 0q1; ::; 0qm 2 P
entsprechen.
Etwa P := fp 0q ; q 0r; r 0pg.
Siehe etwa Gelfond und Lifschitz [GL90] und Wagner [Wag91].
15
Die in negativen Literalen vorkommende Negation wird dabei im Unterschied zu - mit
: bezeichnet.
13
14
Kapitel 4
Repr
asentationssatze
4.1 Inferenzframes und semantische Frames
Es besteht ein naturlicher Zusammenhang zwischen semantischen Frames
und Inferenzframes. Einerseits werden durch semantische Frames in naturlicher Weise Inferenzframes deniert. Andererseits entsteht das Problem, welche Inferenzframes sich durch bestimmte semantische Frames denieren lassen. Mittels der folgenden Begrie lassen sich Klassen von semantischen mit
Klassen von Inferenzframes zur Klarung solcher Fragen vergleichen.
Denition 4.1.1 Sei S eine Klasse semantischer Frames und F eine Klasse
von Inferenzframe. F heit
reprasentierbar in S genau dann, wenn
F f(L; CnSF ; CSF )jSF 2 Sg .
adaquat fur S genau dann, wenn
F = f(L; CnSF ; CSF )jSF 2 Sg.
Satz 4.1.2 Die Klasse Fla aller linksabsorbierenden Inferenzframes ist adaquat fur die Klasse S aller semantischen Frames.
Beweis. Sei IF := (L; Cn; C ) ein linksabsorbierender Inferenzframe. Dann
wird ein semantischer Frame SF := (L; M; j=; 8) wie folgt deniert:
(L; M; j=) ist die
Lindenbaum
-Semantik von (L; Cn):
52
53
atze
4. Repr
asentationss
8(X ) := fmjC (X ) mg:
Sei A 2 C (X ) und m 2 8(X ), also C (X ) m, damit A 2 m und
m j= A, also C (X ) CSF (X ). Sei andererseits A 2= C (X ). Dann gibt es
gema Lindenbaums Lemma ein m 2 M, so da C (X ) m und A 2= m,
also m j= X und m 6j= A und damit A 2= CSF (X ).
Sei andererseits ein semantischer Frame SF := (L; M; j=; 8) vorgegeben.
Supradeduktivitat von (L; CnSF ; CSF ) folgt aus Lemma 3.3.2, Linksabsorption aus Lemma 2.5.3: CnSF CSF (X ) = T h(Mod(T h(8(X )))) = T h(8(X )) =
CSF (X ). Damit ist (L; Cn(L;M;j=) ; C8) ein linksabsorbierender Inferenzframe.
2
Satz 4.1.3 Sei (L; M; j=) ist ein kompaktes logisches System und sei weiter
6 : Im(Mod) ! 2M ein Modellselektor, 86 (X ) := 6(Mod(X )). Dann ist
86 ein Modelloperator und (L; Cn(L;M;j=;86 ) ; C(L;M;j=;86 )) ein vollabsorbierender Inferenzframe.
Beweis. Supradeduktivitat und Linksabsorption folgen aus Lemma 3.3.5
und Theorem 4.1.2. Um Rechtsabsorption zu zeigen, seien X; Y Mengen, so
da Cn(X ) = Cn(Y ). Dann folgt aus Lemma 2.5.3 Mod(X ) = Mod(Y ) und
damit 6(Mod(X )) = 6(Mod(Y )) und schlielich C (X ) = C (Y ). 2
Satz 4.1.4 (Li91) Die Klasse Fva aller vollabsorbierenden Inferenzframes
ist reprasentierbar in der Klasse S6 aller semantischen Frames, bei denen
der Modelloperator durch einen Modellselektor erzeugt wird.
Beweis. Sei (L; Cn; C ) ein vollabsorbierender Inferenzframe. Dann wird ein
semantischer Frame SF := (L; M; j=; 86) wie folgt deniert:
(L; M; j=) ist die
6(M ) := Mod(C (T h(M ))):
Lindenbaum
-Semantik von (L; Cn):
Dann gilt:
CSF (X ) = T h(Mod(C (T h(Mod(X ))))) = Cn(C (Cn(X ))) = C (X ).
2
Aus den letzten beiden Theoremen ergibt sich dann sofort folgendes Korollar:
54
atze
4. Repr
asentationss
Korollar 4.1.5 Die Klasse Fva aller vollabsorbierenden Inferenzframes ist
adaquat fur die Klasse S6 aller semantischen Frames, bei denen der Modelloperator durch einen Modellselektor erzeugt wird.
4.2 Reprasentation kumulativer Frames
4.2.1 Die Semantik kumulativer Inferenzframes
und Lehmann [FL94] haben einen engen Zusammenhang zwischen
kumulativen Inferenzframes und KLM-Modellstrukturen gezeigt. Eine Reihe
verwandter Resultate nden sich bei Makinson [Mak89] und Kraus, Lehmann , Magidor [KLM90]. Um die Beweismethoden zu demonstrieren, werden die Beweise der Theoreme 4.2.1 und 4.2.3 hier ausfuhrlich dargestellt.
Freund
Theorem 4.2.1 (FL94) Sei W := (L; M; j=; S ; l; ) eine KLM-Modellstruktur. Dann ist das Tripel (L; CnW ; CW ) ein kumulativer Inferenzframe.
Beweis. Supradeduktivitat folgt aus 8W (X ) Mod(X ). Um Kumulativitat zu zeigen, betrachte zwei Mengen X ,Y , so da X CW (Y ) und Y CW (X ). Angenommen, es existiert ein A mit A 2 CW (X ), aber A 2= CW (Y ).
Dann existiert ein Zustand s 2 min(Y^ ), so da sj=A. Aus sjCW (Y ) folgt
dann s 2 X^ . Da X^ dicht ist, existiert ein Zustand s0 2 min(X^ ), s0jA und
s0 s. Dann ist s0jCW (X ) und Y CW (X ) impliziert s0 2 Y^ . Das steht
im Widerspruch zur Minimalitat von s. Damit ist CW (X ) CW (Y ) gezeigt,
die Gegenrichtung CW (X ) CW (Y ) folgt sofort aufgrund der Symmetrie
der Voraussetzungen bezuglich X und Y . Aus Lemma 3.2.6 folgt schlielich
die Kumulativitat. 2
Denition 4.2.2 Sei (L; Cn; C ) ein kumulativer Inferenzframe. Dann ist
die kanonische KLM-Modellstruktur (L; S ; ; j) von (L; Cn; C ) wie folgt
deniert:
(L; M; j=) ist die
S := fC (X )jX Lg :
Lindenbaum
-Semantik von (L; Cn):
atze
4. Repr
asentationss
55
C (X ) C (Y ) genau dann, wenn
9X 0 L : C (X ) = C (X 0 )&X 0 C (Y )&C (X ) 6= C (Y ):
l(C (X )) := fmjC (X ) mg:
Die kanonische KLM-Modellstruktur ist dabei in der Tat eine KLM-Modellstruktur, insbesondere ist C (X ) das minimale Element in der Menge X^ ,
die damit dicht ist.
Theorem 4.2.3 (FL94) Die Klasse Fkum aller kumulativen Inferenzframes
ist adaquat fur die Klasse SKLM aller semantischen Frames, bei denen der
Modelloperator durch eine KLM-Modellstruktur erzeugt wird.
Beweis. Sei (L; Cn; C ) ein kumulativer Inferenzframe und sei weiter W :=
(L; M; j=; S; l; ) die kanonische KLM-Modellstruktur von (L; Cn; C ).
Dann gilt laut Theorem 2.5.12 (L; Cn) = (L; CnW ). Weiterhin folgt aus
Lindenbaums Lemma:
C (X ) jA , 8m C (X ) : m j= A , 8m C (X ) : A 2 m , A 2 C (X ).
Es wird zunachst gezeigt, da W alle Bedingungen von Denition 3:3:8
erfullt. Antisymmetrie von folgt aus Kumulativitat und Lemma 3.2.6:
sei C (X ) C (Y ) und C (Y ) C (X ). Dann existieren Mengen X 0 und Y 0,
so da C (X ) = C (X 0), C (Y ) = C (Y 0 ), X 0 C (Y ) und Y 0 C (X ). Gema
Lemma 3.2.6 gilt dann C (X ) = C (Y 0 ) = C (X 0) = C (Y ). Um die Dichtheitsbedingung zu beweisen, zeigen wir zunachst, da C (X ) minimal in X^
ist. C (X ) 2 X^ folgt unmittelbar aus der Denition. Sei C (Y ) 2 X^ , dann
gilt X m fur alle m C (Y ) und damit X CnC (Y ). Linksabsorption
impliziert schlielich X C (Y ), also C (X ) C (Y ). Damit ist X^ dicht.
Sei nun A 2 CW (X ). Das ist genau dann der Fall, wenn C (Y ) jA fur
alle Zustande C (Y ), die minimal in X^ sind, gilt, also genau dann, wenn
A 2 C (X ). 2
Fur spezielle Klassen kumulativer nichtmonotoner Logiken sind eine Reihe
weiterer Adaquatheitsresultate bewiesen wurden. Dabei erfordern die Theoreme 4.2.6 und 4.2.7 Autodistributivitat der deduktiven Basis.
Theorem 4.2.4 (FL94) Die Klasse Floop aller stark kumulativen Inferenzframes ist adaquat fur die Klasse Sord aller semantischen Frames, bei denen
der Modelloperator durch eine geordnete kumulative Modellstruktur W erzeugt wird.
atze
4. Repr
asentationss
56
Fur den Beweis des Reprasentationsteils des letzten Theorems wird in
[FL94] dabei nicht die kanonische KLM-Modellstruktur verwendet, da die
so denierte Relation im allgemeinen nicht transitiv ist und deshalb noch
transitiv abgeschlossen werden mu.
Denition 4.2.5 Sei (L; Cn; C ) ein stark kumulativer Inferenzframe. Dann
ist die geordnete kanonische KLM-Modellstruktur (L; S ; ; j) von (L; Cn; C )
wie folgt deniert:
(L; M; j=) ist die
-Semantik von (L; Cn):
S := fC (X )jX Lg :
C (X ) 0 C (Y ) genau dann, wenn
9X 0 L : C (X ) = C (X 0 )&X 0 C (Y )&C (X ) 6= C (Y ):
ist die transitive Hulle von 0.
l(C (X )) := fmjC (X ) mg:
Lindenbaum
Theorem 4.2.6 (FL94) Die Klasse Fded aller deduktiven Inferenzframes
mit autodistributiver deduktiver Basis ist adaquat fur die Klasse Svoll aller
semantischen Frames uber topologischen kompakten logischen Systemen, bei
denen der Modelloperator durch eine volle kumulative Modellstruktur W erzeugt wird.
Theorem 4.2.7 (FL94) Die Klasse Frat aller rationalen Inferenzframes mit
autodistributiver deduktiver Basis ist adaquat fur die Klasse Smod aller semantischen Frames uber topologischen kompakten logischen Systemen, bei
denen der Modelloperator durch eine modulare kumulative Modellstruktur W
erzeugt wird.
4.2.2 Die Semantik kumulativer Inferenzoperationen
Durch MAK-Modelle werden nur Inferenzoperationen, nicht Inferenzframes
deniert. Dementsprechend kann Adaquatheit nur fur Klassen fur Inferenzoperationen bewiesen werden, die Begrie von Denition 4.1.1 mussen dazu
wie folgt modiziert werden:
atze
4. Repr
asentationss
57
Denition 4.2.8 Sei M eine Klasse MAK-Modellstrukturen und O eine
Klasse von Inferenzoperationen. O heit
reprasentierbar in M genau dann, wenn O fCW jW 2 Mg.
adaquat fur M genau dann, wenn O =fCW jW 2 Mg.
Theorem 4.2.9 (Mak89) Sei W := (L; S ; ; j) eine MAK-Modellstruktur.
Dann ist CW eine kumulative Inferenzoperation.
Beweis. In Analogie zu Theorem 4.2.1 2
Denition 4.2.10 Sei C eine kumulative Inferenzoperation. Dann ist die
kanonische MAK-Modellstruktur (L; S; ; j) von C wie folgt deniert:
S := fC (X )jX Lg:
C (X ) 0 C (Y ) genau dann, wenn
9X 0 L : C (X ) = C (X 0 )&X 0 C (Y )&C (X ) 6= C (Y ):
(
Hulle von 0 , wenn C stark kumulativ ist
:
:= transitive
0
sonst
C (X )jA genau dann, wenn A 2 C (X ):
Die Bezeichnung kanonische MAK-Modellstruktur ist dabei tatsachlich
gerechtfertigt: die entsprechenden Bedingungen von Denition 4.2.10 sind
erfullt. Irreexivitat und Antisymmetrie folgen sofort aus der Denition von
(S; ), fur alle Mengen X ist C (X ) ist das minimale Element in X^ , damit
ist X^ dicht.
Theorem 4.2.11 (Mak89) Sei C : 2L ! 2L eine kumulative Inferenzoperation und W := (L; S; ; j) die kanonische MAK-Modellstruktur von C .
Dann gilt C = CW .
Der enge Zusammenhang zwischen MAK- und KLM-Modellstrukturen
erlaubt es, aus dem Beweis von Theorem 4.2.3 einen Beweis fur Theorem
4.2.11 abzuleiten. Laut Lindenbaums Lemma (Theorem 2.5.10) besteht
folgender Zusammenhang:
atze
4. Repr
asentationss
58
C (X )jKLM A , 8m 2 l(C (X )) : m j= A , 8m C (X ) :
A 2 m , A 2 C (X ) , C (X )jMAK A:
Die Indizierung mit MAK beziehungsweise KLM soll dabei auf die entsprechenden kanonischen Modellstrukturen hinweisen. Damit ist die Klasse aller kumulativen Inferenzframes in der Klasse aller MAK-Modellstrukturen
reprasentierbar. Zusammen mit Theorem 4.2.9 folgt damit:
Korollar 4.2.12 Die Klasse aller kumulativen Inferenzoperationen Okum ist
adaquat fur die Klasse M aller MAK-Modellstrukturen.
4.3 Finitare Reprasentationssatze
, Lehmann und Magidor [KLM90] haben fur ihre Systeme C,
CL und P eine Reihe von Reprasentationssatze bewiesen. Die Beweisideen
ahneln dabei stark den Beweisen von Theorem 4.2.3 und 4.2.1, so da wir
hier auf eine detaillierte Darstellung verzichten.
Kraus
Theorem 4.3.1 (KLM90) Sei W :=(L; M; j=; S ; ; l) eine nitare KLMModellstuktur. Dann ist das Tripel (L; Cn(L;M;j=) ; CW ) ein kumulativer nitarer Inferenzframe.
Denition 4.3.2 Sei (L; Cn; C ) ein kumulativer nitarer Inferenzframe.
Dann ist die kanonische nitare KLM-Modellstruktur (L; S ; ; j; l) von
(L; Cn; C ) wie folgt deniert:
(L; M; j=) ist die
-Semantik von (L; Cn):
S := fC (X )jX f Lg :
C (X ) C (Y ) genau dann, wenn
9X 0 f L : C (X ) = C (X 0)&X 0 C (Y )&C (X ) 6= C (Y ):
l(C (X )) := fmjC (X ) mg:
Lindenbaum
atze
4. Repr
asentationss
59
Irreexivitat und Antisymmetrie von (S; ) folgen sofort aus Denition,
Dichtheit der Mengen X^ , wobei X endlich ist, folgt aus C (X ) 2 S . Damit ist
die kanonische nitare KLM-Modellstruktur tatsachlich eine nitare KLMModellstruktur. Damit lassen sich die Beweise der Theoreme 4.2.3 und 4.2.11
direkt ubertragen.
Denition 4.3.3 Sei F : 2Lf ! 2L eine kumulative nitare Inferenzoperation. Dann ist die kanonische nitare MAK-Modellstruktur (L; S ; ; j) von
(L; F ) wie folgt deniert:
S := fF (X )jX f Lg :
F (X ) 0 F (Y ) genau dann, wenn
9X 0 f L : F (X ) = F (X 0)&X 0 F (Y )&F (X ) 6= F (Y ):
(
Hulle von 0 , wenn C stark kumulativ ist
:
:= transitive
0
sonst
F (X )jA genau dann, wenn A 2 F (X ).
Theorem 4.3.4 Die Klasse aller kumulativen nitaren Inferenzframes Ffin
kum
a
re
aller
ist adaquat fur die Klasse Sfin
KLM-Modellstrukturen
durch
nit
KLM
erzeugten semantischen Frames. Die Klasse aller kumulativen nitaren Infeaquat fur die Klasse Mfin aller nitaren MAKrenzoperationen Ofin
kum ist ad
Modellstrukturen.
Die folgenden Beispiele zeigen, da nitare (MAK- oder KLM-) Modellstrukturen tatsachlich keine adaquate Semantik fur kumulative Inferenzoperationen beziehungsweise Inferenzframes liefern.
Beispiel 4.3.5 Sei LCP L die Sprache klassischer Aussagenlogik und M0 2Latom die Menge aller endlichen und co-endlichen Mengen von Atomen. Sei
weiterhin die Relation j M0 2 LCP L deniert vermoge:
mjp genau dann, wenn p 2 m:
mjA _ B genau dann, wenn mjA oder mjB:
mjA ^ B genau dann, wenn mjA und mjB:
atze
4. Repr
asentationss
60
mj:A genau dann, wenn mj=A:
Dann ist (LCP L ; M0 ,,j) eine nitare MAK-Modellstruktur, insbeson-
dere sind die Mengen X^ fur alle endlichen Mengen dicht. Sei X eine endliche
Formelmenge und V die (endliche) Menge aller in X vorkommenden Atome.
Fur jede Menge V 0 Latom nV und alle m 2 M0 gilt dann mjX genau dann,
wenn m [ V 0 j X , das heit, ob eine Menge m von Atomen in X^ ist, hangt
nur vom Vorkommen der Atome von V in m ab. Damit gilt fur minimale
m 2 X^ auf jeden Fall m V . Da es nur endlich viele Teilmengen von V
gibt, ist X^ dicht.
Man betrachte nun die unendliche Menge X := fp2i _ p2i01 gi1 . Dann ist
m 2 X^ genau dann, wenn fur alle i fp2i ; p2i01 g \ m 6= ; gilt. Dann ist etwa
Latom Latomnfp2 g Latomnfp2 ; p4 g :: Latomnfp2igin ::
eine unendliche absteigende Kette in X^ . Alle Elemente der Kette sind dabei
co-endlich, wahrend das Inmum der Kette fp2i01 gi1 weder endlich noch
co-endlich ist und damit nicht in X^ liegt.
Die Konsequenz dieses Verhalten ist Nichtkumulativitat. Da fur X keine
minimalen Zustande existieren, ist CW (X ) = LCP L , und damit X Y CW (X ), Y := X [ fpi gi1 . Y^ hat allerdings genau das eine Element fpi gi1 ,
damit ist CW (X [ fpi gi1 ) 6= LCP L und Kumulativitat ist verletzt.
Beispiel 4.3.6 Aus Beispiel 4.3.5 lat sich eine nitare KLM-Modellstruktur
konstruieren, die keine KLM-Modellstruktur ist.
Betrachte W := (LCP L ; M; j=; M0 ,l, ) , wobei:
(LCP L ; M; j=) ist das logische System klassischer Aussagenlogik,
(M0,) wie deniert in Beispiel 4.3.5,
l(m) := fv j8p 2 Latom : v (p) = 1 , p 2 mg:
Laut Denition besteht l(m) nur aus einem Element, das mit m identiziert werden kann. Aufgrund der Denitionen von j und j= gilt fur alle
Formeln A: mjA genau dann, wenn l(m) j= A. Damit lassen sich die Beobachtungen von Beispiel 4.3.5 unmittelbar ubertragen: es gibt unendliche
Mengen X , so da X^ nicht dicht ist. Fur endliche Mengen X hingegen ist
X^ stets dicht.
atze
4. Repr
asentationss
61
4.4 Distributive Frames
Die nachsten zwei Theoreme1 behandeln Beziehungen zwischen distributiven
Inferenzframes und distributiven semantischen Frames. Adaquatheit kann,
ahnlich wie fur rationale und deduktive Inferenzframes, nur unter der Annahme von Autodistributivitat der deduktiven Basis bewiesen werden, das
heit, die semantische Darstellbarkeit eines nichtmonotonen Operators hangt
wesentlich von der gewahlten deduktiven Basis ab.
Satz 4.4.1 (Li91) Sei (L; M; j=; 86) ein distributiver semantischer Frame,
so da (L; M; j=) ein topologisches kompaktes logisches System ist. Dann ist
(L; Cn(L;M;j=) ; C6 ) ein distributiver Inferenzframe.
Beweis. Angenommen, es existiert eine Formel A, so da A 2 C6(X; Y ) \
C6(X; Z ), aber A 2= C6 (Cn(L;M;j=)(X [ Y ) \ Cn(L;M;j=)(X [ Z )). Dann existiert ein m0 2 6(Mod(Cn(L;M;j=) (X [ Y ) \ Cn(L;M;j=) (X [ Z )), so da m0 6j=
A. Da (L; M; j=) topologisch ist, folgt m0 2 6(Mod(X [ Y ) [ Mod(X [ Z ))
und damit m0 2 6(Mod(X [ Y )) [ 6(Mod(X [ Z )), also A 2= C6(X [ Y )
oder A 2= C6 (X [ Z ), im Widerspruch zur Voraussetzung. 2
Satz 4.4.2 Die Klasse Fdistr aller distributiven Inferenzframes mit autodistributiver Basis ist reprasentierbar in der Klasse Sdistr aller distributiven
semantischen Frames uber einem topologischen logischen System.
Beweis. Laut Theorem 2.5.14 ist die Lindenbaum-Semantik des autodistributiven deduktiven Systems topologisch. Seien M1 ; M2 2 Im(Mod)
zwei Klassen von Modellen, dann kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit angenommen werden, da beide von Theorien X1 ; X2 erzeugt werden,
M1 = Mod(X1 ) und M2 = Mod(X2 ). Dann gilt aufgrund der TopologieEigenschaft 6(M1 [ M2 ) = 6(Mod(X1 ) [ Mod(X2 )) = 6(Mod(X1 \ X2 )) =
Mod(C (X1 \ X2 )). Da X1 ; X2 Theorien sind, kann Distributivitat angewendet werden und es folgt Mod(C (X1 \ X2 )) Mod(C (X1 ) \ C (X2 )) =
Mod(C (X1 )) [ Mod(C (X2 )) = 6(M1 ) [ 6(M2 ). 2
1
Fur spezielle deduktive Basen nden sich diese Satze bei Lindstr
om [Li91].
atze
4. Repr
asentationss
62
Korollar 4.4.3 Die Klasse Fdistr aller distributiven Inferenzframes mit autodistributiver Basis ist adaquat fur die Klasse Sdistr aller distributiven semantischen Frames uber einem topologischen logischen System.
Die Distributivitatsbedingung beschreibt Klassen von semantischen Frames, die durch Modellselektoren deniert werden, mittels einer einfachen
Bedingung erster Stufe. Insofern ist das letzte Theorem eine naturlichere semantische Beschreibung distributiver Inferenzframes als durch Klassen von
KLM-Modellstrukturen, die Beschreibungen semantischer Frames durch Bedingungen hoherer Stufe entsprechen.
ur ihr System P (siehe Seite
Kraus, Lehmann und Magidor haben f
29), ein interessantes Adaquatheitsresultat bewiesen. In dem hier entwickelten Apparat entspricht P dem nitaren kumulativen Inferenzframe (L; CnCP L ;
FP), wobei (L; CnCP L ) das deduktive System klassischer Aussagenlogik und
FP : 2Lf ! 2L eine nitare Inferenzoperation, welche die Axiome von P
erfullt2, ist.
