¨Ubungsblatt 5

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2014
Übungsblatt 5
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 24.11-28.11
Aufgabe 1
Beweis durch Fallunterscheidung (Präsenzaufgabe)
Beweis durch Fallunterscheidung ist eine Beweisstrategie, die man zusammenfassend wie folgt
beschreiben kann: Um einen Satz φ zu beweisen, reicht es aus, ein ψ zu finden, so dass sowohl
ψ als auch ¬ψ (jeweils für sich genommen natürlich) φ implizieren.
1. Zeigen Sie, dass der Beweis durch Fallunterscheidung ein gültiges Prinzip des Fitch-Kalküls
ist. Führen Sie zu diesem Zweck eine neue Fitch-Regel ein, die den Beweis durch Fallunterscheidung implementiert, und zeigen Sie, dass diese im Fitch-Kalkül herleitbar ist.
2. Implementieren Sie die Fallunterscheidungsprinzip in Coq. Konkret gesagt, vervollständigen Sie den folgenden Coq-Beweis.
1
2
3
4
Section F al l _ Un t e rs c h ei d u ng .
Variables x y : Prop .
Lemma FU : ( x -> y ) /\ ( ~ x -> y ) -> y .
Proof .
(* Anfang des Namensraums *)
(* Lokale Variablen *)
5
6
(* Ihrer Kode *)
7
8
9
Qed .
End F a ll _ U nt e r sc h e id u n g .
Aufgabe 2
(* Ende des Namensraums *)
Das Trinkerparadoxon
(Präsenzaufgabe)
W
1. Zeigen Sie, dass es für
jedes
n
≥
1
eine
Fitch-Herleitung
der
Formel
1≤i≤n (Ai → B)
V
V
aus
W der Annahme ( 1≤i≤n Ai ) → B gibt, wobei gilt: 1≤i≤n Ai = A1 ∧ · · · ∧ An und
1≤i≤n Ai = A1 ∨ · · · ∨ An .
Hinweis: Verwenden Sie die vollständige Induktion über n. Die Induktionsannahme unterstellt dann die Existenz einer Fitch-Herleitung
V
( 1≤i≤n Ai ) → B
..
.
W
1≤i≤n (Ai → B)
Diese darf man in den gesuchten Beweis (also mit n + 1 statt n) einbauen. Sie können die
Fallunterscheidungsregel aus Aufgabe 1 (mit ψ = An+1 ) verwenden. Es dürfen ferner die
üblichen Regeln des Fitch-Kalküls inklusive der Regeln für Disjunktion verwendet werden.
Zur Vereinfachung der Beweise dürfen Konjunktion und Disjunktion modulo Assoziativität
GLoIn, WS 2014
gelesen werden. Insbesondere darf man eine Folge von Konjunktionen an beliebiger Stelle
in zwei Konjunkte aufteilen, analog für Disjunktion.
2. Deuten Sie das “Trinkerparadoxon”: “Es gibt jemanden in der Kneipe, so dass, wenn
er trinkt, auch alle anderen trinken” als eine aussagenlogische Formel über n Atomen
A1 , . . . , An , deren Bedeutung ist: Ai gilt g.d.w. Besucher i der Kneipe trinkt. Folgern Sie
die Gültigkeit dieser Formel aus dem ersten Teil der Aufgabe.
Aufgabe 3
Beweis in Fitch II
(7.5 Punkte)
Beweisen Sie folgende aussagenlogische Formeln im Fitch-Kalkül. Sie dürfen dabei die in der
Präsenzaufgabe eingeführte Fitch-Regel für Beweise durch Fallunterscheidung mitverwenden.
1. A ∨ ¬A;
(Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
2. ((A → B) → A) → A;
(Peircesches Gesetz )
3. (A → B) ∨ (B → A).
Aufgabe 4
(Gödel-Dummett-Axiom)
Beweis in Coq II
(7.5 Punkte)
Formalisieren Sie die Fitch-Beweise von Aufgabe 3 in Coq. Dabei dürfen Sie ausschließlich die
Taktiken intro, apply, exact, assumption, split, left, right, contradiction, destruct
und assert benutzen. Sie dürfen (und es ist empfehlenswert) das Lemma aus Aufgabe 1 in
Anspruch nehmen. Die lässt sich wie folgt aufrufen:
apply FU with (x:=ψ).
(wobei ψ eine geeignete aussagenlogische Formel ist); Dadurch wird das aktuelle Ziel φ mit der
Konjunktion (ψ → φ) ∧ (¬ψ → φ) ersetzt.
Aufgabe 5
Proof of Evidence
(5 Punkte)
Der Detektiv aus Übungsblatt 1 hat zusätzlich mit Sicherheit festgestellt, dass Jones die Wahrheit gesprochen hat und der Mord nach Mitternacht passiert ist. Dem Detektiv steht nun eine
Gerichtssitzung vor wo er beabsichtigt nachzuweisen, dass Smith unschuldig ist. Helfen Sie ihm,
seine Verteidigungsstrategie zu verbessern, indem Sie einen passenden Coq-Beweis entwickeln,
der die Unschuld von Smith (in Abhängigkeit von den gesammelten Fakten) formal zeigt.
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