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Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Einzelstunde 76
S1
Klasse 9/10
Stimmt’s oder stimmt’s nicht? –
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
IV/A
Dr. Florian Schacht, Dortmund
Muster in Dreieckszahlen1
M1
Hier lernst du ganz besondere mathematische Muster von Zahlen kennen. Diese haben
ganz vielfältige und zum Teil sehr unterschiedliche Eigenschaften. Um diese Eigenschaften zu entdecken, benötigst du zunächst nichts weiter als ein wenig Kreativität.
U
A
Mathematische Muster treten in unterschiedlichen „Erscheinungsformen“ auf – manchmal lassen sich ihre Eigenschaften mithilfe von Punktbildern darstellen, und in anderen
Fällen siehst du den Zahlen die Muster direkt an. Bemerkenswert ist, dass diese Muster
nicht nur beschrieben werden können, sondern dass sie sich auch begründen lassen.
∆-Zahl Nr.
1
2
1
3
3
4
Abstand
(Differenz)
2
Summe
4
6
H
C
Bild
Anzahl der
Punkte
5
S
R
O
V
Aufgaben: Und die nächsten Dreieckszahlen?
Ergänze in der Tabelle oben zunächst die Bilder der nächsten beiden Dreieckszahlen
(∆-Zahlen). Bestimme dann jeweils
– die Anzahl der Punkte in den Bildern,
– den Abstand bzw. die Differenz zweier benachbarter Dreieckszahlen
(Beispiel oben: Die Differenz von ∆-Zahl Nr. 2 und ∆-Zahl Nr. 1 ist 3 – 1 = 2),
– die Summe zweier benachbarter ∆-Zahlen (Beispiel oben: Die Summe
von ∆-Zahl Nr. 2 und ∆-Zahl Nr. 1 ist 3 + 1 = 4).
Die nächsten Dreieckszahlen – jetzt ohne Bilder
Ergänze diese Tabelle wie oben.
∆-Zahl Nr.
1
2
Anzahl der
Punkte
1
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Abstand
(Differenz)
Summe
1
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze
n ∈n entspricht. Beispielsweise ist die 10 eine Dreieckszahl, da 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ist.
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80 RAAbits Mathematik September 2014
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Einzelstunde 76
S3
M1
Klasse 9/10
Muster in Dreieckszahlen – Fortsetzung
IV/A
U
A
Die Anzahl der Punkte begründen (Ich-Phase)
Per sagt:
Ich kann die Anzahl der Punkte in Dreiecksbildern direkt erkennen.
Ich nehme ein zweites (deckungsgleiches) Dreieck und ergänze
das ursprüngliche Dreieck mit diesem zweiten Dreieck, das ich um
180° drehe, zu einem Rechteck. Die Anzahl der Punkte im Rechteck
kann ich leicht bestimmen.
H
C
S
R
Aufgabe
Beschreibe in ganzen Sätzen, was Per meint.
Warum kann Per die Punkte in einem Rechteck leicht bestimmen?
Wie bestimmt Per die Anzahl der Punkte im fünften Bild?
O
V
1
2
3
4
5
Wie hängen die Anzahlen im Rechteck mit den Anzahlen der Dreiecksbilder zusammen?
Wie viele Punkte hat das Bild der 20. Dreieckszahl?
Erkennt ihr die Regel? (Du-Phase)
Tausche dich mit deinem Nachbarn über Pers Idee aus.
Formuliert eine allgemeine Regel, wie man Dreieckszahlen berechnen kann. Nutzt dafür konkrete Zahlbeispiele
und gebt für die n-te ∆-Zahl einen allgemeinen Term mit
Variable an.
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80 RAAbits Mathematik September 2014
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Klasse 9/10
Einzelstunde 76
S7
M 3 Vermutungen zu Δ-Zahlen begründen – Fortsetzung
IV/A
Aufgabe: Wie begründest du?
Vera behauptet: Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
Beispiel: 5 + 6 = 11, wobei 5 ungerade,
6 gerade und
11 ungerade.
a) Berechne die folgenden Summen.
Vera
U
A
Setze die Aufgabenserie um jeweils 3 Summen im Heft fort. Achte bei den Aufgaben
jeweils auf ein Muster, das bei der Addition zweier aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen entsteht.
3+4=
H
C
4+5=
5+6=
1003 + 1004 =
S
R
1004 + 1005 =
1005 + 1006 =
O
V
801 + 802 =
802 + 803 =
803 + 804 =
b) Beweise Veras Behauptung auf drei verschiedene Arten – mit einem generischen
Beispiel, mithilfe eines generischen Bildes und algebraisch.
Nutze die Ansätze unten.
Begründe, welcher Weg dir am leichtesten fällt.
Ansatz für ein
generisches Beispiel
Ansatz für ein
generisches Bild
Ansatz für einen
algebraischen Beweis
7 + 8 = 15
Darstellung für eine
beliebige ungerade Zahl:
n∈ n
8 + 9 = 17
9 + 10 = 19
Darstellung für ihren
Nachfolger: n + 1
.
