1 Kapitel 5 Mengen und Ereignisse Letzter Stand 16. Juni 2000, 6

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Kapitel 5 Mengen und Ereignisse
Letzter Stand 16. Juni 2000, 6 Seiten
Literaturbezug
Dieses Kapitel (einschließlich der Aufgaben, Blätter, Übersichten, etc) bezieht sich auf den
Stoff der Abschnitte des Buches
G. Uebe, M. Schäfer,
Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Verlag Oldenbourg
München 1991,
Kapitel 5
Lernziel ist die Rekapitulation der Mengentheorie, die der Wirtschaftswissenschaftler
aus den Vorlesungen zur Mathematik im wesentlichen bereits kennt.
Ziel der Wahrscheinlichkeitstheorie, zu der im folgenden einige Grundlagen
zusammengestellt werden, ist es, über das Eintreten bzw. Ausbleiben bestimmter
Ereignisse Aussagen zu treffen. Hierzu ist es notwendig, umgangssprachliche Begriffe
wie "wahrscheinlich", "unsicher", "ganz sicher" und dergleichen so zu klären, daß sie
unmißverständlich
verwendet
werden
können.
D.h. es ist notwendig,
Formalisierungen einzuführen, die es ermöglichen, präzise und für alle in der
gleichen Weise zu verstehende Aussagen zu machen. Hierzu wird in diesem
Abschnitt der Begriff Ereignis formalisiert und es werden die entsprechenden Darstellungsweisen vorgeführt. Zu diesem Zweck werden einleitend einige wohlbekannte
Begriffe aus der Mengenlehre rekapituliert.
5.1 Mengen
Die Grundmenge, innerhalb derer sich alle im folgenden zu definierenden
Operationen abspielen, sei mit Ω bezeichnet.
Im folgenden bezeichne A immer eine nichtleere Menge. Das bedeutet, daß es
mindestens ein Element a gibt, das zur Menge A gehört:
∃a∈Ω mit a∈A.
Die leere Menge, also die Menge, die kein Element enthält, wird mit ø bezeichnet.
5.1.1 Definition (Teilmenge)
Eine Menge A1, deren Elemente alle auch Elemente der Menge A sind, wird als
Teilmenge von A bezeichnet:
A 1 ⊆ A. ⇔ (a ∈ A 1 ⇒ a ∈ A für alle a ∈ A 1)
Dabei wird A1 als echte Teilmenge von A ( A1 ⊂ A) bezeichnet, wenn es mindestens
ein Element in A gibt, das nicht Element von A1 ist.
Man bezeichnet A als Obermenge von A1: A ⊇ A 1
(bzw. als echte Obermenge A ⊃ A 1 ).
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5.1.2 Beispiele:
a)
A = {1,2,3,4,5,6}, A 1 ={1,2,3}
b)
A = {die Menge der natürlichen Zahlen unter 50},
A 1 = {die Menge der geraden natürlichen Zahlen unter 50}
c)
A = {die Menge der Lottozahlen},
A 1 = {die Menge der Gewinnzahlen der 5. Ziehung in 1990}
d)
Die Menge G der geraden Zahlen und die Menge U der ungeraden
Zahlen sind Teilmengen der natürlichen Zahlen:
Menge G
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
Menge U
Die graphische Darstellung von Mengen wird als Venn-Diagramm bezeichnet.
A
A1
5.1.3 Definition (Gleichheit der Mengen A und B)
Zwei Mengen A und B heißen gleich oder äquivalent, falls zu jedem a∈A genau ein
Element b∈B gefunden werden kann mit a = b.
(∀a∈A ⇒ ∃ b∈B, so daß a=b) und (∀b∈B ⇒ ∃ a∈A, so daß a=b)
Insbesondere gilt:
A ⊆ B und B ⊆ A ⇔ A = B
x
A
u
y
v
B
5.1.4 Beispiel
A die Menge der Lottozahlen und
B die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 49
5.1.5 Definition
|A| oder #(A) heißt Zahl der Elemente in A.
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5.1.6 Definition (Potenzmenge)
Eine Menge B heißt Potenzmenge von A (B= P (A)), falls B alle Teilmengen von A als
Elemente enthält. Jede Potenzmenge von A enthält also insbesondere ø und A selbst.
5.1.7 Beispiel
A = {1,2,3}
P (A) ={ø ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Für die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge gilt:
Falls #(A) < ∞, dann #(P (A)) = 2 #(A) < ∞, hier also #(P (A)) = 2 3 = 8.