Denition 4.4.4 Eine KLM-Modellstruktur W := (L; M; j=; S; ; l) heit
praferentiell genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt sind:
1.
W ist geordnet,
2. die Mengen l(s) sind einelementig.3
Theorem 4.4.5 (KLM90) Sei Ffin
P die Klasse der nitaren Inferenzframes
uber klassischer Aussagenlogik, welche die Axiome des Systems P erfullen,
aferentiellen nitaren KLM-Modellund sei weiter Sfin
praf die Klasse aller pr
strukturen deniert uber dem logischen System klassischer Aussagenlogik.
fin
Dann ist Ffin
P adaquat fur Spraf .
Das letzte Theorem lat sich nicht ohne weiteres auf allgemeine distributive Frames ubertragen, Schlechta [Sch92b] hat einen distributiven Inferenzframe mit klassischer Aussagenlogik als deduktiver Basis angegeben, der
nicht durch eine praferentielle KLM-Modellstruktur deniert werden kann.
Es ist nicht klar, welche Klasse von KLM-Modellstruturen genau der Klasse
aller distributiven Inferenzframes entspricht.
2
3
Formuliert fur nitare Operationen.
l kann damit als Funktion l : S ! M angesehen werden.
Kapitel 5
Kompaktheit
5.1 Extensionen
In der monotonen Logik besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen
nitaren und kompakten (innitaren) Inferenzoperationen: eine innitare
Operation Cn : 2L ! 2L kann auf endliche Mengen eingeschrankt werden
und liefert die nitare Operation F := Cnf : 2Lf ! 2L , Cnf := Cj2f . Umgedreht erzeugt jede nitare Operation F eine kompakte, innitare Konsequenzoperation Cn := 1mon F , deniert vermoge
L
1monF (X ) :=
S
Y f X
F (Y ).
Dann erfullt 1mon die folgenden beiden Bedingungen:
1. (1monF )f = F , das heit, 1mon F stimmt auf endlichen Mengen mit F
uberein.
2. Cn = 1monCnf , das heit, Cn kann aus der Restriktion auf endlichen
Mengen mittels 1mon rekonstruiert werden.
Die zweite Bedingung impliziert fur Konsequenzoperationen Cn Kompaktheit. Allerdings ist die Beziehung C = 1mon Cf fur nichtmonotone Logiken in der Regel nicht erfullt. Angenommen, es gilt A 2 C (X ) fur eine
endliche Menge X f L und A 2= C (Y ) fur eine gewisse Erweiterung Y X
von X . Dann gilt oensichtlich A 2 1mon Cf (Y ) 6= C (Y ).
63
5. Kompaktheit
64
Deshalb sind alternative Operatoren 1 zu betrachten, die zur Analyse
nichtmonotoner Logiken geeignet sind. Ein solcher Operator bezieht im allgemeinen die Basis der nichtmonotonen Operation mit ein, ordnet also einem nitaren Inferenzframe (L; Cn; F ) einen Inferenzframe (L; Cn; C ) :=
1(L; Cn; F ) zu. Da 1 die Basis Cn unverandert lassen soll, werden wir
auch die Schreibweise (L; Cn; 1CnF ) anstatt von 1(L; Cn; F ) verwenden.
(L; Cn; C )f := (L; Cn; Cf ) bezeichnet die Restriktion von (L; Cn; C ) auf
endlichen Mengen:
Denition 5.1.1 Sei F eine Klasse von nitaren Inferenzframes und I die
Klasse aller Inferenzframes. Eine Funktion 1 : F ! I heit Extension auf
F genau dann, wenn fur alle F 2 F gilt, da (1F )f = F .
Im weiteren werden wir uns auf die Betrachtung von Extensionen auf der
Klasse der kumulativen nitaren Inferenzframes konzentrieren, die einfach
nur Extension genannt werden.
Denition 5.1.2 Sei IF := (L; Cn; C ) ein Inferenzframe und 1 eine Extension. Dann heit IF 1-kompakt genau dann, wenn IF f zum Denitionsbereich von 1 gehort und gilt 8X L : C (X ) 1Cn Cf (X ). IF heit
vollstandig 1-kompakt genau dann, wenn 1 (IF f ) = IF .
Vollstandige Kompaktheit eine Inferenzframes bezuglich einer Extension
1 bedeutet also genau die Rekonstruierbarkeit des Frames aus seiner Restriktion auf endlichen Mengen mittels 1, also C = 1CnCf .
Denition 5.1.3 Sei Condition eine der folgenden Eigenschaften: Kumulativitat, starke Kumulativitat, Distributivitat, Deduktivitat, Rationalitat und
Konsistenzerhaltung. Man sagt, da Condition von einer Extension 1 respektiert wird genau dann, wenn die folgende Bedingung erfullt ist: erfullt
ein nitarer Inferenzframe F aus dem Denitionsbereich von 1 die nitare
Version von Condition , dann erfullt 1F Condition .
5.2 Starke Kompaktheitsbegrie
Unter einem starken Kompaktheitsbegri verstehen wir Bedingungen, aus
denen Kompaktheit1 folgt; alle anderen Kompaktheitsbedingungen werden
1
Im Sinne des Kompaktheitsaxioms fur deduktive Operationen, das heit A 2 C (X ) )
f X : A 2 C (Y ).
9Y 5. Kompaktheit
65
als schwach bezeichnet.
5.2.1 Die kleinste kumulative Erweiterung
hat einen Extensionsoperator eingefuhrt, der nitare kumulative
Inferenzoperationen stets zu kumulativen Operationen erweitert.
Makinson
Denition 5.2.1 (Mak93) Sei (L; Cn; F ) ein kumulativer nitarer Inferenzframe. Dann ist die kleinste kumulative Extension (L; Cn; 11F ) wie folgt
deniert:
(
(Y ) wenn 9Y f Cn(X ) : Cn(X ) F (Y ) :
Cn
11 F (X ) := F
Cn(X ) sonst
Aus der Kumulativitat von F folgt dabei, da 1Cn
1 F wohldeniert ist;
die Existenz zweier endlicher Mengen Y1 ; Y2 , welche die Beziehung Yi Cn(X ) F (Yi ) erfullen, zieht Y1 F (Y2) und Y2 F (Y1), und damit
F (Y1) = F (Y2) nach sich.
Das folgende Theorem zeigt, da der Name kleinste kumulative Extension
tatsachlich gerechtfertigt ist. Dabei ist folgende Feinheit zu beachten: 1Cn
1 F
ist nicht etwa die kleinste kumulative Erweiterung von F , sondern die kleinste
kumulative Erweiterung von F , die hinsichtlich einer gewissen Basis Cn noch
Supradeduktivitat erfullt.
Theorem 5.2.2 (Mak93) Sei (L; Cn; F ) ein kumulativer nitarer Inferenzframe und C : 2L ! 2L eine kumulative Inferenzoperation, so da Cf = F
und Cn C . Dann gilt 1Cn
1 F C.
Satz 5.2.3 Sei F : 2Lf ! 2L eine kumulative nitare Inferenzoperation und
Cn2
1
Cn1; Cn2 Basen von F , so da Cn1 Cn2. Dann gilt 1Cn
1 F 11 F .
Beweis. Sei X L eine Menge. Dann sind drei Falle zu unterscheiden:
Fall 1 9Y1 : Y1 f Cn1(X ) F (Y1 )&9Y2 : Y2 f Cn2(X ) F (Y2).
Dann folgt aus der Kumulativitat von F und Monotonie von Cn1; Cn2 sofort
Y1 f Cn1(X ) Cn1Cn2(X ) Cn1F (Y2 ) = F (Y2) und Y2 f Cn2(X ) 1
Cn2Cn1 (X ) Cn2 F (Y1) = F (Y1) und damit 1Cn
1 F (X ) = F (Y1) = F (Y2 ) =
Cn
2
11 F (X ).
Fall 2 6 9Y1 : Y1 f Cn1 (X ) F (Y1)&9Y2 : Y2 f Cn2(X ) F (Y2 ). Dann
Cn2
1
gilt 1Cn
1 F (X ) = Cn1(X ) Cn2(X ) F (Y2) = 11 F (X ).
5. Kompaktheit
66
Fall 3 6 9Y1 : Y1 f Cn1(X ) F (Y1)& 6 9Y2 : Y2 f Cn2 (X ) F (Y2). Es
Cn2
1
folgt sofort 1Cn
1 F (X ) = Cn1(X ) Cn2(X ) = 11 F (X ):
Cn
Cn
Insgesamt ergibt sich also 11 1 11 2 , was zu beweisen war. 2
Da die identische Abbildung id : 2L ! 2L oensichtlich eine deduktive
Operation ist, und Supradeduktivitat bezuglich id mit Inklusion aquivalent
ist, impliziert der letzte Satz folgendes Korollar.
Korollar 5.2.4 Sei F : 2Lf ! 2L eine kumulative nitare Inferenzoperation.
L
L
Dann ist 1id
1 F : 2 ! 2 die kleinste kumulative Erweiterung von F .
Theorem 5.2.5 (FL94) 11 respektiert starke Kumulativitat.
Dieser wunschenswerten Eigenschaft steht folgende Irregularitat entgegen [FL94]: es existieren monotone nitare Inferenzoperationen F , deren
kleinste kumulative Extension 1Cn
1 F nicht monoton ist. Das heit, 11 ist,
eingeschrankt auf monotone Operationen, nicht mit Kompaktheit aquivalent.
5.2.2 Suprakompaktheit und die kanonische Erweiterung
[Fr93] hat den Begri der Suprakompaktheit eingefuhrt, auf dessen
Basis Freund und Lehmann [FL94] die beiden Extensionen 12 und 13
deniert haben. Eine Operation C heit dabei suprakompakt genau dann,
wenn aus A 2 C (X ) die Existenz einer endlichen Menge Z f X folgt, so
da A 2 C (Z [ Y ) fur alle Y C (X ) gilt.
Freund
Denition 5.2.6 Sei (L; Cn; F ) ein nitarer Inferenzframe. Dann sind die
beiden Extensionen 12 und 13 wie folgt deniert:
1Cn
2 F (X ) := fAj9Y f X 8Z f Cn(X ) : A 2 F (Y [ Z )g.
C0 (X ) := 1Cn
2 F (X ):
Ci+1(X ) := fAj9Y f X 8Z : Y Z Ci(X ) : A 2 Ci(Z )g:
T
1Cn
C i (X ):
3 F (X ) :=
i2!
67
5. Kompaktheit
120Kompaktheit ist eine Abschwachung von Freunds Suprakompaktheit, sie wird auch als nitare Suprakompaktheit bezeichnet. Oensichtlich
implizieren vollstandige 12- und 13 -Kompaktheit Kompaktheit.
Freund und Lehmann haben eine Reihe von Resultaten bewiesen, die
zeigen, da unter einigen zusatzlichen Voraussetzungen 12 und 13 einige
wichtige Eigenschaften respektieren.
Theorem 5.2.7 (FL94) Sei F := (L; Cn; F ) ein kumulativer nitarer Inferenzframe uber einem deduktive System (L; Cn). Dann gilt:
besitzt (L; Cn) eine Implikation, dann respektiert 13 Kumulativitat.
besitzt (L; Cn) eine Disjunktion, dann respektiert 13 Distributivitat
und es gilt 12F = 13F :
besitzt (L; Cn) Implikation und Disjunktion, dann respektiert 13 Deduktivitat und es gilt 12F = 13 F :
besitzt (L; Cn) Implikation, Disjunktion und intuitionistische Negation,
dann respektiert 13 Rationalitat und es gilt 12F = 13 F :
5.3 Co-Kompaktheit
Nichtmonotonie von Inferenzoperationen legt nahe, nicht nur die Ableitbarkeit von Formeln aus bestimmten endlichen Teilmengen zu betrachten, sondern auch die Nichtableitbarkeit. Kaluzhny und Lehmann [KL94] haben
solche Co-Kompaktheitsbegrie eingefuhrt.
Denition 5.3.1 (KL94) Eine Inferenzframe F := (L; Cn; C ) heit
co-kompakt genau dann, wenn
8X L; A 2 L : A 2 C (X ) ) 9Y
f Cn(X ) : A 2= C (Y ):
stark co-kompakt genau dann, wenn
8X L; A 2 L : A 2 C (X ) ) 9Y f X : A 2= C (Y ):
In [KL94] ist sind eine Reihe von Satzen bewiesen, welche die Existenz
eindeutiger (stark) co-kompakter Extensionen von Inferenzframes, welche die
Deduktivitatsbedingung erfullen, betreen.
5. Kompaktheit
68
5.4 Schwache Kompaktheitsbegrie
5.4.1 Schwache Kompaktheit
Die in Abschnitt 5.2 behandelten starken Kompaktheitsbegrie implizieren
alle Kompaktheit. Es zeigt sich, da damit durch diese starken Begrie eine
der naturlichsten nichtmonotonen Logiken, minimales Schlieen in klassischer
Aussagenlogik, nicht erfat wird.
Beispiel 5.4.1 Minimales Schlieen uber klassischer Aussagenlogik ist nicht
kompakt2, das heit, es existiert eine Menge X LCP L und eine Formel A,
so da A 2 Cmin (X ) und A 2= Cmin (Xf ) fur alle endlichen Mengen Xf f X .
Wir konstruieren ein Gegenbeispiel wie folgt:
Latom := fp0 ; p1 ; ::g .
k
Bk := iV=1 pi ^ (pi+1 _ p0 ).
X := fBk jk 2 !g.
A := :(p0 $ p1 ).
Dann besitzt X die folgenden zwei Modelle:
v1(pi ) :=
(
1 wenn i > 0 :
0 wenn i = 0
v2(pi ) := 1 fur alle i:
Oensichtlich gilt v1 < v2 und damit A 2 Cmin (X ). Sei nun Xf eine endliche
Teilmenge von X , weiter sei N := maxfijBi 2 Xf g. Dann hat Xf die
folgenden drei Modelle3:
v10 (pi ) :=
(
1 wenn 0 i N :
0 wenn i = N + 1
2
Ein erstes, etwas komplizierteres Beispiel fur die Nichtkompaktheit minimalen
Schlieens geht auf Papalaskari und Weinstein [PW90] zuruck.
3
Genauer, die folgenden drei Klassen von Modellen, da naturlich die Variablen, die
nicht in Xf vorkommen, frei gewahlt werden konnen.
69
5. Kompaktheit
v 0 (pi ) :=
(
2
1 wenn 1 i N + 1 :
0 wenn i = 0
v30 (pi ) := 1 fur alle i N + 1:
Dann sind v10 und v20 minimale Modelle und es gilt v10 6j= A und damit A 2=
Cmin (Xf ).
Denition 5.4.2 Ein Inferenzframe (L; Cn; C ) heit schwach kompakt genau dann, wenn A 2 C (X ) die Existenz einer endlichen Menge Y f Cn(X ),
so da A 2 C (Y ) gilt, impliziert.
Wir fuhren eine Reihe weiterer Begrie ein, um den Beweis der folgenden
Theoreme vorzubereiten. Sei (LCP L ; M; j=) das logische System klassischer
Aussagenlogik und V Latom eine Menge von Atomen. Dann lat sich die
folgende Relation 'V M2M zwischen klassischen Modellen (Wahr-FalschBewertungen) denieren:
v1 'V v2 genau dann, wenn 8p 2 V : v1(p) = v2(p).
 quiEs folgt unmittelbar aus der Denition, da es sich bei 'V um eine A

valenzrelation handelt. Wenn v ein Modell ist, bezeichnet [v ]V seine Aquivalenzklasse modulo 'V . Entsprechend denieren wir fur jedes M M die
Menge MV vermoge MV := f[v ]V jv 2 M g.
Lemma 5.4.3 Sei (LCP L ; M; j=) das logische System klassischer Aussagenlogik, X L eine Menge von Formeln und V f Latom eine endliche
Menge von Atomen. Dann
existiert
eine Formel HVX 2 CnCP L (X ), so da
n
o
S
(Mod(X ))V = Mod HVX .
Beweis. Da V := fp1 ; ::; png endlich ist, existieren endlich viele WahrFalsch-Bewertungen v1 ; ::; vm:V ! f1; 0g, so da vi = [v ]' fur mindestens
ein Modell v 2 M gilt. Zuerst sei Mod(X ) = ;. Das ist nur der Fall, wenn
X inkonsistent ist, dann genugt es Xf := f?g zu setzen. Im nichttrivialen
Fall M > 0, setze
(
m V
n
W
wenn vj (pi ) = 1
X
HV :=
(pi $ cij ), cij := >
? wenn v (p ) = 0 :
j =1 i=1
j
i
70
5. Kompaktheit
S
Dann folgt (Mod(X )) V = Mod
n
HVX
o
sofort aus der Konstruktion.
2
Diese Eigenschaft lat sich auf gewisse mehrwertige Logiken verallgemeinern.
Lemma 5.4.4 Sei Sn := (Ln; M; j=) ein kompaktes logisches System nwertiger, funktional vollstandiger Aussagenlogik, M M und V f Latom
eine Sendliche Menge von Atomen. Dann existiert ein HVX 2 CnSn (X ), so
da (Mod(X )) V = Mod(HVX ).
Beweis. Xf kann wie im Beweis von Lemma 5.4.3 konstruiert werden, funktionale Vollstandigkeit garantiert dabei die Existenz von folgenden Funktoren, die unter allen Bewertungen4 v : Ln ! Qn die folgenden Bedingungen
erfullen:
_, so da v (A_B ) 2 Q+n genau dann, wenn v (A) 2 Q+n oder v (B ) 2 Q+n .
^, so da v (A ^ B ) 2 Q+n genau dann, wenn v (A) 2 Q+n und v (B ) 2 Q+n .
$, so da v (A $ B ) 2 Q+n genau dann, wenn v (A) = v (B ).
k(q ), so da v (k(q )) = q (fur alle q 2 Qn).
Diese Funktoren konnen, wie ihre Bezeichnung suggeriert, als verallge quivalenz und Konstanten fur jeden
meinerte Disjunktion, Konjunktion , A
Quasiwahrheitswert verstanden werden. Dann lat sich HVX wie im Beweis
von Lemma 5.4.3 vermoge
HVX :=
m V
n
W
j =1 i=1
(pi $ cij ), cij := k(vj (pi ));
S
denieren und es folgt unmittelbar aus der Konstruktion, da (Mod(X )) V =
Mod(A). 2
4
Qn ist eine n-elementige Menge von Quasiwahrheitswerten.
71
5. Kompaktheit
Theorem 5.4.5 Sei IF := (Ln ; Cnn; C) der Inferenzframe verallgemeinerten minimalen Schlieens uber einer n-wertigen, funktional vollstandigen
Aussagenlogik5 (Ln ; Cnn). Sei weiter X Ln eine Menge und A eine Formel, so da A 2 C(X ) gilt. Dann existiert eine endliche Menge Xf f
Cnn(X ), so da A 2 C(Xf ).
n
o
Beweis. Setze Xf := HVX , wobei V f Latom eine endliche Menge von Variablen ist,
alle Variablen, die in A vorkommen, enthalt. Angenommen,
n
o
n dieo
A 2= C HVX . Damit existiert ein minimales Modell v0 2 Min HVX ,
so da v0 6j= A. Betrachte die Modellmenge V0 := fv 2 Mod(X )jv 'V v0g.
Laut Konstruktion von HVX ist V0 nicht leer. Wir zeigen, da V0 minimale
Elemente enthalt. Sei v1 v2 :: eine absteigende Kette in (V0 ; ).
Betrachte v1, deniert vermoge v1(p) := min(p)fvi (p)g. Dann gilt oensichtlich v 'V v0 . Weiter gilt v1 2 Mod(X ): angenommen, es existiert
eine Formel B 2 X , so da v1 2= Mod(B ). Da B nur endlich viele Variable enthalt, existiert ein n, so da fur alle in B vorkommenden Variablen p
gilt, da v1(p) = vn(p). Daraus folgt vn 2= Mod(X ), im Widerspruch zur
Voraussetzung. Damit ist v1 2 V0 gezeigt und aus Zorns Lemma folgt die
Existenz minimaler Elemente in V0 .
Betrachte eines dieser minimalen Elemente v1. Angenommen, v1 2=
Min(X ). Dann existiert ein v 0 2 Mod(X ), so da v 0 v1. Da v1
minimal in V0 ist, folgt v 0 2= V0 , das heit, es existiert
n ein
o p 2 V0 , so da
(v 0(p); v0 (p)) 2 (p), im Widerspruch zu v0 2 Min HVX . 2
Korollar 5.4.6 Die folgenden Inferenzframes sind schwach kompakt:
Minimales Schlieen in klassischer Aussagenlogik
(LCP L ; CnCP L ; Cmin ).
uber klassischer Aussagenlogik
Poole -Systeme (LCP L ; CnCP L ; C(D;;) ) 
ohne Constraints und mit einer Menge von Literalen als Defaults.
<t 0minimales Schlieen in 3- und 4-wertiger Logik:
t
).
(LT HREE ; CnT HREE ; CTt HREE ), (LFOUR ; CnFOUR ; CFOUR
5
Vergleiche mit 2.5.15 und 3.4.2.
72
5. Kompaktheit
<k 0minimales Schlieen in 3- und 4-wertiger Logik:
k
).
(LT HREE ; CnT HREE ; CTk HREE ), (LFOUR ; CnFOUR ; CFOUR
Wir setzen mit einer Reihe von negativen Resultaten fort.
Satz 5.4.7 (He95) Minimales Schlieen in klassischer Pradikatenlogik
P L1) ist nicht schwach kompakt.
(LP L1 ; CnP L1 ; Cmin
Fur die Denition minimalen pradikatenlogischen Schlie ens und den
Beweis sei der Leser auf [DH94] und [He95] verwiesen.
Satz 5.4.8 Es existieren Poole-Systeme (LCP L ; CnCP L ; C(D;;)) uber klassischer Aussagenlogik ohne Constraints, die nicht schwach kompakt sind.
Beweis: Setze
X := N 1
S
(
N
V
i=1
pi ^ (pi+1 _ p0 )
)
A := :(p0 $ p1 ):
D := f:p0 g [ fiji 1g:
i := :pi ^ (p0 _ pi ) ^ (p1 _ pi):
Dann gilt Mod(X ) := fv1; v2g , wobei
(
v1(pi ) := 1 wenn 1 i :
0 wenn i = 0
v2(pi ) := 1 fur alle i 0:
Daraus folgt A 2 CnCP L (X [ f:p0 g) = C(D;;)(X ): Sei Xf f CnCP L (X )
eine endliche Menge. Dann existiert wegen Mod(X ) Mod(Xf ) ein Modell
m 2 Mod(Xf ), so da m j= p0 und m j= p1 : Sei pN eine beliebige Variable, die
nicht in den Formeln in Xf vorkommt: Dann kann m so gewahlt werden, da
m j= :pN gilt. Damit hat Xf [ fN g ein Modell und ist konsistent. Sei nun
d D eine maximale Menge von Defaults, so da CnCP L (Xf [ d) 6= LCP L
und N 2 d gilt. Dann gilt oensichtlich m j= p0 $ p1 fur alle Modelle
m 2 Mod(Xf [ d) und damit A 2= CnCP L (Xf [ d) und A 2= C(D;;)(Xf ): 2
73
5. Kompaktheit
Satz 5.4.9 Es gibt Poole-Systeme (LCP L ; CnCP L ; C(D;K )) uber klassischer
Aussagenlogik mit Constraints und einer Menge von Literalen als Defaults,
die nicht schwach kompakt sind.
