Propädeutikum Mathematik

Propädeutikum Mathematik
Jürgen Grahl, WS 2010/11
Kapitel 1:
Mathematische Symbole
Variablen
Pflicht
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Grundgesamtheit für das neubezeichnete Objekt benennen
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Grundgesamtheit für das neubezeichnete Objekt benennen
Beispiel: Gut: Eine natürliche Zahl r heißt Teiler einer natürlichen
Zahl n, wenn es eine natürliche Zahl s gibt mit rs = n.
Schlecht: r heißt Teiler von n, wenn es ein s gibt mit rs = n.
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Grundgesamtheit für das neubezeichnete Objekt benennen
Beispiel: Gut: Eine natürliche Zahl r heißt Teiler einer natürlichen
Zahl n, wenn es eine natürliche Zahl s gibt mit rs = n.
Schlecht: r heißt Teiler von n, wenn es ein s gibt mit rs = n.
Kür
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Grundgesamtheit für das neubezeichnete Objekt benennen
Beispiel: Gut: Eine natürliche Zahl r heißt Teiler einer natürlichen
Zahl n, wenn es eine natürliche Zahl s gibt mit rs = n.
Schlecht: r heißt Teiler von n, wenn es ein s gibt mit rs = n.
Kür
suggestive Bezeichnungen wählen, übliche Konventionen einhalten
natürliche Zahlen: k, l, m, n, reelle Zahlen: x, y , komplexe Zahlen: z,
Funktionen: f , g , h, Winkel: griechische Kleinbuchstaben . . . ).
Variablen
Pflicht
Bezeichnungskollisionen vermeiden!
Grundgesamtheit für das neubezeichnete Objekt benennen
Beispiel: Gut: Eine natürliche Zahl r heißt Teiler einer natürlichen
Zahl n, wenn es eine natürliche Zahl s gibt mit rs = n.
Schlecht: r heißt Teiler von n, wenn es ein s gibt mit rs = n.
Kür
suggestive Bezeichnungen wählen, übliche Konventionen einhalten
natürliche Zahlen: k, l, m, n, reelle Zahlen: x, y , komplexe Zahlen: z,
Funktionen: f , g , h, Winkel: griechische Kleinbuchstaben . . . ).
schon global“ vergebene Symbole vermeiden
”
Ein Winkel sollte nicht π heißen, eine Zahlvariable nicht i (imaginäre
Einheit) oder e (Eulersche Zahl).
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Beim Umgang mit Variablen (und anderen Symbolen) in mathematischen
Texten sollte man immer auf Folgendes achten / sich fragen:
Sensibilität für neu auftauchende / unbekannte Variablen - deren
Auftreten sollte auffallen und nicht kritiklos hingenommen werden.
(Negativbeispiel: Eulers Gottesbeweis)
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Beim Umgang mit Variablen (und anderen Symbolen) in mathematischen
Texten sollte man immer auf Folgendes achten / sich fragen:
Sensibilität für neu auftauchende / unbekannte Variablen - deren
Auftreten sollte auffallen und nicht kritiklos hingenommen werden.
(Negativbeispiel: Eulers Gottesbeweis)
Ist die Variable wohlerklärt? Wo und wie?
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Beim Umgang mit Variablen (und anderen Symbolen) in mathematischen
Texten sollte man immer auf Folgendes achten / sich fragen:
Sensibilität für neu auftauchende / unbekannte Variablen - deren
Auftreten sollte auffallen und nicht kritiklos hingenommen werden.
(Negativbeispiel: Eulers Gottesbeweis)
Ist die Variable wohlerklärt? Wo und wie?
In wohldurchdachten mathematischen Texten sollten eigentlich keine
unerklärten Symbole vorkommen. Jedes Symbol wird (gewöhnlich im
Rahmen einer Definition oder durch Quantoren) erklärt.
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Beim Umgang mit Variablen (und anderen Symbolen) in mathematischen
Texten sollte man immer auf Folgendes achten / sich fragen:
Sensibilität für neu auftauchende / unbekannte Variablen - deren
Auftreten sollte auffallen und nicht kritiklos hingenommen werden.
(Negativbeispiel: Eulers Gottesbeweis)
Ist die Variable wohlerklärt? Wo und wie?
In wohldurchdachten mathematischen Texten sollten eigentlich keine
unerklärten Symbole vorkommen. Jedes Symbol wird (gewöhnlich im
Rahmen einer Definition oder durch Quantoren) erklärt.
Tipp. Beim Auftreten eines vermeintlich unbekannten Symbols
sollte man den vorangehenden Text durchforsten, ob es nicht doch
früher schon erklärt wurde.
Variablen
Gewöhnlich ist der Wirkungsbereich“ einer Variablen eingegrenzt: er
”
beschränkt sich ab Deklaration der Variablen meist auf einen Satz und
den zugehörigen Beweis, auf ein Beispiel oder längstens auf einen
Abschnitt.
Beim Umgang mit Variablen (und anderen Symbolen) in mathematischen
Texten sollte man immer auf Folgendes achten / sich fragen:
Sensibilität für neu auftauchende / unbekannte Variablen - deren
Auftreten sollte auffallen und nicht kritiklos hingenommen werden.
(Negativbeispiel: Eulers Gottesbeweis)
Ist die Variable wohlerklärt? Wo und wie?
In wohldurchdachten mathematischen Texten sollten eigentlich keine
unerklärten Symbole vorkommen. Jedes Symbol wird (gewöhnlich im
Rahmen einer Definition oder durch Quantoren) erklärt.
Tipp. Beim Auftreten eines vermeintlich unbekannten Symbols
sollte man den vorangehenden Text durchforsten, ob es nicht doch
früher schon erklärt wurde.
Aus welcher Grundgesamtheit stammt die Variable?
Variablen
Aufgabe. Was ist an den folgenden Formulierungen zu beanstanden /
suboptimal?
Man berechne in einem rechtwinkligen Dreieck jeweils die dritte
Seite.
a) a = 3, b = 4
b) a = 3, c = 8
c) b = 1, c = 2
Variablen
Aufgabe. Was ist an den folgenden Formulierungen zu beanstanden /
suboptimal?
Man berechne in einem rechtwinkligen Dreieck jeweils die dritte
Seite.
a) a = 3, b = 4
b) a = 3, c = 8
c) b = 1, c = 2
Wir betrachten im Rn die Punkte A, B, C , . . . , Z .
Variablen
Aufgabe. Was ist an den folgenden Formulierungen zu beanstanden /
suboptimal?
Man berechne in einem rechtwinkligen Dreieck jeweils die dritte
Seite.
a) a = 3, b = 4
b) a = 3, c = 8
c) b = 1, c = 2
Wir betrachten im Rn die Punkte A, B, C , . . . , Z .
Wir stellen n durch seine Primfaktorzerlegung n = p1 p2 · · · pn dar.
