MATHEMA TISCHE SCHULERSUCHEREI Belkner

MATHEMA TISCHE SCHULERSUCHEREI
Belkner, Determinanten
Nr. 33
99 Seiten
4,80 M
665 1001
Belkner, Matrizen
Nr. 48
96 Seiten
4,30 M
6655520
Belkner, Metrische Raume
Nr. 65
140 Seiten
8,70 M
6656400
Belkner, Reelle Vektorraume
Nr.84
174 Seiten
9,50 M
665 711 2
Dewefi/Dewell, Summa summarum
Nr. 125
92 Seiten
15,- M
666 317 6
Gelfand/Glagolewa/KiriIIow, Die Koordinatenmethode
Nr. 41
75 Seiten
3,40 M
665 1079
Gelfand/Glagolewa/Schnol, Funktionen und ihre graphische
Darstellung
Nr. 58
127 Seiten
7, - M
6656005
Hasse, Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik
Nr. 2
84 Seiten
3,30 M
6650842
Jaglom, Ungewohnliche Algebra
Nr. 83
95 Seiten
5,50 M
6657892
Kantor/Solodownikow, Hyperkomplexe Zahlen
Nr. 95
156 Seiten
9, - M
665871 3
Kastner/Gothner, Algebra - aller Anfang ist leicht
Nr. 107
155 Seiten
8,40 M
666 138 1
Krysicki, Keine Angst vor x und y
Nr. 119
108 Seiten
6,50 M
6661867
Kudrjavzev, Gedanken tiber moderne Mathematik
und ihr Studium
Nr. 112
140 Seiten
7, - M
666077 6
Kufner, Raum und Entfernung
Nr. 104
90 Seiten
6660282
6,- M
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
MARIA HASSE
Gruodbegriffe
der
Meogenlehre uod Logik
10. AUFLAGE
LEIPZIG
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
MATHEMATISCblE SCHDLERBDcHEREI . Nr.2
Herausgeber: Dr. rer. nat. habil. Emst Hameister t
Hasse, Maria:
Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik / Maria Hasse. 10. Aufi. - Leipzig: BSB Teubner, 1989. 84S. : 7 Abb.
(Mathematische SchUierbiicherei ; 2)
NE:GT
ISBN 978-3-322-00380-5
ISBN 978-3-663-05932-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05932-5
Math. Sch.biich.
lSSN 0076-5449
® Springer Fachmedien Wiesbaden 1965
Urspr!!nglich erschienen beiBSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1965.
10. Auflage
VLN 294-375/62/89 . LSV 1019
Lektor: Dorothea Ziegler
Gesamtherstellung: Grafische Werke Zwickau IIl/29/1
Bestell-Nr.6650842
00330
Vorwort
Das vorliegende Biichlein ist aus einer Reihe von Vortragen
hervorgegangen, die der Verfasser im Winter 1963/64 vor
Lehrern des Bezirkes Dresden gehalten hat. An dieser Veranstaltung nahmen auch einige Schiiler von Dresdener Oberschulen teil, und es zeigte sich, daB diese durchaus in'der Lage
waren, dem Vortrag zu folgen. Hieraus und aus der Tatsache,
daB in einer Reihe anderer Lander die Grundbegriffe der Aussagenlogik und der Mengenlehre - teilsexplizit, teils implizit in den obligatorischen Schulunterricht aufgenommen Wlirden
und bei uns ebenfalls Bestrebungen in dieser Richtung be~
stehen, glauben wir die Berechtigung herleiten zu diirfen, dieses
zunachst nicht fUr Schiiler abgefaBte Manuskript in die Mathematische Schiilerbiicherei aufzunehmen. Wir empfehlen seine
Lektiire jedoch in erster Linie den Schiilern der 11. und
12. Klasse unserer 'Oberschulen. Dariiber hinaus glauben wir,
daB dieses Buch auch Lehrern, Ingenieuren und mathematisch
interessierten Studenten naturwissenschaftlicher Fachrichtungen
von Nutzen sein konnte.
Sowohl Herrn Dr. lIse vom Institut flir Schulmatht!matik an
der Humboldt-Universitat Berlin als auch vor aHem meinem
Mitarbeiter Herrn Dr. Michler bin ich fUr wertvolle Anregungen
zu Dank verpfiichtet. Bei der Durchsicht der Korrekturen
haben mich meine Assistenten Frau Geisler, Frau Ludwig und
Herr Reichel freundlicherweise unterstiitzt.
Dresden, im Januar 1965
Maria Hasse
Vorwort zur 7. Auflage
Die Notwendigkeit einer 7. Auflage zeigt, daB das Biichlein in
der Yorliegenden erweiterten Fassung die Erwartungen erfiillt
und unter Schiilern, Studenten und Lehrern viele Freunde ge~
funden hat.