Beweis: Betrachte folgendes Gegenbeispiel:
X und A sind deniert wie in Satz 5.4.8.
D := f:pi ji 1g
K := fp0 _ piji 1g [ fp1 _ pi ji 1g
Die Modellmenge von X ist wieder Mod(X ) := fv1 ; v2g mit v1 und v2 wie
deniert im Beweis von Satz 5.4.8. Damit gilt A 2 CnCP L (X [ f:p0 g) =
C(D;K )(X ), da f:p0 g die einzige Poole-Extension fur X ist. Sei nun Xf f
CnCP L (X ) eine endliche Teilmenge von X . Dann gilt Mod(X ) Mod(Xf )
und damit existiert ein Modell m 2 Mod(Xf ), so da m j= p0 und m j= p1 :
Sei pN ein beliebiges Atom, das nicht in Formeln von Xf vorkommt. Dann
kann m so gewahlt werden, da m j= :pN : Damit hat die Menge Xf [
f:pN g[K ein Modell und f:pN g kann zu einer Poole-Extension d erweitert
werden, CnCP L (Xf [ d) 6= L und :pN 2 d: Damit gilt A 2= CnCP L (Xf [ d):
Angenommen, A 2 CnCP L (Xf [ d) CnCP L (Xf [ d [ K ): Dann ware
p0 $ p1 = :A 2 CnCP L (Xf [ d [ K ), im Widerspruch zur Konsistenz von
Xf [ d [ K: Damit ist A 2= C(K;D)(Xf ) bewiesen. 2
5.4.2
140Kompaktheit
Auf der Basis von schwacher Kompaktheit lat sich ein Extensionsoperator
14 denieren vermoge
1Cn
4 F (X ) := fAj8 Y
f Cn(X )9Z f Cn(X ) : A 2 F (Y [ Z )g,
der schwach in dem Sinne ist, da er nicht Kompaktheit impliziert.
Herre [DH94],[He95] hat auf die zum Beweis von Theorem 5.4.5 entwickelte Technik verwendet, um vollstandige 140Kompaktheit fur minimales Schlieen uber klassischer Aussagenlogik zu beweisen.
74
5. Kompaktheit
Theorem 5.4.10 (DH94,He95) Sei (LCP L ; CnCP L ; Cmin) minimales Schlieen uber klassischer Aussagenlogik, X LCP L eine Formelmenge und (Vi )i2!
eine Folge von Mengen von Atomen, so da die folgenden Bedingungen erfullt
sind:
1. i j ) Vi Vj ;
2.
Latom = iS2! Vi:
Dann gilt A 2 Cmin (X ) , 9n8i n : A 2 Cmin
n
o
HVXi .
Beweisidee n ist so gro zu wahlen, da alle in A vorkommenden Variablen
in Vn enthalten sind. Da fur alle endlichen Mengen Y f CnCP L (X ) und alle
Variablenmengen
, welche die in Y vorkommenden
n
o
n
oVariablen enthalten,
n Vo
X
X
= CnCP L HVX
Y CnCP L HV und mithin CnCP L Y [ HV
gilt, folgt sofort vollstandige 14 0Kompaktheit. 2
Korollar 5.4.11 Der Inferenzframe minimalen Schlieens in klassischer Aussagenlogik ist vollstandig 14 0kompakt.
Lemma 5.4.12 Vollstandige 14 0Kompaktheit impliziert schwache Kompaktheit.
Zusammen mit 5.4.7, 5.4.8 und 5.4.9 ergibt sich daraus sofort das folgende
Korollar.
Korollar 5.4.13 Die folgenden Klassen von Inferenzframes sind nicht vollstandig 140kompakt:
Minimales Schlieen in klassischer Pradikatenlogik.
Poole
-Systeme uber klassischer Aussagenlogik ohne Constraints.
-Systeme uber klassischer Aussagenlogik mit Constraints und einer Menge von Literalen als Defaults.
Poole
75
5. Kompaktheit
5.5 Vervollstandigung von Modellstrukturen
5.5.1 L-metrische Raume
Kompaktheit einer Inferenzoperation bedeutet gerade Rekonstruierbarkeit
der Operation aus ihrer Restriktion auf endlichen Mengen. Im Falle der
140Kompaktheit erfolgt diese Rekonstruktion durch Betrachtung gewisser
unendlicher Folgen (C (Xi )), wobei die Xi endliche
Teilmengen von Cn(X )
S
sind, die Cn(X ) approximieren, Cn(X ) := i Cn(Xi ). Fur die Gultigkeit
von 140Kompaktheit fordert man dann, da dann auch C (X ) durch solche
Folgen (C (Xi )) approximiert wird: A 2 C (X ) genau dann, wenn eine solche
Folge (C (Xi )) existiert, so da A 2 C (Xi ) fur alle hinreichend gro gewahlten
Indizes i. Fur minimales Schlieen lat sich sogarn eine Folge
o (Cmin (Xi ))
X
angeben, welche unabhangig von A ist, setze Xi := Hfp1;::;pi g . Dann gilt:
A 2 Cmin (X ) , 9n8i n : A 2 Cmin
n
HfXp1;::;pig
o
:
Der Ausdruck \(C (Xi )) approximiert C (X )" ist dabei noch nicht klar deniert und bedarf einer Prazisierung. Dazu ist es notig, einen Abstandsbegri
zwischen Formelmengen einzufuhren. Der hier entwickelte Kalkul orientiert
sich stark an dem Paradigma der Vervollstandigung metrischer Raume, insbesondere der Einfuhrung reeller Zahlen durch Meray [Mer68] und Cantor
[Can72](siehe auch [Diu78]). Wir skizzieren die dabei verwendeten Begrie,
fur eine ausfuhrliche Darstellung sei auf Dieudonne [Diu68] verwiesen.
Metrik, metrischer Raum Eine Funktion d : M ! IR+ von M in die
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen wird Metrik genannt genau
dann, wenn sie die folgenden Bedingungen erfullt:
1. d(m1 ; m2) = 0 genau dann, wenn m1 = m2,
2. d(m1 ; m2) = d(m2; m1 ),
3. d(m1 ; m3) d(m1; m2) + d(m2 ; m3).
Ein Paar (M; d), wobei d : M
Raum6
! IR+ eine Metrik ist, wird metrischer
6
Oft ist 1. durch die schwachere Bedingung d(m; m) = 0 ersetzt, das heit, es sind

verschiedene Elemente mit Abstand 0 zugelassen. Dann lat sich in M eine Aquivalenz-
5. Kompaktheit
76
Cauchy-Folge Eine Folge 2 M ! heit Cauchy- oder Fundamentalfolge
genau dann, wenn 8" 2 IR+9n8i; j n : d( (i); (j )) ". Der Abstand zweier Cauchy-Folgen ; 2 M ! ist deniert vermoge
d( (i); (i)).
d30 (; ) := ilim
!1
Konvergenz, Limes Eine Folge 2 M ! wird konvergierend genannt genau
dann, wenn 9m 2 M 8" 2 IR+ 9n8i n : d( (i); m) ". m wird dann
Grenzwert von genannt.
Vollstandigkeit Ein metrischer Raum (M; d) heit vollstandig genau dann,
wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Vervollstandigung Jeder metrische Raum (M; d) kann zu einem vollstandigen metrischen Raum (M 3 ; d3 ) erweitert werden:
1. Elemente von M 3 sind Klassen von Cauchy-Folgen in (M; d) modulo der Relation d30 (; ) = 0.
2. d3 ([ ] ; [ ]) := d30 (; ).7
Intuitiv kann man den Abstand zweier Formelmengen als die Menge aller Formeln, bezuglich derer sich diese Mengen unterscheiden, also als ihre
symmetrische Dierenz, ansehen. Diese Abstande konnen dann mittels Mengeninklusion geordnet werden, die Mengenvereinigung ubernimmt die Rolle
der Addition. Das fuhrt auf folgende Begrie.
Denition 5.5.1 Ein Tripel (M; L; d) wird L-metrischer Raum genannt genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1. M und L sind Mengen, L ist abzahlbar,
2. d : M 2 M ! 2L ist eine L-Metrik genannte Funktion, welche die
folgenden Bedingungen erfullt:
(a) 8m 2 M : d(m; m) = ;;
relation vermoge m1 'd m2 genau dann, wenn0d(m1 ; m2 ) = 0 1einfuhren. Dann erfullt
(M= 'd ; d= 'd ), wobei d= 'd vermoge d= 'd [m1 ]'d ; [m2 ]'d := d(m1 ; m2 ) uber die
Reprasentanten deniert ist, die Bedingungen 1.-3..
7
Es zeigt sich, da diese Denition reprasentantenunabhangig ist.
5. Kompaktheit
77
(b) 8m1; m2 2 M : d(m1 ; m2) = d(m2 ; m1);
(c) 8m1; m2; m3 2 M : d(m1 ; m3) d(m1; m2) [ d(m2; m3 ):
Ein L-metrischer Raum (M; L; d) heit regular genau dann, wenn die zusatzliche Bedingung
2. (d) 8m1; m2 2 M : d(m1 ; m2) = ; ) m1 = m2:
erfullt ist.
Die letzte Bedingung wird, in Analogie zur Theorie der metrischen Raume,
auch Dreiecksungleichung genannt. Da L als abzahlbar vorausgesetzt wird,
konnen die Elemente von 2L als gewisse Reprasentationen reeller Zahlen angesehen werden, eine Menge X L := fA1; A2; ::g reprasentiert die reelle
Zahl 0; z1 z2::, wobei
(
zi :=
1 wenn Ai 2 X
0 wenn Ai 2= X .
Da keine lineare Ordnung ist, sind metrische und L-metrische Raume allerdings nicht isomorph.
Denition 5.5.2 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum. Eine Folge 2 M !
heit Fundamentalfolge, genau dann, wenn 8A 2 L : 9N 8i; j N : A 2=
d( (i); (j )). M 3 M ! ist die Klasse aller Fundamentalfolgen in M . m
heit Grenzwert einer Folge genau dann, wenn 8A 2 L : 9n8i n : A 2=
d(m; (i)). (M; L; d) heit vollstandig genau dann, wenn jede Fundamentalfolge 2 M 3 einen Grenzwert in M besitzt.
Lemma 5.5.3 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum und 2 M 3 eine Fundamentalfolge. Dann ist jede unendliche Teilfolge von eine Fundamentalfolge.
Beweis. Da eine Fundamentalfolge ist, existiert fur alle A 2 L ein n, so
da A 2= d( (i); (j )) fur alle i; j n gilt. Da eine unendliche Teilfolge ist,
gilt (i) = (i + ki ) und damit fur alle i; j n A 2= d( (i); (j )). 2
78
5. Kompaktheit
Lemma 5.5.4 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum, 2 M ! eine Folge in
M und m; m0 2 M Grenzwerte von . Dann gilt d(m; m0 ) = ;.
Beweis. Angenommen, es existiert ein A 2 d(m; m0). Nach Denition 5.5.2
existiert ein n, so da fur alle i n gilt A 2= d(m; (i)) und A 2= d(m0; (i)).
Aus der Dreiecksungleichung folgt A 2= d(m; m0) d(m; (i)) [ d(m0; (i)),
im Widerspruch zur Annahme. 2
Damit folgt unmittelbar die Eindeutigkeit des Grenzwertes in regularen
L-metrischen Raumen.
Denition 5.5.5 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum und M 3 M ! die
Klasse seiner Fundamentalfolgen.
Dann
ist die Funktion d3 : M 3 2 M 3 ! 2L
T
S
d((i); (i)).
wie folgt deniert: d3 (; ) :=
n2! in
Lemma 5.5.6 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum. Dann ist (M 3 ; L; d3 )
ein L-metrischer Raum.
Beweis. Die drei Bedingungen 2a-2c aus Denition 5.5.1 sind fur d3 zu
zeigen. Wir zeigen die Dreiecksungleichung, die Beweise von 2a und 2b sind
trivial. Seien ; , 2 M 3 Fundamentalfolgen und A 2 d3 (; ). Dann
existiert wegen der Fundamentalfolgeneigenschaft und der Denition von d3
ein n, so da fur alle i; j n die folgenden Punkte erfullt sind:
A 2 d((i); (i)).
A 2= d((i); (j )) [ d( (i); (j )) [ d((i); (j )).
Angenommen, A 2= d3 (; ) [ d3 (; ).Dann existieren zwei Zahlen l1 ; l2 n,
so da A 2= d( (l1); (l1)) [ d( (l2 ); (l2)). Dann folgt aus der Dreiecksungleichung fur d fur alle i n: A 2= d( (i); (l1)) [ d( (l1); (l1)) [ d( (l1); (l2)) [
d( (l2); (l2)) [ d((l2 ); (i)) d( (i); (i)). Das ergibt einen Widerspruch.
2
Lemma 5.5.7 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum, 2 M 3 eine Fundamentalfolge und eine unendliche Teilfolge von . Dann gilt d3 (; ) = ;.
5. Kompaktheit
79
Beweis. Da eine Fundamentalfolge ist, existiert fur alle A 2 L ein n, so
da A 2= d( (i); (j )) fur alle i; j n gilt. Da eine unendliche Teilfolge ist,
gilt fur alle i n, da A 2= d( (i); (i)) = d( (i); (i + ki )). 2
Denition 5.5.8 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum. Dann ist die Relation ' M 2 M wie folgt deniert: m ' m0 , d(m; m0) = ;.
Lemma 5.5.9 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum. Dann ist ' M 2 M

eine Aquivalenzrelation.
Beweis. Reexivitat, Symmetrie und Transitivitat folgen jeweils unmittelbar aus den Bedingungen 2a-2c in Denition 5.5.1. Insbesondere folgt
Transitivitat aus der Dreiecksungleichung wie folgt: m1 ' m2 und m2 ' m3
impliziert ; = d(m1 ; m2) [ d(m2 ; m3) d(m1; m3), also m1 ' m3. 2
Lemma 5.5.10 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum und M= ' die Faktorisierung von M modulo '. Dann ist (M= '; L; d'), mit d' deniert
vermoge d' ([m1]; [m2]) := d(m1 ; m2)), ein regularer L-metrischer Raum.
Beweis. Wir beweisen Reprasentantenunabhangigkeit der Denition von d' .
Seien m1; m2 ; m01; m02 2 M Elemente von M , so da m1 ' m01 und m2 ' m02.
Dann gilt d(m1 ; m2) d(m1 ; m01) [ d(m01; m02 ) [ d(m02 ; m2) = d(m01 ; m02),
der Beweis der Gegenrichtung verlauft analog. Mithin gilt d(m1 ; m2) =
d(m01 ; m02). Regularitat des Raumes folgt unmittelbar aus der Denition.
2
Theorem 5.5.11 Sei (M; L; d) ein L-metrischer Raum. Dann ist der Raum
der Fundamentalfolgen (M 3 ; L; d3 ) vollstandig.
Beweis. Sei fA1; A2 ; ::g eine Aufzahlung von L und (k ) 2 (M 3 )3 eine
Fundamentalfolge in (M 3 ; L; d3 ). Wir konstruieren einen Grenzwert von (k )
wie folgt:
N1 := min fnj8l; k n : A1 2= d3 (l (i); k (j ))g :
M1 := min fnj8i; j n : A1 2= d(N1 (i); N1 (j ))g :
80
5. Kompaktheit
Ns+1 := min fnj8l; k n : fA1; ::; As+1g \ d3 (l (i); k (j )) = ;g :
Ms+1 := Ms + minfnj8i; j n : fA1 ; ::; As+1g\
d(Ns+1 (i); Ns+1 (j )) = ;g:
Da (k ) eine Fundamentalfolge (in (M 3 ; L; d3 )) ist, existieren die Ns , da
die k 's selbst wieder Fundamentalfolgen (in (M; L; d)) sind, existieren die
Ms . Unmittelbar aus der Konstruktion folgt, da (Ms) und (Ns ) monotone
Zahlenfolgen sind.
Betrachte die Diagonalfolge D 2 M ! , deniert vermoge D (i) := Ni (Mi ).
Wir zeigen zunachst, da D eine Fundamentalfolge ist. Sei An 2 L ein beliebiges
Element aus L. Aufgrund der Dreiecksungleichung
d (D (i);D (j )) =
d Ni (Mi ); Nj (Mj ) d (Ni (Mi ); Ni (Mj ))[d Ni (Mj ); Nj (Mj ) gilt dann
fur alle i; j n , da An 2= d mDi ; mDj .
D ist Grenzwert von (k ). Sei An 2 L ein beliebiges Element aus L
und k Nn . Dann gilt fur alle i n + Nn + Mn : d(D (i); k (i)) d(D (i); Ni (i)) [ d(Ni (i); k (i)), und damit An 2= d(D (i); k(i)). Daraus
folgt An 2= d3 (D ; k ). 2
Denition 5.5.12 Seien L; S Mengen und
schen diesen Mengen. Dann heit
j S 2 L eine Relation zwi-
T hj(s) := fAjsjAg Theorie von s 2 S ,
T hs() := nS2! iTn T hj((i)) Theorie einer Folge 2 S ! .
Lemma 5.5.13 Seien L; S Mengen, wobei L hochstens abzahlbar unendlich ist und j S 2 L eine Relation zwischen diesen Mengen. Dann ist
(S; L; d), mit d : S 2 S ! 2L deniert vermoge d(s1 ; s2) := (T hj(s1 ) [
T hj(s2 ))n(T hj (s1) \ T hj (s2 )), ein L-metrischer Raum.
Beweis. Trivial: Reexivitat und Symmetrie folgen unmittelbar aus der
Denition, die Gultigkeit der Dreiecksungleichung macht man sich anhand
Abbildung 5.1 deutlich. 2
81
5. Kompaktheit
'
T hj (s2)
T hj (s1)
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@ T hj(s3)
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@@00@0@0@0@0@0@0@0@@00
0 0 d(T hj(s1); T hj (s2)) [ d(T hj(s2); T hj (s3))
@ @ d(T hj(s1); T hj (s3))
Abbildung 5.1: Die symmetrische Dierenz erfullt die Dreiecksungleichung
5. Kompaktheit
82
Lemma 5.5.14 Seien L; S Mengen, wobei L hochstens abzahlbar unendlich
ist, j S 2 L eine Relation zwischen diesen Mengen, d : S 2 S ! 2L die
in Lemma 5.5.13 denierte Abbildung und ; 2 S 3 Fundamentalfolgen in
(S; L; d). Dann gilt d3 (; ) = ; genau dann, wenn T hs( ) = T hs( ).
Beweis. Angenommen, d3 (; ) = ;, A 2 T hs( ) und A 2= T hs( ). Dann
existiert ein n, so da fur alle i n gilt (i)jA. Wegen d3 (; ) = ; existiert
ein k n, so da A 2= d( (k); (k)). Da A 2= T hs( ), existiert weiter ein l k, so da (l)j=A. Da eine Fundamentalfolge ist und k und l beliebig gro
gewahlt werden konnen, kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit weiter
angenommen werden, da A 2= d( (k); (l)). Aus der Dreiecksungleichung
folgt dann A 2= d( (k); (l)) d( (k); (k)) [ d( (k); (l)) und schlielich
(l)j=A aus der Denition von d und (k)jA. Das ergibt einen Widerspruch.
Wir zeigen die Gegenrichtung. Sei T hs( ) = T hs( ). Angenommen, es
existiert ein A 2 d3 (; ). Da und Fundamentalfolgen sind, existiert ein
n, so da fur alle k; l n gilt, da A 2= d( (k); (l)) [ d( (k); (l)). Wegen
A 2 d3 (; ) kann n so gro gewahlt werden, da A 2 d( (k); (k)) fur alle
k n gilt. Sei k n xiert. Dann sind zwei Falle zu unterscheiden:
Fall 1 (k)jA. Dann ist fur alle l n (l)jA und damit (l)j=A, also
A 2 T hs( ) und A 2= T hs( ), im Widerspruch zur Voraussetzung.
Fall 2 (k)j=A. Dann ist fur alle l n (l)j
=A und damit (l)jA, also
A 2= T hs( ) und A 2 T h( ), im Widerspruch zur Voraussetzung.
Damit ist d3 (; ) = ; gezeigt. 2
Somit lat sich die Theorie einer Klasse von Fundamentalfolgen modulo
d3 (; ) = ; reprasentantenunabhangig wie folgt denieren.
Denition 5.5.15 Seien L; S Mengen, j S 2 L eine Relation zwischen
diesen Mengen und d : S 2 S ! 2L die Abbildung deniert in Lemma 5.5.13.
Dann ist die Theorie einer Klasse von Fundamentalfolgen modulo ' deniert
vermoge T hs ([ ]) := T hs ( ).
5.5.2 Verallgemeinerte Modellstrukturen
Aus den letzten Resultaten folgt, da MAK-Modellstrukturen L-metrische
Raume erzeugen, wenn L := L und M := S gesetzt wird. Dabei wird von einer Struktur (L; S ; ; j) ein L-metrischer Raum auch dann erzeugt, wenn die
83
5. Kompaktheit
Dichtheitsbedingung nicht erfullt ist. Das fuhrt zum Begri der verallgemeinerten Modellstrukturen als Verallgemeinerung der MAK-Modellstrukturen.
Denition 5.5.16 Ein 4-Tupel (L; S ; ; j) heit verallgemeinerte Modellstruktur genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1.
2.
3.
4.
L ist eine logische Sprache,
S ist eine Menge von Zustanden,
S 2 S ist eine binare Relation auf S ,
j S 2 L ist eine Relation.
Wenn im weiteren von Modellstrukturen als L-metrischen Raumen gesprochen wird, so ist das im Sinne von 5.5.13 zu verstehen, das heit, der
Abstand zwischen zwei Zustanden s1; s2 ist deniert vermoge
d(s1 ; s2) := T hj (s1) [ T hj (s2)
n T hj (s1) \ T hj (s2)
.
In Beispiel 4.3.5 wurde eine nitare Modellstruktur vorgestellt, die sich
pathologisch bezuglich Kompaktheit verhalt. In der Terminologie der Theorie der L-metrischen Raume entspricht das der Nichtvollstandigkeit des zugeordneten L-metrischen Raumes.
Beispiel 5.5.17 Betrachte die beiden verallgemeinerten Modellstrukturen
(LCP L ; M,; j) und (LCP L ; M0 ,; j), wobei (LCP L ; M0 ,; j) wie in Beispiel 4.3.5 deniert ist und (LCP L ; M,; j) die Erweiterung von (LCP L ; M0,
; j) ist, das heit, M := 2Latom M0 und j ist deniert wie in 4.3.5.
Dann bilden die Folgenglieder mn := Latom nfp2i gin der absteigenden Kette
Latom Latomnfp2 g :: Latomnfp2igin ::. eine Fundamentalfolge.
Sei A eine Formel. Dann kann n so gro gewahlt werden, da alle in A
vorkommenden Atome in fp1 ; ::; p2ng enthalten sind. Da alle Indizes mit
groerem Index irrelevant fur die Bewertung von A sind, gilt entweder 8m >
n : Latom nfp2i gim jA oder 8m > n : Latom nfp2i gim j=A und somit A 2=
d(mk ; ml ) fur alle k; l > n.