Funktionen / Abbildungen
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
(ii) und die Angabe einer Zuordnungsvorschrift.
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
(ii) und die Angabe einer Zuordnungsvorschrift.
Es muss also klar sein,
was in die Funktion hineingesteckt werden darf“
”
(Definitionsbereich),
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
(ii) und die Angabe einer Zuordnungsvorschrift.
Es muss also klar sein,
was in die Funktion hineingesteckt werden darf“
”
(Definitionsbereich),
was prinzipiell herauskommen kann“ (Zielbereich) und
”
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
(ii) und die Angabe einer Zuordnungsvorschrift.
Es muss also klar sein,
was in die Funktion hineingesteckt werden darf“
”
(Definitionsbereich),
was prinzipiell herauskommen kann“ (Zielbereich) und
”
wie die Ausgabe aus der Eingabe erzeugt wird“
”
(Zuordnungsvorschrift).
Funktionen / Abbildungen
Eine Funktion (= Abbildung) ist festgelegt durch
(i) die Angabe ihres Definitions- und Zielbereiches
(ii) und die Angabe einer Zuordnungsvorschrift.
Es muss also klar sein,
was in die Funktion hineingesteckt werden darf“
”
(Definitionsbereich),
was prinzipiell herauskommen kann“ (Zielbereich) und
”
wie die Ausgabe aus der Eingabe erzeugt wird“
”
(Zuordnungsvorschrift).
Mit f (x) wird dann der Funktionswert der Funktion f an der Stelle (oder
für das Argument x“) bezeichnet.
”
Funktionen
Beispiel: Die Verdoppelungsfunktion“ sei erklärt durch
”
f : R → R,
x 7→ f (x) := 2x.
Funktionen
Beispiel: Die Verdoppelungsfunktion“ sei erklärt durch
”
f : R → R,
x 7→ f (x) := 2x.
Die zu erklärende Funktion wird mit einem Symbol bezeichnet
(hier f ),
Funktionen
Beispiel: Die Verdoppelungsfunktion“ sei erklärt durch
”
f : R → R,
x 7→ f (x) := 2x.
Die zu erklärende Funktion wird mit einem Symbol bezeichnet
(hier f ),
Definitions- und Zielbereich werden angegeben (hier beide Male R)
Funktionen
Beispiel: Die Verdoppelungsfunktion“ sei erklärt durch
”
f : R → R,
x 7→ f (x) := 2x.
Die zu erklärende Funktion wird mit einem Symbol bezeichnet
(hier f ),
Definitions- und Zielbereich werden angegeben (hier beide Male R)
es wird die Zuordnungsvorschrift angegeben ( x 7→ f (x) := 2x“).
”
Funktionen - Deklaration (Kurzform)
Im mathematischen Alltag werden Funktionen gerne auch verkürzt
erklärt. Man muss sich dann den Rest selbständig dazu denken.
Funktionen - Deklaration (Kurzform)
Im mathematischen Alltag werden Funktionen gerne auch verkürzt
erklärt. Man muss sich dann den Rest selbständig dazu denken.
Beispiele:
Wir erklären die Verdoppelungsfunktion f durch f (x) := 2x für
x ∈ R.
Funktionen - Deklaration (Kurzform)
Im mathematischen Alltag werden Funktionen gerne auch verkürzt
erklärt. Man muss sich dann den Rest selbständig dazu denken.
Beispiele:
Wir erklären die Verdoppelungsfunktion f durch f (x) := 2x für
x ∈ R.
f (x) := 2x, x ∈ R.
Funktionen - Deklaration (Kurzform)
Im mathematischen Alltag werden Funktionen gerne auch verkürzt
erklärt. Man muss sich dann den Rest selbständig dazu denken.
Beispiele:
Wir erklären die Verdoppelungsfunktion f durch f (x) := 2x für
x ∈ R.
f (x) := 2x, x ∈ R.
Tipp. Formulierungen der Art die Verdoppelungsfunktion f (x) := 2x“
”
sollte man vermeiden - hier werden Funktion und Funktionswert
verwechselt.
Funktionen - Deklaration (Kurzform)
Im mathematischen Alltag werden Funktionen gerne auch verkürzt
erklärt. Man muss sich dann den Rest selbständig dazu denken.
Beispiele:
Wir erklären die Verdoppelungsfunktion f durch f (x) := 2x für
x ∈ R.
f (x) := 2x, x ∈ R.
Tipp. Formulierungen der Art die Verdoppelungsfunktion f (x) := 2x“
”
sollte man vermeiden - hier werden Funktion und Funktionswert
verwechselt.
Warnung. Der mit f (x) bezeichnete Funktionswert von f an der Stelle x
darf nicht mit der Funktion selbst verwechselt werden!
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Zu einer Funktion f : X −→ Y und einer Teilmenge A ⊆ X kann
man die Restriktion von f auf A definieren:
f |A : A −→ Y ,
f |A (x) := f (x) für alle x ∈ A.
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Zu einer Funktion f : X −→ Y und einer Teilmenge A ⊆ X kann
man die Restriktion von f auf A definieren:
f |A : A −→ Y ,
f |A (x) := f (x) für alle x ∈ A.
Warnung: Beim Übergang von f zur Restriktion f |A können sich
die Eigenschaften der Funktion gravierend ändern.
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Zu einer Funktion f : X −→ Y und einer Teilmenge A ⊆ X kann
man die Restriktion von f auf A definieren:
f |A : A −→ Y ,
f |A (x) := f (x) für alle x ∈ A.
Warnung: Beim Übergang von f zur Restriktion f |A können sich
die Eigenschaften der Funktion gravierend ändern.
Beispiel: Es sei f : R −→ [0; ∞[ definiert durch f (x) := x 2 für alle
x ∈ R. Dann ist f surjektiv, aber nicht injektiv. Jedoch ist die
Restriktion f |[1;∞[ : [1; ∞[−→ [0; ∞[ injektiv, aber nicht surjektiv.
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Zu einer Funktion f : X −→ Y und einer Teilmenge A ⊆ X kann
man die Restriktion von f auf A definieren:
f |A : A −→ Y ,
f |A (x) := f (x) für alle x ∈ A.
Warnung: Beim Übergang von f zur Restriktion f |A können sich
die Eigenschaften der Funktion gravierend ändern.
Beispiel: Es sei f : R −→ [0; ∞[ definiert durch f (x) := x 2 für alle
x ∈ R. Dann ist f surjektiv, aber nicht injektiv. Jedoch ist die
Restriktion f |[1;∞[ : [1; ∞[−→ [0; ∞[ injektiv, aber nicht surjektiv.
Betrags- und Wurzelfunktion sind Beispiele für Funktionen, bei
denen das obengenannte Konzept nicht vollständig
greift.
√
Die Funktionswerte werden mit |x| bzw. x bezeichnet. Aber wie
gibt man die jeweilige Funktion selbst an?