4+5
.
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80 RAAbits Mathematik September 2014
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Klasse 9/10
Einzelstunde 76
S 13
Rund um die Einzelstunde
IV/A
Klasse:
9/10
Dauer:
6 Stunden + Lernerfolgskontrolle
Inhalt:
Offenes Lernarrangement zur Erkundung und Beschreibung von Mustern
bei Dreieckszahlen (mit Tippkarten), Bestimmung des expliziten Terms zur
Berechnung von Dreieckszahlen mittels Begründung am Punktmuster
Zusammenhänge von Quadratzahlen und Dreieckszahlen
Mathematische Begründungsvarianten am Punktmuster, mit generischen
Beispielen und durch algebraische Beweise
U
A
Systematische Gegenüberstellung und Reflexion unterschiedlicher mathematischer Begründungsmuster
Erkundung von Mustern bei der Änderung von Abständen bei der Quadratzahlfolge
Tippkarten, Formulierung von Regeln
H
C
Aktivierendes Spiel (Memory) zu Behauptungen und Begründungen
Ihr Plus: Hoher Grad an Schüleraktivität, spielerische Elemente zu Begründungen,
sorgfältige methodische Vielfalt, mathematisch substanzielle Erkundungen,
Tippkarten zur Differenzierung, Wechsel der Repräsentationsebenen, Vielfalt an Begründungsvarianten (generisches Beispiel, generisches Bild und
formal-algebraischer Beweis)
S
R
Didaktisch-methodische Hinweise
Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern und Strukturen. Das Argumentieren und
das Begründen sind zentrale mathematische Denk- und Handlungsmuster, die in diesem
Beitrag anhand eines mathematisch substanziellen Gegenstandsbereiches thematisiert
werden. Dieser Gegenstandsbereich bietet sich für die Vertiefung dieser prozessbezogenen Kompetenzen vor allem deswegen an, weil Ihre Schüler hier in vielfältiger Weise
Muster und Strukturen erkunden können. Dabei steht immer zunächst die zum Teil sehr
kreative Auseinandersetzung mit den Zahlen und Bildfolgen im Vordergrund. Diese
Tätigkeit bildet die Grundlage, auf der die Schüler Vermutungen äußern, Hypothesen
aufstellen und Behauptungen formulieren, die dann im zweiten Schritt Gegenstand der
Begründung sind.
O
V
Beweisen üben – aber wie?
Die Mathematik als Fachdisziplin zeichnet sich in besonderer Weise dadurch aus, dass
ihre Behauptungen und Sätze bewiesen werden können. Dadurch etwa unterscheidet
sich die Mathematik auch in erkenntnistheoretischer Hinsicht von den naturwissenschaftlichen Disziplinen. Die Möglichkeit – oder die Notwendigkeit – für eine Begründung mathematischer Behauptungen ist in diesem Zusammenhang für viele Schüler
keineswegs eine Selbstverständlichkeit.
Es gehört somit zu einer der Grunderfahrungen für Schüler, dass ein Begründungsbedürfnis geweckt wird. Dazu eignet sich die Erkundung von Zahlbeziehungen und Punktbildern in besonderer Weise, weil hier aktiv-entdeckend Vermutungen und Hypothesen
angeregt werden können, die dann auf ihre Allgemeingültigkeit hin begründet werden
müssen.
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80 RAAbits Mathematik September 2014
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Klasse 9/10
Einzelstunde 76
S 19
In einem letzten Schritt dieses Materials arbeiten Ihre Schüler zu zweit an der Begründung der expliziten Formel für Dreieckszahlen. Die Schüler sollen diese Formel mithilfe
des Bildes selbstständig herleiten und die Begründung ergänzen. Ein Ziel ist dabei, dass
Ihre Schüler den mathematischen „Trick“ entdecken, die Punktdarstellung der Dreieckszahl durch ein Dreieck der gleichen Form – um 180° gedreht – zu einem Rechteck zu
ergänzen. Die Anzahl der Punkte in diesem Rechteck lässt sich für das n-te Rechteck
direkt angeben: n g (n + 1). Schließlich „halbiert“ man die Anzahl der Punkte wieder, und
es gilt für die n-te Dreieckszahl:
IV/A
∆n = n g (n + 1) / 2.
Für Gruppen, deren Arbeitsprozess ins Stocken gerät, bietet sich die Nutzung der Tippkarten in Material M 2 an.
M3
U
A
Vermutungen zu Dreieckszahlen begründen
Im Mittelpunkt dieses Materials steht die Behauptung von Pauline, dass die Summe
zweier benachbarter Dreieckszahlen eine Quadratzahl ist. Anhand dieser Behauptung
können die Schüler die Kraft unterschiedlicher Begründungsvarianten erfahren. Ihre
Schüler beurteilen dazu die verschiedenen Begründungen von Paulines Mitschülern.