5.1.8 Definition (Schnitt(menge) der Mengen A1 und A2)
A := A1∩A 2
heißt Schnittmenge der Mengen A1 und A2, falls für ein x∈A gilt:
x∈A 1 und x∈A 2
Offensichtlich gelten Kommutativität und Assoziativität:
A 1 ∩ A 2 = A2 ∩ A 1
(A 1 ∩ A 2) ∩ A 3 = A 1 ∩ (A 2 ∩ A 3) = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3
Unter Umständen ist die Schnittmenge leer.
1.
A := A1 ∩ A 2 = ø
A1
2.
A2
A := A1 ∩ A 2 ≠ ø
A1
A2
A1 ∩ A
2≠ ø
5.1.9 Beispiele
1. Die Schnittmenge der geraden und der ungeraden natürlichen Zahlen;
2. In einem Münzwurf können die Ereignisse W a p p e n und Zahl (A 1,A 2) nicht
zugleich auftreten;
3. Die Schnittmenge der Lottozahlen und der Menge der natürlichen Zahlen unter 50.
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Seien die Mengen A1, A 2,...,A K betrachtet.
Eine Verallgemeinerung auf K Teilmengen ist die Schnittmenge aller Mengen, die wie
folgt geschrieben wird:
A 1∩A 2∩A 3∩A 4...∩A K =
K
∩ A k =: A, d.h.
k=1
x∈A ⇔ x∈A k ∀ k = 1, 2, ..., K.
Die Mengen Ak (k= 1, ..., K) heißen paarweise disjunkt, wenn
A i ∩A k = ø für alle i, k ∈ {1, ..., K}, i ≠ k gilt.
5.1.10 Bemerkung
Sind die Mengen A1,...,A K disjunkt, dann müssen sie nicht
paarweise disjunkt sein:
A 1 = {1,2}, A 2 = {2,3} , A 3 = {3,4}
A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = ø , aber A 1 ∩ A 2 = {2}, A 2 ∩ A 3 = {3}.
5.1.11 Definition (Vereinigung(smenge) der Mengen A1 und A2)
A := A1 ∪ A 2
heißt Vereinigungsmenge (bzw Vereinigung) der Mengen A1 und A2, falls für ein
x∈A gilt:
x∈A 1 oder x∈A 2.
Offensichtlich gelten Kommutativität und Assoziativität:
A 1 ∪ A 2 = A2 ∪ A 1
(A 1 ∪ A 2) ∪ A 3 = A 1 ∪ (A 2 ∪ A 3) = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3.
5.1.12 Beispiel
Die Vereinigungsmenge der geraden und der ungeraden Zahlen ist die Menge der
natürlichen Zahlen.
A := A1 ∪ A 2 und A1 ∩ A 2 = ø:
A := A1 ∪ A 2 und A1 ∩ A 2 ≠ ø:
A1
A1
A2
A2
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Wie für die Schnittmenge ist die Verallgemeinerung auf K Mengen wichtig:
Die Vereinigung aller Mengen wird wie folgt geschrieben:
Seien A 1,A 2,...,A K Mengen, dann ist
K
∪ A k = A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A K =: A
k=1
5.1.13 Definition (Negation (Komplement))
Eine Menge A heißt Negation oder Komplement der Menge A, bzw. die Menge aller
Ereignisse, die nicht in A sind, falls für ein beliebiges Element x folgendes gilt:
x ∈ A ⇔ x ∉ A,
d.h. A, A ∈ Ω, A ∩ A = ø, A ∪ A = Ω
A
A
5.1.14 Definition (Partition)
Eine Menge von Teilmengen heißt Partition oder Zerlegung von A, falls gilt:
K
A=
∪ Ak
k=1
und
A k ∩ A i = ø ∀ k, i ∈ {1,2,....,K} mit k ≠ i.
A
A2
A3
A1
5.1.15 Definition (Differenz (A ohne B))
Eine Menge wird als Differenzmenge
A \ B =: C
bezeichnet, falls für alle x ∈ C gilt: x ∈ A und x ∉ B.
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5.1.16 Bemerkung
1. A ∩ B = ø ⇒ A \ B = A
A
B
2. A \ B =: C und A ∩ B ≠ ø
C
A
B
Offensichtlich gilt
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∩ B.
5.1.17 Satz (Gesetze von de Morgan)
B
A
A∪B
A∪B = A∩B
1.
B
A
2.
A∩B = A∪B
A∩ B
Beweis:
1.
Die linke Seite A∪B bedeutet, daß x weder in A noch in B ist,
d.h. x∉A und x∉B ⇔ x ∈ A und x ∈ B ⇔ x∈A∩B; dies ist jedoch die rechte Seite.
2.
Die linke Seite A∩B bedeutet, daß x weder in A noch in B ist, d.h. x∉A oder x∉B
⇔ x∈ A oder x∈ B ⇔ x∈ A∪B; dies ist jedoch die rechte Seite, w.z.b.w.