Funktionen - Wichtige Beispiele
identische Funktion id (auch Identität oder identische Abbildung
genannt) auf einer Menge A.
id : A → A,
x 7→ id(x) := x.
Zu einer Funktion f : X −→ Y und einer Teilmenge A ⊆ X kann
man die Restriktion von f auf A definieren:
f |A : A −→ Y ,
f |A (x) := f (x) für alle x ∈ A.
Warnung: Beim Übergang von f zur Restriktion f |A können sich
die Eigenschaften der Funktion gravierend ändern.
Beispiel: Es sei f : R −→ [0; ∞[ definiert durch f (x) := x 2 für alle
x ∈ R. Dann ist f surjektiv, aber nicht injektiv. Jedoch ist die
Restriktion f |[1;∞[ : [1; ∞[−→ [0; ∞[ injektiv, aber nicht surjektiv.
Betrags- und Wurzelfunktion sind Beispiele für Funktionen, bei
denen das obengenannte Konzept nicht vollständig
greift.
√
Die Funktionswerte werden mit |x| bzw. x bezeichnet. Aber wie
gibt man die jeweilige Funktion selbst an?
Antwort: Punktnotation“: Man bezeichnet
√ die Betragsfunktion mit
”
| · | bzw. die Quadratwurzelfunktion mit ·.
Funktionen - abschnittsweise Definition
Bei konkret vorgegebenen Funktionen wird manchmal die
Abbildungsvorschrift abschnittsweise angegeben. So wird die
Betragsfunktion | · | : R → R erklärt durch
(
x
für x ≥ 0,
|x| :=
−x für x < 0.
Funktionen - abschnittsweise Definition
Bei konkret vorgegebenen Funktionen wird manchmal die
Abbildungsvorschrift abschnittsweise angegeben. So wird die
Betragsfunktion | · | : R → R erklärt durch
(
x
für x ≥ 0,
|x| :=
−x für x < 0.
Warnung. Folgende Formulierungen sind unschön:
(
(
x
für x ≥ 0,
x
für x ≥ 0,
|x| :=
|x| :=
−x sonst,
−x für x ≤ 0,
Funktionen - abschnittsweise Definition
Bei konkret vorgegebenen Funktionen wird manchmal die
Abbildungsvorschrift abschnittsweise angegeben. So wird die
Betragsfunktion | · | : R → R erklärt durch
(
x
für x ≥ 0,
|x| :=
−x für x < 0.
Warnung. Folgende Formulierungen sind unschön:
(
(
x
für x ≥ 0,
x
für x ≥ 0,
|x| :=
|x| :=
−x sonst,
−x für x ≤ 0,
Im ersten Fall ist evtl unklar, was mit sonst“ gemeint sein soll. im
”
zweiten Fall wird der Fall x = 0 zweimal berücksichtigt - es stellt sich die
Frage nach der Wohldefiniertheit von f (0).
Funktionen - abschnittsweise Definition
Bei konkret vorgegebenen Funktionen wird manchmal die
Abbildungsvorschrift abschnittsweise angegeben. So wird die
Betragsfunktion | · | : R → R erklärt durch
(
x
für x ≥ 0,
|x| :=
−x für x < 0.
Warnung. Folgende Formulierungen sind unschön:
(
(
x
für x ≥ 0,
x
für x ≥ 0,
|x| :=
|x| :=
−x sonst,
−x für x ≤ 0,
Im ersten Fall ist evtl unklar, was mit sonst“ gemeint sein soll. im
”
zweiten Fall wird der Fall x = 0 zweimal berücksichtigt - es stellt sich die
Frage nach der Wohldefiniertheit von f (0).
Tipp. Fallunterscheidungen immer vollständig und ohne Überlappung
durchführen.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Beispiele: In folgenden Fällen sind die Kompositionen g ◦ f nicht
erklärt / sinnlos:
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Beispiele: In folgenden Fällen sind die Kompositionen g ◦ f nicht
erklärt / sinnlos:
f : R −→ R,
x 7→ f (x) := 5x 2 −1,
g : [0; ∞[−→ R, x 7→ g (x) :=
√
x.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Beispiele: In folgenden Fällen sind die Kompositionen g ◦ f nicht
erklärt / sinnlos:
f : R −→ R,
x 7→ f (x) := 5x 2 −1,
g : [0; ∞[−→ R, x 7→ g (x) :=
Problem: Wurzel aus negativen Zahlen nicht erklärt.
√
x.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Beispiele: In folgenden Fällen sind die Kompositionen g ◦ f nicht
erklärt / sinnlos:
f : R −→ R,
x 7→ f (x) := 5x 2 −1,
g : [0; ∞[−→ R, x 7→ g (x) :=
Problem: Wurzel aus negativen Zahlen nicht erklärt.
f : (x, y ) 7→ (x 2 , 2y ),
g (v ) :=
1
v
√
x.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Bei der Deklaration von Funktionen (und anderen mathematischen
Größen) stellt sich oft das Problem der Wohldefiniertheit:
Komposition g ◦ f von Funktionen f : A −→ Bf und g : Bg −→ C
ist nur definiert, wenn Bf = Bg , wenn also Definitions- und
Zielbereich von f und g zueinander passen.
Bei vollständiger Angabe der Funktionen mit Definitions- und
Zielbereich fallen diesbezügliche Fehler leicht auf - nicht aber, wenn
man Definitions- und Zielbereich weglässt.
Beispiele: In folgenden Fällen sind die Kompositionen g ◦ f nicht
erklärt / sinnlos:
f : R −→ R,
x 7→ f (x) := 5x 2 −1,
g : [0; ∞[−→ R, x 7→ g (x) :=
Problem: Wurzel aus negativen Zahlen nicht erklärt.
1
v
Problem: Division durch Vektoren im R2 nicht erklärt
f : (x, y ) 7→ (x 2 , 2y ),
g (v ) :=
√
x.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Beispiele:
S : Menschheit −→ N, p 7→ S(p) := Schuhgröße von p.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Beispiele:
S : Menschheit −→ N, p 7→ S(p) := Schuhgröße von p.
Problem: Schuhgröße abhängig von Wahl des rechten oder linken
Fusses?
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Beispiele:
S : Menschheit −→ N, p 7→ S(p) := Schuhgröße von p.
Problem: Schuhgröße abhängig von Wahl des rechten oder linken
Fusses?
Die Argumentfunktion arg, die jedem Punkt (im R2 ) auf der
Kreislinie vom Radius 1 um 0 den Winkel zur positiven reellen Achse
zuordnet
arg : (cos t, sin t) 7→ t
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Beispiele:
S : Menschheit −→ N, p 7→ S(p) := Schuhgröße von p.
Problem: Schuhgröße abhängig von Wahl des rechten oder linken
Fusses?
