Labor 11 (Matlab oder Octave) Numerische Methoden zur Lösung

Labor 11 (Matlab oder Octave)
Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen in R
I. Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung)
Sei die Funktion f : [a, b] → R; man möchte die Lösung der Gleichung f (x) = 0 berechnen oder approximieren.
Schritte für das Bisektionsverfahren:
Gegeben sind a0 , b0 ∈ [a, b], ε > 0, die Funktion f .
Falls f (a0 )f (b0 ) > 0 −→ Bisektionsverfahren nicht anwendbar;
Falls f (a0 ) = 0 −→ a0 ist exakte Lösung;
Falls f (b0 ) = 0 −→ b0 ist exakte Lösung;
Falls f (a0 )f (b0 ) < 0:
Sei k = 0
(1) Berechne xk+1 := 12 (ak + bk ).
(2) Falls |f (xk+1 )| ≤ ε:
Wenn f (xk+1 ) = 0 −→ xk+1 ist exakte Lösung; STOP
Sonst (d.h. f (xk+1 ) < ε) −→ xk+1 ist approximative Lösung; STOP
Sonst (d.h. |f (xk+1 )| > ε)
Wenn f (ak )f (xk+1 ) < 0, setze ak+1 := ak , bk+1 := xk+1 ;
Sonst (d.h. f (ak )f (xk+1 ) > 0), setze ak+1 := xk+1 , bk+1 := bk ;
(3) Setze k := k + 1 und gehe nach (1).
Aufgabe 1: Man stelle die Funktion f (x) = x3 − 3x + 1 auf dem Intervall [-2,1] graphisch dar.
Man berechne oder approximiere die drei Lösungen der Gleichung x3 − 3x + 1 = 0, mit ε = 10−4 und
a) a0 = −2, b0 = −1
b) a0 = 0, b0 = 1
c) a0 = 1, b0 = 2.
II. Das Newton-Verfahren: Gegeben sind eine Funktion f : [a, b] → R und der Startwert x0 ∈ [a, b]. Die Lösung x∗ der
Gleichung f (x) = 0 wird approximiert durch die Folge (xn )n mit
xn+1 = xn −
f (xn )
, n ≥ 0.
f 0 (xn )
Aufgabe 2: Gegeben sind k und a (natürliche Zahlen). Man approximiere
Funktion
a
a) f (x) = 1 − k
x
b) f (x) = xk − a
a + (k − 1)
mit Startwert x0 =
und Abbruchkriterium
k
√
k
a mit Hilfe des Newton-Verfahrens und der
|xn+1 − xn | < 0.0000001.
In welchem der beiden Fälle a) oder b) konvergiert die Folge der Approximationen (xn )n schneller zur Lösung?
Beispiel: k = 2, a = 2; k = 3, a = 3.