H
C
Nicht alle Begründungen sind richtig, einige sind in der dargebotenen Form bereits
überzeugend, und wieder andere deuten eine richtige mathematische Idee an, wobei
allerdings die Begründung fehlt, wieso die dargebotene Argumentation verallgemeinerbar ist.
Hier finden Sie Hinweise zu den einzelnen Schüleraussagen.
S
R
Niklas argumentiert mithilfe eines Punktebildes und begründet
so Paulines Behauptung richtig. Leistungsstarke Schüler können
Sie bereits hier dazu anregen, einen expliziten Term mit Variable
für die Gesamtzahl der Punkte anzugeben. Dieser lautet für die
n-te Dreieckszahl: Qn = n2. Niklas Begründung mithilfe des Punktebildes ist zwar in Bezug auf die Zeichnung richtig gut, allerdings fehlen hier noch einige erklärende Sätze hinsichtlich der
Verallgemeinerbarkeit. In diesem Fall ist es so, dass das vorangehende Dreiecksmuster mit dem nachfolgenden Dreiecksmuster zu einem Quadrat ergänzt werden kann, weil der Vorgänger
jeweils um n Punkte kleiner ist.
O
V
Niklas
Svens Aussage ist kein Beweis im mathematischen Sinne. Die
Angabe von Beispielen mag helfen, die Hypothese zu generieren
oder zu plausibilisieren. Keineswegs hilft eine endliche Anzahl
von Beispielen allerdings zur Begründung der Behauptung, weil
hier keine Aussagen über die Verallgemeinerbarkeit getroffen
werden kann.
Sven
Malte nutzt ein generisches Beispiel, um Paulines Behauptung zu zeigen: Seine Begründung ist richtig. Es ist eine
häufig angewandte Strategie, anhand konkreter Beispiele die allgemeine mathematische Struktur zu zeigen.
Genauso wie bei generischen Bildern (Punktbildern) sollen
Ihre Schüler mit Worten beschreiben, was die allgemeine
Regel ist. Malte klammert hier den gemeinsamen Faktor
aus, der jeweils zur Berechnung der beiden aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen genutzt wird.
Malte
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80 RAAbits Mathematik September 2014
Mathematische Begründungen am Beispiel von Mustern
Klasse 9/10
Einzelstunde 76
S 20
Antonia begründet Paulines Behauptung mithilfe eines formalalgebraischen Beweises. Diese Begründung ist richtig.
IV/A
Schließlich nutzen Ihre Schüler die hier kennengelernten Begründungsvarianten, um zu zeigen, dass die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ungerade ist. In Aufgabenteil
a) machen Ihre Schüler die Erfahrung, dass die Summe zweier
aufeinanderfolgender Zahlen ungerade ist, indem sie je zwei
Nachbarzahlen addieren. Die Ergebnisse der Fortsetzungen der
Summen lauten:
Antonia
1. 6 + 7 = 13
7 + 8 = 15
8 + 9 = 17
2. 1006 + 1007 = 2013
1007 + 1008 = 2015
1008 + 1009 = 2017
3. 805 + 806 = 1611
806 + 807 = 1613
807 + 808 = 815
U
A
Die folgende Tabelle gibt hierzu Lösungshinweise.
Behauptung: Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer
ungerade.
Generisches Beispiel
H
C
Generisches Bild
7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 2 g 7 + 1 = 15
8 + 9 = 8 + 8 + 1 = 2 g 8 + 1 = 17
S
R
9 + 10 = 2 g 9 + 1 = 19
.
4+5
Weil sich der Nachfolger
einer natürlichen Zahl aus
der Summe von 1 und der
Zahl selbst ergibt, gilt für die
Summe aus einer Zahl und
ihrem Nachfolger, dass sie
dargestellt werden kann als
2 mal die Zahl selbst plus 1.
Wenn ich zu einer geraden
Zahl eins addiere, wird sie
ungerade.
M4
O
V
Algebraischer
Beweis
Für die Summe aus
der natürlichen Zahl
n und ihrem Nachfolger n + 1 gilt:
.
6+7
n + (n + 1) = 2n + 1.
Der Nachfolger einer Zahl
(vgl. Bild) ist immer um 1
größer als die Zahl selbst.
Wenn man eine Zahl und ihren
Nachfolger addiert, ergeben
sich zwei gleich lange Punktreihen, deren Anzahl folglich
gerade ist, und ein weiterer
Punkt.
2n + 1 ist eine ungerade Zahl, weil 2n
gerade ist ∀ n ∈ n.
Zahlen mit vielen Eigenschaften: Quadratzahlen
Ähnlich wie bei Material M 1 können Ihre Schüler vielfältige Entdeckungen bei
Quadratzahlen machen. In dieser Phase arbeiten Ihre Schüler zunächst allein, dann zu
zweit und schließlich in der Gruppe.
Die ersten 20 Quadratzahlen lauten:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
Quadratzahl Nr.
1
2
3
4
5
6
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen
3
80 RAAbits Mathematik September 2014
5
7
41
61
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