Die Argumentfunktion arg, die jedem Punkt (im R2 ) auf der
Kreislinie vom Radius 1 um 0 den Winkel zur positiven reellen Achse
zuordnet
arg : (cos t, sin t) 7→ t
Problem: t nur bis auf Vielfache von 2π eindeutig bestimmt, d.h.
Wohldefiniertheit nur, wenn man zusätzlich t ∈ [0; 2π[ verlangt.
Funktionen - Wohldefiniertheit
Es ist a priori nicht klar, ob die Funktionsvorschrift eindeutig ist.
Beispiele:
S : Menschheit −→ N, p 7→ S(p) := Schuhgröße von p.
Problem: Schuhgröße abhängig von Wahl des rechten oder linken
Fusses?
Die Argumentfunktion arg, die jedem Punkt (im R2 ) auf der
Kreislinie vom Radius 1 um 0 den Winkel zur positiven reellen Achse
zuordnet
arg : (cos t, sin t) 7→ t
Problem: t nur bis auf Vielfache von 2π eindeutig bestimmt, d.h.
Wohldefiniertheit nur, wenn man zusätzlich t ∈ [0; 2π[ verlangt.
Addition und Multiplikation in Restklassenringen Z/qZ werden über
Repräsentanten erklärt. Problem: Unabhängigkeit von Wahl der
Repräsentanten? Details: Lineare Algebra
Summenzeichen u.ä.
Summenzeichen u.ä.
Beispiel. Ein Polynom p vom Grad n (für ein beliebige natürliche Zahl n)
hat die allgemeine Form
p(x) = an x n + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Summenzeichen u.ä.
Beispiel. Ein Polynom p vom Grad n (für ein beliebige natürliche Zahl n)
hat die allgemeine Form
p(x) = an x n + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Dies schreibt man mit Hilfe des Summenzeichens Σ kurz
n
X
p(x) =
ak x k .
k=0
Summenzeichen u.ä.
Beispiel. Ein Polynom p vom Grad n (für ein beliebige natürliche Zahl n)
hat die allgemeine Form
p(x) = an x n + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Dies schreibt man mit Hilfe des Summenzeichens Σ kurz
n
X
p(x) =
ak x k .
k=0
Exakt definiert man dabei eine Summe
0
X
k=0
ak := a0
und
Pn
n+1
X
k=0
k=0 ak
ak :=
rekursiv: Man setzt
n
X
k=0
ak + an+1 .
Summenzeichen u.ä.
Beispiel. Ein Polynom p vom Grad n (für ein beliebige natürliche Zahl n)
hat die allgemeine Form
p(x) = an x n + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Dies schreibt man mit Hilfe des Summenzeichens Σ kurz
n
X
p(x) =
ak x k .
k=0
Exakt definiert man dabei eine Summe
0
X
ak := a0
Pn
n+1
X
und
k=0
k=0 ak
ak :=
k=0
rekursiv: Man setzt
n
X
ak + an+1 .
k=0
Nach demselben Prinzip
Q erklärt man allgemeine Produkte von Zahlen mit
dem Produktzeichen
sowieTDurchschnitte
bzw. Vereinigungen von
S
Teilmengen einer Menge mit bzw. :
n
Y
k=1
ak ,
n
\
k=1
Ak ,
n
[
k=1
Ak .
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Unterscheide: In obiger Summe ist k eine gebundene Variable
(außerhalb der Summe unsichtbar), n hingegen eine freie Variable.
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Unterscheide: In obiger Summe ist k eine gebundene Variable
(außerhalb der Summe unsichtbar), n hingegen eine freie Variable.
Statt k kann auch ein anderes
(noch nicht vergebenes) Symbol
Pn
verwendet werden, d.h. µ=0 aµ bedeutet dasselbe.
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Unterscheide: In obiger Summe ist k eine gebundene Variable
(außerhalb der Summe unsichtbar), n hingegen eine freie Variable.
Statt k kann auch ein anderes
(noch nicht vergebenes) Symbol
Pn
verwendet werden, d.h. µ=0 aµ bedeutet dasselbe.
Für den Summationsindex müssen die untere und die obere Grenze
angegeben werden (hier 0 bzw. n). Schreibweisen wie
X
ak
k
sollten vermieden oder nur dann benutzt werden, wenn völlig
eindeutig ist, was gemeint ist.
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Unterscheide: In obiger Summe ist k eine gebundene Variable
(außerhalb der Summe unsichtbar), n hingegen eine freie Variable.
Statt k kann auch ein anderes
(noch nicht vergebenes) Symbol
Pn
verwendet werden, d.h. µ=0 aµ bedeutet dasselbe.
Für den Summationsindex müssen die untere und die obere Grenze
angegeben werden (hier 0 bzw. n). Schreibweisen wie
X
ak
k
sollten vermieden oder nur dann benutzt werden, wenn völlig
eindeutig ist, was gemeint ist.
Die Anzahl der Summanden erhält man als obere Grenze minus
”
untere Grenze plus eins “.
Summenzeichen u.ä.
In der Summe
n
X
ak
k=0
nennt man k die Laufvariable oder den Summationsindex.
Unterscheide: In obiger Summe ist k eine gebundene Variable
(außerhalb der Summe unsichtbar), n hingegen eine freie Variable.
Statt k kann auch ein anderes
(noch nicht vergebenes) Symbol
Pn
verwendet werden, d.h. µ=0 aµ bedeutet dasselbe.
Für den Summationsindex müssen die untere und die obere Grenze
angegeben werden (hier 0 bzw. n). Schreibweisen wie
X
ak
k
sollten vermieden oder nur dann benutzt werden, wenn völlig
eindeutig ist, was gemeint ist.
Die Anzahl der Summanden erhält man als obere Grenze minus
”
untere Grenze plus eins “.
P∞ k
Unendliche Summen“ (besser: Reihen) wie k=0 x : Nichttriviales
”
Problem der Analysis
Summenzeichen - Indexverschiebung
Beispiel. Ersetzen wir in der Summe
9
X
an
n=3
den Index n durch m = n + 2, so erhalten wir
11
X
am−2
m=5
was dieselbe Summe bezeichnet.
Tipp. Verbindung zwischen neuem und altem Index durch eine Gleichung
darstellen und dies nach beiden Indizes auflösen, um die neuen Grenzen
und die Ersetzungsregel zu bestimmen. - Summationsgrenzen und Index
verschieben sich gegenläufig.
Summenzeichen u.ä.
Man definiert
m−1
X
ak := 0,
k=m
(leere Summe bzw. leeres Produkt).
m−1
Y
k=m
ak := 1
Summenzeichen u.ä.
Man definiert
m−1
X
k=m
ak := 0,
m−1
Y
ak := 1
k=m
(leere Summe bzw. leeres Produkt).
S0
Die leere Vereinigung ist die leere Menge: k=1 Ak = ∅; ein leerer
Durchschnitt (von 0 Mengen) ist hingegen i.Allg. nicht definiert; er
würde auf die nicht existente Allmenge führen.
