Lösung 1

MAG2 – Mathematik: Analysis und Geometrie 2
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2013
ZHAW Winterthur
Lösung 1
Aufgabe 1 :
a) Weil der Nenner x2 + 1 ≥ 1 > 0 erfüllt, ist die Funktion f (x) = x/(x2 + 1)
definiert für alle reellen Zahlen: D = R. Zur Bestimmung des Wertebereichs
berechnen wir die lokalen Extrema von f mit Hilfe der Nullstellen der Ableitung
f 0:
(1 − x)(1 + x) !
1 − x2
= 0 ⇔ x = ±1.
(1)
f 0 (x) =
2 =
2
(x + 1)
(x2 + 1)2
Jetzt können wir f an den kritischen Punkten auswerten:
f (±1) =
±1
1
=± .
2
(±1) + 1
2
(2)
Weil limx→±∞ f (x) = 0, gilt tatsächlich |f (x)| ≤ 21 , x ∈ R. Also ist W = [− 21 , 12 ].
b) Die Logarithmusfunktion ist definiert für positive Zahlen, und |x| > 0 für x 6= 0,
also D = R \ {0}. Für x ∈ D nimmt |x| alle möglichen positiven reellen Werte
an, daher ist der Wertebereich von f (x) = log |x| gleich dem Wertebereich der
Logarithmusfunktion, W = R.
c) Die Wurzelfunktion ist definiert für nichtnegative Argumente, also muss
1
g(x) := x2 − x − 3 ≥ 0
2
(3)
gelten. Der Graph der Funktion g ist eine konvexe Parabel mit negativen Werten
zwischen den beiden Nullstellen. Diese sind gegeben durch
q
1
± 14 + 12
1 7
2
= ± ∈ {−1.5, 2} .
(4)
x1,2 =
2
4 4
Daher D = (−∞, −1.5] ∪ [2, ∞). Weil g(x) für x ∈ D alle möglichen
nichtnegatip
ven reellen Werte annimmt, ist der Wertebereich von f (x) = g(x) gleich dem
Wertebereich der Wurzelfunktion, W = [0, ∞).
Aufgabe 2 :
Wir berechnen zunächst t = 2x und setzen dann ein:
√
y = 2x + 2x − 2.
(5)
Für t = t1 , t2 werten wir einfach aus:
x(t1 ) = 0.75, y(t1 ) ' 0.725,
1
x(t2 ) = 2.5, y(t2 ) ' 5.24.
(6)
Aufgabe 3 :
a) Wir formen den Ausdruck y = 1/(2x) um zu 2xy = 1 und schliesslich x = 1/(2y).
Die Umkehrfunktion f −1 (y) = 1/(2y) ist definiert für y > 0.
1
b) Wir formen um: erst ex− 2 = y2 , dann x − 12 = log y2 = log y − log 2 und schliesslich
x = log y +
1
− log 2.
2
(7)
Wegen der Logarithmusfunktion ist diese Funktion definiert für y > 0.
Aufgabe 4 :
1
1
1
+
=
2 4n
2
2
n + 4n − 1
7n − 1
1
20
b) lim
= lim 1 +
= lim 1 +
+
=1
n→∞
n→∞
n→∞
n2 − 3n
n(n − 3)
3n 3(n − 3)
2n + 1
a) lim
= lim
n→∞
n→∞
4n
Aufgabe 5 :
2
x2 − 1
= lim 1 − 2
a) lim 2
=0
x→1
x→1 x + 1
x +1
2 sin x cos x x6=0
sin(2x)
= lim
= lim (2 cos x) = 2
x→0
x→0
x→0 sin x
sin x
(x − 2)(3x + 1)
(x − 2)(3x + 1) x6=2
3x + 1
7
c) lim
= lim
= lim
=
x→2
x→2
x→2
4x − 8
4(x − 2)
4
4
b) lim
Aufgabe 6 :
Wir behaupten, dass die Funktion f an der Stelle x0 = 0 nicht stetig ist (Graph
anschauen!) und konstruieren eine reelle Zahlenfolge hxn i mit xn 6= x0 , n ∈ N, und
limn→∞ xn = x0 , so dass die Zahlenfolge hf (xn )i divergiert. Wir definieren hxn i durch
das Bildungsgesetz
(−1)n
, n ∈ N,
(8)
xn =
n
dann gilt tatsächlich xn 6= 0, n ∈ N, und limn→∞ xn = 0. Für die Folge der Funktionswerte gilt
f (x2j−1 ) = x2j−1 =
−1
2j − 1
und f (x2j ) = x2j − 2 =
1
− 2,
2j
j ∈ N.
(9)
Jetzt haben wir zwei Teilfolgen hf (x2j−1 )i und hf (x2j )i, die gegen unterschiedliche
Werte konvergieren: limj→∞ f (x2j−1 ) = 0, limj→∞ f (x2j ) = −2. Daher ist die Folge
hf (xn )i divergent.
Aufgabe 7 :
a) Die Formel (xn )0 = nxn−1 kann mit Hilfe der Produktregel durch Induktion
bewiesen werden. Damit und mit der Faktorregel erhalten wir f 0 (x) = 20x4 .
2
b) Mit der Produktregel erhalten wir
0
x2 arcsin x = 2x arcsin x + x2 arcsin0 (x).
(10)
Mit der Umkehrfunktionsregel gilt ausserdem
arcsin0 (x) = √
so dass
1
,
1 − x2
0
x2
x2 arcsin x = 2x arcsin x + √
.
1 − x2
c) Mit der Quotientenregel erhalten wir
0
1 + cos x
− sin x (1 − sin x) + (1 + cos x) cos x
=
1 − sin x
(1 − sin x)2
− sin x + sin2 x + cos x + cos2 x
=
(1 − sin x)2
cos x − sin x + 1
=
.
(1 − sin x)2
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
d) Durch zweimalige Anwendung der Kettenregel erhalten wir
f 0 (x) = 2 sin (2x − 4) (sin (2x − 4))0 = 4 sin (2x − 4) cos (2x − 4) .
(16)
e) Mit der Kettenregel erhalten wir
sin0 x
cos x
= √
.
f 0 (x) = √
2 sin x
2 sin x
(17)
Aufgabe 8 :
a) Mit der Quotientenregel berechnen wir
2x (1 + x2 ) − 2x3
2x
f (x) =
=
2
2
(1 + x )
(1 + x2 )2
0
(18)
und, zusammen mit der Kettenregel,
2
2 (1 + x2 ) − 2x · 2 (1 + x2 ) 2x
f (x) =
(1 + x2 )4
00
(19)
2
2 (1 + x2 ) − 8x2 (1 + x2 )
=
(1 + x2 )4
2 − 6x2
2 (1 + x2 ) − 8x2
=
=
.
(1 + x2 )4
(1 + x2 )3
Jetzt können wir auswerten: f 00 (0) = 2.
3
(20)
(21)
b) Mit der Produktregel erhalten wir
f (x) = 1 · log x + x
1
= 1 + log x,
x
(22)
und dann
1
1
, f 000 (x) = − 2 .
(23)
x
x
Die dritte Ableitung von f ist für x = 0 nicht definiert, und wir erhalten f 000 (1) =
−1.
f 00 (x) =
c) Wir berechnen zunächst die explizite Darstellung
√
t = x, y = x3/2 , x ≥ 0.
Dann
dy
3
3√
(x) = x1/2 =
x,
dx
2
2
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAG2
4
x ≥ 0.
(24)
(25)