Dresden. im April 1980
Maria Hasse
Vorwort zur 10. Auflage
Das Erscheinen der 10. Auflage dieses Buches beweist, daB sein
I nhalt noch heute - nach mehr als 20 Jahren - nicht an Interesse
verIoren hat. Meine besten Wiinsche begleiten es auf seinem
Wege in die Schule und die Horsale. Moge es seinen Teil dazu
beitragen, unserer Jugend den Blick fUr modernes Denken in
der Mathematik zu offnen.
Dresden, im Januar 1988
Maria Hasse
Inhaltsverzeichnis
1. Grundbegriffe der Aussagenlogik
7
2. Mengen und TeiJmengen
12
3. Vereinigung, Durchschnitt und Produkt von Mengen
19
~~.~
n
5. Aquivalenzrelationen
37
6. Halbordnungsrelationen
49
7. Funktionen und AbbiJdungen
53
8. Operative Mengen
61
9. Halbordnungen
66
10. Hiillenoperation. Hiillensystem. TopoJogischer Raum
70
Liisungen der Aufgaben
78
Sachverzeichnis
82
1. Grundbegriffe der Aussagenlogik
Unter einer Aussage verstehen wir einen Satz, der die Eigenschaft hat, entweder wahr oder falsch zu sein oder - wie wir
auch sagen wollen - genau einen der Wahrheitswerte "das
Wahre" (W) oder "das Falsche" (F) zu besitzen.
Beispiele fiir Aussagen sind etwa:
a) 13 ist eine Primzahl.
J2
ist eine transzendente Zahl.
b)
c) Zu keiner natiirlichen Zahl n, die gr6Ber als 2 ist, lassen sich
drei natiirliche Zahlen x, y, z so an'geben, daB
xn+yn=zn
ist.
Die Aussage a) hat den Wahrheitswert W, die Aussage b) den
Wahrheitswert Fund die Aussage c), die Fermatsche Vermutung. hat ebenfalls einen Wahrheitswert, den wir Mathematiker allerdings im Augenblick noch nicht angeben k6nnen.
In enger Beziehung mit dem Begriff der Aussage steht der Begriff der Aussageform. Eine Aussageform hat die Gestalt (Form)
eines Satzes, in dem eine oder mehrere Varia bIen auftreten, und
besitzt die Eigenschaft, daB man jedesmal eine Aussage erhalt,
wenn man fUr diese Variablen beliebige Objekte oder, genauer,
Namen fiir Objekte einer irgendwie festliegenden Gesamtheit
einsetzt. 1st a(x) eine Aussageform, in der fUr x Objekte einer
Gesamtheit X einzusetzen sind, so spricht man von einer Aussageform a(x) liber X.
So ist beispielsweise "x ist durch 3 teilbar" eine Aussageform;
setzt man hier fUr x eine beliebige, aber feste ganze rationale
Zahl ein, so kommt man zu einer Einzelaussage, die wahr oder
falsch ist, je nachdem, welche Zahl man fUr x gesetzt hat. Flir
x = 26 etwa ergibt sieh eine falsehe, fUr x = 27 dagegen eine
wahre Aussage.
Eine Aussageform liber der Gesamtheit der reellen Zahlen ist
etwa "y = 3x + 5" oder ,,(x + y)2 = x 2 + 2xy + y2". Wlihrend die erstere Aussageform z. B. fUr x = I, y = 8 eine wahre
Aussage liefert und fUr x = 1, y = 9 eine false he, ergibt die
8
1. Grundbegriffe der Aussageniogik
letztere Aussageform fUr jede Wahl von x und y eine wahre Aussage. Dabei kann man ohne Anderung des Sachverhalts den Bereich der reellen Zahlen zu dem Bereich der komplexen Zahlen
erweitern.
Wir bemerken an dieser Stelle noch, daB man aus einer Aussageform auch dadurch eine Aussage gewinnen kann, daB man vor
die Aussageform noch gewisse sprachliche Gebilde setzt, die
eine Quantifizierung der in der Aussage auftretenden Variablen
bewirken. Diese vorgestellten sprachlichen Gebilde lauten:
"Fur aIle x" ("Zu jedem x") bzw. "Es gibt ein x" ("Es existiert
ein x"), in Zeichen:
Vx
bzw.
3 x.
Ihrem Inhalt entsprechend nennt man die Symbole 'V und 3
Quantifikatoren. Aussagen, die auf dieser Weise erhalten werden,
heiBen, je nachdem, welcher der Quantifikatoren auftritt, AIlaussagen oder Existentialaussagen.
Neben den Aussageformen spielen bei der Erzeugung von Aussagen auch die sogenannten Aussagenverbindungen eine Rolle.
Eine solche Aussagenverbindung erhiilt man, wenn man vor
eine Aussage das Wort "nicht" setzt oder wenn man zwei Aussagen zu einer neuen Aussage verknupft, beispielsweise mit Hilfe
der folgenden aussageerzeugenden Worter:
"und", " oder" , "wenn - so", "genaudann - wenn".