Summenzeichen u.ä.
Man definiert
m−1
X
ak := 0,
k=m
m−1
Y
ak := 1
k=m
(leere Summe bzw. leeres Produkt).
S0
Die leere Vereinigung ist die leere Menge: k=1 Ak = ∅; ein leerer
Durchschnitt (von 0 Mengen) ist hingegen i.Allg. nicht definiert; er
würde auf die nicht existente Allmenge führen.
Manchmal wird der Bereich für die Laufvariable durch eine
Ungleichung, mit einer Einschränkung oder durch Aufzählung
angegeben:
5
X
k=1
k gerade
ak ,
X
2≤k≤8
bk ,
X
k∈{1,3,5}
ak .
Summenzeichen u.ä.
Man definiert
m−1
X
ak := 0,
k=m
m−1
Y
ak := 1
k=m
(leere Summe bzw. leeres Produkt).
S0
Die leere Vereinigung ist die leere Menge: k=1 Ak = ∅; ein leerer
Durchschnitt (von 0 Mengen) ist hingegen i.Allg. nicht definiert; er
würde auf die nicht existente Allmenge führen.
Manchmal wird der Bereich für die Laufvariable durch eine
Ungleichung, mit einer Einschränkung oder durch Aufzählung
angegeben:
5
X
ak ,
k=1
k gerade
X
2≤k≤8
bk ,
X
k∈{1,3,5}
Nützlich sind mitunter Teleskopsummen: Z.B. ist
n
X
k=0
(ak+1 − ak ) = an+1 − a0
ak .
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
k=1
p2k−1 =
9
X
j=−n+1
p−1−2j
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
k=1
p2k−1 =
9
X
j=−n+1
p−1−2j
Richtig:
n
X
k=1
p2k−1 =
−1
X
j=−n
p−1−2j
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
p2k−1 =
9
X
p−1−2j
j=−n+1
k=1
n
Y
j=1
c3j−1 =
n−1
Y
i=0
c3j+2 ,
Richtig:
n
X
k=1
p2k−1 =
−1
X
j=−n
p−1−2j
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
p2k−1 =
9
X
p−1−2j
Richtig:
j=−n+1
k=1
n
Y
j=1
c3j−1 =
n−1
Y
i=0
c3j+2 ,
n
X
p2k−1 =
k=1
Richtig:
n
Y
j=1
c3j−1 =
−1
X
p−1−2j
j=−n
n−1
Y
j=0
c3j+2 ,
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
p2k−1 =
9
X
p−1−2j
Richtig:
j=−n+1
k=1
n
Y
j=1
c3j−1 =
n−1
Y
n
X
p2k−1 =
k=1
c3j+2 ,
n
Y
Richtig:
c3j−1 =
j=1
i=0
n
X
ν=0
k 2ν =
2n
X
r =0
kr −
n
X
s=0
k 2s+1 .
−1
X
p−1−2j
j=−n
n−1
Y
j=0
c3j+2 ,
Summenzeichen u.ä.
Aufgabe. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch? Wie muss man
ggf. die rechte Seite korrigieren?
n
X
p2k−1 =
9
X
p−1−2j
Richtig:
j=−n+1
k=1
n
Y
j=1
c3j−1 =
n−1
Y
n
X
p2k−1 =
k=1
c3j+2 ,
n
Y
Richtig:
c3j−1 =
j=1
i=0
n
X
k 2ν =
ν=0
2n
X
kr −
r =0
n
X
k 2s+1 .
s=0
Richtig:
n
X
ν=0
k 2ν =
2n
X
r =0
kr −
n−1
X
s=0
k 2s+1 .
−1
X
p−1−2j
j=−n
n−1
Y
j=0
c3j+2 ,
Logik
Fallstrick Gleichungsketten
Fallstrick Gleichungsketten
Werden Ketten von Gleichungen (oder Ungleichungen) untereinander
geschrieben, so bedeutet das, dass die untere Gleichung (bzw.
Ungleichung) aus der oberen folgt.
Fallstrick Gleichungsketten
Werden Ketten von Gleichungen (oder Ungleichungen) untereinander
geschrieben, so bedeutet das, dass die untere Gleichung (bzw.
Ungleichung) aus der oberen folgt.
Beispiel. Lösung von 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 in der Form
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4
r + 3r 2 + 3r + 1 = 0
(r + 1)3 = 0
r +1 = 0
r = −1
| + r3 − r − 4
3
√
|3
|−1
Fallstrick Gleichungsketten
Werden Ketten von Gleichungen (oder Ungleichungen) untereinander
geschrieben, so bedeutet das, dass die untere Gleichung (bzw.
Ungleichung) aus der oberen folgt.
Beispiel. Lösung von 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 in der Form
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4
r + 3r 2 + 3r + 1 = 0
(r + 1)3 = 0
r +1 = 0
r = −1
| + r3 − r − 4
3
√
|3
|−1
Gezeigt wird also
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4
⇒
r = −1.
Damit haben wir 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 nicht gelöst, sondern nur
gezeigt: Wenn es eine Lösung gibt, dann ist es r = −1.
Fallstrick Gleichungsketten
Uns fehlt noch der Schluss von unten nach oben“. Tatsächlich impliziert
”
in unserem Beispiel die untere Gleichung auch jeweils die obere. Wenn
wir also zeigen wollen, dass r = −1 die (einzige) Lösung von
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 ist, so hätten wir
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
3r 2 + 4r + 5
=
r + 3r 2 + 3r + 1 =
(r + 1)3
=
r +1
=
r
=
3
schreiben müssen.
−r 3 + r + 4
0
0
0
−1
| + r3 − r − 4
√
|3
|−1
Fallstrick Gleichungsketten
Uns fehlt noch der Schluss von unten nach oben“. Tatsächlich impliziert
”
in unserem Beispiel die untere Gleichung auch jeweils die obere. Wenn
wir also zeigen wollen, dass r = −1 die (einzige) Lösung von
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 ist, so hätten wir
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
3r 2 + 4r + 5
=
r + 3r 2 + 3r + 1 =
(r + 1)3
=
r +1
=
r
=
3
−r 3 + r + 4
0
0
0
−1
| + r3 − r − 4
√
|3
|−1
schreiben müssen.
Fazit 1. Schlüsse von unten nach oben sollten unbedingt vermieden
werden.
Fazit 2. Der saubere Aufschrieb einer Lösung sollte nicht aussehen wie
die Lösungsfindung auf Schmierpapier.
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis
Aufgabe: Man zeige die für alle natürlichen Zahlen n gültige Formel
n
X
k=0
k(k + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis
Aufgabe: Man zeige die für alle natürlichen Zahlen n gültige Formel
n
X
k=0
k(k + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Eine typische Übungsblatt-Lösung könnte so aussehen:
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis
Induktionsanfang (n = 0):
0
X
k(k + 1) = 0 =
k=0
0(0 + 1)(0 + 2)
3
w.A.