Allerdings ist (LCP L ; M0,d) nicht vollstandig. In (LCP L ; M,; j) ist
m0 := Latom nfp2i gi2! ein Grenzwert der obigen Folge, aber m0 ist weder
endlich noch co-endlich, m0 2= M0. Angenommen, es existiert ein Grenzwert
5. Kompaktheit
84
m00 2 M0 von (Latom nfp2i gin ). Aus Lemma 5.5.4 folgt d(m0; m00 ) = ; .
Dann gilt fur alle i 1: m00jp2i01 und m00 j
=p2i , und somit p2i01 2 m00
und p2i 2= m00. Daraus folgt m0 = m00. Das ergibt einen Widerspruch zu
m00 2 M0 .
5.5.3 Topologische Kompaktheit
Das letzte Beispiel legt nahe, die durch die Vervollstandigung der kanonischen MAK-Modellstruktur bestimmte Inferenzoperation als naturliche Extension zu betrachten. Die Relationen j und konnen wie folgt auf die
Vervollstandigung ubertragen werden.
Denition 5.5.18 Sei (L; S ; ; j) eine verallgemeinerte Modellstruktur,
(S ; L; d) der zugeordnete L-metrische Raum und S 3 die Menge aller Fundamentalfolgen in S . Dann sind die Relationen j3 S 3 2L und 3 S 3 2S 3
wie folgt deniert.
j3 A genau dann, wenn A 2 T hs() .
3 genau dann, wenn 9n8i n : (i) (i), wobei
die reexive Hulle von ist.
Unmittelbar aus der Denition folgt, da 3reexiv und S 3 2 S 3,
deniert vermoge genau dann, wenn 9n8i n : (i) = (i), eine
 quivalenrelation ist.
A
Denition 5.5.19 Sei F : 2Lf ! 2L eine stark kumulative nitare Inferenzoperation und sei Wf (F ) := (L; S ; ; j) die kanonische nitare MAKModellstruktur von F . Dann ist die Vervollstandigung Wf+ (F ) von Wf (F )
wie folgt deniert:
Wf+ (F ) := (L; S + ; +; j+ ), wobei:
S + := S 3 = :
[ ] j+ A genau dann, wenn A 2 T hs( ).
[ ] + [ ] genau dann, wenn [ ] =
6 [ ] und 3 .
5. Kompaktheit
85
Da sich 0aquivalente Folgen nur hinsichtlich endlicher Anfangsabschitte unterscheiden, sind die Denitionen der Relationen j und +reprasentantenunabhangig. Weiterhin folgt unmittelbar, da +irreexiv und antisymmetrisch ist.
Denition 5.5.20 Sei C : 2L ! 2L eine kumulative Inferenzoperation und
Wf (Cf ) die kanonische nitare MAK-Modellstruktur von Cf . Dann wird
C topologisch kompakt genannt genau dann, wenn Wf+ (Cf ) eine MAKModellstruktur ist und C = CWf+ (Cf ) gilt. Ein Inferenzframe (L; Cn; C ) wird
topologisch kompakt genannt genau dann, wenn C topologisch kompakt ist.
Topologische Kompaktheit entspricht der Betrachtung des folgenden Extensionsoperators 1top.
1topF := CWf+(F ):
Man beachte dabei, da, im Gegensatz zu 11 bis 14, 1top nicht von der Basis
Cn des Frames abhangt.
Satz 5.5.21 1top ist eine Extension auf der Klasse der kumulativen Inferenzframes, das heit, wenn F : 2Lf ! 2L eine kumulative nitare Inferenzoperation ist, dann gilt F = (1top F )f .
Beweis
Sei X0 f L eine endliche Menge. Betrachte die Menge X^0 in
Wf+ (1topF )f . Eine Folge in wird quasi-stationar genannt genau dann,
wenn die folgende Bedingung erfullt ist: 9n8i; j n : (i) = (j ). Unmittelbar aus der Denition folgt, da quasi-stationare Folgen Fundamentalfolgen
sind. Wir zeigen, da genau die quasi-stationaren Folgen (genauer: deren
Klassen modulo ) des Typs (F (X1 ); ::; F (Xn); F (X0); F (X0); ::) die minimalen Elemente in X^0 sind. Sei (F (Yi )) 2 X^0 . Da X0 endlich ist, existiert
ein m, so da fur alle i m gilt X0 F (Yi ). Somit gilt 8i > m + n :
F (X0) F (Yi ) und damit (F (X1 ); ::; F (Xn); F (X0); F (X0); ::) (F (Yi)).
Da die Theorie aller Folgen des Typs (F (X1); ::; F (Xn); F (X0 ); F (X0); ::)
gleich F (X0) ist, folgt schlielich 1topF (X0 ) = F (X0). 2
Fur Konsequenzoperationen fallen, unter sehr schwachen zusatzlichen
Voraussetzungen, die Begrie topologische Kompaktheit und Kompaktheit
zusammen.
5. Kompaktheit
86
Theorem 5.5.22 Sei Cn : 2L ! 2L eine Konsequenzoperation, so da eine
endliche inkonsistente Menge X? f L existiert, Cn(X? ) = L. Dann ist Cn
kompakt genau dann, wenn Cn topologisch kompakt ist.
Beweis Sei X L eine Menge. Aufgrund der Existenz einer endlichen
inkonsistenten Menge8 ist X^ in Wf+(1top Cnf ) nicht leer, da X Cn(X? )
und damit Cn(X? )jX gilt, also die stationare Folge (Cn(X?)) in X^ liegt.
()) Sei Cn kompakt. Betrachte eine Fundamentalfolge (Cn(Xi )) in X^ . Sei
(Cn(Yi )) eine Folge des Typs Cn(;); ::; Cn(;); Cn(fA1g); ::; Cn(fA1; A2 g); ::;
wobei A1; A2; :: eine Aufzahlung von X und Yi Cn(Xi ) ist, man beachte, da Folgenglieder in endlicher Wiederholung vorkommen knnen. Solch
eine Folge existiert wegen X T hs ((Cn(Xi ))). Dann gilt (Cn(Yi )) +
(Cn(Xi )) ; (Cn(Yi )) 2 X^ und, wegen Monotonie und Kompaktheit von Cn,
T hs ((Cn(Yi ))) = Cn(X ). Damit sind die Folgen dieses Typs genau die minimalen Elemente in X^ und mithin gilt CWf+(Cnf ) = Cn und topologische
Kompaktheit von Cn ist gezeigt.
(() Angenommen, Cn ist topologisch kompakt. Sei (Cn(Xi )) ein minimales
Element in X^ . Dann ist (Cn(Xi )) vom Typ (Cn(Yi )) ; siehe oben. Wegen
der topologischen Kompaktheit gilt Cn(X ) T hs ((Cn(Yi ))) und damit existiert ein n, so da A 2 Cn(Yn). Gema Konstruktion von (Cn(Yi )) gilt
Yn f X , und damit ist Cn kompakt. 2
Lemma 5.5.23 Sei (LCP L ; CnCP L ; Cmin) minimales Schlieen in klassischer
Aussagenlogik und 2 S 3 eine Fundamentalfolge in S (in Wf ((Cmin)f )).
Dann ist T hs( ) eine Theorie, das heit CnCP L (T hs( )) = T hs( ).
Beweis. Sei A 2 CnCP L (T hs( )). Dann existiert eine endliche Menge
Y f T hs( ), so da A 2 Cn(Y ). Dann existiert ein Index n, so da fur alle
i n gilt Y Cmin (Xi ) und, wegen der deduktiven Abgeschlossenheit von
Cmin (Xi ), A 2 Cmin(Xi ). Damit ist A 2 T hs( ). 2
Theorem 5.5.24 Der Inferenzframe minimalen Schlieens in klassischer
Aussagenlogik (LCP L ; CnCP L ; Cmin) ist topologisch kompakt.
8
Hinreichende Bedingungen dafur sind, da (L; Cn) uber eine Kontradiktion oder eine
(klassische oder intuitionistische) Negation verfugt.
87
5. Kompaktheit
Beweis. Sei Wf (Cf ) :=(LCP L ; S ; ; j) die kanonische nitare MAK-Modellstruktur von (LCP L ; Cmin) und sei weiter (Cmin (Xi )) 2 X^ , deniert vermoge
n
X^ := [ ] 2 S +j8A 2 X : [ ] j+ A
o
Dann gilt X T hs ((Cmin (Xi ))) und, da T hs ((Cmin (Xi ))) laut Lemma
5.5.23 eine Theorie ist, HVX 2 CnCP L (X ) T hs ((Cmin (Xi ))) fur alle endlichen Mengen V Latom . Sei fp1 ; p2 ; ::g = Latom eine Aufzahlung von Latom
und Vk := fp1 ; ::; pk g . Gema Denition von T hs existiert fur alle k ein n, so
da fur alle i n gilt HVXk 2 Cmin (Xi ). Damit existiert eine streng monotone
Folge9 n(0) < n(1) < :: , so da 8i n(kn) : HoVXk 2 Cmin (Xi ).
Betrachte die Folge (Cmin(Zi )), Zi = HVXk genau dann, wenn n(k) i <
n(k+1). Gema Konstruktion gilt dann Zi Cmin (Xi ) und damit Cmin (Zi ) Cmin (Xi ), und weiter (Cmin(Zi )) + (Cmin(Xi )). Weiterhin erfullt (Cmin (Zi ))
die Voraussetzungen von Theorem 5.4.10, es folgt T hs ((Cmin(Zi ))) = Cmin (X ).
Insgesamt existiert fur alle (Cmin (Xi )) 2 X^ eine Folge des Typs (Cmin (Zi )),
so da T hs ((Cmin(Zi ))) := Cmin (X ) und (Cmin (Zi )) + (Cmin (Xi )) erfullt
ist. Damit sind diese Folgen die + 0minimalen Elemente in X^ und es
folgt CWf+((Cmin )f ) (X ) := Cmin(X ). Damit ist (LCP L ; CnCP L ; Cmin) topologisch kompakt. 2
Korollar 5.5.25 Es existieren topologisch kompakte Inferenzframes, die nicht
schwach kompakt sind.
Beweis. Da topologische Kompaktheit eines Inferenzframes unabhangig von
der Wahl der Basis ist, folgt aus Theorem 5.5.24 die topologische Kompaktheit des Inferenzframes (L; id; Cmin ), wobei id die identische Abbildung auf 2L
ist. Oensichtlich fallen fur (L; id; Cmin) Kompaktheit und schwache Kompaktheit zusammen und damit ist (L; id; Cmin ) laut 5.4.1 nicht schwach kompakt. 2
9
H;M od(X ) ist dabei eine Tautologie.
5. Kompaktheit
88
5.6 Extensionsoperatoren im Vergleich
Von Freund und Lehmann [FL94] stammt die Problemstellung, einen fur
nichtmonotone Logiken geeigneten Kompaktheitsbegri zu nden:
\Since Tarski and Gentzen, logicians have had to choice between two possible frameworks for the study of logics. .. For
compact monotonic mappings, the two frameworks are equivalent .. . The choice of a framework for a study of nonmonotonic
logics has more serious consequences, since, even for compact
mappings, there is no bijection as in the monotonic case. At this
point, we do not know whether there is a reasonable notion of
pseudo-compactness for which any nitary operation has a unique pseudo-compact extension." [FL94]
Es ist sinnvoll, eine Reihe abstrakter Prinzipien zu formulieren, die solch
ein Kompaktheitsbegri erfullen sollte; und die hier vorgestellten Extensionen 11 0 14 und 1top auf dieser Basis zu bewerten.
KP Korrespondenzprinzip: Wenn C eine Konsequenzoperation ist, sollte
(L; Cn; C ) vollstandig 1-kompakt sein genau dann, wenn C kompakt
ist. 1 soll also den kanonischen Kompaktheitsbegri monotoner Logiken konservativ erweitern. KP wird von 12 0 14 sowie 1top erfullt. Fur
12 folgt das unmittelbar aus der Denition, da monotone Operationen
C durch die zur Denition von 13 aus 12 verwendete Transformation
nicht verandert werden, gilt KP auch fur 13. Fur 1top die Gultigkeit
von KP genau die Aussage von Theorem 5.5.22. 11 erfullt KP nicht.
aren KonFreund und Lehmann [FL94] haben ein Beispiel einer nit
sequenzoperation F angegeben, deren kleinste kumulative Erweiterung
1Cn
1 F nicht monoton ist. Damit stimmt diese nicht mit der durch das
Kompaktheitsaxiom induzierten naturlichen Extension 1mon uberein.
SP Schwachheitsprinzip: Um abzusichern, da vollstandige 1-Kompaktheit
fur die elementarsten nichtmonotonen Logiken gezeigt werden kann,
sollte vollstandige 1-Kompaktheit eines Inferenzframes (L; Cn; C ) nicht
Kompaktheit von C nach sich ziehen. Oensichtlich wird SP von
11 0 13 verletzt und von 14 und 1top erfullt, da minimales aussagenlogisches Schlieen nicht kompakt, wohl aber vollstandig 140 und
1top-kompakt ist.
89
5. Kompaktheit
11
12
13
14
1top
KP SP UP KE
+
+
?
+
- (+)
+ +
?
+ + +
?
Tabelle 5.1: Eigenschaften von Extensionsoperatoren
UP Ultraschwachheitsprinzip: Wie die Beispiele 5.4.7, 5.4.8 und 5.4.9 zeigen, sind bereits relativ einfache nichtmonotone Logiken nicht einmal
schwach kompakt. 1 erfullt UP, wenn vollstandige 1-Kompaktheit
eines Inferenzframes nicht dessen schwache Kompaktheit impliziert.
11 0 14 verletzen UP, 1top hingegen erfullt als einzige Extension UP
(vergleiche Korollar 5.5.25):
KE Erhaltung von Eigenschaften: Erfullt F die nitare Version von Eigenschaften wie Kumulativitat, starke Kumulativitat etc., so sollte 1F
diese Eigenschaft erfullen. Positive Ergebnisse liegen fur 11 0 13 vor
(Theoreme 5.2.2, 5.2.5 und 5.2.7), fur die schwachen Extensionen 14
und 1top sind diese Fragen oen.
Es wird deutlich, da die Starke von 11 0 13 in der Erfullung von KE
liegt, wahrend 14 und 1top hinsichtlich SP besser liegen. Es stellt sich weiter
die Frage, ob, zumindest fur gewisse Klassen von Inferenzframes, uberhaupt
Extensionsoperatoren existieren, die alle Prinzipien KP, SP/UP und KE
erfullen, also ob diese Prinzipien konsistent sind. Der einzige Kandidat fur
solch einen Operator aus 11 0 14 ; 1top ist 1top, vergleiche Tabelle 5.1.
Tabelle 5.1 fat zusammen, wie sich die Extensionsoperatoren 11 0 14
sowie 1top hinsichtlich der oben formulierten Prinzipien verhalten. Dabei
steht \+" fur \Prinzip wird erfullt", \-" fur \Prinzip wird verletzt" und \?"
fur ein oenes Problem. Klammern deuten auf zusatzliche Voraussetzungen
und teilweises Erfulltsein hin.
Ein weiterer Vorteil von 1top liegt in der Flexibilitat der Konstruktion: die
Denition von 1top nimmt an keiner Stelle Bezug auf spezielle Eigenschaften
der symmetrischen Dierenz als gewahlte L-Metrik. Damit kann durch jede
L-Metrik d0 : fF (X )jX f Lg ! 2L ein neuer Extensionsoperator deniert
5. Kompaktheit
90
werden: Die hier untersuchte L-Metrik scheint uns die Intuitivste zu sein: der
Abstand zweier Mengen ist die Menge der Formeln, bezuglich derer sich die
Mengen unterscheiden.
Abschlieend eine Bemerkung zur Existenz alternativer L-Metriken. Sei
d : fF (X )jX f Lg ! 2L deniert wie oben, also die symmetrische Dierenz, und sei L L eine beliebige Teilmenge aus L. Dann ist die Abbildung
dL : fF (X )jX f Lg ! 2L , deniert vermoge
dL (F (X ); F (Y )) := L \ d (F (X ); F (Y )),
oensichtlich ebenfalls eine L-Metrik. Wenn man etwa L := Latom setzt,
erhalt man eine L-Metrik, wo der Abstand zweier Mengen F (X ) und F (Y )
als die Menge der atomaren Formeln, hinsichtlich derer sich F (X ) und F (Y )
unterscheiden, interpretiert wird. Betrachtet man etwa minimales aussagenlogisches Schlieen F := (Cmin )f , dann enthalten sowohl F (;) als auch
F (fp _ q g) keine Atome und damit gilt dLatom (F (;); F (fp _ q g)) = ;, aber
d (F (;); F (fp _ q g)) 6= ;. Entsprechend ist die Folge , deniert vermoge
(
(i) :=
F (; )
wenn i gerade
F (fp _ q g) wenn i ungerade ;
eine Fundamentalfolge in (fF (X )jX f Lg ; L; dLatom ), aber naturlich keine
Fundamentalfolge in (fF (X )jX f Lg ; L; d). Das verdeutlicht, da fur Extensionen, die durch alternative L-Metriken deniert werden, andere Eigenschaften zu erwarten sind.
Kapitel 6
Deduktive Basen
6.1 Die grote deduktive Basis
Die Analyse der Basen von Inferenzoperationen ist aus zwei Grunden von
Interesse:
Die Semantik einer Inferenzoperation basiert auf der Semantik einer
Basis.
Wichtige Eigenschaften wie Distributivitat hangen von der Wahl der
deduktiven Basis ab.
Fur eine Inferenzoperation C : 2L ! 2L lassen sich die folgenden Klassen
unterliegender deduktiver Operationen Cn : 2L ! 2L denieren:
0(C ) := fCn : 2L ! 2L j(L; Cn; C ) ist ein Inferenzframe g:
0LA (C ) := fCn : 2L ! 2L j(L; Cn; C ) ist ein linksabsorbierender
Inferenzframeg.
0F A (C ) := fCn : 2L ! 2Lj(L; Cn; C ) ist ein vollabsorbierender
Inferenzframeg.
Lemma 6.1.1 Sei C eine Inferenzoperation. Wenn C Schnitt erfullt, dann
gilt 0LA (C ) = 0(C ): Erfullt C Kumulativitat, dann gilt 0F A (C ) = 0LA (C ) =
0(C ):
91
6. Deduktive Basen
92
Beweis. Wir zeigen, da Schnitt Linksabsorption impliziert. Seien X L
eine Menge von Formeln. Dann gilt wegen Supradeduktivitat X Cn(X ) C (X ) fur jede Basis Cn von C und Schnitt liefert CCn(X ) C (X ). Der
zweite Teil der Behauptung folgt unmittelbar aus Theorem 3.2.5. 2
Es zeigt sich, da sich die wichtigsten der in Kapitel 2 eingefuhrten Eigenschaften fur Inferenzframes nach oben vererben, das heit, Vergroerung
der Basis erhalt diese Eigenschaften.
Satz 6.1.2 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation, Cn1 ; Cn2 2 0(C ),
Cn1 Cn2, und Condition eine der Bedingungen Rationalitat,Deduktivitat,
Konsistenzerhaltung, vollstandige 140Kompaktheit, schwache Kompaktheit.
Dann gilt folgendes:
Erfullt (L; Cn1 ; C ) Condition , so erfullt auch (L; Cn2 ; C ) Condition .
Ist C kumulativ und (L; Cn1 ; C ) erfullt Distributivitat, so erfullt auch
(L; Cn2; C ) Distributivitat.
Beweis. Fur die Bedingungen Rationalitat, Deduktivitat und Konsistenzerhaltung folgt der Beweis unmittelbar aus den entsprechenden Bedingungen.
Sei C kumulativ und damit (L; Cn2 ; C ) rechtsabsorbierend und (L; Cn1 ; C )
vollstandig 14 0kompakt. Dann gilt A 2 C (X ) = CCn2(X ) genau dann,
wenn fur alle endlichen Mengen Xf f Cn1Cn2(X ) = Cn2(X ) eine endliche
Menge Yf f Cn1Cn2 (X ) = Cn2 (X ) existiert, so da A 2 C (Xf [ Yf ).
Damit ist (L; Cn2 ; C ) ebenfalls vollstandig 140kompakt.
Sei nun C kumulativ und (L; Cn1 ; C ) distributiv. Da Kumulativitat
Rechtsabsorption bezuglich jeder Basis impliziert, folgt C (X ) \ C (Y ) =
CCn2(X )\CCn2(Y ) C (Cn1Cn2 (X )\Cn1Cn2 (Y )) = C (Cn2(X )\Cn2 (Y ));
und damit ist (L; Cn2 ; C ) ebenfalls distributiv. 2
Daneben gilt diese Vererbungseigenschaft naturlich auch fur Eigenschaften ohne Bezug auf irgendeine Basis, wie etwa Kumulativitat und Kompaktheit. Wegen des Zuwachses von Regularitat bei Vergroerung der Basis stellt
sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich die Existenz einer groten
Basis zeigen lat.
Theorem 6.1.3 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation. Dann besitzt
(0LA (C ); <) ein grotes Element.
6. Deduktive Basen
93
Beweis. Der Beweis besteht aus drei Teilen: zuerst zeigen wir, da 0LA(C )
stets nichtleer ist, in Schritt zwei wird die Existenz maximaler Elemente in
0LA (C ) gezeigt und im letzten Schritt wird bewiesen, da maximale Elemente
stets identisch sind.
0LA (C ) kann nicht leer sein, da stets id 2 0LA (C ) gilt.
Um die Existenz maximaler Elemente in 0LA (C ) zu zeigen, betrachte eine
aufsteigende Kette K := (Cn1 Cn2 ::) in 0LA (C ): Sei Cn : 2L ! 2L die
Funktion deniert durch Cn(X ) := [K Cni (X ). Cn ist eine obere Schranke
von K. Wir zeigen Cn 2 0LA (C ). Reexivitat und Monotonie sind oensichtlich. Um Idempotenz von Cn zu zeigen, sei A 2 Cn2(X ). Dann ist
A 2 CnN Cn(X ) fur ein N und damit A 2 CnN (Xf ) fur eine endliche
Menge Xf Cn(X ), wegen der Kompaktheit von CnN : Das gleiche Argument kann wiederholt angewendet werden, es existiert ein Index M, so
da Xf CnM (X ): Insgesamt folgt A 2 CnN CnM (X ) Cn2max(N;M )(X ) =
Cnmax(N;M )(X ) Cn(X ) und damit ist Idempotenz von Cn bewiesen. Weiterhin ist Cn kompakt: A 2 Cn(X ) impliziert A 2 CnN (X ) fur ein gewisses
N und damit A 2 CnN (Xf ) Cn(Xf ) fur eine endliche Teilmenge Xf
von X , wegen der Kompaktheit von CnN : Linksabsorption ist erfullt, da
A 2 CnC (X ) die Existenz eines Index N impliziert, so da A 2 CnN C (X ) =
C (X ): Somit ist Cn 2 0LA(C ) bewiesen und aus Zorns Lemma folgt, da
0LA (C ) maximale Elemente besitzt.
