8. Übung Logik und Logikprogrammierung Mit

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. C. Köcher
SS 2017
8. Übung Logik und Logikprogrammierung
Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben geben Bonuspunkte.
Abgabe : bis Montag, den 29.05.2017 um 15:00 Uhr am Lehrstuhl oder vor der Übung.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
Aufgabe 1∗
(2 Punkte)
Verwenden Sie den Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik, um zu zeigen, dass es keinen Satz
der Prädikatenlogik über dem zweistelligen Relationssymbol E gibt, der in einer Struktur G
genau dann gilt, wenn G ein (gerichteter) Graph ist, der nur aus einem einzigen Kreis besteht.
Aufgabe 2∗
(2+2 Punkte)
Wir betrachten die folgenden Sachverhalte:
• Vorlesungen werden von genau einem Professor gehalten.
• Studierende können Vorlesungen besuchen.
• Studierende können den Vortragsstil eines Professors mögen.
• Ein Studierender hört eine Vorlesung genau dann, wenn er den Vortragsstil des Professors
mag.
• Jedes Objekt ist entweder ein Studierender, ein Professor oder eine Vorlesung, aber nicht
Mehreres davon zugleich.
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben!
(a) Formalisieren Sie die angegebenen Sachverhalte in der Prädikatenlogik. Verwenden Sie dazu einstellige Relationssymbole P (rofessor), S(tudierender), V (orlesung) und zweistellige
Relationssymbole H(ält die Vorlesung), M (ag den Vortragsstil), B(esucht die Vorlesung).
Formalisieren Sie insbesondere auch zwischen welchen Objekten die Beziehungen H, M
und B bestehen können.
(b) Wir sagen, dass zwei Objekte o1 und o2 äquivalent sind (in Zeichen v1 ∼ v2 ), wenn
sie gleich sind oder vom gleichen Professor gehalten werden. Weisen Sie nach, dass die
resultierende Relation ∼ unter den gegebenen Voraussetzungen eine Kongruenz ist.
Bitte wenden!
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Aufgabe 3∗
(4+4 Punkte)
Seien f ein zweistelliges Funktionssymbol und R ein zweistelliges Relationssymbol. Betrachten
Sie die Strukturen A = (N2 , f A ) und B = (N2 , RB ) mit
f A (a, b), (c, d) = (a · c, b · d)
sowie
RB = { (a, b), (c, d) ∈ (N2 )2 | a + c = b + d} .
Beachten Sie, dass die Struktur A das Relationssymbol R und B das Funktionssymbol f nicht
verwendet. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben!
(a) Untersuchen Sie, ob die durch
(a, b) ≡ (c, d)
⇐⇒
a+d=c+b
definierte Äquivalenzrelation ≡ auf N2 eine Kongruenz auf A bzw. B ist.
(b) Untersuchen Sie, ob die durch
(a, b) ∼ (c, d)
⇐⇒
a·d=c·b
definierte Äquivalenzrelation ∼ auf N2 eine Kongruenz auf A bzw. B ist.
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