Induktionsschritt (n → n + 1):
n+1
X
k(k + 1)
=
(n + 1)[(n + 1) + 1][(n + 1) + 2]
3
k(k + 1) + (n + 1)(n + 2)
=
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3
n(n + 1)(n + 2)
+ n2 + 3n + 2
3
=
k=0
n
X
k=0
1 3
(n + 3n2 + 2n) + n2 + 3n + 2
3
3n2 + 2n + 3n2 + 9n
0
=
(n2 + 3n + 2)(n + 3)
3
1 3
(n + 6n2 + 11n + 6)
3
6n2 + 11n
=
0
=
w.A.
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis
Induktionsanfang (n = 0):
0
X
k(k + 1) = 0 =
k=0
0(0 + 1)(0 + 2)
3
w.A.
Induktionsschritt (n → n + 1):
n+1
X
k(k + 1)
=
(n + 1)[(n + 1) + 1][(n + 1) + 2]
3
k(k + 1) + (n + 1)(n + 2)
=
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3
n(n + 1)(n + 2)
2
+ n + 3n + 2
3
=
1 3
2
2
(n + 3n + 2n) + n + 3n + 2
3
=
k=0
n
X
k=0
2
2
(n2 + 3n + 2)(n + 3)
3
1 3
2
(n + 6n + 11n + 6)
3
2
3n + 2n + 3n + 9n
=
6n + 11n
0
=
0
w.A.
Kritik: Logische Struktur bleibt unklar. Bestenfalls könnte man sie so
(hinein-)interpretieren, dass von oben nach unten geschlossen werden
soll. Aus der zu beweisenden Identität wurde also 0 = 0 gefolgert.
Damit ist nichts bewiesen!
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis — verbessert
Korrekte Lösung:
Induktionsverankerung: Für n = 0 gilt wie behauptet
0
X
k(k + 1) = 0 =
k=0
0(0 + 1)(0 + 2)
.
3
Induktionsschritt: Die behauptete Formel sei für eine natürliche Zahl n
gültig. Dann folgt
n+1
X
k(k + 1)
Abspalten des letzten Gliedes
=
k=0
n
X
k(k + 1) + (n + 1)(n + 2)
k=0
Induktionsvoraussetzung
=
=
n(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1)(n + 2)
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
3
Also gilt die Formel auch für n + 1.
Kraft vollständiger Induktion ist die Behauptung damit für alle
natürlichen Zahlen n bewiesen.
Gleichungsketten in einem Induktionsbeweis — verbessert
Korrekte Lösung:
Induktionsverankerung: Für n = 0 gilt wie behauptet
0
X
k(k + 1) = 0 =
k=0
0(0 + 1)(0 + 2)
.
3
Induktionsschritt: Die behauptete Formel sei für eine natürliche Zahl n
gültig(Nicht: für alle n ∈ N). Dann folgt
n+1
X
k(k + 1)
Abspalten des letzten Gliedes
=
k=0
n
X
k(k + 1) + (n + 1)(n + 2)
k=0
Induktionsvoraussetzung
=
=
n(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1)(n + 2)
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
3
Also gilt die Formel auch für n + 1.
Kraft vollständiger Induktion ist die Behauptung damit für alle
natürlichen Zahlen n bewiesen.
Freie und gebundene Variablen
Freie und gebundene Variablen
Aufgabe: Was passt an folgenden Definitionen nicht?
Es seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen. Wir setzen
sn :=
k
X
n=1
an .
Freie und gebundene Variablen
Aufgabe: Was passt an folgenden Definitionen nicht?
Es seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen. Wir setzen
sn :=
k
X
an .
n=1
Korrektur: Gemeint ist wohl:
k
X
sk :=
an
oder
n=1
sn :=
n
X
k=1
ak .
Freie und gebundene Variablen
Aufgabe: Was passt an folgenden Definitionen nicht?
Es seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen. Wir setzen
sn :=
k
X
an .
n=1
Korrektur: Gemeint ist wohl:
k
X
sk :=
an
oder
n=1
sn :=
n
X
ak .
k=1
Es sei f : [a; b] −→ R eine stetige Funktion. Diese ist bekanntlich“
”
(Riemann-)integrierbar. Wir setzen
Z b
F (x) :=
f (x) dx
für alle x ∈ [a; b].
a
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt dann
F0 = f .
Freie und gebundene Variablen
Aufgabe: Was passt an folgenden Definitionen nicht?
Es seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen. Wir setzen
sn :=
k
X
an .
n=1
Korrektur: Gemeint ist wohl:
k
X
sk :=
an
oder
n=1
sn :=
n
X
ak .
k=1
Es sei f : [a; b] −→ R eine stetige Funktion. Diese ist bekanntlich“
”
(Riemann-)integrierbar. Wir setzen
Z b
F (x) :=
f (x) dx
für alle x ∈ [a; b].
a
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt dann
F0 = f .
Korrektur: Gemeint ist wohl
Z x
F (x) :=
f (t) dt
für alle x ∈ [a; b].
a
Freie und gebundene Variablen
In beiden Fällen werden freie und gebundene (d.h. nach außen
unsichtbare“) Variablen verwechselt.
”
Freie und gebundene Variablen
In beiden Fällen werden freie und gebundene (d.h. nach außen
unsichtbare“) Variablen verwechselt.
”
gebundene Variablen: an Quantoren oder andere Operatoren“
”
gebundene Variablen, Laufvariablen bei Summation, Integration,
Grenzwertbildung usw.
Freie und gebundene Variablen
In beiden Fällen werden freie und gebundene (d.h. nach außen
unsichtbare“) Variablen verwechselt.
”
gebundene Variablen: an Quantoren oder andere Operatoren“
”
gebundene Variablen, Laufvariablen bei Summation, Integration,
Grenzwertbildung usw.
freie Variablen: nicht-gebundene Variablen. Diese müssen vor ihrer
ersten Benutzung eingeführt werden - siehe Kapitel 1.
Freie und gebundene Variablen
In beiden Fällen werden freie und gebundene (d.h. nach außen
unsichtbare“) Variablen verwechselt.
”
gebundene Variablen: an Quantoren oder andere Operatoren“
”
gebundene Variablen, Laufvariablen bei Summation, Integration,
Grenzwertbildung usw.
freie Variablen: nicht-gebundene Variablen. Diese müssen vor ihrer
ersten Benutzung eingeführt werden - siehe Kapitel 1.
Rb
Beispiel: In a f (x) dx sind a, b, f freie Variable, x eine gebundene
Variable.
Freie und gebundene Variablen
In beiden Fällen werden freie und gebundene (d.h. nach außen
unsichtbare“) Variablen verwechselt.
”
gebundene Variablen: an Quantoren oder andere Operatoren“
”
gebundene Variablen, Laufvariablen bei Summation, Integration,
Grenzwertbildung usw.
freie Variablen: nicht-gebundene Variablen. Diese müssen vor ihrer
ersten Benutzung eingeführt werden - siehe Kapitel 1.