Angenommen, 0LA (C ) besitzt zwei unterschiedliche maximale Elemente
Cn1 und Cn2: Sei Cn deniert vermoge Cn(X ) := [i2! (Cn1Cn2)i (X ): Wir
zeigen Cn 2 0LA (C ); die Beweise von Monotonie und Reexivitat sind wieder
trival. Linksabsorption CnC = C und Supradeduktivitat Cn C sind
einfach durch Induktion beweisbar. A 2 CnC (X ) impliziert die Existenz
eines N, so da A 2 (Cn1Cn2)N C (X ); dann kann Linksabsorption Cni C =
C (i=1,2) genutzt werden, um (Cn1 Cn2)N C (X ) = C (X ) zu schlufolgern:
Der Induktionsbeweis fur Supradeduktivitat beginnt mit (Cn1Cn2)0 C;
(Cn1Cn2 )0(X ) := X (Reexivitat): Angenommen, es ist (Cn1Cn2 )k C ,
dann kann Cn1Cn2 auf beiden Seiten der Ungleichung angewendet werden
und aus Monotonie von Cn1 und Cn2 folgt (Cn1Cn2)k+1 (Cn1Cn2 )C = C:
Damit gilt Cn C: Um Kompaktheit zu zeigen, sei A 2 Cn(X ); dann ist
A 2 (Cn1 Cn2)N (Xf ) fur gewisse N und Xf , da (Cn1Cn2)N die endliche
Iteration kompakter monotoner Operationen ist und damit selbst kompakt
ist.
6. Deduktive Basen
94
Schlielich ist Idempotenz zu zeigen. Angenommen, A 2 Cn2(X ) und damit A 2 (Cn1Cn2)N (Cn(X )) gilt fur ein gewisses N. Aus der Kompaktheit
folgt A 2 (Cn1 Cn2)N (Yf ) fur eine endliche Menge Yf f Cn(X ). Dann existieren fur alle B 2 Yf naturliche Zahlen MB , so da B 2 (Cn1Cn2 )MB (X );
sei M die grote dieser Zahlen, M := max(fMB gB 2Yf ): Weiter gilt
A 2 (Cn1 Cn2)N (Cn1Cn2)M (X ) = (Cn1Cn2)M +N (X ) Cn(X ):
Da sowohl Cn1 als auch Cn2 maximale Elemente sind, andererseits aber
Cn1 Cn beziehungsweise Cn2 Cn gilt, folgt Cn1 = Cn2 = Cn, im
Widerspruch zu Cn1 6= Cn2 : 2
Korollar 6.1.4 Sei C eine Inferenzoperation. Erfullt C Idempotenz, so existiert eine grote Basis Cn. Erfullt C Kumulativitat, dann ist diese grote
Basis eine deduktive Basis.
Beweis. Folgt aus Theorem 6.1.3 und Lemma 6.1.1. 2
Denition 6.1.5 Sei (L; Cn; C ) ein kumulativer Inferenzframe. Dann wird
(L; Cn; C ) optimal genannt genau dann, wenn Cn die grote deduktive Basis
von C ist.
Wir fahren mit zwei negativen Resultaten fort: fur allgemeine Inferenzoperationen hat weder 0(C ) noch 0F A (C ) im allgemeinen ein grotes Element.
Beispiel 6.1.6 Sei C eine Inferenzoperation. Dann existiert im allgemeinen
keine grote Konsequenzoperation Cn, so da Cn C . Betrachte die Inferenzoperationen C; Cn1; Cn2 : 2fp;q;rg ! 2fp;q;rg, wie deniert in Tabelle 6.1.
C ist weder idempotent noch monoton und damit auch nicht kumulativ. Sowohl Cn1 als auch Cn2 sind Konsequenzoperationen kleiner als C , aber nicht
in 0LA (C ), da q 2 Cn1C (;) und q 2= C (;), beziehungsweise r 2 Cn2 C (;)
und r 2= C (fpg):
0(C ) besitzt kein grotes Element. Angenommen, solch ein Element Cn
wurde existieren. Dann ware Cn1(X ) [ Cn2 (X ) Cn(X ) fur jede Menge
X und damit q 2 Cn(fpg) und r 2 Cn(fp; q g): Daraus folgt, da Cn Schnitt
erfullt, r 2 C (fpg), im Widerspruch zur Annahme Cn C:
95
6. Deduktive Basen
CX
p
;
p,q
p
q,r
q
r
r
p,q p,q,r
p,r p,q,r
q,r q,r
p,q,r p,q,r
X
C 2X
p,q
p,q,r
q,r
r
p,q,r
p,q,r
q,r
p,q,r
Cn1X Cn2 X
;
p,q
q
r
p,q
p,q,r
q,r
p,q,r
;
p
q,r
r
p,q,r
p,r
q,r
p,q,r
Tabelle 6.1: Denition von C; Cn1; Cn2
Wenn wir die Sprache auf fp; q g einschranken und die entsprechenden
Einschrankungen der Operationen C und Cn1 betrachten, ergibt sich der Fall,
wo 0(C ) ein grotes Element besitzt, das aber verschieden vom groten Element von 0LA (C ) ist.
Satz 6.1.7 Es existieren Inferenzoperationen C, so da 0F A (C ) kein grotes
Element besitzt.
Beweis. Setze L:=Lp [ Lq ; wobei Lp := fpi gi2! , Lq := fqj gj2! ; mp(X ) :=
max fijpi 2 X g und mq (X ) := max fijqi 2 X g : Des weiteren sind die Inferenzoperationen C; Cnk ; Cn! : 2L ! 2L (k 2 !) wie folgt deniert:
8
>
<
X [ Lp [ fqmp(X )g wenn mp(X ) < !
existiert
C (X ) := >
:
sonst
X [ Lp
8
>
< X [ fpj j j mp(X ) + k g wenn mp(X ) < !
existiert
Cnk (X ) := >
:
sonst
X [ Lp
Cn! (X ) := X [ Lp :
Es ist leicht zu verizieren, da sowohl alle Operationen Cnk , als auch
Cn! kompakte Konsequenzoperationen sind, die (bezuglich ) kleiner als C
96
6. Deduktive Basen
sind. Cn! ist oensichtlich die kleinste untere Schranke von fCk g : C ist
nicht monoton, wegen q1 2 C (p1 ) und q1 2= C (fp1 ; p2 g) :
Die beiden Frames (L; Cnk ; C ) und (L; Cn! ; C ) sind linksabsorbierend:
das folgt fur Formeln vom Typ pi unmittelbar aus Lp C (X ) und fur
Formeln qj aus Cnk (X ) \ Lq = Cn! (X ) \ Lq = X \ Lq : Daruber hinaus sind
die Frames (L; Cnk ; C ) rechtsabsorbierend (Kongruenz). Cnk (X ) = Cnk (Y )
impliziert X \ Lq = Y \ Lq und mp(Xn) = mpo(Y ), wenn beide existieren
und damit C (X ) = C (Y ) = X [ Lp [ qmp(X ) ; beziehungsweise C (X ) =
C (Y ) = X [ Lp , wenn weder mp(X ) noch mp(Y ) existieren. Dabei zieht
die Existenz von entweder mp(X ) oder mp(Y ), zusammen mit Cnk (X ) =
Cnk (Y ), die Existenz des anderen nach sich. Dagegen ist (L; Cn! ; C ) nicht
rechtsabsorbierend: Cn! (fp1 g) = Cn! (fp2 g) = Lp ; q1 2 C (fp1 g) ; aber
q1 2= C (fp2 g) :
Damit existieren unendliche aufsteigende Ketten fCnk g in 0F A (C ), die
keine oberen Schranken in 0F A (C ) haben. Angenommen, Cn ist eine solche
obere Schranke, dann gilt Cn! Cn und CCn = C und damit CCn! =
CCnCn! = CCn = C . Das ergibt einen Widerspruch. 2
Die Abbildung 6.1 zeigt die Struktur der Basen einer Inferenzoperation
C und fat 6.1.3, 6.1.6 und 6.1.7 zusammen.
6.2 Die Makinson-Basis
Im letzten Abschnitt wurde 6.1.4 als Korollar von Theorem 6.1.3 abgeleitet. In diesem und im nachsten Abschnitt werden Charakterisierungen der
groten Basis von Inferenzoperationen und, damit verbunden, direkte Beweise von 6.1.4 behandelt.
ur Inferenzoperationen C die Operation
Makinson hat in [Mak93] f
Cm(X ) :=
T
X Y
f C (Y )g
betrachtet und gezeigt, da unter der Voraussetzung, da C Schnitt erfullt,
Cm Monotonie, Schnitt und Reexivitat erfullt und da Cm C gilt. Dennoch bildet Cm keine Basis von C , da Kompaktheit im allgemeinen nicht
erfullt ist.
97
6. Deduktive Basen
C
0
@
I@
0
0
@
0
@@
0
0
@
I@
@
00
@@
00
@@00
@
I@
00
@@
00
@@
00
7SoS
S
..
SS
.
So
S7
6
SS
SS SZ
}Z
>
ZZ
ZZ
id
0(C )
0LA (C )
0F A (C )
Abbildung 6.1: Basen von Inferenzoperationen
98
6. Deduktive Basen
adiBeispiel 6.2.1 Betrachte endliches Schlieen L(=)
P L1 ; CnP L1; Cfin in Pr
katenlogik erster Stufe, deniert wie folgt:
adikatenlogik erster Stufe mit Identitat und
L(=)
P L1 ist die Sprache der Pr
ohne weitere Relations-, Funktions- oder Konstantensymbole.
CnP L1 ist die Konsequenzoperation der Pradikatenlogik erster Stufe.
Modfin (X ) ist die Klasse aller endlichen Modelle von X:
Cfin(X ) := T h(Modfin (X )):
T
fCfin(Y )g = Cfin.
Cfin ist selbst monoton und deshalb gilt Cm(X ) :=
X Y
Cfin ist allerdings
nicht kompakt. So etwa)hat die Menge
(
V
:(pi = pj )
X := 9_ x1; ::; xn :
i6=j;in;j n
n2!
kein endliches Modell und damit gilt ? 2 Cfin(X ). Jede endliche Teilmenge
Y f X hingegen hat ein endliches Modell, man braucht nur das Universum
hinreichend gro zu wahlen, und es folgt ? 2= Cfin(Y ). Damit ist Cfin nicht
kompakt.
Cm kann aber einfach zu einer deduktiven Operation kompaktiziert werden, indem man Cm auf endliche Mengen einschrankt und dann mittels Tarskis Kompaktheitsbedingung auf unendliche Mengen erweitert. Da diese
Kompaktizierung kleiner als die Ausgangsoperation ist, ist das Resultat
eine deduktive Basis von C .
Denition 6.2.2 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation.
Dann heit
T
S
fC (Y )g, die MakinCnMAK , deniert vermoge CnMAK (X ) :=
Z f X Z Y
-Basis von C .
Theorem 6.2.3 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation, die Schnitt erfullt.
Dann ist die Makinson -Basis die grote Basis von C .
Beweis. Sei Cn eine Basis von C . Angenommen, es existiert eine Formel
A, so da A 2 Cn(X ) und A 2= CnMAK (X ). Aufgrund der Kompaktheit
von Cn gilt dann A 2 Cn(Xf ) fur eine endliche Teilmenge Xf f X . Dann
gilt A 2 Cn(Y ) C (Y ) fur alle Y Xf und somit A 2 Cm(Xf ) =
CnMAK (Xf ) CnMAK (X ). Das ergibt einen Widerspruch. Also ist jede
Basis von C in CnMAK enthalten und CnMAK ist die grote Basis von C . 2
son
6. Deduktive Basen
99
6.3 Charakterisierung durch Regeln
Das grote Element von 0LA (C ) kann durch die Menge aller Ableitungsregeln, unter denen C abgeschlossen ist, charakterisiert werden.
Denition 6.3.1 Eine Inferenzoperation C : 2L ! 2L heit abgeschlossen
n genau dann, wenn f
ur alle X L aus
unter einer Ableitungsregel A1 ;::;A
B
fA1; ::; Ang C (X ) B 2 C (X ) folgt. R(C ) bezeichnet die Menge aller
Regeln, unter denen C abgeschlossen ist.
Theorem 6.3.2 Sei C eine Inferenzoperation. Dann ist CnR(C) das grote
Element von 0LA (C ):
Beweis. Sei CnC das grote Element von 0LA (C ): Wir zeigen zunachst
da (L,CnR(C ); C ) linksabsorbierend und damit CnR(C ) CnC gilt. A 2
CnR(C)C (X ) bedeutet, da A einen endlichen R(C)-Beweis aus C (X ) hat.
Dann gilt A 2 C (X ), da C abgeschlossen unter R(C) ist.
Um CnR(C ) CnC zu zeigen, beweisen wir R(CnC ) R(C ). Sei fABi g 2
R(CnC ); fAi g C (X ): Dann ist fAig CnC C (X ) und somit B 2 C (X ) =
CnC C (X ), wegen der Linksabsorption von CnC . Damit gilt
CnC = CnR(CnC ) CnR(C): 2
6.4 Konsistenzerhaltung versus Optimalitat
Es fragt sich, welche Beziehungen zwischen Optimalitat und den klassischen
Bedingungen (Tabelle 3.1) bestehen. Zumindest fur eine dieser Bedingungen,
Konsistenzerhaltung, lat sich ein enger Zusammenhang zeigen.
Lemma 6.4.1 Sei C eine kumulative Inferenzoperation und (L; Cni ); (i=1,2)
absolute deduktive Systeme, so da Cni C: Wenn beiden Inferenzframes
(L; Cni ; C ) konsistenzerhaltend sind, so gilt Cn1 = Cn2.
Beweis. Wir zeigen Cn1 Cn2; die Gegenrichtung verlauft analog. Angenommen, es gilt A 2= Cn2(X ). Da Cn2 absolut ist, gibt es eine maximal
Cn2-konsistente Menge X 0 mit X X 0 und A 2= Cn2(X 0 ). Da (L; Cn2 ; C )
konsistenzerhaltend ist, gilt C (X 0) 6= L und wegen Cn1 C ebenfalls
6. Deduktive Basen
100
Cn1(X 0 ) 6= L. Da andererseits X 0 maximal unter den Cn2 -konsistenten
Mengen ist und A 2= Cn2(X 0 ), folgt Cn2(X 0 [ fAg) = L und wegen Cn2 C auch C (X 0 [ fAg) = L. Konsistenzerhaltung von (L; Cn1 ; C ) ergibt
Cn1(X 0 [ fAg) = L. Damit ist A 2= Cn1(X 0 ) Cn1 (X ) und Cn1 Cn2 ist
gezeigt. Da die Gegenrichtung aufgrund der Symmetrie der Voraussetzungen bezuglich Cn1 und Cn2 analog gezeigt werden kann, folgt Cn1 = Cn2. 2
Theorem 6.4.2 Sei (L; Cn; C ) ein kumulativer Inferenzframe, (L; Cn) ein
absolutes deduktives System und (L; Cn; C ) konsistenzerhaltend. Dann ist
Cn maximal unter den absoluten deduktiven Basen von C .
Beweis. Sei (L; Cn; C ) ein konsistenzerhaltender kumulativer Inferenzframe
uber einem absoluten deduktiven System. Angenommen, es existiert ein absolutes deduktives System (L; Cn0), so da Cn < Cn0 C: Nach Lemma
6.1.2 ist dann (L; Cn0; C ) ebenfalls konsistenzerhaltend und aus Lemma 6.4.1
folgt Cn = Cn0 :2
Im allgemeinen ist Konsistenzerhaltung eines Frame nicht hinreichend fur
dessen Optimalitat. Man betrachte folgendes Gegenbeispiel.
Beispiel 6.4.3 Sei (LCP L ; Cnint; Cmin) der Inferenzframe bestehend aus dem
deduktiven System intuitionistischer Aussagenlogik (LCP L ; Cnint ) und minimalem aussagenlogischen Schlieen Cmin . Es ist bekannt, da Cnint (X ) =
LCP L genau dann, wenn CnCP L(X ) = LCP L [GKS88], damit ist auch der
Inferenzframe (LCP L ; Cnint ; Cmin ) konsistenzerhaltend, aber Cnint ist nicht
die grote deduktive Basis von Cmin .
Unter Hinzunahme gewisser zusatzlicher Bedingungen jedoch kann die
Aquivalenz von Konsistenzerhaltung und Optimalitat bewiesen werden.
Denition 6.4.4 Ein Inferenzframe (L; Cn; C ) wird endlich konsistenzerhaltend genannt genau dann, wenn Cn(Y ) = L , C (Y ) = L fur jede endliche Menge Y f L gilt.
Oensichtlich impliziert Konsistenzerhaltung endliche Konsistenzerhal quivalenz beider
tung. Unter bestimmten Bedingungen gilt lat sich die A
Bedingungen zeigen.
6. Deduktive Basen
101
Lemma 6.4.5 Sei (L; Cn) ein deduktives System mit Kontradiktion und sei
(L; Cn; C ) ein schwach kompakter Inferenzframe. Dann ist (L; Cn; C ) endlich konsistenzerhaltend genau dann, wenn (L; Cn; C ) konsistenzerhaltend
ist.
Beweis. Angenommen, (L; Cn; C ) ist endlich konsistenzerhaltend und es
gibt eine Menge X, so da Cn(X ) 6= L und C (X ) = L gilt: Dann ist ? 2
C (X ) und wegen der schwachen Kompaktheit existiert eine konsistente endliche Menge Xf Cn(X ), so da ? 2 C (Xf ), damit haben wir Cn(Xf ) 6= L
und C (Xf ) = L, im Widerspruch zur endlichen Konsistenzerhaltung.2
Theorem 6.4.6 Sei (L; Cn) ein deduktives System mit klassischer Negation
und (L; Cn; C ) ein kumulativer Inferenzframe. Dann ist (L; Cn; C ) endlich
konsistenzerhaltend genau dann, wenn (L; Cn; C ) optimal ist.
Beweis. Sei Cn die grote deduktive Basis von C . Wir benutzen die
Reprasentation von Cn als Makinson -Basis (Theorem 6.2.3), um endliche Konsistenzerhaltung von (L; Cn; C ) zu zeigen. Sei X eine beliebige
C 0inkonsistente endliche Menge, C (X ) = L. Dann gilt fur alle Y X die
Beziehung X Y C (X ), und Kumulativitat von C impliziert C (Y ) = L
fur alle Y X , also Cn(X ) = Cm(X ) = L, mit Cm wie in Denition 6.2.2
eingefuhrt.
Um die Gegenrichtung zu zeigen, sei Cn eine deduktive Basis von C , so
da (L; Cn; C ) endlich konsistenzerhaltend ist. Wir zeigen CnMAK Cn.
Da beide Operationen kompakt sind, ist es hinreichend zu zeigen, da fur alle
endlichen Mengen X , Cm(X ) = CnMAK (X ) Cn(X ) gilt. Sei X eine endliche Menge. Angenommen, es existiert ein A, so da A 2 Cm(X ) und A 2=
Cn(X ). Dann ist A 2 C (Y ) fur alle Y X , insbesondere A 2 (X [ f:Ag).
Aus der Kumulativitat von C folgt C (X [ f:Ag) = C (X [ f:A; Ag) = L.
Andererseits folgt C (X [ f:Ag) 6= L aus der Denition der klassischen Negation 2.2.4 und A 2= Cn(X ). Das ergibt einen Widerspruch. 2
Aus den letzten beiden Resultaten ergibt sich dann sofort folgendes Korollar.
Korollar 6.4.7 Sei (L; Cn) ein deduktives System mit klassischer Negation
und (L; Cn; C ) ein kumulativer und schwach kompakter Inferenzframe. Dann
102
6. Deduktive Basen
gilt: (L; Cn; C ) ist konsistenzerhaltend genau dann, wenn (L; Cn; C ) optimal
ist.
Beispiel 6.4.8 Klassische Aussagenlogik (LCP L ; CnCP L ) ist die grote deduktive Basis fur aussagenlogisches minimales Schlieen Cmin:
Beispiel 6.4.9 Betrachte endliches Schlieen L(=)
P L1 ; CnP L1; Cfin , wie in
Beispiel 6.2.1 deniert. Dann ist bekannt, da eine endliche Menge X ein
Modell hat genau
dann, wenn sie ein endliches Modell hat. Damit ist der In
ur ausferenzframe L(=)
P L1 ; CnP L1; Cfin konsistenzerhaltend und optimal. F
drucksreichere Signaturen gilt das nicht mehr. Enthalt die Signatur etwa ein
zusatzliches einstelliges Funktionssymbol f , ist endliche Konsistenzerhaltung
verletzt. Betrachte etwa folgendes Gegenbeispiel:
n
Xf := 9_ x6 _9y : f (y ) = x; 8_ x; y : f (x) = f (y ) ! x = y
o
ist eine konsistente endliche Menge ohne endliche
Modelle, also
CnP L1 (Xf ) 6=
(=
(=
(=
;f )
;f )
;f )
LP L1 und Cfin(Xf ) = LP L1 : Damit ist LP L1 ; CnP L1; Cfin nicht optimal.
6.5 Eigenschaften von Inferenzoperationen
In Kapitel 2 wurde argumentiert, da sich Eigenschaften wie Distributivitat
nicht sinnvoll fur Inferenzoperationen ohne Betrachtung gewisser unterliegender deduktiver Operationen denieren lassen. Zumindest fur die wichtigste
Klasse nichtmonotoner Operationen, die kumulativen Operationen, lassen
sich aufgrund der Existenz einer groten deduktiven Basis Begrie wie Distributivitat wie folgt auf Operationen ubertragen.
Denition 6.5.1 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation, CnC : 2L ! 2L
die grote deduktive Basis von C und Condition eine fur Inferenzframes
denierte Eigenschaft. Man sagt, da C Condition erfullt genau dann
(L; CnC ; C ) Condition erfullt.
Da alle diese Eigenschaften gema Theorem 6.1.2 nach oben vererbt werden, ist das aquivalent mit: \Es existiert eine Basis Cn von C , so da
(L; Cn; C ) diejenige Bedingung erfullt." Fur eine nach unten vererbbare
6. Deduktive Basen
103
Eigenschaft1 hingegen ist diese Denition aquivalent mit: \Fur alle Basen
Cn von C erfullt (L; Cn; C ) diejenige Bedingung."
Das legt nahe, Denition 6.5.1 wie folgt auf beliebige Inferenzoperationen zu
verallgemeinern:
Denition 6.5.2 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation, Cond-up und
Cond-down nach oben beziehungsweise nach unten vererbbare, fur Inferenzframes denierte Eigenschaften. Man sagt, da
C Cond-up erfullt genau dann, wenn eine Basis Cn von C existiert, so
da (L; Cn; C ) Cond-up erfullt.
C Cond-down erfullt genau dann, wenn (L; Cn; C ) Cond-down fur alle
Basen Cn von C erfullt.
Das folgende Beispiel demonstriert die Konsequenzen der letzten beiden
Denitionen.
CPL
Beispiel 6.5.3 Betrachte ein Poole-System (LCP L ; CnCP L ; C(Cn
K;D) ) mit
einer nichtleeren Menge von Constraints, deniert uber klassischer Aussagenlogik CnCP L . Besteht X etwa aus einer Formel :k, so da k 2 K ,
CPL
gibt es keine Poole-Extension und somit gilt C(Cn
K;D) (f:k g) = LCP L , aber
CnCP L (fkg) 6= LCP L . Das heit, Poole-Systeme mit Constraints sind
nicht konsistenzerhaltend. Obiges Beispiel zeigt, da sie nicht einmal endlich
konsistenzerhaltend sind und damit nicht optimal. Es lat sich leicht verizieren, da die Operation CnK , deniert in Beispiel 2.2.7, eine deduktive BaCnK
CPL
CPL
uber hinaus gilt C(Cn
sis von C(Cn
K;D) = C(;;D). Aus der Denition
K;D) ist. Dar
folgt unmittelbar Cn(X [ [ K ) = LCP L genau dann, wenn CnK (X [ ) =
LCP L fur alle D. Damit stimmen
die Poole-Extensionen bezuglich
CPL (X ) = eCnK (X ), und es folgt C CnCPL (X ) =
beider Basen uberein, eCn
(K;D)
(;;D)
(K;D)
T CnK
T CnCPL
Cn
K
e(K;D) (X ) = e(;;D)(X ) = C(;;D)(X ).