Dabei wird festgelegt, wenn man eine beliebige Aussage durch
einen der Buchstaben p, q, r, ... kennzeichnet:
Die Negation "nicht p" (in Zeichen: '" p) ist genau dann wahr,
wenn die Aussage p falsch ist.
Die Konjunktion "p und q" (in Zeichen: p /I q) ist genau dann
wahr, wenn sowohl die Aussage pals auch die Aussage q wahr
ist.
Die Alternative (auch Disjunktion genannt) "p oder q" (in
Zeichen: p v q) ist genau dann faIsch, wenn sowohl die Aussage pals auch die Aussage q falsch ist.
Die Implikation "wenn p, so q" (in Zeichen: p = q) ist genau
dann faIsch, wenn die Aussage p wahr und die Aussage q falsch
ist.
Die A'quivalenz "genau dann p, wenn q" (in Zeichen: p ¢> q)
ist genau dann wahr, wenn die Aussagen p und q beide den
gIeichen Wahrheitswert haben.
9
1. Grundbegriffe der Aussagenlogik
Hierbei ist wesentIich, daB sich der Wahrheitswert einer Aussagenverbindung aus den Wahrheitswerten der Einzelaussagen
ergibt.
Die oben angegebenen Festsetzungen kann man in Form von
logischen Mafrizen oder Wahrheitstafeln wie folgt ausdrUcken:
~I
lIlfJ
" Iw F
F
wlw
F
FF
W
F
W W
W
F
v
F
W
_I WIF
wlwlF
F
W
F
Entsprechend kann man die Negation, Konjunktion, Alternative, Implikation und Aquivalenz von Aussageformen bilden,
deren Variable durch die Objekte einer und derselben Gesamtheit ersetzt werden dUrfen.
Vnter den Aussagenverbindungen a(p" Pz, ... , p,,) von n Aussagen PI, Pz, ... , PII gibt es solche, die unabhangig davon,
welche Aussagen man flir PI' Pz, ... , P" einsetzt, stets den
Wahrheitswert W bzw. stets den Wahrheitswert F haben. Solche
Aussagenverbindungen nennt man Tautologien oder auch [dentitiiten bzw. Kontradiktionen.
Beispielsweise ist die Aussagenverbindung P v (- p) eine Tautologie (Satz yom aU!\,geschlossenen Dritten) und die Aussagenverbindung P 1\ ( - p) eine Kontradiktion (Satz yom ausgeschlossenen Widerspruch). 1 )
Zwei Aussagenverbindungen a 1 und az heiBen logisch iiquivalent,
in Zeichen: a 1 == a 2 , wenn sie unabhangig davon, welche Aussagen fiir P1, Pz, ... , P" eingesetzt werden, stets denselben
Wahrheitswert haben, d. h., wenn die Aussagenverbindung
a1 (Pl,PZ, ... ,p,,)- az(Pl,P2, ... ,p,,)
eine Tautologie ist.
Wir bemerken, daB die logische Aquivalenz eine Beziehung
zwischen Aussagen ist. Diese genUgt den folgenden Gesetzen:
a) a == a (Reftexivitat);
b) aus at == az folgt az == a1 (Symmetrie);
c) aus at == a2 und az == a3 folgt a1 == a3 (Transitivitat);
d) aus a 1 == a2 folgt -a 1 == -02;
1) Treten in einem Ausdruck gleichzeitig mehrere logische Zeichen auf, so
ist zu beach ten, daB => und _ starker binden als " und v. wobei wiederurn " starker als v bindet.
10
e)
1. Grundbegrilfe der Aussagenlogik
aus 0\
(0\ v (3)
(0\ ~ (3)
==
==
==
°2 , 0 3
== 04
(02 v (4),
(02 ~ ( 4 ),
folgt
(0\1\ (3)
(0\ => (3)
==
==
(02 1\
(4),
(0 2 => ( 4 ),
Man kann daher eine in einer AquivaJenz auftretende Aussagenverbindung durch eine zu ihr aquivalente Aussagenverbindung
ersetzen, ohne dadurch das Bestehen der Aquivalenz zu zerstoren.
Beispiele fur Tautologien:
(I) (p=> "'p)=> "'p,
(2) [pl\(p=>q)]=>q,
(3) (pl\q)=>p,(pl\q)=>q,
(4) P => (p v q), q => (p v q),
(5) (p => q) => [(q => r) => (p => r)],
(6) {[(p=>q)l\(q=>r)]l\p}=>r.
Beispiele fur logische A'quivalenzen:
(7) (pl\q) == (ql\p),(pvq) == (qvp).
(8) [pl\(ql\r)] == [(pl\q)l\r],
[pv(qvr)] == [(pvq)vr],
(9) [p 1\ (q V r)] == [(p 1\ q) V (p 1\ r)],
[pv(ql\r)] == [(pvq)l\(pvr)],
(10) (p=>q) == ("'pvq),
(II) (p=>q) == ("'q=> "'p),
(12) [p 1\ "'q) => (r 1\ "'r)] == (p => q),
(13) (p~q) == [(p=>q)l\(q=>p)],
(14) (p ~ q) == [(p 1\ q) V ("'p 1\ "'q)],
(15) '" (p 1\ q) == ('" p v '" q), '" (p v q) ==
(16) [(p=> q)l\(r=> q)] == [(pvr)=>q],
(17) [pv(ql\ "'q)] ==p,
(18) [p 1\ (q v "'q)] == p.