Rb
Beispiel: In a f (x) dx sind a, b, f freie Variable, x eine gebundene
Variable.
Gebundene Variablen kann man nach Belieben in andere (nicht als freie
Variable vorkommende!) umbenennen: Z.B. ist
Z
b
Z
f (x) dx =
a
b
f (t) dt.
a
Bei freien Variablen ist dies nicht möglich.
Quantoren
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Schreibweise: A(x1 , . . . , xn )
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Schreibweise: A(x1 , . . . , xn )
√
Beispiel. A(n):= n ist eine natürliche Zahl“: A(2) ist wahr, A( 2) ist
”
falsch.
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Schreibweise: A(x1 , . . . , xn )
√
Beispiel. A(n):= n ist eine natürliche Zahl“: A(2) ist wahr, A( 2) ist
”
falsch.
Ist A eine Aussagenform auf einer Grundgesamtheit M, so schreiben wir
die Aussage A(x) ist wahr für alle x ∈ M“ kurz in der Form
”
∀x∈M A(x).
Wir nennen ∀ den Allquantor.
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Schreibweise: A(x1 , . . . , xn )
√
Beispiel. A(n):= n ist eine natürliche Zahl“: A(2) ist wahr, A( 2) ist
”
falsch.
Ist A eine Aussagenform auf einer Grundgesamtheit M, so schreiben wir
die Aussage A(x) ist wahr für alle x ∈ M“ kurz in der Form
”
∀x∈M A(x).
Wir nennen ∀ den Allquantor.
Für die Aussage A(x) ist wahr für mindestens ein x ∈ M“ schreiben wir
”
∃x∈M A(x).
Wir nennen ∃ den Existenzquantor.
Quantoren
Prädikate sind Aussageformen mit einer oder mehreren freien Variablen,
die erst einen Wahrheitswert erhalten, wenn man für (jede) dieser
Variablen einen Wert einsetzt.
Schreibweise: A(x1 , . . . , xn )
√
Beispiel. A(n):= n ist eine natürliche Zahl“: A(2) ist wahr, A( 2) ist
”
falsch.
Ist A eine Aussagenform auf einer Grundgesamtheit M, so schreiben wir
die Aussage A(x) ist wahr für alle x ∈ M“ kurz in der Form
”
∀x∈M A(x).
Wir nennen ∀ den Allquantor.
Für die Aussage A(x) ist wahr für mindestens ein x ∈ M“ schreiben wir
”
∃x∈M A(x).
Wir nennen ∃ den Existenzquantor.
All- und Existenzquantor beziehen sich auf eine Variable und ein
Prädikat, das von dieser freien Variablen abhängt. Der Quantor bindet
dann diese freie Variable: Aus dem Prädikat A(x) mit der freien
Variablen x wird eine Aussage ∀x∈M A(x) (ohne freie Variable!)
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
.
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
.
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
Sprachlich gleichwertige Formulierungen für die Allaussage ∀x∈M A(x)
sind
Für jedes x in M gilt A(x)
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
.
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
Sprachlich gleichwertige Formulierungen für die Allaussage ∀x∈M A(x)
sind
Für jedes x in M gilt A(x)
Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt A(x).
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
.
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
Sprachlich gleichwertige Formulierungen für die Allaussage ∀x∈M A(x)
sind
Für jedes x in M gilt A(x)
Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt A(x).
Für ein beliebiges Element x von M gilt A(x).
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
.
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
Sprachlich gleichwertige Formulierungen für die Allaussage ∀x∈M A(x)
sind
Für jedes x in M gilt A(x)
Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt A(x).
Für ein beliebiges Element x von M gilt A(x).
Ist x ∈ M, dann gilt A(x).
Quantoren
Beispiel. Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet
∀n∈N
n
X
k=1
|
n(n + 1)
2
{z
}
k=
.
Prädikat A(n) mit freier Variabler n
Sprachlich gleichwertige Formulierungen für die Allaussage ∀x∈M A(x)
sind
Für jedes x in M gilt A(x)
Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt A(x).
Für ein beliebiges Element x von M gilt A(x).
Ist x ∈ M, dann gilt A(x).
Jedes Element x aus M erfüllt A(x).
Vertauschung zweier gleichartiger Quantoren
Folgen in einer Aussage mehrere Allquantoren aufeinander, so kann man
diese vertauschen: Die Aussagen
∀x∈M ∀y ∈N A(x, y )
sind äquivalent.
und
∀y ∈N ∀x∈M A(x, y )
Vertauschung zweier gleichartiger Quantoren
Folgen in einer Aussage mehrere Allquantoren aufeinander, so kann man
diese vertauschen: Die Aussagen
∀x∈M ∀y ∈N A(x, y )
und
∀y ∈N ∀x∈M A(x, y )
sind äquivalent. Daher schreibt man oft kurz
∀x∈M,y ∈N A(x, y ).
Vertauschung zweier gleichartiger Quantoren
Folgen in einer Aussage mehrere Allquantoren aufeinander, so kann man
diese vertauschen: Die Aussagen
∀x∈M ∀y ∈N A(x, y )
und
∀y ∈N ∀x∈M A(x, y )
sind äquivalent. Daher schreibt man oft kurz
∀x∈M,y ∈N A(x, y ).
Ebenso kann man zwei aufeinanderfolgende Existenzquantoren
vertauschen: Die Aussagen
∃x∈M ∃y ∈N A(x, y )
und
∃y ∈N ∃x∈M A(x, y )
sind äquivalent. Daher schreibt man oft kurz
∃x∈M,y ∈N A(x, y ).
Nichtvertauschbarkeit von Existenz- und Allquantor
Warnung: Das Vertauschen von All- und Existenzquantoren ist nicht
zulässig.
Nichtvertauschbarkeit von Existenz- und Allquantor
Warnung: Das Vertauschen von All- und Existenzquantoren ist nicht
zulässig.
Beispiel: Es sei M die Menge aller Männer und F die Menge aller
Frauen. Es sei
B(m, f ) := m hat eine Beziehung mit f “.
”
Was bedeuten dann
1
∀m∈M ∃f ∈F B(m, f ) ?
Nichtvertauschbarkeit von Existenz- und Allquantor
Warnung: Das Vertauschen von All- und Existenzquantoren ist nicht
zulässig.
Beispiel: Es sei M die Menge aller Männer und F die Menge aller
Frauen. Es sei
B(m, f ) := m hat eine Beziehung mit f “.
”
Was bedeuten dann
1
∀m∈M ∃f ∈F B(m, f ) ?
2
∃f ∈F ∀m∈M B(m, f ) ?
Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
Eine Existenzaussage ∃x∈M A(x) ist wahr, wenn mindestens ein x ∈ M
existiert, so dass A(x) wahr ist.
