Seminar zur Topologie (Bachelor) - math.uni

Seminar zur Topologie (Bachelor)
Sommersemester 2010
Elementare Homotopietheorie
Prof. Dr. B. Richter
Das Seminar hat elementare Homotopietheorie zum Thema. Ich setze keine Vorkenntnisse in Topologie
voraus. Die Anfangsvorträge werden den Homotopiebegriff einführen; danach wenden wir uns geometrischen
Anwendungen des Homotopiebegriffs zu. Ich erwarte, dass Sie sich aus den unten angegebenen Quellen das
Material für Ihren Vortrag zusammenstellen; wenn Sie mit den Literaturangaben nicht klarkommen, dann
fragen Sie bitte rechtzeitig nach. Natürlich helfe ich Ihnen, falls Sie Fragen haben. Geben Sie mir bitte zwei
Wochen vor dem Termin Ihres Vortrags eine Ausarbeitung ab.
Vorträge
(1) Stetige Abbildungen Definieren Sie, was ein topologischer Raum ist und geben Sie Beispiele.
Was sind stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen? Zeigen Sie, dass diese Definition
im Falle metrischer Räume mit der gewöhnlichen Definition übereinstimmt. Definieren Sie, was ein
Homöomorphismus ist und bringen Sie Beispiele und Nicht-Beispiele [J, 1.1,1.2,1.5], [Q, Teile aus 2
A, C].
(2) Der Homotopiebegriff Wann sind zwei stetige Abbildungen zueinander homotop? Leiten Sie elementare Eigenschaften des Homotopiebegriffs her (Äquivalenzrelation, Erhaltenbleiben unter Komposition) und machen Sie viele Beispiele. Definieren Sie, was Homotopieäquivalenzen sind und geben
Sie auch für diesen Begriff Beispiele ([tD, Kapitel 1 bis 1.6], [J, Teile aus 5.1–5.3] [LS, Auszüge aus
6.3], [B, I.14])
(3) Quotiententopologie Eine sehr beliebte Art, aus alten topologischen Räumen neue zu basteln,
ist die Quotiententopologie. Definieren Sie diese in den üblichen Varianten und stellen Sie uns als
Beispiele das Möbiusband, die Kleinsche Flasche und den Torus vor. Behandeln Sie die Begriffe
’Retrakt’ und ’Deformationsretrakt’ und zeigen Sie, dass das Möbiusband homotopieäquivalent zur
Kreislinie ist [J, Teile aus Kapitel 3], [Q, Teile aus 3 C,D].
(4) Fundamentalgruppe Definieren Sie die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes und
beweisen Sie, dass dies wirklich eine Gruppe ist. Zeigen Sie, dass die Fundamentalgruppe eine
Homotopieinvariante ist und erläutern Sie, wie die Gruppe von der Wahl des Grundpunkts abhängt.
[AGP, Teile aus 2.5]
(5) Sphären und Konfigurationsräume Zeigen Sie, dass n-dimensionale Sphären für n ≥ 2 triviale Fundamentalgruppe haben. Definieren Sie geordnete und ungeordnete Konfigurationsräume.
Definieren Sie die reine und die allgemeine Zopfgruppe auf n Strängen und zeigen Sie, dass diese als
Fundamentalgruppen geeigneter Konfigurationsräume vorkommen [B, III.2], [KT, Seiten 25/26 und
etwas vom Anfang].
(6) Kompaktheit Definieren Sie, was ein kompakter topologischer Raum ist und leiten Sie einige
grundlegende Eigenschaften über Kompaktheit her. Stellen Sie uns Tychonoffs Theorem vor (ohne
Beweis, aber mit Erklärung) und beweisen Sie das Lebesgue-Lemma [J, 1.8], [Q, Teile aus 8 A].
(7) Abbildungsgrad Für eine Selbstabbildung der Kreislinie kann man einen Abbildungsgrad definieren. Stellen Sie uns die Definition vor und behandeln Sie den Brouwerschen Fixpunktsatz [LS,
Abschnitt 6.4 bis Seite 118].
(8) Fundamentalgruppe der Kreislinie Zeigen Sie, dass die Homotopieklassen der Selbstabbildungen der Kreislinie den ganzen Zahlen entsprechen. Leiten Sie damit her, dass die Fundamentalgruppe
der Kreislinie Z ist [LS, Abschnitt 6.4 ab Satz 6.12].
(9) Fundamentalsatz der Algebra et al Mithilfe des Abbildungsgrades lassen sich etliche algebraische und geometrische Sachverhalte herleiten. Stellen Sie uns den Beweis des Fundamentalsatzes
der Algebra nach [O, 1.5.10] vor. Definieren Sie dazu die Umlaufzahl. Leiten Sie ausserdem die
Anwendungen [O, 1.5.11-1.5.14] her.
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(10) Satz vom Igel Zeigen Sie, dass man einen Igel nicht kämmen kann, d.h., dass jedes tangentiale
Vektorfeld auf der 2-dimensionalen Sphäre eine Nullstelle haben muss [O, 1.6].
(11) Faserungen Definieren Sie, was eine Faserung ist. Geben Sie uns als Beispiele triviale Faserungen
und die Möbiusfaserung. Leiten Sie einige Struktureigenschaften von Faserungen her und stellen Sie
uns die Beispielklassen der Überlagerungen und der Faserbündel vor [LS, 9.5,]
(12) Hopf-Abbildungen Definieren Sie projektive Räume (über den reellen und komplexen Zahlen und
den Quaternionen) und erklären Sie, was die projektive Ebene über den Cayleyzahlen ist. Definieren
Sie die drei Hopf-Abbildungen η : S3 → S2 , ν : S7 → S4 , σ : S15 → S8 . Erklären Sie, wie die Fasern
η −1 (x) aussehen [H, 4.44–4.47] und begründen Sie, dass die drei Hopf-Abbildungen Faserungen sind
([tD, I,(1.17) und Umgebung] für den komplexen Fall).
(13) Schleifenräume Für zwei topologische Räume X und Y kann man die Menge aller stetigen Abbildungen von X nach Y häufig mit einer passenden Topologie versehen, der sogenannten kompaktoffenen Topologie. Erklären Sie, was diese Topologie ist [AGP, Chapter 1, Teile aus 1.1–1.3]. Behandeln Sie als Beispiele Schleifenräume, das sind grundpunkterhaltende stetige Abbildungen der
Kreislinie in einen Raum. Erläutern Sie, warum diese Räume eine ’Multiplikation bis auf Homotopie’, eine H-Raum-Struktur, besitzen [H, 3.C].
References
[AGP] Marcelo Aguilar, Samuel Gitler, Carlos Prieto, Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint, Springer-Verlag,
New York, 2002.
[B] Glen E. Bredon, Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics,
139. Springer-Verlag, New York, 1997.
[tD] Tammo tom Dieck, Topologie, 2. Auflage, Walter de Gruyter GmbH Berlin, 2000.
[H] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. Das pdf-file des Buches ist auf http:
//www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html.
[J]
Klaus Jänich, Topologie, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008.
[KT] Christian Kassel, Vladimir Turaev, Braid groups, Graduate Texts in Mathematics 247, Springer-Verlag, New York, 2008.
[LS] Gerd Laures, Markus Szymik, Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009.
[O] Erich Ossa, Topologie, 2. überarbeitete Auflage, Vieweg+Teubner Wiesbaden 2009.
[Q] Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2001.
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