('" p
1\ '" q),
Den Nachweis der logischen Aquivalenz zweier Aussagenverbindungen erbringt man, indem man das Symbol == ersetzt durch das Symbol <=> und mit Hilfe einer Wahrheitstafel zeigt, daB die so entstehende Aussagenverbindung eine
Tautoiogie ist, d. h. stets den Wahrheitswert What. Bei Kenntnis gewisser Tautologien kann man den Beweis fiihren, ohne
eine Wahrheitstafel aufzustellen, indem man mit Hilfe dieser
Tautologien die linke Seite der betrachteten Aquivalenz in die
rechte Seite iiberfiihrt. Wir werden beide Arten des Beweises
am Beispiel (14) vorfiihren.
11
1. Grundbegriffe der Aussagenlogik
0) Beweis mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
P I q IpAql-pl-ql-pA",qkpAq)V(-PA",q)l- Ip-q
W
W
F
F
w W
F
W
F
F
W
F
W
F
F
W
W
F
F
F
F
F
F
W
w
w1w
F
WIF
W
F
W
W
F
W
b) Beweis mit Hilfe von Um/ormungen bei Kenntnis von (7),
(8), (9), (10), (13) und (17):
(13)
(p~q)
(10)
== [(p=>q)A(q=>p)] == [("'"'pvq)
(8),(9)
A("'"'qVp)] == [(-pA -q)V(",",PAp)V(qA -q)
V(qAp»)
(7),(8),(17)
_
[(pAq)V(-pA -q)].
Foiglich ist wegen der Transitivitat von ==:
(p~q)
== [(pAq)V(-pA -q)].
Wir machen abschlieBend noch eine fUr das Weitere wesentIiche
Bemerkung:
1st peine wahre Aussage und ist die Aussagenverbindung
P => q ebenfalls wahr, so ist auch q eine wahre Aussage. Man
nennt diese SchluBweise die Abtrennungsregel oder den fr/odus
ponens; sie wird symbolisch so ausgedrtickt:
P
p=>q
q
Allgemeiner erhiilt man durch n-malige Anwendung der Abtrennungsregel
p
p
=> PI
PI
=> P2
Pn-2 => Pn-I
Pn-J => q
q
Man hat also bewiesen, daB eine Aussage q wahr ist, wenn man
zeigen kann,daB die Aussagenverbindungen p => PI, PI => P2'···'
12
2. Mengen und Teilrnengen
pn-2 => Pn-I ,Pn-I => q samtlich wahr sind, und wenn obendrein
die Aussage p, von der wir ausgehen, ebenfalls wahr ist.
Tm folgenden werden wir fUr: "Die Aussagenverbindungen
P => PI, PI => P2' ... , Pn-I => q sind wahr" sehr oft abkiirzend
schreiben: "Es gilt: P => PI => P2 => ... => Pn-I => q".
Sind die Aussagenverbindungen
P ¢> PI, PI
¢>
P2' ... , Pn-I
¢>
q
aIle wahr, so ist mit P auch q und mit q auch P wahr. Anstelle von: "Die Aussagenverbindungen P ¢> PI, PI ¢> Pz, ... ,
Pn-l ¢> q sind wahr" schreiben wir wieder kurz: "Es gilt:
P ¢> PI
¢>
pz ¢>
••• ¢>
Pn-I
¢>
q".
Aufgobe:
Man beweise die Tautologien (I) bis (6) und die logischen Aquivalenzen (7) bis (18).
2. Mengen nnd Teilmengen
Der ProzeB der Mengenbildung als Zusammenfassung von verschiedenen Einzelobjekten zu einem einheitlichen Ganzen ist
jedem von Kindheit an geIaufig. So bilden z. B. aIle Schiiler,
die gemeinsamen Unterricht haben, eine Menge, namlich eine
Schulklasse. Auch die Bewohner eines Hauses bilden eine
Menge, die Hausgemeinschaft des betreffenden Hauses.
SchlieBlich betrachten wir .hier noch die Menge M a , die von
allen Punkten einer Ebene mit den Koordinaten (0, y) gebildet
wird, wo 0 eine beliebige, aber feste ganze Zahl bedeutet
und y uber der Menge der ganzen Zahlen variiert. Zur
Menge Ma geh6ren also aIle Punkte mit den Koordinaten
(0,0), (0, I), (0, -1), (0, 2), ... und nur diese.
