TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Analysis 1

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . M. W OLF
D. L ERCHER
O. S ZEHR
Höhere Mathematik II für Physiker
Analysis 1
WS 11/12
Blatt 10
(23. Dezember 2011)
Hausaufgaben
Aufgabe 1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
Z
Z
t3
2 −t
a) (sin t) e dt
b) √
dt
(t2 + 1 := u)
t2 + 1
Z √
Z
t
1−t
dt
√
(tan := u)
d)
c)
dt
(t := (sin u)2 )
1 + cos t
2
t−t
Z
Z
1
e) sinh t cos tdt
e) √
dt.
1 + exp t
Aufgabe 2. Berechnen Sie den Grenzwert:
1
1
1
lim √
+√
+ ... + √
.
n→∞
n2 + 1 2
n2 + 2 2
n2 + n2
Aufgabe 3. Es sei
(
f (t) =
1
t
− b 1t c, wenn 0 < t ≤ 1
0,
wenn t = 0.
Zeigen Sie, dass f über [0, 1] integrierbar ist und drücken Sie den Wert des Integrals mit Hilfe der EulerMascheroni-Konstanten, die definiert durch
1 1
1
C := lim n → ∞ 1 + + + ... + − log n
2 3
n
ist, aus.
Aufgabe 4. Beweisen Sie ohne Rückgriff auf den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung die Gleichung:
Z x
dt
= arctan x
(x > 0).
1
+
t2
0
Anleitung: Setze α = arctan x und betrachte Teilungen
Tn :
tk := tan
kα
n
(0 ≤ k ≤ n).
Bei geeigneter Wahl der Messpunkte lassen sich die Zahlen
n
X
tk − tk−1
Rn :=
1 + tk tk−1
k=1
als Riemannsche Summe zu dem angeschriebenen Integral auffassen.
Aufgabe 5. Zeigen Sie: Die Funktion
Z
f (x) :=
0
x
sin t
dt
t
(x ∈ R)
nimmt auf R ein globales Maximum M und ein globales Minimum −M an. Finden Sie einen Ausdruck für
M und beweisen Sie, dass M < 2.
Hinweis: Beweisen Sie unter geeigneten Voraussetzungen die Ungleichung sin t < t cos 2t .
Aufgabe 6. Berechnen Sie den Grenzwert
Z
lim
n→∞
0
π
2
!
sin nt
dt .
nt
Hinweis: Wähle ein ε > 0 und zerlege den Integrationsbereich in die Teilintervalle [0, ε] und [ε, π2 ].