Übungsaufgabe 1: Gewöhnliches Iterationsverfahren für lineare

Hochschule Darmstadt
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Prof. Dr. Fritz Bierbaum
Übungsaufgaben zu Numerische Mathematik I, Kapitel 4, Wintersemester 2010 / 2011
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Übungsaufgabe 1: Gewöhnliches Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Gegeben ist die lineare Fixpunktfunktion g ( x) = B ⋅ x + c mit
 0.5 − 0.5 − 0.2 
 1 


 
B =  0.1 − 0.3
0  und c =  − 2  .
 0.1
 − 3
0
0.6 

 
a.
Man bestimme den Fixpunkt x̂ von g (x) .
(Die Lösung von A ⋅ x = b ist sehr einfach mit MATLAB errechenbar: x=A\b).
b.
Man bestimme ρ ( J g ( xˆ )) und stelle fest, ob der Fixpunkt x̂ anziehend oder abstoßend
ist. Man bestimme J g (xˆ ) in den verschiedenen Normen und vergleiche die Werte mit
ρ ( J g ( xˆ )) .
c.
Ausgehend von x
(0)
 0
 
=  0  führe man 2 Schritte des gewöhnlichen Iterationsverfahrens
 0
 
durch.
d.
Ausgehend von x
(0)
 0
 
=  0  führe man 2 Schritte des Einzelschrittverfahrens
 0
 
(Einzelschrittvariante des gewöhnlichen Iterationsverfahrens) durch.
e.
Für den Startwert x
(0)
 0
 
=  0  schätze man mit Hilfe der a-priori-Abschätzung ab, wie
 0
 
viele Schritte (k) des gewöhnlichen Iterationsverfahrens mindestens nötig sind, damit der
Fehler x ( k ) − xˆ ≤ 10 −10 .
1
f.
Man zeige, dass die a-posteriori-Abschätzung für k = 1 und k = 2 in der Spaltensummennorm erfüllt ist.
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Übungsaufgaben zu Numerische Mathematik I, Kapitel 4, Wintersemester 2010 / 2011
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Übungsaufgabe 2: JACOBI-Verfahren für lineare Gleichungssysteme
(Erweiterung der Aufgabe 6 der Klausur vom 05. 02. 2009).
Hilfreiche MATLAB-functions finden Sie im Zipp-Archiv „Lineare Gleichungssysteme“.
10 1 0 
 − 9


 
Das lineare Gleichungssystem  5 10 − 1 ⋅ x =  − 6  soll iterativ mit dem JACOBI 0 5 10 
 10 


 
Verfahren gelöst werden.
a. Man beweise, dass das JACOBI-Verfahren für beliebige Startvektoren konvergiert.
b. Ausgehend von x (0) = (1,1,1) T führe man drei Iterationsschritte des JACOBI-Verfahrens
durch.
c. Man bestimme die Iterationsmatrix B J des JACOBI-Verfahrens und
ρ ( B J ) = max(abs(eig ( B J ))) , B J 1 , B J 2 , B J F und B J ∞ . Ergibt sich ein
Widerspruch zur Konvergenzaussage von Aufgabenteil a?
d. Man schätze ab, wie oft iteriert werden muss, damit für das JACOBI-Verfahren der Fehler
in der Betragssummennorm kleiner als 10 −10 ist.
e. Man bestimme das exakte Resultat (MATLAB: x = A\b).
f. Man zeige, dass die a-posteriori-Abschätzung für k = 1 und k = 2 in der Maximumnorm
erfüllt ist.
Übungsaufgabe 3: GAUSS-SEIDEL-Verfahren für lineare Gleichungssysteme
(Erweiterung der Aufgabe 6 der Klausur vom 05. 02. 2009)
Hilfreiche MATLAB-functions finden Sie im Zipp-Archiv „Lineare Gleichungssysteme“.
10 1 0 
 − 9


 
Das lineare Gleichungssystem  5 10 − 1 ⋅ x =  − 6  soll iterativ mit dem
 0 5 10 
 10 


 
GAUSS-SEIDEL-Verfahren gelöst werden.
a. Man beweise, dass das GAUSS-SEIDEL-Verfahren für beliebige Startvektoren konvergiert.
b. Ausgehend von x (0) = (1,1,1) T führe man drei Iterationsschritte des GAUSS-SEIDELVerfahrens durch. Man vergleiche die Zahlen mit denen von Übungsaufgabe 2, Teil b.
c. Mit Hilfe von MATLAB bestimme man die Iterationsmatrix BGS des GAUSS-SEIDELVerfahrens und ρ ( BGS ) = max(abs (eig ( BLGS ))) , BGS 1 , BGS 2 , BGS
F
und BGS
∞
.
Ergibt sich ein Widerspruch zur Konvergenzaussage von Aufgabenteil a? Man vergleiche
die Zahlen mit denen von Übungsaufgabe 2, Teil c.
d. Man schätze ab, wie oft iteriert werden muss, damit für das des GAUSS-SEIDEL-Verfahren
der Fehler in einer geeigneten Norm kleiner als 10 −10 ist.
e. Man zeige, dass die a-posteriori-Abschätzung für k = 1 und k = 2 in der Maximumnorm
erfüllt ist.
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Übungsaufgabe 4: Beispiele für Konvergenz bzw. Divergenz
Mit Hilfe von MATLAB bestimme man für die Matrizen
a.
 1

A =  −1
 −2

 2

b. A =  − 2
 −1

−2
1
−2
1
2
1
2

− 1
1 
1 

− 2
2 
jeweils, ob das JACOBI-Verfahren oder das GAUSS-SEIDEL-Verfahren konvergieren.
Hilfreiche MATLAB-functions finden Sie im Zipp-Archiv „Lineare Gleichungssysteme“.
Übungsaufgabe 5: (L-R)-Zerlegung
(Aufgabe 7 der Klausur vom 05. 02. 2009)
 25 5 − 5 
 25 


 
Das lineare Gleichungssystem A ⋅ x = b mit A =  5 19 5  und b =  29  ist mit Hilfe
 − 5 5 13 
 13 


 
einer ( L ⋅ R) - Zerlegung zu lösen.
a. Warum kann man schon vor Durchführung der ( L ⋅ R) - Zerlegung sicher sein, dass die
( L ⋅ R) - Zerlegung ohne Pivotsuche durchgeführt werden kann?
b. Man führe die ( L ⋅ R) -Zerlegung ohne Pivotsuche durch.
c. Mit Hilfe von L und R bestimme man die Lösung x von A ⋅ x = b .
d. Die Matrix A ist symmetrisch. Kann man das an L und R erkennen?
e. Kann man an Hand von L und R erkennen, dass A positiv definit ist?