Es ist ublich, die Objekte x, die eine bestimmte Menge M bilden,
die Elemente der Menge M zu nennen und den Sachverhalt "x
ist Element von M" symbolisch mit Hilfe des Zeichens fUr die
Elementrelotion E in der Form "x E M" auszudrUcken. Anstelle
von" '" (x EM)" schreibt man: "x ¢ M" und liest dies: .,x ist
kein Element von M". 1st die Anzahl der Elemente einer Menge
endlich, so spricht man auch von einer endlichen Menge und
im entgegengesetzten Fall von einer unendlichen Menge.
2. Mengen und Teilmengen
13
In allen drei oben angegebenen Beispielen sind die Elemente
der betrachteten Mengen ihrerseits keine Mengen. Sowohl ein
Schiiler als ein Hausbewohner als auch ein Punkt sind Einzelobjekte. Man kann aber auch Mengen bilden, deren Elemente
selbst Mengen sind, z. B. die Menge aller Klassen einer Schule,
die Menge aller Hausgemeinschaften einer StraBe oder die
Menge aller Mengen M a , wo jetzt a alle ganzen Zahlen durchlauft.
Die e.rste Festsetzung tiber Mengen, die wir treffen, betrifft die
Gleichheit von Mengen, und zwar fordern wir die Giiltigkeit
der folgenden Aussage:
Genau dann sind die Mengen Ml und M2 gleich - in Zeichen:
M I = M 2 -, wenn jedes Element von M 1 auch Element von
M 2 und umgekehrt jedes Element von M 2 auch Element von
Ml ist.
Ftir die Aussage ,,-(Ml = M 2 )" schreibt man: "Ml :j= M2'"
Hiernach ist also eine Menge bereits durch ihre Elemente eindeutig bestimmt. Man kann daher eine endliche Menge notieren,
indem man ihre Elemente in irgendeiner beliebigen Reihenfolge,
jeweils durch ein Komma getrennt, nacheinander aufschreibt
und diese dann unter Verwendung des Klassifikators {... } nach
links und rechts gegen andere, nicht zur Menge gehorige
Elemente abgrenzt. So schreiben wir z. B. die Menge mit den
Elementen 1 und 2 in der Form {I, 2} und die Menge, die nur
das Element 1 besitzt, als {I}.
Beispiele fUr gleiche Mengen:
{i,s,e,r} = {r,e,s,i} = {r,e,i,s},
{I, 2, 2, I} = {I, 2},
{a, b} = {b, a}.
Man beachte wohl, daB dagegen nach unserer Festsetzung der
Mengengleichheit die Schiilerschaft einer Schule A, die Einwohnerschaft einer StraBe B und die Menge der "Gitterpunkte"
(x, y) (- 00 < x, y < + 00; x, y ganz) verschieden ist von der
Menge der Klassen der Schule A, der Menge der Hausgemeinschaften der StraBe B und der Menge der Mengen Ma. 1m ersteren FaIle sind die Elemente Schiiler, Einwohner und Punkte,
im letzteren dagegen Schulklassen, Hausgemeinschaften und
Punktmengen.
Wir treffen nunmehr unsere zweite Festsetzung tiber Mengen.
Wir den ken uns eine Menge M und eine Aussageform e(x) tiber
.14
2. Mengen und Teilmengen
M gegeben und fordern dann die Gtiltigkeit der folgenden Aussage:
Es gibt eine Menge N, die genau diejenigen Elemente von M
umfaBt, flir die e(x) eine wahre Aussage liefert oder - wie wir
kurz daflir sagen wollen - flir die e(x) wahr ist.
Diese Forderung ist naheliegend. Betrachten wir z. B. die Aussageform "x ist durch 2 teilbar" tiber der Menge F der ganzen
rationalen Zahlen, so bilden diejenigen ganzen Zahlen, flir die
diese Aussage zutrifft, ihrerseits eine Menge, namlich die der
geraden Zahlen.
Offen bar ist die Menge N durch e(x) und M eindeutig bestimmt.
Man driickt diesen Sachverhalt symbolisch aus durch die
Schreibweise
N
=
{x
E
M: e(x)} ,
was man liest: "N ist die Menge aller x aus M, flir die e(x)
wahr ist", oder "N ist die Menge aller x aus M, die die Eigenschaft e besitzen".
Es ist dabei durchaus moglich, daB sprachlich verschiedene Aussageformen die gleiche Menge N in M definieren. So liiBt sich
z. B. die Menge {I, 2} in F erklaren als
{xEF:X2 - 3x
+2
=
O}
oder auch als
{xEF:O < x ~ 2}.
Dabei gilt jedoch ersichtlich flir jedes x
(x 2 - 3x + 2 = 0)
(0 < x ~ 2).
E
r
¢>
Man tiberlegt sich unschwer, daB die hier im Spezialfall gewonnene Erkenntnis allgemein gilt: Zwei tiber einer Menge M
erklarte Aussageformen e1 (x) und eix) definieren genau dann
dieselbe Menge N in M, wenn e1(x) eix) flir jedes x EM gilt.
