Verkn ¨upfung von Funktionen

Verknüpfung von Funktionen
• Gegeben seien zwei Funktionen f : A → B
und g : B → C. Man schreibt
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) und (f ◦ g) : A → C
• Definitions und Wertebereiche müssen zusammenpassen, damit die Funktionsverknüpfung sinnvoll definiert werden kann.
√
• Beispiel: f (x) = x, g(x) = −x4 − 5, es gilt
◦ g(x) ∈ (−∞, −5], f : [0, ∞) → [0, ∞) ⇒ (f ◦ g)
kann nicht gebildet werden.
√
√
◦ (g ◦ f )(x) = g( x) = −( x)4 − 5 = −x2 − 5
• Selbst wenn (f ◦g) und (g◦f ) existieren müssen
sie nicht übereinstimmen.
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Umkehrfunktionen
• Sei f : X → Y . Für jedes x ∈ X existiert
ein y = f (x) ∈ Y . Gibt es eine Funktion g :
Y → X, für die gilt g(y) = g(f (x)) = (g ◦
f )(x) = x, dann wird diese Umkehrfunktion
von f genannt (g = f −1).
• Dies ist nur dann möglich, wenn es zu jedem
y ∈ Y nur ein x ∈ X gibt mit f (x) = y (sonst
ist g(y) nicht eindeutig).
• f : X → Y mit f (x) = x2
◦ X = R, Y = R ⇒ f nicht invertierbar, da es für
jedes y ∈ R zwei x ∈ R gibt, so dass f (x) = y.
◦ X = [0, ∞), Y = [0, ∞). Die Umkehrfunktion g =
f −1 ist durch g(y) =
√
y gegeben.
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Umkehrfunktionen (cont.)
• Eine Funktion f : X → Y ist injektiv, wenn es
zu jedem y ∈ Y höchstens ein x ∈ X gibt mit
f (x) = y.
• Eine Funktion f : X → Y ist surjektiv, wenn
es zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X gibt
mit f (x) = y.
• Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv
und surjektiv ist.
• f (x) = x2
◦ f : R → R: weder injektiv noch surjektiv
◦ f : [0, ∞) → R: injektiv, nicht surjektiv
◦ f : [0, ∞) → [0, ∞): bijektiv
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Monotonie
• Eine Funktion f : X → Y ist genau dann invertierbar, wenn f bijektiv ist.
• Eine Funktion f heißt monton wachsend (fallend),
wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1) ≤ f (x2)
(f (x1) ≥ f (x2)) ist.
• Eine Funktion heißt streng monoton wachsend/fallend,
wenn man in den obigen Ungleichungen ≤ durch
< und ≥ durch > ersetzt.
• Eine stetige Funktion ist injektiv, genau dann
wenn sie streng monoton ist.
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Differenzenquotient
• Gegeben sei eine Funktion f : X → Y . Für
einen fixen Punkt x0 können wir die durchschnittliche Änderung der Funktion im Intervall [x, x0]
als
f (x) − f (x0)
φ(x) =
x − x0
schreiben.
• φ heißt Differenzenquotient und gibt den Anstieg der Sekante durch (x0, f (x0)) und (x, f (x))
an.
• Man betrachte limx→x0 φ(x)
◦ Existiert dieser Limes ?
◦ Wenn ja, was gibt er an ?
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