Wenn man ausdrücken will, dass genau ein solches x existiert, so
verwendet man den Existenz- und Eindeutigkeitsquantor
∃!x∈M A(x)
oder ∃1x∈M A(x).
.
Beweistechnik bei Allaussagen
Den Beweis einer Allaussage
∀x∈M A(x)
beginnt man gewöhnlich mit
Es sei x ∈ M beliebig. Wir zeigen, dass A(x) gilt.
Dann folgt der Beweis von A(x) und man erspart sich dabei das
Mitschleppen“ des Allquantors durch den Beweis.
”
Beweistechnik bei Allaussagen
Den Beweis einer Allaussage
∀x∈M A(x)
beginnt man gewöhnlich mit
Es sei x ∈ M beliebig. Wir zeigen, dass A(x) gilt.
Dann folgt der Beweis von A(x) und man erspart sich dabei das
Mitschleppen“ des Allquantors durch den Beweis.
”
Tipp. Um eine Allaussage zu widerlegen, genügt ein einziges
Gegenbeispiel.
Beweistechnik bei Allaussagen
Den Beweis einer Allaussage
∀x∈M A(x)
beginnt man gewöhnlich mit
Es sei x ∈ M beliebig. Wir zeigen, dass A(x) gilt.
Dann folgt der Beweis von A(x) und man erspart sich dabei das
Mitschleppen“ des Allquantors durch den Beweis.
”
Tipp. Um eine Allaussage zu widerlegen, genügt ein einziges
Gegenbeispiel.
Beispiel. Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
Beweistechnik bei Allaussagen
Den Beweis einer Allaussage
∀x∈M A(x)
beginnt man gewöhnlich mit
Es sei x ∈ M beliebig. Wir zeigen, dass A(x) gilt.
Dann folgt der Beweis von A(x) und man erspart sich dabei das
Mitschleppen“ des Allquantors durch den Beweis.
”
Tipp. Um eine Allaussage zu widerlegen, genügt ein einziges
Gegenbeispiel.
Beispiel. Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
Beweis, dass die Behauptung falsch ist: 9 = 3 · 3 ist eine ungerade Zahl,
die keine Primzahl ist.
Beweistechnik bei Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
Den Beweis einer Existenzaussage
∃x∈M A(x)
führt man gewöhnlich dadurch, dass man ein geeignetex x ∈ M vom
”
Himmel fallen lässt“ und nachweist, dass es die gewünschten
Eigenschaften hat, d.h. dass A(x) wahr ist.
Beweistechnik bei Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
Den Beweis einer Existenzaussage
∃x∈M A(x)
führt man gewöhnlich dadurch, dass man ein geeignetex x ∈ M vom
”
Himmel fallen lässt“ und nachweist, dass es die gewünschten
Eigenschaften hat, d.h. dass A(x) wahr ist.
Beim Beweis einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage
∃!x∈M A(x)
geht man zunächst wie bei der Existenzaussage vor und lässt ein x ∈ M
mit A(x) = w vom Himmel fallen. Anschließend muss man noch zeigen,
dass kein anderes Element in M ebenfalls die Eigenschaft A aufweist.
Das erledigt man dadurch, dass man die Existenz eines x 0 ∈ M mit
A(x 0 ) = w annimmt und folgert, dass x = x 0 gelten muss.
Beweistechnik bei Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
Den Beweis einer Existenzaussage
∃x∈M A(x)
führt man gewöhnlich dadurch, dass man ein geeignetex x ∈ M vom
”
Himmel fallen lässt“ und nachweist, dass es die gewünschten
Eigenschaften hat, d.h. dass A(x) wahr ist.
Beim Beweis einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage
∃!x∈M A(x)
geht man zunächst wie bei der Existenzaussage vor und lässt ein x ∈ M
mit A(x) = w vom Himmel fallen. Anschließend muss man noch zeigen,
dass kein anderes Element in M ebenfalls die Eigenschaft A aufweist.
Das erledigt man dadurch, dass man die Existenz eines x 0 ∈ M mit
A(x 0 ) = w annimmt und folgert, dass x = x 0 gelten muss.
Tipp: Man zerlege den Beweis einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage
immer in einen Existenzbeweis und einen Eindeutigkeitsbeweis.
Verneinung von Quantoren
Die Verneinung einer Existenzausage ist eine Allaussage und umgekehrt.
¬∀x∈M A(x)
⇔
∃x∈M ¬A(x)
¬∃x∈M A(x)
⇔
∀x∈M ¬A(x)
Verneinung von Quantoren
Die Verneinung einer Existenzausage ist eine Allaussage und umgekehrt.
¬∀x∈M A(x)
⇔
∃x∈M ¬A(x)
¬∃x∈M A(x)
⇔
∀x∈M ¬A(x)
Beim Vorbeiziehen“ einer Negation an einem Quantor wird also aus
”
einem Existenz- ein Allquantor und umgekehrt.
Verneinung von Quantoren
Die Verneinung einer Existenzausage ist eine Allaussage und umgekehrt.
¬∀x∈M A(x)
⇔
∃x∈M ¬A(x)
¬∃x∈M A(x)
⇔
∀x∈M ¬A(x)
Beim Vorbeiziehen“ einer Negation an einem Quantor wird also aus
”
einem Existenz- ein Allquantor und umgekehrt.
Vorsicht: Die Verneinung einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ist
keine Allaussage.
Verneinung von Quantoren
Die Verneinung einer Existenzausage ist eine Allaussage und umgekehrt.
¬∀x∈M A(x)
⇔
∃x∈M ¬A(x)
¬∃x∈M A(x)
⇔
∀x∈M ¬A(x)
Beim Vorbeiziehen“ einer Negation an einem Quantor wird also aus
”
einem Existenz- ein Allquantor und umgekehrt.
Vorsicht: Die Verneinung einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ist
keine Allaussage.
Aufgabe. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
In jeder Galaxie gibt es einen Planeten, auf dem es in jedem Land
eine Stadt gibt, deren sämtliche Bewohner mindestens einmal eine
Analysis-Vorlesung oder eine Lineare-Algebra-Vorlesung besucht
haben.
Verneinung von Quantoren
Die Verneinung einer Existenzausage ist eine Allaussage und umgekehrt.
¬∀x∈M A(x)
⇔
∃x∈M ¬A(x)
¬∃x∈M A(x)
⇔
∀x∈M ¬A(x)
Beim Vorbeiziehen“ einer Negation an einem Quantor wird also aus
”
einem Existenz- ein Allquantor und umgekehrt.
Vorsicht: Die Verneinung einer Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ist
keine Allaussage.
Aufgabe. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
In jeder Galaxie gibt es einen Planeten, auf dem es in jedem Land
eine Stadt gibt, deren sämtliche Bewohner mindestens einmal eine
Analysis-Vorlesung oder eine Lineare-Algebra-Vorlesung besucht
haben.
Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie
nicht parallel.