5. ¨Ubungsserie Kombinatorische Optimierung

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Prof. Dr. Michael Stiebitz
Wintersemester 2014/15
5. Übungsserie Kombinatorische Optimierung
Aufgabe 1
Es seien G ein gerichteter Graph und a, b zwei Abbildungen von E(G) in die Menge der
ganzen Zahlen so, dass für alle Kanten e ∈ E(G) gilt: a(e) ≤ b(e).
Eine Abbildung f : E(G) → R heißt ein (a, b)-zulässiger Strom auf G, wenn
(1) ∀x ∈ V (G) : df (x) = 0 und
(2) ∀e ∈ E(G) : a(e) ≤ f (e) ≤ b(e) gilt.
Man beweise:
(a) Ist f ein (a, b)-zulässiger Strom auf G mit der Eigenschaft, dass f (e) nicht für alle
Kanten e ∈ E(G) ganzzahlig ist, so gibt es einen solchen ungerichteten Kreis C in G,
dass f (e) für alle e ∈ E(C) nicht ganzzahlig ist.
(b) Wenn es einen (a, b)-zulässigen Strom f auf G gibt, dann gibt es auch einen (a, b)zulässigen Strom f ′ auf G, welcher für alle Kanten e ∈ E(G) ganzzahlig ist.
Aufgabe 2
Es sei X = (xij ) eine Matrix vom Typ (n,m) mit reellen Elementen.
(a) Man beweise, dass es eine Matrix Y = (yij ) vom Typ (n, m) gibt, welche den folgenden
Bedingungen genügt:
(i) alle Elemente von Y sind ganzzahlig,
(ii) ∀i ∈ {1, ..., n}∀j ∈ {1, ..., m} : |yij − xij | < 1,
∑
m
(iii) ∀i ∈ {1, ..., n} : (xij − yij ) < 1,
j=1
n
∑
(iv) ∀j ∈ {1, ..., m} : (xij − yij ) < 1 und
i=1
∑
n ∑
m
(xij − yij ) < 1.
(v) i=1 j=1
(
)
1.2 2.6 1.7
(b) Man bestimme für X =
eine Matrix Y , welche den Bedingungen (i)
−4.1 3.4 2.5
bis (v) aus Aufgabe (a) genügt.
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Aufgabe 3
Es sei G ein gerichteter Graph mit V (G) = {x1 , ..., xn } und E(G) = {e1 , ..., em }. Ferner
sei B = (s⃗1 , ..., s⃗m ) die Inzidenzmatrix von G. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent
sin:
(a) s⃗i1 , ..., s⃗ik sind linear abhängig.
(b) F = {ei1 , ..., eik } enthält einen ungerichteten Kreis von G, d.h. es gibt einen ungerichteten Kreis C von G mit E(C) ⊆ F
Aufgabe 4
Es sei G ein gerichteter Graph mit V (G) = {x1 , ..., xn } und E(G) = {e1 , ..., em }. Ferner
sei B = (s⃗1 , ..., s⃗m ) die Inzidenzmatrix von G, und Bi sei die Matrix, welche durch Streichen
der i-ten Zeile aus B hervorgeht. Mit t(G) bezeichnen wir dfie Anzahl der Gerüste von G.
Man beweise folgende Aussagen.
(a) Die Matrix B ist total unimodular, d.h. jede quadratische Untermatrix von B hat
Determinante 0, 1 oder −1.
(b) Ist m = n − 1 so ist det(Bi ) = ±1 sofern G ein Baum ist, und det(Gi ) = 0 falls G kein
Baum ist.
(c) (Matrix-Gerüst-Satz von Kirchhoff ) t(G) = det(Bi BiT )
(a) (Satz von Cayley) Der vollständige Graph Kn hat nn−2 Gerüste.
Hinweis: Zum Beweis von (c) benutze man den folgenden Satz von Cauchy-Binet: Es sei B
eine Matrix mit p Zeilen und m ≥ p Spalten. Für S ⊆ {1, ..., m} sei B(S) die Matrix die aus
den Spalten mit Indizes aus S entstehe, wobei die Reihenfolge erhalten bleibt. Dann gilt
∑
det(BB T ) =
det(B(S)B(S)T )
S
wobei die Summe über alle S ⊆ {1, ..., m} mit |S| = p genommen wird.
Aufgabe 5
Es sei N = (G, c, s, t) ein (s, t)-Netzwerk und FG die Menge aller (s, t)-Flüsse von N
(a) Man zeige, dass, falls G zusammenhängend ist, FG ein R-Vektorraum ist und gebe die
Dimension an.
(b) Man zeige, dass das Maximalflussproblem ein lineares Optimierungsproblem ist und
gebe das zugehörige duale Problem an.
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