Es sei X die Menge aller reeller Zahlenfolgen (an)n∈N

Aufgabe 1 (Metrik)
Es sei X die Menge aller reeller Zahlenfolgen (an )n∈N =: (an ).
(a) Man zeige, dass durch
d((an ), (bn )) :=
∞
X
|ai − bi |
1
2i+1 1 + |ai − bi |
i=0
(4 Punkte)
((an ), (bn ) ∈ X)
eine Metrik auf X definiert wird.
Lösung:
(i) d : X × X → R≥0 .
(ii) Z.z.: d((an ), (bn )) = 0 ⇔ (an ) = (bn ).
“⇐”: (an ) = (bn ) ⇔ an = bn ∀n ∈ N ⇔
⇒ d((an ), (bn )) = 0.
“⇒”: d((an ), (bn )) = 0 ⇒ 0 =
P∞
|an −bn |
1+|an −bn |
|ai −bi |
1
i=0 2i+1 1+|ai −bi |
≥
|ai −bi |
1+|ai −bi |
⇒ ai = bi ∀i ∈ N.
(iii) Symmetrie folgt aus der Symmetrie von |ai − bi |.
(iv) ∆-Ungleichung folgt wegen der Monotonie Eigenschaft absolute konvergenter
|ai −bi |
. Diese folgt wiederum aus der Aussage:
Reihen aus ∆-Ungleichung für 1+|a
i −bi |
y
x
z
x ≤ y + z für x, y, z ≥ 0 impliziert 1+x ≤ 1+y
+ 1+z
.
Beweis der letzten Aussage:
1
1
1+z+y
z
y
z
y
1+x
1+x
= +1 ≥
+1 =
⇒
+
≥
+
≥
.
x
x
y+z
z+y
1+z 1+y
1+z+y 1+y+z
x
(b) Sei an = (an,j )j∈N ∈ X eine Folge von Folgen und sei b = (bj )j∈N ∈ X. Zeigen Sie,
dass an genau dann bzgl. der Metrik d gegen b konvergiert, d.h. limn→∞ d(an , b) = 0,
wenn für alle j ∈ N gilt limn→∞ an,j = bj .
Lösung:
Def.: (an ) = (an,i )i∈N ∈ X konvergiert gegen b = (bi )i∈N ∈ X bzgl. d falls
P
|an,i −bi |
1
∀ > 0 ∃n ∈ N: ∀n ≥ n : d((an ), b) = ∞
i=0 2i+1 1+|an,i −bi | < .
“⇒”: Zu zeigen: (an,i ) → bi falls n → ∞ ∀i ∈ N.
¯
Sei ¯ > 0 beliebig. Wähle > 0 so dass = 1+¯
, also ¯ = 1−
.
Falls (an ) ∈ X bzgl d gegen b = (bi )i∈N ∈ X konvergiert, wählen wir zu eine
natürliche Zahl n ∈ N wie in der Definition oben.
Dann folgt für beliebiges i ∈ N, dass
∞
X 1
|an,i − bi |
|an,i − bi |
≤
< ∀n ≥ n
1 + |an,i − bi |
2i+1 1 + |an,i − bi |
i=0
1
Daraus folgt |an,i − bi | <
1−
= ¯ ∀n ≥ n =: n¯. ⇒ (an,i ) → bi falls n → ∞.
“⇐” Wir nehmen an, dass (an,i ) → bi für n → ∞ ∀i ∈ N.
Nach Definition bedeutet das: ∀ > 0 ∀i ∈ N ∃n,i ∈ N: |an,i − bi | < ∀n ≥ n,i .
Man beachte n,i hängt von i ∈ N ab.
Z.z.: (an ) konvergiert bzgl d gegen b ∈ X (siehe Definition oben).
Wir wählen ein beliebigs > 0.
Da die Reihe
P∞
1
i=0 2i+1
konvergiert, existiert I ∈ N so dass
P∞
1
i=I +1 2i+1
< /2.
Außerdem konvergieren nach Annahme (an,i ) gegen bi für alle i ∈ {0, . . . , I}.
¯
mit ¯ := ˆ/2(I + 1) natürliche Zahlen nˆ,i wie oben, so
Also finden wir zu ˆ = 1+¯
dass |an,i − bi | < ˆ für alle n ≥ nˆ,i . Insbesondere impliziert die Wahl von ˆ dass
|an,i −bi |
< ¯.
1+|an,i −bi |
Da I < ∞, setzen wir n = maxi=1,...,I n,i . Damit folgt für alle n ≥ n :
I
∞
∞
X
X
X
1
1
|an,i − bi |
|an,i − bi |
|an,i − bi |
1
=
+
i+1
i+1
i+1
2 1 + |an,i − bi |
2 1 + |an,i − bi | i=I +1 2 1 + |an,i − bi |
i=0
i=0
≤
I
X
i=0
≤
I
X
∞
X
1
¯ +
2i+1
i=I
+1
1
2i+1
/2(I + 1) + /2 ≤ .
i=0
Das ist die Behauptung.
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