Da gema 3.4.6 Poole-Systeme ohne Constraints konsistenzerhaltend
sind, ergibt sich folgende Situation: als Inferenzframes betrachtet, sind PooleSysteme mit Constraints nicht konsistenzerhaltend, aber die Inferenzoperation deniert durch ein Poole-System mit Constraints ist stets konsistenzerhaltend. Allerdings hat der Gewinn von Konsistenzerhaltung einen Preis:
im Gegensatz zu CnCP L ist CnK nicht autodistributiv (Beispiel 2.2.7).
1
Das heit, Condition((L; Cn2; C )) und Cn1 Cn2 impliziert
Condition ((L; Cn1; C )).
6. Deduktive Basen
104
Zwei wichtige Bedingungen, Links- und Rechtsabsorption, werden nicht
nach oben, sondern nach unten verebt.
Lemma 6.5.4 Sei C : 2L ! 2L eine Inferenzoperation und Cn1 ; Cn2 2
0(C ), Cn1 Cn2. Erfullt (L; Cn1; C ) Linksabsorption (Rechtsabsorption),
dann erfullt (L; Cn1 ; C ) Linksabsorption (Rechtsabsorption).
Beweis. Um Linksabsorption zu zeigen, sei Cn2C (X ) = C (X ) gegeben,
dann ist Cn1C (X ) = Cn1Cn2 C (X ) = Cn2 C (X ) = C (X ), da das Hintereinanderausfuhren von Operationen assoziativ ist.
Um Rechtsabsorption zu zeigen, sei Cn1(X ) = Cn1(Y ) vorausgesetzt.
Dann gilt Cn2(X ) = Cn2Cn1(X ) = Cn2 Cn1(Y ) = Cn2 (Y ) und damit laut
Voraussetzung C (X ) = C (Y ). 2
[Mak93] hat angemerkt, da Rechtsabsorption logisch denierte Inferenzoperationen (im Gegensatz zu prozeduralen Ansatzen) deniert.
Makinson
The properties ... are of interest in relation to the general contrast that is sometimes drawn between approaches to nonmonotonic inference that are `logical' on the one hand, and approaches
of a procedural or otherwise `non-logical' character on the other.
Indeed, the author would suggest that an approach deserves the
name `logical' only if it leads to an inference operation C satisfying the full absorption principle CnC = C = CCn. In other
words, only if the propositions that we are allowed to infer from
a set A form a classical theory (C = CnC ), which, moreover, depends only upon the logical content of A rather upon its manner
of presentation (C = CCn). [Mak93]
Wir verdeutlichen diese Begrie an einem Beispiel. In der Theorie logischer Programmierung werden Programmklauseln oft als Formel betrachtet2,
das heit, eine Klausel h p1 ; ::; pm; 0q1; ::; 0qn wird als Formel p1 ^ :: ^
pm ^ :q1 ^ :: ^ :qn ! h interpretiert. Dann wird die Inferenzoperation, die
mit einer Semantik, etwa STABLE verbunden ist, abweichend von Denition
2
Pearce
[Pea95] nennt das die Standardinterpretation.
6. Deduktive Basen
105
3.4.12 als die Menge aller Formeln (der Sprache der klassischen Aussagenlogik), die in allen Antwortmengen eines Programms wahr sind, deniert,
das heit, die stabilen Modelle werden als Modelle im Sinne der klassischen
Aussagenlogik betrachtet. Die mittels STABLE einem Programm zugeordnete
Inferenzoperation ist dann wie ublich als die Theorie dieser Modelle deniert. Da die stabilen Modelle spezielle (aussagenlogische) Modelle des als
Formelmenge interpretierten Programmes sind, ist Supradeduktivitat erfullt
und (L,CnCP L ; C STABLE)3 ist ein Inferenzframe 4.
Betrachte die Programme P1 := fp 0q g und P2 := fq 0pg. Das
entspricht den aussagenlogischen Formelmengen f:q ! pg und f:p ! q g.
Beide Formeln sind aquivalent unter klassischer Aussagenlogik, CnCP L (P1 ) =
CnCP L (P2 ), allerdings hat P1 genau das eine stabile Modell fpg und P2 das
stabile Modell fq g, also gilt C STABLE(P1 ) 6= C STABLE(P2 ). Damit ist Rechtsabsorption (Kongruenz) verletzt. Die Ursache ist, da STABLE wie auch andere
Programmsemantiken versuchen, die metasprachliche (prozedurale) Bedeutung von 0 als \ 0 p ist der Fall genau dann, wenn p nicht abgeleitet werden kann." in der Sprache zu beschreiben. Dieses Vorgehen hat eine lange
Tradition, die bis auf Godels Interpretation intuitionistischer Aussagenlogik zuruckgeht. Godel [Goe33] interpretierte intuitionistische Negation als
\nicht beweisbar, da.." wobei die Modallogik S 4 als Beweisbarkeitskalkul
diente (die Modalitat der Notwendigkeit wird als Beweisbarkeit gelesen).
Nichtsdestotrotz ist es eine interessante Fragestellung, welche nichttrivialen deduktiven Basen es fur solche Operationen wie C STABLE gibt. Pearce
[Pea95] hat C STABLE fur erweiterte logische Programme untersucht. Da erweiterte Programme neben 0 noch eine explizite Negation5 enthalten,
mussen die Klauseln als Formeln einer Sprache mit zwei Negationen interpretiert werden. Antwortmengen S sind dann Mengen von Literalen (Atome
und mittels negierte Atome), die auch partielle Modelle genannt werden.
Wir verwenden C STABLE ohne unteren Index, um den Unterschied zur Interpretation
von STABLE in Denition 3.4.12 (Klauseln als Regeln) hervorzuheben.
4
Dabei ist noch folgende Feinheit zu beachten: C STABLE ist zunachst nicht auf der vollen Sprache klassischer Aussagenlogik, sondern nur auf gewissen Formelmengen, die gerade
Interpretationen logischer Programme sind, deniert. Fur unsere Betrachtung genugt es,
anzunehmen, da C STABLE vermoge C STABLE(X ) := L , wenn X keine aussagenlogische
Interpretation eines logischen Programmes ist, auf allgemeine Formelmengen erweitert ist.
5
Da 0 bei der Interpretation als Formel als : ubersetzt wird, benutzen wir hier fur
die explizite Negation.
3
106
6. Deduktive Basen
Die Bewertung komplexer Formeln (aus L(; ^; _) durch solche Modelle ist
durch folgende Regeln festgelegt.
1. S j= p , p 2 S ; S =jp , p 2 S fur Atome p.
2. S j= A , S =jA; S =j A , S j= A:
3. S j= A ^ B , S j= A&S j= B ; S =jA ^ B , S =jA oder S =jB .
A _ B ist vermoge ( A^ B ) deniert.
Nelson s konstruktive Logik N kann mittels partieller Modelle wie folgt
deniert werden. Semantische Entitaten sind Tripel (W; ; v ), wobei
W eine Menge moglicher Welten ist.
W 2 W eine partielle Ordnung auf W ist.
: W 2 L ! f1; u; 0g eine Bewertungsfunktion ist.
v respektiert weiterhin die folgenden Regeln.
1. (w; A) 6= u&w w0 ) (w; A) = (w0 ; A):
2. v (w; A) = 0 (w; A):
3. (w; A _ B ) = max( (w; A); (w; B )).
4. (w; A ^ B ) = min( (w; A); (w; B )).
8
>
<
1
:
0
5. (w; A ! B ) = >
8
>
<
1
:
u
6. v (w; :A) = >
,
01 ,
sonst
,
01 ,
sonst
8w0 w : (w0 ; A) = 1 ) (w0 ; B ) = 1:
(w; A) = 1& (w; B ) = 01:
:
8w0 : w w0 ) (w; A) < 1
(A; w) = 1
:
Schlielich ist die Bewertungsrelation deniert vermoge (W; ; v ) j= A genau
dann, wenn v (w; A) = 1 fur alle w 2 W gilt.
Pearce hat unter anderem das folgende interessante Theorem bewiesen.
107
6. Deduktive Basen
X
;
fa g
fb g
fa; bg
C (X )
fa; bg
fa g
fb g
fa; bg
Tabelle 6.2: Kumulativitat folgt nicht aus Logizitat
Theorem 6.5.5 (Pea95) Nelson s konstruktive Aussagenlogik N , eingeschrankt auf die Sprache L(^; _; ), bildet eine deduktive Basis von C STABLE.
Die logische Interpretation metasprachlich denierter Inferenzoperationen
in einer schwacheren Logik ist stets moglich: man kann zumindest immer die
triviale Operation id(X ) := X als deduktive Basis wahlen, da der Frame
(L; id; C ) stets voll absorbierend ist.
Denition 6.5.6 Eine Inferenzoperation C heit logisch genau dann, wenn
sie links- und rechtsabsorbierend ist und prozedural genau dann, wenn sie
nicht rechtsabsorbierend ist.
Dann ergibt sich sofort die folgende Schlufolgerung aus 6.1.1.
Korollar 6.5.7 Kumulative Inferenzoperationen sind logisch.
Da die Umkehrung nicht gilt, zeigt folgendes einfaches Beispiel von
Herre.
Beispiel 6.5.8 Setze L := fa; bg und betrachte die Inferenzoperation deniert in Tabelle 6.5. Die identische Abbildung ist die einzige Basis von C
und sie ist zugleich deduktive Basis. C ist nicht kumulativ: es gilt ; fag C (;) = fa; bg, aber C (fag) 6= C (;).
Eine Reihe von Resultaten uber kumulative Inferenzoperationen, deren
Beweise nur die volle Absorption bezuglich aller Basen benotigten, lassen
sich dann sofort auf die groere Klasse der logischen Inferenzoperationen
ubertragen, insbesondere gilt folgendes Korollar.
Korollar 6.5.9 Sei C eine logische Inferenzoperation. Dann existiert eine
grote Basis von C , die gleichzeitig die grote deduktive Basis ist.
Kapitel 7
Nichtmonotone Regelsysteme
7.1 Kontextsensitive Ableitungsregeln
In der semantischen Interpretation von Beispiel 3.1.1 werden von allen Modellen von fV ogel (a)g diejenigen Modelle, in denen a als normaler (also iegender) Vogel interpretiert wird, ausgewahlt und ein nichtmonotoner Inferenzoperator wird mittels dieser Auswahl deniert. Mittels Ableitungsregeln kann Beispiel 3.1.1 wie folgt formalisiert werden: es stehen zwei Ableiogel(a) und r := P inguin(a) zur Verf
ugung, im Fall X :=
tungsregeln r1 := FV liegt
2
:F liegt(a)
(a)
fV ogel(a)g ist nur r1 anwendbar und damit gilt F liegt(a) 2 C (V ogel(a)).
Im Fall Y := fP inguin(a)g sind beide Regeln anwendbar1. Oensichtlich
wird aber im alltaglichen Schlufolgern nur die zweite Regel angewendet,
also es wird eine Menge von Regeln ausgewahlt in Analogie zur Auswahl
gewisser Modelle.
In der Defaultlogik und in Semantiken normaler logischer Programme
werden verallgemeinerte Ableitungsregeln benutzt, um nichtmonotone Logiken zu denieren. Im Gegensatz zu den Ableitungsregeln in monotoner Logik
A1 ;::;An , wo B abgeleitet werden kann, wenn alle Pr
amissen A1; ::; An bereits
B
bewiesen sind, besitzen die verallgemeinerten Regeln zusatzliche Elemente,
welche die Anwendungsbedingungen der Regeln verscharfen. Eine (verallgeDabei wird von der Annahme ausgegangen, da alle Pinguine Vogel sind, also da
(a)
vorliegt. Sicher bedeutet hier, da diese Regel
noch eine dritte, sichere Regel PVinguin
ogel(a)
stets angewendet werden kann, wenn ihre Pramissen erfullt sind. Diese Regel resultiert
aus den Denitionen der Begrie Pinguin und Vogel.
1
108
7. Nichtmonotone Regelsysteme
109
Nichtmonotones Regelsystem Interpretationen
Reiters Defaultlogik, Brewka s
Defaultregeln
kumulative Defaultlogik
Wohlfundierte Semantik,
Normale Logische
STABLE, etc.
Programme
Antwortmengen, VerallgemeiErweiterte Logische
nerungen der wohlfundierten
Programme
Semantik
Antwortmengen, VerallgemeiDisjunktive Logische
nerungen der wohlfundierten
Programme
Semantik
Tabelle 7.1: Nichtmonotone Regelsysteme
meinerte) Defaultregel A1 ;::;AnB:J1::;Jm etwa hat eine Menge von Rechtfertigungen J1::; Jm; fur die Anwendung einer Regel mussen nicht nur die Pramissen
A1; ::; An bereits gezeigt sein, sondern auch eine zusatzliche Konsistenzbedingung bezuglich der Rechtfertigungen mu erfullt sein. Eine logische Programmklausel p q1; ::; qn; 0r1 ; ::; 0rm hat eine ahnliche Bedeutung: wenn
q1; ::; qn bewiesen sind und r1 ; ::; rm konnen nicht bewiesen werden, dann
gilt p als bewiesen. Hier ubernehmen die negativen Literale im Korper der
Klausel die Rolle der Rechtfertigungen in Defaultlogik. Defaultregeln und
normale logische Programme erzeugen nichtmonotone Inferenzoperationen.
Dabei gibt es keinen kanonischen Weg, wie diesen nichtmonotonen Regelsystemen Inferenzoperationen beziehungsweise -frames zuzuordnen sind. Fur
die verschiedenen Regelsysteme sind jeweils mehrere solcher Interpretationen
vorgeschlagen worden (Tabelle 7.1).
Daraus ergibt sich die Frage nach einem allgemeinen Begri eines nichtmonotonen Regelsystems und nach dessen Standardinterpretation. Die erste
Frage fuhrt zu den Begrien eines Regelsystems mit Auswahl und eines Regelsystems mit Prioritat. Allgemein konnen die zusatzlichen einschrankenden
Bedingungen durch eine Funktion ausgedruckt werden, die Mengen von Formeln gewisse zulassige Mengen von Regeln zuweisen, die in Beweisen aus
diesen Mengen verwendet werden durfen.
Denition 7.1.1 Ein Regelsystem mit Auswahl ist ein Tripel R := (L; R; ),
bestehend aus einer Sprache L, einer Menge von Ableitungsregeln R uber L
110
7. Nichtmonotone Regelsysteme
und einer Funktion : 2L ! 2R . Die Operation CR : 2L
vermoge CR (X ) := Cn(X )(X ).
! 2L ist deniert
Dabei ist die Operation Cn(X ) wohldeniert im Sinne von 2.4.1. In der
Regel ist Cn(X ) nicht monoton, was aber nicht im Widerspruch zu Lemma
2.4.3 steht, da dort nur Aussagen uber Operationen CnR mit einer festen,
kontextunabhangigen Menge von Regeln R getroen wurden. Unter Kontext
ist dabei die Datenmenge X zu verstehen.
Denition 7.1.2 Sei R := (L; R; ) ein Regelsystem mit Auswahl. Eine
n 2 R wird monoton genannt genau dann, wenn f
ur alle
Regel r := A1;::;A
B
X L aus fA1 ; ::; Ang X r 2 (X ) folgt. R+ ist die Menge der monotoner Regeln von R: Dann ist die deduktive Operation CnR deniert vermoge
CnR := CnR+ .
Lemma 7.1.3 Sei R ein Regelsystem mit Auswahl. Dann ist (L; CnR ; CR )
ein linksabsorbierender Inferenzframe.
Beweis. Supradeduktivitat und Linksabsorption folgen unmittelbar aus
R+ R. 2
Umgekehrt lat sich jede Inferenzoperation durch solch ein Regelsystem
mit Auswahl erzeugen, wie das nachste Lemma zeigt.
Lemma 7.1.4 Sei C eine Inferenzoperation. Dann existiert ein Regelsystem
mit Auswahl R(C ), so da CR(C ) = C:
n
o
Beweis. Setze R := A jA 2 L , (X ) :=
tion folgt unmittelbar C = C(L;R;). 2
n
A j A 2 C (X )
o
. Aus der Deni-
7.2 Regelsysteme mit Prioritat
 hnlichkeit zwischen Modelloperatoren 8 und der AuswahlAuallig ist die A
funktion . Das fuhrt zu der Frage, ob sich fur die Theoreme von Makinson , Kraus, Lehmann , Magidor und Freund Analoga beweisen lassen.
111
7. Nichtmonotone Regelsysteme
In kumulativen Modellen wird der Modelloperator durch eine Relation zwischen Zustanden erzeugt, das heit, Modelle werden nicht direkt, sondern
nur mittelbar durch eine Relation geordnet. In ahnlicher Weise werden wir
nicht Regeln direkt, sondern gewisse Prioritatsmarken (engl. priority labels)
einfuhren und ordnen, die mit den Regeln durch eine Markierungsfunktion
verbunden sind.
Denition 7.2.1 Eine Struktur RP := (L; R; 3; <; lab) heit Regelsystem
mit Prioritat genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
1.
L ist eine logische Sprache,
2. R ist eine Menge von Ableitungsregeln uber L,
3. 3 6= ; ist eine nichtleere Menge sogenannter Prioritatsmarken,
4. < 3 2 3 ist eine antisymmetrische, transitive und irreexive Relation
zwischen Prioritatsmarken, < wird Prioritatsrelation genannt,
5. lab : R ! 23 ist eine Markierungsfunktion.
N 2 R heit anwendbar auf X genau dann, wenn
Eine Regel r = A1 ;::;A
B
fA1; ::; AN g X und bevorzugt anwendbar auf X genau dann, wenn die
folgenden beiden Bedingungen erfullt sind:
1. r ist anwendbar auf X,
2. 9 2 lab(r) : 8r0 2 R : (r 6= r0 &r0 anwendbar auf X ) ) 80 2 lab(r0) :
6< 0 :
Weiter fuhren wir die folgenden Abkurzung ein:
pref (X ) bezeichnet die Menge aller bevorzugt auf X anwendbaren Regeln.
max(R0 ) := fr 2 R0 j9 2 lab(r)8r0 2 R0 ; 0
R0 R:
2 lab(r0) : 6< 0 g, wobei
112
7. Nichtmonotone Regelsysteme
Semantik
Semantische Frames
Modelloperatoren 8
KLM-Modellstrukturen
Modelle M
Zustande S
Beweistheorie
Regelsysteme mit Auswahl
Auswahlfunktionen Regelsysteme mit Prioritat
Regeln R
Prioritatsmarken 3
Tabelle 7.2: Formale Parallelen von Semantik und Beweistheorie von Inferenzframes
Da im Unterschied zu den kumulativen Modellstrukturen keinerlei Wohlfundiertheitsbedingung bezuglich (3; <) gefordert ist, kann max(R0 ) leer sein,
n und
sogar wenn R0 nicht leer ist. Paare bestehend aus Regeln r := A1 ;::;A
B
Marken 2 lab(r) werden in Anlehnung an Reiters Default-Regeln kurz
n : bezeichnet.
mit A1 ;::;A
B
 hnlichkeiten zwischen der Semantik und
In Tabelle 7.2 sind die formalen A
der hierentwickelten Beweistheorie zusammengefat.
Um ein Regelsystem mit Auswahl zu denieren, mu noch deniert
werden: Wurde man einfach (X ) := pref (X ) setzen; ware im allgemeinen
Kumulativitat der erzeugten Inferenzoperation nicht erfullt, wie folgendes
Beispiel zeigt.
n
o
Beispiel 7.2.2 Setze L := fp; q; rg, RP := p:q1 ; q:r2 , 1 < 2 : Dann gilt
fpg fp; q g Cpref (fpg) (fpg) = fp; q g, aber Cpref (fp;qg) (fp; q g) = fp; q; rg.
Wie sich im weiteren zeigt, ordnet die folgende Interpretation Regelsystemen mit Prioritat kumulative Inferenzoperationen zu.
Denition 7.2.3 Sei RP := (L; R; 3; <; lab) ein Regelsystem
mit Prioritat
<!
L
die kleinste Menge,
und X eine Formelmenge. Dann ist 5(X ) R 2 2
welche die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
n 2
X und r := A1 ;::;A
pref (Y ), dann ((r; Y [ fB g)) 2 5(X );
B
k 2
2. wenn ((r1 ; X1 ); ::; (rn; Xn )) 2 5(X ), Y Xn und r := A1;::;A
B
pref (Y ), dann ((r1 ; X1 ); ::; (rn; Xn ); (r; Y [ fB g)) 2 5(X ):
Die Funktionen 0 ; : 2L ! 2R sind wie folgt deniert:
1. wenn Y
113
7. Nichtmonotone Regelsysteme
r 2 0 (X ) genau dann, wenn 9Y L; 2 5(X ) :
= ((r1 ; X1 ); ::; (r; Y ); ::; (rn; Xn )):
(X ) := max(0 (X )):
Jetzt kann die jedem Regelsystem mit Prioritat zugeordnete Inferenzoperation einfach uber das Regelsystem mit Auswahl R(RP ) := (L; R; )
vermoge
CRP := CR(RP )
deniert werden. Die Elemente von 5(X ) konnen als potentielle Ableitungen angesehen werden, aus denen am Ende die tatsachlich verwendbaren
Ableitungen ausgewahlt werden. Bei der Generierung des Beweisbaumes
konnen stets nur Regeln angewendet werden, die wenigstens auf eine gewisse
Menge von bereits abgeleiteten Formeln bevorzugt anwendbar sind. Im letzten Schritt werden durch Anwendung von max alle Regeln entfernt, die (zum

Beispiel durch Regeln in anderen Asten)
keine maximale Prioritat bezuglich
der Menge der in den potentiellen Ableitungen verwendeten Regeln haben.
Das folgende Beispiel verdeutlicht das Anliegen von Denition 7.2.3.
ogel(a) , P inguin(a) ; P inguin(a) , die
Beispiel 7.2.4 Betrachte die drei Regeln FV liegt
(a) :F liegt(a) V ogel(a)
drei Pradikate werden im weiteren mit ihren Anfangsbuchstaben abgekurzt.
Diese Regeln sind zugleich Prioritatsmarken, die Markierungsfunktion
ist die
o
n
P
V
(
(
a
a
)
)
identische Abbildung, die Prioritatsrelation ist <:= F (a) ; :F (a) . Berechnet man 0 (fP (a)g), so ergibt sich:
fP (a); V (a)g ; VP ((aa)) fP (a); V (a); F (a)g ; VF ((aa)) 2 5(X );
2 := fP (a); :F (a)g ; :PF((aa)) 2 5(X ).
1 :=
Damit besteht 0(fP (a)g) aus der Menge aller Regeln R. Es folgt (fP (a)g) :=
max(R), also VF ((aa)) 2= (fP (a)g). Der Graph 5(X ) enthalt schon die Ableitungen mittels der Regeln aus (X ), dieser Bereich ist in der Abbildung 7.1
durch eine Box gekennzeichnet. 1 entspricht dem rechten und 2 dem linken
Ast in der Abbildung.
114
7. Nichtmonotone Regelsysteme
fP(a),V(a),F(a)g
6
V (a)
F (a)
f P(a),:F(a) g
P (a)
: F (a)
@@
I
@@
f P(a),V(a) g
@@00
00
00
P (a)
V (a)
f P(a) g
Abbildung 7.1: Berechnung von 5(X )
<!
