Analysis

Hochschule München
Fakultät 03 FA
SS 12
Diplomvorprüfung in Mathematik II - Analysis - Fahrzeugtechnik Arbeitszeit:
Hilfsmittel:
Aufgabensteller:
90 Minuten
Formelsammlung, Skripten, Bücher,Taschenrechner
Hörwick,Kaltsidou-Kloster,Pöschl,Warendorf,Mahnke
WICHTIG: Alle Rechnungen und Ergebnisse auf diesem Arbeitsblatt eintragen!
Das Ergebnis allein zählt nicht. Der Rechenweg muß erkennbar sein!
Name:
Vorname:
Geb.-Datum:
Stud.-Gruppe:
Punkte:
Korr.:
Raum/Platz-Nr.:
Aufsicht:
Note:
1
/ ca. 60
1. Aufgabe: Funktion von 2 Variablen
Gegeben ist die Funktion von 2 Variablen
z = f (x, y) = y · cos(x) + x2 ,
(
/ ca. 12 Punkte)
0 ≤ x ≤ 2π,
y ∈ R.
(a) Berechnen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion.
(
/ca. 2,5)
(b) Bestimmen Sie (soweit vorhanden) alle Extrem- und Sattelpunkte, sowie bei den
Extrempunkten deren Typ.
(
2
/ca. 6,5 )
Fortsetzung Aufgabe: Funktion von 2 Variablen
(c) Berechnen Sie den Wert des Doppelintegrals
Z
0
10
Z
π
2
f (x, y)dx dy.
0
(
3
/ca. 3 )
2. Aufgabe: Differentialgleichung 1. Ordnung
Gegeben sei die Differentialgleichung
y′ +
1
ex
·y =
,
x · ln x
ln x
(
/ ca. 8 Punkte)
x>1
(a) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung.
(
4
/ca. 6 )
Fortsetzung Aufgabe: Differentialgleichung 1. Ordnung
(b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu x0 = 2 und y0 = y(x0 ) = 0.
(
5
/ca. 2 )
3. Aufgabe: Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(
/ ca. 10 Punkte)
Gegeben ist die Differentialgleichung 2. Ordnung
y ′′ − 6y ′ + 10y = si (x)
(a) Berechnen Sie die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
(
/ca. 2 )
(b) Es sei s1 (x) = e3x · cos(x).
Bestimmen Sie die Ansatzfunktion zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
(
6
/ca. 2 )
Fortsetzung Aufgabe: Differentialgleichung 2. Ordnung
(c) Lösen Sie die inhomogene Differentialgleichung für die Störfunktion s2 (x) = 2e2x
und geben Sie die allgemeine Lösung an.
(
/ca. 4 )
(d) Berechnen Sie die spezielle Lösung für die Anfangswerte x0 = 0, y(x0 ) = 3 und
y ′ (x0 ) = 0.
(
7
/ca. 2 )
4. Aufgabe: Fourierreihen
(
/ ca. 10 Punkte)
Gegeben sei die periodische Funktion mit der Periode T = 2

2

für − 1 < x ≤ 0
2x + x
f (x) = x(2 − x) für 0 < x ≤ 1


period.
sonst
(a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall −2 ≤ x ≤ 4 .
(
1
/ca. 2)
y
x
1
(b) Ermitteln Sie die Fourierkoeffizienten (a0 , an , bn ). Beachten Sie hierbei die
Symmetrie!
(
8
/ca. 6)
Fortsetzung Aufgabe: Fourierreihen
(c) Geben Sie das Fourier-Polynom bis zum 2. Glied F2 (x) an.
(
9
/ca. 2)
5. Aufgabe: Komplexe Zahlen (Überlagerung von Schwingungen)
( / ca. 10 Punkte)
Gegeben sind die zwei gleichfrequenten Schwingungen mit der Freguenz ω = 1
π
s1 (t) = 3 · sin t +
3
π
s2 (t) = 4 · sin t +
.
6
Diese 2 Schwingungen sollen überlagert werden, d.h. gesucht ist die Summenfunktion s(t) = s1 (t) + s2 (t).
s(t) ist wieder eine Sinusschwingung mit der Freguenz ω = 1. In dieser Aufgabe
soll die Lösung mit Hilfe von komplexen Zahlen bestimmt werden!
Rechnen Sie mit 6 Nachkommastellen.
(a) Formen Sie s1 (t) und s2 (t) in ihre jeweils komplexe Form s1 (t) und s2 (t) um und
berechnen Sie komplexen Amplituden
A1 (= s1 (t = 0)) und A2 (= s2 (t = 0)) in kartesischer Darstellung.
(
10
/ca. 3)
Fortsetzung Aufgabe: Überlagerung von Schwingungen
(b) Zeichnen Sie in die komplexe Ebene die komplexen Amplituden A1 (= s1 (t = 0))
b 1 LE ).
und A2 (= s2 (t = 0)) (2 cm =
Bilden Sie grafisch die komplexe Amplitude A = A1 + A2 der Summenfunktion
s(t). Lesen sie den Betrag r und den Phasenwinkel ϕ aus der Zeichnung ab.
(
Im(z)
/ca. 3)
Re(z)
(c) Bilden Sie jetzt die komplexe Summenfunktion s(t) = s1 (t) + s2 (t) unter Verwendung Ihrer Ergebnisse aus (a). Transformieren Sie dann s(t) in die reelle Sinusschwingung s(t).
(
11
/ca. 4)
6. Aufgabe: Ebene Kurven
(
/ ca. 10 Punkte)
Gegeben ist die ebene Kurve in Polarkoordinatendarstellung die sogenannte Lemniskate
(Spezialfall der Cassinischen Kurven).
p
r(ϕ) = a 2 cos(2ϕ) mit cos(2ϕ) ≥ 0
(a) Vervollständigen Sie die Wertetabelle und skizzieren Sie die Kurve für ϕ ∈ [− π4 ; π4 ],
mit a = 1. (1 cm =
b 0,2 LE )
(
ϕ
− π4
− π6
− π8
0
r(ϕ)
π
8
π
6
π
4
y
x
12
/ca. 4,5)
Fortsetzung Aufgabe: Ebene Kurven
(b) Berechnen Sie die Sektorfläche der Lemniskate im Intervall ϕ ∈ [− π4 ; π4 ] mit a = 1
(
(c) Berechnen Sie ṙ =
/ca. 1,5 )
dr
.
dϕ
(
/ca. 1)
(d) Zeigen Sie, dass Darstellung der Lemniskate in kartesischen Koordinaten lautet:
(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 )
unter Benutzung von x = r(ϕ) · cos(ϕ), y = r(ϕ) · sin(ϕ).
(
13
/ca. 3 )