Wir haben im vorhergehenden diejenigen Elemente einer
Menge M zu einer Menge N zusammengefaBt, die eine gewisse
Eigenschaft e besitzen. Da mit e(x) auch -e(x) eine Aussageform tiber Mist, so existiert nach unserer Festsetzung auch
eine Menge N*, die genau diejenigen Elemente von M umfaBt,
die die Eigenschaft e nicht besitzen, namlich
N* = {xEM: -e(x)}.
¢>
2. Mengen und Teilmengen
15
Nun ist nach unserer Definition des Begriffes der Aussageform e(x) fUr jedes Element x der Menge M entweder wahr
oder falsch - eine dritte Moglichkeit haben wir nicht zugelassen.
Also geh6rt jedes Element von Mauch einer der Mengen N
oder N* als Element an, jedoch niemals beiden gemeinsam.
Unter Beachtung der fUr jedes x EM bestehenden Aquivalenz
e(x) == ~ (~e(x» erhaIten wir weiter
(N*)* = {x EM: ~(~e(x»} = {x EM: e(x)} = N.
Es ist iiblich, fUr die so erkliirten Mengen N und N* eine Bezeichnung einzufiihren.
Definition 1: Es sei Meine Menge und e(x) eine Aussageform
iiber M. Dann heiBen die Mengen
N = {x EM: e(x)} und N* = {x EM: -e(x)}
in M kompiementiire Mengen, und man sagt auch, daB N* die
Kompiementiirmenge von N in Mist. Umgekehrt ist dann N die
Komplementiirmenge von N* in M.
So ist die zur Menge der ungeraden Zahlen in F komplementiire
Menge die Menge der geraden Zahlen, und die zur Menge der
Primzahlen in F+ = {xEF: x> O} komplementiire Menge
enthiilt auBer der Zahll genau aIle zusammengesetzten Zahlen.
Setzt man fUr e(x) speziell die fUr jedes x E M wahre Aussage
"x = x", so ergibt sich: {x E M: x = x} = M, also
*
M* = {xEM: -(x = x)} = {xEM: x
x}.
M* enthiilt offensichtlich iiberhaupt keine Elemente; dennoch
haben wir M* nach unserer obigen Festsetzung als Menge anzusehen. Wir nennen M* die in M leere Menge und bezeichnen
sie mit 0M • Diese ist nach ihrer Konstruktion von M abhiingig.
Wir werden jedoch sofort sehen, daB diese Abhiingigkeit nur
eine scheinbare ist. Dazu zeigen wir, daB fUr zwei ganz beliebige
Mengen MI und M2 stets 0Ml = 0M2 ist, d. h. daB jedes
Element von 0M1 auch Element von 0M2 ist und umgekehrt.
Es sei a ein beliebiges, aber festes Element von MI. Dann ist
die Aussage "t{ ist Element von 0Ml" sicherlich faIsch, und demzufolge (s. Kap.l) ist die Implikation "Wenn a Element von
0M1, so a Element von 0M2" wahr. 1st b ein beliebiges Element
von M 2 , so ist die Aussage "b ist Element von 0M2 " wiederum
falsch und demzufolge die Implikation "Wenn b Element von
0M2 , so b Element von 0Ml" wahr. Da die beiden Implikationen fUr jedes beliebige a E MI und jedes beliebige bE M2
16
2. Mengen und Teilmengen
gelten, so ist tatsachlieh 0Ml = 0M2 • Es gibt also unter allen
Mengen nur eine Menge, die keine Elemente enthlilt. Diese
heiBt die leere Menge und wird mit 0 bezeichnet.
Wie wir gesehen haben, enthlilt eine Menge N, die in einer
Menge M durch eine Aussageform e(x) hestimmt ist, zu Elementen ausschlieBlich Elemente von M, im allgemeinen enthiilt
dagegen M jedoch auch Elemente, die nieht in N gelegen sind.
Den Saehverhalt, daB eine Menge N zu Elementen nur gewisse
Elemente einer anderen Menge M hat, treffen wir in der Mathematik hliufig an. Man fUhrt daher fUr Mengen M und N, die
in dieser Beziehung zueinander stehen, eine Bezeichnung ein.
Definition 2: Es seien M und N Mengen. Dann heiBt N eine
Teilmenge oder Untermenge von M - in Zeichen: N ~ M oder Meine Obermenge von N - in Zeichen: M ~ N -, wenn
jedes Element von N auch Element von Mist. - Gilt speziell
fUr zwei Mengen M und N die Aussage
(N
~
M) /\ (N =t= M),
so heiBt N eine echte Teilmenge von M - in Zeiehen: N c M oder Meine echte Obermenge von N - in Zeichen: M ;:) N.
1st N eine Teilmenge einer Menge M, so laBt sich N eindeutig
(bis auf logische Aquivalenz) eine Aussageform e(x) uber M
zuordnen, so daB gilt
N = {XE M: e(x)}.
Beispielsweise kann man stets die Aussageform "x E N"
wahlen.
