M9 LU 12 Wahrscheinlichkeiten
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M8 LU 33 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten A Kombinatorik 1. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus diesen fünf Mitgliedern des Schwingklubs einen Vorstand mit Präsident, Vizepräsident und Aktuar zu wählen? (Variation, geordnete Stichprobe, Reihenfolge ist wichtig!) b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, den gewählten Vorstand auf drei Stühle zu setzen? (Die möglichen Anordnungen nennt man Permutation) c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus dem Schwingklub eine Dreierdelegation ans Eidgenössische Schwingfest in Bern zu schicken? (Kombination, ungeordnete Stichprobe, Reihenfolge ist unwichtig!) Der Fall c) Aus fünf Personen drei auszuwählen, entspricht dem Auswahlprinzip beim Zahlenlotto. Da ist die Reihenfolge, wie die Kugeln gezogen werden unwichtig. Die Zahlen werden am Ende der Gösse nach sortiert. Die Mögliche Anzahl Tipps bei 6 aus 42 und 1 aus 6 (Glückszahl) wird wie folgt berechnet: Für den Term 4 · 3 · 2 · 1 schreibt man kurz 4! (sprich „4 Fakultät“) siehe TR faculté Fähigkeit, Vermögen Theorie und Aufgaben Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Seite 1 B Wahrscheinlichkeit Aufgabenbeispiele Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein bestimmtes Ereignis A eintrifft, wird mit einem Quotienten berechnet: Anzahl günstige Fälle w (A) = Anzahl mögliche Fälle Beispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit aus der Urne, eine gestreifte Kugel zu ziehen? Günstige Fälle gibt es 3 (drei Kugeln haben die gewünschte Musterung) und mögliche Fälle gibt es 12 (es hat im Ganzen zwölf Kugeln). 3 1 also rechnen wir w ( A ) = = 12 4 Mögliche Lösungsstrategien sind: • • Baumdiagramm zeichnen Alle Varianten/Möglichkeiten aufzählen Würfeln 1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem roten, grünen und blauen Würfel zusammen die Augenzahl 5 zu würfeln? 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem roten und blauen Würfel zusammen eine Augenzahl kleine als 4 zu würfeln? Kugeln in einer Urne 3. in einer Urne hat es 2 rote und 3 blaue Kugeln. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit nach zweimal Ziehen zwei rote Kugeln zu ziehen? Die Kugeln werden nicht zurückgelegt. b. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit nach zweimal Ziehen zwei blaue Kugeln zu ziehen? Die Kugeln werden nicht zurückgelegt. Münzen 4. Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit viermal Kopf zu werfen? b. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit zweimal Kopf und zweimal Zahl zu werfen? Theorie und Aufgaben Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Seite 2 Verschiedenes: 5. Bei einem Spiel mit einem Würfel gewinnt man 2 Fr. wenn man eine Zahl Würfelt, die durch 3 teilbar ist. Der Einsatz kostet 1 Fr. a) Wie gross ist bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit 2 Fr. zu gewinnen? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man den Einsatz verliert? c) Wie viele Fr. Erlös kann eine Klasse, die dieses Spiel an einem Jugendfest anbietet, theoretisch machen wenn 150 Schüler mitgemacht haben? 6. Ein Kreisel mit 10 Ecken ist in den Sektoren wie folgt beschriftet: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 a) Notiere zu den Zahlen 1 bis 4 die Wahrscheinlichkeiten, dass sie beim Kreiseln getroffen werden. b) Der Einsatz kostet 1 Fr. Wenn man die Zahl 4 trifft werden 4 Fr. Gewinn ausbezahlt. Wenn man die Zahl 2 trifft werden 2 Fr. Gewinn ausbezahlt. Es spielen 200 Personen mit. Wie viel Fr. Erlös können so theoretisch erwirtschaftet werden? 7. Du hast fünf T-Shirts und vier Paar Hosen und sechs Paar Schuhe. a) Wie viele Möglichkeiten hast du, um dich zu kleiden? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn drei Personen je eines dieser fünf T-Shirts anziehen sollen? c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei von diesen fünf T-Shirts jemandem zu verschenken? 8. Du wirfst viermal hintereinander eine Münze a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 4-mal Kopf oder 4-mal Zahl zu werfen? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 3-mal Kopf und 1-mal Zahl zu werfen? c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 2-mal Kopf und 2-mal Zahl zu werfen? Theorie und Aufgaben Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Seite 3 Lösungen Theorie und Aufgaben Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Seite 4 5. Bei einem Spiel mit einem Würfel gewinnt man 2 Fr. wenn man eine Zahl Würfelt, die durch 3 teilbar ist. Der Einsatz kostet 1 Fr. 1 a) Wie gross ist bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit 2 Fr. zu gewinnen? Lösung: 3 2 b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man den Einsatz verliert? Lösung: 3 c) Wie viele Fr. Erlös kann eine Klasse, die dieses Spiel an einem Jugendfest anbietet, theoretisch machen wenn 150 Schüler mitgemacht haben? Lösung: Einnahmen 150 Fr. minus 50 Gewinner 100 Fr. = 50 Fr. 6. Ein Kreisel mit 10 Ecken ist in den Sektoren wie folgt beschriftet: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 a) Notiere zu den Zahlen 1 bis 4 die Wahrscheinlichkeiten, dass sie beim Kreiseln getroffen werden. 1 3 2 1 ,2 ,3 ,4 Lösung: 1 10 5 5 10 b) Der Einsatz kostet 1 Fr. Wenn man die Zahl 4 trifft werden 4 Fr. Gewinn ausbezahlt. Wenn man die Zahl 2 trifft werden 2 Fr. Gewinn ausbezahlt. Es spielen 200 Personen mit. Wie viel Fr. Erlös können so theoretisch erwirtschaftet werden? Lösung: Einnahmen 200 Fr. minus 20 mal 4 Fr. minus 40 mal 2 Fr. = 40 Fr. 7. Du hast fünf T-Shirts und vier Paar Hosen und sechs Paar Schuhe. a) Wie viele Möglichkeiten hast du, um dich zu kleiden? Lösung: 5 · 4 · 6 = 120 Mögl. b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn drei Personen je eines dieser fünf T-Shirts anziehen sollen? Lösung: 5 · 4 · 3 = 60 Mögl. c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei von diesen fünf T-Shirts jemandem zu verschenken? 5⋅ 4⋅3 Lösung: = 10 3 ⋅ 2 ⋅1 8 Du wirfst viermal hintereinander eine Münze a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 4-mal Kopf oder 4-mal Zahl zu werfen? 4 1 1 Lösung: = 16 2 c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 3-mal Kopf und 1-mal Zahl zu werfen? 4 1 Lösung: = Es gibt 4 Möglichkeiten kkkz, kkzk, kzkk, zkkk 16 4 k k z k k z k z c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 2-mal Kopf und 2-mal Zahl zu werfen? 6 3 Lösung: = Es gibt 6 Möglichkeiten kkzz, kzzk, zkkz, zzkk, zkzk, kzkz 16 8 k z Theorie und Aufgaben Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Seite 5 z k z k z k z k z k z k z k z k z z k