Die Funktion 8 : R 2 2L
Aneinanderfugen von Folgen.
2 R 2 2L
<!
! R 2 2L
<!
bedeutet das
((r1 ; X1 ); ::; (rn; Xn )) 8 ((r10 ; X10 ); ::; (rm0 ; Xm0 )) :=
((r1 ; X1 ); ::; (rn; Xn ); (r10 ; X10 ); ::; (rm0 ; Xm0 )).
Lemma 7.2.5 Sei RP := (L; R; 3; <; lab) ein Regelsystem mit Prioritat,
X L eine Menge und ((r1; X1 ); ::; (rn; Xn )) 2 5(X ). Dann existiert
eine endliche Menge Y f X und endliche Mengen Y1 ; ::; Yn f L, so da
((r1 ; Y1); ::; (rn; Yn)) 2 5(Y ).
Ai ;::;Ai
S n
o
Ai1 ; ::; Aiki und Y := X \ Z .
Beweis. Setze ri := 1 Bi ki , Z :=
in
Dann existieren Mengen X00 X; X10 X1 ; ::; Xn0 01 Xn01 , so da ri 2
pref (Xi001 ). Damit folgt fur alle i n, da ri 2 pref (Z \ Xi001 ). Da gilt
Xi0 \ Z X \ Z = (Xi001 [ fBi g) \ Z (Xi001 \ Z ) [ fBi g, genugt es
fur alle i n zu setzen Yi := (Xi001 \ Z ) [ fBi g, und es ist gezeigt, da
((r1 ; Y1); ::; (rn; Yn)) 2 5(Y ). 2
7. Nichtmonotone Regelsysteme
115
Lemma 7.2.6 Sei RP := (L; R; 3; <; lab) ein Regelsystem mit Prioritat,
Y L eine Menge und 0 : 2L ! 2R wie in 7.2.3 deniert. Wenn Y CRP (X ), dann gilt 0 (Y ) 0 (X ).
Beweis. Sei Y zunachst endlich. Dann kann jede Formel Ai 2 Y , i N;
mittels endlich vieler Regeln r1i ; ::; rki i aus (X ) aus X abgeleitet werden.
Sei (r1 ; ::; rn) := (r11 ; ::; rk11 ; r12; ::; rkNN ) die Folge von Regeln, die aus diesen
Aj ;::;Aj
Beweisen zusammengesetzt ist, rj := 1 Bj nj . Da laut Voraussetzung alle
Regel rj in (X ) sind, ist die Folge := ((r1; X1 ); ::; (rn; Xn )) mit
X0 := X;
Xi+1 := Xi [ fBig;
Y Xn ;
in 5(X ). Wir beweisen induktiv uber die Lange von Folgen 0: gilt 0 :=
((r10 ; X10 ); ::; (rm0 ; Xm0 )) 2 5(Y ), dann ist 8 0 2 5(X ).
Sei ((r10 ; X10 )) eine Folge der Lange 1 in 5(Y ). Nach Denition ist r10
bevorzugt anwendbar auf eine Menge Z Y Xn , X10 := Z [ fB1 g und
damit ist 8 ((r10 ; X10 )) 2 5(X ).
Angenommen, obige Forderung ist fur Folgen ((r10 ; X10 ); ::; (rk0 ; Xk0 )) der
Lange k bewiesen. Betrachte ((r10 ; X10 ); ::; (rk0 ; Xk0 ); (rk0 +1 ; Xk0 +1 )). Dann gilt
rk0 +1 2 pref (Z ) fur ein gewisses Z Xk0 , und damit folgt
8 ((r10 ; Xk0 +1 ); ::; (rm0 ; Xk0 +1 )) 2 5(X ).
Damit ist das Folgende gezeigt wurden: wenn eine Regel in einer Folge
in 5(X ) erscheint, dann erscheint sie in einer Folge in 5(Y ) und somit gilt
0 (Y ) 0 (X ).
Sei nun Y eine unendliche Menge und r 2 0 (Y ). Laut Lemma 7.2.5
existiert dann eine endliche Menge Z f Y CRP (X ), so da r 2 0(Z ).
Damit folgt wie oben 0 (Y ) 0 (X ). 2
Theorem 7.2.7 Sei RP ein Regelsystem mit Prioritat. Dann ist die Inferenzoperation CRP stark kumulativ.
Beweis. Aus Lemma 7.2.6 folgt 0 (X1 ) = 0 (X2 ) = :: = 0 (Xn ) und damit
(X1 ) = (X2 ) = :: = (Xn ): Dann impliziert Xk CRP (Xk+1 ) fur alle
7. Nichtmonotone Regelsysteme
116
k n CRP (Xk ) CRP (Xk+1 ), wobei + die Addition modulo n ist, und
damit gilt CRP (X1 ) = CRP (X2 ) = :: = CRP (Xn ): 2
Theorem 7.2.8 Sei F eine nitare, stark kumulative Inferenzoperation.
Dann existiert ein Regelsystem mit Prioritat RP (F ) = (R; 3; <; lab), so da
F = FRP (F ) .
Beweis. Wir konstruieren RP (F ) wie folgt:
n
o
R(F ) := XA jA 2 F (X ); X f L :
3 := fF (X )jX f Lg :
lab( XB ) := fF (X )g :
F (X ) <0 F (Y ) genau dann, wenn
9X 0 f L : F (X ) = F (X 0); X 0 F (Y ) und F (X ) 6= F (Y ):
< ist die transitive Hulle von <0 :
wird wie ublich als Abkurzung fur die Relation < [ = verwendet.
Die Relation < ist transitiv, irreexiv und antisymmetrisch nach Konstruktion; insbesondere folgt die Antisymmetrie von <0 aus der Kumulativitat,
starke Kumulativitat impliziert die Antisymmetrie von <.
Fur endliche Mengen Y besteht dann pref (Y ) nur aus Regeln, die mit
n eine auf Y anwendbare Regel, das heit,
F (Y ) markiert sind: Sei A1 ;::;A
B
Z := fA1; ::; Ang Y F (Y ) und damit F (Z ) F (Y ) gema Denition
von <. Wegen der Antisymmetrie von < kann der Fall F (Z ) F (Y ) und
F (Y ) < F (Z ) nicht auftreten, also sind alle Regeln aus pref (Y ) mit F (Y )
markiert.
Wir zeigen induktiv uber die Lange von Folgen das Folgende: wenn eine
Folge s := ((r1 ; X1 ); ::; (rn; Xn )) in 5(X ) ist, dann gilt F (Xn ) F (X ). Setze
i
i
ni
ri := A1 ;::;A
Bi . Zuerst sei n := 1, dann ist r1 bevorzugt auf eine Menge Y X
anwendbar und damit mit F (Y ) markiert, B1 2 F (Y ) = F (Y [ fB1 g) =
F (X1) folgt aus der Kumulativitat und F (X1 ) F (X ) wegen Y F (X ).
7. Nichtmonotone Regelsysteme
117
Angenommen, F (Xk ) F (X ) ist fur ein gewisses k gezeigt. Dann ist
rk+1 bevorzugt anwendbar auf eine Menge Y Xk und also mit F (Y ) markiert und Kumulativitat ergibt Bk+1 2 F (Y ) = F (Y [ fBk+1 g) = F (Xk+1 ).
Gema Denition von < gilt F (Xk+1 ) F (Xk ) und schlielich folgt aus der
Transitivitat von < F (Xk+1 ) F (X ).
n
Damit ist gezeigt, da jede Regel r := A1 ;::;A
B , die in einer Folge in 5(X )
vorkommt, mit einer Menge F (Y ), F (Y ) F (X ), markiert ist. Somit besteht (X ) nur aus Regeln, die mit F (X ) markiert sind. Andererseits sind
alle Regeln der Form XA mit A 2 F (X ) in (X ) enthalten, da diese bevorzugt
anwendbar auf X selber sind. Damit gilt F (X ) FRP (F ) (X ):
Um die Gegenrichtung zu verizieren, genugt es anzumerken, da die Anwendung von Regeln aus (X ) nur Elemente aus F (X ) zu X hinzufugt und
damit gilt FRP (F )(X ) F (X ): 2
Die Analogie zwischen Semantik und Beweistheorie spiegelt sich im letzten Beweis wider: die Denition von RP (F ) ahnelt auallig der kanonischen
KLM-Modellstruktur (Denition 4.2.2), wie sie beim Beweis von Theorem
4.2.3 verwendet wird.
Theorem 7.2.8 bezieht sich dabei nur auf nitare Operationen, was wenig verwunderlich ist, wenn man bedenkt, da auch das analoge Resultat
in monotoner Logik (Satz 2.4.4) sich ebenfalls nur auf nitare Operationen
bezieht, nur da durch die zusatzliche Kompaktheitsforderung dieser nitare
Charakter verdeckt wird.
ogel(a) und
In Beispiel 3.1.1 sind die beiden Ableitungsregeln r1 := FV liegt
(a)
(a) durch den Informationsgehalt der Pramissen geordnet: der
r2 := P:inguin
F liegt(a)
Satz P inguin(a) enthalt mehr Information als V ogel (a). Wenn man den
Informationsgehalt von Formelmengen mittels F mit und < als Informationsordnung interpretiert, ergibt sich aus dem letzten Beweis, da sich jedes Regelsystem mit Prioritat in eine Normalform umformen lat, so da
die Prioritatsrelation wie in Beispiel 3.1.1 durch den Informationsgehalt der
Pramissen bestimmt und unabhangig von den Konklusionen ist, man deniere einfach RP 0 := RP (FRP ). Allerdings kann dann RP 0 unendlich werden
(das heit, unendlich viele Regeln enthalten), selbst wenn RP 0 endlich ist;
es kann also auch ein Verlust an wunschenswerten Eigenschaften auftreten.
Weiter erlauben es die Theoreme 7.2.7 und 7.2.8, fur stark kumulative
nitare Inferenzoperationen F eine Extensionsoperator 1rule wie folgt ein-
7. Nichtmonotone Regelsysteme
118
zufuhren:
1ruleF (X ) := CRP (F )(X ):
Insbesondere folgt dann sofort, da 1rule starke Kumulativitat respektiert.
Brewka [B94] hat eine Version von Reiters Defaultlogik mit Prioritaten PDL untersucht. Dabei wird eine Menge D von normalen2 DefaultRegeln mit einer Prioritatsrelation < D 2 D ausgestattet, in der Berechnung einer Extension kann dann jeweils nur die anwendbare Defaultregel mit
der jeweils hochsten Prioritat 3 verwendet werden, fur die genauen Denitionen sei der Leser auf [B94] verwiesen. Aus [B94, Proposition 6] folgt, da
DL in PDL enthalten ist, man setzte <:= ;. Da Makinson s Beispiel, da
beide Interpretationen von DL CDchoice und CDskept nicht kumulativ sind, nur
aus normalen Default-Regeln besteht, folgt sofort die Nichtkumulativitat von
PDL. Ein weiterer Unterschied zum hier entwickelten Ansatz besteht darin,
da Brewka eine Prioritatsrelation zwischen Default-Regeln betrachtet, die
von auen vorgegeben ist. Hier wird eine Prioritatsrelation zwischen Regeln
beziehungsweise Prioritatsmarken betrachtet. Im nachsten Abschnitt wird
gezeigt, wie sich fur logische Programme eine Prioritatsordnung in naturlicher Weise aus der Struktur der Klauseln ergibt; eine Interpretation der
Defaultlogik als Regelsystem mit Prioritat kann vollig analog entwickelt werden.
7.3 Anwendung: Logische Programme
7.3.1 Normale Logische Programme
Normale logische Programme lassen sich auf naturliche Art und Weise als
Regelsysteme mit Prioritat interpretieren: eine Klausel p 0q kann nicht
angewendet werden, wenn q bewiesen werden kann, das heit, wenn eine
andere Klausel mit dem Kopf q , etwa q s, angewendet worden ist. In der
hier entwickelten Terminologie heit das, die Regel p hat geringere Prioritat
als die Regel qs .
2
3
Default-Regeln der Form AB:B :
Bei Brewka sind das gerade die < 0minimalen Regeln.
7. Nichtmonotone Regelsysteme
119
Die Klauseln eines normalen logischen Programmes konnen wie folgt in
einem Abhangigkeitsgraphen4 dargestellt werden.
Denition 7.3.1 Sei P ein normales logisches Programm uber Latom . Dann
ist der Abhangigkeitsgraph von P , kurz G (P ), wie folgt deniert:
Knoten von G (P ) sind genau die Klauseln von P:
Es gibt eine Kante von c nach c0 genau dann, wenn eine der folgenden
Bedingungen erfullt ist:
1. der Kopf von c0 kommt im Korper von c vor, Kanten dieser Art
werden positiv genannt und mit + markiert,
2. 0h0 kommt im Korper von c vor, wobei h0 der Kopf von c0 ist.
Kanten dieser Art werden negativ genannt und mit - markiert.
Seien c; c0 Klauseln aus P . Negative (positive) Pfade von c nach c0 sind
rekursiv wie folgt deniert:
Wenn es eine negative (positive) Kante von c nach c0 gibt, dann gibt es
einen negativen (positiven) Pfad der Lange 1 von c nach c0 :
Wenn eine Klausel c00 existiert, so da es einen negativen (positiven)
Pfad der Lange k von c nach c00 und eine negative (positive) Kante von
c00 nach c0 gibt, dann gibt es einen negativen (positiven) Pfad der Lange
k + 1 von c nach c0 .
Es gibt einen negativen (positiven) Pfad von c nach c0 genau dann,
wenn es einen negativen (positiven) Pfade endlicher Lange von c nach
c0 gibt.
Dabei werden positive Kanten und Pfade bei der Denition des normalen
logischen Programmen zugeordneten Regelsystems mit Prioritat zwar nicht
benutzt, nden aber bei der Verallgemeinerung dieser Konstruktion auf erweiterte logische Programme Verwendung.
4
Eine ahnliche Konstruktion wird zur Denition gewisser Programmklassen, etwa der
Klassen der deniten, hierarchischen, call-konsistenten und stratizierten Programme, verwendet. Dabei werden jedoch Graphen betrachtet, deren Kanten die in den Klauseln
vorkommenden Atome, und nicht die Klauseln selbst sind.
120
7. Nichtmonotone Regelsysteme
u
u
6
-
0q; 0r; 0u
p
-
q
0
6
-
?
s; 0p
+00
s
00
9
t
+
@
I@
@@@
- t 0q
Abbildung 7.2: Abhangigkeitsgraph eines normalen logischen Programmes
Denition 7.3.2 Sei P ein normales logisches Programm uber Latom . Dann
ist das Regelsystem mit Prioritat RP (P ) wie folgt deniert:
P 3 := P [ fp pjp 2 Latomg:
o
n
0 ; ::; 0p0 2 P 3 :
m j9h
;
;
0
::;
p
p
R := p1;::;p
p
m
1
n
1
h
Fur alle c1; c2 2 P 3 ist c1 c2 genau dann, wenn ein negativer Pfad
von c1 nach c2 in G (P 3 ) existiert oder c1 = c2 :
c1 ' c2 genau dann, wenn c1 c2 und c2 c1 :
3 := P 3 = ' :
[c1 ] < [c2] genau dann, wenn [c1 ] =6 [c2 ] und 9c01 2 [c1 ] ; c02 2 [c2 ] : c01 c02 :
m := f[h
lab p1;::;p
p1 ; ::; pm; 0p01i ; ::; 0p0nii ]j
h
9h p1 ; ::; pm; 0p01i; ::; 0p0nii 2 P 3 g:
7. Nichtmonotone Regelsysteme
121
 quivalenzreLaut Konstruktion ist reexiv und transitiv und ' eine A
lation. Grob gesprochen ist eine Ordnung zwischen Klauseln und c1 < c2
kann gelesen werden als \c1 blockiert c2 ": Die Faktorisierung modulo ' dient
dazu, Antisymmetrie der Relation zu sichern und Zyklen zu entfernen; Klauseln, die sich untereinander blockieren, wie p
0q und q 0p, haben
die selbe Prioritat. Es kann der Fall auftreten, da eine Regel mit mehreren
Marken markiert ist, in dem Programm fp 0q; p 0s; p g etwa ist die
Regel p mit den drei Marken [p 0q ]; [p 0s] und [p ] markiert.
Nun kann die Konstruktion in Denition 7.2.3 angewendet werden, um
MAX
CP := CRP (P ) zu denieren:
Denition 7.3.3 Sei P ein normales logisches Programm uber Latom . Dann
wird CPMAX die MAX-Interpretation von P genannt.
Dabei liefert CPMAX(XP ) kein deklaratives Modell5 von P , wie folgendes
Beispiel zeigt.
Beispiel 7.3.4 Betrachte das Programm P := fs q; q 0sg. Dann gilt
0 (;) = P , (;) = f qs g und damit CPMAX (;) = ;. Dann ist s 2= ;, aber q 2= ;.
Damit ist ; kein deklaratives Modell von P .
Da die deniten Klauseln P + einfachen monotonen Ableitungsregeln entsprechen, generieren diese gema Theorem 2.4.3 auf naturliche Weise eine
deduktive Basis CnP :=CnP + , CnP CPMAX folgt dabei unmittelbar aus den
Denitionen von CnP und CPMAX.
Aus Theorem 7.2.7 folgt ergibt sich das folgende Korollar.
Korollar 7.3.5 Die MAX-Interpretation CPMAX eines normalen logischen Programmes uber Latom ist stark kumulativ.
Korollar 7.3.6 CPMAX stimmt nicht mit CPSTABLE und CPWF uberein.
Beweis. Dix [Dix92] hat endliche Programme angegeben, die zeigen, da
CPWF nicht stark kumulativ ist (die Loop-Regel ist verletzt) und da CPSTABLE
5
Eine Menge X heit deklaratives Modell von P , genau dann wenn fur alle Klauseln
h p1 ; ::pn: 0 q1 ; ::; 0qm folgendes gilt: fp1 ; ::png X und fq1 ; ::; qmg \ X = ; impliziert
h 2 X.
7. Nichtmonotone Regelsysteme
122
nicht einmal kumulativ ist. In 7.3.8 nden sich weitere Beispiele fur die Verschiedenheit von CPMAX und CPWF beziehungsweise CPMAX und CPSTABLE. 2
Die MAX-Interpretation ordnet dabei allen normalen logischen Programmen uber Latom eine Inferenzoperation zu. nDas otrit selbst auf kritische
n o
Programme wie p 0p zu. Hier ist 0 (;) := p ; pp und damit (;) := pp ,
also CPMAX(;) = ;. Wir setzen mit einer Reihe weiterer Beispiele fort.
Beispiel 7.3.7 Betrachte das Programm P1 := fp 0q g : R besteht dann
aus den Regel p , pp und qq , die mit p
0q , p p beziehungsweise q q
markiert sind, p
0q < q q . Dann ist 0 (X ) = (X ) = f p ; pp g und
q
6
damit p 2 CPMAX
1 (;) . Wird X := fq g betrachtet, tritt Nichtmonotonie auf: q
ist in 0 (X ) und damit blockiert q q die Klausel p 0q und p kann nicht
abgeleitet werden, p 2 CPMAX
0q ; q q g: Dann gilt
1 (fq g). Sei P2 := fp
7
MAX
3
3
oenbar P1 = P2 und damit ebenfalls p 2 CP2 (;) und q 2= CPMAX
2 (; ) .
Die nachsten beiden Beispiele zeigen die Unvergleichbarkeit von MAX mit
STABLE und WF.
p0 ; 0pk+1 ; q
0p1 g, woBeispiel 7.3.8 Betrachte P3 := fp0 ; pk
0 blockiert, und
bei k 1. Dann werden die Regeln ppk0 jeweils durch pkp+1
mithin ist keine dieser Regeln in 0 (fp0 g) enthalten. Damit kann q nicht
blockiert werden, ist anwendbar und es folgt q 2 CPMAX(fp0 g). Andererseits ist
fp0 ; p2k01 jk 1g ein stabiles Modell von P und damit ist q 2= CPSTABLE(fp0 g).
Da CPWF CPSTABLE gilt, ist CPMAX weder kleiner als CPSTABLE noch kleiner als
CPWF.
Beispiel 7.3.9 Sei P4 := fp ; q 0p; r 0q g. Dann gilt CPMAX(fpg) =
fpg : keine der Regeln q und r kann angewendet werden, da q 0p durch
p
p und r
0q durch q 0p blockiert wird. Andererseits gilt r 2
STABLE
WF
(fpg). Man beachte, da P4 stratiziert ist, MAX hier
CP (fpg) CP
also nicht das gewunschte Verhalten (oft als intendiertes Modell bezeichnet)
zeigt. Das kann durchaus als unbefriedigend angesehen werden, scheint aber
6
Diese Verhalten wird endliches Scheitern genannt: jeder Beweisversuch fur q scheitert
nach endlich vielen Schritten und damit gilt 0q als gezeigt.
7
Diese Verhalten wird unendliches Scheitern genannt: jeder Beweisversuch fur q
verfangt sich in einer unendlichen Schleife und damit gilt 0q als gezeigt.
7. Nichtmonotone Regelsysteme
123
als Konsequenz aus der strengen Konsistenzprufung in der Denition von
CRP der Preis fur die starke Kumulativitat und die Reprasentierbarkeit der
Klasse aller stark kumulativen nitaren Inferenzoperationen zu sein.
7.3.2 Erweiterte Logische Programme
Ein erweitertes logisches Programm (engl. extended logic program) entspricht
einem normalen logischen Programm uber einer Menge aussagenlogischer
Literale Llit . Versucht man, die MAX-Interpretation fur erweiterte logische
Programme durch einfaches Ersetzen von Atomen durch Literale in 7.3.2 zu
denieren, ergibt sich das folgende Problem8: man betrachte das Programm
P := fp ; :p
0q g. Dann sind beide Regeln p und :p anwendbar
und damit ist sowohl p als auch :p in CP (;), mit anderen Worten, P ist
inkonsistent9, obwohl die Inkonsistenz nur durch die Anwendung der nichtmonotonen Klausel :p
0q , also unter der Voraussetzung, da q nicht
beweisbar ist, auftritt. Formuliert in der Terminologie der Inferenzframes,
ist der Frame (Llit ; CnP ; CPMAX) nicht konsistenzerhaltend.
Denition 7.3.10 Sei P ein erweitertes logisches Programm. Dann ist der
erweiterte Abhangigkeitsgraph von P , kurz G (P ), wie folgt deniert:
Die Knoten von G (P ) sind genau die Klauseln von P:
Es gibt eine Kante von c nach c0 genau dann, wenn eine der folgenden
Bedingungen erfullt ist:
1. Der Kopf von c0 kommt im Korper von c vor, Kanten dieser Art
werden positiv genannt und mit + markiert. Ist c eine denite
Klausel, so werden diese Kanten auch denit genannt und mit d
markiert,
Dieses Problem wurde von Pereira, Alferes und Aparcio in [PAA94] angemerkt.
Dort ist eine Variante der wohlfundierten Semantik zur Beseitigung dieser Unzulanglichkeit
vorgeschlagen.
9
Dabei wird P inkonsistent unter einer Interpretation I genannt genau dann, wenn
ein Atom p existiert, so da sowohl p als auch :p mittels I (P ) ableitbar sind. Dieser
Begri der Inkonsistenz unterscheidet sich etwas von dem in Denition 2.5.9 eingefuhrten.
Beide Begrie stimmen uberein, wenn man die Programme um die Inkonsistenzklauseln
q
p; :p und :q
p; :p vervollstandigt.
8
124
7. Nichtmonotone Regelsysteme
s
r
s
:p
0s
q
q
3
6
d
:
?