Wir bemerken, daB es durehaus ublich ist, auch bei eehtem Enthaltensein das Zeiehen ~ zu setzen. N c M schreibt man gewohnlieh nur dann, wenn man ausdriicklich betonen will, daB
M =t= N ist.
Stets ist, wie erwlihnt,
N = {x EM: e(x)} ~ M
und damit speziell
0~ M und M~ M.
Weitere Beispiele sind:
a) {s, i, e} ~ {r, e, s, i};
b) Es bezeichne jetzt und im folgenden Po die Menge der rationalen Zahlen, P (manchmal auch E) die Menge der reellen
Zahlen, K die Menge der komplexen Zahlen und II die Menge
2. Mengen und Teilmengen
17
der Primzahlen. Dann gilt
II
~
r+, r+
~
r. r
~
Po, Po
~
P, P
~
K.
1st Meine beliebige Menge und sind eI{x) und eix) Aussageformen tiber M, so ist - wie man" sich leicht uberlegt - genau
dann die Menge NI = {x EM: eI{x)} eine Teilmenge der
Menge N2 = {x EM: e2(x)}, wenn flir jedes x EM, flir das
eI(x) wahr ist, auch e2 (x) gilt. Beispielsweise ist flir M =
eI(x): "x ist Prirnzahl" und eix): "x ist positiv"
NI = {XEr:X ist Prirnzahl} ~ {XEr:X ist positiv} = N 2 •
r,
Foiglich gilt flir jede ganze Zahl x: "Wenn x Primzahl ist, so
ist x positiv".
Folgt wie hier flir aIle x einer Menge M die Behauptung e2 {x) aus
der Voraussetzung e1(x), so nennt man e2 (x) eine notwendige
Bedingung flir el{x) und umgekehrt e1(x) eine hinreichende BedinguIJ/I flir e2 {x). Die Menge derjenigen x von M, flir die die
hinreichende Bedingung erflillt, d. h. el(x) wahr ist, ist demnach stets Teilmenge der Menge derjenigen x von M, flir die die
notwendige Bedingung gilt, d. h. e2 (x) zutrifft. In unserem Beispiel ist "x ist Primzahl" eine hinreichende Bedingung daflir,
daB x positiv ist, und "x ist positiv" eine notwendige Bedingung
dafiir, daB x Primzahl ist.
Betrachten wir dagegen die beiden Aussageformen "x ist Quaso liiBt sich zwischen
dratzahl" und "x ist ungerade" uber
den Mengen {XEr: x ist Quadratzahl} und {XEr: x ist ungerade} keine Enthaltenseinsbeziehung angeben, und das besagt, daB "x ist Quadratzahl" weder hinreichend noch notwendig ist flir "x ist ungerade".
1st e eine definierende Eigenschaft einer Teilmenge von M und
sind c1(x) eine hinreichende und e2 (x) eine notwendige Bedingung flir e(x), so gilt
r,
{xEM:cl(x)} ~ {xEM:e(x)} ~ {xEM:eix)}.
Satz 1: Fur beliebige Mengen MI und M2 gilt
MI
= M2
¢>
[(Ml
~
M 2)" (M2
~
M 1)].
Beweis: 1st M I = M 2, so ist jedes Element von M I auch Element von M 2 , also MI ~ M 2, und jedes Element von M2 ist
auch Element von M 1 , also M2 ~ MI' Gilt gleichzeitig
MI ~ M2 und Ml ~ M 1 , so istjedes Element von MI in M2
und jedes Element von M2 in Ml enthalten, also MI = M 2 •
2
nat'~e,
Grundbegriffe
18
2. Mengen und Teilmengen
Wir kommen nun zur dritten Festsetzung liber Mengen. indem
wir die Giiltigkeit der folgenden Aussage fordern:
Zu jeder Menge M gibt es eine weitere Menge, die genau die
Teilmengen von M zu Elementen hat. Sie hei13t die Potenzmenge von M und wird mit P(M) bezeichnet, also
P(M) = {N: N 'ii= M}.
Man beachte, daB als Teilmengen von M stets auch " und M
als Elemente zu P(M) gehOren.
Besteht die Menge M nur aus endlich vielen Elementen, so
kann man P(M) ein Diagramm zuordnen. Teilmengen mit
gleich vielen Elementen werden auf gleicher Hohenlinie eingetragen, Teilmengen mit ungleicher Elementezahl so, da13 die
mit groBerer Elementezahl jeweils oberhalb von denjenigen mit
niederer Elementezahl stehen. Zwei Teilmengen Nt und N z
werden durch eine Linie verbunden, wenn Nt C N2 ist, aber
kein N3 mit Nt C N3 und N3 C N2 existiert. Beispielsweise
erh~iJt man fUr P(0), perl}), P({l, 2}) und P({l, 2, 3}) die folgenden Diagramme:
{7,2,31
{1,21
(tl
•¢
I
¢
Bild 1
'"V'''
¢
{1,21
{2,31
PI
{J)
¢
Man kann, da P(M) nach unserer Festsetzung wiederum eine
Menge ist, die Menge P(P(M» bilden, die man auch mit P 2 (M)
bezeichnet, und diesen Vorgang iterieren. So kommt man zu
pm(M) = P( P ( ... P(M») ... ).
m m-I
I
Wie man sich leicht Uberlegt, besitzt P(M) fUr den Fall, daB M
eine Menge von n Elementen ist, genau
ij:) = 2
n
Elemente,
und entsprechend ist die Elementenanzahl von pn'(M) gleich
-22
2··'2"
m-mal.
