Was bisher geschah

Was bisher geschah
I
gerichtete / ungerichtete Graphen G = (V , E )
I
Multigraphen
I
Darstellungen von Graphen
I
Spezielle Graphen: In , Kn , Pn , Cn , Km,n , K1,n , Kn1 ,...,nm
I
Beziehungen zwischen Graphen:
Isomorphie, Teilgraph, induzierter Teilgraph, aufspannender
Teilgraph
I
Operationen auf Graphen: ∪, ∩, ∗,
I
Nachbarschaften und Eckengrade in Graphen,
n-reguläre Graphen
I
Zusammenhangs-Relation E ∗ auf G = (V , E )
(Erreichbarkeit)
Zusammenhangskomponenten: Äquivalenzklassen bzgl. E ∗
I
Pfade, Kreise, Wege in Graphen
I
Eulerwege, Eulerkreise (geschlossene Euler-Wege)
I
Hamiltonpfade, Hamiltonkreise
187
Gefärbte (markierte) Graphen
Graph G = (V , E )
Menge CV von Eckenmarkierungen,
Menge CE von Kantenmarkierungen
Eckenfärbung von G : Zuordnung f : V → CV
Kantenfärbung von G : Zuordnung f : E → CE
zur Modellierung z.B.:
I Linennetzplan mit CE = Fahrzeiten zwischen Stationen
I Straßennetz mit CE = Entfernung (Kosten)
(TSP: Hamilton-Kreis mit geringsten Kosten gesucht)
I Straßennetz mit CE = Höchstgeschwindigkeit
I Spielplan mit CV = Ereignisfeld-Beschreibung
I Spielplan mit CE = Straßen-Bebauungszustand
I Ablauf-Graphen mit CE = Options-Auswahl (z.B. Spielzug)
I Formelbaum mit CV = Junktoren und Aussagevariablen
I Multigraphen mit CE =
\ {0}
N
188
Eckenfärbung
Graph G = (V , E ), Farben {1, . . . , n}
f : V → {1, . . . , k} heißt (konfliktfreie) k-Färbung für G gdw.
∀u ∈ V ∀v ∈ V ((uv ∈ E ) → ¬(f (u) = f (v )))
(für keine Kante {u, v } ∈ E gilt f (u) = f (v ))
Jede Eckenfärbung f : V → {1, . . . , n} definiert
eine Zerlegung der Eckenmenge V
{f −1 (i) | i ∈ {1, . . . , n}}
G = (V , E ) heißt k-färbbar gdw. k-Färbung für G existiert.
Beispiele:
I C5 ist 5- ,4- und 3-färbbar, aber nicht 2-färbbar
I K3,3 ist 2-färbbar,
I I2 ∗ I2 ∗ I1 ist 3-färbbar, aber nicht 2-färbbar
Anwendungen z.B. bei
I Register-Zuteilung (Übersetzerbau)
I kombinatorische Aufgaben, z.B. Sudoku
189
Modellierungsbeispiel Sudoku
Aufgabe informal:
I
9 × 9 Felder
I
einzutragen sind die Ziffern 1 bis 9 in alle leeren Felder
I
Startkonfiguration: einige Felder schon mit Ziffern belegt
Bedingungen: keine Zahl mehrfach in
I
I
I
I
I
einer Zeile
einer Spalte
einem der neun 3 × 3-Blöcke
Aufgabe: korrektes Eintragen von Ziffern in jedes freie Feld
Idee: Repräsentation korrekter Lösungen als gefärbte Graphen mit
Felder als Ecken des Graphen
Zahlen {1, . . . , 9} als Farben für Knoten
Bedingungen (Konflikte) als Kanten des Graphen
Aufgabe: Finden einer konfliktfreien Färbung des Graphen
190
Modellierungsbeispiel Sudoku
formal (Verallgemeinerung auf n2 × n2 -Feld):
Graph G = (V , E ) mit
V = {1, . . . , n2 }2
(n2 × n2 Felder)
CV = {1, . . . , n2 }
(n2 Zahlen als Farben)
E = ((s, z), (s 0 , z 0 )) ∈ V 2 | (s = s 0 ) ∨ (z = z 0) 0
0
∨ d ns e = d sn e ∧ d nz e = d zn e
Beispiel für n = 2 (also 4 × 4-Feld und 4 Farben):
3
2
4
1
191
Chromatische Zahl
chromatische Zahl des Graphen G :
χ(G ) = min{k | G ist k-färbbar }
Beispiele:
I
χ(C5 ) = 3
I
für alle n ∈
I
für alle n > 1 gilt χ(Pn ) = 2
I
für alle n > 2 gilt
N gilt χ(Kn ) = n
I für alle n ∈ N gilt χ(In ) = 1
χ(Cn ) =
I
2 falls n ≡ 0
3 falls n ≡ 1
mod 2
mod 2
für min(m, n) ≥ 1 gilt χ(Km,n ) = 2
192
Baum-Strukturen
I
Hierarchien
I
Komponenten-Strukturen
I
Familien-Stammbäume
I
Enscheidungsbäume
I
Formeln, arithmetische Ausdrücke
sind spezielle Graphen
I
zusammenhängend
I
enthalten keine Kreise
193
Ungerichtete Bäume
G = (V , E ) heißt Baum, wenn
I
G zusammenhängend ist und
I
kein Teilgraph von G ein echter Kreis ist.
G = (V , E ) heißt Wald, wenn kein Teilgraph von G ein echter
Kreis ist.
v ∈ V mit grad(v ) ≤ 1 heißt Blatt
Jeder Baum mit mindestens 2 Ecken hat mindestens 2 Blätter.
In jedem Baum G = (V , E ) gilt |V | = |E | + 1
194
Charakterisierung der Bäume
Für jeden Graphen G = (V , E ) sind folgenden Aussagen
äquivalent:
1. G ist ein Baum.
2. Zwischen je zwei Ecken u, v ∈ V existiert genau ein Pfad in G .
3. G ist minimal zusammenhängend.
(G ist zusammenhängend und für jede Kante uv ∈ E ist
(V , E \ {uv }) nicht zusammenhängend)
4. G ist maximal kreisfrei.
(G enthält
keinen echten Kreis und für jede Kante
uv ∈ V2 \ E enthält (V , E ∪ {uv }) einen echten Kreis)
195
Gerichtete Bäume
Gerichteter Baum:
gerichteter Graph G = (V , E ) mit
1. G enthält keinen Kreis als Teilgraphen
2. Es existiert genau ein v ∈ V mit gradi,G (v ) = 0
3. ∀u ∈ V u 6= v → gradi,G (u) = 1
(Wurzel)
Modellierung durch gerichtete Bäume, z.B.
I
Hierarchien, Klassifikationen
I
Verzeichnis-Strukturen
I
Abstammung
I
Entscheidungsbäume
I
Wege in Graphen
I
Ableitungsbäume für Sprachen
196