6
d
p
r
t
d
:
?
t
w; 0u
Abbildung 7.3: Abhangigkeitsgraph eines erweiterten normalen logischen
Programmes
0h0
kommt im Korper von c vor, wobei h0 der Kopf von c0 ist.
Kanten dieser Art werden negativ genannt und mit - markiert,
3. c0 ist denit und es existiert eine Klausel c00 , so da gilt Kopf (c) :=
:Kopf (c00 ) 10 und es denite Klauseln c1; ::; cn gibt, so da denite
Kanten von c00 nach c1 ;... cn01 nach cn und cn nach c existieren.
Kanten dieser Art werden :-Kanten genannt und mit : markiert.
2.
Positive und negative Pfade in G (P ) sind in Analogie zu 7.3.1 deniert.
Denition 7.3.11 Sei P ein erweitertes logisches Programm. Dann ist das
Regelsystem mit Prioritat RP (P ) wie folgt deniert:
P 3 := P [ fl ljl 2 Llitg:
n
o
R := l1;::;lh m j9h l1; ::; lm; 0l10 ; ::; 0ln0 2 P 3 :
10
Wenn Kopf (c00 ) := :l selbst ein negatives Literal ist, dann ist :Kopf (c00 ) := l.
125
7. Nichtmonotone Regelsysteme
Fur Klauseln c1 ; c2 2 P 3 gilt: c1
folgenden Bedingungen erfullt ist:
c2
genau dann, wenn einer der
(a) es existiert ein negativer Pfad in G (P 3 ) von c1 nach c2 ,
(b) es existiert ein c0 , so da es in in G (P 3) einen negativen Pfad von
c1 nach c0 und eine :-Kante von c0 nach c2 gibt.
(c) c1 = c2:
c1 ' c2 genau dann, wenn c1 c2 und c2 c1 :
3 := P 3 = ' :
[c1 ] < [c2] genau dann, wenn [c1 ] 6= [c2 ] und 9c01 2 [c1 ] ; c02 2 [c2 ] : c01 c02 :
lab
h
:= f[h l1; ::; lm; 0l10 i; ::; 0ln0 ii ]j
l1 ; ::; lm; 0l10 i; ::; 0ln0 ii 2 P 3 g:
l1 ;::;lm
h
Dann ist die MAX-Interpretation eines erweiterten logischen Programms deniert durch CPMAX(XP ) := CRP (P )(XP ).
Es folgt unmittelbar aus der Denition, da c nicht denit ist, wenn c c0
fur ein c0 gilt. ist reexiv und transitiv: sei c c0 und c0 c00 . Fur den
Fall, da c = c0 oder c0 = c00 gilt, ist diese Feststellung trivial. Wenn es
negative Pfade von c nach c0 und c0 nach c00 gibt, konnen diese einfach zu
einem negativen Pfad von c nach c00 zusammengesetzt werden. Im letzten
zu betrachtenden Fall gibt es einen negativen Pfad P f von c nach c0 und es
existiert ein c0 , so da es einen negativen Pfad P f0 von c0 nach c0 und eine
:-Kante von c0 nach c0 gibt. Dann konnen P f und P f0 zu einem negativen
Pfad von c nach c0 zusammengesetzt werden und nach Denition 7.3.10 gilt
c c0 . Aus der Reexivitat und Transitivitat von folgt dann insbesondere,
 quivalenzrelation ist.
da ' eine A
Theorem 7.3.12 Sei P ein erweitertes logischges Programm. Dann ist der
Inferenzframe (Llit ; CnP ; CPMAX) konsistenzerhaltend.
7. Nichtmonotone Regelsysteme
126
Beweis. Angenommen, es gibt ein Atom q , so da fq; :q g CPMAX(X ), aber
q 2= CnP (X ) oder :q 2= CnP (X ).
Da samtliche relevanten Denitionen positive und (mittels : negierte) negative Literale vollig gleich behandeln, konnen wir ohne Beschrankung der
Allgemeinheit q 2= CnP (X ) annehmen, der Fall :q 2= CnP (X ) kann analog
behandelt werden. Sei r1; ::; rn (ri 2 (X )) eine normale11 Ableitung von q
aus X und sei rk eine Regel, die die folgenden beiden Bedingungen erfullt:
1. rk := fqqkik+1g ist nur mit Klassen nichtdeniter Regeln markiert, sei ck :=
qk+1 fqik g : f0qj0 g ein Reprasentant12 einer Markierung 2 lab(rk),
so da kein r 2 (X ) existiert, so da < 0 fur ein gewisses 0 2 lab(r)
gilt,
2. fur alle ri , i
lab(ri):
2 [k + 1; n], existiert eine Klasse deniter Klauseln i 2
Solch ein k n existiert stets, waren alle Regeln mit mindestens einer Klasse
deniter Klauseln markiert, dann ware r1 ; ::; rn eine Ableitung fur CnP (X )
und damit q 2 CnP (X ). Daruberhinaus kann k < n gewahlt werden, da eine
normale Ableitung normal bleibt, wenn sie um die Regel qq mit q q 2 lab( qq )
verlangert wird.
Aufgrund der Normalitatsbedingung kann aus den Regeln rk+1 ; ::; rn eine
Teilfolge r10 ; ::; rm0 mit rm0 := rn ausgewahlt werden, so da die Konklusion
von rj0 als Pramisse in rj0 +1 und die Konklusion von rk als Pramisse in r10
verwendet wird. Die Regeln r10 ; ::; rm0 konnen mit deniten Klauseln identiziert werden, dann existiert ein deniter Pfad von rn nach ck und damit eine
:-Kante von ck nach :q :q . Wegen :q 2 CPMAX(X ) gilt :q :q 2 (X )
und damit ck 2= (X ). Das ergibt einen Widerspruch. 2
0q g. Jetzt
Beispiel 7.3.13 Betrachte das Programm P1 := fp ; :p
blockiert p p die Klausel :p 0q , P1 ist konsistent und p 2 CnP1 (;),
11
Normalitat bedeutet hier, da alle Regeln in einer Ableitung tatsachlich benotigt wern in einer Ableitung r ; ::; r; ::r von A aus X
den, das heit, wenn eine Regel r := A1 ;::;A
1
n
B
vorkommt, dann wird entweder B von einer Regel, die auf r folgt, als Pramisse verwendet,
oder r ist die letzte Regel der Ableitung und es gilt A = B . Normalitat einer Ableitung
kann einfach durch Entfernen aller Regeln, welche diese Forderung nicht erfullen, erreicht
werden.
12
Solch eine Klausel ck existiert laut Denition von (X ).
7. Nichtmonotone Regelsysteme
127
:p 2= CnP1 (;). P2 := f:p ; p 0q g ist ebenfalls konsistent und es ist
:p 2 CnP2 (;), p 2= CnP2 (;). Im Fall P3 := fp 0r; :p 0q g blockieren
sich beide Klausel gegenseitig und keine der Regel kann angewendet werden,
Damit ist auch P3 konsistent. Im Fall P4 :=
0rg ist der potentielle Widerspruch etwas
versteckt. Hier blockiert p s q 0r und :p q s 0r, damit konnen
weder p noch :p abgeleitet werden.
:p 2= CnP3 (;), p 2= CnP3 (;).
fp s; s 0r; :p q ; q
Das in erweiterten logischen Programmen zwei Symbole (0 und :) enthalten sind, die als Negation gelesen werden konnen, kann als eine fur Anwendungen ungluckliche Art der Wissensreprasentation angesehen werden;
Anwendern (Programmierern) durfte es grote Schwierigkeiten bereiten, 0
und : streng auseinanderzuhalten. Die Interpretation eines erweiterten logischen Programmes als Regelsystem mit Prioritat zeigt eine Alternative auf:
als Programmklauseln konnen denite Klauseln der Gestalt h
l1 ; ::; lm,
wobei h; l1; ::; lm Literale sind, eingegeben werden, nach jeder Eingabe einer
neuen Klausel c wird der Anwender aufgefordert, aus der Liste der bereits vorhandenen Klauseln diejenigen Klauseln auszuwahlen, welche von c blockiert
werden, beziehungsweise, welche c blockieren. Damit wird durch explizite
Angabe einer Prioritatsrelation die Verwendung der zweiten \Negation" umgangen.
7.3.3 Disjunktive Programme
Wir diskutieren kurz die Erweiterung der MAX-Interpretation auf eine umfangreichere Klasse von Programmen. Erweiterte disjunktive normale Programme bestehen aus Klauseln der Form
l1 ; ::; lm; 0l10 ; ::; 0ln0 ,
h1 _ :: _ hk
wobei h0i ; lj und lj0 Literale sind. Die intuitive Bedeutung solch einer Klausel
ist:
0
Wenn l1; ::; lm bewiesen sind und l10 ; ::; ln0 kann nicht gezeigt werden, dann ist mindestens eines der Literale h1 ;..,hk ableitbar.
und Inoue [SI94] haben eine interessante Methode vorgeschlagen, eine bestehende Interpretation fur normale logische Programme auf disjunktive Programme zu ubertragen. Dieses Verfahren lat sich unmittelbar
Sakama
128
7. Nichtmonotone Regelsysteme
auf erweiterte logische Programme ausdehnen. Sei P ein erweitertes logisches
Programm. Dann heit P 0 Splitt-Programm (engl. split program) von P genau dann, wenn jede disjunktive Klausel h1 _:: _hk l1 ; ::; lm; 0l10 ; ::; 0ln0 in P
durch eine Menge nicht-disjunktiver Klauseln fhi l1; ::; lm; 0l10 ; ::; 0ln0 ji 2
I g, I 6= ;, I f1; ::; kg, ersetzt wird.
Dann konnen die Interpretationen13 auf die Splittprogramme angewendet
werden und die MAX-Interpretation eines erweiterten
disjunktiven normalen
T
MAX
:= P 2Split(P )(CPMAX(XP ))3 , wobei
Programmes deniert werden als CP
der Stern die Abgeschlossenheit unter der Disjunktionsregel
0
n
W
i=1
0
0
li 2 (CPMAX(XP ))3 genau dann, wenn 9i n : li 2 (CPMAX(XP ))
0
0
0
0
angibt und Split(P ) die Menge aller Splittprogramme von P bezeichnet.
Dann lat sich ein erweitertes disjunktives normales Programm als Operation auf der vollen Sprache klassischer Aussagenlogik ansehen:
aussagenloV W
gische Formeln konnen mittels Normalformen in die Form i j lijWgebracht
werden und dann als Mengen korperfreier disjunktiver Klauseln f j lij gi
angesehen werden, also als Teilmengen einer disjunktiven Datenbank.
13
Sakama
und Inoue [SI94] benutzen STABLE.
Symbolverzeichnis
Kapitel 1
9_ , 6 , 8
8_ , 6 , 8
! , 6 X! , 6
2Lf , 6
f , 6
Kapitel 2
L,7
Latom , 7
Llit , 8
LCP L , 8
term , 9
LP L1 , 9
LP L1 , 9
C1 C2 , 9
id , 9
C k , 10
C1 C2 , 10
f , 6
2Lf , 6
CnCP L , 11
Cnint , 11
CnP L1 , 11
` , 14
1F , 15
Cnf , 15
A1 ;::;An , 16
B
CnR , 16
j= , 18
Mod , 18
T h , 18
Cn(L;M;j=) 19
M(LBL;Cn) , 21
j=(LBL;Cn) , 21
LQ , 23
Kapitel 3
j , 28
C , 28
CL , 28
P , 28
8 , 35
6 , 36
Im(Mod) , 36
S , 37
l , 37
, 37
X^ , 37
CW , 38
j , 38
Cmin , 40
, 41
, 41
Min (X ) , 41
C , 41
(LT HREE ; CnT HREE ) , 41
129
130
Symbolverzeichnis
CTk HREE , 41
CTt HREE , 41
(LFOUR ; CnFOUR ) , 41
k
CFOUR
, 41
t
CFOUR , 41
A:J1 ;::;Jn , 42
B
Ei , 43
CDskept , 43
CDchoice , 43
C(Cn
K;D) , 45
Cn
e(K;D) , 45
C(K;D) , 45
CRWF(P ) , 50
P S , 50
CRSTABLE
(P ) , 51
Kapitel 4
Fla , 52
S , 52
Fva , 53
S6 , 53
Fkum , 55
SKLM , 55
Floop , 55
Sord , 55
Fded , 56
Svoll , 56
Frat , 56
Smod , 56
M , 57
O , 57
Okum , 58
Ffin
kum , 59
Sfin
KLM , 59
Ofin
kum , 59
Mfin , 59
Fdistr , 61
Sdistr , 61
Ffin
P , 62
fin
Spref , 62
Kapitel 5
Cf , 63
1mon , 63
1Cn , 64
(L; Cn; C )f , 64
11 , 65
12 , 66
13 , 66
'V , 69
HVM , 69
14 , 73
d , 75,76
M 3 , 77
d3 , 76,78
d' , 79
T hj , 80
T hs , 80
1top , 85
Kapitel 6
0 , 91
0L A , 91
0V A , 91
Cm , 96
L(=)
P L1 , 98
Modfin , 98
Cfin , 98
CnMAK , 98
;f )
L(=
P L1 , 102
C STABLE , 105
Symbolverzeichnis
Kapitel 7
R , 109
, 109
CR , 110
RP , 111
3 , 111
lab , 111
5(X ) , 112
G (P ) , 119
P 3 , 120
CPMAX , 121
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JLP
Journal of Logic Programming
LLI
Journal of Logic, Language and
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SL
Studia Logica
LNAI
Lecture Notes in Articial
Intelligence
LNCS
Lecture Notes in Computer
Science
Verlag
Elsevier
MPII
ISSN-Nummer
ISSN 0004-3702
ISSN 0945-9103
IOS Press
ACM
Hermes
ISSN 0169-2968
ISSN 0004-5411
ISSN 1166-3081
Kluwer
Oxford U.P.
North-Holland
Kluwer
ISSN 0168-7433
ISSN 0955-792X
ISSN 0743-1066
ISSN 0925-8531
Kluwer
Springer
ISSN 0039-3215
Springer
Tabelle 7.3: In der Bibliographie verwendete Abkurzungen
Index
139
Index
deduktiv abgeschlossene Menge, 12
Deduktive Abgeschlossenheit, 29
Deduktivitat, 30
Default, 46
Defaultlogik, 43, 110, 118
mit Prioriat, 118
Disjunktion, 7, 13, 72
Distributivitat, 30
Dreiecksungleichung, 79
abgeschlossene Topologie, 22
Abhangigkeitsgraph, 119
erweiterter, 123
Ableitung
normale, 126
Ableitungsregel, 16, 101
verallgemeinerte, 110
absolut, 102
adaquat, 53, 58
 quivalenz, 72
A
Antwortmenge, 51
anwendbar, 113
bevorzugt, 113
Aritat, 7
Atom, 7
Aussagenlogik
intuitionistische, 11, 24
klassische, 11, 41, 104
mehrwertige, 24, 42
Nelson s konstruktive, 108
autodistributiv, 13
Axiom, 16
elementare Klasse, 22
Erreichbarkeitsrelation, 24
Extension, 15, 66
kleinste kumulative, 67
Poole- , 46
Reiter-, 44
Folge
, 77
Fundamental-, 77, 79
konvergierende, 78
quasi-stationare, 87
Frame
distributiver semantischer, 37
Kripke- , 24
semantischer, 36
Funktor, 7
Cauchy-
Basis
grote deduktive, 96
Makinson- Basis, 98, 103
Constraint, 46
Verbindung, 19
Glaubensmengen, 45
Galois-
Deduktionstheorem, 34
140
141
Index
Homomorphismus, 23
Idempotenz, 10
Implikation, 7, 13
Inferenzframe, 32
deduktiver, 34
deduktiver nitarer, 34
distributiver, 33
nitarer, 32
kongruenter, 33
kongruenter nitarer, 34
konsistenzerhaltender, 33
konsistenzerhaltender nitarer,
34
kumulativer, 33
kumulativer nitarer, 34
linksabsorbierender, 33
linksabsorbierender nitarer, 34
optimaler, 96
rationaler, 33
rationaler nitarer, 34
rechtsabsorbierender, 33
schwach monotoner, 33
schwach monotoner nitarer, 34
stark kumulativer, 33
stark kumulativer nitarer, 34
vollabsorbierender, 33
vollabsorbierender nitarer, 34
Inferenzoperation, 10, 32
kumulative, 32
kumulative nitare, 33
logische, 108
prozedurale, 108
schwach monotone, 32
schwach monotone nitare, 33
stark kumulative, 32
stark kumulative nitare, 33
Informationsgehalt, 118
inkonsistent, 12
Interpretation, 18, 49
MAX-, 121
Korper, 48
Klausel, 48
denite, 48
kompakt, 10, 15, 19
co-, 69
1-, 66
nitar supra-, 69
schwach, 71
semantisch, 20
stark co-, 69
supra-, 68
topologisch, 86
vollstandig 1-, 66
Kompaktheitsbegrie
schwache, 66
starke, 66
Kongruenz, 30
Konjunktion, 7, 12, 45, 72
Konklusion, 16, 44
Konsequenzoperation, 11
nitare, 15
Konsequenzrelation, 14
konsistent, 12
maximal, 20
maximal relativ, 21
Konsistenzerhaltung, 30, 104, 123
endliche, 102
Kontradiktion, 7, 13, 20
kumulativ
stark, 30
Kumulativitat
lokale, 50
142
Index
L-Algebra, 23
L-Metrik, 78
Lemma
von Lindenbaum, 21, 56, 59
von Zorn, 95
Limes, 78, 79
 quivalenz, 29
Linke logische A
Linksabsorption, 30
Literal, 8

logische Aquivalenz,
7
Moglichkeit, 7
Markierungsfunktion, 38, 113
Metrik, 77
Modell, 18
deklaratives, 121
endliches, 26, 100
Herbrand- , 26
Kripke- , 24
kumulatives, 38
partielles, 108
pradikatenlogisches, 25
stabiles, 50
wohlfundiertes, 51
Modellklasse von X , 18
Modelloperator, 36
Modellselektor, 37
Modellstruktur
nitare KLM-, 38
nitare MAK-, 40
geordnete kanonische KLM-, 57
geordnete KLM-, 39
kanonische nitare KLM-, 59,
60
kanonische nitare MAK-, 86
kanonische KLM-, 55
kanonische MAK-, 58
KLM-, 38
MAK-, 40, 84
verallgemeinerte , 84
volle KLM-, 39
Monotonie, 10, 14, 15
schwache, 29, 30
Negation, 7
intuitionistische, 12, 45
klassische, 12, 20, 103
negation as failure, 41
Nixons Diamant, 28
normales logisches Programm, 48,
110, 120
call-konsistentes, 119
denites, 48, 119
erweitertes, 122
erweitertes disjunktives , 127
hierarchisches, 119
stratiziertes, 119
Notwendigkeit, 7
Operation
deduktive, 11
Pradikatenlogik, 11, 25, 100
Pramisse, 16, 43
Prioritatsmarke, 113
Prioritatsrelation, 113
Quantor, 8
Quasiwahrheitswert, 24
R-Beweis, 16
Rationalitat, 29, 30, 104
Raum
L-metrischer, 78
metrischer, 77
143
Index
regularer L-metrischer, 78
vollstandiger L-metrischer, 79
vollstandiger metrischer, 78
Rechtfertigung, 43
Reexivitat, 10, 14, 15, 29, 30
Regel
Default-, 43
Disjunktions-, 127
Loop-, 29
monotone, 112
Oder-, 29
S-, 29
verallgemeinerte Default-, 45
Regelsystem
mit Auswahl, 111
mit Prioritat, 113, 123
nichtmonotones, 111
reprasentierbar, 53, 58
Schlieen
endliches, 100, 104
minimales, 41, 73, 104
verallgemeinertes minimales, 42
Schnitt, 11, 14, 15, 29, 30
Semantik
algebraische, 23
Kripke- , 24
Lindenbaum-, 21, 53
STABLE- , 50
wohlfundierte, 50
semantische Entitat, 18
-Term, 8
Splittprogramm, 127
Sprache, 7
aussagenlogische, 8
logische, 7
pradikatenlogische, 8
Supradeduktivitat, 32
endliche, 32
System
absolutes deduktives, 21
autodistributives deduktives, 22
deduktives, 11
endliches Poole-, 46
logisches, 18
Poole- , 46, 73, 105
topologisches logisches, 22
Theorie
einer Menge von Welten, 18
Cn0, 12
einer Folge von Zustanden, 82
eines Zustandes, 82
Tweety, 27
Universum
Herbrand-
, 26
Variable, 8
vererbbar
nach oben, 94, 104
nach unten, 105
Welt, 18, 24
Zustand, 38, 40
Selbstandigkeitserklarung
Hiermit erklare ich, die vorliegende Dissertation selbstandig und ohne unerlaubte fremde Hilfe angefertigt zu haben. Ich habe keine anderen als die
im Schriftenverzeichnis angefuhrten Quellen benutzt und samtliche Textstellen, die wortlich oder sinngema aus veroentlichten oder unveroentlichten Schriften entnommen wurden, und alle Angaben, die auf mundlichen
Auskunften beruhen, als solche kenntlich gemacht. Ebenfalls sind alle von
anderen Personen bereitgestellten Materialien oder erbrachten Dienstleistungen als solche gekennzeichnet.
Leipzig, 20.11.1995
Jens Dietrich
144
Lebenslauf
Ich wurde am 12. Januar 1966 als Sohn des Tischlers Klaus Dietrich
und seiner Frau Elfriede, geb. Grubner, in Dohna bei Pirna in Sachsen
geboren. Von 1972-74 besuchte ich die Grundschule Pirna-Posta, ab 1974
die Polytechnische Pestalozzi-Schule Pirna-Copitz. 1982 wechselte ich an die
Erweiterte Oberschule Pirna, wo ich 1984 mein Abitur mit der Note \sehr
gut" bestand.
Nach meinem Militardienst 1984-87 studierte ich Mathematik mit Nebenfach Philosophie an der Universitat Leipzig. Durch den Einu von Dr. P.
ur Logik zu interessieSteinacker und W. Wolff begann ich 1989, mich f
ren. Von Juli bis Oktober 1991 absolvierte ich ein Praktikum bei der Sierra
Rutile Ltd. in Sierra Leone. Im September 1992 beendete ich das Mathematikstudium mit dem Diplom (Note: \sehr gut", Thema der Diplomarbeit:
\Klassizierbare Funktormonoide", Betreuer: Prof. Dr. G. Eisenreich).
Von Oktober 1992 bis Marz 1993 war ich zunachst als Assistent und dann
als wissenschaftliche Hilfskraft am Lehrstuhl fur theoretische Philosophie bei
atig.
Prof. Dr. P. Stekeler-Weithofer t
Im April 1993 wurde ich in das Begabtenforderungsprogramm der Friedrich-Naumann-Stiftung aufgenommen und begann unter der Betreuung
von Prof. Dr. H. Herre am Institut fur Informatik der Universitat
Leipzig an der vorliegenden Dissertation zu arbeiten. Im Sommersemester
1994 nahm ich an einem funfwochigen Englischkurs an der Michigan State
University teil, das Wintersemester 1994/95 war ich als Gastwissenschaftler an der Keio-University Tokyo unter der Leitung von Prof. Dr. K.
atig.
Furukawa und Prof. Dr. K. Mukai t
Seit 1993 bin ich mit Yadira Balmaceda Ramrez verheiratet, am 11.
November 1993 wurde unser Sohn Max geboren.
145