3. Vereinigung, Durchschnitt und Produkt von Mengen
19
Aufgaben:
1. Man schreibe folgende Mengen in der Form {xE.K: e(x)}:
a) {2, 4,6, ... };
c) {O,I, 0,01, 0,001, ... };
b) {I, - 1, i, - i} ;
d)
{I
2
4' 3'
3 4}
2' T·
2. Man zeige:
{PEE2 :PPO = I} c {PEE2 :PPO ~ I};
dabei bezeichnet P einen variablen und Po einen festen Punkt
der euklidischen Ebene E 2 •
3. Man betrachte die foIgenden Teilmengen von P:
p,r+,r,po,I= {XEP:X¢Po},
A = {x E P: x aIgebraisch}, T = {x EP:X transzendent}
und stelI~ die zwischen diesen Mengen bestehenden Enthaltenseinsbeziehungen durch ein Diagramm dar.
4. Man zeige:
(a, b) = {x E P: a < x < b}
c {xEP:a ~ x < b} = <a,b)
c {xEP:a ~ x ~ b} = <a,b).
5. a) Man bilde die Menge p2({a, b});
b) Man iiberlege sich die Richtigkeit del' Beziehungen
II E per), {II, r+, r} E P 2 (P).
6. Man beweise durch Betrachtung der zugehorigen Teilmengen
von K:
"x E A" ist notwendig fUr "x E Po" ;
"x E r" ist hinreichend fUr "Im(x) = 0";
"x4 = 1" ist hinreichend fUr "Ixi = 1".
Dabei bedeutet Im(x) den ImaginiirteiI der komplexen ZahI x
und Ixl ihren absoluten Betrag.
3. Vereinigung, Durchschnitt und
Produkt von Mengen
Wir wenden uns nun der "Mengenalgebra" zu. Die drei Verkniipfungen von Mengen, die wir betrachten wollen, sind die
Vereinigungsbildung, die Durchschnittsbildung und die Pro2*
20
3. Vereinigung,Durchschnitt und Produkt von Mengen
dUktbildung. Dabei handelt es sich jeweils urn Zuordnung'svorschriften, bei denen zwei oder mehreren gegebenen Mengen
eine durch diese eindeutig bestimmte weitere Menge - als ResuItat der betreffenden Verkniipfung - zugeordnet wird.
Den Mengen {I, 2, 3} und {2, 3, 4} lassen sich offen bar eindeutig die beidenMengen {I, 2, 3, 4}und {2, 3} zuordnen, vondenen
die erstere genau diejenigen Zahlen zu Elementen hat, die in
{I, 2, 3} oder in {2, 3, 4} gelegen sind, und die letztere genau
diejenigen, die sowohl in {I; 2, 3} als auch in {2, 3, 4} enthaIten
sind. Man sagt im ersteren FalIe, man hat {I, 2, 3} mit {2, 3, 4}
vereinigt, im letzteren, man hat {I, 2, 3} mit {2, 3, 4} geschnitten.
Allgemein erklart man:
Definition 3: Es seien Ml und M2 Mengen. Dann ist die Gesamtheit alIer der Elemente, die in M 1 oder M 1 gelegen sind,
wieder eine Menge. Diese heil3t die Vereinigung von M 1 und M 1
und wird mit Ml v Ml bezeichnet. Man schreibt
M1vM 1
:
=
{x:xEMl vXEM2}.1)
Definition 4: Es seien Ml und M2 Mengen. Dann heil3t die
Menge aller der Elemente, die in Ml und M2 gelegen sind, der
Durchschnitt von Ml und M2 und wird mit Ml II M2 bezeichnet.
Man schreibt
M J 11M2 : = {x:xEMl /\xEMJ.
Wie man un mittel bar erkennt, ist dann
MIIIM2 =
{xEM1:XEM 1}
=
{xEM1:XEM 1},
also Ml II M2 sowohl Teilmenge von Ml als auch Teilmenge
von M 1 .
Beispiele:
a) (a, b) v {a, b} = <a, b) (a, b E P);
b) Po v ] = P;
c) {x E K: X2 + 1 = O} v {x E K: X2 - 1 = OJ
= {xEK:X4 - 1 = O};
d) <a, b)
(a, b)
e) POII]= 0;
II
=
(a, b);
1) Der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen wird gelesen: "nach
Definition" .